POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
|
|
- Μαριάμ Άλκηστις Οικονόμου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za svako a R vaжi: a) P (a) + P ( a) = ; b) P ( + a) + P ( a) = 6 + 6a ; v) Q(a) Q( a) = 0; g) Q( + a) Q( a) = 8a ; d) R(a) R( a) = a ; đ) R( + a) + R( a) =.. Za polinom P (x) = x x odrediti polinom Q(x) = P (x ) + P (x) + P (x + ).. Odrediti zbir P (x) + Q(x), razliku P (x) Q(x), proizvod P (x) Q(x) i linearnu kombinaciju ap (x) + bq(x) polinoma P (x) i Q(x) ako je dato: a) P (x) = x x +, Q(x) = x, a =, b = b) P (x) = x x +, Q(x) = x + x, a =, b = v) P (x) = x 6 x, Q(x) = x 5 + 4x, a =, b = g) P (x) = x + x x, Q(x) = x 4 + x + x + x +, a =, b =. 4. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x): a) P (x) = (x x + ) 998 (x x + ) 0, b) P (x) = (x x + ) (x 6x + ) 999, v) P (x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540, g) P (x) = (x + x + ) 00 (x x + ) Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima za koji je ispunjeno P () = i P (5) = Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P () P (7) prost broj. 7. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima. Dokazati da je za svako a Z i svako b N izraz P (a + b) + P (a b) ceo broj. 8. Neka su dati polinomi P (x) = x + x x + x 99 + x 00 i Q(x) = + x + x + x + + x 99 + x 00 i neka je P (x) Q(x) = (c 0, c,..., c 00 ). Dokazati da u prizvodu P (x) Q(x) nema qlanova sa neparnim eksponentom, tj. da su svi c k = 0, (k =,,..., 00). 9. U kojem od polinoma P (x) = ( + x x ) 000 i Q(x) = ( x + x ) 000 je koeficijent uz x 0 ve i? (x b)(x v) (x c)(x a) (x a)(x b) 0. Dokazati identitete: a) a + b + c (a b)(a v) (b c)(b a) (c a)(c b) = x ; (x a)(x b)(x v) (x b)(x c)(x g) (x a)(x c)(x g) (x a)(x b)(x g) b) (d a)(d b)(d v) (a b)(a c)(a g) (b a)(b c)(b g) (c a)(c b)(c g) =.. Odrediti polinom drugog stepena P (x) = a x + a x + a 0 takav da je: a) P () = 6, P () =, P ( ) = 8; b) P () = 4, P (0) =, P () = 9; v) P () =, P ( ) = 8, P (0) =.. Dokazati: ako polinom P, n tog stepena uzima vrednost nula za n + razliqitih vrednosti x C, tada je P nula polinom.. Dokazati: ako su P i Q polinomi n tog stepena i postoje kompleksni, međusobno razliqiti brojevi x 0, x,..., x n takvi da vaжi P (x i ) = Q(x i ) (za i = 0,,..., n), tada je P = Q. 4. a) Polinom P (x) = x x + 4x + razvijte po potencijama od x. b) Polinom P (x) = x 4 5x + 5x + x + razvijte po potencijama od x. v) Polinom P (x) = x 5 + x 4 x + x + razvijte po potencijama od x Odrediti polinom P (x) ako je a) P (x + ) = x + x + ; b) P ( x + ) = x x + ; v) P (x ) = x 6x + x Polinom P (x) = x 4 + x + ax + x + b je kvarat nekog polinoma Q(x), tj. vaжi P (x) = Q(x). Odrediti a, b i polinom Q(x). 7. P je polinom qetvrtog stepena takav da je P () = P ( ) i P () = P ( ). Dokazati da je tada P : R R parna funkcija, tj da vaжi P (x) = P ( x)( x R). 8. Odrediti polinom P qetvrtog stepena za koji je P (x) = P ( x). 9. Dat je polinom P (x) = x 4 +x +x +x+. Dokazati da ne postoji polinom Q takav da vaжi P (x) = (Q Q)(x), gde je sa oznaqena kompozicija funkcija. 0. Za linearni polinom (tj. polinom oblika P (x) = ax + b, a, b K) P (x) = x + odrediti sve linearne polinome Q za koje vaжi = (P Q)(x) = (Q P )(x). Za takve polinome kaжemo da komutiraju.. Dokazati da ne postoji polinom P prvog stepena koji komutira sa polinomom Q(x) = x.. a) Odrediti polinome P i Q za koje vaжi: P (x) Q(x) = (P Q)(x)( x); b) Odrediti polinom P za koji vaжi: P (x) P (x) = (P P )(x)( x).. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x) = (x 5 + x ) 999 uz qlanove sa neparnim izloжiocima (stepenima). 4. Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a, gde su a, b, c tri razliqita cela broja.
2 Deljivost polinoma. Hornerova xema. Euklidov algoritam. Bezuov stav.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x + x + x + polinomom x.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 5 + x 4 + x + x + polinomom T (x) = x +, ako su to polinomi nad poljem GF ().. Odrediti a, b R tako da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 4 x ax + b polinomom x + jednak, a polinomom x jednak. 4. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom x je, a polinomom x je P (x) deljiv. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) sa T (x) = x 5x + 6? 5. Ako polinom pri deljenju polinomom x a daje ostatak r a, a pri deljenju polinomom x b daje ostatak r b, koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom T (x) = (x a)(x b)? 6. Da li je polinom P (x) = (x + x ) n + (x x + ) n deljiv polinomom Q(x) = x x? 7. Za koje n je polinom P (x) = (x ) n + (x ) n deljiv polinomom Q(x) = x x +? 8. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = x + ax 5x + b bude deljiv polinomom Q(x) = x x. 9. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 00 + x 99 + x x + 9 polinomom Q(x) = x + x. 0. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + x je R(x) = x +. Odrediti ostatak pri deljenju P (x) sa x +.. Polinom P (x) = x + ax + bx + c deljiv je sa Q(x) = x x +, a pri deljenju sa T (x) daje ostatak 4. Odrediti koeficijente a, b i c.. Koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = 00 x x x + polinomom a) Q(x) = x + ; b) Q(x) = x ; v) Q(x) = x x?. Polinom P (x) pri deljenju polinomom x + daje ostatak 4, a pri deljenju polinomom x + ostatak R(x) = x +. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) polinomom Q(x) = x + x + x +? 4. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x 4 +x + ako P (x) pri deljenju polinomom T (x) = x +x+ daje ostatak R (x) = x+, a pri deljenju polinomom T (x) = x x+ daje ostatak R (x) = x Da li je polinom P (x) = x 4n x 4n 4 + x 4n x deljiv polinom Q(x) = x 4? 6. Ako je polinom P (x) = x n + a x n +... a n x + a n deljiv sa x, onda je deljiv i sa x. Dokazati. 7. Zbir svih koeficijenata polinoma P (x) jednak je, a zbir koeficijenata na parnim mestima jednak je. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x. 8. Ako polinomi P ip nisu deljivi polinomom Q, mogu li njihov zbir P + P, proizvod P P i kompozicija P P biti deljivi sa Q? Ako je mogu e dati i primer, a ako nije dokazati da ne moжe. 9. Dokazati: ako polinom P (x) sa celobrojnim koeficijentima za x =,,, 4 uzima istu vrednost p, gde je p prost broj, onda ni za koji ceo broj a ne moжe biti P (a) = p. 0. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 6x 4 7x + ax + x + bude deljiv polinomom Q(x) = x x + b.. Dokazati da polinom P (x) = x 6 + x + a nije deljiv Q(x) = x + x + a ni za jedno a R.. Korix enjem Hornerove xeme prevesti u dekadni sistem slede e brojeve: a) (0000) ; b) (0) ; v) () 5.. Primenom Hornerove xeme razviti polinom P (x) po potencijama (stepenima) od x a ako je dato: a) P (x) = x x + 4x +, a = ; b) P (x) = x 4 + x 4x + 6x 5, a = ; v) P (x) = x 5 x + 6x 8x 4, a =. 4. Ako su polinomi P (x) i Q(x) takvi da je deg P = n >, deg Q = m >, onda postoje polinomi S(x) (stepena najvixe n ) i T (x) (stepena najvixe m ), takvi da vaжi: P (x)s(x) + Q(x)T (x) = 0 ako i samo ako P i Q nisu uzajamno prosti (tj. NZD(P, Q) ). 5. Odrediti polinome S i T, tako da vaжi P S +QT = NZD(P, Q): a) P (x) = x x +x+, Q(x) = x x+; b) P (x) = x 4 + x x 6x, Q(x) = x x + x + ; v) P (x) = x 5 x 4 + x x 4, Q(x) = x 4 + x + x Za P (x) = nx n+ (n + )x n +, Q(x) = x n nx + n, n N odrediti NZD(P, Q). 7. Dokazati da su polinomi P (x) = nx n + (n )x n x + i Q(x) = x n + x n (n )x + (n ) uzajamno prosti za svako n N, n. 8. Da li je polinom P (x) = nx n+ ( + np)x n + (p )(x n + x n x) = p deljiv polinomom Q(x) = x (p + )x + p, gde je n prirodan, a p realan broj? Posebno ispitati sluqaj kada je p =. 9. Dokazati da je polinom P n+ (x) = (x + a + b) n+ x n+ a n+ b n+ deljiv polinomom P (x). Zatim rexiti jednaqinu P 5 (x) = 0.
3 Nule polinoma. Celobrojne, racionalne i kompleksne nule. Vietova pravila. Ireducibilni polinomi.. Odrediti vixestrukost nule x polinoma P (x): a) x = P (x) = x 4 9x x + 4x ; b) x = P (x) = x 5 + 5x 4 + 6x 4x 8x; v) x = P (x) = 4x + 8x + 5x +.. Odrediti polinom qetvrtog stepena kome su koreni i, a je dvostruki koren.. Odrediti moniqan polinom qetvrtog stepena P (x) ako je poznato da je x = trostruka nula polinoma P (x), a pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + dobija se ostatak. 4. Odrediti zajedniqke nule polinoma: a) P (x) = x 4 + x + x + x +, Q(x) = x x + x ; b) P (x) = x 4 + 6x + 7x + 4x +, Q(x) = x x x Broj x = a je nula reda k polinoma P i ujedno nula reda l > k polinoma Q. Odrediti vixestrukosti nule x = a polinoma P Q i P + Q. 6. Dat je polinom P (x) = x 4 x + x x +. Neka je α koren jednaqine x x = 0. Izraqunati P (α). 7. Brojevi x = i x = su nule polinoma P, kome je slobodan qlan jednak 4. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x x + x. 8. Koje uslove je potrebno da ispunjavaju prirodan broj n i realan broj a, da bi polinom P (x) = x n ax n + ax bio deljiv polinomom Q(x) = (x )? 9. Odrediti a i b tako da jedan koren polinoma P (x) = x + 6x + ax + b bude, a ostala dva korena da budu uzastopni celi brojevi. 0. Odrediti a i b tako da je jedan koren polinoma P (x) = x + ax + 4x + b jednak, a i razlika preostala dva korena je jednaka.. Odrediti a i b tako da su koreni polinoma P (x) = x + ax + 6x + b tri uzastopna cela broja.. Dokazati da za neparan ceo broj q jednaqina x + x + q = 0 nema celobrojnih rexenja.. Da bi među korenima polinoma P (x) = x + ax + bx + c bila dva suprotna broja, potreban i dovoljan uslov je ab = c. Dokazati. 4. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako su brojevi f(0) i f() neparni. 5. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako nijedan od brojeva f(), f(), f() nije deljiv sa. 6. Polinom P n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima za x = 0,,..., n uzima vrednosti razliqite od nule i po apsolutnoj vrednosti manje od n. Dokazati da P nema celobrojnih nula. 7. Neka je P Z[x] i neka su a i b uzajamno prosti celi brojevi. Ako je P (a) deljiv sa b i P (b) deljiv sa a, dokazati da je tada P (a + b) deljiv sa ab. 8. Ako je broj α nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima, onda je za sve prirodne m i broj m α takođe nula nekog polinoma sa celobrojnim koeficijentima. 9. Ako je x 0 koren jednaqine oblika ax 4 + bx + cx + bx + a = 0, onda je i x koren iste jednaqine. Dokazati. 0. Odrediti a, b i c tako da jedan koren polinoma P (x) = 6x + ax + bx + c bude, a ostala dva korena da budu suprotni racionalni brojevi.. Dokazati da polinom sa celobrojnim koeficijentima P (x) = px 5 (p )x +, gde je p prost broj, nema racionalnih korena.. Odrediti sve proste brojeve p za koje jednaqina px + x + = 0 ima bar jedan racionalan koren.. Odrediti racionalne nule polinoma P (x) = 6x x + 9x. 4. Rastaviti na qinioce polinom P (x) = x 7x + 4x Ako moniqan polinom P sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih nula, tada su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n i prost broj p vaжi da je n p iracionalan broj. 7. Dokazati da ako je p prost broj onda polinom P (x) = x n + x n x + p nema racionalnih korena. 8. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima i neka za tri razliqita cela broja a, b i c vaжi P (a) = P (b) = P (c) =. Dokazati da P nema celobrojnih korena. 9. Dat je realni polinom P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0. Neka su njegove nule x, x,..., x n. Odrediti nule polinoma: a) Q (x) = P (n) (a) x n + P (n ) (a) x n P (a) x + P (a)x + P (a); n! (n )!! b) Q (x) = a n x n a n x n + a n x n... + ( ) n a 0 ; v) Q (x) = a 0 x n + a x n a n x + a n ; g) Q 4 (x) = a n x n + a n bx n + a n b x n a b n x + a 0 b n, gde su a i b dati realni brojevi. 0. Ako polinom P sa celobrojnim koeficijentima uzima vrednost za tri razliqite celobrojne vrednosti, onda P ni za jedan ceo broj ne uzima vrednost. Dokazati.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ), gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.
4 . Dokazati da se polinom P (x) = (x a ) (x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: x P (x ) = (x ) P (x), x R. 5. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: (x ) P (x) = (x ) P (x ), x R. 6. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: P (x) P (x + ) = P (x + x + ), x R. 7. Neka je P (x) = x n + a n x n a x + realan polinom sa nenegativnim koeficijentima, koji ima n realnih korena. Dokazati da je P () n. 8. Niz polinoma P 0 (x), P (x),... zadat je sa P 0 (x) =, P (x) = x, P k+ (x) = x P k+ (x) P k (x)(k = 0,,...). Dokazati da se sve realne nule polinoma P k (x) nalaze u intervalu (, ). 9. Odrediti sve polinome n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima sa osobinom da u n celobrojnih taqaka imaju vrednost n, a u 0 vrednost Polinom P je sedmog stepena i u sedam razliqitih celobrojnih taqaka uzima vrednost ili. Dokazati da se polinom P ne moжe prikazati kao proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Na i realne nule polinoma P (x) = x Odrediti realne faktore polinoma P (x) = x n +, n N. 4. Faktorisati polinom P (x) = x 4 x + x + x Jednaqina x 5 x + x 4 ima kompleksan koren qiji je argument π 4. Odrediti taj koren. 45. Na i sve realne brojeve p i q takve da polinomi P (x) = x + px + 8 i Q(x) = x + qx + imaju dva zajedniqka korena. Odrediti te korene. 46. Sve su nule polinoma P (x) = x + px + q, q 0 realne. Dokazati da je koeficijent p negativan. 47. Na i polinom tre eg stepena sa vode im koeficijentom takav da njegove nule zadovoljavaju jednakosti x + x + x =, x x + x x + x x = 4, x x x = Neka su x, x, x i x 4 koreni jednaqine x 4 + 5x + ax + x + 5 = 0. Odrediti a R tako da bude x x =. 49. Odrediti a i b tako da P (x) = x 4 + ax + bx 8x + 4 ima dve dvostruke nule. 50. Odrediti a tako da P (x) = x 4 x + ax + 6x 4 ima dva korena qiji je proizvod jednak. 5. Rexiti jednaqinu x 4 + x + x + x + 4 = 0 ako se zna da ona ima jedan kompleksan koren qiji je realan deo jednak imaginarnom delu. 5. Koreni polinoma Q(x) = x + x su kompleksni brojevi a i b i realan broj c. Odrediti polinom drugog stepena P za koji je P (c) = c, P (a) = b, P (b) = a i dokazati da je polinom P (P (x)) x deljiv polinomom Q(x). 5. Dokazati da je polinom P (x) = (x + ) 6m+ (x + ) 6n+ + (x + ) 6p+ (m, n, p N 0 ) deljiv polinomom Q(x) = x + x Neka su P, q i r prirodni brojevi. Pod kojim uslovom je polinom P (x) = x p + ax q+ + x r+ deljiv polinomom Q(x) = x + ax + ako je a) a = ; b) a =? 55. Odrediti dovoljan uslov pod kojim je polinom P (x) = x n +...+x+ deljiv polinomom Q(x) = x m +...+x Dat je polinom P (x) = 4x 5 4x 4 + 5x 6x + ax + b, gde je a, b R. Na i sve nule polinoma P ako se zna da je + i jedna nula i da postoji bar jedna racionalna nula. 57. Ako jednaqina x + ax + b = 0 ima racionalne korene p, q i r, dokazati da jednaqina py + qy + r = 0 takođe ima racionalne korene. 58. Odrediti vixestruke nule polinoma P (x) = x + x x. 59. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da zbir dva korena polinoma P (x) = x 4 6x +mx x+6 bude jednak zbiru druga dva korena. 60. Koliko postoji polinoma sa kompleksnim koeficijentima P (x) = x + ax + bx + c qije su nule a, b i c? 6. Poznato je da su nule kompleksnog polinoma P (z) = z n + a n z n + + a z + a 0 kompleksni brojevi α, α,..., α n. Izraqunati proizvod = (α + )(α + )... (α n + ). 6. Dokazati da ni za jedno n N polinom P n (x) = x (n) x (n ) x (n )... + x 4 x + nema realnih nula. 6. Neka su a i b koreni polinoma P (x) = x 4 +x. Dokazati da je ab koren polinoma Q(x) = x 6 +x 4 +x x. 64. Realni polinom P (x) = ax n ax n + c n x n c x n bx + b ima n pozitivnih korena. Dokazati da su svi ti koreni jednaki. 65. Dokazati da je polinom P (x) = x 5 x 4 + 6x x + 9x 6 ireducibilan nad poljem Z. 66. Rastaviti na faktore nad poljem Q polinom P : a) P (x) = x 4 x +x +x 9; b) P (x) = x 4 x +x +x 6; v) P (x) = x 4 + 4x 6x x ; g) P (x) = x 5 + 4x 4 + x x + x Dokazati da su polinomi P (x) = x n ireducibilni nad Q za sve prirodne n. 68. Dokazati da je polinom P (x) = + x + x + + x p ireducibilan nad Q za svaki prost broj p. 69. Na i najmanja tri prirodna broja n za koje je polinom P (x) = + x + x + + x n reducibilan nad Q. 70. Dokazati da je polinom P (x) = x 4 + px + q, p, q Q reducibilan nad Q ako je ispunjen jedan od ova dva uslova: o p 4q je kvadrat racionalnog broja, o q je kvadrat racionalnog broja r, r p je kvadrat racionalnog broja. 7. Pokazati da su polinomi ireducibilni nad Q: a) P (x) = x 4 8x +x 6x+; b) P (x) = x 5 x +6x ; v) P (x) = x 4 x + x + ; g) P (x) = x p px + p, gde je p prost broj. 4
5 4 Analitiqke osobine polinoma. Tejlorov polinom.. Dokazati da polinom P (x) = x 5 + x 0 ima bar jednu iracionalnu nulu.. Rexiti nejednaqinu 6x 7 x +x+ < x.. Odrediti polinom P qetvrtog stepena ako je poznato da je njegov drugi izvod P (x) = x + 6x + 4 i da P (x) P (x). 4. Dokazati da polinom f(x) = + x! + x! + x4! + xn n! nema vixestrukih nula. 5. Ako je a vixestruka nula polinoma P (x), onda je a i vixestruka nula polinoma Q(x) = P (x) + (P (x)). Dokazati. 6. Dokazati da polinom P (x) = x 4x + 7x nema nula u intervalu (0, ). 7. Neka je P polinom stepena n >. Odrediti red nule x = a polinoma Q(x) = (x a)[p (x)+p (a)] P (x)+p (a). 8. Odrediti realan broj a tako da x = bude nula polinoma P (x) = x n ax n+ + (n )x n ax n +, a zatim odrediti red k nule x =. 9. Dokazati da je realan polinom P deljiv svojim izvodnim polinomom, P, ako i samo ako je P (x) = a n (x x 0 ) n, gde su a n, x 0 R. 0. Odrediti polinom sedmog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) 4 P (x) + i (x + ) 4 P (x).. Odrediti polinom qetvrtog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) P (x) 8 i (x + ) P (x) Realni polinom P qetvrtog stepena ima dvostruku nulu x =, a polinom Q(x) = P (x) + 4 ima dvostruku nulu x =. Odrediti polinom P ako je Q(0) =.. Odrediti broj realnih korena jednaqine P (x) = x 4 4x x + a u zavisnosti od realnog parametra a. 4. Neka je an n+ + an n + + a + a 0 = 0. Dokazati da polinom P (x) = a n x n a x + a 0 ima bar jednu nulu na intervalu [0, ]. 5 Racionalne funkcije.. Razloжiti slede e racionalne funkcije na zbir polinoma i prave racionalne funkcije: a) R(x) = x4 x + 4 ; b) R(x) = x 7x + 6 x + x ; v) R(x) = x5 + 5x 4 + 5x + 5x + 5x + x. x +. Predstaviti prave racionalne funkcije u obliku zbira parcijalnih razlomaka: x + a) R(x) = (x )(x )(x ) ; b) R(x) = x x 4x + ; v) R(x) = x x x + 60 ; g) R(x) = x + x + (x ) ; d) R(x) = 5x4 x 5 (x + 5) ; đ) R(x) = x4 + x + x + 5x + 0 (x + ) (x 4) ; e) R(x) = z) R(x) = x + ; i) R(x) = x4 + 0x 45x + x + 58 (x )(x + ) (x x + ) x + x + x x ; ж) R(x) = x + x + x + 7 (x + ) (x + 4) ; ; j) R(x) = x6 + 8x 4 + 7x 7x + 69x 99 (x ) (x + 9). x +. Racionalnu funkciju R(x) = (x + 4x + 5)(x predstaviti kao zbir: a) parcijalnih razlomaka; + ) b) razlomaka qiji su imenioci polinomi prvog stepena. 4. Dokazati da za date realne brojeve A, a, a,..., a n (brojevi a i su međusobno razliqiti) postoje realni A brojevi A, A,..., A n, takvi da vaжi jednakost: (x + a )(x + a )... (x + a n ) = A x + A + a x A n + a x. + a n 5. Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka slede e funkcije: a) (x + 4)(x + ) ; b) a + b + c (x + a )(x + b )(x + c ), gde su a, b, c R i a, b, c međusobno razliqiti brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n vaжi n (x + )(x + )... (x + n) = i= ( n i ) ( ) i, gde je x R \ Z. x + i 5
6 6 Rexenja zadataka, uputstva i rezultati.. Svi identiteti vaжe.. Q(x) = x + x.. a) P + Q = x, P Q = x x +, P Q = x 7x + x, P + Q = 9x x ; b) P + Q = x x, P Q = 4x +, P Q = x 4 x x + 4x, P Q = x 9x + 5; v) P + Q = x 6 +x 5 x +4x, P Q = x 6 x 5 x 4x+, P Q = 6x x 7 6x 6 x +9x, P Q = x 6 6x 5 x 8x+6; g) P + Q = x 4 + x x +, P Q = x 4 x x, P Q = x 7 x 5 x 4 x x x, P Q = x 4 + x 5x + 4x..4 Zbir koeficijenata polinoma P (x) = a n x n a x + a 0 jednak je P () = a n... + a + a 0. Stoga imamo: a) = 04; b) ( ) 999 = 0; v) ( ) 450 ( ) 540 = ; g) = 0..5 Ako je P (x) = a n x n a x + a 0, a i Z, onda je razlika P (5) P () deljiva sa 5 =, jer je P (5) P () = a n (5 n n ) + a n (5 n n ) a (5 ). Kako je P (5) P () = 5, xto nije deljivo sa, to dobijamo da takav polinom ne postoji..6 Na osnovu prethodnog zadatka dobijamo da ako postoji polinom sa celobroj- nim koeficijentima tada je P () P (7) uvek deljivo sa 4, pa ne moжe biti prost broj..7 Pokazati matematiqkom indukcijom ili uz pomo binomnomnog obrasca da je (a + b) k + (a b) k ceo broj za svako prirodno k..8 P (x) (x) = [ + x x 00 x( + x x 98 )] [ + x x 00 + x( + x x 98 )] = ( + x x 00 ) x ( + x x 98 ) i sad je oqigledno da ima samo parne stepene..9 Kako polinom P ( x) ima isti koeficijent kao i polinom P (x) uz x 0 i Q( x) kao i Q(x), problem se svodi na posmatranje polinoma P ( x) = ( + x + x ) 000 i Q( x) = ( x x ) 000. Svi qlanovi u P ( x) su pozitivni i sabiraju se, dok su neki qlanovi u Q( x) sa negativnim predznakom, tako da e se neki qlanovi međusobno pokratiti. Stoga je koeficijent uz x 0 ve i u P ( x) nego u Q( x), tj. ve i je u P (x) nego u Q(x)..0 a) Ako x prebacimo na drugu stranu, dobijamo polinom drugog stepena, koji je nula polinom jer uzima vrednost 0 za tri razliqite vrednosti: x = a, x = b, x = c. b) Prebacimo na drugu stranu i dobijamo polinom P tre eg stepena za koji je P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 0, te je nula polinom.. a) P (x) = x x + 5; b) P (x) = x x + 5; v) P (x) = x x Ako traжimo koeficijente polinoma P dobi emo homogen sistem od n + jednaqina sa n + nepoznatih, qija je determinanta sistema razliqita od nule jer je to Vandermondova determinanta za n + razliqitih vrednosti. Stoga sistem ima jedinstveno rexenje. To je trivijalno rexenje, pa je polinom P nula polinom.. Posmatra se novi polinom P Q i primeni se rezultat prethodnog zadatka..4 a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x ) 4 + (x ) (x ) 7(x ); v) P (x) = (x + ) 5 (x + ) 4 + (x + ) + (x + )..5 a) P (x) = x 4x + 5; b) P (x) = x x + ; v) P (x) = x x + ;.6 a =, b =, P (x) = x + x +..7 Neka je P (x) = ax 4 + bx + cx + dx + e. Iz uslova P () = P ( ) i P () = P ( ) dobijamo sistem b + d = 0, 8b+d = 0, qije je rexenje b = d = 0. Znaqi P (x) = ax 4 +cx +e. Odatle direktno sledi P (x) = P ( x)( x R)..8 Iz P (x) = P ( x) nakon izjednaqavanja koeficijenata i rexavanja homogenog sistema, dobija se P (x) = ax 4 ax + bx + (a b)x + c, a, b, c R, a 0..9 Kada bi postojao Q(x) bi bio polinom drugog stepena Q(x) = ax +bx+c. Odredimo kompoziciju (Q Q)(x) = a(ax + bx + c) + b(ax + bx + c) + c = a x 4 + a bx + (a c + ab + ab)x + (abc + b )x + (ac + bc + c). Izjednaqavanjem koeficijenata dobijamo a =, b =, c = 8 iz koeficijenata najstarija tri qlana, ali to se ne slaжe sa narednim jednaqinama abc + b =, ac + bc + c =, pa ne postoji takav polinom Q..0 Q(x) = ax + a, a R.. Dobije se sistem koji nema rexenja (kao u zadatku.9).. a) Ako je deg P = n, deg Q = m tada mora da vaжi n + m = nm, n, m N 0. Trivijalno rexenje n = m = 0 daje P =, Q = c, c R. Imamo i netrivijalno rexenje ove jednaqine n = m =. Tada su P (x) = ax + bx + c i Q(x) = dx + ex + f. Iz uslova P Q = P Q, kada izjednaqimo koeficijente, dobijamo sistem: ad = ad, ade = ae+bd, ae +df +bd = af +be+cd, aef +be = bf +ce, af +bf +c = cf. Njegovo rexenje je d =, b = ae, f = e, c = 0, tj. traжeni polinomi su P = x + aex, Q = x + ex e, a, e R, a 0. Pored ovih rexenja imamo i rexenje P = 0, Q je proizvoljan polinom. b) Iz a) dobijamo da su rexenja P = Q = x, P = Q = i P = Q = 0. P () P ( ) = Sliqno kao i u zadatku.5 dobijamo a b P (a) P (b) = b c P (b) P (c) = c a P (c) P (a) = a b. Iz ovog niza jednakosti sledi da je a b = ±(b c) i a b = ±(c a). Ako je a b = c b onda je a = c xto daje kontradikciju sa qinjenicom da su brojevi a, b, c razliqiti. Ako je a b = a c onda je b = c xto je opet kontradikcija. Ako je a b = b c i a b = c a onda iz prve jednaqine dobijamo a c = (a b), a iz druge a c = b a odakle je a b = 0, tj. a = b. Kako smo u svim sluqajevima dobili kontradikciju, polazna pretpostavka ne moжe da vaжi, pa ne postoji takav polinom. 6
7 . Koliqnik je Q(x) = x + x + 8, a ostatak je R(x) = 9. Ovaj rezultat moжemo dobiti obiqnim deljenjem polinoma ili primenom Hornerove xeme.. Koliqnik je Q(x) = x + x + x +, a ostatak je R(x) = x +.. Iz jednakosti P (x) = (x + )Q (x) + i P (x) = (x )Q (x) uvrxtanjem x = tj. x = dobijamo sistem + a + b =, 4 a + b =, qija su rexenja a = 4, b =..4 Ostatak je R(x) = x Ostatak je R(x) = x b a b r a + x a b a r b..6 { Po Bezuovom stavu imamo da iz P () = n + n = 0 sledi da x deli P (x). Kako je P (0) = ( ) n + n = 0 za n parno to je za n parno P (x) deljiv sa x, a za n neparno nije. Stoga je i P (x) deljiv polinomom za n neparno Q(x) ako i samo ako je n paran broj..7 Za svako n..8 a =, b =..9 Ostatak je R(x) = 4x Ostatak je r =.. a = 6, b =, c = 6.. a) Na osnovu Bezuovog stava imamo da je ostatak jednak P ( ) = = 0 +. b) Ostatak pri deljenju polinomom Q = x je isti kao i ostatak pri deljenju polinomom Q = x (samo je koliqnik u ovom sluqaju dva puta ve i). Stoga je traжeni ostatak jednak P ( ) = = 0. v) Sliqno kao pod a) i b) ostaci pri deljenju polinoma P sa x i x + jednaki su P () = = 0 i P ( ) = + + =, respektivno. Sada iskoristimo rezultat zadatka.5 i ostatak je R(x) = 0 4 x P (x) = (x + )(x + )Q(x) + ax + bx + c. Odmah imamo da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x + jednak P ( ) = 4 = a b+c. Grupisanjem dobijamo P (x) = (x +)[(x+)q(x)+a]+bx+c a, pa je x+ = bx+c a ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x +. Iz ove dve jednaqine se dobija rexenje a =, b =, c = 9, tj. traжeni ostatak je R(x) = x + x R(x) = x + x + x Stavimo smenu x = y. Imamo da je P (x) = y n y n y i Q (y) = y = (y )(y + ). Iz P ( ) = n 0 sledi da Q (y) ne deli P (y), tj. P (y) nije deljiv sa Q(y)..6 Iz deljivosti polinoma P (x) sa x dobijamo da je P () = 0. Kako je P ( x) = P (x) dobijamo P ( ) = 0, pa je P (x) deljiv i sa x +, tj. deljiv je sa (x )(x + ) = x..7 Iz postavke zadatka imamo da je zbir koeficijenata na parnim mestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mestima, a odatle se dobija P ( ) = 0 i P () =. Sada se iz izraza P (x) = (x )Q(x) + R(x), gde je R(x) = ax + b ili direktnom primenom rezultata zadatka.5 dobija R(x) = x +..8 Mogu e je u sva tri sluqaja: P (x) = x + 5, P (x) = x, Q(x) = x + tada Q P + P. P (x) = x, P (x) = x +, Q(x) = x + x tada Q P + P. P (x) = x +, P (x) = x, Q(x) = x tada Q P (P )..9 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x) p. Kako je Q() = Q() = Q() = Q(4) = 0, to je mogu e Q predstaviti u obliku Q(x) = (x )(x )(x )(x 4)T (x). Ako bi bilo P (a) = p Q(a) = p, tj. imali bismo da broj p dele sva qetiri broja a, a, a i a 4 xto je nemogu e jer su { p,,, p} jedini delioci prostog broja p..0 Zadatak ima dva rexenja: a = 7, b = i a =, b =.. Stavivxi (x + x + a)(x + kx + lx + m) = x 6 + x + a, dobijamo kontradiktoran sistem jednaqina.. a) 09; b) 00; v) 66.. a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x + ) 4 5(x + ) + (x + ) + 6(x + ) 4; v) P (x) = (x ) 5 + 0(x ) (x ) + 59(x ) + 757(x ) a) NZD(P, Q) =, S(x) = x, T (x) = x x + ; b) NZD(P, Q) = x +, S(x) = 8 (x ), T (x) = 8 ( x + x + ); v) NZD(P, Q) = x x +, S(x) = x, T (x) = (x x + )..6 x x +..8 Jeste za svako p..9 Ako je a = b, onda je P n+ = 0. Neka je zato a + b 0. Za n = dobija se da je P (x) = [x +(a+b)x+ab] (a+b) = (a+b)(x+a)(x+b). Dakle nule polinoma P su x = a i x = b. Kako je P n+ ( a) = b n+ + a n+ a n+ b n+ = 0 i P n+ ( b) = a n+ + b n+ a n+ b n+ = 0, vidimo da su x = a i x = b nule i polinoma P n+, pa P (x) P n+ = 0, xto je i trebalo dokazati. Za n = dobija se polinom P 5 (x) = 5(a + b)[x 4 + (a + b)x + (a + b) x + (a + b) x + ab(a + ab + b )]. P 5 : P = 5 [(x + (a + b)x + (a + ab + b )]. Nule ovog koliqnika su x i x 4 xto sa prethodno nađenim nulama daje skup rexenja jednaqine P 5 = 0: x = a, x = b, x,4 = a + b ± i 4 (a + b ) + ab. 7
8 . a) k = ; b) k = ; v) k = ;. P (x) = a(x + )(x )(x + ) = ax 4 + ax ax ax 8a, a R, a 0.. P (x) = x 4 + 0x + 6x + 56x +..4 Zajedniqke nule polinoma P i Q su rexenja jednaqine NZD(P, Q) = 0. a) x, = ±i; b) x =, x =..5 Broj x = a je nula reda kl polinoma P Q i nula reda k polinoma P + Q..6 P (x) = x (x x) x(x x)+(x x)+. Kako je α α =, imamo P (α) = α α + + = (α α)+8 = + 8 = 7..7 R(x) = x 6x Napiximo polinom P u obliku P (x) = x n ax(x n ) = (x )[x n x + ax(x n x + )]. Da bi polinom u uglastoj zagradi bio deljiv sa x, potrebno je i dovoljno (po Bezuovom stavu) da bude n a(n ) = 0. Dakle P (x) je deljiv sa (x ) za proizvoljno n > i a = n n..9 a = 7, b = 60. Koreni polinoma P su x =, x = 4, x = 5..0 Iz jednakosti (x )(x α)(x α+) = x +ax +4x+b se dobija sistem a = α, 4 = α +α 4, b = α +4α. Ovaj sistem ima dva rexenja u skupu Z: α =, a = 4, b = 0 i α = 4, a = 8, b = 48, a odgovaraju i koreni jednaqine su x = 0, x =, x = i x = 6, x = 4, x =.. Ima dva rexenja: a = 9, b = 4 i a = 9, b = 4, a odgovaraju e nule polinoma su x =, x =, x = 4 i x = 4, x =, x =.. Ako je q neparan, neparni su mu i svi delioci, pa bi i rexenje, oznaqimo ga sa x 0 moralo biti neparno. A kako je to koren jednaqine moralo bi da vaжi x 0 + x 0 + q = 0, xto je nemogu e jer suma tri neparna broja ne moжe biti jednaka nuli.. Ako među korenima polinoma P imamo dva suprotna broja λ i λ i preostali koren nek je µ, tada se p moжe predstaviti u obliku P (x) = (x λ)(x + λ)(x µ). Kad izjednaqimo koeficijente dobija se a = µ, b = λ, c = λ µ, a odatle se direktno dobija da je ab = c. Ako je ab = c, tada imamo da je P (x) = (x + b)(x + a), a kako su rrexenja jednaqine x + b = 0 suprotni brojevi, to dobiajmo da među korenima P postoje dva suprotna broja..4 Neka je x Z rexenje. Iz Bezuovog stava imamo f(x) = (x x )q(x). Tada iz uslova da je f(0) = x q(0) neparan dobijamo da je x neparan. Iz uslova da je f() = ( x )q() neparan dobijamo da je x neparan, xto je nemogu e, pa f nema celobrojnih korena..5 Sliqno kao prethodni primer. Neka je x Z rexenje. Tada je f(x) = (x x )q(x). Kad tu zamenimo redom x =,, i izmnoжimo te jednakosti dobija se f() f() f() = ( x )( x )( x )q()q()q(), a ta jednakost nije mogu a jer je taqno jedan od brojeva x, x, x koji javljaju na levoj strani jednakosti deljiv sa, proizvod f() f() f() sa desne strane nije deljiv sa iz uslova zadatka. Kontradikcija..6 Neka je x Z nula polinoma P (x) = a n x n a x + a 0. Prikaжimo je u obliku x = nk + r, k Z, 0 r n. Tada je P (r) = P (r) 0 = P (r) P (x ) = (a n r n a r + a 0 ) [a n (nk + r n a (nk + r) + a 0 ]. Oduzimanjem a 0 se ukida, ponixtavaju se qlanovi oblika a i r i, a od preostalih svaki sadrжi n kao faktor, pa moжemo pisati P (r) = nc, gde je c neki ceo broj razliqit od nule (jer je iz postavke zadatka P (x) 0, za x = 0,,..., n ). Ali tada odbijamo kontradikciju sa drugom polaznom predpostavkom: P (x) < n, za x = 0,,..., n..7 Koristiti binomni obrazac i uslove zadatka..8 Neka je α nula polinoma P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 sa celobrojnim koeficijentima. Tada je m α nula polinoma Q(x) = a n x mn + a n x m(n ) a x m + a 0..9 Iz P (x ) = x 4 P ( x ) direktno sledi da je x 0 koren jednaqine da je tada i x koren te jednaqine..0 a =, b = 4.. Treba proveriti jesu li x = ± ili x = ± p koreni polinoma P. Za x = imamo P () = 0. Za + = 0, odnosno, p 4 p + p + = 0, a ova jednaqina nema celobrojnih korena (jedini kandidati ± se lako odbace). Analogno se pokazuje i da x = p nije koren.. Od kandidata za koren odmah emo odbaciti pola: x =,, p, p jer je za njih f(x) = px + x + > 0. Dalji postupak je potpuno isti kao u prethodnom zadatku i na kraju se dobije da ni za jedan prost brost broj p data jednaqina nema racionalni koren ( nije prost broj!).. x =, x =, x =..4 P (x) = (x )(x )(x 4)..5 Kako je polinom moniqan, to je njegov najstariji koeficijent a n =. Stoga ako bi imao racionalnih nula one bi bile celobrojne, a kako je u postavci dato da P nema celobrojnih nula, to dobijamo da su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi..6 Neka je x = n p. To je rexenje jednaqine x n p = 0. Racionalni kandidati za koren ove jednaqine su: { ± i ±p. Ali kako je P () = p < 0, P ( ) = ± p < 0, P (p) = p n p > 0 i P ( p) = ( p) n p = p n p > 0 za n parno p n to dobijamo da je x p < 0 za n neparno = n p iracionalan broj. x = imamo P ( ) = p + < 0. Da bi x = p bio koren treba P ( p ) = 0, tj. p 4.7 Isti dokaz kao u prethodnim zadacima..8 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x). Kako su mu nule x = a, x = b i x = c on se moжe predstaviti u obliku Q(x) = (x a)(x b)(x c)r(x). Tada je P (x) = (x a)(x b)(x c)r(x) +. Ako bi P imao celobrojnu p p 8
9 nulu x = d tada bi vaжilo 0 = P (d) = (d a)(d b)(d c)r(d) +. Ali u tom sluqaju dobijamo da postoje razliqita broja d a, d b i d c koji dele xto je kontradikcija..9 a) Nule polinoma Q (x) su x a, x a,..., x n a. b) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. v) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. g) Nule polinoma Q 4 (x) su bx, bx,..., bx n..0 Neka je P (a) = P (b) = P (c) = za razliqite brojeve a, b, c. Pretpostavimo da je P (d) =, tada je = P (a) P (d) = (a d) m, m Z (vidi zadatak.5). Odatle sledi da je a d = ±. Analogno se dobijaju b d = ± i c d = ±. Odatle se dobija da su bar dva od brojeva a, b, c jednaka xto je u kontradikciji sa pretpostavkom zadatka.. Pretpostavimo da postoje R, S takvi da je P (x) = R(x) S(x). Iz P (a i ) = = R(a i ) S(a i ) dobijamo R(a i ) = S(a i ), tj. R(a i ) + S(a i ) = 0, pa polinom R(x) + S(x) ima n nula (a i ), a stepen mu je manji od n pa po zadatku. dobijamo da je R(x) + S(x) = 0. Tj. dobili smo da je P (x) = R(x), ali to je nemogu e jer smo dobili da je P (x) 0 x, a treba P (x) kad x..4 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = 0 dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P (0) = 0. P () nije jednoznaqno određen, a od njegovog izbora zavise P (4), P (5),... Na osnovu Bezuovog stava imamo da je P (x) = x(x )(x )Q(x). Kada ovo uvrstimo u uslov zadatka dobijamo x(x )(x )(x )Q(x ) = (x )x(x )(x )Q(x), tj. Q(x ) = Q(x). Na osnovu zadatka. dobijamo da je Q(x) = c. Stoga su sva rexenja polazne jednaqine polinomi P (x) = cx(x )(x ), c R..5 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P () = 0. Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = 4 dobijamo P (4) = P () = 0... Kako je P (n) = n n P (n ) za n 4 to nam P () = 0 P (4) = 0 P (5) = 0... Matematiqkom indukcijom moжemo pokazati da je P (n) = 0, n N. Na osnovu zadatka. dobijamo da je P (x) = 0 i to je jedino rexenje..6 Polinom nema realnih nula (ako bi imao imao bi beskonaqno mnogo realnih nula jer P (x) = 0 povlaqi P (x + x + ) = 0). Ovaj polinom je ili konstanta ili ima kompleksnih nula. Ako je konstanta P (x) = c, onda je c = c, tj. imamo rexenja P (x) = 0, P (x) =. Ako ima kompleksan koren a + bi onda su mu koreni i a bi (zbog osobina kompleksnih korena) i a bi i a + bi (ove dva zbog parnosti funkcije: funkcija je parna jer je P (x) P (x + ) = P (x + x + ) = P ( x) P ( x ) za beskonaqno mnogo vrednosti). Neka je a 0, b > 0 (ako nije zamenimo koren sa nekim od preostala tri korena). Kad zamenimo koren a+bi u x +x+ i izraqunamo kvadrat modula tog kompleksnog broja on je jednak (b 4 b + ) + (a + b ) + (a 4 + a + a + a + a b + ab ) (a + b ). Kako u gornjoj nejednakosti treba da vaжi jednakost (da ne bismo imali beskonaqno kompleksnih korena) to mora da bude ispunjeno b = a = 0. Dobili smo da su jedine nule ±i pa je u ovom sluqaju rexenje P (x) = (x + ) n..7 Svi koreni su negativni jer x 0 P (x) > 0. Oznaqimo te korene sa x, x..., x n. Neka je y k = x k > 0, k =,..., n. Tada je P (x) = (x + y )(x + y )... (x + y n ). Ako primenimo nejednakost aritmetiqke i geometrijske sredine dobijamo + y k = + + y k y k, pa je P () n y y... y n. Iz Vietovih formula imamo da je x i = ( ) n y i =, jer su y k > 0. Kad to uvrstimo u prethodnu nejednakost dobijamo P () n..8 Fiksiramo x = a. Tada rexavamo diferencnu jednaqinu P k+ (a) = a P k+ (a) P k (a), P 0 (a) =, P (a) = a. Njeno rexenje je P k (a) = (a + a ) k + (a a ) k. Za a P k (a) > 0. Za a i k parno P k (a) > 0. Za a P k (a) < 0. Stoga dobijamo da su sve realne nule a <..9 Posmatrati pomo ni polinom Q(x) = P (x) n. Nule su mu razliqiti brojevi x, x..., x n Z. Tada je Q(x) = A(x x )(x x )... (x x n ). Slobodan qlan polinoma Q je Q(0) = n, pa iz Vietovih formula dobijamo x x... x n = ( ) n ( n) A, tj. n = ( )n+ x x... x n = ( ) n+ x x... x n n (jer su najvixe dva korena x k manja od po apsolutnoj vrednosti). n n n 4. Za n = imamo da je Q(x) = x ili Q(x) = x +, tj. rexenja koja odgovaraju su x = i A =, odnosno x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x ili Q(x) = x x ili Q(x) = x + x ili Q(x) = x x rexenja koja odgovaraju x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =,tj. x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x x ili Q(x) = x + x + x rexenja koja odgovaraju x =, x =, x = i A =, tj. x =, x =, x = i A =. Za n = 4 imamo da je Q(x) = x 4 + 5x 4 rexenje koje odgovara x =, x =, x =, x 4 = i A =. Rexenja su: P (x) {±x, x ± x, x ± x, ±x + x x, x 4 + 5x }..40 P 7 (x) = Q(x) R(x) i neka je < deg R < 4 deg Q. R(x i ) = ± pa R ima bar u qetiri taqke vrednost (ili i tad razmatranje ide potpuno analogno) pa po zadatku. dobijamo da je R =. Tad je = deg R, pa smo dobili da je polinom P nemogu e rastaviti na proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 9
Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli
Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, 12.02.2017. Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli dr Vladimir Balti, Matematiqka gimnazija, baltic@matf.bg.ac.yu Polinomi su izuzetno bitna
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod
IspitivaƬe funkcija Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija je centralni i svakako najbitniji deo svakog kursa matematike. On daje matematiqku osnovu za skiciraƭe grafika na osnovu matematiqke formule određenih
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija. Od poqetnog broja mogu e je
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija a) Poto je n deljiv sa tri, sledi
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραTejlorova formula i primene
MATEMATIQKA GIMNAZIJA Maturski rad iz matematike Tejlorova formula i primene Uqenik Benjamin Linus Mentor mr Srđan OgƬanovi Beograd, 007 Sadrжaj Uvod 3 Tejlorova formula 4 Tejlorova formula za polinome
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραZADATAKA IZ MATEMATIKE 2
Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA. Miroslav M. Risti 2008/2009. Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu
STATISTIKA Miroslav M. Risti Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu 2008/2009 Literatura Miroslav M. Risti, Biljana Q. Popovi, Miodrag S. orđevi, Statistika za studente geografije,
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
8.201 Prvi razred A kategorija Aca, Branka, Vera i Goran su od nastavnika matematike dobili zadatak da izraqunaju koliqnik dva pozitivna realna broja, i to: Aca da izraquna a 1 : a 2, Branka da izraquna
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα