CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1

Transcript

1 CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul Generalităţi. Legături intermediare Teoreme de echilibru...5 Test de autoevaluare Sisteme de corpuri static determinate Metoda echilibrului corpurilor componente...10 Test de autoevaluare Bibliografie modul 11 Rezumat modul.11 Rezolvarea testelor de autoevaluare Echilibrul sistemelor de corpuri rigide Introducere modul În acest modul se vor studia sistemele de corpuri rigide. Se vor prezenta legăturile dintre corpuri în problema plană, se vor enunţa cele două teoreme de echilibru care rezolvă problema echilibrului sistemelor de corpuri static determinate. Se va defini noţiunea de sistem de corpuri static determinat şi se va prezenta una dintre metodele de determinare ale necunoscutelor introduse de legăturile sistemului de corpuri (atât exterioare cât şi intemediare), metoda echilibrului corpurilor componente. Mecanica I 1

2 Obiective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să definească sistemul de corpuri rigide; - legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri în problema plană; - să enunţe şi să demonstreze teoremele de echilibru ale sistemelor de corpuri rigide; - să identifice şi să alcătuiască sisteme de corpuri static determinate; - pentru sisteme de corpuri static determinate să rezolve necunoscutele introduse de legături prin metoda echilibrului corpurilor componente. 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. Durata medie de studiu individual 9.1. Generalităţi. Legături intermediare Un sistem de corpuri rigide este un ansamblu de corpuri rigide aflate în interacţiune mecanică. Dacă sistemul de corpuri este alcătuit din corpuri plane, situate în acelaşi plan şi acţionate de forţe situate în planul considerat atunci sistemul de corpuri este plan. Interacţiunea mecanică dintre corpurile unui sistem de corpuri se realizează cu ajutorul legăturilor intermediare (legături interioare). Imobilizarea sistemului de corpuri se face cu ajutorul atât a legăturilor intermediare cât şi a legăturilor corpurilor cu mediul exterior, denumite legături exterioare. Deoarece legăturile ideale în plan (mai des întâlnite) ale corpurilor cu mediul exterior s-au prezentat în modulul anterior, se vor prezenta în continuare legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri în plan. Legăturile intermediare pot fi legături simple intermediare (de tipul reazemului simplu) sau articulaţii intermediare. Dacă între două corpuri se introduce o încastrare atunci ele se vor comporta ca un singur corp (nu există între cele două corpuri posibilitatea unor deplasări sau rotiri relative) şi se vor considera ca atare. Mecanica I 2

3 Legătura simplă intermediară (figura 9.1) Legătura simplă intermediară suprimă ansamblului celor două corpuri legate un grad de libertate şi anume posibilitatea translaţiei relative pe direcţia legăturii simple. Aceasta înseamnă că pe direcţia legăturii simple intermediare, cele două corpuri se translatează împreună, cu aceeaşi cantitate. Legătura simplă intermediară se schematizează printr-un pendul având direcţia identică cu direcţia legăturii simple. Prin aplicarea axiomei legăturilor, legătura simplă se înlocuieşte cu o pereche de forţe de legătură egale ca mărime, având aceeaşi direcţie dar sensuri opuse. Mărimea forţei de legătură este necunoscută (se determină din condiţiile de echilibru), direcţia este direcţia legăturii simple iar sensul este nedeterminat (dar nu o necunoscută independentă). Rezultă că legătura simplă intermediară introduce în calcul o singură necunoscută scalară (mărimea forţei de legătură corespunzătoare). Fig Legătura simplă intermediară Articulaţia intermediară. Articulaţia intermediară poate lega între ele două corpuri (articulaţie intermediară simplă) sau mai multe corpuri (articulaţie intermediară multiplă). Articulaţia intermediară simplă (figura 9.2) fixează un punct al unui corp de celălalt corp. Astfel, aceasta suprimă ansamblului celor două corpuri două grade de libertate (translaţiile relative ale celor două corpuri). Articulaţia intermediară simplă se schematizează printr-un cerc mic situat în punctul de legătură. Prin aplicarea axiomei legăturilor, articulaţia intermediară simplă se înlocuieşte cu o pereche de forţe de legătură egale ca mărime, având aceeaşi direcţie dar sensuri opuse. Forţa de legătură are mărimea şi direcţia necunoscute (se determină din condiţiile de echilibru) şi sensul nedeterminat (dar nu o necunoscută independentă). Prin proiectarea forţei de legătură pe două direcţii cunoscute, necunoscutele scalare introduse de articulaţie vor fi mărimile a Mecanica I 3

4 două forţe. Astfel, o articulaţie intermediară simplă suprimă ansamblului de corpuri două grade de libertate şi introduce în calcul două necunoscute scalare. α α Fig Articulaţia intermediară simplă Articulaţia intermediară multiplă leagă între ele n corpuri ale unui sistem de corpuri (n >2). Se alege un corp (corpul n) şi se consideră că fiecare dintre celelalte corpuri este legat de corpul n printr-o articulaţie intermediară simplă. Rezultă că o articulaţie multiplă ce leagă între ele n corpuri poate fi echivalată cu (n-1) articulaţii intermediare simple (în figura 9.3 se prezintă modul de abordare al unei articulaţii ce leagă trei corpuri ale unui sistem de corpuri). Fig Articulaţia intermediară multiplă Asupra unui sistem de corpuri acţionează trei tipuri de forţe: - forţe active (forţe date, încărcări); - forţe de legătură din legăturile exterioare; - forţe de legătură din legăturile intermediare. În continuare forţele de legătură din legăturile exterioare se vor denumi reacţiuni iar forţele de legătură din legăturile intermediare se vor denumi forţe de legătură. Mecanica I 4

5 9.2. Teoreme de echilibru În cazul sistemelor de corpuri problema care apare este determinarea reacţiunilor şi a forţelor de legătură corespunzătoare unei situaţii de încărcare. Pentru ca un sistem de corpuri să fie în echilibru trebuie ca fiecare corp al sistemului să fie în echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare (forţele active ce acţionează asupra corpului considerat, reacţiunile din legăturile exterioare ale corpului considerat şi forţele de legătură din legăturile intermediare ale corpului cu alte corpuri din sistem). De asemenea, dacă fiecare corp dintr-un sistem de corpuri este în echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare atunci întreg sistemul de corpuri va fi în echilibru. Pentru rezolvarea problemei echilibrului unui sistem de n corpuri rezultă că este suficient să se exprime echilibrul fiecărui corp sub acţiunea forţelor corespunzătoare (după ce se aplică axioma legăturilor), adică se rezolvă n probleme de echilibru a unui solid rigid. Deoarece există probleme în care se cere doar determinarea reacţiunilor (a forţelor de legătură din legăturile exterioare) iar prin abordarea prezentată se determină toate forţele de legătură (atât cele introduse de legăturile exterioare cât şi cele introduse de legăturile intermediare) se vor enunţa două teoreme de echilibru ce vor face posibilă eliminarea unor forţe de legătură din legăturile intermediare. Înainte de enunţarea şi demonstrarea teoremelor de echilibru se va calcula efectul mecanic al unei perechi de forţe de legătură intermediare într-un punct. A (I) (J) (I) (J) O O Fig Efectul mecanic al forţelor de legătură intermediare într-un punct Fie două corpuri I şi J ale unui sistem de corpuri legate printr-o legătură intermediară (de exemplu articulaţie intermediară în punctul A figura 9.4) şi un punct oarecare O. Se va determina efectul mecanic în punctul O produs de forţele de legătură corespunzătoare legăturii considerate. Mecanica I 5

6 Prin aplicarea axiomei legăturilor, articulaţia intermediară simplă din punctul A se înlocuieşte cu o pereche de forţe de legătură având aceleaşi mărime şi direcţie dar sensuri opuse, astfel încât efectul de forţă va fi: Efectul de moment se va determina sumând momentele forţelor în raport cu punctul O: Rezultă că efectul forţelor de legătură introduse de legăturile intermediare ideale într-un punct oarecare este nul. Prima teoremă de echilibru se numeşte teorema solidificării, iar enunţul este: Un sistem de corpuri se află în echilibru dacă sistemul forţelor exterioare, date şi de legătură este un sistem de forţe în echilibru. Teorema solidificării se poate enunţa şi astfel: Dacă un sistem de corpuri este în echilibru, atunci sistemul considerat a fi un singur solid rigid trebuie să fie în echilibru. Se exprimă echilibrul fiecărui corp din sistemul de corpuri: Demostraţie unde s-au introdus notaţiile: - rezultanta forţelor active (date) ce acţionează pe corpul,,i ; - rezultanta reacţiunilor corespunzătoare legăturilor exterioare ale corpului,,i ; Mecanica I 6

7 - rezultanta forţelor de legătură corespunzătoare legăturilor dintre corpul,,i şi celelalte corpuri ale sistemului de corpuri; - momentul rezultant al forţelor active (date) ce acţionează pe corpul,,i în raport cu un punct oarecare O; - momentul rezultant al reacţiunilor corespunzătoare legăturilor exterioare ale corpului,,i în raport cu un punct oarecare O; - momentul rezultant al forţelor de legătură corespunzătoare legăturilor dintre corpul,,i şi celelalte corpuri ale sistemului de corpuri în raport cu un punct oarecare O. Prin sumarea ecuaţiilor scrise pentru fiecare corp în parte rezultă: Dar forţele de legătură intermediare sunt două căte două egale în mărime şi de sens opus. Rezultă că efectul lor în raport cu un punct oarecare este nul, adică: În ecuaţiile de echilibru vor interveni atunci doar forţele exterioare (active şi reacţiunile din legăturile sistemului de corpuri cu mediul exterior): Cea de-a doua teorema de echilibru se numeşte teorema echilibrului părţilor iar enunţul acesteia este: Un sistem de corpuri se află în echilibru dacă fiecare parte a sistemului se află în echilibru, sub acţiunea forţelor corespunzătoare părţii respective (forţele active ce acţionează partea, Mecanica I 7

8 reacţiunile corespunzătoare legăturilor exterioare ale părţii şi forţele de legătură din legăturile părţii considerate cu celelalte părţi ale sistemului de corpuri). Demonstraţia acestei teoreme este similară cu demonstraţia teoremei solidificării, dar sumele sunt parţiale şi se efectuează doar pentru partea considerată. Demostraţie De aceea, când se sumează ecuaţiile de echilibru se obţin perechi de forţe doar pentru forţele de legătură corespunzătoare legăturilor intermediare dintre corpurile ce alcătuiesc partea considerată. Efectul acestor perechi de forţe este nul. Rezultă că partea considerată va fi în echilibru doar sub acţiunea forţelor corespunzătoare părţii respective. 1. Legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri pot fi: a) articulaţia intermediară simplă; b) legătura simplă intermediară; c) articulaţia intermediară multiplă. Test de autoevaluare 1 2. Enunţul,, o articulaţie multiplă ce leagă între ele n corpuri poate fi echivalată cu (n-1) articulaţii intermediare simple este: a) adevărat; b) fals. 3. Enunţaţi teorema solidificării. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. Mecanica I 8

9 9.3. Sisteme de corpuri static determinate Un sistem de corpuri imobilizat cu un număr minim de legături simple necesare se numeşte sistem de corpuri static determinat. Pentru un sistem de corpuri static determinat numărul necunoscutelor scalare introduse de legăturile sistemului este egal cu numărul ecuaţiilor de echilibru scalare, independente posibile de scris, astfel încât problema este determinată din punct de vedere matematic. Rezultă că pentru a fi static determinat, un sistem de corpuri trebuie să îndeplinească două condiţii: o condiţie cantitativă şi o condiţie calitativă. Condiţia cantitativă a fost enunţată mai sus. Aceasta se exprimă: unde E este numărul ecuaţiilor de echilibru scalare, independente, posibile de scris iar N este numărul necunoscutelor scalare introduse de legături. În problema plană, pentru un corp pot fi scrise trei astfel ecuaţii de echilibru. Rezultă că pentru un sistem alcătuit din N c corpuri numărul ecuaţiilor de echilibru este: Pentru determinarea numărului necunoscutelor, vom considera fiecare legătură prezentată. Astfel, un reazem simplu sau o legătură simplă intermediară introduc în calcul o necunoscută scalară, o articulaţie (exterioară sau intermediară simplă) introduce în calcul două necunoscute scalare iar o încastrare introduce în calcul trei necunoscute scalare. Având în vedere că o articulaţie intermediară multiplă este echivalentă cu un număr de articulaţii simple, se vor lua în calcul numai articulaţiile simple. Se poate scrie:, unde N î este numărul de încastrări, N a.s. este numărul de articulaţii simple (exterioare sau intermediare) iar N r.s. este numărul reazemelor simple sau al legăturilor simple intermediare. Condiţia de determinare statică (cantitativă) devine: Mecanica I 9

10 Condiţia calitativă este ca sistemul de corpuri să fie imobilizat. Verificarea imobilităţii sistemului de corpuri se face prin verificarea imobilităţii fiecărui corp în parte cunoscând, pe lângă cele trei situaţii de la solidul rigid şi faptul că o articulaţie intermediară ataşată unui corp fix devine o articulaţie fixă. Un sistem de corpuri utilizat frecvent este sistemul alcătuit din două corpuri ce au ca legături exterioare două articulaţii şi ca legătură intermediară o articulaţie. Acest sistem de corpuri se numeşte cadru triplu articulat şi este un sistem de corpuri static determinat (figura 9.5.a). Forma critică a cadrului triplu articulat se obţine dacă cele trei articulaţii sunt coliniare (figura 9.5.b). formă critică a) b) Fig Cadrul triplu articulat 9.4. Metoda echilibrului corpurilor componente În metoda echilibrului corpurilor componente se exprimă echilibrul fiecărui corp dintr-un sistem de corpuri. În acest mod, se transformă problema rezolvării unui sistem alcătuit din n corpuri în n probleme de solid rigid. Etapele metodei sunt: 1. Se verifică dacă sistemul de corpuri este static determinat; 2. Se realizează schema statică pentru sistemul de corpuri: se izolează fiecare corp (se reprezintă corpul fără încărcări şi fără legături); se înlocuiesc legăturile corpurilor cu reacţiunile şi forţele de legătură corespunzătoare (forţele de legătură vor fi perechi de forţe, cu mărimi egale şi cu sensuri opuse); se solicită fiecare corp cu încărcările aferente, aranjate corespunzător (forţele distribuite se concentrează pe corpurile pe care acţionează, forţele şi momentele concentrate se reprezintă aşa cum sunt); se cotează figurile. Mecanica I 10

11 3. Pentru fiecare corp se scriu trei ecuaţii de echilibru scalare independente; 4. Se rezolvă sistemul ecuaţiilor de echilibru obţinut; 5. Se verifică rezultatele obţinute prin scrierea, pentru fiecare corp în parte, a unei ecuaţii de echilibru neutilizate în rezolvarea necunoscutelor. 1. Definiţi noţiunea de încărcare. 2. Relaţia,, este: a) adevărată; b) falsă. Test de autoevaluare 2 3. Ce înţelegeţi prin noţiunea de,,cadru triplu articulat? Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag ; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. Partea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag ; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag În acest modul se începe studiul staticii sistemelor de corpuri. Rezumat modul S-au prezentat legăturile intermediare ale sistemelor de corpuri, teoremele de echilibru şi noţiunea de sistem de corpuri static determinat. În ultima parte a modulului a fost studiată prima metodă de calcul a Mecanica I 11

12 sistemelor de corpuri static determinate, metoda echilibrului corpurilor componente. 1. a, b, c; 2. a; Rezolvare test de autoevaluare 1 3. Consultare aspecte teoretice pag Consultare aspecte teoretice pag. 9; 2. a; Rezolvare test de autoevaluare 2 3. Consultare aspecte teoretice pag. 10. Mecanica I 12