Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva"

Transcript

1 Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice; valorile ei corespund indivizilor populaţiei. Funcţie de repartiţie: F (x) = P (X < x). P =Probabilitate. Repartiţie continuă, când există F (x). Densitate de repartiţie: f(x) = F (x) F (x) = x f(u)du X : 0 F (x) 1, F ( ) = 0, F (+ ) = 1, Deci f(x) 0, + f(u)du = 1 a, b R, a < b F (a) F (b) Variabila aleatoare discreta este dată de repartiţia sa a 1, a 2,..., a n p 1, p 2,..., p n F (x) =, p i = P (X = a i ), 1 i n, n p i = 1. a i <x p i, p i = probabilitati. 1 Conferinţă prezentată la deschiderea seminarului ştiinţific Nicolas Georgescu Roegen al Societăţii Române de Econometrie, 4 iulie

2 Notă. n poate fi si. Definiţie. Selecţie (Bernoulliană) de volum n asupra variabilei aleatoare X este mulţimea de variabile aleatoare {X 1, X 2,..., X n } n N,independente şi identic repartizate ca şi X. Notă. Selecţia este rezultatul unor observaţii sau măsurători independente (stochastic) efectuate asupra a n indivizi din populaţie. Daca variebilele aleatoare X, Y au respectiv funcţiile de repartiţie F, G, iar funcţia lor comună de repartiţie este H(x, y) = P (X < x, Y < y) atunci ele sunt independente dacă H(x, y) = F (x)g(y). Valori medii. Momente. Dacă considerăm funcţia reală φ(x) masurabilă (!) atunci numim valoare medie a variabilei aleatoare φ(x) mărimea E[φ(X)] = φ(u)f(u)du când integrala există, iar in cazul discret, dacă n =, când seria este convergentă. Cazuri particulare: E[φ(X)] = φ(a i )p i Momente de ordinul r, r N : m r = E[X r ] = x r f(x)dx, in cazul continuu 2

3 m r = E[X r ] = a r i p r, in cazul discret. m 1 = E[X] = (notat) = m se numeşte medie sau valoare medie a lui X. Momente centrate de ordinul r, r N : µ r = E[(X m) r ] Momentul centrat de ordinul al doilea se numeşte dispersie sau varianţă şi se notează σ 2 = µ 2 = V ar(x) iar σ = σ 2 se numeşte abatere medie pătratică sau abatere standard sau deviaţie standard. Inegalitatea lui Cebysheff. Dacă esistă momentele de ordinul 1 şi 2, atunci are loc inegalitatea P ( X m tσ) 1 1 t 2, t R+. Notă. Aceasta inegalitate permite determinarea unui interval de concentraţie al valorilor variabilei aleatoare X. De ex. dacă t = 4, atunci in intervalul (m 4σ, m + 4σ) se gasesc peste 94% din valorile variabilei aleatoare X. Cazul multidimensional. Vector aleator: X = (X 1, X 2,..., X k ) =vector coloană de dimensiune k. 3

4 Funcţie de repartiţie: F (x) = F (x 1, x 2,..., X k ) = P (X 1 < x 1,..., X k < x k ) Densitate de repartiţie (cazul continuu) când ea există: Proprietăţi: f(x) = f(x 1, x 2,..., x k ) = k F (x 1,..., x k ) x 1... x k F (,..., ) = 0, F ((..., ) = 1, 0 F (x 1,..., x k ) 1 i, < a i < b i < F (x 1,..., a i,..., x k ) F (x 1,..., b i,..., X k ) (adica monotonia crescatoare pe componente). Proprietăţi ale densităţii de repartiţie: f(x) 0, F (x) = R k f(u)du = 1 x f(u)du Fie X = (X 1, X 2 ), DimX 1 = r, DimX 2 = s, r + s = k X 1, X 2 subvectori ai lui X Funcţia de repartiţie marginală a lui X 1 este F 1 (x 1 ) = F (X 1, = x 2 ) Densitatea marginală a lui X 1 este f 1 (x 1 ) = r F 1 (x 1 ) x 1,..., x r 4

5 Momente: i, E[X i ] = m i = R k x i f(x)dx = x i f i (x i )dx i unde f i (x i ) este densitatea marginala a componentei aleatoare X i cand integrela există. Momentul mixt m ij = E[X i X j ] = + + inf ty f ij =densitate marginala a lui (X i, X j ). Covarianţa. cand există este: x i x j f ij (x i, x j )dx i dx j cov(x i, X j ) = E[(X i m i )(X j m j )] = m ij m i m j = σ ij Se observa că V ar(x i ) = cov(x i, X i ) = σ 2 i = σ ii. Inegalitatea lui Schwarz σ ij σ i σ j. Coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X i şi X j este ρ ij = corr(x i, X j ) = Notă. Ineg. Schwarz ρ ij [ 1, 1] cov(x i, X j ) V ar(xi )V ar(x j ) = σ ij σ i σ j Interpretarea lui ρ : măsoară gradul de dependenţă stochastică al variabilelor aleatoare X i şi X j. 5

6 Notaţii: Vectorul valoare medie al lui X este µ = (m 1, m 2,..., m k ) = E(X). Matricea de covarianţă a vectorului X este Σ = σ 11 σ 12,..., σ 1k σ k1 σ k2,..., σ kk = Cov(X, X ) Este pozitiv definită Σ 0, adică x Σx > 0, şi deci inversabilă. Ipoteză statistică. F = multimea funcţiilor de repartiţie. F 0 F. X= variabilă aleatoare X F = funcţie de repartiţie. Definiţie. Ipoteză statistică este o afirmaţie asupra lui F de forma H 0 : F F 0 ce trebuie verificată cu ajutorul unei selecţii de volum n, X 1, X 2,..., X n, dată. (Se mai numeste ipoteza nula!) Ipoteză simpla când CardF 0 = 1; ipoteză compusă, când CardF 0 > 1. Ipoteza alternativă: H 1 : F F 1, F 1 F, F 1 F 0. Cea mai generală alternativă H 1 : F F \ F 1. Ipoteza parametrica: H 0 se referă la un parametru al funcţiei de repartiţie. De ex. F 0 este familia repartiţiilor normale N(m, σ) şi ipoteza este de forma H : m = m 0 (ipoteză simplă); aici alternativa poate fi simplă de forma H 1 : m = 6

