3 Distribuţii discrete clasice
|
|
- Ἰωνᾶς Παπάζογλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare unul din două rezultate posibile, numite succes, respectiv insucces. Spreexemplu, aruncarea unei monede poate fi modelată printr-o variabilă aleatoare Bernoulli (convenim spre exemplu că obţinerea stemei este succes). Atribuind succesului valoarea 1 (cu probabilitatea (0 1)), insuccesului valoarea 0 (cu probabilitate 1 ), reprezentăm variabila aleatoare Bernoulli cu parametrul (probabilitatea obţinerii succesului) sub forma µ Media dispersia variabilei aleatoare Bernoulli cu parametrul sunt date de () 0 (1 )+1 2 () (0 ) 2 (1 )+(1 ) 2 (1 ) 3.2 Distribuţia uniformă Variabila aleatoare uniformă reprezintă modelul matematic ce generalizează experimentul aruncării unui zar (cazul 6) sau al jocului la ruletă (cazul 37). Astfel, dacă un experiment are rezultate posibile egal posibile (notate 1), atunci experimentul poate fi modelat printr-o variabilă aleatoare uniformăpemulţimea {1}. Variabila aleatoare uniformă pemulţimea {1} este de forma µ Media dispersia variabilei aleatoare uniforme sunt date de 2 () () Distribuţia binomială X 1 X µ Ã X X 2 ( +1) ( +1) ! ( +1)2 Ã ( +1)(2 +1) ( +1) ( +1) ( +1)(2 +1) ( +1)2 2 + ( +1)2! ( +1)2 Acest tip de distribuţie (variabilă aleatoare) apare atunci când numărăm succesele obţinute în repetarea de un anumit număr de ori a unui experiment, spre exemplu: în jocurile de noroc (numărul de apariţii a stemei la aruncarea unui ban, număr de apariţiiauneianumite feţe la aruncarea unui zar, etc) în controlul calităţii produselor (numărul de piese defecte dintr-un lot, etc) 19
2 în sondajele de opinie (numărul de persoane care preferă un anumit candidat, numărul de persoane asupra cărora un anumit medicament a avut efectul dorit, etc) În toate aceste situaţii suntem interesaţi de numărul total de apariţii a unui anumit eveniment în încercări independente, în fiecare din acestea probabilitatea de apariţie a evenimentului fiind (). Dacăîntr-o anumită încercare evenimentul nu apare, atunci înseamnă căaapărut evenimentul contrar lui (adică ), cu probabilitate ( )1 not. Evenimentul se numeşte succes (chiar dacă aceasta înseamnă spreexemplucăopiesăaleasă dintr-un lot are defecţiuni, că un anumit autobuz a întârziat, etc), iar evenimentul contrar se numeşte insucces. Distribuţia binomială sau variabila aleatoare binomială cu parametrii este numărul de apariţii a lui în încercări. Este uşor de observat că valorile posibile ale lui sunt 0 1 (de ce?), deci variabila aleatoare binomială cu parametrii este de forma µ Pentru a determina probabilităţile () ( ), săobservăm că înseamnă căevenimentul aapărut de ori evenimentul aapărut de ori în cele încercări. Cum cele încercări sunt independente, putem calcula probabilitatea de apariţie de ori a evenimentului urmată deapariţia de ori a evenimentului astfel: ( ) () () () () () () {z } {z } ori ori Aceasta este însă numai una din posibilele moduri de apariţie ori a evenimentui de ori a evenimentului.cumnumărul total de aranjări distincte a de de este conform Propoziţiei?? (cu 2, 1 2 ) egal cu!!( )! obţinem că probabilitatea ( ) de apariţie de ori a evenimentului în încercări este Funcţia de probabilitate a variabilei binomiale cu parametrii este deci ( ) (30) ½ () 0 {0 1} (31) Exemplul 3.1 Să se determine probabilitatea obţinerii a cel puţin doi de şase la aruncarea de patru ori a unui zar. Să notăm cu evenimentul constând în apariţia lui şase la aruncarea zarului (evenimentul succes ). Numărul de succese la aruncarea de patru ori a zarului este o variabilă aleatoarebinomială cu parametrii (numărul de încercări) probabilitatea succesului () 1 6. Probabilitatea cerută este deci (cel puţin doi de şase) ( 2) ( 2)+ ( 3)+ ( ) (2) + (3) + () µ 2 µ 2 µ 3 µ µ
3 Propoziţia 3.2 Media dispersia variabilei aleatoare binomiale cu parametrii sunt () 2 () Demonstraţie. Reamintim formula binomială a lui Newton ( + ) Derivând parţial această egalitate în raport cu variabila obţinem de unde prin înmulţire cu obţinem ( + ) 1 ( + ) 1 X 1 Folosind această formulă(cu ) definiţia mediei, obţinem () X ( ) 0 X 0 X (32) 0 X ( + ) 1 (1 + ) 1 0 Pentru a determina dispersia variabilei aleatoare se procedează în mod similar (se derivează încăodată formula (32) în raport cu se înmulţeşte cu ). 3. Distribuţia Poisson Distribuţia Poisson cu parametrul 0 este distribuţia variabilei aleatoare discrete având funcţia de probabilitate ½ ()! N {0 1 2} 0 Se poate arăta că distribuţia Possion se obţine ca limită adistribuţiei binomiale cu parametrii, atunci când 0 astfel încât (spre exemplu considerând constant). Propoziţia 3.3 Media dispersia distribuţiei Poisson cu parametrul 0 sunt () 2 () Demonstraţie. Reamintim dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei exponenţiale ! + 1 2! ! 3 + R. Folosind formula anterioară definiţia mediei obţinem () X ( ) 0 0 0! ! 2! 3! ! + 1 2! ! 3 ++ µ1+ 1 1! + 1 2! ! 3 + În mod similar se poate obţine formula pentru dispersie. 21
4 Exemplul 3. Dacă probabilitatea producerii unui şurub defect este 001, care este probabilitatea ca un lot de 100 şuruburi să conţină mai mult de două şuruburi defecte? Considerând găsirea unui şurub defect în lot ca fiind un succes, probabilitatea cerută este dată de distribuţia binomială cu parametrii ( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 2) Cum valoarea lui 001 este mică, putem aproxima variabila aleatoare prin variabila aleatoare Poisson cu parametrul Obţinem astfel următoarea aproximare a probabilităţii cerute: () ! 1! 2! Observăm că rezultatul obţinut prin aproximarea variabilei aleatoare binomiale prin variabilă aleatoare Poisson este foarte bun (valoarea exactă a probabilităţii este 0079, iar valoarea aproximativă este00803). Exemplul 3.5 În medie, într-o anumită parcare intră 2 mani pe minut. Care este probabilitatea ca într-un minut sau mai multe mani să intre în parcare? Să considerăm variabila aleatoare reprezentând numărul de mani care intră în lot într-un minut. Pentru a înţelege că are aproximativ o distribuţie Poisson, considerăm minutul împărţit în subintervale de timp (spre exemplu secunde, 60) fie probabilitatea ca o mană să intre în parcare într-un astfel de subinterval de timp (presupunem că această probabilitate este aceea pentru fiecare subinterval, că sosirile în subintervale diferite sunt independente unel de altele). Variabila aleatoare (numărul de mani ce intră într-un minut în parcare) este deci o variabilă aleatoare binomială cu parametrii, cum este mare este mic, putem arpoxima variabila aleatoare binomială printr-o variabilă aleatoare Poisson cu medie 2. Putem deci aproxima probabilitatea cerută astfel ( ) 1 ( ) 1 ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ! 1! 2! 3! Probabilitatea cerută este aproximativ Distribuţia geometrică Numim variabilă aleatoare geometrică cu parametrul (0 1) ovariabilă aleatoare reprezentând numărul de încercări efectuate într-un r de experimente Bernoulli independente, cu acela parametru, pânălaapariţia primului succes, adică numărul încercări efectuate până laprimaapariţie a succesului. Spre exemplu, numărul de aruncări ale monedei (un experiment Bernoulli cu parametrul 1 2 )pânălaprima apariţie a stemei este o variabilă aleatoare geometrică cu parametrul 1 2. Similar, numărul de aruncări ale zarului până la prima apariţie a feţei 6 este o variabilă aleatoare geometrică cu parametrul 1 6. Explicit, o variabilă aleatoare cu parametrul (0 1) este de forma µ
5 unde (1 ) 1, 1 2 Media dispersia variabilei aleatoare geometrice cu parametrul sunt date de () 1 respectiv Se poate demonstra următoarea. 2 () 1 2 Propoziţia 3.6 (Lipsa de memorie a variabilei aleatoare geometrice) Dacă este o variabilă aleatoare geometrică, atunci ( + ) ( ) 1 (33) Reciproc, o variabila aleatoare discretă ce ia valori 1 2 verifică proprietatea anterioară esteovariabilă aleatoare geometrică. Demonstraţie. Conform definiţiei probabilităţii condiţionate, avem ( + ) Reciproc, considerând 1în relaţia (33), avem ( + ) ( ) ( + ) 1 ( ) (1 ) P 1 ( ) (1 ) P 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 )+ 1 (1 ) (1 ) 1 ( ) ( +1 1) ( ) sau echivalent (folosind definiţia probabilităţii condiţionate) ( +1) ( 1) ( ) oricare ar fi 12 Notând cu ( 1) (0 1), inductiv după 12 se poate demonstra că ( ) (1 ) 1, 12 deci este o variabilă aleatoare geometrică cu parametrul. O generalizare a variabilei aleatoare geometrice este variabila binomială negativă cu parametrii N (0 1), ce reprezintă numărul de încercări efectuate într-un r de experimente Bernoulli cu parametrul până la obţinerea a 1 succcese. Numele de negativă provine din faptul că dacă la variabila aleatoare binomială numărul de încercări era fixat numărul de succese era aleator, la variabila aleatoare binomială negativă, numărul de succese este fixat numărul de încercări este aleator. Variabila aleatoare binomială negativă este deci într-un anumit sens opusa / negativa variabilei aleatoare binomiale. O variabila aleatoare binomială negativă cu parametrii N (0 1) este de forma unde 1 1 (1 ), +1 µ
6 Observaţia 3.7 Dacă este o variabilă aleatoare binomială negativă cu parametrii N (0 1), notând cu 1 numărul de încercări efectuate până laapriţia primului succes, cu 2 numărul de încercări suplimentare până la apariţia celui de-al doilea succes, şamd, este uşor de observat că are loc egalitatea sunt variabile aleatoare geometrice cu parametrul (0 1) independente. Se poate demonstra că media dispersia variabilei aleatoare negative sunt date de () 2 () Exerciţiul 3.1 Să se demonstreze formulele anterioare: a) Direct b) Folosind observaţia anterioară. 3.6 Distribuţia hipergeometrică (1 ) 2 Să considerăm problema extragerii repetate dintr-o cutie ce conţine obiecte, din care sunt defecte. Dacă extragerile se fac cu înlocuire (obiectul extras este pus înapoi în cutie înainte de extragerea următoare), atunci numărul de obiecte defecte extrase în extrageri este o variabilă aleatoare binomială cu parametrii (probabilitatea extragerii unui obiect defect), deci în acest caz funcţia de probabilitate este () ½ 1 {0 1 2} 0 (3) Dacă extragerile se fac fără înlocuire, atunci probabilitatea extragerii unui obiect defect nu mai este aceea în cele extrageri, deci în acest caz numărul de obiecte defecte extrase nu mai este o variabilă aleatoare binomială. Pentru a determina funcţia de probabilitate în acest caz, procedăm astfel. Probabilitatea ( ) este probabilitatea extragerii a piese defecte (din cele ) a piese ne-defecte (din cele ). În acest caz spaţiul de probabilitate are un număr finit de cazuri egal probabile, deci avem număr cazuri favorabile ( ) număr cazuri posibile Ovariabilă aleatoare având funcţia de probabilitate () ( 0 {0 1 2} (35) se numeşte distribuţie hipergeometrică cu parametrii. Propoziţia 3.8 Media dispersia distribuţiei hipergeometrice sunt () 2 () µ 1 1 Exemplul 3.9 Se extrag la întâmplare două garnituri dintr-o cutie ce conţine 10 garnituri, din care trei sunt defecte. Să se determine funcţia de probabilitate a variabilei aleatoare reprezentând numărul de garnituri defecte extrase. Dacă extragerea se face cu înlocuire, atunci are o distribuţie binomială cu parametrii , deci în acest caz funcţia de probabilitate este ½ () {0 1 2} 0 2
7 Dacă extragerea se face fără înlocuire,atunci are o distribuţie cu parametrii 10, 3 2. Funcţia de probabilitate este în acest caz ( {0 1 2} () Observaţia 3.10 Se poate arăta că dacă au valori mari comparativ cu, atunci la extragerea fără înlocuire se obţine aproximativ acelea probabilităţi ca la extragerea cu înlocuire, deci distribuţia hipergeometrică poate fi aproximată prin distribuţia binomială (cu parametrii ). Încazulparticularaluneipopulaţii infinite ( ) putem folosi distribuţia binomială, indiferent dacă extragerea se face cu sau fără înlocuire. Exerciţii Exerciţiul 3.2 Se aruncă simultancincimonede. Săsedeterminefuncţia de probabilitate a variabilei aleatoare reprezentâând numărul de steme obţinute. Să se determine probabilitatea obţinerii nici unei steme, a cel puţin unei steme, a nu mai mult de steme. Exerciţiul 3.3 Dacă probabilitatea de a nimeri o ţintă estede25% se trag simultan focuri,careesteprobabilitatea ca ţinta să fie nimerită celpuţin o dată? Exerciţiul 3. În exerciţiul anterior, dacă probabilitatea de a nimeri ţinta este de 5% se trag simultan 20 de focuri, probabilitatea de nimeri ţinta cel puţin o dată vacreşte sau va scade? Ghiciţi, apoicalculaţi. Exerciţiul 3.5 Presupunem că % din barele produse de o anumită mană au defecte de fabricaţie, independent uneledealtele. Dacăocutieconţine 100 de bare produse de această mană, care este aproximarea Poisson a probabilităţiicaocutiesăconţină 015 bare cu defecte de fabricaţie? Exerciţiul 3.6 Un experiment a arătat că numărul de particole alfa emise pe secundă într-un proces radioactiv este o variabilă aleatoare având o distribuţie Poisson. Dacă are medie 05, careesteprobabilitateadeaobserva două sau mai multe particole alfa într-o secundă? Exerciţiul 3.7 Fie 2%probabilitatea ca un anumit tip de bec să sedefectezeîntr-operioadădetestarede2 ore. Să se determine probabilitatea ca o firmă luminoasăconţinând 15 astfel de becuri să funcţioneze 2 de ore fără defecţiuni. Exerciţiul 3.8 Ghiciţi cu cât va fi mai mică probabilitatea din exerciţiul anterior dacă firma luminoasă arconţine 100 de becuri în loc de 15 becuri. Calculaţi probabilitatea în acest caz. Exerciţiul 3.9 Dacă unghişeu poate servi cel mult clienţi pe minut, dacă numărul mediu de clienţi este de 120 clienţi pe oră, care este probabilitatea ca într-un minut clienţii să trebuiascăsăaştepte la coadă? Indicaţie: se va folosi aproximarea Poisson. Exerciţiul 3.10 Să presupunemcă în producerea unor rezistenţe de 60 Ω (omi), piesele fără defecte sunt cele care au între omi, probabilitatea unei rezistenţe de a fi defecte este 01%. Rezistenţele se vând în loturi de 200 de bucăţi, cu garanţia că niciunadinrezistenţe nu este defectă.careesteprobabilitateadeagăsi un lot care nu respectă această garanţie? Indicaţie: se va folosi aproximarea Poisson. Exerciţiul 3.11 Ocutieconţine 20 de siguranţe, din care 5 sunt defecte. Să se determine probabilitatea ca alegând la întâmplare 3 siguranţe fără înlocuire, dintre acestea să fie defecte. Exerciţiul 3.12 Să presupunemcăuntestdepercepţie extrasenzorială constă în numirea corectă (în orice ordine) atreicărţi extrase dintr-un pachet de 13 cărţi de joc. Să se determine probabilitatea ca o persoană, numai ghicind la întâmplare să numeascăcorect:(a)0 cărţi, (b) 1 carte, (c) 2 cărţi, (d) 3 cărţi. Exerciţiul 3.13 Un distribuitor vinde gume elastice în pachete de 100 de bucăţi garantează căcelmult10% din acestea au defecte. Un client inspectează fiecare pachet alegând la întamplare 10 gume elastice din pachet fără înlocuire. Dacă eldeterminăcăniciunadincele10 gume extrase nu are defecte, el acceptă pachetul, iar în caz contrar îl refuză. Să se determine probabilitatea ca procedând astfel, clientul respinge un pachet ce conţine 10 gume elastice cu defecte ( deci pachetul respectă condiţiile degaranţie). Exerciţiul 3.1 Dacă reprezintă numărul de mani ce trec printr-un anumit loc între ora ora 2 00, dacă are o distribuţie Poisson cu medie 5, careesteprobabilitateadeaobservamaipuţin de 5 mani într-un minut? 25
7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραElemente de Teoria. Chapter Spaţiu de probabilitate
Chapter 1 Elemente de Teoria Probabilităţilor 1.1 Spaţiu de probabilitate Pentru a defini conceptul de spaţiu de probabilitate, vom considera un experiment, al carui rezultat nu se poate preciza cu siguranţă
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilităţilor
Part I Elemente de teoria probabilităţilor 1 Spaţiu de probabilitate 1.1 Spaţiu de evenimente Scopul Teoriei probabilităţilor este de a construi modele matematice în situaţii guvernate de factori aleatori,
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραI3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs
I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.
Διαβάστε περισσότεραI3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs
I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότερα2 Variabile aleatoare
Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότερα9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραModelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4)
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4) În practică eistă nenumărate eperienţe aleatoare care au un câmp de evenimente nenumărabil şi implicit sistemul complet de evenimente aleatoare
Διαβάστε περισσότεραTEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI,
Ariadna Lucia Pletea Liliana Popa TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, IAŞI 999 Cuprins Introducere 5 Câmp de probabilitate 7. Câmp finit de evenimente...........................
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα1.7 Mişcarea Browniană
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραMatematici speciale Seminar 10
Matematici speciale Seminar 0 Mai 07 ii Ştiinţa se clădeşte cu fapte, aşa cum o casă se construieşte cu pietre. Dar o colecţie de fapte nu e ştiinţă, la fel cum un morman de pietre nu e o casă. Henri Poincaré
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα1 Formula Black-Scholes
Formula Black-Scholes. Modele de creştere (investiţii bancare, creşterea populaţiei, etc) Unul din cele mai simple modele de creştere este cel al creşterii exponenţiale. În acest model, notând cu cantitatea
Διαβάστε περισσότεραPRELUCRAREA STATISTICĂ A SEMNALELOR
Mihai Ciuc Constantin Vertan PRELUCRAREA STATISTICĂ A SEMNALELOR 4 3 3 4 6 8 4 6 8 4 3 3 4 6 8 4 6 8 3 4 6 8 4 6 8 Editura MatrixRom 5 Cuvânt înainte Această lucrare reprezintă baza cursului de Teoria
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραZgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)
Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin
Διαβάστε περισσότεραAPLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016
APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραScoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa
Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70
Διαβάστε περισσότερα1 Câmp finit de probabilitate Formule de calcul într-un câmp de probabilitate... 10
Cuprins Câmp finit de probabilitate 5. Formule de calcul într-un câmp de probabilitate.......... 5. Formule de calcul într-un câmp de probabilitate...........3 Scheme clasice de probabilitate...................
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL DISTRIBUŢIEI STATISTICE POISSON
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ BN 119 STUDIUL DISTRIBUŢIEI STATISTICE POISSON STUDIUL DISTRIBUŢIEI STATISTICE POISSON
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότερα