1 Pojam funkcije. f(x)

Transcript

1 Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije f obeleavamo D f. Skup taqaka G u Dekartovom koordinatnom sistemu sa koordinatama (, f()), D f grafik funkicje = f() tj. G = {(, f()) : D f }. naziva se. Taqka a D f je nula funkcije ako je f(a) = 0. f() a. f je pozitivna na skupu S D f ( S)f() > 0. f() f() S 3. f je parna ako ( D f )f( ) = f() f() f(a) -a a Grafik parne funkcije je simetriqan u odnosu na O osu. f je neparna ako ( D f )f( ) = f() f(a) f( ) -a a -f(a) Grafik parne funkcije je simetriqan u odnosu na koordinatni poqetak O. Da bi funkcija f bila parna ili neparna, mora da ima simetriqan domen u odosu na nulu (ako je definisana za neko a R mora biti definisana i za a).

2 4. f raste na S (, S) < f( ) < f( ). f ne opada na S (, S) < f( ) <= f( ). f() S f opada na S (, S) < f( ) > f( ). f ne raste na S (, S) < f( ) >= f( ). f() S f je monotona ako zadovo ava jedan od prethodna qetiri sluqaja. 5. Taqka a D f je taqka minimuma funkcije f na skupu S D f ( S) f(a) f() f() a S Taqka a D f je taqka maksimuma funkcije f na skupu S D f ( S) f(a) f() a S 6. f je ograniqena odozgo ( M R)( D f ) f() M M f() f je ograniqena odozdo ( m R)( D f ) f() m f() m

3 Funkcija f : X Y je - (( D f )f( ) = f( ) = ). tj. ako se nikoja dva razliqita elementa iz X ne slikaju u isti element u skupu Y. Funkcija f : X Y je na ( Y )( X)f() =. tj. ako se skup X slika na ceo skup Y. Funkcija f : X Y je bijekcija f je "-" i "na". Ako je funkcija f bijekcija tada postoji funkcija f koja je inverzna funkcija funkcije f. Vai da je ( X) f (f()) = i ( Y ) f(f ()) =. Grafik funkcije f je simetriqan grafiku funkcije f u odnosu na pravu =. =f () = =f() 3

4 Stepena funkcija = n n R Neki grafici stepene funkcije f() = n, n = k, k N su: Grafici stepene funkcije f() = n, n = k, k N su: n = : = : R R n = : = = = n = 3: = 3 : R R n = 4: = 4 = 3 = 4 n = 5 = 5 : R R n = 6 = 6 = = 5 = = 6 f je neparna. f() > 0 za > 0, f() < 0 za < 0 i f() = 0 za = 0. f je strogo rastua na R. f() = k k N je bijekcija, pa postoji f : R R, f () = k, k N. f je parna. f() >= 0 za svako R i f() = 0 = 0. f je opadajua na (, 0) i rastua na (0, ). f nije bijekcija jer npr. f() = f( ) to znaqi da f nije. Ona dakle nema inverznu funkciju. Ako posmatramo funkciju f : R + R + f() = k, k N ona jeste bijekcija i oj inverzna funkcija je f : R + R +, f () = k. 4

5 . Stepenova e i korenova e Neka a, b R i m, n N.. a 0 =. a = a 3. a = a a 4. a n = a a... a }{{} n 5. a m a n = a m+n Grafici stepene funkcije f() = n, (n - negativan ceo broj nede iv sa ) su: 6. (a m ) n = a mn 7. (ab) n = a n b n 8. a m a n = a m n, a 0 9. a m = a m, a 0 0. a n = n a, a > 0 Grafici stepene funkcije f() = n (n - negativan ceo broj de iv sa ) su: n = : = = n = : = = n = 3: = 3 = 3 n = 4: = 4 = f je neparna. f() > 0 za > 0, f() < 0 za < 0 i f() 0 za svako R. f je parna. f() > 0 za svako R. f je opadajua na (, 0) i na (0, ). f je rastua na (, 0) i opadajua na (0, ). 5

6 Grafici stepene funkcije f() = k = k, k N (parna korena) su: Grafici stepene funkcije f() = k+ = k+, k N (neparna korena) su: k = : = : R R = k = : = 3 : R R 3 = k = : = 4 : R R k = : = 5 : R R = 5 = = D f = [0, + ). f nije ni parna ni neparna f je nenegativna, tj. f() = k 0 ta svako 0. f je strogo rastua. D f = R, tj. funkcija je definisana za sve realne vrednosti. f je neparna, tj. vai k+ = k+ ta svako R. f() > 0 za > 0, f() < 0 za < 0 i f() = 0 za = 0. f je strogo opadajua na R. 6

7 3 Kvadratna jednaqina Ree a kvadratne jednaqine a + b + c = 0 su / = b ± b 4ac. Moe se desiti da imamo: a razliqita realna ree a (b 4ac > 0) realno ree e (b 4ac = 0) kon jugovano kompleksna ree a = p + iq i = p iq, p, q R (b 4ac < 0) U zavisnosti od vrednosti parametara a i D = b 4ac (diskriminanta kvadratne jednaqine), grafik funkcije f() = a + b + c je: a > 0, D > 0: a < 0, D > 0: a > 0, D = 0: a < 0, D = 0: a > 0, D < 0: a < 0, D < 0: 7

8 4 Eskponencijalna i logaritamska funkcija Eskponencijalna funkcija je funkcija f() = a, a > 0, a. f : R R + Ako je a > grafik funkcije je: Ako je 0 < a < grafik funkcije je: =a, a> a a =a, 0 a 0 0 f pozitivna za svako R. Nule funkcije ne postoje. f je monotono rastua. f pozitivna za svako R. Nule funkcije ne postoje. f je monotono opadajua. Inverzna funkcija eksponencijalnoj funkciji je logaritamska funkcija g() = log a, a > 0, a, > 0. g : R + R Ako je a > grafik funkcije g() = log a je: je: Ako je 0 < a < grafik funkcije g() = log a g()=log a, a g()=log a, 0 a 0 a 0 a D f = (0, + ). f je negativna za 0 < <, a pozitivna za >. Nula funkcije je =. f je monotono rastua. D f = (0, + ). f je pozitivna za 0 < <, a negativna za >. Nula funkcije je =. f je monotono opadajua. Formule:. a b = c b = log a c za a, c > 0, a. log a = 0 log a a = 3. log a XY = log a X + log a Y log a X Y = log a X log a Y 4. log a X s = s log a X log a s X = s log a X 5. log a b = log b a 6. log a b = log c b log c a 8

9 7. Ako je a > : f() g() a f() b f() f() g() log a f() log a g() 8. Ako je 0 < a < : f() g() a f() b f() f() g() log a f() log a g() 9

10 5 Trigonometrijske funkcije f() = sin : R [, ] f()=sin() 0 -Π 5 -Π Π 0.5 Π 5 Π 0.0 sin je ograniqena, tj. f() Funkcija je neparna i periodiqna sa periodom π. f() > 0 za (kπ, π + kπ), k Z, a f() < 0 za ( π + kπ, kπ), k Z. Nule funkcije su u taqkama = kπ, k Z. f je monotono rastua na intervalima ( π + kπ, π intervalima ( π + kπ, 3π + kπ), k Z. + kπ), k Z, a monotono opadajua je na f() = cos : R [, ] Π f()=cos() Π cos je ograniqena, tj. f() Funkcija je parna i periodiqna sa periodom π. f() > 0 za ( π + kπ, π + kπ), k Z, a f() < 0 za ( π + kπ, 3π Nule funkcije su u taqkama = π + kπ, k Z. + kπ), k Z.. f je monotono rastua na intervalima ( π+kπ, kπ), k Z, a monotono opadajua je na intervalima (kπ, π + kπ), k Z. f() = tg : ( π + kπ, π ) + kπ R, k Z 4 Π 5 -Π Π 5 Π 4 D f = ( π + kπ, π + kπ ). 0

11 tg je neograniqena. Funkcija je neparna i periodiqna sa periodom π. f() > 0 za (kπ, π + kπ), k Z, a f() < 0 za ( π + kπ, kπ), k Z.. Nule funkcije su u taqkama = kπ, k Z. tg nije definisana u taqkama = π + kπ, k Z. f je monotono rastua na intervalima ( π + kπ, π + kπ), k Z. f() = ctg : (kπ, π + kπ) R, k Z 4 Π 5 -Π Π Π 5 4 D f = (kπ, π + kπ), k Z. ctg je neograniqena. Funkcija je neparna i periodiqna sa periodom π. f() > 0 za (kπ, π + kπ), k Z, a f() < 0 za ( π + kπ, kπ), k Z.. Nule funkcije su u taqkama = π + kπ, k Z. ctg nije definisana u taqkama = kπ, k Z. f je monotono opdadajua na intervalima (kπ, π + kπ), k Z. Formule:. Osnovne formule: sin + cos = tg = sin cos ctg = cos sin. ADICIONE FORMULE: cos( + ) = cos cos sin sin sin( + ) = sin cos + cos sin tg + tg tg( + ) = tg tg ctg ctg ctg( + ) = ctg + ctg

12 3. Rastav a e zbira u proizvod: sin + sin = sin + cos sin sin = sin cos + cos + cos = cos + cos cos cos = sin + sin 4. Svoe e proizvoda na sumu: sin sin = [cos( ) cos( + )] sin cos = [sin( + ) + sin( )] cos cos = [cos( + ) + cos( )] 5. Formule dvostukog ugla: sin = sin cos cos() = cos sin 6. Transformacije kvadrata: sin = ( cos()) cos = ( + cos()) 7. Izraava e trigonometrijskih funkcija preko tangensa polovine ugla tg sin = + tg tg cos = + tg

13 6 Inverzne trigonometrijske funkcije Funkcija f () = sin nema inverznu funkciju, jer nije bijekcija (na primer, svi brojevi oblika π + kπ, k Z slikaju se ovom funkcijom u broj, i postav a se pita e kako inverznom funkcijom da idemo nazad). Meutim, posmatrajmo restirkciju funkcije sin na [ π, π ], tj. funkciju: f() = sin : [ π, π ] [, ] Ona jeste bijekcija, pa postoji ena inverzna: F () = arcsin : [, ] [ π, π ] f()=arcsin() Prema svojstvima uzajamno inverznih funkcija vae jednakosti: D F = [, ]. arcsin(sin ) = za [ π, π ] i sin(arcsin ) = za [, ] arcsin je neparna, tj. vai arcsin( ) = arcsin, [, ]. F () > 0 za (0, ], F () < 0 za [, 0), a nula funkcije F je = 0. F je monotono rastua. Inverzna funkcija funkcije f() = cos : [0, π] [, ] je F () = arccos : [, ] [0, π] 3 f()=arccos() Vae jednakosti: D F = [, ]. arccos(cos ) = za [0, π] i cos(arccos ) = za [, ] arccos nije ni parna ni neparna, ve vai arccos( ) = π arccos, [, ]. Dokaz: Oznaqimo arccos = α. Tada je cos α =, 0 α π. Onda je 0 π α π a po adicionoj formuli je cos(π α) = cos α =. Time je po definiciji funkcije arccos, π α = arccos( ). Time je formula dokazana. F () > 0 za [, ), a nula funkcije F je =. 3

14 F je monotono opadajua. Vai da je arcsin + arccos = π. Dokaz: Oznaqimo arcsin = α. Tada je sin α =, π α π. Onda je 0 π α π a po adicionoj formuli je cos( π α) = sin α =. Time je po definiciji funkcije arccos, π α = arccos(). Time je formula dokazana. Inverzna funkcija funkcije f() = tg : [ π, π ] R je F () = arctg : R [ π, π ] f()=arctg() Vae jednakosti: arctg(tg ) = za [ π, π ] i tg(arctg ) = za R D F = R. arctg je neparna, tj. vai arctg( ) = arctg, R. F () > 0 za > 0, F () < 0 za < 0, a nula funkcije F je = 0. F je monotono rastua. Inverzna funkcija funkcije f() = ctg : [0, π] R je f() = arcctg : R [0, π] f()=arcctg() Vae jednakosti: arcctg(ctg ) = za [0, π] i ctg(arcctg ) = za R D F = R. arcctg nije ni parna ni neparna, ve vai arctg( ) = arctg() + π. F () > 0 za svako R i nema nule. F je monotono opadajua. 4