7 m 1, m 1 m 0, sau altternativa compusă de forma H 1 : m m 0. In acest caz ipoteza simplă poate fi de forma H 0 : m m 0 < λ, iar alternativa va fi de forma H 1 : m m 0 λ. Aici m = E[X] este adevărata medie a variabilei aleatoare X, m 0 este o valoare dată (de referinţă), iar λ > 0 este eroarea cu care apreciem că m poate fi egal cu m 0. Ipoteză de concordanţă: H 0 : F F 0, (adica se specifică tipul funcţiei de repartiţie (de ex normală exponenţială Cauchy, Poisson, binomoală etc.) Majoritatea funcţiilor de repartiţie depind de parametri θ, adică F (x) = F (x, θ) unde θ este un parametru uni sau multidimensional. Dacă θ este cunoscut, atunci ipoteza de concordanţă se numeşte complet specificată, iar in caz contrar, se numeşte nespecificată. Notă. Fiind data o selecţie X = X 1, X 2,..., X n de volum n asupra variabilei aleatoare X, vectorul X are o repartiţie de probabilitate pe R n, a cărui densitate f, (când F are densitate) este L(x 1, x 2,..., X n ) = n f(x i ) Funcţia L(x 1,..., x n ) se numeşte funcţie de verosimilitate. Să mai observăm că L(X 1,..., X n ), cu argumente X i = valori de selecţie este o variabilă aleatoare!. Definiţie. Un test de verificare a unei ipoteze statistice, este o regulă prin care spaţiul R n al selecţiilor se descompune in două părţi W = R1, n şi W = R2 n = R n \ R1 n (complementarul lui R1) n astfel incât, dacă vectoerul de selecťie X W atunci se respinge ipoteza H 0, (adică se acceptă alternativa H 1 ), iar in caz contrar (adica dacă X W,) atunci se acceptă 7

8 ipoteza H 0. Mulţimea W = R n 1 se numdeşte domeniu critic al ipotezei H 0, iar W = R n 2 se numeşte domeniu de acceptare al ipotezei H 0. Observaţie importantă. Deoarece o selecţie de volum finit n nu asigură o informaţie completă, decizia care se ia pe baza acestei selecţii asupra validităţii sau nu a ipotezei H 0 ne poate conduce la următoarele rezultate: să acceptăm H 0 cand ea este adevărată (notată (H 0 H 0 )), să accepotăm H 0 când ea nu este adevărată (notată (H 0 H 1 )), să respingem H 0 când ea este adevărată (notată (H 1 H 0 ) sau să respingem H 0 când ea nu este adevărată (notată (H 1 H 1 )). Evident, deciziile bune sunt in primul şi ultimul caz, pe cand celelalte două cazuri constituie erori ce se comit fiecare cu o probabilitate. Aceste probabilităţi sunt α = P (H 1 H 0 ) = P (X W H 0 ), β = P (H 0 H 1 ) = P (X W ) α este probabilitatea erorii de genul intâi sau riscul, de genul intâi, in timp ce β este probabilitatea erorii de genul doi sau riscul de genul doi. α se mai numeşte şi prag de semnificaţie. Probabilitatea se numeşte puterea testului. π = P (H 1 H 1 ) = 1 β Un test bun este acela pentru care α şi β sunt mici (de ex sau mai mici, sau α este mic şi puterea testului π este mare). Din păcate, pentru o selecţie de volum n dată, dacă se impune un rtisc α dat, atunci nu există un test pentru care β sa fie de asemenea oricât mic. Testul pentru care la un 8

9 prag de semnificaţie dat α există o limitare inferioară a riscului de genul doi β (sau corespunzător există o limitare superioară a lui π), se numeşte test uniform cel mai puternic. Existenţa acestui lucru a este stipulată de următoarea Lema lui Neyman-Pearson. Fie X f(x, θ) şi fie ipoteza parametrică simplă H 0 : θ = θ 0 şi alternativa H 1 : θ = θ 1. Atunci pentru un prag α dat, există un test uniform cel mai puternic a cărui regiune critică este de forma c este o constantă şi unde W = {(X 1,..., X n ) L 1 L 0 c > o, } L 1 = L(X 1,..., X n, θ 1 ) = n f(x i, θ 1 ), L 0 = L(X 1,..., X n, θ 0 ) = n f(x i, θ 0 ), adică L 1, L 0 sunt respectiv funcţiile de verosimilitate ale lui X in ipotezele H 1, H 0. Definiţie. Numim statistică o funcţie t(x 1,..., X n ) (care depinde de datele de selecţie). Depinzând de repartiţia de probabilitate a lui X, statistica t are o repartiţie de probabilitate. Dacă riscul α este dat atunci, pentru o statistică t convenabil aleasă se poate construi un test pentru ipoteza H 0 a cărui regiune critica este de forma W α = {(X 1, X 2,..., X n ) : P (t(x 1,..., X n ) > c α H 0 ) = α}, unde repartiţia statisticii t este considerată in ipoteza H 0. Regiumea critică a testului, W α, se numeşte regiune critică de nivel α. 9

10 O statistică t cu ajutorul căreia se construieşte un test pentru o ipoteză nulă H 0 se numeşte statistică test. Din lema lui Neyman-Pearson rezultă că pentru verificarea ipotezei H 0 cu alternativa H 1 statistica test este raportul de verosimililităţi t(x 1, X 2,..., X n, θ 0, θ 1 ) = L(X 1,..., X n ; θ 1 ) L(X 1, X 2,..., X n ; θ 0 ) Testul, se numeşte testul raportului de verosimilităţi. Exemplu. Fie X N(m.σ) variabila normală, cu abaterea medie pătratică σ, cunoscută. Fie de verificat ipoteza parametrică H 0 : m + m 0 cu alternativa H 1 : m = m 1 > m 0. (Ambele ipoteze sunt simple). Testul raportului de verosimilităţi conduce,după calcule, la statistica t = L 1 = e X.n( m 1 m 0 σ L 2 m2 1 m2 0 2σ 2 ), 0 unde X este media aritmetică a datelor de selecţie, sau media de selecţie. Regiunea critică de nivel α se obţine din relaţia P ( L 1 c) = α = P (X( m 1 m 0 m2 1 m 2 2 ) log c) = α, L σ 2 2σ 2 0 n n adică regiunea critică a testului este in final de forma W α = {(X 1,..., X n ) : P (X 2σ 2 n log c + (m2 1 m 2 0) 2(m 1 m 0 ) ) = α}. (1) Regiunea critică W α se poate deduce sub o formă echivalentă astfel. In ipoteza H 0, statistica U = X m 0 σ n N(0, 1). 10

11 Deci, pentru un α dat, alegem z α astfel incat P (Z z α ) = de unde domeniul critic este z α e t 2 2 dt = α, W α = {(X 1, X 2,..., X n ) X m 0 + z α n }. (2) Mărimea z α se numeşte α-cuantila superioară a repartiŗiei normale N(0, 1). Observăm că cele două forme ale domeniului critic W α date de (1) şi (2) coincid, deoarece au acelaş nivel α. Puterea testului, este π(m 1 ) = P (X m 0 +z α σ n H 1 ) = P ( X m 1 σ n m 0 m 1 σ n +z α ) = = P (Z m 0 m 1 σ n + z α ) Deoarece π(m 1 ) = 1 β rezultă că 1 ϕ(z α + σ n ) = 1 β deci z α + m o m 1 σ n = z 1 β Ultima formulă conduce la faptul că dacă se dau riscurile α şi β atunci volumul minim de selectie necesar pentru realizarea acestor riscuri este n = (z 1 β z α ) 2 σ 2 11 (m 1 m 0 ) 2

12 ceea ce conduce si la o altă consecinţă a lemei Neyman-Pearson. Notă. Din cele de mai sus, observăm că dacă considerăm parametrul λ = m 0 m 1 ca o distanţă intre ipotezele H 0 şi H 1 şi considerăm că pentru o distanţă λ 0 dată H 1 H 0 atunci puterea π se exprimă in funcţie de λ si anume π(λ) = 1 ϕ(z α + λ σ n ). Forma generală a testului raportului de verosimilităţi. Să considerăm ipoteza H : F ω Ω, unde Ω este o clasă de funcţii de repartiţie si ω o submulţime a sa.alternativa este N H : F Ω \ ω. Să notăm (L) Ω, (L) ω valorile maxime ale funcţiei de verosimilitate in ip[otezele Ω, ω şi să cosniderăm raportul de verosimilitate Λ(X) = (L) ω (L) Ω, X = vectorul de selecţie. Deoarece ω Ω rezultă că Λ(X) 1, iar cand ω este adevărată, Λ(X) = 1. (Caz ideal!). Deci domeniul critic pentru testarea ipotezei H este de forma W (c) = {X Λ(X) c < 1}, P (Λ(X c) = α. (3) Lema lui Neyman-Pearson este valabilă şi aici; regiunea critică W (c) dată de (3) corespunde testului uniform cel mai puternic. 12

13 Pentru a construi testul raportului de verosimilităţi pentru o ipoteză H va trebui mai intai să calculăm valorile maxime (L) Ω, (L) ω ale funcţiei de verosimilitate. Exemplu. Fie X N(m, σ) cu σ-cunoscut si fie de verificat ipoteza H : m = m 0 cu alternativa N H : m m 0. Maximul funcţiei de verosimilitate in ipoteza Ω conduce la iar (L) Ω = ( ) n e 2σ 2 2πσ 2 ( 1 (L) ω = 2πσ 2 Raportul de verosimilităţi este ) n 2 e 1 2σ 2 n (X i X) 2 n Λ(X) = e n 2σ 2 (X m 0) 2 (X i m 0 ) 2. iar domeniul critic este de forma (3) unde c = c α satisface relaţia α = P [ n 2σ 2(X m 0) 2 log c α ] = P [ Deoarece X m 0 σ n X m 0 σ n = Z N(0, 1) 2 log c α ]. rezultă că folosind z α 2 dat de relaţia z α 2 e u 2 2 du = 1 α, z α 2 domeniul c ritic este de forma W α = {X : X m 0 σ n 13 z α 2 }. (3 )

14 Puterea testului π(m) se calculează cu formula P ( X m 0 σ n Testul prezentat se numeste testul U. z α N H) = π(m). (4) 2 Problema celor două selecţii. Fie X N(m 1, σ 1 ), Y N(m 2, σ 2 ) cu σ 1, σ 2 cunoascute. Se dă o selectie de volum n 1 pentru X si o selecţie de volum n 2 pentru Y. Pentru verificarea ipotezei H : m 1 = m 2 cu alternativa N H : m 1 m 2 se foloseşte statistica U = X Y m 1 + m 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2. (5) care in ipoteza H are repartiţia normală N(0, 1). Domeniul critic se determină pe baza statisticii U dată de (5) şi el este de forma W α = {X : U z α 2 }, iar Puterea testului se calculează cu formula π(m 1 m 2 ) = P ( U z α N H). 2 Cazul dispersiilor necunoscute. Repartiţii inrudite cu repartiţiile normale. Fie de testat H : m = m 0, N H : m m 0, cu σ necunoscut. Determinarea raportului de verosimilităţi, conduce mai intâi la estimarea lui m cu X şi a lui σ 2 cu formula s 2 = 1 n 1 n 14 (X i X) 2 (6)

15 după care se calculează (L) Ω şi (L) ω In final testul raportului de verosimilităţi conduce la statistica t a lui Student, adică t = X m 0 s n (6 ) care in ipoteza H are repartiţia Student cu f = n 1 grade de libertate, ce are densitatea de repartiţie g(x) = 1 Γ( f+1 2 ) 1 π Γ( f 2 ). (7) (1 + x 2 ) f+1 2 Variabila Student se defineşte cu formula t f = Z χ f f, t f R, Z N(0, 1) unde χ 2 f = f Z2 i, iar Z i sunt variabile N(0, 1) independete şi Z e independent de χ 2 f. Densitatea de repartiţie a lui χ 2 f este h(x) = 1 2 f 2 Γ( f 2 )xf 2 1 e x 2, x > 0, h(x) = 0 daca x 0. (8) Dacă E[Z i ] = m i 0 măcar pentru un i atunci f Z 2 i = χ 2 f,δ cu δ 2 = f m2 i se numeşte variabilă χ 2 necentrată, cu f grade de libertate şi cu parametru de excentricitate δ. 15

