Potencija taqke. Duxan uki
|
|
- Βηθεσδά Αλιβιζάτος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo sredixte duжi B, imamo B = (D DB)(D +DB) = D DB = O OD DB = O r, gde je r = OB polupreqnik kruga r. Definicija. Proizvod P,k = B = O r je potencija taqke u odnosu na krug k. Duжi B i smatramo orijentisanim, tj. proizvod B je pozitivan ako su B i istog smera, a negativan u suprotnom. Specijalno, potencija taqke P u odnosu na krug k je pozitivna za P van kruga, negativna za P unutar kruga, i nula za P na krugu. ko su B i D dve prave kroz taqku P, gde su,b,,d taqke na krugu, onda su orijentisani proizvodi P PB i P PD jednaki. Vaжi i drugi smer: T.1. ko se prave B i D seku u taqki P i vaжi P PB = P PD, gde su duжi orijentisane, onda taqke,b,,d leжe na istom krugu. Dokaz. Neka krug B seqe pravu BD u taqkama B i D. Tada iz P PD = P PB = P PD sledi PD = PD kao orijentisane duжi, dakle D D. Geometrijsko mesto taqaka potencije p u odnosu na krug k je krug sa centrom O i polupreqnikom r +p, pod pretpostavkom da je p r. Krug polupreqnika nula je taqka. Zadatak 1. Dva kruga k i l se seku u taqkama i B i dodiruju pravu p u taqkama i D redom. Dokazati da prava B polovi duж D. Rexenje. Neka B seqe D u taqki M. Potencija taqke M u odnosu na oba kruga je jednaka M MB, dakle M = M MB = MD. Prirodno se postavlja pitanje koje taqke u ravni imaju jednake potencije u odnosu na date krugove k 1 (O 1,r 1 ) i k (O,r ). Neka je P taqka u ravni. Tada je P P,k1 P P,k = (O 1 P r 1) (O P r ) = O 1 P O P (r 1 r ) = O 1P P O (r 1 r ) = O 1O (O 1 P O 1 O ) (r 1 r ), gde je P podnoжje normale iz P na O 1 O. To znaqi da razlika P P,k1 P P,k zavisi samo od taqke P. Drugim reqima, za dato d, geometrijsko mesto taqaka P za koje je P P,k1 P P,k = d je prava normalna na O 1 O. Specijalno, za d = 0 imamo: T.. Sve taqke sa jednakom potencijom u odnosu na dva nekoncentriqna kruga k 1 i k pripadaju istoj pravoj, koja je normalna na O 1 O. Definicija. Radikalna osa dva nekoncentriqna kruga k 1 i k je prava qije sve taqke imaju jednaku potenciju u odnosu na oba kruga. Jedna od posledica je da sredixta qetiri zajedniqke tangente na dva data disjunktna kruga leжe na radikalnoj osi, xto je opxtije od tvrđenja u zadatku 1. ko se krugovi k 1 i k seku (ili dodiruju), njihova radikalna osa je određena njihovom zajedniqkom tetivom (odnosno tangentom). T.3. Neka su k 1,k,k 3 krugovi koji su nekoncentriqni u parovima. Radikalne ose krugova k 1 i k, k i k 3, i k 3 i k 1 pripadaju istom pramenu, tj. seku se u jednoj taqki ili su paralelne ili se poklapaju. 1
2 Dokaz. Presek radikalnih osa (k 1,k ) i (k,k 3 ), ako postoji, ima jednaku potenciju u odnosu na sva tri kruga, pa zato pripada i tre oj radikalnoj osi (k 3,k 1 ). B B T k k 1 k r 3 r 1 r 13 B k 3 O P,k = B = B = T R r ij = radikalna osa k i,k j ; R = radikalni centar Definicija. ko se radikalne ose tri kruga seku u jednoj taqki, ta taqka je radikalni centar tih krugova. Posledica. ko se tri kruga seku, njihove tri zajedniqke tetive su konkurentne. Slede e pomo no tvrđenje je qesto korisno, npr. u zadacima u kojima se pokazuje da xest taqaka, po dve na svakoj stranici trougla, pripadaju istom krugu. T.4. Dat je trougao B. Taqke 1, na stranici B, B 1,B na i 1, na B su takve da su po qetiri taqke ( 1,,B 1,B ), (B 1,B, 1, ) i ( 1,, 1, ) koncikliqne. Tada svih xest taqaka leжe na istom krugu. Dokaz. Oznaqimo krugove B 1 B 1, 1 1 i 1 B 1 B redom sa k a,k b i k c. ko se ovi krugovi ne poklapaju, radikalne ose parova krugova (k b,k c ), (k c,k a ) i (k a,k b ) su prave 1, B 1 B i 1, redom. li radikalne ose pripadaju istom pramenu, a sa ove tri prave to oqigledno nije sluqaj - kontradikcija. Dakle, krugovi moraju da se poklapaju. Zadatak. U oxtrouglom trouglu B, taqke H a,h b,h c su podnoжja normala iz ortocentra H na B,,B redom. Dokazati da su ortogonalne projekcije taqaka H a na B i, H b na B i B, i H c na i B koncikliqne. Rexenje. Oznaqimo sa H ab i H ac projekcije H a na i B redom; analogno oznaqavamo H ba,h bc,h ca,h cb. Pokaжimo da taqke H ab,h cb,h ac,h bc pripadaju nekom krugu k a. Treba dokazati da je H ab H cb = H ac H bc. Sve qetiri duжine se jednostavno izraqunavaju, pa dobijamo H ab H cb = H ac H bc = H H a cosαsinβsinγ. nalogno, taqke H ac,h bc,h ba,h ca leжe na nekom krugu k b, a taqke H ba,h ca,h ab,h cb na krugu k c. Po teoremi 4, krugovi k a,k b i k c se poklapaju. Neka su dati krugovi k 1 (O 1,r 1 ) i k (O,r ) sa O 1 O. Posmatrajmo krug k(o,r) koji seqe k 1 i k pod pravim uglom (tj. ortogonalan je na njih), pri qemu seqe k 1 u 1 i B 1, a k u i B. Ugao O 1 O 1 je prav, pa je r = OO 1 r 1 = P O,k1 ; analogno je i P O,k = r, xto znaqi da O leжi na radikalnoj osi krugova k 1 i k. T.5. Geometrijsko mesto centara krugova ortogonalnih na date krugove k 1,k je radikalna osa k 1 i k. Posledica. ko centri tri kruga ne leжe na istoj pravoj, postoji taqno jedan krug ortogonalan na sva tri kruga, i njegov centar je radikalni centar ovih krugova. Ve smo stekli neku predstavu o upotrebnoj vrednosti pojma potencije taqke. Naravno, kao i uvek, mo aparata zavisi i od naxe kreativnosti pri njegovoj upotrebi.
3 Zadatak 3. (Brijanxonova teorema) Dokazati da se u tangentnom xestouglu BDEF dijagonale D,BE i F seku u jednoj taqki. Rexenje. Neka upisani krug dodiruje prave B,B,D,DE,EF,F redom u P,Q,R,S,T,U. Odaberimo taqke P,Q,R,S,T,U redom k a T U na polupravim PB,QB,RD,SD,TF,UF F k e tako da je PP = QQ = RR = SS = TT = U UU T = m. Posmatrajmo sada krugove k a, Q E O k c,k e takve da k a dodiruje prave EF i B P S R u T i Q redom; k c dodiruje B i DE u Q P i S B redom; i k e dodiruje D i F u R D R i U redom. Taqke i D imaju jednake potencije u odnosu na k c i k e jer je P P = P + m = k c S U +m = U i DS = m DS = m DR = DR ; zato je D radikalna osa krugova k c i k e. nalogno je BE radikalna osa k e,k a, a F radikalna osa k a,k c. Prave D, BE,F se onda seku u radikalnom centru krugova k a,k c,k e. Zadaci 1. Upisani krug trougla B deli teжixnu duж M na tri dela tako da su dva dela van kruga iste duжine. Dokazati da je jedna stranica trougla dvaput duжa od druge.. U oxtrouglom trouglu B taqka H je ortocentar. Krug kroz H sa centrom u sredixtu stranice B seqe pravu B u 1 i. Sliqno, krug kroz H sa centrom u sredixtu seqe u B 1 i B, a krug kroz H sa centrom u sredixtu B seqe B u 1 i. Dokazati da taqke 1,,B 1,B, 1, leжe na istom krugu. (MMO 008.1) 3. Dva kruga u ravni se seku u X i Y. Dokazati da postoje qetiri taqke P,Q,R,S sa slede im svojstvom: za svaki krug koji dodiruje date krugove u i B i seqe pravu XY u i D, svaka od pravih,d,b,bd prolazi kroz jednu od taqaka P,Q,R,S. 4. U trouglu B,,B i su podnoжja visina iz,b i redom. Prave B i B seku se u X, prave i u Y, a B i B u Z. Dokazati da taqke X,Y i Z leжe na pravoj, i da je ta prava normalna na Ojlerovu pravu trougla B. 5. Krug k sa centrom O upisan je u konveksan qetvorougao BD i dodiruje stranice B,B,D i D redom u taqkama K,L,M i N. Prave KL i MN se seku u taqki S. Dokazati da je OS BD. 6. Među qetiri taqke,b,,d, nikoje tri nisu kolinearne. Prave B i D seku se u E, a prave B i D u F. Dokazati da krugovi nad preqnicima,bd i EF ili svi imaju zajedniqku taqku, ili nikoja dva nemaju. 7. Taqke P i Q unutar trougla B su takve da je P = QB i PB = QB. a) Dokazati da podnoжja normala iz P i Q na stranice trougla leжe na krugu. b) Neka su D i E podnoжja normala iz P na prave B i, a F podnoжje normale iz Q na B. Prave DE i B se seku u taqki M. Dokazati da je MP F. 8. U trouglu B sa najkra om stranicom B, taqke P i Q na stranicama B i redom su takve da je PB = QB = B. Dokazati da centar O opisanog kruga trougla P Q leжi na simetrali stranice B. 9. Taqke P i Q na stranici B konveksnog qetvorougla BD su takve da je P = QB. Taqka X D je taqka preseka krugova PD i DQB, a Y taqka preseka krugova P i QB. Dokazati da su taqke,d,x i Y na istom krugu. 3
4 10. U oxtrouglom trouglu B, taqke D,E i F su podnoжja visina iz,b,, redom. Prava kroz D paralelna sa EF seqe prave i B u Q i R, redom. Prava EF seqe B u P. Dokazati da krug opisan oko PQR prolazi kroz sredixte duжi B. 11. Upisani krug trougla B dodiruje stranice B i u taqkama Z i Y, redom. Prave BY i Z se seku u taqki G. Taqke R i S su takve da su BYR i BSZ paralelogrami. Dokazati da je GR = GS. 1. Neka je B trougao u kome je B = 90 i D podnoжje visine iz temena. Taqka X pripada unutraxnjosti duжi D. Odaberimo taqku K duжi X tako da je BK = B, i taqku L duжi BX tako da je L =. Prave L i BK seku se u taqki M. Dokazati da je MK = ML. (MMO 01.5) 13. Stranice D i B konveksnog qetvorougla BD nisu paralelne. Neka se krugovi nad preqnicima B i D seku u taqkama E i F unutar qetvorougla. Krug ω E prolazi kroz podnoжja normala iz E na prave B,B,D, a ω F prolazi kroz podnoжja normala iz F na D,D,B. Dokazati da prava kroz dve preseqne taqke ω E i ω F sadrжi sredixte duжi EF. 14. Neka su I i O redom centri upisanog i opisanog kruga trougla B. Neka je ω a krug kroz B i koji dodiruje upisani krug trougla B; sliqno se definixu krugovi ω b i ω c. Krugovi ω b i ω c seku se u taqki razliqitoj od ; sliqno se definixu taqke B i. Dokazati da se prave, BB i seku u taqki na pravoj IO. Rexenja 1. Oznaqimo B = a, = b i B = c, gde je bez smanjenja opxtosti b > c. Neka su X i Y preseqne taqke upisanog kruga i M, uz raspored X Y, i neka upisani krug k dodiruje B u P i u Q. Po uslovu zadatka je X = YM i otuda Y = XM, pa je P,k = Q = X Y = MX MY = MP, dakle b+c a = Q = MP = b c, pa je a = c.. Oznaqimo sa,b, redom sredixta B, i B. Tada je 1 = ( 1 )( + 1 ) = b 4 H i analogno B 1 B = a 4 B H. Kako je H B, imamo H B H = B = b 4 a 4, odakle sledi 1 B 1 B = b a 4 ( H B H ) = 0, dakle 1,,B 1 i B leжe na nekom krugu k c. nalogno, taqke B 1,B, 1, su na nekom krugu k a, a taqke 1,, 1, na krugu k b. Po T.4, svih xest taqaka su na istom krugu. 3. Oznaqimo date krugove sa k 1,k, i krug kroz,b,,d sa k 3. Smatra emo da je k 3 Q unutar k 1 i k ; drugi sluqaj je analogan. Neka i D seku k 1 u taqkama k 1 P X k P i R, i B i BD seku k u Q i S, redom. Pokaza emo da su PQ i RS zajed- B niqke tangente krugova k 1 i k, tako da k su P,Q,R,S traжene taqke. Krugovi k 1 i 3 D k 3 se dodiruju, pa je D RP. Kako vaжi P = X Y = B Q, qetvorougao R Y S BQP je tetivan, pa je PQ = BQ = D = RP jednaki. Sledi da PQ dodiruje k 1. Sliqno, PQ dodiruje i k. 4. Taqke B,,B, su na krugu, pa je XB X = XB X, dakle X pripada radikalnoj osi opisanog kruga k trougla B i njegovog Ojlerovog kruga k e (opisanog oko 1 B 1 1 ). nalogno, Y i Z pripadaju radikalnoj osi k i k e. Ta radikalna osa je normalna na pravu kroz centre krugova k i k e, a to je Ojlerova prava. 4
5 5. Podnoжje normale P iz O na BD pripada krugu k 1 nad preqnikom OB i k nad preqnikom OD. Radikalne ose parova krugova (k,k 1 ) i (k,k ) su prave KL i MN redom, pa je radikalni centar taqka S. Sledi da S pripada i radikalnoj osi krugova k 1 i k, a to je prava OP. 6. Neka je H ortocentar i,d,e podnoжja visina iz,d,e redom u trouglu DE. Taqke,D,,D su na krugu, taqke,e,,e takođe, pa je H H = HD HD = HE HE. Krug k nad preqnikom prolazi kroz, pa je P H,k = H H. Sliqno dobijamo da H ima istu potenciju u odnosu na k BD i k EF. nalogno, svaki od ortocentara trouglova BE, BF i DF ima jednaku potenciju u odnosu na k,k BD i k EF, i ne poklapaju se svi, dakle ova tri kruga imaju zajedniqku radikalnu osu (koja sadrжi sva qetiri ortocentra), odakle sledi tvrđenje. 7. Neka je G podnoжje normale iz P na B, a H,I podnoжja normala iz Q na B i redom. Qetvorouglovi EPG i FQI su sliqni, pa vaжi EG = FI, dakle taqke E,F,G,I su koncikliqne. nalogno, taqke D,E,I,H su koncikliqne, kao i taqke D,H,F,G. Po T.4, sve taqke D,E, K D F,G,H,I su na krugu. E Neka su K i L centri krugova DPE i Q P PFG. Kako je MD ME = MF MG, prava L MP je radikalna osa ova dva kruga, i M G F B zato je normalna na pravu KL koja spaja njihove centre. Kako su K i L sredixta duжi P i PF, prave KL i F su paralelne, odakle sledi MP F. 8. Po uslovu zadatka, trouglovi BP i B su sliqni, odakle je B = BP B, xto je potencija taqke B u odnosu na krug PQ, a ta potencija je jednaka OB r, gde je r polupreqnik kruga PQ. Sledi da je OB = B +r. nalogno je O = B +r, dakle OB = O. 9. Primetimo da je DX radikalna osa krugova DP i QDB. Poxto taqka K preseka DX i B pripada toj radikalnoj osi, vaжi KP K = KQ KB. Zbog uslova P = QB, odavde dobijamo da je K sredixte B. nalogno, i prava Y prolazi kroz K. Sledi da je KX KD = KP K = KQ KB = KY K, dakle,d,x,y su na krugu. 10. Neka je B >. Taqka D pripada duжima MP i QR, pa e tvrđenje zadatka slediti ako pokaжemo da je DM DP = DQ DR, gde je M sredixte B. Trouglovi B,EF,QR su sliqni, pa su taqke B,,Q,R na krugu, odakle je DB D = DQ DR. Ostaje da pokaжemo da je DB D = DM DP. Taqke E,F,D,M su na Ojlerovom krugu, B,,E,F su takođe na krugu, pa vaжi PB P = PE PF = PD PM. Oznaqimo PB = x i P = y. Tada je PM = x+y i odatle PD = xy x(x y) y(x y) x+y. Sledi da je DB = PB PD = x+y, D = x+y direktno dobijamo DB D = DM DP = xy(x y) (x+y), xto nam je i trebalo. i DM = (x y) (x+y), pa 11. Posmatrajmo pripisani krug k a preko puta temena. Neka je upisani krug k i k a redom dodiruju B u taqkama X i X a. Oznaqimo sa Z a i Y a taqke dodira k a sa B i. Tada je ZZ a = ZB + BZ a = BX + BX a = BX+X = B = ZS, jer je BX a = R Y S Z X. S druge strane, Y a = X a = BX = BZ = S. Taqku S moжemo da smatramo G za degenirisani krug sa centrom S i polupreqnikom 0. Taqke Z i leжe na ra- X a X B dikalnoj osi krugova S i k a. nalogno, B k a Y a i Y leжe na radikalnoj osi k a i R. Sledi da je G radikalni centar k a, R i S, pa je Z a GS = GR. 5
6 1. Posmatrajmo krugove k 1 (,) i k (B,B). Neka X ponovo seqe k u K, a BX ponovo seqe k 1 u L, i neka se k 1 i k seku u i. Na osnovu potencije taqke X u odnosu na k 1 i k sledi XL XL = X X = XK XK, pa taqke K,K,L,L pripadaju istom krugu, recimo k 3. Kako je B = 90, dodiruje k i B dodiruje k 1, pa na osnovu potencije taqke u odnosu na k sledi L = = K K, tj. L dodiruje k 3 u L. nalogno, BK dodiruje k 3 u K. Sledi da su MK i ML tangentne duжi iz taqke M na k 3, pa je MK = ML. 13. Oznaqimo sa E a,e b,e c i E d podnoжja normala iz E redom na prave B,B, D,D, a sa E b i E d preseqne taqke EE b sa D i EE d sa B, redom. Svih xest taqaka E a, E b,e c,e d,e b,e d leжe na krugu ω E(E a E b E c ). Zaista, E a E b E c + E c E d E a = E a E b E + EE b E c + E c E d E+ EE d E a = E a BE+ EE c + E c DE+ EE a = = 180, pa E d leжi na ω E, a osim toga je E d E de a = EE a = BEE a = BE b E a, pa je i E d (i analogno E b ) na ω E. nalogno definisane taqke F a,f b,f c,f d,f b,f d su na krugu ω F. Neka se prave EE d i FF b seku u U, a EE b i FF d u V. Taqke E d,e d,f b,f b su na krugu jer je E d E df b = F b F be d = 90, a potencija taqke U u odnosu na taj krug je UE d UE d = UF b UF b, xto znaqi da je U na radikalnoj osi ω E i ω F. nalogno je i V na toj radikalnoj osi, a prava UV polovi EF jer je EUFV paralelogram, pa tvrđenje zadatka sledi. 14. Neka upisani krug γ trougla B dodiruje B,,B u 1,B 1, 1 redom, i dodiruje ω u X a. Homotetija sa centrom X a koja M b l slika γ u ω takođe slika 1 u taqku M a a na ω u kojoj je tangenta paralelna B, M c X a l c xto znaqi da je M sredixte luka B B 1 kruga ω koji ne sadrжi X a. Sledi da je M a X a B = M a B i otuda M a B 1 l b 1 K M a X a B. Odavde je M a B I O = M a 1 M a X a, pa M a pripada radikalnoj osi l b krugova γ B i γ. nalogno, M a je na radikalnoj osi l krugova i γ. Sliqno uvodimo taqke B 1 X b,x c,m b,m c i pravu l a ; prave l a,l b,l c leжe duж stranica trougla M a M b M c. Prave l a i B 1 1 su paralelne jer su obe ω a normalne na I; sliqno je l b 1 1 i l c 1 B 1. Sledi da je M a M b M c slika M a trougla 1 B 1 1 pri nekoj homotetiji Θ. Neka je K centar Θ i k = MaK = M bk 1K B = McK 1K 1K koeficijent sliqnosti. Prave M a 1,M b B 1,M c 1 se seku u K. Kako su 1,B 1, X a,x b na krugu, vaжi 1 K KX a = B 1 K KX b ; mnoжenjem sa k dobijamo M a K KX a = M b K KX b, pa taqka K leжi na radikalnoj osi krugova ω i ω B. Sliqno, prave i BB sadrжe K. Neka Θ slika I u O. Taqka O je na pravoj kroz M a paralelnoj sa 1 I (i normalnoj na B); kako je M a sredixte luka B, ta prava se poklapa sa M a O. Sliqno, O leжi na pravoj M b O, pa je O O, dakle taqke I,K i O su kolinearne. Beograd, 01 6
Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike 10.12.2005. Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija Milivoje Luki
odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραi l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama
NASTAVA MATEMATIKE U SREDNjIM XKOLAMA Sinixa Gavrilovi GEOMETRIJSKA MESTA TAQAKA U PROSTORU Po I. F. Xariginu, geometrija je mo no sredstvo u razvitku liqnosti u najxirem pogledu. Ona razvija osobine liqnosti
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραKombinatorna geometrija verzija 1.7.1:
Kombinatorna geometrija verzija 1.7.1: 16.10.016. Duxan uki Granica između kombinatorne geometrije i geometrije, odnosno kombinatorike, qesto je zamrljana. Pod kombinatornom geometrijom obiqno podrazumevamo
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDNjIH XKOLA, 19.0201 Prvi razred, A kategorija Da li postoje prirodni brojevi a, b, c takvi da je 2010 = (a + b) (b + c) (c + a)? U ravni su date kruжnice k 1 i k 2 i prava p koja seqe k 1 u
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραDvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:
Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
8.201 Prvi razred A kategorija Aca, Branka, Vera i Goran su od nastavnika matematike dobili zadatak da izraqunaju koliqnik dva pozitivna realna broja, i to: Aca da izraquna a 1 : a 2, Branka da izraquna
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
20201 Prvi razred A kategorija Na krakovima AC i BC jednakokrakog trougla ABC date su taqke M i N, redom, tako da je CM + CN = AC. Dokazati da sredixte duжi M N pripada sredƭoj liniji tog trougla koja
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραREXENjA ZADATAKA OKRUЖNOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
REXENj ZDTK OKRUЖNOG TKIQENjENj IZ TETIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 8.0.009. Prvi razred, kategorija. naliza. Kakoje N 90, sledi da kruжnica nad kao preqnikom sadrжi i N. Konstrukcija. ko su i N simetriqne u odnosu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 2005/2006.
DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 005/006. Beograd VrƬaqka BaƬa 006 Organizaciju takmiqeƭa su pomogli: ORGANIZACIONI ODBOR 48. REPUBLIQKOG TAKMIQEƫA IZ MATEMATIKE.. 3. 4.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 20201 Prvi razred, A kategorija Neka je E sredixte stranice CD kvadrata ABCD. Ako normala u taqki D na dijagonalu BD seqe pravu AE u taqki F, dokazati da su taqke B, C i F kolinearne.
Διαβάστε περισσότεραTALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 10201 Prvi razred, A kategorija Neka je K taqka simetriqna ortocentru H trougla ABC u odnosu na sredixte stranice BC. Dokazati da je AK preqnik opisane kruжnice trougla ABC. Dati
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα