Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.

Transcript

1 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom (Unutar tablice na svim mestima koja nisu eksplicitno navedena nalazi se broj 5.) Ispitati da li je operacija,, asocijativna. 2. Dat je oxtrougli ABC u kom vaжi AB < AC. Taqka D je sredixte stranice BC, a p je prava simetriqna pravoj AD u odnosu na simetralu BAC. Ako je P podnoжje normale iz temena C na pravu p, dokazati jednakost AP D = BAC. 3. Svaka taqka trodimenzionalnog prostora je obojena jednom od dve boje: crvenom ili plavom. Pritom, ako su tri taqke A, B i C obojene istom bojom i vaжi AB = AC, onda je i sredixte duжi BC obojeno istom tom bojom. Dokazati da postoji kvadar qija su sva temena obojena istom bojom Proizvod binomnog koeficijenta 21 i nepoznatog neparnog broja iznosi Odrediti cifre oznaqene zvezdicom Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

2 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Drugi razred A kategorija 1. Odrediti broj preslikavanja f : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} koja zadovoljavaju: f(x, x) = x za sve x {1, 2, 3, 4} i f(x, f(x, y)) = f(x, y) za sve x {1, 2, 3, 4}. 2. Na i sve funkcije f : R R takve da vaжi f(x)f(x y) + f(y)f(x + y) = x 2 + f(y) 2 za sve x, y R. 3. Na i sva rexenja (p, a, b, m) jednaqine gde je p prost broj i a, b, m N 0. p a 9 b = m 2, 4. Dat je ABC. Neka je D sredixte duжi BC. Neka je k kruжnica opisana oko ABD. Na luku AB kom ne pripada taqka D uoqimo taqku E takvu da vaжi EDB = DAC. Neka normala iz A na AD seqe pravu BC u taqki F. Neka je G druga preseqna taqka prave F E sa k; izuzetno, ako je F E tangenta na k, tada definiximo G E. Dokazati: DG = DB. Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

3 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Tre i razred A kategorija 1. Dat je ABC. Simetrala BAC seqe stranicu BC u taqki D. Neka je M sredixte duжi BD. Uoqimo kruжnicu k koja prolazi kroz taqku A, dodiruje stranicu BC u taqki D, i seqe duжi AM i AC u taqkama P i Q, redom (P, Q A). Dokazati da su taqke B, P i Q kolinearne. 2. Da li postoji prirodan broj n takav da su n 2015 i n 2015 imaju taqno 2015 delilaca? prirodni brojevi koji 3. U toku je veliki skup n mudraca koji sede za okruglim stolom. Svaki mudrac ili uvek laжe ili uvek govori istinu. Mesta na kojima mudraci sede su numerisana od 1 do n poqevxi od nekog mesta i idu i redom u smeru kazaljke na satu gledano odozgo. Novinar, жele i da utvrdi koji su mudraci laжljivci, ixao je redom oko stola i intervjuisao mudrace, i za svako k, k = 1, 2,..., n, mudrac na k-tom mestu mu je rekao da su slede ih k mudraca od njega u smeru kazaljke na satu gledano odozgo svi laжljivci. a) Za koje vrednosti n je mogu e da mudraci daju ovaj skup izjava? b) Za koje vrednosti n (među onim vrednostima za koje je ovakav skup izjava mogu ) novinar i dalje ne e biti u stanju da utvrdi za svakog mudraca da li je laжljivac ili istinoljubac? c) Za n = 2016 odrediti na kojim mestima sede mudraci istinoljupci. 4. Neka je data funkcija f : R R koja nije konstantna takva da vaжi f(x)f(x y) + f(y)f(x + y) = f(x) 2 + f(y) 2 za sve x, y R. Dokazati: f(x + y) = f(x) + f(y) za sve x, y R. Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

4 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Qetvrti razred A kategorija 1. Oznaqimo sa A, B i C, redom, podnoжja visina iz temena A, B i C u ABC. Neka su I A, I B i I C centri upisanih kruжnica u AB C, BA C i CA B, redom. Dokazati da je ortocentar I A I B I C ujedno i centar upisane kruжnice u ABC. 2. Neka su x 1, x 2,..., x n realni brojevi. Poznato je da za svako i, i {1,..., n}, postoji prirodan broj k takav da vaжi x i + x i x i+k 1 0 (gde indekse posmatramo cikliqno po modulu n). Dokazati: x 1 + x x n Dat je prirodan broj n. Dokazati da za svaki neparan broj x postoji prirodan broj y takav da vaжi y y x (mod 2 n ). 4. Kaжemo da se mnogougao M 0 u ravni moжe obmotati sa n kopija ako postoje mnogouglovi M 1, M 2,..., M n podudarni s mnogouglom M 0 takvi da vaжi: 1 svaka dva mnogougla M i i M j, 0 i < j n, imaju disjunktne unutraxnjosti; 2 svaki od mnogouglova M 1, M 2,..., M n ima bar jednu zajedniqku rubnu taqku s mnogouglom M 0 ; 3 S n i=0 M i je mnogougao takav da je strogo u njegovoj unutraxnjosti sadrжan mnogougao M 0. Da li postoji mnogougao kojim se ne moжe poploqati ravan, a koji se moжe obmotati sa 8 kopija? Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

5 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Prvi razred B kategorija 1. a) Polinom x 8 + x predstaviti kao proizvod tri polinoma stepena bar 1. 1 b) Racionalisati imenilac razlomka Posmatrajmo broj {z } 9 puta {z } 10 puta {z... 20} 20 puta (dakle, posmatrani broj dobijen je nadovezivanjem broja 1 zapisanog jednom, broja 2 zapisanog dva puta, broja 3 zapisanog tri puta itd. do broja 20 zapisanog dvadeset puta). Ispitati da li je posmatrani broj: a) deljiv sa 9; b) deljiv sa 11; c) potpun kvadrat; d) deljiv sa Da li postoji permutacija (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) brojeva 1, 2, 3, 4, 5 takva da vaжi (a 1 + a 2 )(a 2 + a 3 )(a 3 + a 4 )(a 4 + a 5 )(a 5 + a 1 ) = (a 1 + a 3 )(a 3 + a 5 )(a 5 + a 2 )(a 2 + a 4 )(a 4 + a 1 )? 4. U jednakokrakom ABC, AB = BC, taqka M je podnoжje visine iz temena B, a simetrala BAC seqe stranicu BC u taqki K. Ako vaжi 2BM = AK, odrediti uglove tog trougla. 5. Dat je konveksan qetvorougao ABCD. Konstruisati pravu koja prolazi kroz teme A i deli taj qetvorougao na dva dela jednakih povrxina. Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

6 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Drugi razred B kategorija 1. Rexiti nejednaqinu 2. Rexiti sistem jednaqina log x (x 2 4x + 4) < 2. 3x 2 + 2xy + 6y 2 = 24; x 4 + 4y 4 = Odrediti sve prirodne brojeve n za koje je potpun kvadrat prirodnog broja n + 10 n + 19 n 4. Posmatrajmo sistem jednaqina y 1 + y y 1000 = 2016; y n = x 22n n za n = 1, 2, 3,..., (Dakle, sistem ima 1001 jednaqinu i ukupno 2000 nepoznatih.) Koliko rexenja (x 1, x 2,..., x 1000, y 1, y 2,..., y 1000 ) ima posmatrani sistem u skupu nenegativnih celih brojeva? 5. Dat je oxtrougli ABC. Konstruisati normalu na stranicu AB koja deli ABC na dva dela jednakih povrxina. Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

7 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Tre i razred B kategorija 1. Dati su vektori a = ( 3, 2, 1) i b = (1, 1, 3). Odrediti, ako postoji, realan broj r takav da vektor (1, r, 2) gradi ugao od 60 sa vektorom a ( b a). 2. Data je traka podeljena na jediniqne kvadrati e. Dva igraqa naizmeniqno upisuju X u proizvoljan kvadrati, pod uslovom da on nije ve popunjen. Dobija prvi igraq koji postigne da nakon njegovog poteza postoje bar 3 uzastopna kvadrati a obeleжena slovom X. Dokazati da prvi igraq ima pobedniqku strategiju. 3. Prirodni brojevi a, b i c su takvi da je broj a + b + c prost i vaжi Dokazati: a = b = c = 1. ab + bc + ac a 2 + b 2 + c U pravouglom trouglu teжixne linije koje odgovaraju katetama zaklapaju ugao ϕ za koji vaжi tg ϕ = 3. Na i uglove tog trougla Za pozitivne realne brojeve a i b oznaqimo S(a, b) = min a, b, 1 a + 1. b Na i najve u mogu u vrednost izraza S(a, b) i za koje a i b se ta vrednost dostiжe. Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

