PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên

Transcript

1 huyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI Á ÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIN TRONG KỲ THI TĐH iên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gin là bài toán không khó trong đề thi TĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qu chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn bản chất củ bài toán để từ đó tìm r chì khó giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán Trong tm giác vuông (vuông tại ) đường co H thì t luôn có: - b c tn, c b tn, H H. H H H + - H Trong tm giác thường t có: b + c + cos ;cos. bc b c bc Tương tự t có hệ thức cho cạng b, c và góc, : bsin bcsin csin - p. r (Trong đó p là nữ chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tm giác) - bc 4R NGUYỄN TRUNG KIÊN 1

2 Thể tích khối đ diện: - Vchop 1. h ( là diện tích đáy, h là chiều co) - V. h LT Phần ) Phương pháp xác định đường co các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều co. - Loại : Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường co chính là đường kẻ từ mặt bên đến gio tuyến. - Loại : Khối chóp có mặt kề nhu cùng vuông góc với đáy thì đường co chính là gio tuyến củ mặt kề nhu đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhu hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhu thì chân đường co chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhu thì chân đường co chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. ử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp D có mặt phẳng ( ) và ( ) cùng tạo với đáy góc α thì chân đường co hạ từ đỉnh thuộc phân giác trong góc - Hình chóp D có hoặc, cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường co hạ từ rơi vào đường trung trực củ Việc xác định được chân đường co là yếu tố đặc biệt qun trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gin cổ điển Phần : ác bài toán về tính thể tích. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường co: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường co và sử dụng các công thức 1 + Vch óp. h + VLT. h T xét các ví dụ su: Ví dụ 1) (TĐH 009) ho hình chóp D có đáy D là hình thng vuông tại và D, có D, D. Góc giữ mặt phẳng ( ),( D) bằng Gọi I là trung điểm D biết mặt phẳng ( I) và ( I ) cùng vuông góc với đáy D. Tính thể tích khối chóp D. HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường co trong bài toán này là: mặt phẳng ( I) và ( I ) cùng vuông góc với đáy D NGUYỄN TRUNG KIÊN

3 Vì mặt phẳng ( I) và ( I ) cùng vuông góc với đáy D mà ( I) và ( I ) có gio tuyến là I nên I ( D). Kẻ IH t có góc giữ mặt phẳng ( ),( D) là ˆ 60 0 HI 1. Từ đó t tính được: I ; I 5; ( D) D( + D) 1 IH. ( I) ( D) ( I) ( DI ) nên 5. Từ đó tính được 15 VD. 5 IH I I D H Ví dụ ) (TĐH D 009) ho lăng trụ đứng ' ' ' có đáy là tm giác vuông tại,, ', '. Gọi M là trung điểm củ đoạn ' ', I là gio điểm củ M và '. Tính thể tích khối chóp I theo HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường co trong bài toán này là: I nằm trong mặt bên ( ' ') vuông góc với đáy ( ) T có: - ' ' ' là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. I ( ' ) (), từ I t kẻ IH thì IH ( ) và I chính là trọng tâm tm giác ' ' IH I 4 IH ' ' NGUYỄN TRUNG KIÊN

4 ó VI IH dt 9. ( ).... ( đvtt) ' M ' ' I O H Ví dụ : ho hình chóp D có đáy D là hình chữ nhật với, D, và vuông góc với mặt phẳng( D ). Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ D và ; I là gio điểm củ M và. hứng minh rằng mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng ( M ). Tính thể tích khối tứ diện NI. Lời giải: +) hứng minh ( ) ( M) T có: ; M + M + 4 Gọi O D ;do I là gio điểm củ hi đường trung tuyến O và M nên là trọng tâm củ tm giác D. Theo tính chất trọng tâm củ tm giác t có: 1 6 I O ; I M NGUYỄN TRUNG KIÊN 4

5 Nhận xét: I + I +, suy r tm giác I vuông tại I. Do đó M I (1) Mặt khác: ( D) nên M () Từ (1) và () suy r M ( ) +) Tính thể tích khối tứ diện NI T thấy khối chóp NI cũng chính là khối chóp NI Dấu hiệu nhận biết đường co trong bài toán này là: Điểm N nằm trong mặt phẳng ( ) vuông góc với đáy ( D ) Do NO là đường trung bình củ tm giác nên t có: NO / / và Do đó NO là đường co củ tứ diện NI 1 NO Diện tích tm giác đều I là: I I. I Thể tích khối tứ diện NI là: V I. NO. 6 6 I N M D O NGUYỄN TRUNG KIÊN 5

6 Ví dụ 4) ho hình chóp có đáy là tm giác cân với,. ác mặt bên đều hợp với đáy một góc Lời giải: Tính thể tích khối chóp Dấu hiệu nhận biết đường co trong bài toán này là: Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhu thì chân đường co là tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp Từ đó t có lời giải su: Gọi O là hình chiếu củ trên mặt phẳng ( ) và I, H, J lần lượt là hình chiếu củ O trên,,. Theo định lý b đường vuông góc t có: I, J, H IO JO HO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ( ),( ),( ) uy r:,, Theo giả thiết t có: 0 IO JO HO 60 ác tm giác vuông OI, OJ, OH bằng nhu nên OI OJ OH Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tm giác và mặt đáy Mặt khác: là tm giác cân tại nên H vừ là đường phân giác, vừ là đường co, vừ là đường trung tuyến uy r, O, H thẳng hàng và H là trung điểm củ Tm giác H vuông tại H, t có: H H Diện tích tm giác là:. H.. Ngoài r: 1 pr, với p ( + + ) 4 và r : bán kính đường tròn nội tiếp. r OH p 4 NGUYỄN TRUNG KIÊN 6

7 Tm giác OH vuông tại O, t có: O OH tn Thể tích khối chóp là: V. O.. I J O H Ví dụ 5) ho hình lăng trụ tm giác ' ' ' có đáy là tm giác vuông tại,. iết đỉnh ' cách đều các đỉnh,, và khoảng cách từ đỉnh đến mặt 6 phẳng ( ) bằng.tính thể tích khối chóp ' ' theo và tính cosin góc tạo bởi mặt 15 phẳng ( ' ') và mặt phẳng đáy ( ). Giải: Dấu hiệu nhận biết đường co trong bài toán này là: Đỉnh ' ' ' ' cách đều các đỉnh,, ' ' ' N H M I K NGUYỄN TRUNG KIÊN 7

8 - Hạ ' H ( ) ' H ' H ' H H H H uy r H là tâm vòng trong ngoại tiếp tm giác. Vì tm giác vuông tại nên H là trung điểm củ. T có: d/( ') dh /( '). 1 HM, HN ' M HN ( ') d HN d. 15 Hạ H /( ') /( ') T có: 1 HM ' H từ đó tính được ' ó V' ' VLT ' H. dt( ) Hạ ' K ( ) thì ' HK ' là hình chữ nhật. Gọi I HK thì OI / / suy r I là trung điểm củ. Tm giác vuông tại nên KI Góc tạo bởi ( ' ') và đáy ( ) là ' IK T có: cos IK ' IK. Tính được ' I 1 1 IK 1 IK HK ; ' I IK + ' K cos ' IK ' I 1 Ví dụ 6) ho hình chóp D có đáy D là hình bình hành 0, D, D 60 là tm giác đều. Gọi H là trung điểm củ, K là hình chiếu vuông góc củ H lên mặt phẳng ( D ). Tính thể tích khối chóp D biết giác D Giải: ài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở. Dấu hiệu để tìm r đường co khối chóp là: là tm giác đều 15 HK và điểm K nằm trong tm 5 Tức là '' NGUYỄN TRUNG KIÊN 8

9 K 10 H E F D Gọi E là trung điểm củ D, F là trung điểm củ ED Với giả thiết t suy r chân đường co hạ từ lên mặt phẳng D thuộc đường trung trực củ đoạn thẳng Nói cách khác chân đường co hạ từ lên ( D ) thuộc đường thẳng chứ HF Hạ HK F HK ( D) T có: VD VHD HK. dt( D) T cần tính diện tích tm giác D T có: 1 dt( D) F. D; Mà F K + KF; K H HK ; KF HF HK H là đường co tm giác đều suy r: H, HF là đường co tm giác đều HDE suy r: HF Thy số t có: F Vậy: V D NGUYỄN TRUNG KIÊN 9

10 Ví dụ 7) ho hình chóp. có đáy là tm giác vuông cân tại, khoảng cách từ đến mặt phẳng () bằng và Tính thể tích khối chóp. theo. Giải: Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường co hình chóp. K H H Hạ H ( D) vì ( H) H. hứng minh tương tự t có H H là hình vuông. T có H kẻ HK HK ( ) HK Mặt khác t có: HK. H + H HK H H H HK Thể tích khối chóp V H. 6. Ví dụ 8) ho hình chóp.d có đáy D là hình thoi cạnh bằng,, D và mặt phẳng (D) vuông góc với mặt phẳng (D). Tính theo thể tích khối chóp.d Giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 10

11 D H O Hạ H D H ( D) H H Từ giả thiết t suy r D O O OD D vuông tại Tính được. D 6 D, H + D,suy r tm giác là tm giác đều V D H. D.. 6 hú ý: T có thể tính thể tích theo cách: V V O. D D D Trong ví dụ này chì khó để giải quyết bài toán là phát hiện r tm giác D vuông tại ác em hãy rèn luyện dạng toán này qu bài tập su: ho hình chóp D có cạnh D x ( x > 0), các cạnh còn lại củ hình chóp bằng nhu và bằng ( x > 0). Tìm x biết thể tích khối chóp D bằng. 6. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì t phải tìm cách phân chi khối đ diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích củ nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đ diện cần tính thông qu 1 khối đ diện trung gin đơn giản hơn. ác em học sinh cần nắm vững các công thức su: NGUYỄN TRUNG KIÊN 11

12 V V V V.. (1).. ' (). ông thức () có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ. ' ' ' Ví dụ ) ho hình chóp D có đáy D là hình thoi cạnh, D ˆ 60 0, vuông góc với đáy D,. Gọi ' là trung điểm củ, mặt phẳng ( P ) đi qu ' song song với D cắt các cạnh, D củ hình chóp tại ', D '. Tính thể tích khối chóp D HD giải: Để xác định mặt phẳng ( P ) các em cần tính chất: Mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các mặt phẳng chứ (nếu có) theo gio tuyến song song hoặc trùng với Gọi O là gio đường chéo t suy r ' và O cắt nhu tại trọng tâm I củ tm giác Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với D cắt các cạnh, D củ hình chóp tại ', D ' là gio điểm cần tìm. T có: 1 ; D I D O V D V.. 1 Dễ thấy V( D ) V( ); V( ) V ( ) V V.. D NGUYỄN TRUNG KIÊN 1

13 1 1 1 T có V ˆ ( D). dt( D). D.. sind... 6 V 18 ( D ) (đvtt) ' D' ' I D O Ví dụ 4) (Dự bị 007) ho hình chóp D có đáy D là hình chữ nhật, D cạnh vuông góc với đáy, cạnh hợp với đáy một góc Trên cạnh lấy M so cho phẳng ( M ) cắt D tại N. Tính thể tích khối chóp MN HD giải: M. Mặt T cần tính chất: Mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các mặt phẳng chứ (nếu có) theo gio tuyến song song hoặc trùng với Từ đó có lời giải như su: Từ M kẻ đường thẳng song song với D cắt D tại N là gio điểm cần tìm, góc tạo bởi và D là T có.tn 60. Từ đó suy r M N M M D Dễ thấy V( D) V( ) + V( D) V ( ) V ( D) ; V( MN ) V( M ) + V( MN ) NGUYỄN TRUNG KIÊN 1

14 V V + V V V + V V V V ( MN ) ( M ) ( MN ) ( MN ) ( MN ) ( D) ( D) ( ) ( D) 1. M.. 1. M.. N D Mà V( D). dt( D). V ( MN ) 10 7 M N D O Ví dụ 5) ho hình chóp D có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củ,, nhu. D. hứng minh mặt phẳng ( ) MNP chi khối chóp thành hi phần có thể tích bằng Lời giải: Trong bài toán này t thấy: Mặt phẳng ( MNP ) chứ đường thẳng MN / / D nên mặt phẳng ( MNP ) sẽ cắt mặt phẳng ( D ) theo gio tuyến song song với D Từ đó t có lời giải su: Gọi I, J, K lần lượt là gio điểm củ MN và, D, NGUYỄN TRUNG KIÊN 14

15 Nối PI cắt tại E, nối PJ cắt D tại F Ngũ giác PEMNF là thiết diện củ mặt phẳng ( PMN ) và hình chóp I D O Gọi O D ; do D / / MN nên t có: I J K J D Vì P là trung điểm củ nên t có: ( ) Do đó: ( ) 1 d P d (, ) (,( )) VPIJ IJ. d P,. I. J.sin D. d P, ( ) ( ( )) D.sin D. d (, ( )) D.sin D. d (, ( ) ) V D VIEM I IE IM V I IP IJ 18 IPJ V V V V IEM IPJ PIJ D 1 1 Tương tự V V V 18 JDFN PIJ D Gọi V 1 là thể tích phần khối chóp giới hạn bởi mặt phẳng ( PMN ) và mặt phẳng đáy củ hình V1 V V V V + V + V V 16 chóp t có: ( ) PIJ IEM JDFN D D D D 1 Gọi V là thể tích phần còn lại củ khối chóp thì V V Vậy V1 V. D NGUYỄN TRUNG KIÊN 15

16 P E I D F N O K M J Ví dụ 6) ho khối lập phương D' ' ' D ' cạnh. ác điểm E và F lần lượt là trung điểm củ ' ' và ' D '. EF 1) Dựng và tính diện tích thiết diện củ khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( ) ) Tính tỉ số thể tích củ hi phần khối lập phương bị chi bởi mặt phẳng ( EF ) Lời giải: 1) Dựng và tính diện tích thiết diện: Kéo dài EF cắt ' ' và ' D ' lần lượt tại I và J Nối I và J cắt ' và DD ' lần lượt tại P và Q Ngũ giác PEFQ là thiết diện củ mặt phẳng ( EF ) và hình lập phương Gọi O ' ' ' D' và K IJ ' ' Do ' D '/ / IJ nên t có: ' D ' ' ' ' ' ' D O IJ ' I ' J ' K uy r: IJ ' D ' ; ' I ' ' ' J; ' K ' O 4 Do P '/ / ' nên t có: P ' IP I ' 1 1 P ' ' QD ' ' I I' T có: ( + ) PEFQ IJ PIE QJF IJ PIE NGUYỄN TRUNG KIÊN 16

17 Trong tm giác vuông ' K t có: 18 4 K ' + ' K Do đó: IJ IJ. K Trong tm giác PIE kẻ đường co PH thì PH / / K và PH 1 4 K 1 Mặt khác: 1 IJ ' I IE IJ Diện tích tm giác PIE là: PIE IE. PH Vậy PEFQ IJ PIE O D Q I P ' H ' E O' K ' F D' J ) Tính tỉ số thể tích: 1 1 V' IJ '. ' I. ' J V ' PIE 1 1 ' P. ' I. ' E Do tính đối xứng củ hình lập phương nên t có: V ' PIE V ' D QJF NGUYỄN TRUNG KIÊN 17

18 Gọi V1, V lần lượt là thể tích củ khối đ diện ở phí dưới và phí trên mặt phẳng ( EF ) 5 T có: V1 V' IJ V ' PIE V VD' ' ' D V1 7 7 V Vậy 1 5 V 47 Phần 4: ác bài toán về khoảng cách trong không gin. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhnh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất su ÀI TOÁN Ơ ẢN ho khối chóp có vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) (Tính khoảng cách từ chân đường co đến mặt bên củ khối chóp) PHƯƠNG PHÁP - Hạ M vuông góc với, H vuông góc với M suy r H vuông góc với ( ). Vậy khoảng cách từ đến ( ) là H - T có M. + H H M M + H M NGUYỄN TRUNG KIÊN 18

19 * Tính chất qun trọng cần nắm: - Nếu đường thẳng ( d ) song song với mặt phẳng ( P ) thì khoảng cách từ mọi điểm trên ( d ) đến mặt phẳng ( P ) là như nhu - Nếu M k M thì d/( P) k d/( P) trong đó ( P ) là mặt phẳng đi qu M - Nếu, b là hi đường thẳng chéo nhu. Gọi ( P ) là mặt phẳng chứ b và ( P) / / thì d d d / b /( P) M /( P) Trên cơ sở các tính chất trên t luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản. Trong 1 số trường hợp khi việc tìm hình chiếu khó khăn, thì t nên sử dụng công thức 1 V V. h h Ví dụ 1) ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh. Hình chiếu củ lên mặt phẳng D trùng với trọng tâm tm giác D. Mặt bên tạo với đáy một góc Tính theo thể tích củ khối chóp D và khoảng cách từ đến mặt phẳng D Lời giải: Gọi G là trọng tâm củ tm giác D, E là hình chiếu củ G lên. T có: ( ) G ; GE GE G ˆ 60 0 G GE.tn EG ˆ GE Mặt khác G là trọng tâm củ tm giác D 1 GE 1 G. D VD 9 Hạ GN vuông góc với D, GH vuông góc với N NGUYỄN TRUNG KIÊN 19

20 . GN. G T có d/( D) dg /( D) GH GN + G + D E H N G M Trong bài toán này G là chân đường co củ khối chóp. Để tính khoảng cách từ đến ( D ) t đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( D) Ví dụ ) ho hình lăng trụ đứng D. D có đáy D là hình thoi,, 0 0 D 10. iết góc giữ đường thẳng và mặt phẳng ( DD ) bằng 0.Tính thể tích khối lăng trụ trên theo. và khoảng cách từ trung điểm N củ ' đến mặt phẳng ( ' M ). iết M là trung điểm củ ' D ' Giải: T có V. ' ' ' ' '. (1). D D D Đáy D là hình thoi gồm tm giác đều, D nên: D ( ). () 4 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0

21 Gọi ' M là đường co củ tm giác đều ' ' ' D thì ' M ( D' D ') nên ' M ˆ 0 0 T có 0 ' M M ' M.cot 0 ' M ' M 6 () Thy (),() vào (1) t có: V D. ' ' ' D ' T có d /( ' ) d /( ' ) với K là trung điểm củ DD ' (Vì K và N đối xứng nhu qu trung điểm O củ N M K M ' ) Từ K hạ KH vuông góc với M thì 1 KH ( ' M ) dk /( ' M) KH; KH. M dt( ' D ' D) dt( ' M ) dt( MD ' K ) dt( KD) KH KH 4 Vậy d N /( ' M) 6 ' M D' ' O ' H K N D Trong bài toán này việc nhìn r K là đường co củ khối chóp về bài toán cơ bản là yếu tố qun trọng quyết định thành công. K ' M để quy khoảng cách Ví dụ ) ho hình chóp có góc tạo bởi mặt phẳng và là ác tm giác và là các tm giác đều cạnh. Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng. (Đề dự bị khối 007) HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 1

22 ách 1: oi là đỉnh khối chóp từ giả thiết t suy r. Gọi O là chân đường co hạ từ xuống mp ( ). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tm giác. Gọi M là trung điểm t có M ; M. góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và ( ) là 0 M 60 M M. ây giờ t tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tm giác Tm giác cân tại nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực củ là N ( N là trung diểm củ ). Kẻ trung trực củ cắt trung trực củ tại O là điểm cần tìm N 16 1 cos N 4 4 O ; O O. cos N Ở cách giải này t đã sử dụng dấu hiệu Hình chóp có các cạnh bên bằng nhu thì chân đường co là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy N P O M 1 ách : V( D) V ( M ) M. dt( M ) M. M.sin dt( ) V ( ) N... d(,( ) 4 16 dt( ) 1 NGUYỄN TRUNG KIÊN

23 Ví dụ 4) ho hình chóp D có đáy D là hình thng 0 D 90,, D. ạnh bên vuông góc với đáy và, gọi H là hình chiếu củ lên. hứng minh tm giác D vuông và tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ) (TĐH D 007) HD giải: ách 1: Dự vào tm giác H H H T sẽ tìm cách quy khoảng cách từ H đến ( D ) thành khoảng cách từ lên ( D ) T có dh /( D) d/( D). Lại có F F d/( D) d /( D) dh /( D) d /( D) Tính được D D vuông tại. T kẻ. K K ( D) d /( D) K d H /( D) + D H K D F Trong cách giải này t đã quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường co lên mặt phẳng ( D ). ách : T có tính được D. T có ; D D 6; + +. T cũng dễ dàng D + D nên tm giác D vuông tại. NGUYỄN TRUNG KIÊN

24 H H + + H H H 1..( + D) 1 dt( D) dt( D) dt( D). D ; 1 dt( D). D V( HD) H.. D ; V( D). dt( D) V.. D. 6 ( D) V ( HD) 9.T có d V 1 dt( D) 9 ( HD) ( H /( D)). Ví dụ 5) ho hình chóp D có đáy D là hình thng 0 D 90,, D. ạnh bên vuông góc với đáy và, góc tạo bởi và ( D ) bằng 0 0.Gọi G là trọng tâm tm giác ( D ). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( D ) Giải: H M G O N D Kẻ E vuông góc với D thì E là trung điểm củ D và E ( D) ˆ 0 0. tn 60 E E E NGUYỄN TRUNG KIÊN 4

25 Gọi M là trung điểm củ, N là trung điểm củ E. T có E song song với ( D ), MN cũng song song với ( D ). T có ND 1 G M d d. d. d d 4 4 D G/( D) M /( D) N /( D) /( D) /( D) Vì tm giác D vuông cân tại nên D vuông góc với ( ). Hạ H vuông góc với. H ( D) d D H + thì /( ) (T cũng có thể lập luận tm giác vuông cân suy r H ) Trong bài toán này t đã quy khoảng cách từ G đến ( D ) thành bài toán cơ bản là tính khoảng cách từ đến ( D ) Ví dụ 6) ho hình lăng trụ ' ' ' có đáy là tm giác vuông cân tại cạnh huyền cạnh bên ', biết ' cách đều các đỉnh,,. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ ',. Tính thể tích khối chóp ' MN và khoảng cách từ ' đến mặt phẳng ( MN ) Giải: - Tính thể tích: Vì ' cách đều,, nên chân đường co hạ từ ' lên mặt phẳng ( ) là tâm vòng tròn ngoại tiếp tm giác. Gọi H là trung điểm củ suy r ' H ( ) Gọi 1 K MN ' K ' K V ' MN V MN Gọi E là trung điểm củ 1 H ME ( ) VMN ME. dt( N) Tính được: ME ' H uy r: V MN... Vậy V ' MN Tính khoảng cách: d '/( MN ) d /( MN ). Gọi F là trọng tâm tm giác T có: E H. F F; EF F d /( MN ) de/( MN ) 4 4 NGUYỄN TRUNG KIÊN 5

26 EP N EP. EM EQ ( MN) de MN EQ EQ MP EP + EM Hạ /( ) T có EPF đồng dạng với HF EP EF H. EF EP H F F Tính được H ; EF F. H H ; F uy r: 5 EP. EM 14 EP EQ EP + EM Vậy 14 d '/( MN ) d /( MN ) 1d E/( MN ) 4 71 ' ' M ' M K E N I H E Q N P H. Khoảng cách giữ đường thẳng chéo nhu trong không gin Khi tính khoảng cách giữ đường thẳng chéo nhu và b trong không gin t tiến hành theo trình tự su: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gin (P) chứ song song với b su đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(p) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng t có thể vận dụng 1 trong phương pháp đã trình bày ở mục. NGUYỄN TRUNG KIÊN 6

27 Ví dụ 1) ho lăng trụ đứng ' ' ' có đáy là tm giác vuông, cạnh bên. Gọi M là trung điểm củ. Tính theo thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữ đường thẳng M và '.(TĐH D008) HD giải V ( ). h. Tính khoảng cách Gọi N là trung điểm củ ' t có d(, M ) d(,( MN )) d(,( MN )) ' song song với ( MN ). Từ đó t có: K M Kẻ H ( MN ). T có: H NK H N + K mà K M H H N M 7 chính là khoảng cách giữ M và. ' ' ' N H K M hú ý 1) Trong bài toán này t đã dựng mặt phẳng trung gin là mp(mn) để tận dụng điều kiện song song với (MN). Tại so không tìm mặt phẳng chứ các em học sinh tự suy nghĩ điều này hú ý ) Nếu mặt phẳng (P) đi qu trung điểm M củ đoạn thì khoảng cách từ đến (P) cũng bằng khoảng cách từ đến (P)) NGUYỄN TRUNG KIÊN 7

28 Ví dụ ) ho hình chóp tứ giác đều D có đáy là hình vuông cạnh. Gọi E là điểm đối xứng củ D qu trung điểm củ, M là trung điểm củ E, N là trung điểm củ. hứng minh MN vuông góc với D và tính khoảng cách giữ đường thẳng MN và. (T 007) HD giải: Gọi P là trung điểm củ, t có tứ giác MPN là hình bình hành. Nên MN / / P. Từ đó suy r MN / /( ). Mặt khác D ( ) nên D P D MN T có: dmn / dmn /( ) d N /( ) d(,( )) D 4 E M P D O N K ( hú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến () sng tính khoảng cách từ đến () giúp t đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. ác em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này để vận dụng) Ví dụ ) ho hình chóp có đáy là tm giác vuông cân tại,, hi mặt phẳng ( ) và ( ) cùng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm củ, mặt phẳng qu M song song với cắt tại N. iết góc tạo bởi ( ) và ( ) bằng Tính thể tích khối chóp NM và khoảng cách giữ hi đường thẳng và N theo (TĐH 011) Giải NGUYỄN TRUNG KIÊN 8

29 T có ˆ 0 ˆ 0 ( ); Mặt phẳng qu M song song với cắt tại N suy r N là trung điểm củ Từ đó tính được V - Kẻ đường thẳng ( d ) qu N song song với thì song song với mặt phẳng ( P ) chứ N và ( d ) nên khoảng cách từ đến N cũng bằng khoảng cách từ đến ( P ). Dựng D vuông góc với ( d ) thì / /( ND ), dựng H vuông góc với D thì. D 9 H ( ND) d/ N d/( ND) H + D 1 H D N M Ví dụ 4) ho lăng trụ đứng ' ' ' có đáy là tm giác vuông tại,, '. Tính khoảng cách giữ hi đường thẳng ' và. Giải: T có song song với mặt phẳng ( ' ') chứ ' nên d d d d (vì ', ' cắt nhu tại trung điểm củ mỗi / ' /( ' ') /( ' ') '/( ' ') đường) NGUYỄN TRUNG KIÊN 9

30 Từ ' hạ ' K vuông góc ' ', Hạ ' H vuông góc với K thì ' K. ' ' H ( ' ') d '/( ' ') ' H ' K + ' (Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vi trò đặc biệt qun trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) Ví dụ 5) ho hình chóp có đáy là tm giác đều cạnh bằng. hân đường co hạ từ lên mặt phẳng ( ) là điểm H thuộc so cho H H. Góc tạo bởi và mặt phẳng ( ) bằng, theo. Giải: Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữ hi đường thẳng K F H M E D - Tính thể tích: Vì H ( D) nên H là hình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng ( D ). Góc tạo bởi và mặt phẳng ( D) là 0 H 60. Xét tm giác H theo định lý hàm số cosin t có H H + H..cos H H + H..cos uy r H H H.tn H. NGUYỄN TRUNG KIÊN 0

31 T suy r V H....sin 60 ( ĐVTT) 1 - Tính khoảng cách: Gọi E là trung điểm củ, D là đỉnh thứ tư củ hình bình hành D T có D / / nên d/ d/( D) d/( D) dh /( D) HF D HK ( D) dh D HK HK F Kẻ /( ) Trong tm giác vuông HF t có HF. H + HK HK HF H H + HF Mặt khác t có HF E uy r HK 1. HF. H 4 H + HF Vậy d/. 1 8 Ví dụ 6) ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh bằng. vuông góc với đáy góc tạo bởi và mặt phẳng ( ) là 0 0. Gọi E, F lần lượt là trung điểm củ và D. Tính khoảng cách giữ hi đường thẳng chéo nhu DE và F Giải: Vì ˆ 0 ( ) 0.cot 0 Từ dựng I song song với DE t có song song với DE I DE. T có mặt phẳng ( FI ) chứ F và 1 T có dde / F dde /( FI ) dd/( FI ) dh /( FI ) với H là chân đường co hạ từ F lên D NGUYỄN TRUNG KIÊN 1

32 HK I HK. HF Dựng HR ( FI) dh /( FI ) HR HR FK HK + HF T có. 1 1 D. HI HK. I D. HI HK I 1 + T có FH. 1 1 HR F H R D I E K Trong bài toán này t đã tạo r khối chóp FHI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường co H đến mặt bên (FI). Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều Ví dụ 7) ho hình chóp D có đáy D là hình chữ nhật với. Mặt bên là tm giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. iết vuông góc với D tính thể tích khối chóp D và khoảng cách giữ hi đường thẳng D và Giải: - Tính thể tích khối chóp D NGUYỄN TRUNG KIÊN

33 Gọi H là trung điểm, O là gio điểm củ hi đường chéo hình chữ nhật D ; là tm giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy H ( D) và H. Gọi M là trung điểm củ thì góc tạo bởi OM và cũng là góc tạo bởi D và. uy r 0 MO 90. T có ( ) M + M OM D ( + 4 ), O ( + 4 ) Như vậy tm giác MO vuông cân tại 1 O M O + ( + 4 ). Thể tích hình chóp.d là D..... V. D H D H - Khoảng cách giữ hi đường thẳng D,: Gọi N là trung điểm củ thì / /( DN) d/ D d/( DN ) d/( DN ) d/( DN ) NK / / H NK ( D) d d Kẻ /( DN ) K /( DN ) KE D KE. KN KF ( DN ) dk DN KF KF NE KE + KN Kẻ /( ) ó. 6 KN, KE Q. D D 4 Thy số t tính được Vậy d ( D ), KF 6 KF 6 6 NGUYỄN TRUNG KIÊN

34 N M K F D H E Q O hú ý: Trong bài toán này t đã dựng đường co NK để quy về bài toán cơ bản. Phần 6 ác bài toán tính góc giữ đường thẳng chéo nhu trong không gin. Khi cần tính góc giữ đường thẳng chéo nhu và b trong không gin t phải tìm 1 đường thẳng trung gin là c song song với và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi và b cũng chính là góc tạo bởi b và c. Hoặc t dựng liên tiếp đường thẳng c và d cắt nhu lần lượt song song với và b. u đó t tính góc giữ c và d theo định lý hàm số côsin trong tm giác vuông. b + c cos hoặc theo hệ thức lượng bc Ví dụ 1) ho lăng trụ ' ' ' có độ dài cạnh bên bằng, đáy là tm giác vuông tại,, và hình chiếu vuông góc củ ' lên mặt phẳng ( ) là trung điểm củ cạnh, Tính theo thể tích khối chóp ' và tính côsin góc tạo bởi ' và ' '. (TĐH 008) HD giải : Gọi H là trung điểm củ. uy r ' H ( ) và NGUYỄN TRUNG KIÊN 4

35 1 1 + Do đó H H H ' '. V ' 1 ' H. Trong tm giác vuông ' ' H t có '. Đặt α là góc tạo bởi Tel ' và ' ' H ' ' + ' H nên tm giác ' H cân tại thì 1 α ' H cosα. 4 ' ' ' H Ví dụ ) ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh,, mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ các cạnh,. Tính theo thể tích khối chóp MDN và tính cosin góc tạo bởi M và DN. Hd giải: Hạ H H ( D) H cũng chính là đường co khối chóp MDN. T có M M là tm giác đều H + vuông tại Dễ thấy 1 MDN D. Do đó V (MDN) V MND 1 H. MDN NGUYỄN TRUNG KIÊN 5

36 Kẻ ME song song với DN ( E thuộc D) suy r E Giả sử góc tạo bởi M và DN là α α ( M, ME). T có vuông góc với D (Định lý đường vuông góc ) suy r E 5, 5 E + E ME M + ME Tm giác ME cân tại E nên cos M 5 α ME 5 M H E D N Ví dụ ) ho hình chóp có đáy là tm giác vuông tại và, 4. ạnh bên 0, 60. Tính thể tích khối chóp và cosin củ góc giữ hi đường thẳng và Giải: Lời giải: Gọi H là hình chiếu củ trên mặt phẳng ( ) Kẻ HI ; HJ ; do tm giác vuông tại nên HI / / J và HJ / / I Theo định lý b đường vuông góc t có: I và J Hi tm giác vuông I và J bằng nhu, vì có là cạnh chung và 0 60 NGUYỄN TRUNG KIÊN 6

37 Do đó I J sin 60 và 0 0 I J cos 60, từ đó HI HJ uy r H là đường phân giác trong củ góc Vậy tứ giác IHJ là hình vuông cạnh bằng. Khi đó H Tm giác H vuông tại H, t có: H H 4 Diện tích tm giác là: Thể tích khối chóp V H..6 (đvtt) M J I H - Tính góc tạo bởi đường thẳng: Kí hiệu ϕ là góc tạo bởi đường thẳng,. Kẻ IM / / (, ) ( IH, IM ) ϕ Tính được Mặt khác I + I IM M I 1 7 IM, M Do H H H vuông cân tại H. NGUYỄN TRUNG KIÊN 7

38 Trong tm giác MH t có : HM H + M H. M.cos T có IH + IM HM cos HIM cosϕ IH. IM PHẦN 7) Á DẠNG ÀI TẬP VỀ MẶT ẦU NGOẠI TIẾP KHỐI Đ DIỆN Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản su: ** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 1.. n thì tâm I cách đều các đỉnh ; 1;... n - Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qu tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy 1... n (đường thẳng này song song với đường co khối chóp) (Phải chú ý việc chọn mặt đáy cần linh hoạt so cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất) - Tâm I phải cách đều đỉnh và các đỉnh 1 ;... n nên I thuộc mặt phẳng trung trực củ i đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên so cho trục đường tròn đã xác định và cạnh bên đồng phẳng với nhu để việc tìm I được dễ dàng ** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tm giác cân, vuông, đều t có thể xác định trục đường tròn củ mặt bên và đáy. Khi đó tâm I là gio điểm củ trục đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm củ cạnh. ** Khi tính toán cần lưu ý các công thức: bc bc R 4R 4 ; R sin,... T xét các ví dụ su: Ví dụ 1) ho hình chóp D có đáy D là hình thng vuông tại và, ; D.ạnh bên vuông góc với đáy D và. Gọi E là trung điểm củ D.Tính thể tích khối chóp DE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 8

39 M O K N E I D V 6 Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ E và t có mặt phẳng ( MN ) là mặt phẳng trung trực củ E. Vậy tâm O củ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DE là gio điểm củ mặt phẳng ( MN ) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy DE. Gọi là đường thẳng qu trung điểm I củ D và song song với.gọi K là trung điểm củ thì KN //M vì KN và đồng phẳng suy r KN O là điểm cần tìm Tm giác OIK vuông cân nên OI IK + D ; T có 9 11 O OI + I + R O Trong ví dụ này t dựng mặt phẳng trung trực củ E để tận dụng điều kiện tm giác E vuông cân ở Nếu biết chọn đỉnh và đáy hình chóp hợp lý t có một cách giải khác đơn giản hơn như su: T coi ED là mặt đáy củ khối chóp ED. Gọi J là tâm vòng tròn ngoại tiếp tm giác ED. Thì J nằm trên đường trung trực Kx củ ED. Vị trí J được xác định theo hệ thức E. ED. D JE R1 4.. ED NGUYỄN TRUNG KIÊN 9

40 Qu J kẻ đường thẳng Jy ( ED) thì Jy / / E. Trong mặt phẳng ( EJ ) kẻ đường trung trực củ E cắt Jy tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. T có bán kính mặt cầu là E R OE OJ + JE + R 1 + R x J O y E K D I Ví dụ ) ho hình chóp D có đáy D là hình chữ nhật cạnh ; D góc giữ hi mặt phẳng ( ) và ( D) bằng Gọi H là trung điểm củ. iết mặt bên ( ) là tm giác cân tại đỉnh và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp D và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp H Giải: - T có H H ( D).Kẻ HM vuông góc với thì góc tạo bởi () và (D) là ˆ 60 0 MH ó ˆ 6 0 HM H sin HM H ; H HM tn 60 6 V D 1 Hdt( D) NGUYỄN TRUNG KIÊN 40

41 y E I x H K M J D Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tm giác H. T có r H. H. H. H. 4 4 H. Kẻ đường thẳng qu J và // H. Khi đó tâm I củ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. H là gio điểm củ đường trung trực đoạn H và trong mặt phẳng (HJ). T có 1 uy r bán kính mặt cầu là R. H IH IJ + JH + r 4 Ví dụ ) ho tứ diện D có là tm giác đều cạnh, D D, D vuông góc với D.Trên cạnh D kéo dài lấy điểm E so cho E ˆ 90 0.Tính góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( D ). Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện E Giải: - Gọi I là trung điểm củ thì I vuông góc với và DI vuông góc với. Nên góc tạo bởi ( D ) và ( D ) là ID.Do hi tm giác D và D bằng nhu nên 0 D D 90 D ( D) D DI; I ; DI D I 4 1. NGUYỄN TRUNG KIÊN 41

42 DI 1 cos ID : I - Tm giác vuông D có D D. Tm giác E vuông cân, do đó ; có D là đường co và 6 E DE E D E vuông tại. D. DE D E Tương tự t có tm giác E vuông tại. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện E có E là đường kính tâm I củ mặt cầu là trung điểm củ E. án kính π 6 R ( D + DE) + V π R π E D I Ví dụ 4) ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh bằng và đường co là H với H thỏ mãn HN HM trong đó M, N là trung điểm củ, D. Mặt phẳng ( ) tạo với đáy D góc Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( ) và xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp D Giải: Gọi O là gio điểm củ và D suy r H là trung điểm củ MO và MH ; HM M MH 60 H M vuông cân NGUYỄN TRUNG KIÊN 4

43 tại và. T có V d( N / ( )) N. Kẻ HK thì HK / / D và dt( ) ˆ ˆ KHO KOH 45 K dt( ). K VN H. dt( N) d( N / ( )) Trục đường tròn đáy là đường thẳng ( d ) qu O và / / H d ( MN ). Vì tm giác vuông cân tại nên trục d củ tm giác qu M và vuông góc với. Theo trên t có ( ) vuông góc với ( MH ) nên kẻ HE vuông góc với M thì HE ( ) nên d '/ / HE. Như vậy d ' d I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D. T có OMI ˆ 0 ; OI OM tn 0 R I O + OI + R Thể tích khối cầu là: V 4π π M E H K O N D I PHẦN 8. MỘT Ố DẠNG ÀI TẬP Ự TRỊ TRONG KHÔNG GIN Để giải quyết tốt dạng toán này học sinh cần lưu ý các tính chất và các bất đẳng thức cơ bản: 1) sin ϕ, cos ϕ [ 1;1] ) Nếu tích b M không đổi và, b > 0 thì + b b M, + b không đổi và NGUYỄN TRUNG KIÊN 4

44 ( + b) N, b > 0 b 4 4 ) ho đường thẳng và một điểm M không thuộc. Khi đó với điểm N bất kỳ thuộc t có MN MH trong đó H là hình chiếu vuông góc củ M lên 4) ho đường tròn ( ) và dây cung cố định. Khi đó khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đường tròn đến dây cung là lớn nhất khi M thuộc đường thẳng qu tâm củ đường tròn và vuông góc với dây cung... Ví dụ 1) ho hình chóp có đáy là tm giác vuông cân tại và vuông góc với đáy c để thể tích khối chóp lớn nhất. Lời giải:. Hãy tìm góc giữ mặt phẳng ( ) và ( ) 0 0 Giả sử α ( 0 α 90 ) < < là góc hợp bởi hi mặt phẳng ( ) và ( ) T có: ( ) Do đó: α Trong tm giác vuông, t có: cosα cos α; sinα sinα Thể tích khối chóp là: V ( ). cos α.sinα 1 sin α.sinα Đặt t sin α, do 0 0 < < nên 0 < sinα < 1 t ( 0;1) 0 α V 1 t t, t 0;1 ; V ' 1 t V ' 0 t T có: ( ) ( ) ( ) Lập T t thấy: mxv, khi t sinα α rcsin ách khác: Theo ĐT uchy t có: ( ) V cos α.sin α 6 1 sin α.sin α 9 9 NGUYỄN TRUNG KIÊN 44

45 1 sin α 1 sin α sin α 6 α α 4 1 sin 1 sin sin α V 7 1 sin α 1 1 mxv, đạt được khi: sin α sinα α rcsin 7 α Ví dụ ) ho hình chóp tứ giác đều D mà khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng ( ) bằng. Với giá trị nào củ góc giữ mặt bên và mặt đáy củ khối chóp thì thể tích củ khối chóp nhỏ nhất? Lời giải: Gọi O D và M, N lần lượt là trung điểm củ D và Do D / / ( ) nên d (, ( )) d ( M,( )) MN N T có: ( MN ) Mà ( ) nên ( ) ( MN ) theo gio tuyến N NGUYỄN TRUNG KIÊN 45

46 Trong tm giác MN kẻ đường co MH thì MH ( ) ( ) ( ( )) Do đó: ( ) d, d M, MH 0 0 Giả sử α ( 0 α 90 ) < < là góc hợp với mặt bên ( ) Trong tm giác vuông MHN, t có: MH MN sinα sinα và đáy hình chóp thì MN Trong tm giác vuông ON, t có: O ON tn α.tnα sinα cosα Thể tích khối chóp D là: V D. O.. cos sin α α sin α.cosα 1 cos α cosα ( ) α. Đặt t cosα, do 0 0 < < nên 0 < cosα < 1 t ( 0;1) 0 α 90 4 T có: V, t 0;1 1 t t ( ) ( t ) ( t t ) ( ) V ' ; V ' 0 t Lập T t thấy: minv, khi t cosα α rccos D N O M NGUYỄN TRUNG KIÊN 46

47 Ví dụ ) ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh. ạnh bên vuông góc với đáy. M là một điểm di động trên cạnh D, H là hình chiếu củ đỉnh lên M. Tìm vị trí củ điểm M trên D để thể tích khối chóp H là lớn nhất. Lời giải: D M H Đặt M x( 0 x ) <, t có: M + x 1 1 M D M ( x) x Mặt khác: 1. M M M H H M + x Trong tm giác vuông H, t có: x H H + x + x 4 Diện tích tm giác H là: H 1 1 x x H. H.. + x + x + x 1 Thể tích khối chóp H là: V H. 6 hx ( + x ) + x x 1 Theo bất đẳng thức uchy t có: + x. x x x x + x NGUYỄN TRUNG KIÊN 47

48 h h V mxv, đạt được khi 1 1 x x x. ách khác: 1 Thể tích khối chóp H là: V H.. Mà không đổi nên thể tích V lớn nhất khi H lớn nhất. Theo bất đẳng thức uchy, t có: 1 H + H H. H H H. H 4 mx H, đạt được khi H H, suy r tm giác H vuông cân tại H. Khi đó 4 M D Vậy M D thì thể tích khối chóp H lớn nhất và thể tích lớn nhất đó là: 1 h V H.. 1 Ví dụ 4) ho đường tròn tâm O đường kính nằm trong mặt phẳng ( P ) và một điểm di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại lấy một điểm. Mặt phẳng ( Q ) qu vuông góc với tại H cắt tại K. Tìm vị trí củ điểm để thể tích khối chóp HK lớn nhất. Lời giải: K H O NGUYỄN TRUNG KIÊN 48

49 K T có: ( ) (1) Mặt khác: K () Từ (1) và () suy r: K ( ) Do đó: K và K HK H K Từ đó t có: ( HK ) Tm giác vuông cân tại nên H là trung điểm củ T có: 1 R H R 1 Thể tích khối chóp HK là: V HK. H. Do H không đổi nên V HK lớn nhất khi HK lớn nhất Theo bất đẳng thức uchy, t có: 1 R R H K + HK K. HK HK K. HK R mx HK, đạt được khi H HK R Trong tm giác vuông, t có: R + + K R 4R Đặt ϕ, t có: cosϕ Vậy có hi vị trí củ điểm M trên đường tròn so cho đạt giá trị lớn nhất. cosϕ thì thể tích khối chóp HK Khi đó: R mxv HK. 6 NGUYỄN TRUNG KIÊN 49

50 Ví dụ 5) ho hình chóp D có cạnh 1. Tính thể tích khối chóp theo và x. Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất. x, tất cả các cạnh còn lại bằng > x Lời giải: O D H 1) Tính thể tích khối chóp: Tứ giác D có các cạnh đều bằng nhu và bằng nên là hình thoi. Gọi O D Hi tm giác và bằng nhu vì có là cạnh chung và Do đó: O OD O uy r tm giác D vuông tại Từ đó D + D x + Trong tm giác O vuông tại O, t có: ( ) 1 O O x + x 4 Diện tích hình thoi D là: 1 1 D. D x. x + Gọi H là hình chiếu củ lên mặt phẳng D NGUYỄN TRUNG KIÊN 50

51 T có: 1 nên H H, suy r H thuộc đường trung trực củ đoạn Mà D là hình thoi nên D là đường trung trực củ, tức H thuộc D Tm giác D vuông tại, t có:. D x H. D. D H D x + Thể tích khối chóp D là: 1 1 x 1 VD H x + x x x + x D ) Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất. 1 x + x Theo bất đẳng thức uchy, t có: VD x x mxvd, đạt được khi 4 6 x x x. Vậy khi 6 x thì thể tích củ khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 6) ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, cạnh bên vuông góc D và ; M và N là hi điểm lần lượt di động trên cạnh và D với mặt phẳng ( ) so cho góc 0 MN 45. Đặt M x và DN y( 0 x ;0 y ). hứng minh rằng ( x + y) xy. Tìm x, y so cho thể tích củ khối chóp MN có giá trị bé nhất. Lời giải: +) hứng minh ( x + y) xy Goi M α; DN 0 β thì α + β 45, với 0 α, β 45 0 x T có: tn α ; tn β y x y + tnα + tn β tn α + β tn 45 1 tn α.tn β x y 1. Mặt khác: ( ) 0 NGUYỄN TRUNG KIÊN 51

52 ( + y) x 1 xy x + y xy ( ) (đpcm) +) Tìm x, y để cho thể tích củ khối chóp MN có giá trị bé nhất: T có: M + x + tn α ; N + y + tn β cosα cos β Thể tích khối chóp MN là: V MN. M. N.sin cosα cos β π π T có: α + β β α nên 4 4 π cos α.cos β cos α.cos α cosα ( cosα + sinα ) 4 ( cos α sin α.cosα ) ( 1 cos α sin α ) π 1 + sin α Do đó: V minv π π, đạt được khi sin α + 1 α β 4 8 ( ) x y tn π 1 8 Vậy khi ( 1) x y thì thể tích khối chóp MN nhỏ nhất. NGUYỄN TRUNG KIÊN 5

53 45 N D M Ví dụ 7) ho tm giác đều O có cạnh. Trên đường d đi qu O và vuông góc với O lấy một điểm M với OM x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc củ mặt phẳng ( ) lên M và O. Đường thẳng EF cắt d tại N. 1. hứng minh rằng N M. Xác định x để thể tích tứ diện MN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Giải: 1. hứng minh: hứng minh rằng N M F O T có F ( OM ) F M F OM Mặt khác M E M ( EF) M N. Xác định x để thể tích tứ diện MN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Thể tích tứ diện MN là 1 V V + V ( OM + ON ). MN MO NO O T thấy rằng Do đó V MN ON OF OF. O OM OFN ON O ON OM x 1 x +.. x 4 NGUYỄN TRUNG KIÊN 5

54 Theo bất đẳng thức uchy t có: 6 x + x. V MN x x 1 Dấu bằng xảy r khi x x x M F O E N MỘT Ố ÀI TẬP TỰ LUYỆN ài 1: ho hình chóp tm giác đều có cạnh bên bằng 7 ( ) và ( ) bằng Tính thể tích khối chóp theo., góc tạo bởi mặt phẳng Đ: V ài : ho tứ diện có và chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng ( ) 1) hứng minh rằng H là phân giác củ góc ) Tính thể tích khối tứ diện ˆ ˆ ˆ Gọi H là hình Đ: V 1 ài : ho hình chóp tứ giác đều D có cạnh bên bằng, góc hợp bởi mặt bên và đáy là Tính thể tích củ khối chóp đã cho. NGUYỄN TRUNG KIÊN 54

55 4 15 Đ: V 75 ài 4: ho hình chóp D có đáy D là hình chữ nhật với,. Hi mặt bên ( ),( D) cùng vuông góc với đáy, cạnh hợp với đáy một góc Đ: V 1) Tình thể tích củ khối chóp ) Tính góc tạo bởi mặt phẳng ( ) và ( D ) ϕ 15 ; rctn 15 ài 5: ho đường tròn đường kính R nằm trong mặt phẳng ( P ) và một điểm M nằm trên đường tròn đó so cho 0 M 0. Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại điểm lấy điểm so cho R. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc củ trên và M 1) hứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng ( HK ) ) Gọi I là gio điểm củ HK với ( P ). Hãy chứng minh I là tiếp tuyến củ đường trong đã cho. ) Tính thể tích củ khối chóp HK R Đ: V 15 ài 6: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, cạnh bên vuông góc với đáy và. Trên D lấy điểm M thy đổi. Đặt góc M α. Hạ N vuông góc với M 1) hứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tình thể tích tứ diện N theo và α ) Hạ H vuông góc với và K vuông góc với N. hứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng ( HK ) và tính độ dài đoạn HK cosα Đ: V sin α; HK 6 1+ sin α ài 7: ho hình chóp có đáy là tm giác vuông tại,,, cạnh vuông góc với đáy. Góc giữ mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) bằng Gọi H, K lần lượt là hình chiếu củ lên và. hứng minh rằng K vuông góc với HK và tính thể tích khối chóp NGUYỄN TRUNG KIÊN 55

56 6 Đ: V 1 ài 8: ho hình chóp có đáy là tm giác vuông cân tại đỉnh,. Mặt bên qu cạnh huyền vuông góc với mặt đáy, hi cạnh bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc bằng nhu và bằng Hãy tính thể tích củ khối chóp 6 Đ: V 6 ài 9: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, mặt bên D là tm giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củ các cạnh,, D. hứng minh M vuông góc với P và tính thể tích củ khối tứ diện MNP Đ: V 96 ài 10: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, mặt bên là tm giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là tâm củ đáy, I là trung điểm củ. Góc hợp bởi và đáy là α. 1) Tính thể tích củ khối chóp D theo và α ) Tính thể tích khối tứ diện OD theo và α ) Tính khoảng cách từ I đến mặt bên ( D ). uy r thể tích khối tứ diện ID tnα 5 Đ: VD tn α; VOD tn α; d ; V tn 6 4 ID α 5tn α ài 11: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, mặt phẳng ( ) vuông góc với đáy, góc 0 90 và tạo với đáy một góc ϕ. Tính thể tích củ khối chóp D Đ: V D sin ϕ 6 ài 1: ho hình chóp D có đáy D là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hi đường chéo và D là 60 0, các tm giác và D là các tm giác đều cạnh. Tính thể tích củ khối chóp theo. NGUYỄN TRUNG KIÊN 56

57 Đ: V D 8 ài 1: Trong mặt phẳng ( P ) cho hình thoi D có và D. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( P ) và đi qu gio điểm H củ hi đường chéo củ hình thoi trên người t lấy điểm so cho 1) hứng minh rằng tm giác là tm giác vuông ) Tính thể tích củ khối chóp D ) hứng minh rằng hi mặt phẳng ( ) và ( D ) vuông góc với nhu 4 Đ: V D 7 ài 14: ho hình chóp có cạnh và +. Góc Tính thể tích khối chóp theo. ˆ 90 0 và Đ: V 1 ài 15: ho hình chóp tứ giác đều D có cạnh đáy bằng, mặt bên tạo với đáy một góc Mặt phẳng ( P ) chứ cạnh và tạo với đáy một góc 0 0 cắt, D lần lượt tại M, N 1) Tính theo tứ diện tứ giác MN ) Tính thể tích khối chóp MN theo Đ: MN ; VMN 8 16 ài 16: ho hình chóp tứ giác đều D có cạnh đáy bằng, và cạnh bên 5. Mặt phẳng ( P ) chứ cạnh và vuông góc với mặt phẳng ( D ) cắt và D lần lượt tại D ' Đ: 1) Tính diện tích tứ giác D ' D ' ) Tính thể tích hình đ diện DD ' ' 5 ' D ' ; VDD'' 6 ' và NGUYỄN TRUNG KIÊN 57

58 ài 17: Khối chóp D có đáy là hình vuông cạnh. ( D) ;. Gọi E, F là hình chiếu củ trên và D. I là gio điểm củ và ( EF ). Tính thể tích khối chóp EIF. Đ: ài 18: ho lăng trụ đứng góc 0 0 và tm giác 1 có diện tích bằng Đ: 8 đáy là tm giác đều. Mặt phẳng ( ) 8. Tính thể tích khối lăng trụ. tạo với đáy 1 ài 19: Khối lăng trụ 1 1 1có đáy là tm giác vuông cân, cạnh huyền. Mặt phẳng ( 1 ) vuông góc với mặt phẳng ( ) 1 ( 1 ) và mặt phẳng ( ), ; góc 1 nhọn, góc tạo bởi bằng Tính thể tích khối lăng trụ. 1 Đ: V 5 10 ài 0: ho hình chóp tm giác đều đỉnh, độ dài cạnh đáy bằng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ các cạnh và. Tính theo diện tích tm giác MN, biết rằng mặt phẳng ( MN ) vuông góc với mặt phẳng ( ). Đ: ài 1: ho hình chóp có có, góc 0 10 Đ: và vuông góc với mặt phẳng ( ). Tm giác.. Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng ( ) ài : ho hình chóp tm giác có đáy là tm giác đều cạnh, và vuông góc với mặt phẳng ( ). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc củ trên các đường thẳng và ) Tính khoảng cách t ừ đến mặt phẳng ( ) b) Tính thể tích củ khối chóp MN. NGUYỄN TRUNG KIÊN 58

59 Đ: 57 ) ; b ) ài : ho hình chóp tứ giác đều D. Khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) bằng. Góc giữ các mặt bên và mặt đáy làα. Đ: ) Tính thể tích khối chóp theo và α b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. 4 ;cosα cos α.sin α ài 4: ho hình chóp D có đáy D là hình chữ nhật với, D, và vuông góc với mặt phẳng ( D ). Gọi M và N lần lượt là trung điểm củ D và, I là gio điểm củ M và. ) hứng minh rằng mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng ( M ). b) Tính thể tích củ khối tứ diện NI. Đ: V 6 ài 5: ho lăng trụ đứng ' ' ' có đáy là tm giác vuông tại,, ', '. Gọi M là trung điểm củ đoạn thẳng ' ', I là gio điểm củ M và ' ) Tính theo thể tích khối tứ diện I b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( I ) Đ: V 4 5 ; d 9 5 ài 6: ho hình chóp D có đáy D là hình thng vuông tại và D, D, D, góc giữ mặt phẳng ( ) và ( D ) bằng Gọi I là trung điểm củ cạnh D. iết mặt phẳng ( I ) và ( I ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) chóp D theo. D, tính thể tích khối Đ: V 15 5 NGUYỄN TRUNG KIÊN 59

60 ài 7: ho hình lăng trụ tm giác ' ' ' có ', góc tạo bởi ' và mặt phẳng ( ) là 60 0, tm giác vuông tại và góc Hình chiếu vuông góc củ điểm ' lên mặt phẳng ( ) trùng với trọng tâm củ tm giác. Tính thể tích khối tứ diện ' theo. 9 Đ: V 08 ài 8: Trong không gin cho hình chóp tm giác đều có 7. Góc tạo bởi ( ) và ( ) Tính thể tích khối chóp theo. Đ: V ài 9: Trong không gin cho hình chóp D với D là hình thoi cạnh, góc 60 0, O vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), O. M là trung điểm củ D. ( P ) là mặt phẳng qu M và song song với, cắt tại K. Tính thể tích khối chóp KD. Đ: V 6 ài 0: ho hình chóp D có đáy là hình chữ nhật, D, D. ạnh vuông góc với đáy và. Gọi K là trung điểm. ) hứng minh rằng ( ) vuông góc với ( DK ) b) Tính thể tích khối chópdk theo ; tính khoảng cách từ K đến ( D ). 5 Đ: V ; h 10 ài 1: ho lăng trụ ' ' ' có đáy là tm giác đều cạnh, hình chiếu vuông góc củ ' lên mặt phẳng ( ) trùng với tâm O củ tm giác. Một mặt phẳng ( P ) chứ và vuông góc với lăng trụ Đ: V 1 ' cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích. Tính thể tích khối 8 NGUYỄN TRUNG KIÊN 60

61 ài : ho hình chóp có ; ; ; góc bằng góc và bằng 0 0. Tính thể tích củ khối chóp theo. Đ: V 16 ài : ho hình chóp tứ giác đều D cạnh đáy bằng. Gọi G là trọng tâm tm giác và khoảng cách từ G đến mặt bên ( D ) bằng Đ:. 6 ) Tính khoảng cách từ tâm củ mặt đáy đến mặt bên ( D ) b) Tính thể tích củ khối chóp D. ) ; b ) 4 6 ài 4: ho hình chóp có đường co ; D. Đáy là tm giác vuông cân tại. Gọi ' là trung điểm củ, ' là chân đường co hạ từ xuống.tính thể tích khối chóp ' '. Đ: 6 ài 5: ho lăng trụ đứng ' ' ' có đáy là tm giác vuông,, cạnh bên '. Gọi M là trung điểm củ cạnh Đ: ) Tính theo thể tích củ khối lăng trụ ' ' ' b) Tính khoảng cách giữ đường thẳng M và '. 7 ) ; b ) 7 ài 6: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh ; ; và mặt phẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm củ cạnh và. Tính thể tích khối chóp MDN và góc giữ ( M ; ND ). Đ: V 5 ;cosϕ 5 NGUYỄN TRUNG KIÊN 61

62 ài 7: ho hình chóp D có đáy D là hình thng, góc D bằng góc và bằng 90 0 ; ; D. vuông góc với đáy và. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ ; D. Tính thể tích khối chóp D và khối chóp MN. Đ: ) ; ) b ài 8: ho lăng trụ ' ' ' có độ dài cạnh bên bằng, đáy là tm giác vuông tại, ;. và hình chiếu vuông góc củ '. Tính theo thể tích khối chóp trên ( ) là trung điểm củ cạnh ' và cosin củ góc giữ đường thẳng ' và ' '. Đ: V 1 ;cosα 4 ài 9: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, mặt bên D là tm giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củ các cạnh,, D. hứng minh M vuông góc với P và tính thể tích khối tứ diện MNP. Đ: V 96 ài 40: ho lăng trụ đứng có,, 1 5 và góc Gọi M là trung điểm củ cạnh 1. hứng minh rằng M M1 và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( 1 M ) Đ: 5 d ài 41: ho hình chóp có góc giữ mặt phẳng ( ) và ( ) bằng ác tm giác và là các tm giác đều cạnh. Tính theo khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng ( ) Đ: d 1 1 ài 4: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh tâm O, vuông góc với đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu củ lên,. hứng minh ( HK ) và tính thể tích khối chóp OHK NGUYỄN TRUNG KIÊN 6

63 Đ: V 7 ài 4: Lăng trụ đứng có đáy là tm giác vuông ; 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ 1 và 1. hứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung củ 1 và 1. Tính thể tích khối chóp M1 1 Đ: V 1 ài 44: ho lăng trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng. M là trung điểm củ cạnh 1.. hứng minh M 1 và tính khoảng cách giữ M, 1 Đ: 10 d 0 ài 45: ho hình chóp D có đáy là hình thng vuông tại,, D. ạnh bên vuông góc với đáy và. Gọi H là hình chiếu vuông góc củ trên ) hứng minh rằng tm giác D vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ) Đ: h ài 46: ho hình chóp mà mỗi mặt bên là 1 tm giác vuông.. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm củ các cạnh,,, D là điểm đối xứng củ qu E, I là gio điểm củ D và MN ) hứng minh rằng D vuông góc với I b) Tính theo thể tích khối tứ diện MI Đ: V 6 NGUYỄN TRUNG KIÊN 6

64 ài 47: ho hình hộp đứng D' ' ' D ' có các cạnh 0 D ; ' và góc D 60. Gọi M và N lần lượt là trung điểm củ ' D ' và ' '. hứng minh góc với mặt phẳng ( DMN ) và tính thể tích khối chóp DMN Đ: V 16 ' vuông ài 48: ho hình lập phương D' ' ' D ' có cạnh và điểm K thuộc cạnh ' so cho: K. Mặt phẳng α đi qu, K và song song với D chi khối lập phương thành khối đ diện. Tính thể tích củ khối đ diện đó. Đ: V ; V 1 ài 49: ho hình chóp D có đáy D là hình thng,, 0 D 90, D, và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ, D. hứng minh rằng NM là hình chữ nhật và tính thể tích củ khối chóp NM theo Đ: V NM ài 50: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh. ạnh bên vuông góc M N với đáy và. Hi điểm M, N thuộc và D so cho. Mặt phẳng M ND ( MN ) cắt tại P. Tính theo thể tích củ khối chóp MPN Đ: V MPN 9 ài 51: ho hình chóp D có đáy D là hình vuông cạnh, đường co. M là một điểm thy đổi trên, đặt M x ( 0 x ) < <. Mặt phẳng ( DM ) cắt tại N. 1) Tứ giác DMN là hình gì? Tính diện tích củ tứ giác này theo và x NGUYỄN TRUNG KIÊN 64

65 ) Mặt phẳng ( DM ) chi hình chóp r làm hi phần, một phần là hình chóp DMN có V1 5 thể tích V 1 và phần còn lại có thể tích V. Xác định giá trị củ x để V 4 1 DNM + x x x + ; x 4 Đ: ( ) ài 5: ho lăng trụ tứ giác đều D' ' ' D ' có chiều co bằng. Mặt phẳng ( ' D ) hợp với mặt bên ( ' ') một góc Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Đ: V ài 5: ho lăng trụ đứng ' ' ' có đáy là tm giác vuông tại. Khoảng cách từ ' đến mặt bên ' ' bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ') và bằng. Mặt phẳng ( ') hợp với đáy một góc 0 0. Tính thể tích khối lăng trụ đó. Đ: V 4 ài 54: ho hình lăng trụ ' ' ' có đáy là tm giác vuông cân tại đỉnh. Mặt bên ( ' ') là hình thoi cạnh nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ( ' ') tạo với đáy một góc α. Tính thể tích củ khối lăng trụ theo và α Đ: V sinα ài 55: ho lăng trụ ' ' ' có đáy là tm giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Hình chiếu củ ' trên mặt phẳng ( ) là O. Khoảng cách giữ ' và là và góc giữ hi mặt phẳng ( ' ') và ( ' ') bằng α. Tính thể tích khối lăng trụ ' ' ' Đ: V α tn α tn 1 ài 56: ho hình lăng trụ ' ' ' có đáy là tm giác vuông tại với,. Mặt bên ( ' ') là hình thoi, mặt bên ( ' ') nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hi mặt phẳng này hợp với nhu một gócα. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. NGUYỄN TRUNG KIÊN 65

66 Đ: V cotα ài 57: ho hình hộp đứng D' ' ' D ' có đáy D là hình thoi tâm O, cạnh bằng, đường chéo bằng 7 biết tm giác O ' là tm giác vuông tại hình thoi ' ' ' D ' ).Tính thể tích củ khối hộp O ' ( O ' là tâm Đ: V 7 4 ài 58: ho hình chóp tứ giác đều D có cạnh đáy bằng tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củ,. iết góc tạo bởi đường thẳng M và ND là chóp D Tính thể tích khối 0 Đ: V hoặc V ài 59: ho hình chóp D có đáy D là hình thng vuông tại, có ; D, là tm giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, tạo với ( ) góc Gọi O là gio điểm và D. Giả sử mặt phẳng ( P ) qu O song song với cắt ở M. Tính thể tích khối chóp MD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( D ). 6 Đ: V MD, d M /( D) 54 6 ài 60: ho hình hộp chữ nhật D' ' ' D ' có cạnh đường thẳng D một góc '. Đường thẳng ' tạo với 0 60, đường chéo ' D tạo với mặt bên ( ' ') một góc thể tích khối chóp ' D ' và cosin góc tạo bởi và Đ: ' D' 7 1 D 4 7 V, cos (, ' ) ' D 0 0. Tính ài 61: ho hình chóp D có đáy D là hình thoi cạnh bằng góc 0 D 60. Đỉnh cách đều các điểm,, D. iết khoảng cách từ đến mặt phẳng ( D ) bằng. Tính thể tích khối chóp D và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp O NGUYỄN TRUNG KIÊN 66