16 Nu precxizăm densitatea de repartiţie (complicată!) a acestei variabile. Definiţie. Variabila aleatoare F f1,f 2 > 0 este definită astfel F f1,f 2 = f 2χ 2 f 1 f 1 χ 2 f 2, (9) Variabila F f1,f 2 are o densitate de repartiţie pe care nu o prezentăm aici. Sunt utilizate si variabile F necentrate de forma F f1,f 2 ;δ 1,0, F f1,f 2 ;0,δ 2, F f1,f 2 ;δ 1,δ 2. Cea mai utilizată după cum vom vedea, este prima formă de F-necentrataă. Intre variabila F si variabila t este valabilă relaţia t 2 f = F 1,f. Forme ale testului t. Pentru un risc α dat, să cosiderăm cuantila superioară t f, α 2 > 0 care satisface relaţia tf, α 2 P ( t f t f, α ) = 2 t f, α 2 g(u)du = 1 α (10) Ca şi testul U, testul t, dedus din testul general al raportului de probabilităţi, capătă forme asemănătoare, după cum urmează: t1.verificarea ipotezei H : m = m 0, σ necunoscut, cu alternativa N H : m m 0. Domeniul critic este X m 0 s n t f, α, f = n 1, (11) 2 16

17 Puterea testului se calculează cu formula π(m) = P ( X m 0 s n t f, α 2 : N H) (11 ) unde statistica din formulă are repartiţia t-necentrată adica t 2 f,δ = F 1,f:δ,0, δ 2 = m 1 m 0 s n 2. (11 ) t2.verificarea ipotezei H : m 1 = m 2 pentru două populaţii N(m 1, σ), N(m 2 ), σ), σ cunoscut cu N H : m 1 m 2. Fie X N(m 1, σ 1 ), Y N)(m 2, σ 2 ) σ 1 = σ 2 = σ. si volumele de selecţie n 1, n 2. Dispersia σ 2 se estimează astfel s 2 1 = n 1 + n 2 2 { n1 (X i X) 2 + n 2 (Y j Y ) 2 }, f = n 1 + n 2 2. j=1 Statistica t este in acest caz t = s X Y 1 n1 + 1 n2 domeniul critic de nivel α este de forma (11), iar puterea testului π(m 1 m 2 ) este de forma (11 ) cu δ 2 = m 1 m 2 s 1 n1 + 1 n2 2 t3.verificarea ipotezei H din cazul precedent, cu σ 1, σ 2 necunoscute şi ne egale. In acest caz testul t are o construcţie specială şi anume;. 17

18 - se estimează dsispersiile cu formulele obişnuite s 2 1 = 1 n 1 (X i X) 2, f 1 = n 1 1; s 2 2 = 1 n 2 (Y j Y ) 2, f 2 = n 2 1; f 1 f 2 j=1 - se calcullează gradele de libertate f cu formulele c = f = s 2 1 f 1 s 2 1 f 1 + s2 2 f 2 1 c 2 f 1 + (1 c)2 f 2 (f este rotunjit la intreg) -statistica t este t = X Y s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 In continuare testul t se dezvoltă ca la t2. (12) Teste privind egalitatea dispersiilor populaţiilor normale. Se dau X N(m 1, σ 1 ), Y M(m 2, σ 2 ) şi selecţiile independente corespunzătoare de volume n 1, n 2. Ipoteza H : σ 1 = σ 2 cu alternativa N H : σ 1 σ 2 se verifică folosind testul F (al lui Snrdrcor) după cum urmează: - se estimează σ 2 1, σ 2 2 cu formulele (12); se calculează statistica F = s2 1 s

19 Statistica F are repartiţia F -centrată cu (f 1, f 2 ) grade de libertate. Deci domeniul critic de nivel α este F F f1,f 2 ;α, unde P (F f1,f 2 F f1,f 2 ;α) = α, adică F f1,f 2 ;α este α-cuantila superioară a repartiţiei F. Testul lui Bartlett pentru egalitatea a mai multe dispersii. Se dau k populaţii normale N(m 1, σ i ), 1 i k si selectţii corespunzătoare X i,j,.1 i k, 1 j n i de volume n 1, n 2,..., n k, n i > 3 respectiv. Se cere să se verifice ipoteza K : σ 2 1 =... = σ 2 k. Testul lui Bartlett se realizează in următorii paşi: - se estimează dispersiile cu formulele Si 2 = 1 n i 1 ( ni j=1 - se calculează s 2 cu formula X 2 ij n i X i 2 ), 1 i k s 2 = 1 f ( k f i s 2 i ), f i = n i 1, f = k se calculează statistica lui Bartlett f i χ 2 = 1 B k f i log s2 i s 2, B = k 1 n i 1 1 n k 3(k 1) + 1, n = i n i. (13) Statistica χ 2 are k 1 grade de libertate, deci domeniul critic al testului lui Bartlett este χ 2 χ 2 k 1,α, unde P (χ 2 k 1 χ 2 k 1,α) = α. 19

20 (aici α este riscul de genul intai). Puterea testului se calculează pe baza repatriţiei necentrate (σ i diferite intre ele). χ 2 k 1,δ, δ 2 = k f iσ 2 i f, Teste de concordanţă. Presupunem că se dă o selecţie de volum n asupra lui X si se cere să verificăm ipoteza de concordanţă H : X F. Prezentăm două teste asimptotice (când n ). Testul de concordanţă χ 2. Dacă ipoteza H este complet specificată, atunci testul χ 2 constă din următoarele etape: - se consideră 0 diviziune a mulţimii pe care variabila aleatoare X ia valori de probabilităţi pozitive, adică = k i, i j = ø, P ( i ) > 0. - se calculează probabilităţile p i = P ( i ) > 0, 1 i k; - pentru selecţia dată X 1, X 1,..., X n, n = f.mare(n > 1000) se determină f i = numărul valorilor de selecţie ce aparţin lui i, adică frecvenţele absolute pe i ; - se calculează statistica χ 2 = k (f i np i ) 2 (13 1) np i Deoarece statistica χ 2 are repartiţia χ 2 k 1, domeniul critic al testului este χ 2 χ 2 k 1,α, P (χ 2 k 1 χ 2 k 1,α = α. 20

21 Puterea testului se determină ca deobicei cu χ 2 necentrat (repartiţia statisticii (13-1) in ipoteza N H.) Dacă H este nespecificată, atunci etapele testului χ 2 suferă o modificare şi anume dacă funcţia de repartiţie depinde de un parametru θ = (θ 1,..., θ c ), c < k 1, atunci p i = p i (θ) şi statistica (13-1) devine χ 2 (θ) = k (f i np i (θ) 2 np i (θ) (13 2) iar parametrul θ trebuie estimat. Estimaţia θ se obţine minimizând (13-2) in raport cu theta, dar cu condiţia ca numitorii din suma (13-2) sa fie asimptotic constanţi.(această metodă de estimare se numeşte metoda minimului lui χ 2 modificat.) După estimarea celor c parametri, probabilităţile din (13-1) devin p i = ˆp i = p i (θ), iar statistica devine χ 2 (θ) = k (f i nˆp i ) 2. (13 3) nˆp i Se ştie că statistica (13-3) are o repartiţie χ 2 k c 1 şi de aici se continuă paşii din cazul când H este complet specificată. Puterea testului se calculează tot cu χ 2 -necentrat unde paqrametrul de excentricitate este unde p H i, p N H i δ 2 = k (p H i p N H np H i i ) 2 sunt calculate in ipotezele respective. Teste de concordanţă de tip Kolmogorov-Smirnov. Aceste teste se aplică numai când funcţia de repartiţie F este continuă. 21,

22 Definim mai intâi estimaţia nedeplasaată a funcţiei de repartiţie F (x). Aceasta este F n (x) = ν(x), (13 4) n unde ν(x) =numărul valorilor de selecţie mai mici decât X. Ea se mai numeşte şi funcţia de repartiţie empirică. Să notăm D n = sup F (x) F n (x) = max F (X x i) F n (X i ) 1 i n D n + = max [F n(x i ) F (X i )], D 1 i n n = max [F (X i) F n (X i )]. 1 i n Testele de tip Kolmogorov-Smirnov se bazează pe următoarele teoreme limită: Teorema lui Kolmogorov. Dacă F este continuă, atunci lim P (D n n < λ n ) = + k= ( 1) k e λ2 k 2 = K(λ). (13 5) Teorema lui Smirnov. Dacă F este continuă atunci lim P n (D+ n < λ ) = 1 e 2λ2. (13 6) n Testul lui Kolmogorov are domeniul critic de nivel α 0.05 de forma D n > λ α n, unde K(λ α ) = 1 α. (13 7) In mod asemănător, domeniul critic pentru testul lui Smirnov este D + n > θ α n, unde e 2θ2 α = α. (13 8) 22

23 Puterea testului Kolmogorov se calculează pe baza repartiţiei asimptotice a statisticii Dn = sup F n (x) G(x), unden H : X G(x). x Nu există evaluări exacte privind puterea testului lui Kolmogorov. Dacă pentru două variabile X având funcţia de repartiţie F şi Y având funcţia de repartiţie G (F, G necunoscute!), se dau două selecţii asupra lor, de volume n şi m respectiv, atunci se poate pune problema testării ipotezei H : F = G. Testarea acestei ipoteze se face pe baza următoarei teoreme Teorema lui Smirnov. Dacă F şi G sunt continue şi notăm atunci lim n,m, n D n,m = sup F n (x) G m (x), x m =ρ=const. P (D n,m < λ( 1 n + 1 )) = K(λ). (13 9) m Domeniul critic al testului este D n,m > λ 1 α n + 1 m, K(λ α) = 1 α. (13 10) Puterea testului se determină ca şi in cazul testului Kolmogorov. Teste pentru repartiţii multidimensionale. Vom prezenta teste referitoare la mediile repartiţiilor normale multidimensionale. Vectorul = (X 1, X 2,..., X k ) X are repartiţia normală k-dimensională N(µ, Σ) dacă densitatea sa de repartiţie este 1 f(x, µ, Σ) = e 1 (2π) k 2 det(σ) 1 2 (x µ) Σ 1 (x µ). (14) 2 23

24 µ este vectorul medie al lui X, iar Σ este mateicea de covarianţă a lui X notate respectiv µ = E(X), Σ = Cov(X, X ), vectorii, fiind vectori coloană, iar produsele matriceale sunt calculate conform regulii obişnuite linii prin coloane. Matricea Σ este pozitiv definită, (notată Σ 0), de unde rezultă că forma pătratică de la exponent in formula (14) este pozitiv definită. O selecţie de volum N asupra vectorului aleator X este de forma X 1, X 2,..., X N care de fapt este o matrice N k, X i fiind coloanele acestei matrici: X i sunt deci valori de selectie efectuate asupra lui X. Estimaţiile nedeplasate ale parametrilor ν, Σ sunt respectiv adică X = N X i, S = 1 N 1 N E[X] = µ, E[S] = Σ. (X i X)(X i X), (16) In cazul unidimensional testele asupra mediilor se bazau pe staistica U repatizată normal şi pe statistica t a lui Student. Asemănător, testele privind mediile repartiţiilor normale multi dimensionale se vor baza pe o statistică χ 2 si pe o statistică T 2 a lui Hoteling, cu n grade de libertate. Aceste statistici arată de forma χ 2 k = Y Σ 1 Y, Y N(0, Σ), (17) Tn 2 = Y S 1 Y, Y N(0, Σ), ns = n Z α Z α, (18) unde Z i N(0, σ), Z i ind Y. S este o matrice W ishart. Variabila T 2 n are repartiţia Hoteling cu n grade de libertate. 24

25 Se arată că variabila T 2 n este legată de variabila F prin relaţia n k + 1 Tn 2 k n = F k,n k+1. (18) iar dacă in (18) Y N(µ, Σ), atunci T 2 n din (18) are repartiţia Hoteling necentrată cu parametrul de excentricitate δ 2 = µ Σ 1 µ, relatia (18 ) ramânând valabilă si pentru variabile necentrate. Relaţia (18 ) se păstrează şi intre cuantilele variabilelor F şi T 2 şi anume Tn,α 2 nk = n k + 1 F k,n k,α. (18 ) Verificarea ipotezelor asupra mediilor cand matricile de covarianţă sunt cunoscute. H 1. Ipoteza H : µ = µ 0, cu alternativa N H; µ µ 0. Se foloseşte selecţia de volum N. Deoarece in ipoteza, H X N(µ 0, Σ N ), rezultă că statistica χ 2 = N(X µ 0 ) Σ 1 (X µ 0 ) (19) are repartiţia χ 2 k, deci domeniul critic de nivel α este conform (19) χ 2 χ 2 k,α, unde P (χ 2 k χ 2 k,α) = α. (19 ) Puterea testului este dată de repartiţia χ 2 -necentrată adică π(m) = P (χ k;δ χ 2 k,α), unde δ 2 = N(µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ). (20) Amintim faptul că distanţa lui Mahalanobis dintre repartiţiile normale N(µ 1, Σ), N(µ 2, Σ) este D 2 = (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ) 25

26 deci δ 2 este o distanţă Mahalanobis. H 2. Problema celor două saelecţii, pentru două populaţii normale X N(µ 1, Σ), Y N(µ 2, Σ) cu Σ cunoscut. Presupunem că volumele celor două selecţii sunt N 1 respectiv N 2 si avem de testat ipoteza H : µ 1 = µ 2 cu alternativa N H : µ 1 µ 2. Deoarece in ipoteza H avem (X Y ) N(0, ( 1 N N 2 )Σ), rezultă χ 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (X Y) Σ 1 (X Y) (21) Domeniul critic de nivel α este deci de forma (19 ) iar puterea testului se determină cu χ 2 -necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ). (21 ) H 3. Problema celor r selecţii. Fie vectorii normali X (i) N(µ (i), Σ), Σ cunoscut şi selecţiile de volume N i asupra lor, 1 i r. Se dau constantele β i, 1 i r (ce pot fi numite măsuri de ponderare). Se cere să se verifice ipoteza H : µ = µ 0, µ = r β iµ i, numită problema celor r selectii. (In biologie µ este media caracteristicii unei specii ce provine din r ascendenţi; in economie, µ poate fi suma cheltuită de o familie pentru a-şi asigura r resurse necesare). Deoarece in ipoteza H vectorul aleator r β ix (i) N(µ 0, ( r βi 2 N i )Σ), rezultă ca testul se bazează pe statistica χ 2 = r β 2 1 i N i ( r β i X (i) µ 0 ) Σ 1 ( r β i X (i) µ 0 ). (22) 26

27 Domeniul critic de nivel α este tot de forma (19 ) cu χ 2 dat de (22). Puterea testului se calculează tot cu χ 2 necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = r β 2 1 i N i ( r β i µ (i) µ 0 ) Σ 1 ( r β i µ i µ 0 ). (22 ) H 4. Cazul matricilor de covarianţă neegale. Dacă X (i) r N(µ i, Σ i ), nu implică dificultăţi. In acest caz vectorul β ix (i) N(µ, Σ ) unde µ = r β i µ i, Σ = ( r Statistica testului este in acest caz χ 2 = ( r β 2 i N i )Σ. (23) β i X (i) µ 0 ) Σ 1 ( r β i X (i) µ 0 ), (23 ) care are repartiţia χ 2 k, deci domeniul critic este de forma (19 ), iar puterea testului se determină cu χ 2 necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = (µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ). (23 ) H 5. Problema simetriei. Fie X N(µ, Σ), µ = (µ 1,..., µ k ). Problema simetriei constă in a verifica ipoteza H : µ 1 =... = µ k. Fie ϵ = (1, 1,..., 1) vectorul k-dimensional cu toate componentele 1. Să considerăm o matrice C k (k 1), astfel incât Cϵ = 0. O astfel de matrice există deoarece cele k (k 1) elemente ale ei satisfac numai k ecuaţii. Cu aceste notaţii ipoteza H se poate 27

28 scrie H : Cµ = 0. Deoarece X este o estimaţie a lui µ,, rezultă că statistica test χ 2 = N(CX) (CΣC ) 1 (CX) (24) are repartiţia χ 2 k 1 şi deci domeniul critic iar puterea tesctului este χ 2 χ 2 k 1,α, π = P (χ 2 k 1;δ χ 2 k 1,α), unde δ 2 = N(Cµ) (CΣC ) 1 (Cµ). (24 ) Teste asupra mediilor repartiţiilor normale k-dimensionale, când matricile de covarianţă sunt necunosacute. T 1. Verificarea ipotezei H : µ = µ 0 cu alternativa N H : µ µ 0, cu Σ-necunoscut. Cu ajutorul selecţiei de volum N se estimează µ şi Σ astfel X = 1 N N X i, S = 1 N 1 N (X i X)(X i X). (25) Matricea S fiind o matrice Wishart, rezultă că statistica T 2 = N(X µ 0 ) S 1 (X µ 0 ) (26) are, in ipoteza H, o repartiţie Hoteling cu N 1 grade de libertate. Deci domeniul critic de nivel α pentru verificarea ipotezei H este T 2 T 2 N 1,α, unde P (T 2 N 1 T 2 N 1,α) = α. Puterea testului se calculează cu ajutorul repartiţiei T 2 necentrate cu parametrul de excentricitate δ 2 = N(µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ) (26 ) 28

29 adică π(µ) = P (T 2 N 1;δ T 2 N 1,α). (26 ) T 2. Problema celor două selecţii când matricile de covarianţă sunt necunoscute si egale. Fie X (1) N(µ 1,Σ), X (2) N(µ 2, Σ si două selecţii de volume N 1, N 2 respectiv. Se cere testarea ipotezei H : µ 1 = µ 2 cu alternativa N H : µ 1 µ 2. Matricea de covarianţă comună se estimează cu 1 N 1 + N 2 2 N 1 (X (1) S = i X (1) )(X (1) i X (1) ) + N 2 Deoarece X (1) X (2) N(0, N 1+N 2 N 1 N 2 (X (2) j=1 j X (2) )(X (2) (27)) Σ), rezultă că statistica T 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (X (1) X (2) ) S 1 (X (1) X (2) ), (28) are repartiţia T 2 N 1 +N 2 2. Atunci, domeniul critic al testului este T 2 T N1 +n 2 2,α, unde TN 2 1 +N 2 2,α = N 1 + N 2 2)k N 1 + n 2 k 1 F k,n 1 +N 2 k 1<α, (28 ) iar puterea testului se calculează cu T 2 necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ). (28 ) T 3. Problema celor două selecţii când matricile de covarianţă sunt necunoscute şi diferite. Presupunem deci că se dau vectorii normali X (1) N(µ 1, Σ 1 ), X (2) N(µ 2, Σ 2 ), 29 j X (2) ).