8 Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart Qetvrti razred B kategorija 1. Dat je polinom P (x) = 3x 5 + ax 4 35x 3 + bx x + c qije su dve nule x 1 = 1 i x 2 = 2, i vaжi x 3 x 4 x 5 = 2. Na i koeficijente a, b i c i preostale nule. 2. Tetkica s Okruжnog takmiqenja ponovo pixe po tabli, ovaj put po slede em obrascu. Na poqetku je na tabli napisana promenljiva x. U jednom koraku tetkica bira proizvoljna dva izraza koja postoje na tabli (ukljuquju i mogu nost da uzme isti izraz dva puta) i na tablu dopisuje njihov proizvod. Koliko najmanje koraka je potrebno da bi se na tabli dobio izraz x 1025? 3. Prirodan broj n ima slede u osobinu: za svako k iz intervala 2 k m (gde je m unapred fiksiran prirodan broj) broj kn je potpun k-ti stepen (drugim reqima, 2n je potpun kvadrat, 3n je potpun kub,..., mn je potpun m-ti stepen). Odrediti najve i prirodan broj m za koji postoji takav prirodan broj n. 4. Za koje vrednosti realnih parametara a i b sistem xyz + z = a; xyz 2 + z = b; x 2 + y 2 + z 2 = 4 ima jedinstveno rexenje u skupu realnih brojeva? 5. Tetraedar ABCD ima duжine ivica AB = 1 i BD = 2, a BAD i ABC su pravi. Sfera dodiruje pljosni ABD i BCD u taqkama A i C, redom. Na i polupreqnik te sfere. Vreme za rad 240 minuta. Rexenja zadataka detaljno obrazloжiti.

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Лазар Корсић Математичка гимназија Београд 1 А I награда Анђела Богдановић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 1 А I награда Ђорђе Трифуновић Ваљевска гимназија Ваљево 1 А II награда Срђан Кузмановић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 А II награда Марина Васиљевић Математичка гимназија Београд 1 А II награда Исидора Бурмаз Математичка гимназија Београд 1 А II награда Дејан Гјер Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 А III награда Иља Узелац Бујишић Математичка гимназија Београд 1 А III награда Вукашин Михајловић Математичка гимназија Београд 1 А III награда Игор Пијевац Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 А III награда Урош Малеш Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 А III награда Богдана Ђорђевић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 А III награда Дуња Прокић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 1 А III награда Тамара Поњавић Математичка гимназија Београд 1 А похвала Владимир Виктор Мирјанић Математичка гимназија Београд 1 А похвала Јелена Илић Математичка гимназија Београд 1 А похвала Вук Ђорђевић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 А похвала Драгана Нинковић Математичка гимназија Београд 1 А похвала Алекса Јелача Математичка гимназија Београд 1 А похвала Маја Цветковић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 А похвала Илија Кочинац Математичка гимназија Београд 1 А похвала Валентина Њаради Математичка гимназија Београд 1 А похвала Богдан Томић Математичка гимназија Београд 1 А Милена Мићић Математичка гимназија Београд 1 А Александар Станојчић Математичка гимназија Београд 1 А Михаило Миленковић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 А Миљана Петковић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 А Алекса Цакић Математичка гимназија Београд 1 А Лазар Галић Математичка гимназија Београд 1 А Лука Шојић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 А Нина Матић Ваљевска гимназија Ваљево 1 А Роналд Сеги Гимназија Бољаи Сента 1 А Иван Гогић ОШ Бранко Радичевић Београд 1 А Акош Ружа Гимназија Бољаи Сента 1 А Јован Торомановић Математичка гимназија Београд 1 А Милош Миловановић Ваљевска гимназија Ваљево 1 А Анђела Мишковић Ваљевска гимназија Ваљево 1 А Норберт Старек Гимназија Бољаи Сента 1 А Мирослав Тодоровић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 А Андријана Миковић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 1 А Милица Ћирић Гимназија Краљево 1 А Сара Биочанин Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 1 А Катарина Кривокућа Математичка гимназија Београд 1 А Павле Стојановић Гимназија Краљево 1 А Ирина Ђанковић Математичка гимназија Београд 1 А -

21 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Шифра Σ Никола Јешић Математичка гимназија Београд 2 А 2А I награда Момчило Топаловић Математичка гимназија Београд 2 А 2А I награда Игор Медведев Математичка гимназија Београд 2 А 2А II награда Павле Мартиновић Математичка гимназија Београд 2 А 2А II награда Александар Милосављевић Гимназија Светозар Марковић Ниш 2 А 2А II награда Урош Миленковић Математичка гимназија Београд 2 А 2А III награда Иван Пешић Математичка гимназија Београд 2 А 2А III награда Никола Павловић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 2 А 2А III награда Марко Медведев Математичка гимназија Београд 2 А 2А III награда Лазар Радојевић Математичка гимназија Београд 2 А 2А похвала Богдан Раонић Математичка гимназија Београд 2 А 2А похвала Ђорђе Ступар Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 2 А 2А похвала Данило Тонић Гимназија Краљево 2 А 2А похвала Милан Цупаћ Математичка гимназија Београд 2 А 2А похвала Катарина Николић Математичка гимназија Београд 2 А 2А похвала Ева Силађи Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 2 А 2А похвала Стефан Степановић Математичка гимназија Београд 2 А 2А Анастасија Илић Математичка гимназија Београд 2 А 2А Катарина Вукосављевић Математичка гимназија Београд 2 А 2А Миломир Стефановић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 2 А 2А Јован Павловић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 2 А 2А Андрија Ђурић Математичка гимназија Београд 2 А 2А Слободан Јенко Математичка гимназија Београд 2 А 2А Стефан Пајовић Гимназија Краљево 2 А 2А Младен Башић Гимназија Краљево 2 А 2А Срђан Ранђеловић Математичка гимназија Београд 2 А 2А Милица Божанић Математичка гимназија Београд 2 А 2А Тамаш Берец Гимназија Бољаи Сента 2 А 2А Матија Додовић Ваљевска гимназија Ваљево 2 А 2А Александар Максимовић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 2 А 2А Филип Ћосовић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 2 А 2А

22 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Огњен Тошић Математичка гимназија Београд 3 А I награда Даница Зечевић Математичка гимназија Београд 3 А II награда Александар Колинс Математичка гимназија Београд 3 А II награда Александар Милошевић Математичка гимназија Београд 3 А II награда Алекса Милојевић Математичка гимназија Београд 3 А III награда Никола Раичевић Математичка гимназија Београд 3 А III награда Тадија Митровић Математичка гимназија Београд 3 А III награда Данијел Ђорђевић Математичка гимназија Београд 3 А III награда Милоје Јоксимовић Математичка гимназија Београд 3 А похвала Филип Ковачевић Математичка гимназија Београд 3 А похвала Дино Ћеримагић Математичка гимназија Београд 3 А похвала Милош Вујчић Математичка гимназија Београд 3 А похвала Владимир Миленковић Математичка гимназија Београд 3 А похвала Бранислав Шобот Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 А похвала Андрија Новаковић Гимназија Краљево 3 А похвала Никола Велов Математичка гимназија Београд 3 А Јана Вучковић Математичка гимназија Београд 3 А Марко Шушњар Математичка гимназија Београд 3 А Душан Живановић Гимназија Светозар Марковић Ниш 3 А Никола Бебић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 А Едвин Маид Математичка гимназија Београд 3 А Александар Лукач Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 А Евелин Сеги Гимназија Бољаи Сента 3 А Абигел Фењвеши Гимназија Бољаи Сента 3 А Анастасија Пантовић Гимназија Краљево 3 А Бранко Неранчић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 А

23 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Никола Садовек Математичка гимназија Београд 4 А II награда Никола Алексић Математичка гимназија Београд 4 А II награда Алекса Константинов Математичка гимназија Београд 4 А III награда Лука Вукелић Математичка гимназија Београд 4 А III награда Никола Спасић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 4 А III награда Јанко Ранђеловић Гимназија Светозар Марковић Ниш 4 А III награда Станислав Тодоровић Гимназија Светозар Марковић Ниш 4 А похвала Данило Тошовић Математичка гимназија Београд 4 А похвала Урош Динић Математичка гимназија Београд 4 А похвала Никола Мандић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 4 А Гаврило Милићевић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 4 А Миљан Тодоровић Математичка гимназија Београд 4 А Коста Бизетић Математичка гимназија Београд 4 А Балша Кнежевић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 4 А Срђан Марковић Математичка гимназија Београд 4 А Теодора Смолчић Ваљевска гимназија Ваљево 4 А Јана Врањеш Математичка гимназија Београд 4 А -

24 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Тијана Јакшић Гимназија Урош Предић Панчево 1 Б I награда Анастасија Волчановска Гимназија Јагодина 1 Б I награда Михаило Миленковић Пожаревачка гимназија Пожаревац 1 Б I награда Марија Томић Гимназија Лесковац 1 Б I награда Новица Трифковић XIV гимназија Београд 1 Б II награда Алекса Ђорђиев XIII београдска гимназија Београд 1 Б II награда Данило Зечевић Гимназија Урош Предић Панчево 1 Б II награда Алекса Стефановић Гимназија Пирот 1 Б II награда Часлав Петронић III београдска гимназија Београд 1 Б II награда Никола Богдановић Гимназија Параћин 1 Б II награда Славко Крстић Митровачка гимназија Сремска Митровица 1 Б II награда Борис Петровић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 Б III награда Теодор Сакал Францишковић Гимназија Светозар Марковић Суботица 1 Б III награда Александар Гецић Техничка школа Кикинда 1 Б III награда Лука Старчевић Ужичка гимназија Ужице 1 Б III награда Алекса Елезовић Рачунарска гимназија Београд 1 Б III награда Богдан Рајков Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 Б III награда Наташа Лазаревић Гимназија Милош Савковић Аранђеловац 1 Б III награда Сара Милановић Гимназија Нови Пазар 1 Б III награда Вељко Тодић Гимназија Светозар Марковић Суботица 1 Б III награда Ивана Милићевић Гимназија Бора Станковић Бор 1 Б III награда Душан Цвијетић Гимназија Урош Предић Панчево 1 Б похвала Митар Милинковић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 Б похвала Илија Марић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 Б похвала Марко Бркић Рачунарска гимназија Београд 1 Б похвала Миљана Здравковић Гимназија Лесковац 1 Б похвала Емилија Стојановић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 1 Б похвала Коста Младеновић Гимназија Пирот 1 Б похвала Миња Вуковић Гимназија Светозар Марковић Суботица 1 Б похвала Марина Гајчин Гимназија Никола Тесла Апатин 1 Б похвала Лазар Крачуновић XIII београдска гимназија Београд 1 Б похвала Никола Петрески Шабачка гимназија Шабац 1 Б похвала Лука Симић Рачунарска гимназија Београд 1 Б похвала Теодора Закић V гимназија Београд 1 Б похвала Александар Стојадиновић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 Б похвала Душан Игић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 Б Петар Стојковић Гимназија Врњачка Бања 1 Б Бојан Васић Шабачка гимназија Шабац 1 Б Милица Ђорђевић Средња школа 1300 каплара Љиг 1 Б Марко Беслаћ III београдска гимназија Београд 1 Б Марко Вучић Пожаревачка гимназија Пожаревац 1 Б Марија Маринковић Гимназија Свилајнац 1 Б Ђорђе Митровић Прва нишка гимназија Стеван Сремац Ниш 1 Б Петар Станчић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 Б Јован Димитријевић СТШ Никола Тесла Сурдулица 1 Б Михаило Живадиновић I београдска гимназија Београд 1 Б Шћепан Чукић Гимназија Смедерево 1 Б Стефан Јелић Ваљевска гимназија Ваљево 1 Б Урош Берић Гимназија Вељко Петровић Сомбор 1 Б Кристина Јовановић Гимназија Јагодина 1 Б Игор Васић Вук Караџић Лозница 1 Б Андреа Ђорђевић Гимназија Светозар Марковић Ниш 1 Б Александра Биочанин Гимназија Крушевац 1 Б Анђела Глишовић Техничка школа Чачак 1 Б Бранислав Ђурић Ужичка гимназија Ужице 1 Б Алекса Јањић Вук Караџић Лозница 1 Б Давид Јевтић Средња школа Никола Тесла Лепосавић 1 Б Марија Аздејковић Гимназија Крушевац 1 Б Теодора Ристоски XII гимназија Београд 1 Б Драган Весић Гимназија Инђија 1 Б Момира Здравковић XIII београдска гимназија Београд 1 Б Иван Мештровић Гимназија Бранко Радичевић Стара Пазова 1 Б Александар Ђорђевић Гимназија Б. Петров Браца Вршац 1 Б Урош Карелеић Свети Сава Београд 1 Б Филип Дробњаковић Гимназија Пиво Караматијевић Нова Варош 1 Б Стефанија Николић Гимназија Лебане 1 Б Реља Михић Зрењанинска гимназија Зрењанин 1 Б Милица Вукобрат Гимназија Инђија 1 Б Ивона Минић Гимназија Коршумлија 1 Б Марко Тодоровић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 1 Б Андреј Павловић XIII београдска гимназија Београд 1 Б Иван Стаменковић Гимназија Прокупље 1 Б Милан Нојић Гимназија Шилово 1 Б -

25 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Јован Ђорђевић Гимназија Јосиф Панчић Бајина Башта 2 Б I награда Давид Ђукић Вук Караџић Лозница 2 Б I награда Здравко Бјелић Гимназија Сава Шумановић Шид 2 Б I награда Душан Богојевић XIV гимназија Београд 2 Б II награда Магдалена Јовићевић Гимназија Бора Станковић Ниш 2 Б II награда Алекса Врачар Гимназија Урош Предић Панчево 2 Б II награда Ласло Ури Гимназија Вељко Петровић Сомбор 2 Б III награда Софија Ђурић Гимназија Смедерево 2 Б III награда Стеван Матавуљ IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 2 Б III награда Јелена Васиљевић XIII београдска гимназија Београд 2 Б III награда Михајло Никитовић XIII београдска гимназија Београд 2 Б III награда Бодин Бизетић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 2 Б III награда Анђела Илић Гимназија Лесковац 2 Б похвала Весна Јовановић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 2 Б похвала Дамир Бербић Гимназија Урош Предић Панчево 2 Б похвала Теодора Петровић I београдска гимназија Београд 2 Б похвала Владимир Јовин Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 2 Б похвала Маша Кнежевић Гимназија Светозар Марковић Суботица 2 Б похвала Миља Пејчић Гимназија Бора Станковић Ниш 2 Б похвала Емилија Ђорђевић Гимназија Смедерево 2 Б похвала Лука Ћирић Гимназија Зајечар 2 Б Петар Петрашиновић Гимназија Крушевац 2 Б Срђан Шуковић Средња школа Ђура Јакшић Српска Црња 2 Б Јордан Грујић Гимназија Краљево 2 Б Душан Личина XIII београдска гимназија Београд 2 Б Вељко Рвовић Гимназија Душан Васиљев Кикинда 2 Б Вук Бибић Гимназија Бора Станковић Ниш 2 Б Евгенија Јовић Неготинска гимназија Неготин 2 Б Маја Ђаковић Гимназија Крушевац 2 Б Софија Јањић Зрењанинска гимназија Зрењанин 2 Б Адам Никачевић Гимназија Пиво Караматијевић Нова Варош 2 Б Алберт Макан Зрењанинска гимназија Зрењанин 2 Б Тијана Алексић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 2 Б Бранко Павловић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 2 Б Милица Гњатовић Земунска гимназија Земун 2 Б Никола Кајтез Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 2 Б Немања Стојановић Гимназија Јован Скерлић Владичин Хан 2 Б Сара Мартиновски Гимназија Чачак 2 Б Никола Симић Шабачка гимназија Шабац 2 Б Жељко Марковић ЕСТШ Никола Тесла Краљево 2 Б

26 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Никола Булатовић Гимназија Урош Предић Панчево 3 Б I награда Николина Бунијевац XIII београдска гимназија Београд 3 Б II награда Дарко Сретеновић IV гимназија Београд 3 Б II награда Лазар Смиљковић Гимназија Трстеник 3 Б II награда Војислав Томашевић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 3 Б II награда Ивона Биочанин Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 3 Б II награда Николина Купрешанин Зрењанинска гимназија Зрењанин 3 Б II награда Марта Бoшњак Гимназија Урош Предић Панчево 3 Б II награда Лазар Стевановић Гимназија Свети Сава Пожега 3 Б II награда Дејан Јовановић Гимназија Јосиф Панчић Бајина Башта 3 Б III награда Никола Бугарин Гимназија Бора Станковић Бор 3 Б III награда Александар Љамзин IV гимназија Београд 3 Б III награда Филип Царевић Гимназија Чачак 3 Б III награда Ленка Бестовачки Гимназија 20. октобар Бачка Паланка 3 Б III награда Вукашин Пиштељић Свети Сава Београд 3 Б III награда Јована Јелчић Пожаревачка гимназија Пожаревац 3 Б III награда Душан Крмар Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 Б III награда Филип Милисављевић Гимназија Бора Станковић Ниш 3 Б III награда Данијела Станојевић Гимназија Јагодина 3 Б похвала Вукашин Божић Шабачка гимназија Шабац 3 Б похвала Богдан Бојовић Гимназија Крушевац 3 Б похвала Мила Петковић Гимназија Бора Станковић Ниш 3 Б похвала Алека Симић XIII београдска гимназија Београд 3 Б похвала Александар Париповић Гимназија Милена Павловић-Барили Београд 3 Б похвала Андреја Ђорђевић Гимназија Јагодина 3 Б похвала Дејана Мандић Рачунарска гимназија Београд 3 Б похвала Драгица Стојиљковић Гимназија Бора Станковић Врање 3 Б похвала Анђелија Стојановић Пожаревачка гимназија Пожаревац 3 Б похвала Душан Петровић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 Б Богдан Бебић XIV гимназија Београд 3 Б Михаило Грбић Гимназија Зајечар 3 Б Михаило Дедић Ужичка гимназија Ужице 3 Б Радосав Пантић Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 3 Б Никола Кабашај Митровачка гимназија Сремска Митровица 3 Б Ивана Вушковић Гимназија Књажевац 3 Б Јанко Пашајлић Гимназија Рашка 3 Б Даница Бабић Гимназија Краљево 3 Б Сима Спасојевић Шабачка гимназија Шабац 3 Б Дејан Богдановић Средња техничка школа Сомбор 3 Б Данило Ђорђевић Гимназија Лесковац 3 Б Ђорђе Зубац Гимназија Косовска Митровица 3 Б Јелена Цупаћ Гимназија Вељко Петровић Сомбор 3 Б Милица Божовић Гимназија Косовска Митровица 3 Б Алекса Стојковић Гимназија Исидора Секулић Нови Сад 3 Б Маша Нешић Гимназија Бора Станковић Ниш 3 Б Никола Барјактаревић I београдска гимназија Београд 3 Б Лаура Гујаш Олдал Гимназија Светозар Марковић Суботица 3 Б Недељко Ђукић Гимназија Прокупље 3 Б Марија Недељковић Гимназија Нови Пазар 3 Б Милан Јокановић ЕТШ Михајло Пупин Нови Сад 3 Б Јована Казимировић Неготинска гимназија Неготин 3 Б Драган Манић Гимназија Велика Плана 3 Б Даница Јевремовић Средња школа Никола Тесла Лепосавић 3 Б Теодора Пејашиновић ЕТШ Михајло Пупин Нови Сад 3 Б Теодора Стефановић Гимназија Стеван Јаковљевић Власотинце 3 Б Ненад Бировљевић Шабачка гимназија Шабац 3 Б Урош Јеремић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 3 Б Оливера Сандо Зрењанинска гимназија Зрењанин 3 Б -

27 Име Презиме Школа Место Разред Категорија Σ Нађа Обреновић Гимназија Краљево 4 Б I награда Никола Благојевић Гимназија Бора Станковић Ниш 4 Б I награда Немања Дивнић Гимназија Варварин 4 Б I награда Никола Максић I београдска гимназија Београд 4 Б II награда Ђорђе Богдановић Средња школа Младост Петровац 4 Б II награда Стефан Стојановић Гимназија Велика Плана 4 Б II награда Гојко Вучинић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 4 Б II награда Јована Петковић Гимназија Јован Скерлић Владичин Хан 4 Б II награда Петар Матко Гимназија Смедерево 4 Б II награда Марко Тошић Вук Караџић Лозница 4 Б II награда Душан Јовановић Гимназија Јагодина 4 Б III награда Петар Колић Рачунарска гимназија Београд 4 Б III награда Лука Марић ЕТШ Михајло Пупин Нови Сад 4 Б III награда Ђорђе Николашевић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 4 Б III награда Стефан Пушица Гимназија Пиво Караматијевић Нова Варош 4 Б III награда Неда Делић Гимназија Вељко Петровић Сомбор 4 Б III награда Јован Јаћовић Гимназија Крушевац 4 Б III награда Милош Новаковић XIV гимназија Београд 4 Б III награда Ратко Амановић Паланачка гимназија Смедеревска Паланка 4 Б III награда Марко Векарић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 4 Б III награда Михаило Обрадовић Гимназија Горњи Милановац 4 Б III награда Ђорђе Ђелић Гимназија Бора Станковић Врање 4 Б похвала Владана Стојиљковић Гимназија Бора Станковић Врање 4 Б похвала Милош Голуб Гимназија Светозар Марковић Нови Сад 4 Б похвала Милица Лазић XIV гимназија Београд 4 Б похвала Лука Поповић Гимназија Пирот 4 Б похвала Вук Радосављевић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 4 Б похвала Филип Блашковић Гимназија Душан Васиљев Кикинда 4 Б похвала Марко Скакун Митровачка гимназија Сремска Митровица 4 Б похвала Јован Ђумић IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 4 Б похвала Новак Мартиновић XIV гимназија Београд 4 Б похвала Јован Стојковић Гимназија Бора Станковић Врање 4 Б похвала Димитра Јездимировић Гимназија Светозар Марковић Ниш 4 Б похвала Катарина Милићевић Ужичка гимназија Ужице 4 Б похвала Дарко Арнаут Гимназија Вељко Петровић Сомбор 4 Б Енес Гичевић Гимназија Јездимир Ловић Сјеница 4 Б Милош Мићовић XIII београдска гимназија Београд 4 Б Милоје Ђукановић Вук Караџић Лозница 4 Б Агота Кереши Техничка школа Ада 4 Б Филип Станковић Гимназија Ивањица 4 Б Петар Давидовић Шабачка гимназија Шабац 4 Б Андреј Скала Гимназија Јован Јовановић Змај Нови Сад 4 Б Алекса Илић Гимназија Лесковац 4 Б Митра Степић Земунска гимназија Земун 4 Б Ана Пастор IX гимназија Михаило Петровић Алас Београд 4 Б Ђорђе Степановић Ваљевска гимназија Ваљево 4 Б Јана Стојановић Гимназија Чачак 4 Б Младен Живковић Војна гимназија Београд 4 Б Стефан Аћимовић Гимназија Б. Петров Браца Вршац 4 Б Маја Лаковић Гимназија Врњачка Бања 4 Б Иван Прелић I београдска гимназија Београд 4 Б Јелена Јанковић Гимназија Зајечар 4 Б Стеван Јокић I београдска гимназија Београд 4 Б Василије Бецић XIII београдска гимназија Београд 4 Б Данијел Радуловић Митровачка гимназија Сремска Митровица 4 Б Лука Ивановић Ваљевска гимназија Ваљево 4 Б Милан Станковић Гимназија Пирот 4 Б Кристијан Илић Гимназија Пирот 4 Б Илма Гицић Гимназија Јездимир Ловић Сјеница 4 Б Сара Милојевић Прва крагујевачка гимназија Крагујевац 4 Б Стефан Стојановић Гимназија Лесковац 4 Б Лидија Хусар Гимназија Светозар Марковић Суботица 4 Б Јована Митровић Гимназија Бора Станковић Ниш 4 Б Владимир Мојовић Гимназија Ивањица 4 Б Данило Радојковић Гимназија Бора Станковић Бор 4 Б Јелена Вукићевић Гимназија Књажевац 4 Б Ђорђе Ђурић Гимназија Милош Савковић Аранђеловац 4 Б Стефан Софијанић Земунска гимназија Земун 4 Б Емилија Симић Средња школа Блаце 4 Б