APROKSIMACIJA FUNKCIJA
|
|
|
- Ιάνθη Καραμήτσος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46
2 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
3 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
4 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
5 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
6 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? Normirani linearni prostor funkcija definisanih na datom skupu A (npr. A može biti kompaktan interval [a,b], kružnica T, itd.) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
7 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? Normirani linearni prostor funkcija definisanih na datom skupu A (npr. A može biti kompaktan interval [a,b], kružnica T, itd.) X može biti prostor neprekidnih funkcija C[a,b], APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
8 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu funkciju φ iz nekog malog podskupa Φ X, tako da φ bude bliska funkciji f u nekom smislu. Kažemo da φ aproksimira f, tj. f φ φ je aproksimacija ili aproksimant za f Šta je je veliki prostor X? Normirani linearni prostor funkcija definisanih na datom skupu A (npr. A može biti kompaktan interval [a,b], kružnica T, itd.) X može biti prostor neprekidnih funkcija C[a,b], prostor L p (a,b), ili neki drugi Banachov prostor. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.2/46
9 C[a,b]: f = max a x b f(t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
10 C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
11 C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
12 C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] L (a,b): f = sup a x b f(t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
13 C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] L (a,b): f = sup a x b f(t) Rastojanje izme du f i φ se meri sa f φ. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
14 C[a,b]: f = max a x b f(t) L p (a,b), 1 p < +, { ( b 1/p } L p (a,b) = f : f p = f(t) dt) p < + a Opštije L p µ(a,b), sa merom dµ [dµ(t) umesto dt] L (a,b): f = sup a x b f(t) Rastojanje izme du f i φ se meri sa f φ. Rastojanje izme du f i podskupa Φ je E(f) = inf φ Φ f φ (greška najbolje aproksimacije) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.3/46
15 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
16 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
17 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
18 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
19 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
20 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! Najbolja aproksimacija nije uvek jedinstvena APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
21 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! Najbolja aproksimacija nije uvek jedinstvena U striktno normiranim prostorima najbolja aproksimacija je jednistvena! APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
22 Ako postoji element φ Φ takav da je E(f) = min φ Φ f φ = f φ kažemo da je φ najbolja aproksimacija. Egzistencija i jedinstvenost elementa φ Algoritmi za nalaženje elementa φ Ako je Φ konačno dimenzionalni potprostor od X, tada f X postoji najbolja aproksimacija! Najbolja aproksimacija nije uvek jedinstvena U striktno normiranim prostorima najbolja aproksimacija je jednistvena! f + g = f + g f = αg (α R) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.4/46
23 Kako birati mali podskup Φ X? APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
24 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
25 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
26 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
27 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
28 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
29 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
30 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
31 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije eksponencijalne funkcije, itd. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
32 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije eksponencijalne funkcije, itd. Podskup Φ je skup svih linearnih kombinacija (lineal) konačnog broja (posebno odabranih) linearno nezavisnih elementa iz X. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
33 Kako birati mali podskup Φ X? Koji su to pogodni konstruktivni elementi? algebarski polinomi trigonometrijski polinomi Müntzovi polinomi splajnovi talasići (wavelets) racionalne funkcije eksponencijalne funkcije, itd. Podskup Φ je skup svih linearnih kombinacija (lineal) konačnog broja (posebno odabranih) linearno nezavisnih elementa iz X. Tipični primeri Φ = P n ili Φ = T n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.5/46
34 P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
35 P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 dim P n = n + 1; Prirodni bazis {1,t,...,t n } APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
36 P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 dim P n = n + 1; Prirodni bazis {1,t,...,t n } T n je skup svih trigonometrijskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = t n (t) = a 0 + (a k coskt+b k sinkt) (a k,b k R) k=0 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
37 P n je skup svih algebarskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = p n (t) = a k t k (a k R) k=0 dim P n = n + 1; Prirodni bazis {1,t,...,t n } T n je skup svih trigonometrijskih polinoma stepena ne višeg od n, n φ(t) = t n (t) = a 0 + (a k coskt+b k sinkt) (a k,b k R) k=0 dim T n = 2n + 1; Trigonometrijski bazis {1, cos t, sint,...,cos nt, sin nt} APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.6/46
38 Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
39 Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
40 Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. 2 Svaki polinom p n P n (t n T n ) može se jedinstveno interpolirati u n + 1 (2n + 1) tačaka. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
41 Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. 2 Svaki polinom p n P n (t n T n ) može se jedinstveno interpolirati u n + 1 (2n + 1) tačaka. Weierstrass (1885): APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
42 Dve osobine polinoma su esencijalne u teoriji aproksimacija: 1 Svaka realna neprekidna funkcija f na konačnom intervalu [a,b] može se uniformno aproksimirati algebarskim (trigonometrijskim) polinomima. 2 Svaki polinom p n P n (t n T n ) može se jedinstveno interpolirati u n + 1 (2n + 1) tačaka. Weierstrass (1885): Teorema. Za svako f C[a,b] i svako ε > 0 postoji algebarski polinom p takav da da je f(t) p(t) < ε (a t b). APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.7/46
43 f(t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.8/46
44 f(t), f(x) ε, f(x) + ε APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.9/46
45 f(t), f(x) ε, f(x) + ε, p 1 (t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.10/46
46 f(t), f(x) ε, f(x) + ε, p 2 (t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.11/46
47 f(t), f(x) ε, f(x) + ε, p 1 (t), p 2 (t) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.12/46
48 Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
49 Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi Neka je E n (f) = min p P n f p [a,b]. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
50 Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi Neka je Tada je E n (f) = min p P n f p [a,b]. lim n E n(f) = 0, f C[a,b]. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
51 Weierstrassova teorema u terminima najbolje aproksimacije u uniformnoj normi Neka je Tada je E n (f) = min p P n f p [a,b]. lim n E n(f) = 0, f C[a,b]. Skup polinoma je svuda gust u C[a,b]. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.13/46
52 Interpolacija? Konstrukcija novih podataka u opsegu datih podataka APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.14/46
53 Interpolacija? Konstrukcija novih podataka u opsegu datih podataka čitanje izme du redova APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.14/46
54 Interpolacija? Konstrukcija novih podataka u opsegu datih podataka čitanje izme du redova Analitički izraz konstruktivni elementi APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.14/46
55 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.15/46
56 Podaci APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.16/46
57 Deo-po-deo konstanta (Splajn nultog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.17/46
58 Deo-po-deo konstanta (Splajn nultog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.17/46
59 Linearna interpolacija (Splajn prvog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.18/46
60 Linearna interpolacija (Splajn prvog stepena) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.18/46
61 Polinomska interpolacija APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.19/46
62 Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
63 Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
64 Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n Ekvidistantni čvorovi: x k = 1 + 2(k 1) n 1 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
65 Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n 2(k 1) Ekvidistantni čvorovi: x k = 1 + n 1 (2k 1)π Čebiševljevi čvorovi: x k = cos 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
66 Interpolacija (Rungeov primer) f(x) = (x/a) 2, x [ 1, 1], a = 2/11 Interpolacioni čvorovi: x k, k = 1, 2,...,n 2(k 1) Ekvidistantni čvorovi: x k = 1 + n 1 (2k 1)π Čebiševljevi čvorovi: x k = cos 2n Nule Čebiševljevih polinoma T n (x) = cos(n arccos x), 1 x 1 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.20/46
67 Interpolacija (Runge-ov primer) y = f(x) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.21/46
68 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.22/46
69 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.23/46
70 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.24/46
71 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.25/46
72 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.26/46
73 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.27/46
74 n = x k = 1 + 2(k 1) n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.28/46
75 y = f(x) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.29/46
76 y = f(x) Interpolacioni polinom za n = 3, 5, 9, 17 APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.29/46
77 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.30/46
78 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.31/46
79 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.32/46
80 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.33/46
81 n = divergencija konvergencija divergencija APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.33/46
82 y = f(x) APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.34/46
83 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.35/46
84 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.36/46
85 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.37/46
86 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.38/46
87 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.39/46
88 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.40/46
89 n = x k = cos (2k 1)π 2n APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.41/46
90 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.42/46
91 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.43/46
92 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.44/46
93 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.45/46
94 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.46/46
95 n = APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.47/46
96 n = Konvergencija za svako x [ 1, 1] APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.47/46
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Algebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
ELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka
Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Aproksimacija. Desanka Radunović NUMERIČKE METODE. 4. Talasići Srednjekvadratna aproksimacija Fourier-ova analiza 13
Desanka Radunović NUMERIČKE METODE Aproksimacija. Srednjekvadratna aproksimacija. Metoda najmanjih kvadrata 8 3. Fourier-ova analiza 3 4. Talasići 3 5. Ravnomerna aproksimacija 38 Aproksimacija u HILBERTOVOM
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Tatjana Vuković. Univerzitet u Beogradu Fizički Fakultet
OSNOVI MATEMATIČKE FIZIKE Tatjana Vuković Saša Dmitrović Univerzitet u Beogradu Fizički Fakultet OSNOVI MATEMATIČKE FIZIKE elektronsko izdanje Autori: Prof. dr TatjanaVuković Doc. dr Saša Dmitrović Izdavač:
MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju