Περιεχόμενα. Μέρος Ι: Λογιστικά φύλλα. Πρόλογος...xliii

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος...xliii Μέρος Ι: Λογιστικά φύλλα 1. Λογικές συναρτήσεις του Calc και οι εφαρμογές τους Οι λογικές συναρτήσεις ΦΠΑ λιανικής ή χονδρικής με τη συνάρτηση if Συμπλήρωση στήλης μετά από υπολογισμό με τη συνάρτηση if Επίλυση πρωτοβάθμιας εξίσωσης στο Calc Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης Συνδυασμός λογικών συναρτήσεων Άθροισμα στήλης μετά από έλεγχο if Άθροισμα στήλης με λογική σύζευξη Άθροισμα στήλης με λογική διάζευξη Λογική σύζευξη με πολλαπλασιασμό ελέγχων if Λογική διάζευξη με πρόσθεση ελέγχων if Απλοί στατιστικοί υπολογισμοί και γραφική αναπαράσταση δεδομένων στο Calc Περιγραφικά στατιστικά μιας ομάδας καλαθοσφαίρισης Επίδραση της κλίμακας του κατακόρυφου άξονα σε γράφημα στηλών Διαφορά ύψους από το μέσο ύψος Διαφορά ύψους από τον ψηλότερο παίκτη Υπολογισμοί με ποσοστά Ποσοστό κατηγορίας και γράφημα πίτας Ποσοστιαία μεταβολή της εξέλιξης στην τιμή της βενζίνης...37 vii

4 viii Περιεχόμενα 2.3 Κίνηση σε σταθμό διοδίων Γράφημα με δύο σειρές δεδομένων σε έναν ή δύο κατακόρυφους άξονες Ποσοστό των Ι.Χ. και των φορτηγών επί του συνόλου οχημάτων ανά ημέρα Ποσοστιαία μεταβολή του πλήθους των Ι.Χ. και των φορτηγών Υπολογισμοί με βάση τα έσοδα από τη διέλευση οχημάτων σε σταθμό διοδίων Ανάλυση τραπεζικών καταθέσεων σε Ελληνικές τράπεζες Μετατροπή σε ΕΥΡΩ Καταμέτρηση μετά από έλεγχο Καταμέτρηση μετά από συνδυασμό πολλών συνθηκών Γράφημα διασποράς και συντελεστής συσχέτισης Μαθηματικοί υπολογισμοί και γραφήματα συναρτήσεων στο Calc Ακολουθίες Παραδείγματα με ακολουθίες Αναδρομικές ακολουθίες Ακολουθία Fibonacci Σύγκλιση ακολουθιών Το όριο μιας ακολουθίας Η ακρίβεια μιας υπολογιστικής μηχανής Η βάση των φυσικών λογαρίθμων Η χρυσή τομή Απλό γράφημα μαθηματικής συνάρτησης Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης Η γραφική παράσταση μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης Γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων στο ίδιο γράφημα Γραφική αναπαράσταση των καμπυλών για το μέσο κόστος μιας επιχείρησης Τομή της καμπύλης ζήτησης και της καμπύλης προσφοράς Γραφική παράσταση εκθετικής μεγέθυνσης Μαθηματικές συναρτήσεις για πίνακες και γραμμικά συστήματα στο Calc Αναστροφή πίνακα στο OpenCalc Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα στο Calc Πολλαπλασιασμός μητρών Εσωτερικό γινόμενο...112

5 Περιεχόμενα ix 3.9 Η μέθοδος αντιστροφής μήτρας για την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων Οικονομικές εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας Μεταβολή στο μερίδιο της αγοράς Σύνδεση μεταξύ αεροδρομίων με ενδιάμεσους σταθμούς Εφαρμογές αριθμητικής ανάλυσης με το Calc Αριθμητικός υπολογισμός της παραγώγου Ολοκλήρωση με τον κανόνα του τραπεζίου Ολοκλήρωση με τη μέθοδο Monte Carlo Υπολογισμός της σταθεράς π με τη μέθοδο Monte Carlo Υπολογισμός ρίζας εξίσωσης με τη μέθοδο Newton Σύγκλιση Περιορισμοί της μεθόδου Παράδειγμα της μεθόδου Εφαρμογή στο Calc Συναρτήσεις βάσεων δεδομένων σε λογιστικά φύλλα Παραδείγματα χρήσης συναρτήσεων βάσεων δεδομένων για την ανάλυση επιχειρησιακών δεδομένων Να βρεθεί ο μεγαλύτερος μισθός των γυναικών υπαλλήλων Να βρεθεί το άθροισμα των μισθών για τους άντρες υπαλλήλους άνω των 45 ετών Να βρεθεί ο μέσος μισθός των υπαλλήλων που είτε είναι γυναίκες είτε έχουν Ηλικία κάτω των Να βρεθεί ο μέσος όρος της ηλικίας των υπαλλήλων: Γιάννης, Βασιλική, και Νίκος Να βρεθεί ο μισθός της υπαλλήλου με όνομα Ζηνοβία Να βρεθεί ο μεγαλύτερος μισθός των αντρών υπαλλήλων με ηλικία κάτω των 40 ετών Ασκήσεις Σύνθετη ανάλυση επιχειρησιακών δεδομένων Το οριακό προϊόν της εργασίας Γραφική παράσταση του προϊόντος ως προς την εργασία Οι καμπύλες μέσου και οριακού προϊόντος Υπολογισμός της εργασίας που μεγιστοποιεί το προϊόν Ανάλυση υπερωριών υπαλλήλων μιας επιχείρησης Αντιστοίχιση αποζημίωσης ανάλογα με την ημέρα υπερωρίας...180

6 x Περιεχόμενα Βασικοί υπολογισμοί με τον πίνακα υπερωριών Ανάλυση υπερωριών ανά υπάλληλο Ανάλυση δεδομένων με χρήση συγκεντρωτικού πίνακα Μέρος IΙ: Maxima 7. Εισαγωγή στο Maxima Λίγα ιστορικά στοιχεία Χρήση του Maxima ως αριθμομηχανής Αριθμητικές μεταβλητές στο Maxima Ενσωματωμένες μαθηματικές συναρτήσεις Επίλυση εξισώσεων με το Maxima Απλές πολυωνυμικές εξισώσεις Επώνυμες παραστάσεις Συναρτήσεις και επίλυση εξισώσεων Υπολογισμός παράστασης ως προς μία μεταβλητή Ασκήσεις Άλλες μη γραμμικές εξισώσεις Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Ασκήσεις Συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων Ασκήσεις Επίλυση εξίσωσης με μιγαδικές ρίζες Ασκήσεις Γραφικές παραστάσεις με τo Maxima Εισαγωγή Παραδείγματα γραφικών παραστάσεων δύο διαστάσεων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1 x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x 3 2x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης cos(x) Ασκήσεις Παραδείγματα γραφικών παραστάσεων δύο διαστάσεων με περισσότερες συναρτήσεις...232

7 Περιεχόμενα xi Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων cos x, sin x Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων 2x και 110x Προσθήκη οριζόντιων γραμμών Γραμμικός συνδυασμός συναρτήσεων Καμπύλες της ίδιας συνάρτησης για διαφορετικές τιμές παραμέτρων Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο μεταβλητών και τρισδιάστατα γραφήματα Το γράφημα της συνάρτησης x 2 + y Δημιουργία γραφήματος της συνάρτησης χρησιμότητας Ασκήσεις Διαγράμματα ισοϋψών καμπυλών Το διάγραμμα ισοϋψών καμπυλών μιας κωνικής επιφάνειας Το διάγραμμα ισοϋψών καμπυλών της συνάρτησης χρησιμότητας Ασκήσεις Γραμμικός προγραμματισμός με το Maxima Ένα απλό πρόβλημα μεγιστοποίησης εισοδήματος αγροτικής καλλιέργειας Κατανομή γης ανάμεσα σε δύο πιθανές καλλιέργειες Επαλήθευση της λύσης Γραφική αναπαράσταση της λύσης Μεγιστοποίηση κερδών πιτσαρίας: ένα πρόβλημα με τρεις περιορισμούς Ελαχιστοποίηση κόστους κατασκευής προϊόντος Παραγώγιση με το Maxima Παραγώγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης Μερικές και ολικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Ορισμός συναρτήσεων παραγώγων Γράφημα συνάρτησης και εφαπτόμενης σε σημείο Βελτιστοποίηση με χρήση παραγώγων Συνάρτηση μιας μεταβλητής με ένα ακρότατο Συνάρτηση μιας μεταβλητής με περισσότερα από ένα ακρότατα Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών...282

8 xii Περιεχόμενα 12. Ολοκλήρωση με το Maxima Απλά ολοκληρώματα Ολοκληρώματα με άπειρα όρια ολοκλήρωσης Ασκήσεις Ισορροπία αγοράς με το Maxima Ισορροπία αγοράς με γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς Υπολογισμός της τιμής ισορροπίας από τις συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς Αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης και προσφοράς Υπολογισμός της ποσότητας ισορροπίας με την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης και προσφοράς Ισορροπία αγοράς με μη γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς Ισορροπία αγοράς με καμπύλη ζήτησης τετραγωνικής μορφής Ισορροπία αγοράς με καμπύλη προσφοράς και ζήτησης τετραγωνικής μορφής Επίλυση της ισορροπίας αγοράς ως σύστημα εξισώσεων Ασκήσεις Το πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού Το πλεόνασμα του καταναλωτή Το πλεόνασμα του καταναλωτή με γραμμική καμπύλη ζήτησης Το πλεόνασμα του καταναλωτή με μη γραμμική καμπύλη ζήτησης Αύξηση του πλεονάσματος του καταναλωτή όταν μειώνεται η τιμή Μεταβολή της τιμής και επίπτωση στο πλεόνασμα του καταναλωτή με μη γραμμική συνάρτηση ζήτησης Το πλεόνασμα του παραγωγού Το πλεόνασμα του παραγωγού με γραμμική καμπύλη ζήτησης Το πλεόνασμα του παραγωγού με μη γραμμική καμπύλη προσφοράς Το πλεόνασμα του παραγωγού ως συνάρτηση της ποσότητας προϊόντος Το πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού στην ισορροπία της αγοράς Η απλή περίπτωση με γραμμική ζήτηση και προσφορά...327

9 Περιεχόμενα xiii Μεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή έπειτα από μετατόπιση της ισορροπίας λόγω μεταβολής της καμπύλης ζήτησης Πλεόνασμα του παραγωγού με μεταβολή της καμπύλης παραγωγής χωρίς μετατόπιση του σημείου ισορροπίας Πλεονάσματα καταναλωτή και παραγωγού με μη γραμμικές καμπύλες ζήτησης και προσφοράς Επίδραση της φορολογίας στο πλεόνασμα παραγωγού και καταναλωτή και η απώλεια κοινωνικής ευημερίας (deadweight loss) Η απώλεια κοινωνικής ευημερίας μετά την επιβολή φόρου Το μέγεθος της απώλειας κοινωνικής ευημερίας σε σχέση με την ελαστικότητα της ζήτησης ή της προσφοράς Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ελαστική προσφορά Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ανελαστική προσφορά Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ελαστική ζήτηση Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ανελαστική ζήτηση Ελαστικότητα Γενικά για την ελαστικότητα Ορισμός της ελαστικότητας ως κλάσμα μεταβολών Ορισμός της ελαστικότητας με χρήση παραγώγου συνάρτησης Ελαστικότητα σημείου Ελαστικότητα συναρτήσεων της μορφής x α Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή Ελαστικότητα σε γραμμική συνάρτηση ζήτησης Η μέθοδος του μέσου σημείου ή τοξοειδής ελαστικότητα Ελαστικότητα σε μη γραμμική συνάρτηση ζήτησης Ελαστικότητα από αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Έσοδα από πωλήσεις και φόρους και ελαστικότητα ζήτησης Ελαστικότητα και καμπύλη εσόδων Ελαστικότητα προσφοράς ως προς την τιμή Υπολογισμός ελαστικότητας από μη γραμμική συνάρτηση προσφοράς Υπολογισμός ελαστικότητας σημείου σε συνάρτηση προσφοράς Ελαστικότητα από αντίστροφη συνάρτηση προσφοράς...398

10 xiv Περιεχόμενα 16. Το κόστος παραγωγής Ορισμοί, συμβολισμοί, και γραφήματα συναρτήσεων κόστους Ορισμοί των συναρτήσεων κόστους Γράφημα των συναρτήσεων κόστους Το ελάχιστο του μέσου ολικού κόστους Η τομή της καμπύλης μέσου ολικού κόστους και οριακού κόστους Εφαρμογές του οριακού κόστους Η συνάρτηση προσφοράς του κλάδου Υπολογισμός του μέσου ολικού κόστους από τη συνάρτηση οριακού κόστους Ο τέλειος ανταγωνισμός Μεγιστοποίηση κέρδους Ανάλυση νεκρού σημείου, η καμπύλη κέρδους συναντά την καμπύλη κόστους Υπολογισμός του προϊόντος που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης Το οριακό έσοδο και η σημασία του στη μεγιστοποίηση του κέρδους Λειτουργία της επιχείρησης με ζημία Το κέρδος από την τιμή πώλησης στον τέλειο ανταγωνισμό Η τιμή αγοράς είναι κάτω από το μέσο ολικό κόστος Η μονοπωλιακή αγορά Το μονοπωλιακό κέρδος Υπολογισμός κέρδους με βάση την καμπύλη οριακού εσόδου και μέσου κόστους Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος Μεγιστοποίηση κέρδους στο μονοπώλιο Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων χρησιμότητας Η συνάρτηση χρησιμότητας Η καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού στο γράφημα καμπυλών αδιαφορίας...456

11 Περιεχόμενα xv 19.2 Τομή της καμπύλης αδιαφορίας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού Μεγιστοποίηση χρησιμότητας με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange Ένα απλό παράδειγμα μεγιστοποίησης χρησιμότητας Οικονομική ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange Παραμετρική λύση μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας Cobb-Douglas Μεγιστοποίηση συνάρτησης χρησιμότητας με τρεις μεταβλητές Μεταβολή των επιλογών του καταναλωτή με αύξηση του εισοδήματος Μέρος ΙΙΙ: Octave 20. Εισαγωγή στο Octave και στις εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας Εισαγωγή δεδομένων σε μορφή διανυσμάτων και πινάκων Λογικοί έλεγχοι σε μήτρες και διανύσματα Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων Λυμένα παραδείγματα Ασκήσεις Διανύσματα και διανυσματικοί χώροι Άθροισμα διανυσμάτων Γινόμενο βαθμωτής μεταβλητής με διάνυσμα Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Το μέτρο ενός διανύσματος Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων H ανισότητα Cauchy-Schwarz Πράξεις με βαθμωτές μεταβλητές και πίνακες Πρόσθεση βαθμωτού μεγέθους σε διάνυσμα ή μήτρα Πολλαπλασιασμός βαθμωτού μεγέθους σε διάνυσμα ή μήτρα Πράξεις ανάμεσα σε μήτρες και διανύσματα Αναστροφή μήτρας Πρόσθεση μητρών Πολλαπλασιασμός μητρών Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων Το γινόμενο Kronecker Αντιστροφή μήτρας...506

12 xvi Περιεχόμενα Βοηθητικές συναρτήσεις για διανύσματα και μήτρες Μήτρες με μηδενικά ή μονάδες Άλλες βοηθητικές συναρτήσεις κατασκευής μητρών και διανυσμάτων Η ορίζουσα τετραγωνικής μήτρας Ίχνος μιας μήτρας Βαθμός μήτρας Επώνυμες μήτρες Η μήτρα του Hadamard Η μήτρα Hilbert Η μήτρα Vandermonde Τετραγωνική ρίζας μήτρας Λογάριθμος μήτρας Εκθετικό μήτρας Η γενικευμένη αντίστροφη μήτρα Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Υπολογισμός ιδιοτιμών Υπολογισμός ιδιοδιανυσμάτων Πράξεις περιγραφικών στατιστικών με μήτρες και διανύσματα Μέσος, άθροισμα, και πλήθος Το άθροισμα τετραγώνων Μέγιστη τιμή, ελάχιστη τιμή, και εύρος τιμών Διάμεση τιμή, επικρατούσα τιμή, και γεωμετρικός και αρμονικός μέσος Υπολογισμός διακύμανσης και τυπικής απόκλισης Συνδιακύμανση και συντελεστής συσχέτισης Αναλυτικός υπολογισμός συνδιακύμανσης Η τυπική απόκλιση Αναλυτικός υπολογισμός του συντελεστή συσχέτισης Προγραμματισμός με το Octave Εισαγωγή Η εντολή επιλογής if Η εντολή επανάληψης for...563

13 Περιεχόμενα xvii 21.4 Η εντολή επανάληψης while Υπολογισμός πλήθους επαναλήψεων σε βρόχο while Τερματισμός υπό συνθήκη σε βρόχο while Η εντολή επανάληψης do...until Παραδείγματα προγραμματισμού Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη Βελτιστοποίηση πλέγματος Χρονομέτρηση εκτέλεσης προγράμματος Συναρτήσεις οριζόμενες από τον χρήστη Εισαγωγή Ορισμός απλών συναρτήσεων Συναρτήσεις χωρίς όρισμα και επιστρεφόμενη τιμή Συναρτήσεις με όρισμα αλλά χωρίς επιστρεφόμενη τιμή Συναρτήσεις με όρισμα και επιστρεφόμενη τιμή Συναρτήσεις που καλούν άλλες συναρτήσεις Πιο περίπλοκες συναρτήσεις Συναρτήσεις με περισσότερα ορίσματα Συναρτήσεις με πολλές επιστρεφόμενες τιμές Συναρτήσεις με πίνακες ως ορίσματα ή επιστρεφόμενες τιμές Τοπικές και καθολικές μεταβλητές Χρήση καθολικών μεταβλητών Εκχώρηση τιμών σε καθολικές μεταβλητές Αναδρομικές συναρτήσεις Υπολογισμός του παραγοντικού Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη Ασκήσεις Οικονομικές και οικονομετρικές εφαρμογές με το Octave Υπολογισμός ισορροπίας ελεύθερης αγοράς Το μοντέλο εισροών-εκροών Leontief Λύση του προβλήματος παραγωγής σε οικονομία τύπου Leontief Γιατί εργαζόμαστε με μαθηματική/υπολογιστική προσέγγιση στα οικονομικά;...604

14 xviii Περιεχόμενα Μέρος ΙV: H γλώσσα R 24. Γραφήματα με τη γλώσσα R Απλά γραφήματα Ραβδόγραμμα με μια σειρά δεδομένων Γραμμή και σημεία σειράς δεδομένων Γράφημα γραμμής με δύο ή περισσότερες σειρές δεδομένων Ραβδόγραμμα με δύο ή περισσότερες σειρές δεδομένων Θηκογράμματα Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων με συνάρτηση curve Εισαγωγή στους στατιστικούς υπολογισμούς με τη γλώσσα R Εισαγωγή δεδομένων Ασκήσεις Συναρτήσεις για την κανονική κατανομή Τυχαίοι αριθμοί Γραφήματα σχετικά με την κανονική κατανομή Άλλες κατανομές Η κατανομή t Η κατανομή χ Η κατανομή F Διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου Διάστημα εμπιστοσύνης με γνωστή τη διακύμανση του πληθυσμού Διάστημα εμπιστοσύνης με άγνωστη τη διακύμανση του πληθυσμού Υπολογισμοί με την τιμή p-value Έλεγχοι υποθέσεων με την τιμή pval Έλεγχος του μέσου του πληθυσμού με γνωστή διακύμανση Έλεγχος του μέσου του πληθυσμού με άγνωστη διακύμανση Έλεγχος για τη διαφορά των μέσων από δύο δείγματα με διαφορετικό πλήθος, μέσο, και διακύμανση Γραμμικά μοντέλα Η συνάρτηση παλινδρόμησης Υπολογισμοί με βάση τα αποτελέσματα της lm()...665

15 Περιεχόμενα xix 27. Χρονολογικές και ποσοτικές μετρήσεις στην Οικονομία Γραφήματα και υπολογισμοί με μακροοικονομικά δεδομένα Το ΑΕγχΠ των ΗΠΑ κατά την περίοδο Απασχόληση αντρών και γυναικών στην ελληνική οικονομία Η συνάρτηση παραγωγής της εθνικής οικονομίας Ημερήσια στοιχεία Συναλλαγματικές ισοτιμίες Χρηματιστηριακά δεδομένα Βιβλιογραφία...685

16

17 Πρόλογος Οι υπολογιστικές μέθοδοι, που έχουν καθιερωθεί εδώ και καιρό στο βασικό πρόγραμμα των φυσικών και πολυτεχνικών σπουδών, κερδίζουν σιγά-σιγά τη θέση τους στις οικονομικές και επιχειρησιακές σπουδές. Τα οικονομικά είναι γενικά εκλεκτική επιστήμη. Απορροφούν δύσκολα και αργά τις εξελίξεις άλλων επιστημών, είτε αυτές είναι ποσοτικές, όπως τα Μαθηματικά, η Στατιστική ή η Υπολογιστική Επιστήμη, είτε είναι ανθρωπιστικές, όπως η Ψυχολογία, η Πολιτική Επιστήμη, κ.ά. Έτσι, σε παγκόσμιο επίπεδο, μόνο πρόσφατα άρχισαν να προσφέρονται μαθήματα υπολογιστικών οικονομικών σε προπτυχιακά προγράμματα Οικονομικής Επιστήμης. Τα περισσότερα πανεπιστήμια, ωστόσο, δεν έχουν εντάξει ακόμα στο πρόγραμμα σπουδών τους ένα τέτοιο μάθημα. Η κατάσταση αυτή αλλάζει σταδιακά. Υπάρχει μια σαφής τάση εμπλουτισμού της διδασκαλίας των Οικονομικών με μεθόδους περισσότερο ποσοτικές και υπολογιστικές. Η πορεία αυτή έχει αποδειχτεί σύνθετη και με ποικίλα αποτελέσματα. H διδασκαλία υπολογιστικών μεθόδων σε φοιτητές Οικονομικών Επιστημών προϋποθέτει ένα στέρεο υπόβαθρο μαθηματικής ανάλυσης, κάτι που δεν είναι πάντα δεδομένο. Με αυτό το βιβλίο αναδεικνύεται το συγκριτικό πλεονέκτημα που μπορούν να αποκτήσουν τα ελληνικά πανεπιστήμια εισάγοντας, επεκτείνοντας, και αξιοποιώντας τις υπολογιστικές μεθόδους. Πιο συγκεκριμένα, οι απόφοιτοι Λυκείου στην Ελλάδα έχουν διδαχθεί σύνθετες μαθηματικές έννοιες όπως αυτές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Οι έννοιες αυτές αναπτύσσονται ακόμα περισσότερο στο πρώτο έτος των πανεπιστημίων: σχεδόν όλα τα προγράμματα σπουδών των Οικονομικών σχολών περιέχουν μαθήματα όπως τα μαθηματικά και η στατιστική. Αυτό δεν ισχύει απόλυτα στο εξωτερικό, όπου οι φοιτητές έρχονται σε επαφή με ποσοτικές μεθόδους στα ανώτερα έτη των προπτυχιακών σπουδών ή κατά τις μεταπτυχιακές σπουδές τους. Οι φοιτητές στα ελληνικά πανεπιστήμια έχουν μια μοναδική ευκαιρία: επενδύοντας στις γνώσεις που απέκτησαν στο Λύκειο, και στις γνώσεις που εξακολουθούν να αποκτούν κατά τα πρώτα έτη των σπουδών τους, έχουν τη δυνατότητα να εφαρμόζουν υπολογιστές μεθόδους επίλυσης Οικονομικών προβλημάτων. Μια χαρακτηριστική ε- φαρμογή είναι τα προβλήματα αριστοποίησης, όπως η μεγιστοποίηση χρησιμότητας xliii

18 xliv Πρόλογος ενός καταναλωτή με εισοδηματικό περιορισμό, η μεγιστοποίηση της συνάρτησης κέρδους μιας επιχείρησης, ή προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Επίσης στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται με απλό τρόπο αριθμητικά προβλήματα, όπως είναι ο υπολογισμός ριζών μιας μη γραμμικής εξίσωσης, ή η ολοκλήρωση Monte Carlo, μεθοδολογίες που έχουν σημαντική εφαρμογή στην Οικονομική και Χρηματοοικονομική ανάλυση. Πιστεύω όμως πως το υπόβαθρο των φοιτητών έχει αλλάξει σε τέτοιο βαθμό ώστε πλέον μπορεί να γίνει μια σημαντική τομή στην εκπαίδευση των φοιτητών οικονομικών και επιχειρησιακών σπουδών. Καταρχάς, η εισαγωγή μαθημάτων πληροφορικής στα σχολεία έχει αυξήσει αρκετά το επίπεδο γνώσεων και δεξιοτήτων των φοιτητών. Το 2000, για παράδειγμα, έπρεπε να εξηγώ για δύο εβδομάδες στους πρωτοετείς φοιτητές τι είναι το Διαδίκτυο, τι είναι το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο, και γιατί είναι χρήσιμο. Σήμερα σχεδόν ο καθένας που ξεκινά το πανεπιστήμιο έχει τουλάχιστον 2-3 λογαριασμούς ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, ενώ το 15-20% των επισκέψεων που δέχεται η ιστοσελίδα η οποία διαθέτω για την υποστήριξη της διδασκαλίας προέρχεται από τηλεφωνικές συσκευές, υπολογιστές-ταμπλέτες κτλ. Ο κόσμος έχει αλλάξει. Επίσης, νέες μορφές εφαρμογών γραφείου αντικαθιστούν σιγά-σιγά τις παλιές εφαρμογές. Κάποτε, για να συνεργαστούν δύο άτομα για μια εργασία χρειάζονταν την ίδια έκδοση λογισμικού, όπως είναι το MS Word. Σήμερα υπάρχουν υπηρεσίες και εφαρμογές όπως το GoogleDocs, τα ιστολόγια (blogs), και δεκάδες άλλα εργαλεία στο Διαδίκτυο που κάνουν τη συνεργατική συγγραφή παιχνίδι, με πολύ λιγότερο κόστος και χρόνο. Αυτό λοιπόν που πρεσβεύω είναι πως είναι καιρός, εμείς οι διδάσκοντες, να στραφούμε σε εφαρμογές που σχετίζονται περισσότερο με την Οικονομική θεωρία και ανάλυση. Ας αφήσουμε τις εφαρμογές γραφείου, κάτι που προφανώς χρειάζονται όλοι, στο επίπεδο των σεμιναριακών διαλέξεων και της σεμιναριακής εκπαίδευσης και ας δείξουμε στους φοιτητές πιο ρεαλιστικές εφαρμογές των υπολογιστών στην Οικονομική ανάλυση. Από την άλλη πλευρά, υπάρχει πολύ συχνά η σύγχυση για το τι κάνει και τι μπορεί να κάνει ένας φοιτητής χρησιμοποιώντας υπολογιστή. Ο καθένας, για παράδειγμα, μπορεί είναι εξοικειωμένος με την ιδέα πως ο υπολογιστής αναπαράγει μουσική, όμως λίγοι μπορούν να εξηγήσουν εύκολα τη μεταβολή στο μερίδιο της αγοράς μεταξύ ανταγωνιστικών επιχειρήσεων λύνοντας ένα πρόβλημα γραμμικής άλγεβρας. Το χειρότερο από όλα είναι πως έχουν ξοδέψει πάρα πολύ χρόνο (πιθανόν και χρήμα) για την εκπαίδευσή τους, χωρίς ωστόσο να έχουν δει την υπολογιστική υλοποίηση. Αυτό συμβαίνει, πιστεύω, επειδή οι νέες και οι νέοι μας δεν έχουν το σωστό παράδειγμα. Ας τους δείξουμε λοιπόν τις δυνατότητες χρήσης υπολογιστή στις οικονομικές και επιχειρησιακές σπουδές και είμαι βέβαιος ότι το αποτέλεσμα θα μας εκπλήξει όλους.

19 Πρόλογος xlv Πιστεύω και ελπίζω πως μέσα στα επόμενα χρόνια θα γραφούν πολλά και καλά βιβλία, και μάλιστα προχωρημένου επιπέδου, στα Υπολογιστικά Οικονομικά. Ελπίζω επίσης πως οι φοιτητές μας θα αγκαλιάσουν ένα τέτοιο αντικείμενο και δεν θα αργήσουμε να δούμε το πρώτο πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών στα Υπολογιστικά Οικονομικά. Πίνακας Π.1: Λογισμικό που χρησιμοποιείται στο βιβλίο για τη λύση των προβλημάτων και ασκήσεων Πρόγραμμα ανοιχτού κώδικα Αντίστοιχο εμπορικό Ιστότοπος λήψης Calc MS Excel Maxima Mathematica Octave MATLAB R S-Plus Εδώ και αρκετά χρόνια υποστηρίζω ενεργά το λογισμικό ανοιχτού κώδικα στη διδασκαλία και έρευνα. Τα τελευταία 4 χρόνια έχω δημοσιεύσει 18 επιστημονικές εργασίες παράλληλης/κατανεμημένης χρήσης ηλεκτρονικών υπολογιστών χρησιμοποιώντας μόνο λογισμικό ανοιχτού κώδικα. Ολόκληρο το βιβλίο γράφηκε χρησιμοποιώντας τέτοιο λογισμικό. Δύσκολα μπορώ να φανταστώ πως υπάρχει ερευνητικό αντικείμενο στον χώρο της επιστήμης των ηλεκτρονικών υπολογιστών το οποίο δεν μπορεί να διδαχθεί με λογισμικό ανοιχτού κώδικα. Από την άποψη αυτή δεν έχω κανένα λόγο να μην ενθαρρύνω τις νέες και τους νέους να κάνουν το ίδιο. Δεν είναι μόνο τα χρήματα που απαιτούνται για την αγορά πακέτων λογισμικού, στους δύσκολους για τη νεολαία καιρούς μας. Είναι κυρίως θέμα φιλοσοφίας του λογισμικού ανοιχτού κώδικα έναντι του λογισμικού κλειστού κώδικα. Δεν αντιλέγω πως προγράμματα και υπολογιστικά πακέτα όπως το Matlab ή το Mathematica σίγουρα «αξίζουν» τα λεφτά τους. Κατά τη γνώμη μου, πάντως, δεν χρειάζεται ένας νέος που ενδιαφέρεται απλώς για την εκπαίδευσή του να προβληματιστεί με την αγορά τέτοιου εμπορικού λογισμικού. Επίσης, ό- ταν παγκόσμιοι κολοσσοί όπως η Google, το Facebook, το Twitter, η Amazon, η Boeing και τόσοι άλλοι τα καταφέρνουν μια χαρά με λογισμικό ανοιχτού κώδικα, γιατί να μην τα καταφέρει και η φοιτήτρια ή ο φοιτητής ενός ελληνικού πανεπιστημίου; Και, ασφαλώς, είναι αυτονόητο ότι η επιτυχία τέτοιων επιχειρήσεων στηρίχτηκε και στην επιστημονική αξιοποίηση υπολογιστικών μεθόδων. Τα περισσότερα παραδείγματα του βιβλίου βασίζονται σε εισαγωγικές έννοιες της Οικονομικής Επιστήμης. Ωστόσο, με πολύ λίγες εξαιρέσεις, το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί από οποιονδήποτε φοιτητή με στοιχειώδεις γνώσεις μαθηματικών και στατιστικής.

20 xlvi Πρόλογος Ευχαριστίες Οι συνάδελφοί μου, Σπύρος Συμεωνίδης και Αθανάσιος Λαπατίνας σχολίασαν αρκετά μέρη του βιβλίου και πρότειναν διορθώσεις και προσθήκες σε αρκετές παραλήψεις. Η φοιτήτρια του τμήματος Οικονομικών Επιστημών, Ελένη Στράτη, διάβασε, σχολίασε, και έκανε παρατηρήσεις στο μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου, κυρίως στις ασκήσεις Μικροοικονομικής με το Maxima, και σχεδόν όλο το μέρος του Octave. Δεκάδες άλλοι φοιτητές έκαναν παρατηρήσεις και σχόλια τα τελευταία 3 χρόνια στο αμφιθέατρο και στο εργαστήριο Η/Υ του τμήματος Οικονομικών Επιστημών στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Όλα τα εναπομείναντα λάθη και παραλήψεις είναι βέβαια δικά μου. Οι συνεργάτες μου από τις Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Παναγιώτης Καναβός (επιμέλεια κειμένου), Βασίλης Βρεττός (σελιδοποίηση), Παναγιώτης Σταυρόπουλος (υπεύθυνος παραγωγής) και Γιάννης Αϊναλίδης έκαναν εξαιρετική δουλειά με το βιβλίο. Τους ευχαριστώ θερμά. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη σύζυγό μου Έλενα και τον μικρό μου γιο Νέστωρ, οι οποίοι στερήθηκαν καθημερινά πολλές ώρες από την οικογενειακή μας ζωή, προκειμένου να ολοκληρωθεί η έκδοση αυτού του βιβλίου. Τους το αφιερώνω με πολύ αγάπη. Επικοινωνία με τον συγγραφέα Για παρατηρήσεις, σχόλια, διορθώσεις, απορίες και οτιδήποτε άλλο σχετικά με την ύλη του βιβλίου, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μου μέσω της ακόλουθης ιστοσελίδας

21 Μ Ε Ρ Ο Σ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 19.1 Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων χρησιμότητας Η συνάρτηση χρησιμότητας Στην Ενότητα είδαμε παραδείγματα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων χρησιμότητας. Θα επεκτείνουμε εκείνη την περιγραφή εξετάζοντας πιο σύνθετες και απαιτητικές περιπτώσεις. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας (τύπου Cobb Douglas) ανάμεσα σε αγαθά: η οποία μπορεί να γραφεί και ως εξής: Uxy (, ) = x y (19.1) Uxy (, ) = xy (19.2) Ζητείται η κατασκευή του γραφήματος της συνάρτησης χρησιμότητας για U = 2, 4, 6. δηλαδή, για 3 διαφορετικές τιμές της χρησιμότητας. Όπως έχουμε δει, αυτό μπορεί να γίνει εύκολα με τη συνάρτηση contour_plot: 1 2 U(x,y) := x^(1/2) * y^(1/2); contour_plot(u, [x,0,7], [y,0,7]); Ωστόσο, αυτό δεν μας δίνει πλήρη έλεγχο στο γράφημα αφού, για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προσθέσουμε την καμπύλη του εισοδηματικού περιορισμού ή να κατα- 453

22 454 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima σκευάσουμε μη ισαπέχουσες καμπύλες. Για τον λόγο αυτό, με βάση τη συνάρτηση χρησιμότητας, θα κατασκευάσουμε μια νέα συνάρτηση του τύπου y = f (x) χρησιμοποιώντας το U ως παράμετρο: y= f( x, U) Έτσι, μπορούμε, να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση plot2d και με τρεις κλήσεις της συνάρτησης f (x, U) να πετύχουμε καλύτερο αποτέλεσμα. Αλλά ποιος θα είναι ο τύπος αυτής της συνάρτησης; Θα πρέπει να λύσουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας ως y U = x y 2 U = x y 2 U y = x Έτσι μπορούμε να γράψουμε: 2 U y= f( x, U) = (19.3) x Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να δώσουμε ως δεδομένα την ποσότητα x και τη χρησιμότητα U για να υπολογίσουμε την ποσότητα y που θα μας δώσει αυτή τη δεδομένη χρησιμότητα. Στο Maxima, μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση y= f( x), με βάση τη συνάρτηση U = f( x, y) ως εξής: 1. Ορίζουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U(x,y) := x^(1/2) * y^(1/2); 2. Υποθέτουμε θετικές τιμές για όλες τις μεταβλητές: 1 assume(x>0); 2 assume(y>0); 3 assume(u>0); 3. Εξισώνουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας με U και λύνουμε την εξίσωση ως προς y: 1 sol : solve(u(x,y)=u, y); 4. Ορίζουμε τη συνάρτηση f ( xu, ) με βάση το δεξιό μέλος της παράστασης λύσης: 1 f(x, U) := ''(rhs(sol[1])); Τα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στο Σχήμα Με δεδομένη τη συνάρτηση f (x, U), τώρα είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε τη ποσότητα f (8, 4) η οποία μας δίνει την ποσότητα y όταν x = 8 και U = 4.,όπως επίσης και την ποσότητα f (1, 2) που μας δίνει την ποσότητα y όταν x = 1 και U = 2. Αυτοί οι υπολογισμοί φαίνονται στο Σχήμα 19.2.

23 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 455 Σχήμα 19.1 Αντιστροφή της συνάρτησης χρησιμότητας στο περιβάλλον του Maxima. Σχήμα 19.2 Χρήση της συνάρτησης χρησιμότητας στο περιβάλλον του Maxima. Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε το γράφημα των καμπυλών χρησιμότητας για τις τιμές U = 2, 4, 6 ως εξής: plot2d([f(x,2), f(x,4), f(x,6)], [x, 0.01, 10], [y, 0, 10], [legend, "U=2 ", "U=4 ", "U=6 "], [style, [lines, 4,1], [lines, 8,2], [lines, 12,3]], [gnuplot_preamble, "set grid"]); Το αποτέλεσμα θα είναι η γραφική παράσταση του Σχήματος Μπορούμε επίσης να διαπιστώσουμε την ορθότητα των προηγούμενων υπολογισμών πάνω στο γράφημα. Πειραματιστείτε με το γράφημα, αλλάζοντας τα όρια στους άξονες, τροποποιώντας τις τιμές U, προσθέτοντας και αφαιρώντας καμπύλες, ώστε να εξοικειωθείτε με τις καμπύλες χρησιμότητας που προκύπτουν από τις συναρτήσεις Cobb-Douglas.

24 456 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Σχήμα 19.3 Γραφική παράσταση των καμπυλών χρησιμότητας Η καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού στο γράφημα καμπυλών αδιαφορίας Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού: I = x + y = 8 (19.4) στο Γράφημα 19.3 θέτοντας, για λόγους απλότητας, p x = 1 και p y = 1. Σε ένα τέτοιο γράφημα, θα πρέπει να γράψουμε όλες τις συναρτήσεις ως προς x (η μεταβλητή του οριζόντιου άξονα), οπότε στο Maxima θα ορίσουμε τον εισοδηματικό περιορισμό ως: 1 I(x) := 8 - x; Η προσθήκη του εισοδηματικού περιορισμού φαίνεται στο Σχήμα Οι εντολές στο Maxima για τη δημιουργία του γραφήματος, μαζί με τα επισημασμένα σημεία, είναι: I(x) := 8 - x; pp : [[4,4], [0.54,7.46], [7.46, 0.54], [2,6], [6,2]]; plot2d([f(x,2), f(x,4), f(x,6), I(x), [discrete, pp]], [x, 0.01, 10], [y, 0, 10], [legend, ""], [style, [lines, 4,1], [lines, 8,2], [lines, 12,3], [lines, 2, -1], [points, 3,-1,1] ], [gnuplot_preamble,

25 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή "set label 'U=2' at 0.6, 9; set label 'U=4' at 2.0, 9; set label 'U=6' at 4.3, 9; set label 'A' at 0.75, 7.5; set label 'B' at 2.1, 6.2; set label 'C' at 4.1,4.2; set label 'D' at 6.2, 2.1; set label 'E' at 7.6, 0.8;"]); Να σημειωθεί βέβαια πως οι εντολές του παραπάνω πλαισίου έπονται αυτών του Σχήματος 19.1, οι οποίες είναι απαραίτητες για τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης χρησιμότητας. Τα στοιχεία της λίστας pp τοποθετούνται ως διακριτά (discrete) σημεία. Παρατηρούμε πως η καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού I = 8 εφάπτεται στην καμπύλη αδιαφορίας U = 4 στο σημείο C. Αυτό είναι το άριστο σημείο που πρέπει να επιλέξει (x = 4, y = 4) ο καταναλωτής ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, με δεδομένη τη δαπάνη 8 χρηματικών μονάδων. Ένα καλό βιβλίο εισαγωγής στην Οικονομική θα σας εξηγήσει πως τα σημεία A, E είναι επίσης συμβατά με τον εισοδηματικό περιορισμό I = 8, αλλά προσδίδουν μικρότερη χρησιμότητα στον καταναλωτή: πέφτουν επάνω στην καμπύλη αδιαφορίας U = 2 και, σύμφωνα με την οικονομική θεωρία, ο καταναλωτής επιλέγει τη μέγιστη δυνατή χρησιμότητα που μπορεί να αποκομίσει. Σχήμα 19.4 Γράφημα των καμπυλών χρησιμότητας μαζί με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού I = x + y = 8.

26 458 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Σχήμα 19.5 Γράφημα 50 καμπυλών αδιαφορίας. Στο σημείο αυτό θα προχωρήσουμε λίγο παραπέρα. Θα δείξουμε πως, εκτός από τα σημεία A, E, συμβατά με τον εισοδηματικό περιορισμό είναι και τα σημεία B, C. Το γεγονός ότι τα σημεία αυτά δεν προσπίπτουν σε κάποια (ορατή) καμπύλη αδιαφορίας δεν σημαίνει τίποτα. Δείτε για παράδειγμα το Σχήμα 19.5, όπου απεικονίζονται 50 καμπύλες αδιαφορίας. Η χρησιμότητα είναι μια συνεχής συνάρτηση. Το γεγονός ότι τα διαγράμματα καμπυλών αδιαφορίας εμφανίζουν μερικές μόνο καμπύλες, δεν σημαίνει πως οι ενδιάμεσες καμπύλες δεν υπάρχουν. Στην πραγματικότητα, από κάθε σημείο του τμήματος AE περνάει μια καμπύλη αδιαφορίας. Βέβαια, η καμπύλη U = 4 είναι αυτή με τη μεγαλύτερη χρησιμότητα Τομή της καμπύλης αδιαφορίας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού Όταν η χρησιμότητα είναι μικρότερη από τη μέγιστη δυνατή με βάση τον εισοδηματικό περιορισμό, τότε οι καμπύλες αδιαφορίας και εισοδηματικού περιορισμού τέμνονται σε δύο σημεία. Για παράδειγμα, έστω η καμπύλη αδιαφορίας: Uxy (, ) x y 1/3 2/3 = (19.5) όπου x, y είναι οι ποσότητες δύο αγαθών με τιμές p x = 1 και p y = 4, αντίστοιχα. Όταν ο καταναλωτής προμηθεύεται ποσότητες από τα δύο αγαθά, καταναλώνει C χρηματικές μονάδες:

27 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 459 Cxy (, ) = p x+ p y= x+ 4y (19.6) x Αν ο καταναλωτής αντιμετωπίζει τον εισοδηματικό περιορισμό Cxy (, ) < I, τότε για δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας U υπάρχουν 3 ενδεχόμενα (δείτε πάλι το Σχήμα 19.4): 1. Οι καμπύλες I, U δεν τέμνονται, οπότε η χρησιμότητα U δεν είναι εφικτή με το εισόδημα I, όπως η χρησιμότητα U = 6 στο Σχήμα Οι καμπύλες I, U τέμνονται (εφάπτονται) σε ένα μόνο σημείο, όπως η χρησιμότητα U = 4 στο Σχήμα 19.4, οπότε ο καταναλωτής έχει τη μέγιστη δυνατή χρησιμότητα με το εισόδημα I. 3. Οι καμπύλες I, U τέμνονται σε δύο σημεία, όπως η χρησιμότητα U = 2 στο Σχήμα 19.4, οπότε ο καταναλωτής είναι αδιάφορος ανάμεσα σε δύο επιλογές. Θα εξετάσουμε αυτή την τελευταία περίπτωση και θα υπολογίσουμε το ζεύγος των ε- πιλογών του καταναλωτή, όταν η κατανάλωσή του βρίσκεται κάτω από το βέλτιστο επίπεδο. Με βάση τη συνάρτηση χρησιμότητας (19.5) και της κατανάλωσης (19.6), θα υπολογίσουμε το ζεύγος επιλογών του καταναλωτή όταν U = 2 και Ι = 12, και θα παραστήσουμε γραφικά τη λύση, όπως φαίνεται στο Σχήμα Για να το πετύχουμε αυτό, χρειάζεται να λύσουμε το επόμενο σύστημα εξισώσεων: y 1/3 2/3 x y = 2 (19.7α) x+ 4y= 12 (19.7β) Σχήμα 19.6 Τομή της καμπύλης αδιαφορίας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού.

28 460 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Η επίλυση τέτοιων μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων δεν είναι απλή υπόθεση και περιλαμβάνει πολλά στάδια. Γενικά, δεν υπάρχει μια καθολική αναλυτική μέθοδος επίλυσης τέτοιων συστημάτων και τα βήματα επίλυσης εξαρτώνται από την κάθε περίπτωση. Συστήματα λογισμικού όπως το Matlab ή το Octave προσφέρουν μεγαλύτερη ευελιξία αλλά υπολογίζουν τις ρίζες με αριθμητικό προσεγγιστικό τρόπο. Πιο αποδοτική, ως προς την ταχύτητα και αποτελεσματικότητα, φαίνεται να είναι η μεθοδολογία που χρησιμοποιεί τεχνικές βελτιστοποίησης στη γλώσσα προγραμματισμού C++ [47]. Θα πρέπει να μετατρέψουμε τις συναρτήσεις χρησιμότητας και εισοδηματικού περιορισμού ως συναρτήσεις της μεταβλητής x, δηλαδή της μορφής y= f( x). Με τον τρόπο αυτό μπορούμε και να επιλύσουμε τις εξισώσεις και να δημιουργήσουμε τη γραφική παράσταση σε κοινούς άξονες. Ας δούμε τη λύση βήμα προς βήμα. 1. Πρώτα θα μετατρέψουμε τη συνάρτηση Uxy (, ) στη συνάρτηση y= f( x, U), δηλαδή θα λύσουμε ως προς y. Ορίζουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U(x,y) := x^(1/3) * y^(2/3); 2. Υποθέτουμε θετικές τιμές: 1 assume(x>0); 2 assume(y>0); 3 assume(u>0); 3. Λύνουμε ως προς y: 1 sol : solve(u(x,y)=u, y); 4. Ορίζουμε τη νέα συνάρτηση 1 f(x, U) := ''(rhs(sol[1])); Τα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στο Σχήμα Από μια συνάρτηση Uxy, (, ) η οποία μας δίνει τη χρησιμότητα για ποσότητες x, y, τώρα έχουμε τη συνάρτηση f ( xu, ): 3 2 U f( x, U) = x η οποία μας δίνει την ποσότητα του αγαθού y, αν δώσουμε την ποσότητα του αγαθού x και τη χρησιμότητα U. Τώρα θα υπολογίσουμε μια νέα συνάρτηση y= I( x) η οποία, με βάση τον εισοδηματικό περιορισμό, θα μας δώσει την ποσότητα του αγαθού y, αν γνωρίζουμε την ποσότητα του αγαθού x. 1. Ορίζουμε την τιμή του αγαθού x: 1 px : 1;

29 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 461 Σχήμα 19.7 Υπολογισμός της αντίστροφης συνάρτησης χρησιμότητας y = f (x, U) στο περιβάλλον του Maxima. 2. Ορίζουμε την τιμή του αγαθού y: 1 py : 4; 3. Ορίζουμε το μέγιστο διαθέσιμο εισόδημα: 1 I : 12; 4. Ορίζουμε τη συνάρτηση κατανάλωσης: 1 C(x,y) := px*x + py*y; C(x, y) = px x+ py y 5. Εξισώνουμε την κατανάλωση με I και λύνουμε ως προς y: 1 sol : solve(c(x,y)=i, y); 6. Τέλος, ορίζουμε τη νέα συνάρτηση: 1 I(x) := ''(rhs(sol[1])); Τα αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήμα Η συνάρτηση x 12 Ix ( ) = 4 μας δίνει την ποσότητα του αγαθού y που θα προμηθευτεί ο καταναλωτής, όταν προμηθευτεί ποσότητα αγαθού x.

30 462 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Σχήμα 19.8 Υπολογισμός της αντίστροφης συνάρτησης κατανάλωσης y = I (x) στο περιβάλλον του Maxima. Το σχήμα αποτελεί συνέχεια των υπολογισμών του Σχήματος Τώρα που έχουμε και τις δύο συναρτήσεις ως προς x, μπορούμε να γράψουμε: 1 plot2d([i(x), f(x,2)], [x, 0.01, 14], [y, 0, 4]); και να πάρουμε μια πρώτη μορφή του Σχήματος Μεγιστοποίηση χρησιμότητας με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange Ένα απλό παράδειγμα μεγιστοποίησης χρησιμότητας Η μέθοδος Lagrange είναι μια μέθοδος βελτιστοποίησης συναρτήσεων κάτω από περιορισμό. Ο περιορισμός αυτός δεσμεύει τις μεταβλητές της συνάρτησης να δέχονται οποιαδήποτε τιμή. Ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα συνάρτησης χρησιμότητας τύπου Cobb-Douglas: Uxy (, ) 5x y 3/5 2/5 = (19.8) όπου x, y είναι οι ποσότητες από δύο αγαθά που επιλέγει ο καταναλωτής. Προφανώς, η χρησιμότητα αυξάνει όσο αυξάνει η κατανάλωση, αλλά αυτό έχει κάποιο κόστος. Ο καταναλωτής αγοράζει τα δύο προϊόντα πληρώνοντας κάποιο τίμημα:

31 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 463 P = 5 (19.9α) x P = 2 (19.9β) y Αν ο καταναλωτής δαπανήσει I = 25 χρηματικές μονάδες αγοράζοντας x, y ποσότητες προϊόντων, τότε ισχύει: Μπορούμε επίσης να γράψουμε: I= p x+ p y (19.10) x y Cxy (, ) = I px x + py y (19.11) όπου C είναι μια συνάρτηση η οποία συνδέει το εισόδημα προς κατανάλωση με τις ποσότητες των προϊόντων x, y που ο καταναλωτής προμηθεύεται δαπανώντας I χρηματικές μονάδες. Το πρόβλημα λοιπόν είναι να μεγιστοποιήσουμε τη Συνάρτηση 19.8 λαμβάνοντας υ- πόψη μας τη Συνάρτηση Για το πετύχουμε αυτό εισάγουμε μια σταθερά, τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ, και γράφουμε μια νέα συνάρτηση, τη συνάρτηση L: L = Uxy (, ) + λ( Cxy (, ) = 0) (19.12) Έτσι λοιπόν, καταλήγουμε στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης: 3/5 2/5 max = max x y + λ( I px x+ py y) x, y x, y L (19.13) η οποία είναι η συνάρτηση χρησιμότητας U με την προσθήκη του περιορισμού C = 0 πολλαπλασιασμένο με λ. Υπενθυμίζεται πως ο συμβολισμός: max L x, y σημαίνει μεγιστοποίηση της συνάρτησης L τόσο ως προς x, όσο και ως προς y. Μέχρι στιγμής, οι ορισμοί που απαιτούνται μπορούν να γραφούν στο Maxima ως εξής: U(x,y) := 5 * x^(3/5) * y^(2/5); Px : 5; Py : 2; I : 25; L(x,y,lambda) := U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y); Προσέξτε ότι ορίζουμε τη συνάρτηση Lagrange ως συνάρτηση τριών μεταβλητών, των x, y οι οποίες περιέχονται στον αρχικό ορισμό της συνάρτησης χρησιμότητας U και της μεταβλητής λ, που είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Έτσι όπως έχει γραφεί ο ορισμός της συνάρτησης Lagrange, το Maxima δεν θα εκτελέσει τις πράξεις αντικατάστα-

32 464 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima σης των συναρτήσεων και μεταβλητών. Κάτι τέτοιο δεν χρειάζεται βέβαια, αλλά δεν θα είναι λάθος αν γράψουμε τον ορισμό ως εξής: 1 L(x,y,lambda) := ''(U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y)); Σε αυτή την περίπτωση, το πρόγραμμα θα μας έδινε την απάντηση: L ( x, y, λ) = ( 2y 5x+ 25) λ+ 5x y Και οι δύο τρόποι ορισμού της συνάρτησης είναι συμβατοί με τους σκοπούς της επίλυσης του προβλήματος. Στη συνέχεια, η μέθοδος επίλυσης του προβλήματος της μεγιστοποίησης προβλέπει την ικανοποίηση των συνθηκών πρώτης τάξης, δηλαδή την επίλυση των εξισώσεων μηδενισμού των παραγώγων: 2 2 dl 5 5 = 3x y 5λ = 0 dx 3 3 dl 5 5 = 2x y 5λ = 0 dy (19.14α) (19.14β) dl = 5x 2y+ 25= 0 (19.14γ) dλ Μπορούμε να ορίσουμε τις εξισώσεις των πρώτων παραγώγων του Maxima ως εξής: eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; eq3 : diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; Η μαθηματική ανάλυση του συστήματος εξισώσεων (19.14) ξεφεύγει από τους σκοπούς αυτού του βιβλίου *. Στο Maxima μπορούμε να λύσουμε το σύστημα εξισώσεων (19.14) με την εντολή solve και (προαιρετικά) να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα στις μεταβλητές x max, y max, λ max ως εξής: sol : solve([eq1, eq2, eq3], [x,y,lambda]); xmax : rhs(sol[1][1]); ymax : rhs(sol[1][2]); lmax : rhs(sol[1][3]), numer; Όλοι οι ορισμοί του προβλήματος και οι υπολογισμοί της λύσης φαίνονται στο Σχήμα Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του όταν, δαπανώντας 25 χρηματικές μονάδες, προμηθεύεται 3 μονάδες προϊόντος x και 5 μονάδες προϊόντος y. * Μπορείτε να βρείτε μια έξοχη παρουσίαση της λύσης εδώ 9 Μαρτίου 2012

33 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 465 Σχήμα 19.9 Μεγιστοποίηση της συνάρτησης χρησιμότητας με τη μέθοδο Lagrange στο περιβάλλον του Maxima. Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων στο Maxima, όπως φαίνεται στο Σχήμα 19.9, μας δίνει τη δυνατότητα να επαναλαμβάνουμε εύκολα τη λύση όταν μεταβάλλονται οι συνθήκες του προβλήματος. Για παράδειγμα, μια αύξηση της τιμής του x σε p x = 6 θα οδη-

34 466 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima γούσε τον καταναλωτή σε ένα νέο καταμερισμό με x max = 5 και y = 5. Μπορούμε πολύ 2 εύκολα να επαναλάβουμε τη διαδικασία της λύσης αν αλλάξουμε μόνο μία γραμμή στο πρόγραμμα: 1 Px : 6; και εκτελέσουμε όλες τις εντολές εκ νέου πατώντας τα πλήκτρα CTRL+R Οικονομική ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange Με το Maxima είναι επίσης πολύ εύκολο να ερμηνεύσουμε την οικονομική σημασία που έχει ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Έστω η γενικού τύπου συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: Uxy (, ) 5x y 3/5 2/5 = (19.15) Αν I είναι το διαθέσιμο εισόδημα, μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση Lagrange ως εξής: 1 L(I,x,y,lambda) := U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y); (οι τιμές είναι απλώς παράμετροι του προβλήματος) και να υπολογίσουμε την παράγωγο: dl di = λ γράφοντας στο Maxima (Σχήμα 19.10): 1 diff(l(i,x,y,lambda), I); Σχήμα Υπολογισμός της παραγώγου της συνάρτησης Lagrange ως προς το εισόδημα, στο περιβάλλον του Maxima.

35 Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 467 Η μεταβλητή λ είναι λοιπόν η μεταβολή της χρησιμότητας ως προς τη μεταβολή του εισοδήματος ή, πιο απλά, το ποσό κατά το οποίο μεταβάλλεται η χρησιμότητα όταν το εισόδημα μεταβάλλεται κατά μία χρηματική μονάδα. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται από τη φύση της συγκεκριμένης συνάρτησης αλλά ισχύει γενικά Παραμετρική λύση μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας Cobb-Douglas Θα εξετάσουμε τώρα μια γενικότερη περίπτωση υπολογισμού της μέγιστης χρησιμότητας. Έστω η γενικού τύπου συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: Uxy (, ) a 1 a = Ax y (19.16) με A > 0 και 0 < a < 1. Αν p x και p y είναι οι τιμές των προϊόντων x και y, αντίστοιχα, και I είναι το διαθέσιμο εισόδημα του καταναλωτή, τότε: I = p x+ p y (19.17) x Το ζητούμενο είναι να υπολογίσουμε το μέγιστο της συνάρτησης χρησιμότητας, x max, y max ως παράμετρο των A, a, p x και p y και I. Δηλαδή, να έχουμε μια λύση της μορφής: y xmax = f( A, a, px, py, I) (19.18α) ymax = g( A, a, px, py, I) (19.18β) Δηλαδή, πρέπει να δώσουμε μια γενική λύση της μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας Cobb-Douglas. Για να το πετύχουμε αυτό, θα εργαστούμε όπως και στην προηγούμενη περίπτωση της Ενότητας , με τη διαφορά ότι δεν θα δώσουμε τιμές στις παραμέτρους A, a, p x και p y και I. Κατά τα λοιπά, η διαδικασία της λύσης είναι παρόμοια. Ξεκινάμε με τον ορισμό της συνάρτησης χρησιμότητας: 1 U(x,y):= A * x^(2*a) * y^(1-a); και τον ορισμό της συνάρτησης Lagrange: 1 L(x,y,lambda) := U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y); Ορίζουμε τις τρεις εξισώσεις με βάση τις πρώτες παραγώγους ως προς x, y και λ: eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; eq3: diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; Τέλος, υπολογίζουμε τη λύση του συστήματος εξισώσεων που προκύπτουν (δείτε τις Eξισώσεις 19.18):

36