Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Transcript

1 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB i BCA sa naspramnim stranicama, a S centar upisanog kruga tog trougla. Dokazati da je SD = SE. Odrediti sve funkcije f : R R takve da za svako realno x vaжi f(x + 1) x f(x) + Dat je skup S = {1, 2,..., 20}. Koliko najvixe elemenata moжe imati njegov podskup A sa slede im svojstvom: ako x A, onda 2x A? Na rukometnom turniru, svaka ekipa je odigrala po jednu utakmicu sa svakom od preostalih ekipa. Za pobedu se dobijaju 2 poena, za poraz 0, a za nerexen rezultat svaka ekipa dobija po 1 poen. Tri najbolje plasirane ekipe imale su 7, 5 i 3 poena. Koliko je na turniru uqestvovalo ekipa i koliko je poena imala poslednjeplasirana od njih? (Ako dve ekipe imaju jednak broj poena, mesto se određuje na osnovu razlike broja datih i primljenih golova.)

2 Drugi razred A kategorija Dati su realni brojevi x i y takvi da je x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = 200 Koliko je xy (1 + x 2 )(1 + y 2 )? Date su kvadratne jednaqine x a x 1a = 0, x2 + 6 a x a = 0. Odrediti sve vrednosti realnog parametra a za koje su sva qetiri korena ovih dveju jednaqina realna i međusobno razliqita, i pri tome se taqno jedan koren prve jednaqine nalazi između korena druge. Dat je kvadrat ABCD. Neka je F sredixte stranice AD, a L taqka na duжi BC takva da je BL : LC = 1 : Dijagonala BD seqe duжi AL i CF u taqkama P i Q redom. Dokazati da su trouglovi BLP i DQF sliqni. Neka su a, b, c duжine stranica trougla, α, β, γ odgovaraju i uglovi, a S povrxina trougla ABC. Dokazati da vaжi jednakost: a 2 (sin 2β + sin 2γ) + b 2 (sin 2α + sin 2γ) + c 2 (sin 2α + sin 2β) = 12S. Na i cele brojeve a i b tako da vaжi ( 1+ 1+i ) ( ( ) )( 2 ( ) 2 2) ( ( 1+i 1+i 1+i ) ) ( = (1+i) a+ b ) (i je imaginarna jedinica: i 2 = )

3 Tre i razred A kategorija Miljan voli xestocifrene brojve kod kojih je zbir prve tri cifre jednak zbiru poslednje tri, a Mladen one kod kojih je zbir cifara na neparnim mestima jednak zbiru cifara na parnim mestima. Koliko ima xestocifrenih brojeva koje vole i Miljan i Mladen? Rexiti nejednaqinu log x 12 4x 4 x U oxtrouglom trouglu ABC, P i Q su podnoжja visina iz temena A i C redom. Povrxine trouglova ABC i BP Q su 18 i 2 redom, a P Q = 2 Na i polupreqnik kruga opisanog oko ABC. Za koje vrednosti realnog parametra p jednaqina (x p) 2 (p(x p) 2 p 1) = 1 ima vixe pozitivnih nego negativnih rexenja? Dokazati da ne postoje prirodni brojevi a, b, c, d takvi da je a a + b b + c c = d d.

4 Qetvrti razred A kategorija Neka je A konaqan podskup skupa prirodnih broejva koji sadrжi vixe od sedam elemenata. Najmanji zajedniqki sadrжalac svih brojeva iz A je 210. U skupu A nema parova uzajamno prostih brojeva, a proizvod svih njegovih elemenata je deljiv sa 1920 i nije kvadrat nekog prirodnog broja. Odrediti skup A. Dat je pravougli trougao ABC ( C = 90 ) i taqke D, E na stranici BC takve da je BAD = DAE = EAC. Ako je BD = 2CE, izraqunati uglove trougla ABC. Na paraboli y 2 = 2x na i taqku najbliжu taqki (1, 4). Dat je trapez ABCD sa osnovicama AD = a i BC = b, a > b. Neka su B 1 i C 1 sredixta njegovih dijagonala. U qetvorouglu AB 1 C 1 D opet uoqimo sredixta dijagonala - taqke B 2 i C 2. Ovaj postupak nastavljamo, i u n-tom koraku oznaqimo sa B n i C n sredixta dijagonala qetvoroougla AB n 1 C n 1 D. a) Na i duжinu duжi B n C n. b) Izraqunati lim n B n C n. v) Kakav treba da bude trapez ABCD da bi sve duжi B n C n bile međusobno jednake? Dokazati da ne postoje prirodni brojevi a, b, c, d takvi da je a a + b b + c c = d d.

5 Prvi razred B kategorija U jednom odeljenju ima 30 uqenika. Na takmiqenju iz matematike uqestvuje njih 24, na takmiqenju iz fizike 22 i na takmiqenju iz informatike 20 uqenika. Dokazati da bar 6 uqenika uqestvuje na sva tri takmiqenja. Data je funkcija f : R R. Za svako x R, x 0, x 1 vaжi ( ) ( ) x x 1 f 2f = 2002x. x 1 x Izraqunati f(2). Ako je n neparan ceo broj, dokazati da je n(n ) deljivo sa 2 Koliko ima parova trocifrenih brojeva qiji je proizvod napisan samo ciframa 3? Na rukometnom turniru, svaka ekipa je odigrala po jednu utakmicu sa svakom od preostalih ekipa. Za pobedu se dobijaju 2 poena, za poraz 0, a za nerexen rezultat svaka ekipa dobija po 1 poen. Tri najbolje plasirane ekipe imale su 7, 5 i 3 poena. Koliko je na turniru uqestvovalo ekipa i koliko je poena imala poslednjeplasirana od njih? (Ako dve ekipe imaju jednak broj poena, mesto se određuje na osnovu razlike broja datih i primljenih golova.)

6 Drugi razred B kategorija Da li je broj ( ) racionalan? Obrazloжiti odgovor. Data je nejednaqina x 2 + ax 1 < 0. Odrediti sve vrednosti realnog parametra a takve da skup rexenja te nejednaqine bude interval duжine Dati su pozitivni brojevi a, b, c. Dokazati da ne mogu istovremeno biti ispunjene sve tri nejednakosti a(1 b) > 1 4, b(1 c) > 1 4, c(1 a) > 1 4. Na i sve kompleksne brojeve z za koje vaжi z = z 3. Neka je ABCD tetivni qetvorougao qije se dijagonale seku u taqki S pod pravim uglom. Ako je H podnoжje normale iz S na AD, a X presek pravih SH i BC, dokazati da je taqka X sredixte duжi BC.

7 Tre i razred B kategorija Miljan voli xestocifrene brojve kod kojih je zbir prve tri cifre jednak zbiru poslednje tri, a Mladen one kod kojih je zbir cifara na neparnim mestima jednak zbiru cifara na parnim mestima. Koliko ima xestocifrenih brojeva koje vole i Miljan i Mladen? Rexiti nejednaqinu log x 12 4x 4 x Rexiti jednaqinu sin x sin x sin x = 0. Izraqunati zapreminu trostrane piramide ako je jedna njena ivica duжine 4 cm, a sve ostale duжine 3 cm. Xta je ve e: arcsin(sin 10) ili arcctg(ctg( 3))? Obrazloжiti odgovor.

8 Qetvrti razred B kategorija { ( ) } z 6i Neka je S = z C Re = 0. Dokazati da postoji kruжnica k u z + 8 racni kompleksnih brojeva takva da je S k. Da li je S = k? Rexiti nejednaqinu log x 12 4x 4 x Na paraboli y 2 = 2x na i taqku najbliжu taqki (1, 4). Odrediti konstante a, b, c tako da za svaki prirodan broj n vaжi n 5 n = a + bn + c 16 5 n. Izraqunati lim n ( n n (n + 1) ).