METODA DEPLASĂRILOR PENTRU STRUCTURI DIN BARE DREPTE

Transcript

1 . METODA DEPLASĂILO PENTU STUCTUI DIN BAE DEPTE În constrcţiile civile, ca şi în cele de maşini, se întâlnesc nmeroase podri, acoperişri, dispoitive, instalaţii, schelete ale nor maşini etc care snt realiate din bare drepte sa crbe. Materialele folosite snt, mai ales, ţevi sa profile laminate, asamblate, de reglă, prin sdră. Configraţiile acestor strctri pot fi plane sa spaţiale, mai simple sa mai complexe, formate din câteva bare sa având mii de componente. Calcll lor se poate face foarte eficient c metoda deplasărilor, formlată pentr strctri din bare drepte. Această metodă preintă interes metodologic şi didactic deoarece, pentr prima dată, la formlarea ei s-a introds conceptl de matrice de rigiditate, care s-a dovedit deosebit de rodnic. De asemenea, această metodă este precrsoarea metodei elementelor finite, cea mai tiliată metodă de calcl ingineresc, în preent, care, este şi ea considerată frecvent, ca o metodă a deplasărilor..1. Formlarea metodei În metoda deplasărilor, necnoscte se consideră deplasările nodrilor strctrii. Formlarea matriceală a metodei dce la tiliarea nor notaţii simple şi nitare, la o mai clară sistematiare şi etapiare a calclelor şi mai ales la simplitatea elaborării ni program şi a implementării li pe calclator. Metoda se tilieaă, exclsiv, pe calclator, c programe corespnătoare, datorită volmli imens al calclelor. Strctra se consideră schematiată ca o reţea spaţială (în cari particlare, reţeaa poate fi plană) de bare drepte legate între ele în nodri. Configraţia geometrică a strctrii se defineşte prin valorile coordonatelor nodrilor în raport c n sistem de referinţă global, carteian, drept - reper global - ataşat strctrii. Barele strctrii se definesc prin nodrile de la capete. Fiecare nod poate avea maximm 6

2 şase componente ale deplasării: trei componente ale deplasării lineare şi trei rotiri, definite în raport c reperl global, al strctrii. Direcţiile dpă care se pot prodce deplasări se nmesc grade de libertate geometrică (degrees of freedom DOF). Pentr nele nodri, na sa mai mlte componente ale deplasării pot fi împiedicate, sa blocate (adică a valori nle), dacă nodl respectiv este reaem. În nele nodri se pot introdce deplasări c valori impse, cnoscte. Observaţie: În teoria elasticităţii se definesc doar componentele,, v, w, ale deplasării liniare. Introdcerea şi a rotirilor drept componente ale deplasării, este o generaliare inginerească, a conceptelor, rigroase, ale teoriei elasticităţii, din considerente privind nele facilităţi de calcl. Ansambll deplasărilor liniare şi rotirilor poartă denmirea de deplasări generaliate. De asemenea, efortrile (forţe şi momente) din secţinile barelor se nmesc forţe generaliate. Sarcinile concentrate, forţe şi momente, se consideră aplicate nmai în nodri. Această restricţie este doar metodologică, pentr o formlare mai simplă şi mai accesibilă a metodei. Programele de calcl a implementate procedri care permit definirea a doă categorii de sarcini: - sarcini aplicate strctrii, în nodri, care pot fi forţe şi momente concentrate, definite în raport c reperl global OXYZ; - sarcini aplicate fiecărei bare, între nodrile de la capete, care pot fi de orice tip, concentrate sa distribite, definite în raport c n reper local ox o o o, ataşat fiecărei bare, ca în figra.1. Figra.1 6

3 Pentr n nod oarecare, i, se definesc vectorl deplasărilor nodale, { i } şi vectorl sarcinilor nodale, { i }, sb forma (.1), care, în cal cel mai general, a câte 6 componente. Nmărl total 1 1 al deplasărilor necnoscte pentr întreaga strctră, i, i. (.1) repreintă nmărl total al gradelor de libertate geometrică ale strctrii. O bară oarecare, definită de nodrile n 1 şi n, având lngimea l, se consideră raportată la n sistem de coordonate local, x, care conţine direcţiile principale de inerţie ale secţinii barei, ca în figra., în care s-a figrat sensrile poitive ale deplasărilor şi efortrilor la cele doă capete ale barei. În figra. s-a scris şi notaţiile obişnite din reistenţa materialelor pentr componentele vectorilor {} şi {}. De obicei, pentr fiecare bară se tilieaă şi n nod n, pentr a defini direcţia planli x în spaţi (care este plan de inerţie principal al secţinii barei respective) a Figra. Cele 1 componente ale deplasărilor capetelor barei snt independente, dar din cele 1 efortri care acţioneaă aspra barei, nmai şase snt independente, deoarece trebie satisfăcte ecaţiile de echilibr, în nmăr de şase: N 1 + N = ; T T ; T T ; M M ; 1 M i1 i x b 1 x M T ; M M T. i1 i 1 (.)

4 65.. Matricea de rigiditate a barei drepte Între deplasări şi efortri există relaţiile de dependenţă, cnoscte din reistenţa materialelor. Pentr bara considerată, aceste relaţii pot fi scrise condensat sb forma r r r EI 4EI C GI I 1EI 1EI T EA E EI 4EI M EI 4EI I GI GI S 1EI 1EI 1EI 1EI EA EA sa şi mai simpl {} = [k]{}, (.4) în care [k] este matricea de rigiditate a barei. Proprietăţile matricei de rigiditate a barei drepte. - igiditatea nei bare drepte este definită de o matrice pătrată, [k], care leagă cele 1 efortri, {}, de cele 1 deplasări, {}, corespnătoare celor 1 grade de libertate geometrică ale celor doă nodri de la capetele barei. Observaţie: Aceasta este sitaţia cea mai generală. În practică se întâlnesc nmeroase cari particlare, ca, de exempl, cele în care barele snt articlate şi deci n pot prela decât efortri axiale şi / sa strctra este plană. În aceste cari nmărl componentelor vectorilor {} şi {} precm şi dimensinile matricei [k] vor fi mai mici decât 1. Nmărl minim al componentelor vectorilor {} şi {} este 1, iar dimensinea minimă a matricei [k] este x.

5 i Gradl de libertate pentr care i = 1 la capătl barei, pentr X = Tabell.1 i Gradl de libertate pentr care i = 1 la capătl barei, pentr X = l i =1 i = 7 i = i = 8 i = i = 9 i =4 i =1 i =5 i =11 i =6 i =1 - Un element oarecare, k ij, al matricei de rigiditate, [k], de pe linia i şi coloana j, are rmătoarea semnificaţie: este efortl i, prods de o deplasare i = 1, celelalte deplasări fiind nle. Expresiile analitice de calcl ale elementelor matricei [k] se stabilesc c 66

6 metodele clasice pentr calcll deplasărilor barelor din reistenţa materialelor, ca, de exempl, metoda parametrilor iniţiali, sa o metodă energetică. - Pentr a defini mai clar semnificaţiile elementelor k ij ale matricei de rigiditate a barei, în tabell.1 se preintă schemele de solicitare ale barei, pentr cele 1 componente, i = 1, ale deplasării şi cele 1 componente, i, ale efortrilor prodse în aceste condiţii. - Matricea [k] este simetrică, adică k ij = k ji, ca rmare a teoremei reciprocităţii forţelor. - De asemenea, matricea [k] este singlară, rangl ei fiind - în cal cel mai general - 6, deoarece bara poate avea şase deplasări de corp rigid, acestea fiind fără efect aspra valorilor efortrilor. Deci matricea n poate fi inversată, aceasta şi datorită faptli că ea leagă 1 deplasări independente de 1 efortri, între care există cele şase relaţii (.), adică nmai şase efortri snt independente. Un alt mod de a privi această sitaţie se referă la sisteml de ecaţii (.4), care n poate fi reolvat, fiind nedeterminat, ceea ce prespne că o singră bară n poate fi reolvată (cel pţin în contextl preent). - Matricea [k] este poitiv definită, deoarece toate elementele, k ii, de pe diagonala principală snt strict poitive, adică ele n pot fi niciodată negative sa nle. Această proprietate este o consecinţă a faptli că deplasarea i = 1 prodce totdeana n efort i, c acelaşi sens şi pe aceeaşi direcţie c i. Transformarea matricei de rigiditate. elaţia (.4) a fost scrisă pentr o bară oarecare a strctrii, raportată la reperl local ox o o o. Dacă strctra este raportată la reperl global OXYZ, atnci între cele doă sisteme de coordonate există relaţiile x l11 l1 l1 X l1 l l Y, sa {x } = [L 1 ] {X}, (.5) l1 l l Z în care [L 1 ], este matricea cosinsrilor directoare ale direcţiilor ox o, o o, o o, în raport c direcţiile OX, OY, OZ (fig..), adică l 11 = cos α 1, l 1 = cos β 1, l 1 = cos γ 1, ş.a.m.d. 67

7 Figra. [L], de 1x1 Dacă se are în vedere că ambele sisteme de coordonate snt ortogonale, reltă că există relaţia [L 1 ] T [L 1 ] = [I], în care, [I], este matricea nitate de ordinl trei. Pentr întreaga bară, vectorii {} şi {} şi matricea [k] a câte 1 componente, deci trebie definită o matricea de transformare, L1 L1 L, (.6) L1 L 1 în care [] este matricea ero de ordinl trei. Calcll deplasărilor şi efortrilor în sisteml local de coordonate (mărimile definite în sisteml local vor avea indicele ) în fncţie de valorile lor din sisteml global, se face c relaţiile { } = [L]{}, { } = [L]{}. (.7) Ca rmare a notaţiei adoptate, relaţia (.4) trebie scrisă sb forma { } = [k ]{ }, care devine, înlocind relaţiile de transformare (.7), [L]{} = [k ] [L] {}. (.8) Deoarece [L] -1 = [L] T, însemnă că relaţia (.8) devine {} = [L] T [k ] [L] {}, (.9) în care se noteaă [k] = [L] T [k ] [L], (.1) relaţie ce permite calcll matricei [k] în sisteml de coordonate global, fncţie de matricea [k ], din sisteml local, operaţie ce se nmeşte al rotirea matricei de rigiditate sa transformarea matricei de rigiditate. Acesta este efectl rotirii sistemli de coordonate aspra matricei de rigiditate a barei. Translaţiile n a nici n efect aspra matricei [k]. În acest mod, se obţine o relaţie similară c (.4), pentr bara raportată la reperl global, al strctrii. Observaţie: N este necesar să se introdcă notaţii speciale pentr mărimile din cele doă sisteme de coordonate, deoarece reltă din context la care sistem se face referire la n moment dat. 68

8 .. Asamblarea. Matricea de rigiditate a strctrii Pentr calcll întregii strctrii, care se consideră că are n n nodri şi n b bare, metoda deplasărilor prespne că se poate scrie o relaţie similară c (.4), pentr întreaga strctră, raportată la n reper global OXYZ şi anme {} = [K]{}, (.11) în care: [K] este matricea de rigiditate a strctrii, {} vectorl sarcinilor din nodri (nodale), {} vectorl deplasărilor nodrilor (nodale), ale strctrii. Matricea de rigiditate, [K], se obţine prin expandarea şi însmarea algebrică a matricelor de rigiditate ale barelor (calclate în raport c reperl global), pe nodrile şi gradele de libertate ale acestora, definite pentr întreaga strctră. Această operaţie poartă denmirea de asamblare. Figra.4 În figra.4 se preintă modl în care matricea de rigiditate, [k], a nei bare, definită între nodrile i şi j, poate fi descompsă în patr sbmatrice [k ii ], [k ij ], [k ji ], [k jj ], corespnătore gradelor de libertate geometrică (DOF) ale nodrilor de la capetele barei. Aceste matrice snt pătrate ( [k ii ], [k jj ] ) sa dreptnghilare ( [k ij ] = [k ji ] T când nmerele DOF-rilor nodrilor de la capetele barei n snt egale) şi a dimensinile egale c nmerele DOF ale nodrilor la care se referă, adică între 1 şi 6. Pentr obţinerea matricei de rigiditate [K] a strctrii se procedeaă astfel: - se nmeroteaă, sccesiv, toate cele n n nodri ale strctrii; 69

9 - se determină nmărl N, al DOF-rilor pentr întreaga strctră, care este sma DOF ale ttror nodrilor (de reglă, toate nodrile strctrii a aceleaşi DOF, dar este posibil ca acestea să fie diferite, pentr diverse nodri); - se defineşte matricea [K], pătrată, c dimensinile NxN, considerând-se că sccesinea coloanelor şi a liniilor este cea a nodrilor, iar pentr fiecare nod este cea a DOF, ca în vectorii (.1), deoarece matricea este simetrică; - matricea [K] se iniţialieaă (se mple ) c valoarea ; - se expandeaă matricea de rigiditate a fiecărei bare (care a fost Figra.5 calclată în raport c reperl global), ca în schema din figra.4, însmând-se algebric valorile elementelor sbmatricelor c valorile aflate deja în matricea [K], în locaţiile corespnătore fiecări DOF; - procedra se contină până când se proceseaă matricele de rigiditate ale ttror celor n b bare ale strctrii. În figra.5 se preintă, ca exempl, o strctră relativ simplă, c 5 nodri (n n = 5) şi 7 bare (n b = 7), a cărei matrice de rigiditate are configraţia din figra.6. În această figră trebie remarcat modl 7

10 Figra.6 în care s-a expandat sbmatricele barelor în matricea [K] a strctrii. Notaţia folosită pentr o sbmatrice [k b ij] are rmătoarea semnificaţie: b este nmărl barei, iar i şi j snt nmerele nodrilor de la capetele barei respective. Dacă într-o locaţie se află mai mlte sbmatrice, aceasta înseamnă că elementele lor se însmeaă algebric, dpă aceleaşi DOF-ri, corespnătore nodrilor la care se referă. Proprietăţile matricei de rigiditate, [K], a strctrii snt aceleaşi ca ale matricei de rigiditate a nei bare, la care se mai adagă şi altele câteva. - Matricea este pătrată, c dimensinile NxN, în care N este nmărl total al DOF-rilor nodrilor întregii strctri. - Un element oarecare, k ij, al matricei de rigiditate, [K], de pe linia i şi coloana j, are rmătoarea semnificaţie: este efortl i, prods de o deplasare i = 1, celelalte deplasări ale strctrii fiind nle. - Matricea [K] este simetrică, adică k ij = k ji. - Matricea este singlară, gradl de nedeterminare fiind egal c nmărl deplasărilor de corp rigid pe care le poate avea strctra în ansambl (în cal cel mai general 6, deoarece strctra poate avea şase deplasări de corp rigid). Deci matricea n poate fi inversată. Un alt mod de a privi această sitaţie se referă la sisteml de ecaţii (.11), care, în aceste condiţii, n poate fi reolvat, fiind nedeterminat. - Matricea [K] este poitiv definită, deoarece toate elementele, k ii, de pe diagonala principală snt strict poitive, adică ele n pot fi niciodată negative sa nle. - Matricea este rară, adică n nmăr relativ mare de elemente rămân nle (în mod obişnit între 6 şi 85 % din totall elementelor matricei). - Matricea este bandă, adică elementele nenle snt grpate în jrl diagonalei principale. Observaţie: Ultimele doă proprietăţi ale matricei [K] n snt evidente în figra.6 deoarece strctra căreia în corespnde (fig..5) are n nmăr prea mic de nodri. Componentele vectorli sarcinilor nodale, {} a aceeaşi sccesine ca şi elementele nei coloane a matricei de rigiditate a 71

11 strctrii, [K]. Pentr strctra din figra.5, componenta = -P, este plasată în locaţia corespnătore DOF=, a nodli (relaţia (.1)), aşa cm reltă din figra.5. Celelalte componente ale vectorli {} snt nle..4. Introdcerea condiţiilor de reemare Pentr ca sisteml de ecaţii (.11) să poată fi reolvat, trebie ca strctra să n aibă deplasări de corp rigid (translaţii sa rotiri) în spaţi. În acest scop trebie introdse condiţiile în legătri (de reemare) ale strctrii, care înseamnă, de fapt, deplasări cnoscte (nle sa de valoare dată), într-n nmăr oarecare de nodri. Aceste legătri pot fi oricâte, strctra ptând fi static determinată sa static nedeterminată, adică metoda n face o astfel de distincţie. Prin rmare, în sisteml de ecaţii (.11) se elimină liniile şi coloanele corespnătoare deplasărilor cnoscte (se are în vedere că fiecare linie corespnde ni anmit DOF, al ni anmit nod), obţinândse n sistem de ecaţii algebrice compatibil şi determinat, care se poate reolva prin diverse metode nmerice..5. eolvarea sistemli de ecaţii Alegerea metodei de reolvare a sistemli (.11) trebie să aibă în vedere cel pţin rmătoarele aspecte: - Într-n program de calcl destinat analiei nei strctri din bare drepte folosind metoda deplasărilor, reolvarea sistemli (.11) este etapa cea mai importantă sb aspectl volmli de calcl, al preciiei reltatelor obţinte şi al performanţelor programli, în ansambl. - Nmărl de ecaţii al sistemli poate fi foarte mare, adică de ordinl miilor sa stelor de mii, ceea ce înseamnă că, în general, sisteml n poate fi reolvat în memoria de lcr a calclatorli ci trebie partiţionat adică descomps în blocri sa sbsisteme. - Sisteml este simetric, bandă (c lăţimea variabilă a benii) şi rar. Programele care se tilieaă în inginerie a implementate modle pentr reolvarea sistemli (.11) baate pe rmătoarele metode şi algoritmi (detalii în manalele algebră şi metode nmerice de 7

12 calcl): metoda oriontli (sk line), metoda matricelor rare (sparse), metode iterative. Metodele enmerate conţin tehnici de rearanjare a ecaţiilor, de eliminare, tringhilariare Gass sa descompnere. În algoritmii implementaţi în programe, foarte importante snt procedrile care asigră neefectarea operaţiilor aritmetice c ero, deoarece acestea snt majoritare şi pot irosi efortl de calcl. Metodele iterative snt destinate reolvării sistemelor c peste de ecaţii şi a scopl asigrării, în aceste condiţii, a nei preciii bne a solţiei..6. eltatele calclli - Prin reolvarea sistemli (.11) se obţin valorile deplasărilor nodale, {}, în raport c reperl global (al strctrii). - În ecaţiile din sisteml {} = [K]{}, corespnătoare gradelor de libertate blocate ({}=) sa c deplasări cnoscte (date), se înlociesc valorile deplasărilor, {} şi se obţin valorile, {}, ale reacţinilor respective, în raport c reperl global. Observaţie. O linie din sisteml {} = [K]{} este ecaţia de echilibr a forţelor generaliate din nodl şi pe direcţia DOF-li respectiv. - C relaţiile (.7) se pot determina deplasările nodale, { } şi efortrile nodale { }, în raport c reperl local (al barei). - C relaţia { } = [k ]{ } se pot calcla efortrile care acţioneaă la capetele fiecărei bare (fig...b) c care se pot calcla (folosind formlele şi metodologiile pentr solicitări simple şi compse), tensinile prodse de solicitările simple din bare, tensinile echivalente maxime şi deplasările din fiecare secţine a fiecărei bare. - De asemenea, se oferă informaţii privind gretatea totală a strctrii, poiţia centrli de gretate, condiţiile în care s-a reolvat sisteml de ecaţii etc..7. Etapele principale ale calclli nei strctri din bare drepte c metoda deplasărilor Preprocesarea. - Se elaboreaă modell conceptal de calcl, adică se stabilesc care snt barele care se ia în considerare (şi care n), condiţiile de încărcare (eventale variante) şi condiţiile de reemare. 7

13 - Se nmeroteaă nodrile şi se determină coordonatele lor în raport c n reper global al strctrii, convenabil ales. - Se nmeroteaă barele şi se defineşte axa fiecărei bare, prin nmerele nodrilor de la capete. Folosind n alt nod (care să n fie pe direcţia axei barei) se defineşte direcţia principală de inerţie o o a secţinii. - Se definesc formele geometrice şi dimensinile secţinilor barelor şi se calcleaă ariile şi momentele de inerţie principale, direcţiile principale de inerţie şi momentl de inerţie polar (sa cel convenţional la răscire). - Se definesc sarcinile aplicate în nodrile strctrii şi sarcinile aplicate barelor. - Se definesc constantele materialli: gretatea volmică γ, modlele de elasticitate E şi G, coeficientl de contracţie transversală υ, coeficientl de dilatare termică lineară α etc. - Se definesc condiţiile de reemare (legătri) ale strctrii. Aceste operaţii se exectă de tiliator, c sa fără ajtorl calclatorli şi a ca reltat obţinerea ni fişier de intrare care conţine toate informaţiile care definesc modell de calcl al strctrii, în forma certă de programl care se tilieaă. Calclatorl citeşte fişierl de intrare şi face o serie de verificări ale acestia (dacă se găsesc greşeli, se scri mesaje de atenţionare). De asemenea, se realieaă n desen în spaţi al modelli, c repreentarea încărcărilor şi condiţiilor de reemare, care permite alte verificări ale modelli. Procesarea. Prin comeni specifice se activeaă procesl propri-is de calcl, în varianta aleasă de tiliator (programl are opţini corespnătoare) parcrgând-se, de obicei, rmătoarele etape: - Se calcleaă matricele de rigiditate, [k ], ale barelor în raport c reperl local (vei relaţia (.)). - Se calcleaă matricele de rigiditate ale barelor, [k], în raport c reperl global, c relaţia (.1). - Se determină matricea de rigiditate, [K], a strctrii, prin asamblarea matricelor de rigiditate ale barelor. - Se formeaă vectorl, {}, al sarcinilor nodale ale strctrii. 74

14 - Se formeaă sisteml de ecaţii (.11) al strctrii. - În sisteml (.11) se introdc condiţiile de reemare, prin eliminarea liniilor şi coloanelor corespnătoare gradelor de libertate geometrică blocate ( = ) sa c deplasări impse (cnoscte). - Se reolvă sisteml de ecaţii al strctrii, obţinând-se valorile deplasărilor nodale, {}. - Se scri, într-o formă accesibilă toate informaţiile privind modell de calcl şi reltatele obţinte. Postprocesarea. Volml informaţiilor disponibile în rma calclli este foarte mare, motiv pentr care programl oferă tiliatorli posibilitatea de a alege ce informaţii doreşte să i se livree şi sb ce formă. În programe snt disponibile meniri c care se pot alege variantele postprocesării. Se a în vedere doă categorii de aspecte: - Care snt informaţiile dorite: deplasări, efortri, tensini, reacţini, deformaţii specifice, tensini echivalente etc. Aceste mărimi pot fi definite în raport c reperl global (al strctrii), în raport c reperl local (al barei), sa, pentr nele dintre ele, tiliatorl poate alege, varianta dorită. - Sb ce formă să fie editate reltatele solicitate: tabele, figri, repreentări grafice, animaţii, valori maxime etc, fiecare din opţini având diverse variante disponibile..8. Conclii - Metoda deplasărilor pentr calcll strctrilor din bare drepte este foarte eficientă în inginerie, motiv pentr care este folosită pe scară foarte largă, mai ales datorită simplităţii sale şi a tiliării calclatoarelor, fiind implementată în sisteme de proiectare asistată. - Din considerente didactice metoda a fost preentată în varianta sa de baă. Ea poate fi, relativ simpl, extinsă atât pentr strctri care conţin şi bare crbe, cât şi pentr calcle de stabilitate, dinamice (în diverse variante) sa pentr probleme nelineare. - Metoda este mai exactă ca altele, ca, de exempl, metoda elementelor finite. Greşit se consideră, de către nii tiliatori, ca fiind exactă. Metoda, în formlarea sa de baă, conţine ipotea de 75

15 bară, care este o simplificare a realităţii. În consecinţă solţiile a n anmit grad de aproximare, de care trebie să se ţină seama în practică. Ipotea de bară (şi ipotea secţinii plane a li Bernolli), prespne că lngimea fiecărei bare este mlt mai mare decât dimensinile secţinii şi ca rmare, strctra se consideră definită prin axele barelor, iar joncţinile barelor (nodrile strctrii) ca pncte geometrice (fără dimensini). Prin rmare, metoda n poate oferi informaţii satisfăcătoare privind valorile tensinilor în onele joncţinilor strctrii, ci nmai la distanţe sficient de mari de acestea. Valorile mărimilor care definesc comportarea globală a strctrii se obţin c o preciie inginerească bnă. Aspectele locale trebie analiate lterior, c modele şi metode de calcl adecvate, ca, de exempl, metoda elementelor finite. Bibliografie 1. Constantinesc, I.N., Gheorghi, H., Hadăr, A., Stoicesc, C., Méthode des éléments finis- Cors et applications, Ltographie de l'université "Politehnica" de Bcarest, Constantinesc, I.N., Pic, C., Hadăr, A., Gheorghi, H., eistenţa materialelor pentr ingineria mecanică, Editra BEN, Bcreşti, 6.. Gheorghi, H., Constantinesc, I.N., Hadăr, A., Petre, C., Methodes nmeriqes por le calcl des strctres de resistance, Editra BEN, Bcreşti, Hadăr, A., Marin, C., Petre, C., Voic, A., Metode nmerice în inginerie, Editra Politehnica Press, Bcreşti, Hadăr, A., Constantinesc, I.N., Gheorghi, H., Coteţ, C.E, Modelare şi modele pentr calcle în ingineria mecanică, Editra Printech, Bcreşti, Marin, C., Hadăr, A., Fl. Popa, L. Alb, Modelarea c elemente finite a strctrilor mecanice, Editra Academiei şi Editra AGI, Bcreşti,. 7. Sorohan, Şt., Constantinesc, I. N., Practica modelării şi analiei c elemente finite, Bcreşti, Editra Politehnica Press,. 76