TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
|
|
- ŌÁĒ Φωτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg 7π cos π ctg π 4 4 Ako je tg + ctg =, koliko je sin + cos? 5 Dokaži identitet: sin + cos sin 4 + cos 4 + = 0 Riješi nejednadžbu: cos 0, 5 [0, π] I Odredi na brojevnoj kružnici točku Et,akoje cost =,sint > 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je cos = a + a? Izračunaj: cos π tg 4ctg7π 4 sin 9π 4 Ako je tg + ctg =, koliko je tg + ctg? 5 Dokaži identitet: cos 4 t cos = sin t + tg t, t t k π, k Z Na intervalu [ π, 0] riješi nejednadžbu sin TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
2 I U brojevnu kružnicu r = upisan je pravilni peterokut ABCDE,takodaje A, 0 Kojem luku kružnice, što spaja dva susjedna vrha peterokuta, pripada točka: E, E 5, E0, E? Ako je tg = ctg, π, π, koliko je sin? Izračunaj: 4 Dokaži identitet: sin 7π 5 Riješi u skupu R jednadžbu tg π + cos 4 9π ctg 5π ctg + + ctg = sin, kπ, k Z sin + sin = 0 4 Provjeri da je kπ, k Z, k 0, period funkcije f =sin 4 + sin I4 Bez uporabe tablica ili računala, odgovori što je veće: sin ili sin, cos ili cos? Ako je sin t + cos t =,sin t + cos t =,prikaži kao funkciju od Izračunaj: cos 9π tg 7π sin 4π ctg 9π 4 Dokaži identitet: sin 4 cos 4 cos 4 = tg, k π, k Z 5 Riješi jednadžbu: cos cos = 0 + Odredi temeljni period funkciji f = cos + cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
3 Izračunaj: cos 0π I5 sin 5π tg π ctg π 4 Koliko je tg,akoje cos = 5 7, π, 7π Skrati razlomak sin 4 + cos 4 sin + cos 4 Ako je sin + cos = p, koliko je sin 4 + cos 4? 5 Riješi jednadžbu sin sin = cos Na intervalu [0, π] riješi sustav nejednadžbi sin < icos > Izračunaj: cos 7π I ctg 5π sin π tg 77π 4 Koliko je sin,akoje cos = 5 7,ctg < 0? Pojednostavi: sin tg + cos ctg 4 Riješi jednadžbu cos cos = sin 5 Ako je sin + cos =, koliko je tg + ctg? Riješi na intervalu [0, π] sustav nejednadžbi sin > icos < TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
4 I7 Koliko je sin,akoje ctg = 5, π, 0? Dokaži identitet tg + cos ctg + + sin sin = + cos Što je veće sincos ili cossin,akoje = 4π? sin cos 4 Ako je sin cos = 5 8sin cos, [0,, koliko je ctg? 5 Na intervalu [0, π] riješi nejednadžbu: sin > cos Koliko rješenja ima jednadžba sin π = log? Izračunaj vrijednost izraza + cos sin I8 + cos sin ako je cos = 08, π, π Dokaži identitet: sin cos ctg cos = sin cos sin + cos Koliko rješenja na intervalu π, 5π ima jednadžba 4 cos = + sin? 4 Dokaži da je π period funkcije f =cos + sin Jeliπ temeljni period ove funkcije? 5 Riješi na intervalu [0, π] nejednadžbu: sin + cos < 0 Prikaži grafički funkcije: f =sin, g = cos 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
5 I9 Izračunaj vrijednost izraza sin + cos + + cos,akoje = 0π sin Ako je ctg = sin + cos 5, koliko je cos sin? Pojednostavi razlomak sin cos sin + cos sin sin 4 Riješi nejednadžbu 5 sin < 0 5 Odredi temeljni period funkcije f =sin + 5cos 4 Za koje vrijednosti realnog parametra t polinom f =4 8 sin t + prima pozitivne vrijednosti za svaki R? I0 Ako je sin cos = sin cos, koliko je cos, [5, ]? Dokaži identitet sin + ctg +cos + tg =sin + cos Riješi jednadžbu tg sin =ctg cos,na [0, π] 4 Riješi nejednadžbu cos 0 > 0 5 Odredi sve vrijednosti realnih parametara a i b za koje je funkcija f = a cos + b sin neparna Prikaži grafički funkcije f =sin, g = cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 5
6 Koliko je Pojednostavi: I sin 4 + cos 4,akoje ctg = 05? [ + cos ] + : + cos sin sin Izračunaj log sin π + log cos π 4 Odredi najmanji pozitivni period funkcije f = cos π 5 Da li funkcija f =cossin na intervalu [ π, 0] raste ili pada? Prikaži grafički funkciju f = cos I Prikaži na brojevnoj kružnici rješenja sustava < sin t Dokaži identitet: + tg + tg + ctg + ctg = tg Je li funkcija f = + sin cos + parna ili neparna? 4 Riješi jednadžbu: = sin 5 Da li funkcija f =sincos na intervalu [π, π ] raste ili pada? Prikaži grafički funkciju f = cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
7 I Konstruiraj na brojevnoj kružnici točku Et kojoj pripada realni broj t za kojega je tg t =,cost < 0 Koliko je sin π, ako je ctg = 40 9, π < < π? Dokaži identitet: tg sin = tg sin, k π, k Z 4 sin + cos Ako je tg =, koliko je cos sin? 5 Dokaži da za sve, 0, π vrijedi tg + ctg Prikaži grafički funkciju f = cos + π I4 Konstruiraj na brojevnoj kružnici točku Et kojoj pripada realni broj t za kojega je ctg t =,sint < 0 Koliko je ctg π,akoje cos = 4 9, π < < π? Dokaži identitet: ctg cos = ctg cos, kπ, k Z 4 Ako je sin = tg + ctg 5, koliko je tg ctg? 5 Dokaži da za sve realne brojeve, k π, k Z, vrijedi nejednakost tg + ctg Prikaži grafički funkciju f = sin π TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 7
8 I5 Prikaži na brojevnoj kružnici skup rješenja nejednadžbe sin > Koliko je tg π +,akoje sin = 7 5, π < < π? Dokaži identitet: sin cos = sin cos + sin cos 4 Dokaži da je + sin sin sin + sin = tg, ako je π < < π 5 Koje sve vrijednosti prima funkcija f = sin π + sin π ako je π < < π? Prikaži grafički funkciju f = cos [ π] I Prikaži na brojevnoj kružnici skup rješenja nejednadžbe cos Koliko je cosπ, ako je sin = 08, π < < π? Dokaži identitet: 4 Dokaži da je sin + cos = sin + cos sin cos cos + cos + cos cos = ctg, ako je π < < π 5 Koje sve vrijednosti prima funkcija f = cos π + cos π + ako je π < < π? Prikaži grafički funkciju f =sin[ + π] 8 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
9 Izračunaj: sin 77π cos 58π I7 Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je tg Dokaži identitet: tg sin tg + sin tg sin =, k π, k Z tg sin 4 Ako je cos t = 7 5, t 4π, 7π, koliko je tg t? sin + tg 5 Razlomak uvijek je pozitivan, za svaku vrijednost realnog broja cos + ctg za koji je cos + ctg 0 Dokaži ovu tvrdnju Odredi temeljni period funkcije f =sin π + cos π Izračunaj: sin 4π cos 55π I8 Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je ctg Dokaži identitet: + tg = + ctg, k π, k Z 4 Ako je ctg t = 7 4, t 7π, π, koliko je sin t? 5 Ako je = sin α + cos α, = sin α cos α,prikaži kao funkciju od Odredi temeljni period funkcije f =cos π + sin π TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 9
10 Koliko je sin π tg 5π I9 cos 40π ctg 7π Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je tg Dokaži identitet: tg + cos ctg + + sin? sin = + cos 4 Izračunaj tg 9π, ako znaš daje cos π = + sin cos 5 Pojednostavni sin ctg cos, ako je π < < π Odredi temeljni period funkcije f =cos π π sin 4 Koliko je cos π I0 tg π sin π ctg 7π? Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je ctg Dokaži identitet: sin cos tg + cos = sin + cos sin ctg 4 Izračunaj ctg 9π 8,akoje sinπ 8 = 5 Pojednostavni cos sin,akoje π < < 5π 4 Odredi temeljni period funkcije f =tg π + ctg π 0 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
11 I Ako je ctg = tg, π, 5π, koliko je sin? Dokaži identitet: sin + + cos + = 7 + tg + ctg sin cos Ako je cos t = 7 5, t 4π, 7π, koliko je tg t? 4 Pojednostavni: sin π + t ctgt π + sin t ctg t π 5 Ako je sin + cos =, koliko je tg + ctg? Odredi na brojevnoj kružnici skup točaka kojima pridruženi realni brojevi zadovoljavaju nejednakost sin cos < 0 I Ako je tg = ctg, 4π, 7π, koliko je cos? Dokaži identitet: tg + ctg tg + ctg + = tg tg + Ako je ctg t = 4 7, π, koliko je sin t? 4 Pojednostavni: [sin π α+sinπ + α] +[cosπ α cos π α] 5 Ako je tg + ctg = 4, koliko je sin + cos? Odredi na brojevnoj kružnici skup točaka kojima pridruženi realni brojevi zadovoljavaju nejednakost cos + sin > 0 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
12 I - E _ t Točkajenakružnici u III kvadrantu, te je sin t = za t = 7π + kπ, uz uvjet cos t < 0 Funkcija f =sin je omedena, - sin Stoga valja riješiti nejednadžbu a, odnosno a Ova je nejednadžba ekvivalentna sustavu a ili a,što daje rješenje a 0 ili a Redom: sin π ctg = sin π = sin π + 0π = sin π = sin π =, tg 7π = tg π + 5π = tg π = tg π =, cos π = cos π + 4π = cos π π 4 = cos π =, = ctg π 4 = ctg π4 + 5π = ctg π 4 = Sada je = 4 Najprije imamo iz tg + ctg =, sin cos + cos sin = sin + cos sin cos = sin cos = Zatim, sin + cos = sin + cos sin cos = sin cos = 9 5 Primijeti kako je te slično, sin + cos =sin + cos sin cos sin + cos = sin cos, sin 4 + cos 4 =sin + cos sin cos = sin cos Uvrštavanjem, izravno se dokazuje identitet Iz sustava cos i5 > 0 dobivamo, π ], a iz sustava cos i 5 < 0,, 5π ] Rješenje nejednadžbe je svaki,, π ], 5π ] Vidi sliku E t I - _ a, 0] 4 = 4 tg + ctg = 8 [ π, 5π ], [ π, 0] TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
13 I I Vidi sliku C B = 8 7 A sin cos D E 4 = π + kπ, k Z 5 8 E BC, E 5 BC, E0 CD, E EA sin = + 5 = 5 ili = kπ, k Z =0 π, 7π I7 I4 sin > sin, cos> cos = + = 0 5 = ili =k π, k Z P = π sincos 4π < cossin 4π 4 ctg = 5 π 4, 5π 4 Jednadžba ima 4 rješenja Vidi sliku I5 = + 4 tg = 4 7 p 4 + p = π + kπ, k Z 4π, π TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
14 sin = 0 8rješenja I8 4 Da, π je temeljni period funkcije 5 π, 5π j sin, 0, sin = sin, < 0 5 P = 8 π Pretpostavimo da je P, P > 0period od f, tj da za svaki R vrijedi sin + P+5cos 4 + P = sin + 5cos 4 Uvrstimo li za vrijednost nepoznanice = 0 i = P, dobit ćemo sustav sin 5P + 5cos075P = 5 sin 5P + 5cos075P = 5 iz kojeg slijedi cos 4 P = ili P = 8nπ, n Z \{0} Za n = imamo P = 8π, temeljni period Iz D < 0 slijedi sin t < π + kπ, π + kπ, k Z, te je t j cos, cos 0, cos = cos, cos < 0 = π 4 ili = 7π 4 4, 5 5 a = 0, b R sin I0 I9 π π π π - sin = sin 4π + ctg ctg = 9 = 4 = 4 Primijeti kako je sin 0, za svaki R Stoga je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi 5 < 0 uz uvjet sin Odatle je,, π cos - π π 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
15 I I 50 7 Vidi sliku E t 4 P 0 = 5 Raste f = sin - _ 5 π - _π I _ π _ π _ π sin π = cos = 9 4 tg sin = sin sin cos cos = sin4 sin = tg sin 4 Nakon dijeljenja brojnika i nazivnika danog razlomka s cos dobije se + tg tg = 5 Primjenom nejednakosti aritmetičke i geometrijske sredine dvaju pozitivnih brojeva a i b a+b a b imamo: tg +ctg tg ctg = Temeljni je period P 0 = π, nultočke su brojevi π + k π, k Z I4 _ 7π 4π 5π _ π Vidi sliku Neparna 4 Primijeti kako je,zasve R Samo za = 0 vrijedi 0 =,ali sin0= 0 Jednadžba nema rješenja 5 Raste f = sin E t ctg π = ctgπ =ctg = 4 7 ctg cos = cos sin cos = cos sin sin = cos4 sin = ctg cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 5
16 4 tg + ctg tg ctg = sin cos = sin = Vidi rješenje zadatka 5 u prethodnoj zadaći Možemo pisati: f = sin π = cos Temeljni je period P 0 = π, nultočke su brojevi 0 = π + k π, k Z Vidi sliku I _ π 4 I5 Vidi sliku tg π Iz sin > slijedi sin < ili sin > + = ctg = 4 7 sin cos + sin cos sin cos + sin cos = = sin cos + sin cos 4 Lijeva strana jednakosti jednaka je sin cos = + sin + sin cos + sin cos = tg 5 f = sin + cos = cos + cos = cos Skup vrijednosti funkcije f jeinterval, f = cosπ π = cos π Temeljni je period funkcije P 0 =, nultočke su brojevi 0 = k +, k Z Iz cos slijedi cos, odnosno cos cosπ = cos = 0 sin + cos sin cos sin + cos sin cos = = sin + cos sin cos 4 Lijeva strana jednakosti jednaka je + cos sin = cos cos sin cos sin = ctg 5 f = cos + sin = sin + sin = sin Područje vrijednosti funkcije f je interval, f =sinπ + π = sinπ Temeljni je period P 0 =, nultočke su brojevi 0 = k, k Z I7 sin 77π = sin 5π + π = sin 5π =, cos 58π 58π = cos = cos 4π + 8π = cos 4π = ; konačno, = 4 Iz tg slijedi tg Vidi sliku TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
17 Identitet je ekvivalentan sa tg sin = tg sin Lijeva strana ove jednakosti jednaka je sin cos sin = sin cos cos = tg sin 4 tg t = tg t = Uoči da dani razlomak možemo zapisati u obliku sin + cos cos + sin Neka je P temeljni period funkcije sin π,a P temeljni period funkcije cos π tada je P =, P =, te je P P = Konačno je period od f jednak P = P = P = _ - _ + tg = + tg + tg = zamijeni tg = ctg = + ctg 4 sin t = sin t = p + ctg t = = Neka je P temeljni period funkcije cos π, a P temeljni period funkcije sin π Tada je P = 4, P =, te je P P = Konačno je period od f jednak P = P = P = I9 sin π =, tg 5π =, cos 40π =, ctg 7π = Konačni rezultat je Iz tg Vidi sliku slijedi tg ili tg _ I8 - _ sin 4π sin 4π = 4π = sin = sin 4π + 4π =, cos 55π = cos 7π + 8π = cos 7π = i konačno, = 4 Iz ctg slijedi ctg ili ctg Vidi sliku Lijeva je strana jednakosti jednaka: sin + sin + cos cos + cos + sin cos + sin sin + cos + sin = cos + sin + cos sin + cos = sin cos 4 tg 9π = tg π = s cos 4 5 sin sin = sin cos sin = sin + cos = sin sin Neka je P temeljni period funkcije cos π 4, a P temeljni period funkcije sin π Tada je P = 8, P =, te je P P = 4 Konačno je period od f jednak P = P = 4P = 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 7
18 I0 cos π =,tgπ =,sin π = 7π,ctg = Konačni rezultat je Iz ctg slijedi ctg ili ctg Vidi sliku tg t = tg t = sin t + cos t 5 tg + ctg = sin cos = 8 5 Iz sin < cos imamo: za cos > 0, tg <, za cos < 0, tg > Lijeva je strana jednakosti jednaka: sin sin cos + cos cos sin = sin cos sin cos = sin + cos 4 ctg 9π 8 = ctg 5π 8 + π =ctg 5π 8 = ctg π + π 8 = tg π 8 = 5 s cos cos cos = sin = sin Neka je P temeljni period funkcije tg π,a P temeljni period funkcije ctg π Tada je P =, P =, te je period od f jednak P = I I Iz tg = ctg slijedi tg =, te je cos =cos = Na lijevoj strani imamo redom: tg + tg tg + tg + = tg tg + = «tg tg + sin t = sin t = cos α sin α cos α + sin α = 5 sin + cos = ± Iz cos > sin imamo: za sin > 0, ctg >, za sin < 0, ctg < - Iz ctg = tg slijedi ctg =, te je sin = sin = Nakon kvadriranja na lijevoj strani dobit ćemo sin + cos sin + cos = ctg + + tg = 7 + tg + ctg 8 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραPeriodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb
Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPOPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *
POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske. funkcije realnog broja
1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani... 3. Definicija trigonometrijskih funkcija............... 9. Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija............ 13
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραI. dio. Zadaci za ponavljanje
I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα