Iulian STOLERIU. Statistic Aplicat

Transcript

1 Iulian STOLERIU Statistic Aplicat

2 1 Statistic Aplicat (Laborator 1) Organizarea ³i reprezentarea datelor statistice Scurt istoric Statistica este o ramur a ³tiinµelor ce se preocup de procesul de colectare de date ³i informaµii, de organizarea ³i interpretarea lor, în vederea explic rii unor fenomene reale. În general, prin date (sau date statistice) înµelegem o mulµime de numere ce au o anumit însemn tate. Aceste numere pot legate între ele sau nu. Suntem interesaµi de studiul acestor date, cu scopul de a înµelege anumite relaµii între diverse tr s turi ce m soar datele culese. De regul, oamenii au anumite intuiµii despre realitatea ce ne înconjoar, pe care le doresc a conrmate într-un mod cât mai exact. De exemplu, dac într-o anumit zon a µ rii rata somajului este ridicat, este de a³teptat ca în acea zon calitatea vieµii persoanelor de acolo s nu e la standarde ridicate. Totu³i, ne-am dori s m cât mai preci³i în evaluarea leg turii dintre rata somajului ³i calitatea vieµii, de aceea ne-am dori s construim un model matematic ce s ne conrme intuiµia. Un alt gen de problem : ardem de ner bdare s a m cine va noul pre³edinte, imediat ce secµiile de votare au închis porµile (exit-pole). Chestionarea tuturor persoanelor ce au votat, colectarea ³i unicarea tuturor datelor într-un timp record nu este o m sur deloc practic. În ambele probleme menµionate, observaµiile ³i culegerea de date au devenit prima treapt spre înµelegerea fenomenului studiat. De cele mai multe ori, realitatea nu poate complet descris de un astfel de model, dar scopul este de a oferi o aproximare cât mai del ³i cu costuri limitate. În ambele situaµii menµionate apar erori în aproximare, erori care µin de întâmplare. De aceea, ne-am dori s putem descrie aceste fenomene cu ajutorul variabilelor aleatoare. Plecând de la colecµiile de date obµinute dintr-o colectivitate, Statistica introduce metode de predicµie ³i prognoz pentru descrierea ³i analiza propriet µilor întregii colectivit µi. Aria de aplicabilitate a Statisticii este foarte mare: ³tiinµe exacte sau sociale, umanistic sau afaceri etc. O disciplin strâns legat de Statistic este Econometria. Aceasta ramur a Economiei se preocup de aplicaµii ale teoriilor economice, ale Matematicii ³i Statisticii în estimarea ³i testarea unor parametri economici, sau în prezicerea unor fenomene economice. Statistica a ap rut în secolul al XVIII - lea, din nevoile guvernelor de a colecta date despre populaµiile pe care le reprezentau sau de a studia mersul economiei locale, în vederea unei mai bune administr ri. Datorit originii sale, Statistica este considerat de unii ca ind o ³tiinµ de sine st t toare, ce utilizeaz aparatul matematic, ³i nu este privit ca o subramur a Matematicii. Dar nu numai originile sale au fost motivele pentru care Statistica tinde s devin o ³tiinµ separat de Probabilit µi. Datorit revoluµiei computerelor, Statistica a evoluat foarte mult în direcµia computaµional, pe când Teoria Probabilit µilor foarte puµin. A³a cum David Williams scria în [18], "Teoria Probabilit µilor ³i Statistica au fost odat c s torite; apoi s-au separat; în cele din urm au divorµat. Acum abia c se mai întâlnesc". Din punct de vedere etimologic, cuvântului statistic î³i are originile în expresia latin statisticum collegium (însemnând consiliul statului) ³i cuvântul italian statista, însemnând om de stat sau politician. În 1749, germanul Gottfried Achenwall a introdus termenul de Statistik, desemnat pentru a analiza datele referitoare la stat. Mai târziu, în secolul al XIX-lea, Sir John Sinclair a extrapolat termenul la colecµii ³i clasic ri de date. 1

3 Metodele statistice sunt ast zi aplicate într-o gam larg de discipline. Amintim aici doar câteva exemple: în Agricultur, de exemplu, pentru a studia care culturi sunt mai potrivite pentru a folosite pe un anumit teren arabil; în Economie, pentru studiul rentabilit µii unor noi produse introduse pe piaµ, pentru corelarea cererii cu ofert, sau pentru a analiza cum se schimb standardele de viaµ ; în Biologie, pentru clasicarea din punct de vedere ³tiinµic a unor specii de plante sau pentru selectarea unor noi specii; în tiinµele educaµiei, pentru a g si cel mai ecient mod de lucru pentru elevi sau pentru a studia impactul unor teste naµionale asupra diverselor caregorii de persoane ce lucreaz în înv µ mânt; în Meteorologie, pentru a prognoza vremea într-un anumit µinut pentru o perioad de timp, sau pentru a studia efectele înc lzirii globale; în Medicin, pentru testarea unor noi medicamente sau vaccinuri; în Psihologie, în vederea stabilirii gradului de corelaµie între timiditate ³i singur tate; în Politologie, pentru a verica dac un anumit partid politic mai are sprijinul populaµiei; în tiinµele sociale, pentru a studia impactul crizei economice asupra unor anumite clase sociale; etc. Pentru a analiza diverse probleme folosind metode statistice, este nevoie de a identica mai întâi care este colectivitatea asupra c reia se dore³te studiul. Aceast colectivitate (sau populaµie) poate populaµia unei µ ri, sau numai elevii dintr-o ³coal, sau totalitatea produselor agricole cultivate într-un anumit µinut, sau toate bunurile produse într-o uzin. Dac se dore³te studiul unei tr s turi comune a tuturor membrilor colectivit µii, este de multe ori aproape imposibil de a observa aceast tr s tur la ecare membru în parte, de aceea este mult mai practic de a strânge date doar despre o submulµime a întregii populaµii ³i de a c uta metode eciente de a extrapola aceste observaµii la toat colectivitatea. Exist o ramur a statisticii ce se ocup cu descrierea acestei colecµii de date, numit Statistic descriptiv. Aceast descriere a tr s turilor unei colectivit µi poate f cut atât numeric (media, dispersia, mediana, cuantile, tendinµe etc), cât ³i grac (prin puncte, bare, histograme etc). De asemenea, datele culese pot procesate întrun anumit fel, încât s putem trage concluzii foarte precise despre anumite tr s turi ale întregii colectivit µi. Aceast ramur a Statisticii, care trage concluzii despre caracteristici ale întregii colectivit µi, studiind doar o parte din ea, se nume³te Statistic inferenµial. În contul Statisticii inferenµiale putem trece ³i urm toarele: luarea de decizii asupra unor ipoteze statistice, descrierea gradului de corelare între diverse tipuri de date, estimarea caracteristicilor numerice ale unor tr s turi comune întregii colectivit µi, descrierea leg turii între diverse caracteristici etc. Statistica Matematic este o subramur a Matematicii ce se preocup de baza teoretic abstract a Statisticii. Din datele culese pe cale experimental, Statistica Matematic va c uta s extrag 2

4 informaµii ³i s le interpreteze. Un cercet tor într-un domeniul teoretic al Statisticii, cum este ³i Statistica Matematic, va c uta s îmbun t µeasc metodele teoretice existente sau s introduc altele noi. Aceasta va utiliza noµiuni din Teoria probabilit µilor, dar ³i noµiuni din alte ramuri ale Matematicii, cum ar : Algebra liniar, Analiza matematic, Teoria optimiz rii. De asemenea, partea computaµional este deosebit de util în studiul Statisticii moderne, f r de care cercetarea ar îngreunat sau, uneori, chiar imposibil de realizat. În aceast lucrare vom utiliza pachetele de programe Matlab pentru efectuarea calculelor, în versiunea Matlab 7.1. Acest software este introdus ³i dezvoltat de compania The MathWorks (vezi [9]). Modelare Statistic De obicei, punctul de plecare este o problem din viaµa real, e.g., care partid are o susµinere mai bun din partea populaµiei unei µ ri, dac un anumit medicament este relevant pentru boal pentru care a fost creat, dac este vreo corelaµie între num rul de ore de lumina pe zi ³i depresie. Apoi, trebuie s decidem de ce tipuri date avem nevoie s colect m, pentru a putea da un r spuns la întrebarea ridicat ³i cum le putem colecta. Modurile de colectare a datele pot diverse: putem face un sondaj de opinie, sau prin experiment, sau prin simpla observare a caracteristicilor. Este nevoie de o metod bine stabilit de colectare a datelor ³i s construim un model statistic potrivit pentru analiza acestora. În general, date culese de noi pot potrivite într-un model statistic prin care Data observat = f(x, θ) + eroare de aproximare, (1.1) unde f este o funcµie ce veric anumite propriet µi ³i este caracteristic modelului, x este vectorul ce conµine variabilele m surate ³i θ e un parametru (sau un vector de parametri), care poate determinat sau nedeterminat. Termenul de eroare apare deseori în pratic, deoarece unele date culese au caracter stochastic (nu sunt deterministe). Modelul astfel creat este testat, ³i eventual revizuit, astfel încât s se potriveasc într-o m sur cât mai precis datelor culese. Denim o populaµie (colectivitate) statistic ca ind o mulµime de elemente ce posed o trasatur comun. Aceasta poate nit sau innit, real sau imaginar. Elementele ce constituie o colectivitate statistic se vor numi unit µi statistice sau indivizi. Volumul unei colectivit µi statistice este dat de num rul indivizilor ce o constituie. Caracteristica (variabila) unei populaµii statistice este o anumit proprietate urm rit la indivizii ei în procesul prelucr rii statistice. Caracteristicile pot : cantitative (m surabile sau variabile) (e.g., 2, 3, 5, 7, 11,... ) ³i calitative (nem surabile sau atribute) (e.g., ro³u, verde, albastru etc). La rândul lor, variabilele cantitative pot discrete (num rul de sosiri ale unui tramvai în staµie) sau continue (timpul de a³teptare între dou sosiri ale tramvaiului în staµie). Caracteristicile pot depinde de unul sau mai multi parametri, parametrii ind astfel caracteristici numerice ale colectivit µii. Suntem interesaµi în a m sura una sau mai multe variabile relative la o populaµie, îns aceasta s-ar putea dovedi o munc extrem de costisitoare, atât din punctul de vedere al timpului necesar, cât ³i din punctul de vedere al depozit rii datelor culese, în cazul în care volumul colectivit µii este mare sau foarte mare (e.g., colectivitatea este populaµia cu drept de vot a unei µ ri ³i caracteristica urm rit este candidatul votat la alegerile prezidenµiale). De aceea, este foarte întemeiat alegerea unei selecµii de date din întreaga populaµie ³i s urm rim ca pe baza datelor selectate s putem trage o concluzie în ceea ce prive³te variabila colectivit µii. O selecµie (sau e³antion) este o colectivitate parµial de elemente extrase (la întâmplare sau nu) din 3

5 colectivitatea general, în scopul cercet rii lor din punctul de vedere al unei caracteristici. Dac extragerea se face la întâmplare, atunci spunem c am facut o selecµie întâmpl toare. Num rul indivizilor din selecµia aleas se va numi volumul selecµiei. Dac se face o enumerare sau o listare a ec rui element component al unei a populaµii statistice, atunci spunem c am facut un recens mânt. Selecµia ar trebui s e reprezentativ pentru populaµia din care face parte. Numit o selecµie repetat (sau cu repetiµie) o selecµie în urma c reia individul ales a fost reintrodus din nou în colectivitate. Altfel, avem o selecµie nerepetat. Selecµia nerepetat nu prezint interes dac volumul colectivit µii este nit, deoarece în acest caz probabilitatea ca un alt individ s e ales într-o extragere nu este aceea³i pentru toµi indivizii colectivit µii. Pe de alt parte, dac volumul întregii populaµii statistice este mult mai mare decât cel al e³antionului extras, atunci putem presupune c selecµia efectuat este repetat, chiar dac în mod practic ea este nerepetat. Spre exemplu, dac dorim s facem o prognoz a cine va noul pre³edinte la alegerile din toamn, e³antionul ales (de altfel, unul foarte mic comparativ cu volumul populaµiei cu drept de vot) se face, în general, f r repetiµie, dar îl putem considera a o selecµie repetat, în vederea aplic rii testelor statistice. Selecµiile aleatoare se pot realiza prin diverse metode, în funcµie de urm torii factori: disponibilitatea informaµiilor necesare, costul operaµiunii, nivelul de precizie al informaµiilor etc. Mai jos prezent m câteva metode de selecµie. selecµie simpl de un volum dat, prin care toµi indivizii ce compun populaµia au aceea³i ³ans de a ale³i. Aceast metod mininimizeaz riscul de a p rtinitor sau favorabil unuia dintre indivizi. Totu³i, aceast metod are neajunsul c, în anumite cazuri, nu reect componenµa întregii populaµii. Se aplic doar pentru colectivit µi omogene din punctul de vedere al tr s turii studiate. selecµie sistematic, ce presupune aranjarea populaµiei studiate dup o anumit schem ordonat ³i selectând apoi elementele la intervale regulate. (e.g., alegerea a ec rui al 10-lea num r dintr-o carte de telefon, primul num r ind ales la întâmplare (simplu) dintre primele 10 din list ). selecµie straticat, în care populaµia este separat în categorii, iar alegerea se face la întâmplare din ecare categorie. Acest tip de selecµie face ca ecare grup ce compune populaµia s poata reprezentat în selecµie. Alegerea poate facut ³i în funcµie de m rimea ec rui grup ce compune colectivitatea total (e.g., aleg din ecare judeµ un anumit num r de persoane, proporµional cu num rul de persoane din ecare judeµ). selecµie ciorchine, care este un e³antion straticat construit prin selectarea de selecµii din anumite straturi (nu din toate). selecµia de tip experienµ, care µine cont de elementul temporal în selecµie. (e.g., diver³i timpi de pe o encefalogram ). selecµie de convenienµ : de exemplu, alegem dintre persoanele care trec prin faµa universit µii. selecµie de judecat : cine face selecµia decide cine ramâne sau nu în selecµie. selecµie de cot : selecµia ar trebui s e o copie a întregii populaµii, dar la o scar mult mai mic. A³adar, putem selecta proporµional cu num rul persoanelor din ecare ras, de ecare 4

6 gen, origine etnic etc) (e.g., persoanele din Parlament ar trebui s e o copie reprezentativ a persoanelor întregii µ ri, într-o scar mult mai mic ). Organizarea ³i descrierea datelor Presupunem c avem o colectivitate statistic, c reia i se urm re³te o anumit caracteristic. (e.g., colectivitatea este mulµimea tuturor studenµilor dintr-o universitate înrolaµi într-un anumit an de studii, iar caracteristica este num rul de credite obµinute de studenµi în decursul acelui an). Vom numi date informaµiile obµinute în urma observaµiei valorilor acestei caracteristici. Datele pot calitative sau cantitative, dup cum caracteristica (sau variabila) observat este calitativ sau, respectiv, cantitativ. Aceste date pot date discrete, dac sunt obµinute în urma observ rii unei caracteristici discrete (o variabila aleatoare discret ), sau date continue, dac aceast caracteristic este continu (o variabil aleatoare de tip continuu). În cazul din exemplu, datele vor cantitative ³i discrete. Primul pas în analiza datelor proasp t culese este de a le ordona ³i reprezenta grac, dar ³i de a calcula anumite caracteristici numerice pentru acestea. Datele înainte de prelucrare, adic exact a³a cum au fost culese, se numesc date negrupate. De exemplu, num rul de apeluri la 112 în luna Iulie, specicat zilnic, este: De cele mai multe ori, enumerarea tuturor datelor culese este dicil de realizat, de aceea se urm re³te a se grupa datele, pentru o mai u³oar gestionare. Imaginaµi-v c enumer m toate voturile unei selecµii întâmpl toare de de votanµi, abia ie³iµi de la vot. Mai degrab, este util s grup m datele dup numele candidaµilor, precizând num rul de voturi ce l-a primit ecare. Gruparea datelor Datele prezentate sub form de distribuµie (tabel) de frecvenµe se numesc date grupate. Datele de selecµie obµinute pot date discrete sau date continue, dup cum caracteristicile studiate sunt variabile aleatoare discrete sau, respectiv, continue. (1) Dac datele de selecµie sunt discrete (e.g., {x 1, x 2,..., x n }) ³i au valorile distincte x 1, x 2,..., x r, r n, atunci ele pot grupate într-un a³a-numit tabel de frecvenµe (vezi exemplul din Figura 1.1) sau într-un tablou de frecvenµe, dup cum urmeaz : ( ) x data : 1 x 2... x r f 1 f 2... f r unde f i este frecvenµa apariµiei valorii x i, (i = 1, 2,..., r), ³i se va numi distribuµia empiric de selecµie a lui X. Aceste frecvenµe pot absolute sau de relative. Un tabel de frecvenµe (sau o distribuµie de frecvenµe) conµine toate categoriile ce sunt observate din datele colectate ³i num rul de elemente ce aparµine ec rei categorii în parte, adic frecvenµa absolut. O frecvenµ relativ se obµine prin împ rµirea frecvenµei absolute a unei categorii la suma tuturor frecvenµelor din tabel. 5

7 nota frecvenµa frecvenµa relativ % % % % % % % % % Total % Tabela 1.1: Tabel cu frecvenµe pentru date discrete. Astfel, suma tuturor frecvenµelor relative este egal cu 1. Elementele unui tabel sunt, de regul : valori pentru variabile, frecvenµe sau frecvenµe relative. În Tabelul 1.1, sunt prezentate notele studenµilor din anul al III-lea la examenul de Statistic. Acesta este exemplu de tabel ce reprezent o caracteristic discret. Observaµia 1.1 (o glum povestit de G. Pólya, 1 despre cum NU ar trebui interpretat frecvenµa relativ ) Un individ suferind merge la medic. Medicul îl examineaz îndelung ³i, balansând dezam git capul, îi spune pacientului: "Of... drag domnule pacient, am dou ve³ti: una foarte proast ³i una bun. Mai întâi v aduc la cuno³tinµ vestea proast : suferiµi de o boal groaznic. Statistic vorbind, din zece pacienµi ce contracteaz aceast boal, doar unul scap." Pacientul, deja în culmea disper rii, este totu³i consolat de doctor cu vestea cea bun : "Dar, µi pe pace! Dumneavoastr aµi venit la mine, ³i asta v face tare norocos", continu optimist doctorul. "Am avut deja nou pacienµi ce au avut aceea³i boal ³i toµi au murit, a³a c... veµi supravieµui!" (2) Dac X este de tip continuu, atunci se obi³nuieste s se fac o grupare a datelor de selecµie în clase. De exemplu, ni se dau datele din Tabelul 1.2, reprezentând timpi (în min.sec) de a³teptare pentru primii 100 de clienµi care au a³teptat la un ghi³eu pân au fost serviµi. Putem grupa datele de tip continuu într-un tablou de distribuµie de forma: ( ) [a0, a 1 ) [a 1, a 2 )... [a r 1, a r ) data :, f 1 f 2... f r sau sub forma unui tabel de distribuµie (vezi Tabelul 1.3). A³adar, putem grupa datele de tip continuu de mai sus în tablou de distribuµie: ( ) [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6). (1.2) György Pólya ( ), matematician ungur 6

8 Tabela 1.2: Date statistice negrupate clasa frecvenµa valoare medie [a 0, a 1 ) f 1 x 1 [a 1, a 2 ) f 2 x 2... [a r 1, a r ) f r x r Tabela 1.3: Tabel cu frecvenµe pentru date continue. Uneori, tabelul de distribuµie pentru o caracteristic de tip continuu mai poate scris ³i sub forma: ( ) x data : 1 x 2... x r f 1 f 2... f r unde x i = a i 1 + a i 2 este elementul de mijloc al clasei [a i 1, a i ); f i este frecvenµa apariµiei valorilor din [a i 1, a i ), (i = 1, 2,..., r), r f i = n. i=1 A³adar, dac ne este dat o în³iruire de date ale unei caracteristici discrete sau continue, atunci le putem grupa imediat în tabele sau tablouri de frecvenµe. Invers (avem tabelul sau tabloul de repartiµie ³i vrem s enumer m datele) nu este posibil, decât doar în cazul unei caracteristici de tip discret. De exemplu, dac ni se d Tabelul 1.4, ce reprezint rata somajului într-o anumit regiune a µ rii pe categorii de vârste, nu am putea ³ti cu exactitate vârsta exact a persoanelor care au fost selecµionate pentru studiu. Observ m c acest tabel are 5 clase: [18, 25), [25, 35), [35, 45), [45, 55), [55, 65). Vom numi valoare de mijloc pentru o clas, valoarea obµinut prin media valorilor extreme ale clasei. În cazul Tabelului 1.4, valorile de mijloc sunt scrise în coloana cu vârsta medie. Frecvenµa cumulat a unei clase este suma frecvenµelor tuturor claselor cu valori mai mici. Vom numi o serie de timp (sau serie dinamic ori cronologic ) un tablou de forma ( ) x1 x 2... x n data :, t 1 t 2... t n 7

9 vârsta frecvenµa frecvenµa relativ frecvenµa cumulat vârsta medie [18, 25) % 8.83% 21.5 [25, 35) % 28.57% 30 [35, 45) % 60.78% 40 [45, 55) % 83.38% 50 [55, 65) % % 60 Total % - - Tabela 1.4: Tabel cu frecvenµe pentru rata somajului. unde x i sunt variabile de r spuns, iar t i momente de timp (e.g., r spunsurile citite de un electrocardiograf). Motive serioase pentru care merit s devii statistician (top 10) (10) Pentru statisticienii, deviaµiile sunt considerate a normale. (9) Statisticienii lucreaz discret ³i continuu. (8) Putem concluziona orice dorim, la un nivel de semnicaµie potrivit. (7) Nu trebuie s spunem niciodat ca suntem siguri; e sucient doar 95%. (6) Normalitatea nu este o condiµie sine qua non. (5) Suntem semnicativ diferiµi. (4) Putem testa, f r probleme ³i folosind o lege bine stabilit, distribuµia posterioar a cuiva. (3) Statistica este arta de a nu nevoit s spui vreodat c ai gre³it. (2) Un statistician poate sta cu capul într-un cuptor incandescent ³i cu picioarele înpte în gheaµ ³i s spun c, în medie, se simte bine. (1) Aproape nimeni nu dore³te jobul nostru important, deci nu vei avea emoµii c vei r mâne ³omer. Reprezent ri grace Un tabel de frecvenµe sau o distribuµie de frecvenµe (absolute sau relative) sunt de cele mai multe ori baza unor reprezent ri grace, pentru o mai bun vizualizare a datelor. Aceste reprezent ri pot f cute în diferite moduri, dintre care amintim pe cele mai uzuale. Reprezentare prin puncte 8

10 Figura 1.1: Reprezentarea cu puncte. Reprezentarea prin puncte (en., dot plot) este folosit pentru selecµii de dimensiuni mici. Sunt reprezentate puncte a³ezate unul peste celalalt, reprezentând num rul de apariµii ale unei valori pentru caracteristica dat. Un astfel de grac este reprezentat în Figura 1.1. Aceste reprezent ri sunt utile atunci când se dore³te scoaterea în evidenµ a anumitor pâlcuri de date ( en., clusters) sau chiar lipsa unor date (goluri). Au avantajul de a conserva valoarea numeric a datelor reprezentate. O funcµie Matlab util pentru reprezentarea datelor discrete este funcµia stem. Aceast funcµie reprezint datele sub forma unor linii verticale terminate cu un un cerculeµ gol (în mod implicit) la extremitatea opus axei. Are formatul general: stem(x, Y, 'fill', 'type') % deseneaza pe Y vs. X Opµiunea 'fill' poate lipsi; dac ea apare, atunci coloreaz cercurile din grac. Opµiunea 'type' se refer la tipul de linie folosit; poate linie continu (în mod implicit), punctat (:) sau de tip linie-punct (.). Spre exemplu, linia de cod produce Figura 1.2. x = -pi:pi/10:pi; Reprezentarea stem-and-leaf stem(x, sin(x), 'fill', '--') S presupunem c urm toarele date sunt punctajele (din 100 de puncte) obµinute de cei 20 de elevi ai unei grupe la o testare semestrial : Tabelul 1.5 reprezint aceste date sub forma stem-and-leaf (ramur -frunz ). Se observ c acest tabel arat atât cum sunt repartizate datele, cât ³i forma repartiµiei lor (a se privi gracul c având pe OY drept axa absciselor ³i OX pe cea a ordonatelor). A³adar, 7 5 semnic un punctaj 9

11 Figura 1.2: Reprezentarea datelor discrete. de 75. Pentru un volum prea mare de date, aceast reprezentare nu este cea mai bun metod de vizualizare a datelor. În secµiunile urm toare vom prezenta ³i alte metode utile. stem leaf Tabela 1.5: Tabel stem-and-leaf reprezentând punctajele studenµilor. Reprezentarea cu bare Este util pentru reprezentarea variabilelor discrete cu un num r mic de valori diferite. Barele sunt dreptunghiuri ce reprezint frecvenµele ³i nu sunt unite între ele. Fiecare dreptunghi reprezint o singur valoare. Într-o reprezentare cu bare, categoriile sunt plasate, de regul, pe orizontal iar frecvenµele pe vertical. În Figura sunt reprezentate datele din tabelul cu note. Se poate schimba orientarea categoriilor ³i a claselor; în acest caz barele vor ap rea pe orizontal (vezi Figura ). Pentru reprezent ri grace vom folosi aplicaµia Matlab. În capitolul urm tor vom prezenta o scurt introducere în Matlab. Pentru mai multe detalii, se poate consulta ghidul online de utilizare [9]. Comenzile Matlab uzuale pentru reprezentarea cu bare sunt: 10

12 Figura 1.3: Reprezent rile cu bare. bar(x, Y, 'style'); % deseneaza vectorul Y vs. vectorul X barh(x, Y); % deseneaza pe orizontala vectorul Y vs. vectorul X bar(x, w); % deseneaza vectorul X vs. 1:N (N este lungimea lui X); bar3(y, w, 'style') % deseneaza vectorul Y prin bare 3D % w este latimea barelor, 'style' este modul reprezentarii Mai sus, 'style' poate una dintre urm toarele: 'detached' (bare separate), 'grouped' (bare grupate al turat), sau 'stacked' (bare suprapuse). Exemplu 1.2 (1) Comanda care produce primul grac din Figura 1.3 este: bar([2:10], [ ], 0.5) Aici, vectorul X este vectorul linie [ ], scris prescurtat prin [2:10], iar vectorul Y este [ ]. L µimea barelor este 0.5. (2) Comanda Matlab urm toare realizeaz al doilea grac din Figura 1.3, corespunz tor datelor din Tabelul 1.5: barh(5:9, [ ], 0.5) (3) În Figura 1.4, am reprezentat prin bare 3D trei vectori: X (numerele naturale de la 1 la 7), Y (permutare aleatoare a elementelor lui X) ³i Z (numere naturale pare, de la 14 la 2). Cei trei vectori formeaz coloanele matricei M. Comanda subplot(m,n,p) divizeaz fereastra grac în m n zone dreptunghiulare ³i se poziµioneaz pe zona de rang p, unde va executa comanda ce urmeaz. Figura 1.4 este generat de codul urm tor: X = 1:7; Y = randperm(7); Z = 14:-2:2; M = [X'; Y'; Z']; subplot(1,3,1); bar3(m, 0.75, 'detached') 11

13 subplot(1,3,2); subplot(1,3,3); bar3(m, 0.75, 'grouped') bar3(m, 0.75, 'stacked') Figura 1.4: Reprezentare 3D prin bare. Histograme Cuvântul "histogram " a fost introdus pentru prima oar de Karl Pearson 2 în Acesta deriv din cuvintele grece³ti histos (gr., ridicat în sus) ³i gramma (gr., desen, înregistrare). O histogram este o form pictorial a unui tabel de frecvenµe, foarte util pentru selecµii mari de date de tip continuu. Se aseam n cu reprezentarea prin bare, cu urm toarele dou diferenµe: nu exist spaµii între bare (de³i, pot ap rea bare de înalµime zero ce arat a spaµiu liber) ³i ariile barelor sunt proporµionale cu frecvenµele corespunz toare. Num rul de dreptunghiuri este egal cu num rul de clase, l µimea dreptunghiului este intervalul clasei, iar în lµimea este a³a încât aria ec rui dreptunghi reprezint frecvenµa. Aria total a tuturor dreptunghiurilor este egal cu num rul total de observaµii. Dac barele unei histograme au toate aceea³i l µime, atunci în lµimile lor sunt proporµionale cu frecvenµele. În lµimile barelor unei histogramei se mai numesc ³i densit µi de frecvenµ. În cazul în care l µimile barelor nu sunt toate egale, atunci în lµimile lor satisfac: în lµimea = k frecvenµa l µimea clasei, Comenzile Matlab uzuale pentru crearea histogramelor sunt: k = factor de proporµionalitate. hist(x, n); hist(x, Y); N = histc(x,e); % unde X este un vector, n este numarul de bare % deseneaza distributia vectorului X, cu numarul de bare egal cu % lungimea vectorului Y, centrate in elementele lui Y % returneaza numarul N de valori ale vectorului X, care se afla 2 Karl Pearson ( ), statistician, avocat ³i eugenist britanic 12

14 În lµimea (în cm) frecvenµa [0, 5) 5 [5, 10) 13 [10, 15) 23 [15, 20) 17 [20, 25) 10 [25, 30) 2 Tabela 1.6: Tabel cu în lµimile plantelor. Tabela 1.7: Histograme pentru datele din Tabelul 1.6. bar(e,n,'histc') hist3(y) % intre elementele vectorului E % reprezinta grafic pe N determinat anterior % realizeaza o histogram 3D, unde Y este vector bidimensional Datele din Tabelul 1.6 reprezint în lµimile unui e³antion de plante culese de un cercet tor dintr-o anumit regiune a µ rii. Reprezentarea cu histograme asociat acestor date este cea din Figura 1.7. Codul Matlab care produce acest grac este: X = [5*rand(5,1); 5*rand(13,1)+5; 5*rand(23,1)+10; 5*rand(17,1)+15;... 5*rand(10,1)+20; 5*rand(2,1)+25]; % genereaza un vector X ca in Tabelul 1.6 C = [ ]; % mijloacele latimilor barelor hist(x,c); % deseneaza 6 histograme axis([ ]) % fixeaza axele S presupunem c altcineva ar grupat datele din Tabelul 1.6 într-o alt manier, în care clasele nu sunt echidistante (vezi Tabelul 1.8). În Tabelul 1.8, datele din ultimele dou clase au fost cumulate într-o singur clas, de l µime mai mare decât celelalte, deoarece ultima clas din Tabelul 1.6 nu avea suciente date. Histograma ce reprezint datele din Tabelul 1.8 este cea din Figura 1.9. Conform cu regula proporµionalit µii ariilor cu frecvenµele, se poate observa c primele patru bare au în lµimi egale cu frecvenµele corespunz toare, pe când în lµimea ultimei bare este jum tate din valoarea frecvenµei corespunz toare, deoarece l µimea acesteia este dublul l µimii celorlalte. În general, pentru a construi o histogram, vom avea în vedere urm toarele: datele vor împ rµite (unde este posibil) în clase de lungime egal. Uneori aceste diviz ri sunt naturale, alteori va trebui s le fabric m. num rul de clase este, în general, între 5 ³i 20. înregistraµi num rul de date ce cad în ecare clas (numite frecvenµe). gura ce conµine histograma va avea clasele pe orizontal ³i frecvenµele pe vertical. Liniile de cod urm toare simuleaz histograma reprezentat în Figura 1.5: x = randn(1000, 2); hist3(x) % numere repartizate normal 13

15 Figura 1.5: Histogram 3D. Observaµia 1.3 (1) Dac lungimea unei clase este innit (e.g., ultima clas din Tabelul 1.8 este [20, )), atunci se obi³nuie³te ca l µimea ultimului interval s e luat drept dublul l µimii intervalului precedent. (2) În multe situaµii, capetele intervalelor claselor sunt ni³te aproxim ri, iar în locul acestora vom putea utiliza alte valori. Spre exemplu, s consider m clasa [15, 20). Aceast clas reprezint clasa acelor plante ce au în lµimea cuprins între 15cm ³i 20cm. Deoarece valorile în lµimilor sunt valori reale, valorile 15 ³i 20 sunt, de fapt, aproxim rile acestor valori la cel mai apropiat întreg. A³adar, este posibil ca aceast clas s conµin acele plante ce au în lµimile situate între 14.5cm (inclusiv) ³i 20.5cm (exclusiv). Am putea face referire la aceste valori ca ind valorile reale ale clasei, numite frontierele clasei. În cazul în care am determinat frontierele clasei, l µimea unei clase se dene³te ca ind diferenµa între frontierele ce-i corespund. În concluzie, în cazul clasei [15, 20), aceasta are frontierele , l µimea 6 ³i densitatea de frecvenµ Pentru exemplicare, în Tabelul 1.10 am prezentat frontierele claselor, l µimile lor ³i densit µile de frecvenµ pentru datele din Tabelul 1.4. Reprezentare prin sectoare de disc Se poate desena distribuµia unei caracteristici folosind sectoare de disc (diagrame circulare) (en., pie charts), ecare sector de disc reprezentând câte o frecvenµ relativ. Aceast variant este util în special la reprezentarea datelor calitative. Comanda Matlab pentru un pie chart pentru un vector X este pie(x). De exemplu, comanda care produce Figura 1.6 este: T = [ ]; pie(t,{'nota 5','Nota 6', 'Nota 7', 'Nota 8', 'Nota 9','Nota 10'}) 14

16 În lµimea (în cm) frecvenµa [0, 5) 5 [5, 10) 13 [10, 15) 23 [15, 20) 17 [20, 30) 12 Tabela 1.8: Tabel cu în lµimile plantelor. Tabela 1.9: Histograme pentru datele din Tabelul 1.8. în lµimea (în cm) frontierele l µimea frecvenµa densitatea de frecvenµ [18, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) Tabela 1.10: Tabel cu frontierele claselor. 11% 10% 16% Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10 16% 22% 26% Figura 1.6: Reprezentarea pe disc a frecvenµelor relative ale notelor din tabelul cu note. 15

17 2 Statistic Aplicat (Laborator 2) Experienµe aleatoare în Matlab Generarea de numere (pseudo-)aleatoare Numerele generate de Matlab sunt rezultatul compil rii unui program deja existent în Matlab, a³adar el vor pseudo-aleatoare. Putem face abstracµie de modul programat de generare ale acestor numere ³i s consider m c acestea sunt numere aleatoare. Generarea de numere uniform repartizate într-un interval, U(a, b) Funcµia rand Funcµia rand genereaz un num r aleator repartizat uniform în [0, 1]. De exemplu, comanda X = (rand < 0.5) simuleaz aruncarea unei monede ideale. Mai putem spune ca num rul X astfel generat este un num r aleator repartizat B(1, 0.5). De asemenea, num rul Y = sum(rand(10,1) < 0.5) urmeaz repartiµia B(10, 0.5) (simularea a 10 arunc ri ale unei monede ideale). rand(m, n) genereaz o matrice aleatoare cu m n componente repartizate U(0, 1). Comanda a + (b a) rand genereaz un num r pseudo-aleator repartizat uniform în [a, b]. Folosind comanda s = rand('state'), i se atribuie variabilei s un vector de 35 de elemente, reprezentând starea actual a generatorului de numere aleatoare uniform (distribuite). Pentru a schimba starea curent a generatorului sau iniµializarea lui, putem folosi comanda rand(method, s) unde method este metoda prin care numerele aleatoare sunt generate (aceasta poate 'state', 'seed' sau 'twister'), iar s este un num r natural între 0 ³i , reprezentând starea iniµializatorului. De exemplu, rand('state', 125) xeaz generatorul la starea

18 Observaµia 2.1 Printr-o generare de numere aleatoare uniform distribuite în intervalul (a, b) înµelegem numere aleatoare care au aceea³i ³ans de a oriunde în (a, b), ³i nu numere la intervale egale. Figura 2.1 reprezint cu histograme date uniform distribuite în intervalul [ 2, 3], produse de comanda Matlab: hist(5*rand(1e4,1)-2,100) Figura 2.1: Reprezentarea cu histograme a datelor uniforme. Generarea de numere repartizate normal, N (µ, σ) Funcµia randn Funcµia randn genereaz un num r aleator repartizat normal N (0, 1). randn(m, n) genereaz o matrice aleatoare cu m n componente repartizate N (0, 1). Pentru a schimba metoda prin care sunt generate numerele aleatoare normale sau starea generatorului, folosim comanda: randn(method, s) unde unde method este metoda prin care numerele aleatoare sunt generate (aceasta poate 'state' sau 'seed'), iar s este un num r natural între 0 ³i , reprezentând starea iniµializatorului. Comanda m+σ randn genereaz un num r aleator repartizat normal N (m, σ). De exemplu, codul urm tor produce Figura 2.2: x = 0:0.05:10; y = *randn(1e5,1); % date distribuite N (5, 1.1) hist(y,x) 17

19 Figura 2.2: Reprezentarea cu histograme a datelor normale. Generarea de numere aleatoare de o repartiµie dat Comenzile Matlab ³i legernd(<param>, m, n) random('lege', <param>, m, n). Oricare dintre cele dou comenzi genereaz o matrice aleatoare, cu m linii ³i n coloane, având componente numere aleatoare ce urmeaz repartiµia lege. În loc de lege putem scrie oricare dintre expresiile din tabelul din Figura??. De exemplu, normrnd (5, 0.2, 100, 10); genereaz o matrice aleatoare cu componente repartizate N (5, 0.2). random ('poiss',0.01, 200, 50); genereaz o matrice aleatoare cu componente repartizate P(0.01). Utilizând comanda randtool putem reprezenta interactiv selecµii aleatoare pentru diverse repartiµii. Comanda deschide o interfaµ grac ce reprezint prin histograme selecµiile dorite, pentru parametrii doriµi (vezi Figura 2.3). Datele generate de Matlab pot exportate în ³ierul Workspace cu numele dorit. De exemplu, folosind datele din Figura 2.3, am generat o selecµie aleatoare de de numere ce urmeaz repartiµia lognormal de parametri µ = 2 ³i σ = 0.5 ³i am salvat-o (folosind butonul Export) într-un vector L. 18

20 Figura 2.3: Interfaµ pentru generarea de numere aleatoare de o repartiµie dat. Simularea arunc rii unei monede Comanda X = (rand < 0.5); simuleaz aruncarea unei monede ideale. Vom mai spunem c num rul X astfel generat este un num r aleator repartizat B(1, 0.5) (similar cu schema bilei revenite, în cazul în care o urn are bile albe ³i negre în num r egal ³i extragem o bil la întâmplare) Num rul Y = sum (rand(30,1)<0.5) urmeaz repartiµia B(30, 0.5) (simularea a 30 arunc ri ale unei monede ideale). Acela³i experiment poate modelat ³i prin comanda round(rand(30,1)) Pentru a num ra câte feµe de un anumit tip au ap rut, folosim sum(round(rand(30,1))) Exemplu 2.2 Dorim s scriem o funcµie MATLAB care s simuleze aruncarea repetat a unei monede m sluite, pentru care probabilitatea teoretic de a obµine o anumit faµ este p (0, 1). S se determine 19

21 probabilitatea ca la aruncarea monedei s obµinem faµa cu stema ³i s deseneze o gur care s justice grac convergenµa ³irului frecvenµelor relative la aceast probabilitate. function moneda(n,p); x = rand(1, N); V = (x < p); Sn = cumsum(v); A = 1:N; Fn = Sn./A; semilogx(1:n, Fn, 'b-', [1,N],[p, p], 'm:'); axis([0 N 0 1]); title('moneda') xlabel('aruncari');ylabel('probabilitatea') % functia moneda.m % aruncam moneda % valoarea de adevar a lui (x<p) % suma cumulata % vectorul nr de aruncari % frecventa relativa a stemei % reprezinta grafic Fn % axele % numele figurii % numele axelor 1 moneda 1 zar 5/6 3/4 probabilitatea 0.5 probabilitatea 0.5 1/4 1/ aruncari aruncari Figura 2.4: Simularea arunc rii unei monede corecte (a) ³i a unui zar corect (b) O rulare a funcµiei, e.g., moneda(1e5,0.5), produce gracul din Figura 2.4(a). De asemenea, se poate simula ³i aruncarea unei monede m sluite, dac alegem ca parametrul p al funcµiei s e diferit de 0.5. Simularea arunc rii unui zar Pentru început, s consider m o variabil aleatoare ce poate avea doar 3 rezultate posibile, A, B ³i C, cu probabilit µile de realizare 0.5, 0.2 ³i, respectiv, 0.3. Pentru a modela aceast variabil aleatoare în Matlab, proced m astfel: alegem uniform la întâmplare un num r x din intervalul [0, 1]. Dac x 0.5, atunci convenim c rezultatul A s-a realizat, dac 5 < x 0.7, atunci rezultatul B s-a realizat. Altfel, rezultatul v.a. X este C. Dac acest experiment se repet de multe ori, atunci rezultatele pot folosite în estimarea probabilit µilor de realizare a variabilei aleatoare. Cum cât vom face mai multe experimente, cu atât vom aproxima mai bine valorile teoretice ale probabilit µilor, deci putem spune c am aproximat variabila aleatoare X. 20

22 La aruncarea unui zar ideal, avem 6 rezultate posibile, ³i anume, apariµia unei feµe cu 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte. Pentru a simula acest experiment, modic m în mod convenabil problema. Vom considera c punctele din intervalul [0, 1] formeaz mulµimea tuturor cazurilor posibile ³i împ rµim intervalul [0, 1] în 6 subintervale de lungimi egale: { (0, } 1 6 ), (1 6, 2 6 ), (2 6, 3 6 ), (3 6, 4 6 ), (4 6, 5 6 ), (5 6, 1) corespunz toare, respectiv, celor ³ase feµe, s zicem în ordinea cresc toare a punctelor de pe ele. Vom vedea mai târziu (vezi metoda Monte Carlo) ca alegerea acestor intervale cu capete închise, deschise sau mixte nu are efect practic asupra calculului probabilit µii dorite. Acum, dac dorim s simul m în Matlab apariµia feµei cu 3 puncte la aruncarea unui zar ideal, vom alege (comanda rand) un num r "la întâmplare" din intervalul [0, 1] ³i veric m dac acesta se a în intervalul ( 2 6, 3 6 ). A³adar, comanda Matlab u = rand; (u < 3/6 & u > 2/6) simuleaz aruncarea unui zar ideal. Ca o observaµie, deoarece cele 6 feµe sunt identice, putem simplica aceast comanda ³i scrie (rand < 1/6).. Exemplu 2.3 Dorim s simuleze în Matlab aruncarea repetat a unui zar corect. S se determine probabilitatea ca la aruncarea zarului s obµinem faµa cu trei puncte ³i s deseneze o gura care s justice grac convergenµa ³irului frecvenµelor relative la aceast probabilitate (vezi Figura 2.4(b)). function dice(n); % functia dice.m u = rand(1, n); % probabilitatea aparitiei fetei Z1 = (u < 3/6 & u > 2/6); % aparitia fetei freq = cumsum(z1)./(1:n); % frecventa relativa subplot(1,2,2); % activeaza fereastra din stanga semilogx(1:n, freq, 'b-', [1, n], [1/6,1/6], 'm:'); axis([0 n 0 1]); % axele title('zar') % numele figurii xlabel('aruncari');ylabel('probabilitatea') Fi³ierul dice.m simuleaz aruncarea unui zar corect de un num r N de ori. O rulare a funcµiei, e.g., dice(1e5) produce gracul din Figura 2.4(b). 21

23 3 Anexa 1 Scurt introducere în Matlab Matlab este un pachet comercial de programe de înalt performanµ produs de The MathWorks, Inc., dedicat calculului numeric ³i reprezent rilor grace în domeniul ³tiinµelor ³i ingineriei. Elementul de baz cu care opereaz Matlab-ul este matricea (Matlab este acronim de la MATrix LABoratory). Matlab este un software standard în mediile universitare, precum ³i în domeniul cercet rii ³i rezolv rii practice a problemelor legate de procesarea semnalelor, identicarea sistemelor, calculul statistic, prelucrarea datelor experimentale, matematici nanciare, matematici aplicate în diverse domenii etc. Cea mai important caracteristic a Matlab-ului este u³urinµa cu care poate extins. La programele deja existente în Matlab, utilizatorul poate ad uga propriile sale coduri, dezvoltând aplicaµii specice domeniului în care lucreaz. Matlab-ul include aplicaµii specice, numite Toolbox-uri. Acestea sunt colecµii extinse de funcµii Matlab (³iere M) care dezvolt mediul de programare de la o versiune la alta, pentru a rezolva probleme din domenii variate. Structural, Matlab-ul este realizat sub forma unui nucleu de baz, cu interpretor propriu, în jurul c ruia sunt construite toolbox-urile. Prezent m mai jos o scurt introducere în Matlab a principalelor funcµii ³i comenzi folosite în aceast lucrare. Pentru o tratare mai detaliat, puteµi consulta un manual de utilizare sau [9]. Mai menµion m aici ³i lucrarea [1], unde puteµi g si diverse modalit µi de implementare în Matlab ale unor noµiuni de Teoria Probabilit µilor ³i Statistic matematic. Folosind comanda demo din Matlab, puteµi urm ri o demonstraµie a principalelor facilit µi din Matlab, cât ³i a pachetelor de funcµii (toolbox) de care aµi putea interesaµi. Dintre acestea, amintim Statistics Toolbox, care este o colecµie de funcµii folosite pentru analiza, modelarea ³i simularea datelor. Conµine: analiza gracelor (GUI), diverse repartiµii probabilistice (beta, binomial, Poisson, χ 2 ), generarea numerelor aleatoare, analiza regresional, descrieri statistice. Comenzile Matlab pot scrise în ³iere cu extensia.m, ce urmeaz apoi a compilate. Un ³ier-m const dintr-o succesiune de instrucµiuni, cu posibilitatea apel rii altor ³iere-M precum ³i a apel rii recursive. De asemenea, Matlab poate folosit ca pe un mediu computaµional interactiv, caz în care ecare linie este prelucrat imediat. Odat introduse expresiile, acestea pot vizualizate sau evaluate imediat. De exemplu, introducând la linia de comand >> a = sqrt((sqrt(5)+1)/2) Matlab dene³te o variabil de memorie a, c reia îi atribuie valoarea a = Variabilele sunt denite cu ajutorul operatorului de atribuire, =, ³i pot utilizate f r a declara de ce tip sunt. Valoarea unei variabile poate : o constant, un ³ir de caractere, poate reie³i din calculul unei expresii sau al unei funcµii. Pentru a g si informaµii imediate despre vreo funcµie predenit, comanda help va vine în ajutor. De exemplu, 22

24 >> help length a³eaz urm toarele: LENGTH Length of vector. LENGTH(X) returns the length of vector X. It is equivalent to MAX(SIZE(X)) for non-empty arrays and 0 for empty ones. See also numel. Comanda help poate utilizat doar dac se cunoa³te exact numele funcµiei. comenzii lookfor este recomandat. De exemplu, comanda Altfel, folosirea >> lookfor length produce: NAMELENGTHMAX Maximum length of MATLAB function or variable name. VARARGIN Variable length input argument list. VARARGOUT Variable length output argument list. LENGTH Length of vector. Matlab este un mediu computaµional orientat pe lucru cu vectori ³i matrice. O linie de cod de forma >> v = [1,3,5,7,9] % sau v = [ ] dene³te un vector linie ce are componentele 1, 3, 5, 7, 9. Aceasta poate realizat ³i folosind comanda v = 1:2:9 adic a³eaz numerele de la 1 la 9, cu pasul 2. Pentru un vector coloan, folosim punct-virgul între elemente, adic >> v = [1;3;5;7;9] % vector coloana O alt variant de a deni un vector este >> v = linspace(x1,x2,n) adic v este un vector linie cu n componente, la intervale egale între x1 ³i x2. Denirea matricelor se poate face prin introducerea explicit a elementelor sale sau prin instrucµiuni ³i funcµii. La denirea explicit, trebuie µinut cont de urm toarele: elementele matricei sunt cuprinse între paranteze drepte ([ ]), elementele unei linii trebuie separate prin spaµii libere sau virgule, liniile se separ prin semnul punct-virgul. De exemplu, comanda >> A = [1 2 3; 4, 5, 6] 23

25 dene³te matricea A = Apelul elementelor unei matrice se poate face prin comenzile A(i,j) sau A(:,j) (elementele de coloan j) sau A(i,:) (elementele de linia i); Funcµia Matlab ones(m,n) dene³te o matrice m n, având toate componentele egale cu 1. Funcµia zeros(m,n) dene³te o matrice zero m n. Funcµia eye(n) dene³te matricea unitate de ordin n. Dup cum vom vedea mai jos, Matlab permite denirea unor funcµii foarte complicate prin scrierea unui cod. Dac funcµia ce o avem de denit este una simpl, atunci avem varianta utiliz rii comenzii inline. Spre exemplu, denim funcµia f(x, y) = e 5x sin 3y: >> f = inline('exp(5*x).*sin(3*y)') f = Inline function: f(x,y) = exp(5*x).*sin(3*y) Putem apoi calcula f(7, π) prin >> f(7,pi) Un program Matlab poate scris sub forma ³ierelor script sau a ³ierelor de tip funcµie. Ambele tipuri de ³iere sunt scrise în format ASCII. Aceste tipuri de ³iere permit crearea unor noi funcµii, care le pot completa pe cele deja existente. Un ³ier script este un ³ier extern care conµine o secvenµ de comenzi Matlab. Prin apelarea numelui ³ierului, se execut secvenµa Matlab conµinut în acesta. Dup execuµia complet a unui ³ier script, variabilele cu care acesta a operat r mân în zona de memorie a aplicaµiei. Fi³ierele script sunt folosite pentru rezolvarea unor probleme care cer comenzi succesive atât de lungi, încât ar putea deveni greoaie pentru lucrul în mod interactiv, adic în modul linie de comand. Pentru a introduce date în Matlab, putem copia datele direct într-un ³ier Matlab, prin denirea unui vector sau a unei matrice de date. De exemplu, urm toarele date au fost introduse prin "copy-paste" în matricea data: >> data = [ % atribuirea valorilor matricei data % prima linie a datelor copiate % ultima linie a datelor copiate ]; % inchidem paranteza ce defineste matricea de date Datele din Matlab pot salvate astfel: 24

26 >> cd('c:\fisierul_de_lucru'); % alegem fisierul unde salvam datele >> save Timpi_de_reactie data; % salveaza in fisierul Timpi_de_reactie.mat Datele pot reînc rcate folosind comanda load Timpi_de_reactie Timpi_de_reactie % incarca datele din fisier % afiseaza datele incarcate Fi³ierele funcµie Matlab creaz cadrul propice extinderii funcµiilor sale, prin posibilitatea cre rii de noi ³iere. Astfel, dac prima linie a ³ierului.m conµine cuvântul function, atunci ³ierul respectiv este declarat ca ind ³ier funcµie. Variabilele denite ³i manipulate în interiorul ³ierului funcµie sunt localizate la nivelul acesteia. Prin urmare, la terminarea execuµiei unei funcµii, în memoria calculatorului nu r mân decât variabilele de ie³ire ale acesteia. Forma general a primei linii a unui ³ier este: function[param_iesire] = nume_functie(param_intrare) unde: function este este cuvântul care declar ³ierul ca ³ier funcµie; nume_functie este numele funcµiei, care este totuna cu numele sub care se salveaz ³ierul; param_iesire sunt parametrii de ie³ire; param_intrare sunt parametrii de intrare. Comenzile ³i funcµiile care sunt utilizate de nou funcµie sunt ï ½nregistrate într-un ³ier cu extensia.m. Exemplu 3.1 Fisierul medie.m calculeaz media aritmetic a sumei p tratelor componentelor unui vector X (alternativ, aceast lucru poate realizat prin comanda mean(x.^2)): function m2 = medie(x) n = length(x); m2 = sum(x.^2)/n; Matlab-ul include aplicaµii specice, numite Toolbox-uri. Acestea sunt colecµii extinse de funcµii Matlab (³iere-m) care dezvolt mediul de programare de la o versiune la alta, pentru a rezolva probleme din domenii variate. Statistics Toolbox reprezint o colecµie de funcµii folosite pentru analiza, modelarea ³i simularea datelor ³i conµine: generarea de numere aleatoare; distribuµii, analiza grac interactiv (GUI), analiza regresional, descrieri statistice, teste statistice. În Tabelul 3.1 am adunat câteva comenzi utile în Matlab. 25

27 % % permite adaugarea de comentarii in cod help rand % help specic pentru funcµia rand lookfor normal % cauta intrarile în Matlab pentru normal X=[ ] % vector linie cu 7 elemente X=[3; 1; 6.5 ;0 ;77] % vector coloan cu 5 elemente X = -10:2:10 % vector cu numerele intregi de la 10 la 10, din 2 în 2 length(x) % lungimea vectorului X t=0:0.01:3*pi % dene³te o diviziune a [0, 3π] cu diviziunea 0.01 X.^2 % ridic toate componentele vectorului X la puterea a doua X.*Y % produsul a doi vectori cumsum(x) % suma cumulat a elementelor vectorului X cumprod(x) % produsul cumulativ al elementelor vectorului X min(x) % realizeaz minimum dintre componentele lui X max(x) % realizeaz maximum dintre componentele lu X sort(x) % ordoneaz componentele lui X în ordine crescatoare sort(x, 'descend') % ordoneaz componentele lui X în ordine descrescatoare erf(x) % funcµia eroare exp(x) % calculeaz exponenµial e x log(x) % calculeaz logaritmul natural ln(x) sqrt(x) % calculeaz radicalul ordinului doi dintr-un num r num2str(x) % furnizeaz valoarea numeric a lui x factorial(n) % n! A = ones(m,n) % A e matrice m n, cu toate elementele 1 B = zeros(m,n) % matrice m n zero I = eye(n) % matrice unitate, n n A = [3/ ; ; ] % matrice 3 3 size(a) % dimensiunea matricei A det(a) % determinantul matricei A inv(a) % inversa matricei A A' % transpusa matricei A A(:,7) % coloana a 7-a a matricei A A(1:20,1) % scoate primele 20 de linii ale lui A nchoosek(n,k) % combin ri de n luate câte k 1e5 % numarul 10 5 exp(1) % numarul e bar(x) sau barh(x) % reprezentarea prin bare hist(x) % reprezentarea prin histograme hist3(x,y,z) % reprezentarea prin histograme 3-D plot(x(1:5),'*m') % deseneaz primele 5 componente ale lui X, cu * magenta plot(t,x,'-') % deseneaz gracul lui X versus t, cu linie continua plot3(x,y,z) % deseneaz un grac în 3-D stairs(x) % deseneaz o funcµie scara subplot(m,n,z) % împarte gracul în m n zone & deseneaz în zona z semilogx ³i semilogy % logaritmeaz valorile de pe absci, resp., ordonata hold on % reµine gracul pentru a realiza o nou gura clf % ³terge gura clear all % ³terge toate variabilele denite title('graficul functiei') % adaug titlu gurii find % g se³te indicii elementelor nenule ale unui vector legend % ata³eaz o legend la un grac Tabela 3.1: Funcµii Matlab utile 26