30 selecţiile corespunzătoare de volume N 1, N 2 şi se cere să se testeze ipoteza H : µ 1 = µ 2 < cu alternativa N H : µ 1 µ 2. Dacă până acum construcţia testelor T 2 decurgea asemănător testelor t din statistica unidimensională aici construcţia presupune un atificiu ce va fi prezentat in continuare. Astfel să presupunem că N 1 < N 2. (In caz contrar schimbam notarea vectorilor normali!). Din selectiile X (1) i, 1 i N 1 şi X (2) j, 1 j N 2, construim o nouă selecţie Y i, 1 i N 1 astfel N 1 Y i = X (1) i + 1 N 1 X (1) s 1 N 1 X (2) j, 1 i N 1. N 2 N 1 N 2 s=1 N 2 j=1 (29) Se arată că valorile de selectie Y i, 1 i N 1 sunt independente stochastic şi repartizate normal N(µ 1 µ 2, Σ), unde Σ = Σ 1 + N 1 N 2 Σ 2. (30) Matricea Σ se estimează cu S = 1 N 1 1 iar in ipoteza H statistica N 1 j=1 (Y j Y)(Y j Y) (30 ) T 2 = N 1 Y S 1 Y (31) are N 1 1 grade de libertate. Domeniul critic al testului este in acest caz T 2 T 2 N 1 1,α, (31 ) iar puterea testului este π(µ 1 µ 2 ) = P (T 2 N 1 1;δ T 2 N 1 1,α); δ 2 = N 1 (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ). (31 ) 30

31 T 4. Problema celor r selecţii când matricile de covarianţă sunt necunoscute şi egale.problema se tratează in paralel cu cazul H 4. Fie X (i) α, 1 i r, 1 α N i cele r selecţii, selecţia X (i) α fiind efectuată asupra populeţiei normale N(µ i, Σ). Se cere testarea ipotezei H : µ = r β iµ i = µ 0, cu alternativa N H : µ µ 0. Matricea Σ se estimează in mod obişnuit adică S = şi deoarece r r 1 N i r rezultă statistica test T 2 = care are f = r deci n i r (X (i) α α=1 β ix (i) µ 0 N(0, Σ ) unde r β 2 i ( r N i Σ = r β 2 i N i X (i) )(X (i) α X (i) ), (32) Σ, β i X (i) µ 0 ) S 1 ( r β i X (i) µ 0 ) (32 ) N i k grade de libertate. Domeniul critic este T 2 T 2 f,α, T 2 dat de (32 ), (33) iar puterea testului se calculează cu T 2 necentrat adică π(µ) = P (T f;δ T 2 f,α), (33 ) cu δ 2 = r β 2 1 i N i ( r β i µ i µ 0 ) Σ 1 r β i µ i µ 0 ). (33 ) 31

32 T 5. Problema celor r selecţii, cazul general. Presupunem că se dau r selecţii X (i) α, 1 i r, 1 α N i din populaţiile normale independente N(µ i, Σ i ), 1 i r, cu Σ i necunoscute si ne egale. Se cere să se verifice ipoteza H : µ = r β iµ i = µ 0 cu alternativa N H : µ µ 0, unde µ 0 şi coeficienţii β i, 1 i r sunt daţi. Şi aici se aplică un artificiu asemănător celui din cazul T 3. Presupunem că N 1 = min 1 i r N i. (In caz contrar schimbăm numerotarea astfel incât N 1 să fie cel mai mic). Construim selecţia Y α = β 1 X (1) α + r N 1 N i X (i) α 1 N 1 N i ν=1 X (i) ν + 1 N1 N i N i X (i) γ. γ=1 (34) Se arată că variabilele de selecţie Y α sunt independente stochastic şi repartizate normal Fie estimaţia lui Σ S = N(µ, Σ ), Σ = r 1 N 1 1 N 1 β 2 i N 1 N i Σ i. (35) (Y α Y)(Y α Y). (35 ) Dacă notăm cu S i estimatia lui Σ i, 1 i r se arată că S = r Statistica test pentru ipoteza H este β 2 i N 1 N i S i. (35 ) T 2 = N 1 (Y µ 0 ) S 1 (Y µ 0 ) (36) 32

33 şi ea are (in ipoteza H) repartiţia Hoteling cu N 1 1 grade de libertate. De aici rezultă că domeniul critic al testului este iar puterea testului este T 2 T N1 1,α, (36) π(µ) = P (T 2 N 1 1;δ T N1 1,α), δ 2 = N 1 (µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ). (36 ) T 6. Problema simetriei când Σ este necunoscut. Se dă deci selecţia X α, 1 α N asupra unei populaţii normale N(µ, Σ), µ = (µ 1,..., µ k ) cu Σ necunoscut. Se cere sa se testeze ipoteza H : µ 1 =... = µ k cu alternativa N H care inseamnă că nu toate µ i sunt egale. Ca şi in cazul H 5, se alege matricea C k (k 1) astfel incât Cϵ = 0, ϵ = (1, 1,..., 1) iar ipoteza H este echivalentă cu Cµ = 0. Dacă considerăm estimaţia obişnuită S a lui Σ,şi estimaţia X a lui µ, atunci rezultă că CX N(Cµ, CΣC ) şi deci statistica T 2 = N(CX) (CSC ) 1 (CX) (37) are repartiţia Hoteling cu N 1 grade de libertate ( pe spaţiul k 1 dimensional!).domeniul critic al testului este T 2 T 2 N 1,α, T 2 N 1,α = (N 1)(k 1) (N k)(k 1) F k 1,N k,α. (37 ) Puterea testului se calculează cu variabila Hoteling necentrată (pe spaţiul k 1 dimensional) şi anume π(µ) = P (T 2 N 1;δ T 2 N 1,α), δ 2 = N(Cµ) (CΣC ) 1 (Cµ). (37 ) 33

34 Consideraţii finale. 1. Aici s-au prezentat numai consideraţii introductive privind verificarea ipotezelor statistice. Probleme ca: verificarea ipotezelor folosind selecţiile cenzurate ce intervin in fiabilitate, etc; testele secvenţiale; analiza dispersională;teste bazate pe statistici de ordine; teste pentru serii dinamice cu multiple aplicaţii in activităţi bancare;etc am coniderat că-şi au locul in prezentari speciale separate. 2. Pentru aplicarea testelor prezentate, se impun unele precizări legate de utilizarea tehnicilor moderne de calcul Toate funcţiile de repartiţie pot fi calculate cu pachetele de programe statistice existente. Astfel se pot determina atât cuantilele cat şi valorile acestor funcţii. Este o preoblema insă cu utilizarea funcţiilor de repartiţie ne centrate. Deoarece expresiile densităţilor de repartiţie ale lui t-necentrat, χ 2 -necentrat şi F - necentrat sunt date de serii de puteri, folosirea acestor expresii la calculul numeric al functiilor de repartiţie sau al cuantilelor (când trebuie rezolvată o ecuaţie in x de forma F (x) = p), este complicată. O ieşire din impas o poate reprezenta aproximarea lui Pathnaik pentru repartiţia χ 2 k;δ si anume: se aproximează repartiţia acestei variabile cu o variabilă repartiţie de forma cχ 2 k, adică χ 2 k;δ = cχ 2 k. (38) Egalând mediile şi dispersiile celor două variabile din (38) rezultă k + δ 2 = ck, k + 2δ 2 = c 2 k, (38 ) de unde c = k + 2δ2 k + δ 2, k = (k + δ2 ) 2 k + 2δ 2. (38 ) 34

35 Soluţia k din (38 ) se rotunjeşte la un intreg. Pentru utilizarea repartiţiilor F şi T 2 necentrate se poate utiliza in prealabil aproximarea repartiţiei χ 2 necentrată ce intră in definiţia lui F necentrată. Trebuie subliniat faptul că aproximarea Pathnaik este ne recomandată, fiind prea laxă Simularea Monte Carlo oferă o alternativă facilă şi mai bună pentru determinarea puterii testului in cazul unei repartiţii necentrate (sau oricărei alte repartiţii) şi anume: -in ipoteza N H, se simulează o selecţie de volum mare n, a statisticii test g: - cu această selecţie se determină estimaţia puterii testului π n = 1 F n (x α ) P (g > x α ), unde x α este valoarea critică a statisticii test. Dacă nu se poate utiliza uşor sau nu se cunoaşte expresia convenabilă a repartiţiei statisticii test g, atunci se procedează in mod asemănător,adică: - se simulează o selecţie de volum mare n, a statisticii test g in ipoteza H; - Se construieţe histograma lui g pe baza acestei selecţii; - cu ajutorul histogramei se rezovă ecuaţia P (g > x α ) = α, unde α este riscul de genul intâi, x α fiind valoarea critica a statisticii test.(problema inversă celei precedente). Când selecţiile de care dispunem au un volum mic, se poate folosi metoda bootstrap de re-selectie, care produce multe replici ale selecţiei iniţiale, ce pot permite o abordare asimptotica a analizei statistice a datelor originale ale selecţiei. 35

36 3. Verificarea ipotezei de normalitate unidimensională, nu ridică nicio problemă. Nu s-a menţionat ceva semnificativ privind verificarea ipotezei de normalitate multidimensională. In acest sens, recomandăm lucrările [3,4] de la bibliografie care prezintă adaptarea testului de concordanţă χ 2 in acest caz Cazul specificat. S-a văzut că testul χ 2 presupune ca spaţiul R p =,care reprezintă mulţimea valorilor vectorului p-dimensional X N(µ, Σ), sa fie divizat in k părţi disjuncte, făra a se impune cum se alege diviziunea. In lucrările menţionate se pleacă de la ideea că forma pătratică Φ(x) = (x µ) Σ 1 (x µ) permite divizarea spaţiului R p in coroane de elipsoizi, determinate de k 1 constante 0 < θ 0 <... < θ k 1. Astfel spaţiul R p se divide in k mulţimi disjuncte de forma 1 = {x 0 Φ(x) θ 1 }, i = {x θ i 1 < Φ(x) θ i, 2 i k 1}, Deoarece adica are o repartiţie χ 2 p, rezultă că k = {x Φ(x) > θ k 1. (39) (X µ) Σ 1 (X µ) = χ 2 p, (40) p 1 = P (X 1 ) = P (χ 2 p θ 1 ), p i = P (X i ) = = P (θ i 1 < χ 2 p θ i ), 2 i k 1), p k = P (X k ) = P (χ 2 p > θ k 1 ). (40 ) Frecvenţele f i care intervin in testul de concordanţă χ 2 se calculează simpu, numărând valorile de selecţie ce cad in i, 1 i k. 36

37 3.2. Cazul nespecificat. In acest caz, construcţia statisticii testului de concordanţă χ 2 se realizeată in următorii paşi (pentru selecţia X 1,..., X n de volum n mare): -se separă o (sub)selecţie de volum n 1 < n; - cu acestă selecţie se estimează parametri µ şi Σ cu formulele obişnuite (adica µ X, Σ S); se observă că variabilele (X i X) S 1 (X i X i ), n 1 < i n sunt repartizate T 2 n 1 1 pe spaţiul R p. - construcţia continuă ca in cazul specificat, elipsoizii fiind de acelaş tip, dar probabilităţile teoretice p i se calculează cu repartiţia T 2 n 1 1 pe R p in loc de χ 2 p. References [1] Gheorghe MIHOC, Virgil CRAIU.(1977).Tratat de statistică matematică, Vol.II. Verificarea ipotezelor statistice, Editura Academiei. [2] Ion VADUVA. (1970). Analiză dispersională. Editura Tehnică. [3] Ion VĂDUVA and Nicolae POPOVICIU.(1979). χ2 test of goodness of fit for multivariate normal distribution. Specified case. Econ.Comp.Econ.Cyb.St. and Res.,No. 2, 1979,p [4] Ion VĂDUVA and Nicolae POPOVICIU.(1980). χ2 test of goodness of fit for multivariate normal distribution.unspecified case. Econ.Comp.Econ.Cyb.St. and res., No 1, 1980,p

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

9 Testarea ipotezelor statistice

9 Testarea ipotezelor statistice 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea nr. 2: Determinarea legii de repartiţie

Lucrarea nr. 2: Determinarea legii de repartiţie Lucrarea nr. 2: Determinarea legii de repartiţie Tiberiu Laurian, Radu Florin Mirică 2014 1 Scopul lucrării Determinarea parametrilor repartiţiei normale şi a repartiţiei de tip Weibull corespunzătoare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

VARIABILE ŞI PROCESE ALEATOARE: Principii. Constantin VERTAN, Inge GAVĂT, Rodica STOIAN

VARIABILE ŞI PROCESE ALEATOARE: Principii. Constantin VERTAN, Inge GAVĂT, Rodica STOIAN VARIABILE ŞI PROCESE ALEATOARE: Principii şi aplicaţii Constantin VERTAN, Inge GAVĂT, Rodica STOIAN 3 mai 999 Cuprins Cuvânt înainte 4 Variabile aleatoare cu valori continue 5. Funcţia de repartiţieavariabilelor

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie

Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala 8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2) Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin

Διαβάστε περισσότερα

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα