MATHSCOPE.ORG. Seeking the Unification of Math. Phan Đức Minh Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa Lê Tuấn Linh Phạm Huy Hoàng Nguyễn Hiền Trang

Transcript

1 MTHSOPE.ORG Seeking the Unification of Math Phan Đức Minh Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa Lê Tuấn Linh Phạm Huy Hoàng Nguyễn Hiền Trang Tuyển tập các bài toán HÌNH HỌ PHẲNG ác bài toán ôn tập tuyển sinh lớp 10 ác bài toán ôn tập Olympiad Tháng 10/011

2

3 3 Mục lục Lời nói đầu 4 ác thành viên tham gia biên soạn 5 Phần một. ác kiến thức cơ bản 6 1. Định lý Menelaus Định lý eva Đường thẳng Euler Đường tròn Euler Định lý con bướm Định lý Ptolemy Định lý Stewart Đường thẳng Simson Đường thẳng Steiner Điểm Miquel của tam giác, tứ giác toàn phần Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần Định lý Pascal Định lý Pappus ất đẳng thức M - GM ất đẳng thức auchy - Schwarz ất đẳng thức Nesbitt Phần hai. Tuyển tập các bài toán 9 I. Đề bài ác bài toán ôn tập tuyển sinh lớp ác bài toán ôn tập Olympiad II. Hướng dẫn và gợi ý ác bài toán ôn tập tuyển sinh lớp ác bài toán ôn tập Olympiad III. chi tiết ác bài toán ôn tập tuyển sinh lớp ác bài toán ôn tập Olympiad

4 4 Lời nói đầu Từ buổi sơ khai trong xã hội loài người, toán học luôn gắn liền với các lĩnh vực đời sống như kiến trúc, hội họa, khoa học,... Và trong hầu hết các lĩnh vực của toán học, hình học phẳng luôn giữ vị trí đứng đầu vì nó chính là nền tảng xây dựng nên hình học không gian, là cơ sở của các ngành kiến trúc, nghệ thuật và toán học ứng dụng. ũng như lịch sử phát triển, chúng ta đã tiếp xúc với hình học phẳng từ rất sớm. ác khái niệm về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng đã được đề cập đến ngay ở tiểu học. Hình học trải dài đến tận năm cuối cấp THPT và đi theo đến những năm đại học, điều này khẳng định vai trò quan trọng của hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng. Đồng thời với sự phát triển của toán học, hình học phẳng cũng phát triển không ngừng. Liên tiếp các kết quả mới được phát hiện và những kỹ thuật mới được khám phá. hính vì thế, việc bắt kịp các kiến thức của hình học phẳng là cần thiết và quan trọng. Đây cũng chính là lý do quyển sách Tuyển tập các bài toán hình học phẳng ra đời. Quyển sách được tổng hợp từ tài nguyên trên diễn đàn MathScope.org và là tài sản của MathScope.org, tác giả các bài toán và lời giải, nhóm tổng hợp đều là các thành viên của diễn đàn MathScope.org với mong muốn cung cấp cho bạn học sinh, sinh viên và thầy cô giáo trên toàn quốc một tài liệu phong phú về hình học phẳng, hỗ trợ cho quá trình học tập và giảng dạy. Tuyển tập các bài toán hình học phẳng không chỉ nhắm vào đối tượng dự thi Olympic mà còn là nguồn tài liệu cho các em học sinh cấp chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh lớp 10. Do đó, các bài toán được chia thành phần : dành cho các em ôn thi lớp 10 và các bạn luyện thi Olympic để phù hợp hơn với bạn đọc. Mỗi bài toán đều có những hướng dẫn, gợi ý trước khi nêu ra lời giải chi tiết để giúp bạn đọc suy luận và tiếp tục giải quyết bài toán với những gợi ý đó. Xin lưu ý rằng những nhận xét trong phần hướng dẫn và gợi ý đều là những ý kiến chủ quan của tôi, không phải của tác giả các lời giải. Xin cảm ơn ban quản trị và các thành viên diễn đàn MathScope.org đã đóng góp, ủng hộ và giúp đỡ hoàn thành quyển sách này. Và xin cảm ơn thầy hâu Ngọc Hùng - giáo viên trường THPT Ninh Hải, Ninh Thuận đã hỗ trợ về L TEX để hoàn thiện quyển sách. Tuy nhiên, chắc chắn rằng cuốn sách vẫn còn những hạn chế nhất định, chúng tôi rất hoan nghênh những ý kiến đóng góp, chia sẻ của bạn đọc để cuốn sách được hoàn thiện hơn. ạn đọc có thể góp ý bằng cách gửi riêng tới hòm thư alephvn@gmail.com hoặc gửi trực tiếp lên diễn đàn MathScope.org ( Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của bạn đọc! alifornia, ngày 10 tháng 9 năm 011 Đại diện nhóm biên soạn Trương Tấn Sang

5 5 ác thành viên tham gia biên soạn Nội dung Phan Đức Minh (novae) - THPT Thái Phiên, Hải Phòng. Trương Tấn Sang (sang89) - Westminster High School, alifornia, US. Nguyễn Thị Nguyên Khoa (liverpool9) - THS Nguyễn Tri Phương, Thành Phố Huế. Lê Tuấn Linh (conami) - THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa. Phạm Huy Hoàng (hoangkhtn) - THPT chuyên, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Nguyễn Hiền Trang (tranghieu95) - THPT chuyên Phan ội hâu, Nghệ n Hỗ trợ kĩ thuật L TEX hâu Ngọc Hùng (hungchng) - Giáo viên trường THPT Ninh Hải, Ninh Thuận. Phan Đức Minh - THPT Thái Phiên, Hải Phòng. Trình bày bìa Võ nh Khoa (anhkhoavo010) - ĐHKHTN, ĐHQGTPHM. Phan Đức Minh - ĐHKHTN, ĐHQGHN.

6 6 Phần một. ác kiến thức cơ bản 1. Định lý Menelaus ho tam giác, các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các đường thẳng,,. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi F F D D E E = 1 hú ý : Định lý Menelaus có thể mở rộng cho đa giác lồi n cạnh.. Định lý eva ho tam giác, các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các đường thẳng,,. Khi đó D, E, F đồng quy khi và chỉ khi 3. Đường thẳng Euler F F D D E E = 1 ho tam giác ; O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm tam giác. Khi đó O, G, H thẳng hàng và OH = OG. Đường thẳng đi qua O, G, H được gọi là đường thẳng Euler của tam giác. 4. Đường tròn Euler Với mọi tam giác bất kì, 9 điểm : trung điểm các cạnh, chân các đường cao, trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm tam giác với các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn Euler của tam giác. Đường tròn Euler có bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và có tâm là trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 5. Định lý con bướm ho đường tròn (O) và I là trung điểm của một dây cung. Qua I dựng hai dây cung tùy ý MN, P Q sao cho MP, NQ cắt tại E, F theo thứ tự. Khi đó I là trung điểm EF. 6. Định lý Ptolemy Với mọi tứ giác lồi D nội tiếp trong một đường tròn, ta đều có đẳng thức D + D = D Tổng quát : (bất đẳng thức Ptolemy) Với mọi tứ giác D bất kì, ta có bất đẳng thức D + D D Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi D là tứ giác lồi nội tiếp.

7 7 7. Định lý Stewart Với ba điểm,, thẳng hàng và một điểm M bất kì, ta có M + M + M + = 0 Hai hệ quả quen thuộc của định lý Stewart là công thức độ dài đường trung tuyến và độ dài đường phân giác trong : ho tam giác. Đặt = a, = b, = c; m a, l a lần lượt là độ dài đường trung tuyến và độ dài đường phân giác trong ứng với đỉnh của tam giác. Khi đó ta có m a = b + c a 4 ) la = bc (1 a (b + c) 8. Đường thẳng Simson ho tam giác và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng,,. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng Simson của điểm M đối với tam giác. Tổng quát : ho tam giác và một điểm M bất kì trong mặt phẳng tam giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng,,. Khi đó điều kiện cần và đủ để M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác là X, Y, Z thẳng hàng. 9. Đường thẳng Steiner ho tam giác và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là các điểm đối xứng với M qua,,. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng Steiner của điểm M đối với tam giác. Đường thẳng Steiner luôn đi qua trực tâm tam giác. 10. Điểm Miquel của tam giác, tứ giác toàn phần ho tam giác và ba điểm M, N, P tương ứng nằm trên các đường thẳng,,. Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác NP, P M, MN đồng quy tại điểm Miquel X của M, N, P đối với tam giác. Khi M, N, P thẳng hàng, ta có X điểm Miquel của tứ giác toàn phần MNP. Khi đó X nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. 11. Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần ho tứ giác toàn phần DEF, điểm Miquel M của tứ giác và tâm ngoại tiếp các tam giác EF, DE, DF, cùng nằm trên đường tròn Miquel của tứ giác.

8 8 1. Định lý Pascal ho 6 điểm,,, D, E, F cùng nằm trên một conic bất kì. Gọi G, H, K theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (, DE), (, EF ), (D, F ). Khi đó G, H, K thẳng hàng. 13. Định lý Pappus ho hai đường thẳng a, b. Trên a lấy các điểm,, ; trên b lấy các điểm D, E, F. Gọi G, H, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (E, D), (F, D), (F, E). Khi đó G, H, K thẳng hàng. Định lý Pappus là trường hợp suy biến của định lý Pascal khi conic suy biến thành cặp đường thẳng. 14. ất đẳng thức M - GM Với a 1, a,..., a n là các số thực không âm thì a 1 + a + + a n n n a 1 a a n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a = = a n. 15. ất đẳng thức auchy - Schwarz Với a 1, a,..., a n và b 1, b,..., b n là các số thực thì ( ) ( a 1 + a + + a n b 1 + b + + bn) (a1 b 1 + a b + + a n b n ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a = = a n. Trong đó quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử b 1 b b n bằng 0 và ngược lại. 16. ất đẳng thức Nesbitt Với a, b, c là các số thực dương thì a b + c + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. b c + a + c a + b 3

9 9 Phần hai. Tuyển tập các bài toán I. Đề bài 1. ác bài toán ôn tập tuyển sinh lớp 10 ài 1.1. Tam giác vuông tại có =. Lấy D, E nằm trên, sao cho 1 1 ÂD = và ÂE = F là giao điểm của D, E. H, K là điểm đối xứng của 3Â 3Â. F qua,. (a) hứng minh H, D, K thẳng hàng. (b) hứng minh tam giác DEF cân. ài 1.. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ( > ) tiếp xúc với, tại P, Q. Gọi R, S lần lượt là trung điểm,. Giao điểm của P Q, RS là K. hứng minh rằng, O, K thẳng hàng. ài 1.3. ho tam giác nhọn nhận H làm trực tâm. hứng minh rằng, ta có bất đẳng thức : H + H + H < ( + + ) 3 ài 1.4. Gọi là một dây cung cố định cùa đường tròn (O). P là điểm di động trên dây cung nhưng không trùng với hai đầu mút. Vẽ đường tròn () đi qua, P tiếp xúc trong với (O) và đường tròn (D) đi qua, P tiếp xúc trong với (O). Lấy N là giao điểm thứ của (), (D). (a) hứng minh rằng N P D. Từ đó hãy chỉ ra N di động trên đường nào. (b) hứng minh rằng NP luôn đi qua một điểm cố định. ài 1.5. ho tam giác có = 10 và các đường phân giác,,. Tính. ài 1.6. ho hình vuông D có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua cắt cạnh ở M và cắt đường thẳng D ở N. Gọi K là giao điểm của EM và N. hứng minh rằng K N. ài 1.7. ho có = 90 ( < ). Đường tròn (O; r) đường kính và đường tròn (P ; R) đường kính cắt nhau ở D và. (a) Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ D, M cắt (O) tại N, cắt tại E. hứng minh E cân và các điểm O, N, P thẳng hàng. (b) Dựng đường kính NQ của (O). hứng minh Q, D, M thẳng hàng. (c) Gọi K là trung điểm MN. hứng minh P K OK. ài 1.8. Tam giác nhọn có 3 đường cao 1, 1, 1 cắt nhau tại trực tâm H. Gọi H a, H b, H c lần lượt là trực tâm của các tam giác 1 1, 1 1, 1 1, hãy chứng minh rằng

10 = H a H b H c. ài 1.9. ho dây cung cố định trên (O) và ÂO = 10. M là một điểm di động trên cung lớn, đường tròn nội tiếp tam giác M tiếp xúc với M, M tại E, F. hứng minh rằng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. ài ho đường tròn (O) và đường thẳng d nằm ngoài đường tròn. Gọi S là hình chiếu vuông góc của O lên d. Vẽ các cát tuyến S, SEF. F, E lần lượt cắt d tại, D. hứng minh S là trung điểm của D. ài ho tam giác vuông tại. Kẻ đường cao H và đường phân giác E của tam giác (H, E ). Đường thẳng qua vuông góc với E cắt, E lần lượt tại M, N. (a) hứng minh tứ giác NH nội tiếp một đường tròn. Gọi đường tròn đó là (O). (b) Đường thẳng N cắt (O) tại T (T N). hứng minh rằng : H = N T. (c) Gọi I là giao điểm của ON và H. hứng minh rằng : 1 4HI = ài 1.1. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao D. Gọi E là hình chiếu của trên O, K là trung điểm của, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DE. hứng minh rằng IK là đường trung trực của DE. ài ho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). ác đường cao D, E, F cắt nhau tại H. (a) Kẻ đường kính của (O), I là trung điểm của. hứng minh rằng ba điểm H, I, thẳng hàng. (b) Gọi G là trọng tâm tam giác. hứng minh rằng S HG = S OG. ài ho M là một điểm nằm bên trong hình bình hành D. Khi đó, hãy chứng minh bất đẳng thức M M + M MD ài ho đường tròn (O; R), đường kính. là điểm di động trên nửa đường tròn (, ). Trên nửa đường tròn kia lấy I là điểm chính giữa cung. Dựng H tại H. Gọi (O 1 ; R 1 ); (O ; R ); (O 3 ; R 3 ) lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác H, H,. (a) hứng minh I O 1 O. (b) HO 1 cắt tại E, HO cắt tại F. hứng minh O 1 O H. (c) Tìm vị trí điểm để R 1 + R + R 3 lớn nhất. ài ho nửa đường tròn tâm O đường kính = R. là một điểm trên nửa đường tròn (, ). Dựng H tại H. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên,. (a) hứng minh EF song song với tiếp tuyến tại của (O). (b) hứng minh tứ giác F E nội tiếp.

11 11 (c) Tìm vị trí điểm để chu vi và diện tích tam giác lớn nhất. (d) hứng minh khi di động, tâm I của đường tròn nội tiếp OH di chuyển trên đường cố định. ài ho hình vuông D cố định, cạnh a. E là điểm di chuyển trên cạnh D. Đường thẳng E và cắt nhau tại F. Đường thẳng vuông góc với E tại cắt đường thẳng D tại K. (a) hứng minh F (K F ) = D F K. (b) hứng minh rằng trung điểm I của KF di động trên một đường thẳng cố định khi E di động trên D. (c) hỉ ra vị trí của E để độ dài EK ngắn nhất. ài ho tam giác đều. Gọi D là điểm di động trên cạnh. Gọi (I 1 ; R 1 ); (I ; R ); (I 3 ; R 3 ) lần lượt là các đường tròn nội tiếp của các tam giác D, D, và (I 3 ; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tia D cắt (I 3 ; R) tại E. (a) hứng minh 1 ED = 1 E + 1 E. (b) Tìm vị trí của E để (c) Tìm vị trí điểm D để R 1 + R lớn nhất. 1 ED + 1 E + 1 E nhỏ nhất. hứng minh khi ấy S E lớn nhất. ài ho (O; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M dựng hai tiếp tuyến M, M đối với (O; R). Gọi E là trung điểm của M; H là giao điểm của OM với. Đoạn thẳng E cắt (O; R) tại. (a) hứng minh tứ giác HE nội tiếp. (b) hứng minh EM EM. (c) M cắt (O) tại D. Tính D theo R biết OM = 3R. (d) O cắt (O) tại T và cắt D tại S. MT giao S tại N. hứng minh N là trung điểm S. ài 1.0. ho hình vuông D cạnh a. E là điểm di động trên cạnh D (E ). Tia phân giác của Ê, Ê cắt D, D tại M, N. (a) hứng minh E MN. (b) Tìm vị trí điểm E để S DMN lớn nhất.

12 1 ài 1.1. ho. Một đường tròn (O) qua và cắt và ở D và E. M là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và DE. hứng minh rằng ÔM = 90. ài 1.. ho hình thoi D có Â = 60. Một đường thẳng qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng, lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của F và E. hứng minh rằng D tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. ài 1.3. ho đường tròn (O) và dây D. Gọi I là điểm đối xứng với qua D. Kẻ tiếp tuyến I với đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại cắt I ở K. Gọi là giao điểm thứ hai của KD với đường tròn (O). hứng minh rằng song song với I. ài 1.4. ho nội tiếp đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. I, I, I cắt (O) lần lượt tại D, E, F. DE cắt F tại M, DF cắt E tại N. (a) hứng minh rằng MN. (b) Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp DMN, P là giao điểm của D và EF. hứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. ài 1.5. ho cố định, M là điểm di động trên cạnh. Dựng đường kính E của đường tròn ngoại tiếp M và đường kính F của đường tròn ngoại tiếp M. Gọi N là trung điểm EF. hứng minh rằng khi M di động trên thì N di động trên một đường thẳng cố định. ài 1.6. ho tam giác có = 135, = a, = b. Điểm M nằm trên cạnh sao cho M = 45. Tính độ dài M theo a, b. ài 1.7. ho hình vuông D, lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho M = M = 15. Hỏi tam giác MD là tam giác gì? Tại sao? ài 1.8. ho tứ giác D nội tiếp (O; R) sao cho tia và tia D cắt nhau tại I, các tia D và cắt nhau ở K (I, K nằm ngoài (O)). Phân giác của góc I cắt D, lần lượt tại Q, N. Phân giác của góc ÂK cắt, lần lượt tại M, P. (a) hứng minh tứ giác MNP Q là hình thoi. (b) hứng minh IK = ID I + K K. (b) Gọi F là trung điểm của, J là hình chiếu của F trên O, L là trung điểm của F J. hứng minh J OL. ài 1.9. ho tứ giác D nội tiếp (O) có hai đường chéo, D cắt nhau tại M. Đường vuông góc với OM tại M cắt,, D, D lần lượt tại M 1, M, M 3, M 4. hứng minh M 1 M 4 = M M 3. ài ho tứ giác lồi D với E, F là trung điểm của D và. hứng minh rằng + D + + D = 4EF + + D ài Trên (O; R) lấy hai điểm, cố định sao cho = 3R. là một điểm trên cung lớn ( ; ).

13 13 (a) hứng minh khi di động, phân giác luôn đi qua một điểm cố định I. (b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng,. hứng minh E = F. (c) hứng minh khi di động thì EF luôn đi qua một điểm cố định. (d) Tìm vị trí diểm để S EIF lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R. ài 1.3. ho (O; R) và điểm cố định với O > R. Dựng cát tuyến MN của (O) không qua tâm (M < N). hứng minh rằng (a) Đường tròn ngoại tiếp OMN luôn đi qua một điểm cố định H (H không trùng O) khi cát tuyến di động. (b) Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại T. hứng minh T di động trên một đường thẳng cố định khi cát tuyến MN di động. ài ho có = 60, = b, = c (b > c). Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông góc với tại M. I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống ; ; H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống ;. (a) hứng minh IJ HK. (b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác theo b và c. (c) Tính H + K theo b và c. ài ho tam giác. Một điểm D di động trên cạnh. Gọi P, Q tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác D, D. hứng minh rằng khi D di động thì đường tròn đường kính P Q luôn đi qua một điểm cố định. ài ho tam giác có phân giác D và trung tuyến M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DM cắt tại E và tại F. Gọi L là trung điểm EF. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ML và D. ài ho là dây cung của (O; R). Đặt = ar. Điểm trên cung lớn, kẻ các a đường kính I, K. Đặt S =. hứng minh rằng S =. Từ đó tìm giá I + K a trị nhỏ nhất của S. ài ho tam giác nội tiếp (O, R) có 90. ác đường tròn (; R 1 ), (; R ), (; R 3 ) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. hứng minh rằng S = R 1 + R + R 3 + R 1 R R 3 4R ài ho hình thoi D có cạnh là 1. Trên cạnh lấy M, D lấy N sao cho chu vi MN bằng và NM = D. Tính các góc của hình thoi. ài Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông MN, P Q có tâm O và O.

14 14 (a) hứng minh rằng khi cố định hai điểm, và cho thay đổi thì đường thẳng NQ luôn đi qua một điểm cố định. (b) Gọi I là trung điểm của. hứng minh IOO là tam giác vuông cân. ài ho hai đường tròn (O; R) và (O ; R ) ở ngoài nhau biết OO = d > R + R. Một tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại E và tiếp xúc với (O ) tại F. Đường thẳng OO cắt (O) tại, và cắt (O ) tại, D (, nằm giữa, D). E cắt F tại M, E cắt DF tại N. Gọi giao điểm của MN với D là I. Tính độ dài OI. ài ho tam giác có diện tích S 0. Trên các cạnh,, lấy các điểm M, N, P sao cho M M = k 1, N N = k, P P = k 3 (k 1, k, k 3 < 1). Hãy tính diện tích tam giác tạo bởi các đoạn thẳng M, N, P.. ác bài toán ôn tập Olympiad ài.1. (PMO 000) ho tam giác với trung tuyến M và phân giác N. Đường thẳng vuông góc với N tại N cắt, M lần lượt tại P, Q. Đường thẳng vuông góc với tại P cắt đường thẳng N tại O. hứng minh rằng OQ vuông góc với. ài.. (Dự tuyển IMO 1994) Tam giác không cân tại có D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp lên,,. X là điểm bên trong tam giác sao cho đường tròn nội tiếp tam giác X tiếp xúc với tại D, và tiếp xúc với X, X tại Y, Z. hứng minh rằng E, F, Y, Z đồng viên. ài.3. Dựng hình vuông DEF G nội tiếp tam giác sao cho D, E ; F ; G. Gọi d là trục đẳng phương của hai đường tròn (D), (E). Ta định nghĩa các đường thẳng d, d tương tự. hứng minh rằng các đường thẳng d, d, d đồng quy. ài.4. ho tam giác với trọng tâm G. Một đường thẳng d đi qua G cắt,, lần lượt tại M, N, P. hứng minh rằng, ta có đẳng thức : 1 GM + 1 GN + 1 GP = 0 ài.5. ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (O) có các cạnh đối không song song và các đường chéo cắt nhau tại E. F là giao điểm của D với. M, N lần lượt là trung điểm của, D. hứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN. ài.6. ho tam giác với đường tròn nội tiếp (I) và E, F là các tiếp điểm của (I) với,. Lấy K bất kì thuộc đoạn EF, gọi H, L là giao điểm của K, K với, tương ứng. hứng minh rằng HL tiếp xúc với (I). ài.7. Gọi H, D lần lượt là đường cao và phân giác của tam giác. N, L, M lần lượt là trung điểm của H, D,. Lấy K là giao điểm của MN và D. hứng minh rằng, L, K là hai đường đẳng giác trong góc. ài.8. ho tam giác vuông tại. Trên các tia, lấy E, F tương ứng sao cho E = = F. hứng minh rằng với mọi điểm M nằm trên đường tròn đường kính, ta đều có M + M + M EF

15 15 ài.9. ho tam giác có = a, = b, = c và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. hứng minh rằng I + I + I ab + bc + ca ài.10. Từ điểm nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến, đến (O). Gọi E, F là trung điểm của,. Lấy D là một điểm bất kì trên EF, vẽ các tiếp DP, DQ tới đường tròn. P Q cắt, EF lần lượt tại N, M. hứng minh rằng, ON M. ài.11. ho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh đáy, lấy điểm M (M khác, ). Vẽ đường tròn tâm D qua M tiếp xúc với tại và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc với tại. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này. (a) hứng minh rằng tổng bán kính của hai đường tròn (D), (E) là không đổi khi M di động trên. (b) Tìm tập hợp trung điểm I của DE. ài.1. ho M là điểm di động trên đường tròn (O, r) có hai đường kính cố định, D vuông góc với nhau. Gọi I là hình chiếu của M lên D và P là giao điểm của OM, I. Tìm tập hợp các điểm P. ài.13. ho tam giác đều và một điểm M bất kì trong mặt phẳng tam giác. Gọi x, y, z là khoảng cách từ M đến các đỉnh,, và p, q, r là khoảng cách từ M đến các cạnh,,. hứng minh rằng : p + q + r 1 4 (x + y + z ) ài.14. ho đa giác đều và điểm M bất kì trong mặt phẳng. hứng minh rằng M 1 + M 3 + M 5 + M 7 M + M 4 + M 6 ài.15. Tam giác không cân nội tiếp (O) có 1, 1, 1 là trung điểm của,,. Gọi là một điểm trên tia O 1 sao cho tam giác O 1 và O đồng dạng. ác điểm, định nghĩa tương tự. hứng minh rằng,, đồng quy. ài.16. ho tam giác với M là trung điểm. Vẽ đường tròn (O) tùy ý qua và cắt các đoạn,, M lần lượt tại 1, 1, M 1. hứng minh rằng, = M 1 M ài.17. ho tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R.Gọi q là chu vi tam giác có các đỉnh là tâm các đường tròn bàng tiếp tam giác. hứng minh rằng : q 6 3R ài.18. ho tam giác có : = a; = b; = c; và r và R theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. hứng minh rằng r R + (a b) + (b c) + (c a) 16R 1

16 16 ài.19. ho tam giác. ác đường phân giác E, F cắt nhau tại I. I cắt EF tại M. Đường thẳng qua M song song với theo thứ tự cắt, tại N, P. hứng minh rằng M + M < 3NP ài.0. ho tam giác nhọn với đường cao F và >. Gọi O, H lần lượt là tâm ngoại tiếp và trực tâm của tam giác. Đường thẳng qua F vuông góc với OF cắt tại P. hứng minh rằng F HP =. ài.1. ho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định bên trong đường tròn., D là dây cung di động của (O) nhưng luôn đi qua P và luôn vuông góc với nhau. (a) hứng minh rằng P + P + P + P D không đổi. (b) Gọi I là trung điểm. Hỏi I di động trên đường nào? ài.. ho tam giác và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. hứng minh rằng : M + M + M + min{m, M, M} < + + ài.3. Tam giác cân nội tiếp (O) có = và Q là đường kính của (O). Lấy M, N, P lần lượt trên cạnh,, sao cho MNP là hình bình hành. hứng minh rằng NQ MP. ài.4. ho tứ giác D có M, N lần lượt là trung điểm, D và O là giao điểm của đường chéo. Gọi H, K là trực tâm của tam giác O, OD. Hãy chứng minh MN HK. ài.5. ho tứ giác D nội tiếp (O) có hai đường chéo cắt nhau tại I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của, D. P, Q là chân đường cao kẻ từ I của tam giác ID, I. hứng minh rằng, P Q MN. ài.6. ho tam giác và tam giác D có tâm nội tiếp lần lượt là H, K. hứng minh rằng D HK. ài.7. ho K là điểm nằm trong tam giác. Một đường thẳng qua K cắt hai cạnh, theo thứ tự ở M, N. hứng minh rằng : S 8 S MK S NK ài.8. ho tam giác nhọn và M là một điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi 1, 1, 1 lần lượt là giao điểm của M, M, M với các cạnh tam giác. Lấy,, là các điểm đối xứng với M qua trung điểm của 1 1, 1 1, 1 1. hứng minh rằng,, đồng quy. ài.9. ho tam giác nội tiếp (O; R) có M thuộc cung không chứa. Tìm vị trí của M để P = 010 M M đạt giá trị lớn nhất. ài.30. ho tam giác. ác điểm D, E, F nằm trên các cạnh,, sao cho D, E, F đồng quy tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với cắt DE, DF theo thứ tự tại H và K. hứng minh O là trung điểm HK. ài.31. ho tam giác. M là một điểm bất kì trên mặt phẳng và không nằm trên

17 17 tam giác. ác đường thẳng M, M, M lần lượt cắt các đường thẳng,, tại D, E, F. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng M với F D; M với ED. hứng minh các đường thẳng D, K, H đồng quy. ài.3. ho tứ giác lồi D. hứng minh : min{,, D, D} + D max{,, D, D} ài.33. ho đường tròn (O; R) và hai điểm, cố định đối xứng với nhau qua O. Gọi M là điểm chạy trên (O). Đường thẳng M, M cắt (O) tại P, Q tương ứng. hứng minh rằng giá trị biểu thức M P + M không đổi khi M di chuyển trên (O). Q ài.34. ho (O) và dây. Điểm M di chuyển trên cung lớn. ác đường cao E, F của M cắt nhau tại H. Kẻ (H; HM) cắt M, M ở và D. hứng minh đường thẳng kẻ từ H vuông góc với D luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên cung lớn. ài.35. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O). G là trọng tâm tam giác. G, G, G lần lượt cắt (O) tại 1, 1, 1. hứng minh rằng : G 1 + G 1 + G 1 G + G + G ài.36. ho và D, E, F lần lượt là hình chiếu của,, xuống ba cạnh tương ứng. Đường thẳng qua D song song với EF cắt, tại P, Q. iết EF = R. hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp P QR đi qua trung điểm. ài.37. ho tứ giác lồi D nội tiếp đường tròn (O). ho = a, D = b, ÂI = α, trong đó I là giao điểm của hai đường chéo và D. Tính bán kính đường tròn (O) theo a, b và α. ài.38. ho có trực tâm H. Đường tròn qua, cắt, tại D, E. Gọi F là trực tâm DE và I là giao điểm của E và D. hứng minh rằng I, H, F thẳng hàng. ài.39. ho không cân, ngoại tiếp đường tròn (I). Tiếp điểm của (I) trên,, lần lượt là D, E, F. DE cắt ở P. Một đường thẳng qua cắt, F E lần lượt ở N, M. P M cắt ở Q. hứng minh rằng IN vuông góc với F Q. ài.40. ho tứ giác D. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của, D. hứng minh rằng : + D + IJ < + + D + D ài.41. ho nội tiếp đường tròn (O). E thuộc cung không chứa và không trùng,. E cắt tiếp tuyến tại, của (O) tại M, N. Gọi giao điểm của M và N là F. hứng minh rằng EF luôn đi qua một điểm cố định khi E di chuyển trên cung không chứa. ài.4. ho tứ giác D nội tiếp thỏa mãn D = D. Đường tròn () qua, và tiếp xúc với, đường tròn ( ) qua, D và tiếp xúc D. hứng minh rằng giao điểm khác của () và ( ) là trung điểm D. ài.43. ho tam giác nhọn, gọi H là trực tâm của tam giác. Tìm điều kiện cần và đủ

18 18 đối với các góc của tam giác để 9 điểm : chân các đường cao của tam giác, trung điểm các cạnh của tam giác, trung điểm các đoạn thẳng H, H, H là đỉnh của một đa giác đều. ài.44. ho tam giác. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác và tiếp xúc với,, lần lượt tại D, E, F. hứng minh rằng ID, EF và trung tuyến M (M ) đồng quy. ài.45. ho hai đoạn thẳng và bằng nhau. Phép quay tâm M biến thành, biến thành. Phép quay tâm N biến thành, biến thành. Gọi S là trung điểm của. hứng minh rằng SM vuông góc với SN. ài.46. ho tam giác, M là điểm nằm trong tam giác. M, M, M cắt,, theo thứ tự ở D, E, F. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên,,. Kí hiệu P (HIK) là chu vi tam giác HIK. Hãy chứng minh : P (DEF ) P (HIK) ài.47. Tam giác nhọn nội tiếp (O), đường cao H cắt (O) tại. O cắt tại. Xác định tương tự cho,. hứng minh,, đồng quy. ài.48. ho đường tròn (O) và một đường thẳng d cố định. Gọi H là hình chiếu của của O trên d. Lấy M cố định thuộc đường tròn., thay đổi trên d sao cho H là trung điểm. Giả sử M, M cắt (O) tại P, Q. hứng minh P Q luôn đi qua một điểm cố định. ài.49. ho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với,, tại D, E, F. Qua E vẽ đường song song với cắt D, DF ở M, N. hứng minh rằng M là trung điểm của EN. ài.50. ho tam giác có = c, = a, = b và I là tâm đường trròn nội tiếp. Hai điểm, lần lượt nằm trên hai cạnh, sao cho,, I thẳng hàng. hứng minh rằng S a + b + c bc S S ài.51. ho tứ giác D nội tiếp. E, F, G, H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác, D, D, D. hứng minh rằng tứ giác EF GH nội tiếp. ài.5. ho hình vuông D. I tùy ý thuộc, DI cắt tại E, I cắt E tại F. hứng minh rằng F DE. ài.53. ho tam giác không vuông nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. d là đường thẳng bất kì qua H. Gọi d a,d b, d c lần lượt là các đường thẳng đối xứng với d qua,,. hứng minh rằng d a, d b, d c đồng quy tại một điểm trên (O). ài.54. ho hình thang D ( D). cắt D tại O. iết khoảng cách từ O đến D và bằng nhau, hãy chứng minh rằng D là hình thang cân. ài.55. ho tam giác cân tại. Đường tròn ω tiếp xúc,, cắt tại K. K cắt ω tại điểm thứ hai là M. P, Q là điểm đối xứng của K qua,. hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MP Q tiếp xúc với ω. ài.56. ho tam giác vuông tại có = 0, phân giác trong I. Điểm H nằm trên

19 19 cạnh sao cho ÂH = 30. Hãy tính số đo ĈHI. ài.57. ho tam giác ngoại tiếp (I). Gọi D, E, F lần lượt là điểm đối xứng với I qua,,. hứng minh rằng D, E, F đồng quy. ài.58. ho tam giác cân tại nội tiếp (O). Điểm M là trung điểm của. M cắt lại (O) tại điểm thứ hai là Q. hứng minh rằng Q Q. ài.59. ho thỏa mãn + = 3. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc, tại D, E. Gọi K, L tương ứng đối xứng với D, E qua I. hứng minh rằng tứ giác KL nội tiếp. ài.60. ho tam giác ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc,, lần lượt tại D, E, F. hứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ID, IE, IH thẳng hàng. ài.61. ho tam giác nội tiếp (O). M, N lần lượt là điểm chính giữa cung không chứa và cung không chứa. D là trung điểm MN. G là một điểm bất kì trên cung không chứa. Gọi I, J, K lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác, G, G. Lấy P là giao điểm thứ hai của (GJK) với (). hứng minh rằng P DI. ài.6. ho n giác đều 1... n (n 4) thỏa mãn điều kiện Hãy tìm n. 1 = ài.63. Gọi 1, 1, 1 tương ứng là các đường phân giác trong của tam giác. 1, 1, 1 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại,, theo thứ tự. hứng minh rằng : ài.64. ho tam giác, đường thẳng d cắt các đường thẳng,, lần lượt tại D, E, F. Gọi O 1, O, O 3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EF, DF, DE. hứng minh rằng trực tâm tam giác O 1 O O 3 nằm trên d. ài.65. ho tứ giác D, cắt D tại O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của O trên,, D, D. iết rằng OM = OP, ON = OQ. hứng minh rằng D là hình bình hành. ài.66. ho tam giác, phân giác trong D(D ). Gọi M, N là các điểm thuộc tia, sao cho MD = Â, ND = Â. ác đường thẳng D, MN cắt nhau tại P. hứng minh rằng : D 3 = P ài.67. Trên mặt phẳng cho 000 đường thẳng phân biệt, đôi một cắt nhau. hứng minh rằng tồn tại ít nhất đường thẳng mà góc của chúng không lớn hơn (độ). ài.68. ho tứ giác D nội tiếp (O) có = D. M, N nằm trên các cạnh, D sao cho MN = M + DN. M, N cắt (O) tại P, Q. hứng minh rằng trực tâm tam giác P Q nằm trên MN. ài.69. ho tứ giác D. Hai đường chéo, D cắt nhau tại O. Gọi r 1, r, r 3, r 4 lần

20 0 lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác E, E, ED, DE. hứng minh rằng 1 r r 3 = 1 r + 1 r 4 là điều kiện cần và đủ để tứ giác D ngoại tiếp được một đường tròn. ài.70. ho tam giác có M là trung điểm của và H là trực tâm tam giác. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt, tại D, E. hứng minh rằng H là trung điểm của DE. ài.71. ho đoạn thẳng = a cố định. Điểm M di động trên (M khác, ). Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng dựng hinh vuông MD và MEF. Hai đường thẳng F, cắt nhau ở N. Tìm vị trí điểm M sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất. ài.7. ho tam giác nhọn không cân, nội tiếp (O). ác đường cao 0, 0, 0 đồng quy tại H. ác điểm 1, thuộc (O) sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác 1 0 0, 0 0 tiếp xúc trong với (O) tại 1,. 1,, 1, xác định tương tự. hứng minh rằng 1, 1, 1 đồng quy tại một điểm trên OH. ài.73. ho đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc,, tại 1, 1, 1. ác đường thẳng I 1, I 1, I 1 tương ứng cắt các đoạn thẳng 1 1, 1 1, 1 1 tại,,. hứng minh các đường thẳng,, đồng quy. ài.74. ho tam giác cân tại. Trên tia đối của tia lấy điểm E. Giao điểm của E và phân giác góc là D. Một đường thẳng qua D song song cắt ở F. F cắt E tại M. hứng minh rằng M là trung điểm E. ài.75. ho tứ giác lồi D sao cho ko song song với D và điểm X bên trong tứ giác thỏa ÂDX = X < 90 và DX = ĈX < 90. Gọi Y là giao điểm đường trung trực của và D. hứng minh rằng ÂY = ÂDX. ài.76. ho tứ giác lồi D nội tiếp trong (O). D cắt tại E, cắt D tại F.M, N là trung điểm, D. hứng minh rằng : MN EF = D D ài.77. ho tứ giác D nội tiếp được một đường tròn. hứng minh rằng : D = D + D + D D ài.78. ho tam giác nhọn nội tiếp (O; R).Gọi R 1, R, R 3 tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác O, O, O. hứng minh rằng : R 1 + R + R 3 3R

21 1 II. Hướng dẫn và gợi ý 1. ác bài toán ôn tập tuyển sinh lớp 10 ài 1.1. (a) Ta đã có F HD = 0, việc còn lại chỉ là kiểm tra F HK = 0. (b) Gọi I là giao điểm của HK,. Lần lượt chứng minh các kết quả sau DF I = 10 EF I nội tiếp ÊF I = 10 và F IE = 0 = DIF DF I = EF I Kết quả cuối chứng tỏ tam giác EF D cân tại F. ài 1.. Với chú ý rằng SK = SQ, sử dụng các biến đổi độ dài đoạn thẳng để chỉ ra rằng RK = R. ài 1.3. Qua H dựng các đường thẳng song song với các cạnh tam giác và các giao điểm đối với các cạnh còn lại. Hãy chú ý các hình bình hành tạo được và sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta sẽ có điều cần chứng minh. ài 1.4. (a) Từ hai tam giác đồng dạng N, P D suy ra ÂN không đổi. Từ đó rút ra được quỹ tích điểm N. (b) Điểm cố định cần tìm chính là giao điểm tiếp tuyến tại, của O. ài 1.5. Hãy chứng minh rằng là tâm bàng tiếp trong góc của tam giác và là tâm bàng tiếp trong góc của tam giác để từ đó suy ra = 90. ài 1.6. Gọi S là giao điểm của EM, D. Áp dụng định lý Menelaus cho hai tam giác N, N và định lý Thales để rút ra : N = K KN Đẳng thức này chứng tỏ tam giác vuông N nhận K làm chân đường cao kẻ từ. ài 1.7. (a) ằng tính chất của tiếp tuyến và các phép biến đổi góc, hãy chứng minh E = E. Từ đó suy ra N là trung điểm E và O, N, P thẳng hàng. (b) Hãy chứng minh MDN = 90. (c) hứng minh tứ giác OKP nội tiếp. ài 1.8. Hãy chứng minh 1 1 H a H b là hình bình hành nhờ bổ đề sau : Với tam giác XY Z, trực tâm Q thì QX = Y Z cot X.

22 ài 1.9. Gọi N là trung điểm của. Đường tròn cố định cần tìm là ( N, ). ài Để chứng minh kết quả của bài toán, ta sẽ chỉ ra rằng OS là phân giác của góc ĈOD bằng cách sử dụng các tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp. ài Hai ý (a) và (b) đều là những kết quả đơn giản và quen thuộc. Với ý (c), ta sẽ chứng minh H = HI, sau đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. ài 1.1. ằng cách biến đổi góc dựa vào các tứ giác nội tiếp, hãy chứng minh rằng IK là phân giác trong của góc DIE. ài (a) Hãy chứng minh H là hình bình hành. (b) Thực chất đây là kết quả quen thuộc về đường thẳng Euler : H, O, G thẳng hàng và HG = OG. ài Dựng thêm hình bình hành MT. Từ đó hãy áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác MDT với chú ý các đoạn thẳng bằng nhau để suy ra điều cần chứng minh. ài (a) Hãy chứng minh (O 3 ) là trực tâm của O 1 O. (b) Dựa vào các tam giác đồng dạng, ta suy ra đẳng thức Từ đó suy ra O 1 HO. (c) Sử dụng kết quả sau ài O 1 H O H = H H = + R 3 = H + H R = H + H R 1 = (a) ó cách chứng minh cơ bản nhất cho kết quả này: Vẽ tiếp tuyến x của O. Hãy chứng minh rằng tiếp tuyến này song song với EF. Vẽ đường kính, gọi giao điểm của, EF là Q. Hãy chứng minh F Q nội tiếp để suy ra kết quả. (b) Suy ra trực tiếp từ ý (a). (c) Nhận xét + không đổi để đánh giá chu vi và diện tích. Ngoài ra, còn một

23 3 cách đơn giản hơn để đánh giá diện tích nhờ vào tính chất : Độ dài đường trung tuyến tam giác không nhỏ hơn độ dài đường cao xuất phát cùng một đỉnh. (d) Khi di động trên cung thì I luôn di động trên cung chứa góc 135 dựng trên đoạn O hoặc O nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa (trừ hai điểm và ). ài (a) Trên tia D lấy điểm T sao cho T =. Hãy chứng minh K F = T. (b) I D cố định. (c) Áp dụng đẳng thức EK = E để suy ra đoạn EK ngắn nhất khi E. DE ài (a) hứng minh tuần tự các đẳng thức sau: E = E + E 1 ED = E E E (b) Áp dụng đẳng thức đã chứng minh ở ý (a). (c) Gọi độ dài các cạnh tam giác đều là a. Hãy chứng minh rằng: ài R 1 + R = (3a D)R 3 a (d) Gọi I là giao điểm của T, M. Khi đó, chứng minh tuần tự : M là trung điểm I. SN M = T N T M = N MI ài 1.0. (a) Dựng MI 1 E tại I 1. Hãy chứng minh M, I 1, N thẳng hàng. (b) Từ ý (a). hãy chứng minh M + N = MN và suy ra giá trị lớn nhất của S DMN đạt được khi E D. ài 1.1. Gọi I, K lần lượt là tâm của các đường tròn (DE), (). Dựng đường kính P của (I). hứng minh tuần tự các kết quả sau: P M M P O M M, O, P thẳng hàng ài 1.. hứng minh tuần tự các kết quả sau đây: F D DE

24 4 F E M F M F = D ài 1.3. hú ý rằng D là tứ giác điều hòa, hãy tìm các đẳng thức về tỉ số độ dài đoạn thẳng để có DI. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. ài 1.4. (a) Hãy chứng minh INDM nội tiếp. (b) hứng minh P N, P M. Từ đó suy ra tứ giác P NQM nội tiếp vì có tổng góc đối là 180. ài 1.5. Gọi H là trung điểm, N di động trên đường thẳng vuông góc với H tại cố định. ài 1.6. Lấy N trên sao cho M = 90. Áp dụng công thức đường phân giác để tính độ dài N theo M, b; M theo N, a. Từ đó rút ra quan hệ giữa M với a, b. ài 1.7. Dựng tam giác ME đều (E nằm trong tam giác DM). Từ đó suy ra DM = D = D. Đáp số : MD đều. ài 1.8. (a) Gọi H là giao điểm của KP và IN. Hãy chứng minh tứ giác MNP Q có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường để suy ra điều phải chứng minh. (b) Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác K với IK. hứng minh tuần tự các đẳng thức sau: ID I = IE IK K K = KE IK (c) Gọi R là giao điểm của J, OL. Kẻ S O (S O). Lần lượt chứng minh: J là trung điểm S OLF J F RO nội tiếp J OL ài 1.9. ài toán này là hệ quả trực tiếp của định lý con bướm. Hãy chứng minh rằng M đồng thời là trung điểm của các đoạn thẳng M 1 M 3 và M M 4 ài 1.30.

25 5 Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến cho các tam giác E, D, D. ài (c) Gọi M là trung điểm thì EF luôn đi qua M cố định. (d) S EIF max S max. ài 1.3. (a) Đường tròn ngoại tiếp OMN luôn đi qua điểm H O cố định. (b) T luôn di động trên đường thẳng vuông góc với O tại H cố định. ài (a) Hãy chứng minh các kết quả E IJ E HK b + c bc (b) R = 3 (c) Để ý rằng HF = KF. Đáp số : IH + IK = b + c. ài Điểm cố định cần tìm chính là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với. Để có được kết quả này, ta cần sử dụng bổ đề sau : ổ đề. ho hai đường tròn (O 1 ), (O ) không cắt nhau, hai tiếp tuyến chung trong d 1, d cắt tiếp tuyến chung ngoài d tại,.gọi, D lần lượt là tiếp điểm của (O 1 ), (O ) với d. Khi đó, = D. ài Nếu cân tại thì ML D. Nếu, hãy chứng minh E = F. Từ đó suy ra ML D. ài Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp IK. Sau đó, dựa vào a, hãy chứng minh rằng: S = + 4 a a ài Đặt p = a + b + c, suy ra R 1 = p a, R = p b, R 3 = p c. Đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 1 a(p a) + b(p b) + c(p c) + (p a)(p b)(p c) = abc Để chứng minh đẳng thức này, có thể dùng phương pháp khai triển rút gọn hoặc dùng phương pháp đa thức. Phần chứng minh dành cho bạn đọc. ài Dựng về phía bờ D không chứa tam giác DG sao cho DG = M. Hãy chứng minh rằng N, D, G thẳng hàng để suy ra rằng D là hình vuông.

26 6 ài (a) Gọi L là trung điểm của QN. Hãy chứng minh L vuông cân để suy ra L cố định. (b) hứng minh OI, O I vuông góc và bằng nhau. ài Điểm mấu chốt của bài toán là chứng minh MN D. Từ đó suy ra IN IM. Đáp số : OI = d + R R. d ài hứng minh đẳng thức Đáp số : S = S 0 S F = k 1 + k + k k 3 S 0 (k 1 k k 3 1) (k 1 k + k 1 + 1)(k k 3 + k + 1)(k 3 k 1 + k 3 + 1). ác bài toán ôn tập Olympiad ài.1. Dựa vào những quan hệ vuông góc có ở giả thiết và quan hệ vuông góc cần chứng minh, ta có thể suy nghĩ theo các hướng sau : Đưa vào hệ trục tọa độ : Tất nhiên vì trục tọa độ phải vuông góc với nhau, do đó tâm tọa độ nên đặt ở P hoặc N. Tuy nhiên, do N là chân đường phân giác trong của tam giác nên việc đặt tâm tại N sẽ thuận tiện hơn. Dựa vào ý tưởng trực tâm : Ta đã có O QN, hãy tìm cách dựng tìm K sao cho Q là trực tâm của tam giác OK. Từ cách dựng điểm K, giải bài toán ngược để chứng minh rằng Q chính là trực tâm của tam giác OK theo cách dựng đó. Sử dụng vector : Sử dụng vector là một phương pháp có sự lựa chọn phong phú. Tất nhiên đẳng thức cần chứng minh phải là OQ = 0. ác vector OQ, có thể biểu ài.. diễn thành rất nhiều tổng của các vector khác nhau. Đây vừa là điểm mạnh cũng chính là điểm yếu của vector, ta phải tìm những cặp vector thích hợp để có thể tính toán. Dĩ nhiên nên được giữ nguyên, OQ có thể tách thành tổng của vector OP, P Q vì vector này đều có thể tính được module theo độ dài các cạnh và các góc của vector này hợp với cũng có thể xác định theo các góc của tam giác. Hãy chứng minh rằng EF, Y Z, đồng quy để suy ra kết quả. ài.3. Hãy biểu diễn tỉ số M qua các yếu tố liên quan đến tam giác nhờ tính chất của phương M tích. Sau đó sử dụng định lý eva cho tam giác để suy ra điều phải chứng minh. ài.4. hiếu M, N, P theo phương song song với lên đường trung tuyến xuất phát từ của tam

27 7 giác để đưa hệ thức cần tính toán lên đường trung tuyến đó. ài.5. Để chứng minh SE là tiếp tuyến của (EMN) mà tâm đường tròn này chưa xác định, ta có hướng cơ bản sau đây : hứng minh hệ thức về góc : Quy về chứng minh F EM = ÊNM. Hãy dựng các hình bình hành EL, EDK, tận dụng các tam giác đồng dạng để rút ra đẳng thức về góc trên. hứng minh hệ thức về cạnh : Giả sử MN cắt F E tại P (dễ thấy rằng P cũng chính là ài.6. trung điểm của EF ), ta cần chứng minh P E = P M P N. Gọi giao điểm của, D là S, hãy sử dụng các định lý về hàng điểm điều hòa để chứng minh đẳng thức trên. Phần còn lại xin dành cho bạn đọc. Thực chất đây là bài toán đảo của bổ đề quen thuộc của tứ giác ngoại tiếp đường tròn : ác đường chéo và các đường thẳng nối các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp một tứ giác ngoại tiếp lên các cạnh đối của tứ giác đó đồng quy tại một điểm. ài.7. Hãy chứng minh đẳng thức sau : KD K LD L = D Đẳng thức trên đủ chứng tỏ K, L là hai đường đẳng giác trong góc. Hãy sử dụng định lý Menelaus và chú ý tới các trung điểm để tính toán, rút ra đẳng thức trên. ài.8. Hãy chú ý đến đẳng thức sau : a M = b M + c M a = M + M Sử dụng đẳng thức trên và bất đẳng thức auchy - Schwarz, ta suy ra điều cần chứng minh. ài.9. Hãy chú ý bổ đề : I = bc(b + c a) a + b + c Từ đó, ta có thể đưa bài toán về bất đẳng thức đại số đơn giản hơn. ài.10. Ý tưởng chính của bài toán là chứng minh M, ON cùng vuông góc với D. Sau đây là hướng cần chú ý để tiếp cận kết quả này : ực và đối cực. Phương tích của một điểm với đường tròn (O) và với đường tròn điểm tâm.

28 8 ài.11. (a) Gọi K là giao điểm của D, E. Hãy sử dụng định lý Thales để chứng minh rằng R (D) + R (E) = K = K. (b) Để dự đoán trước quỹ tích của I, ta chọn 3 vị trí M khác nhau. Từ đó cho ta giả thuyết I di động trên đường thẳng cố định song song với. ũng chính từ đây cho ta ý tưởng hạ đường thẳng vuông góc IH xuống. Hạ vuông góc tương tự cho D, E xuống, bằng một số bước tính toán, ta sẽ thấy được độ dài đoạn IH không đổi, từ đó suy ra quỹ tích điểm I. ài.1. ấu hình đường tròn với đường kính cố định vuông góc với nhau làm ta liên tưởng ngay đến hệ trục tọa độ. Nếu chọn ( r, 0), (r, 0), (0, r), D(0, r) thì quỹ tích của điểm P sẽ là đường cong có phương trình y = xr + r. ài.13. Gọi,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các đường thẳng,, theo thứ tự. Ta chứng minh các bất đẳng thức, đẳng thức sau để suy ra điều cần chứng minh : p + q + r 1 ( + + ) = 3 ( x + y + z ) 4 ài.14. Áp dụng định lý Ptolemy cho các tứ giác : M 1 3 M M Kết hợp với một số biến đổi hợp lý, ta sẽ có ngay bất đẳng thức cần chứng minh. ài.15. Trước tiên, hãy chứng minh rằng chính là giao điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ, của (O) và tương tự đối với,. Ta đã đưa về bài toán quen thuộc và có thể làm theo hai cách : Ta có thể thấy ngay,, chính là các đường đối trung của tam giác nên chúng đồng quy tại điểm Lemoine của tam giác. Áp dụng định lý eva. Thật vậy, do (O) trở thành đường tròn nội tiếp tam giác nên,, trở thành tiếp điểm của đường tròn nội tiếp đó trên các cạnh tam giác ài.16.. Từ đó, ta có thể áp dụng định lý eva cho tam giác để chứng minh,, đồng quy. Ta sẽ đưa 1, 1, M 1 M thành các biểu thức chứa,,, P /(O), P /(O), P M/(O). Từ đó biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đúng theo công thức trung

29 9 tuyến. ài.17. Hãy chứng minh hai bổ đề sau đây : Tam giác XY Z nội tiếp đường tròn bán kính R thì : XY + Y Z + ZX 3 3R Nếu I a, I b, I c là các tâm bàng tiếp của tam giác thì bán kính đường tròn ngoại tiếp ài.18. tam giác I a I b I c bằng lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Điểm mấu chốt của bài toán là bất đẳng thức sau đây : R Rr = OI DM = (b c) 4 Trong đó D là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với và M là trung điểm của. ài.19. ài toán dựa trên bổ đề sau đây : ổ đề. Gọi H, I, K là hình chiếu của điểm M (được định nghĩa trong đề bài) lên,, thì MH = MI + MK. Phần còn lại là sử dụng bất đẳng thức tam giác để khai thác bổ đề này. Ta sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh. ài.0. Lấy K đối xứng với H qua. Đường thẳng P F cắt (O), K tại M, N, Q. Hãy sử dụng định lý con bướm cho tam giác để chứng minh P KQH là hình bình hành. ài.1. (a) Đây là một kết quả rất quen thuộc : P + P + P + P D = 4R Một cách nhanh nhất là vẽ đường kính K của (O) và chú ý DK là hình thang cân để suy ra kết quả. (b) Gọi M là trung điểm của OP. Trước hết) hãy chứng minh rằng IO + IP không đổi, để từ đây suy ra I di động trên (M, R OP cố định. 4 ài.. Hãy chứng minh và sử dụng kết quả sau : Với điểm M bất kì nằm trong tứ giác D, ta luôn có : M + MD < D + + Trở lại bài toán, hãy gọi trung điểm các cạnh,, để khai thác kết quả trên. ài.3. Để chứng minh QN MP, ta có hai hướng sau :

30 30 Gọi K là điểm đối xứng của N qua MP. ài toán quy về chứng minh KN là phân giác trong của tam giác K. Vì sao lại có điểm K được dựng như trên? âu hỏi thú vị này xin dành cho bạn đọc. Sử dụng vector : Phân tích QN thành tổng của Q, Q; MP thành tổng của M, MN và chú ý các đường vuông góc với nhau. Để cho tiện cho việc biến đổi, nên đặt k = N. ài.4. Trước hết, có nhận xét rằng MN = + D. Từ nhận xét này, nếu gọi x, y lần lượt là độ dài hình chiếu của HK lên, D; ta chỉ cần chứng minh x = y D. ài.5. Ta có hai hướng để giải quyết : Gọi K là trung điểm, hãy chứng minh rằng KMN IQP để suy ra kết quả. Sử dụng vector : Trước hết, có nhận xét rằng MN = + D. Từ nhận xét này, ài.6. nếu gọi x, y lần lượt là độ dài hình chiếu của P Q lên, D; ta chỉ cần chứng minh x = y D. Và đẳng thức này có thể chứng minh dựa vào tính chất phương tích của điểm I với (O). Hãy chú ý đến hai bổ đề sau : ổ đề 1 : ho tam giác và một điểm M nằm trong tam giác ấy. Khi đó M+M < +. ổ đề : Nếu tam giác ngoại tiếp (I) thì : a I + b I + c I = 0 Từ hai bổ đề trên, hãy biến đổi HK để suy ra kết quả. ài.7. ất đẳng thức đầu bài tương đương với : S S MK S NK 8 Ta thấy rằng tỉ số diện tích tam giác và tam giác MK hoặc tam giác NK không thể ngay trực tiếp chuyển thành tỉ số các đoạn thẳng vì chúng không có chung đỉnh cũng không có chung cạnh đáy. Do đó, ta sẽ tìm tam giác khác có quan hệ "gần gũi" hơn với cả tam giác, NK. Tương tự, ta cũng sẽ chọn tam giác có quan hệ "gần gũi" hơn với tam giác và tam giác NK. Đây chính là mấu chốt của bài toán. Tam giác cần tìm là tam giác MN. Phần chứng minh cụ thể còn lại xin dành cho bạn đọc. ài.8. ó hai hướng để giải quyết :

31 31 Sử dụng tính chất của trọng tâm : Gọi S là điểm đối xứng của M qua trung điểm P của. Hãy chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác MS. Đây chính là chìa khóa của bài toán. Sử dụng định lý eva : Áp dụng trực tiếp định lý eva dạng sin cho tam giác với ài.9. chú ý M 1 1, M 1 1, M 1 là các hình bình hành để có các cặp cạnh và góc bằng nhau. Lấy điểm T trên cung không chứa điểm M của (O) sao cho 010 T = 011 T. Sau đó áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác T M. ài.30. Đây là một kết quả rất đẹp và có rất nhiều lời giải. Xin nêu ra hai hướng giải : Sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa. Qua kẻ đường thẳng song song cắt DE, DF tại M, N. Áp dụng định lý Thales và ài.31. eva để chứng minh là trung điểm MN. Sử dụng định lý eva bằng cách chứng minh lần lượt các đẳng thức : MH H = MD F D F K MK = E D E MD F F E E D D = 1 ài.3. Ta cần đến bổ đề quan trọng sau đây : (với các kí hiệu như giả thiết) + + D + D = + D + 4IJ Hãy dựng hình bình hành thích hợp nhằm tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau, kết hợp với một số biến đổi hợp lý để thu được kết quả. ài.33. Thông thường khi gặp tổng của các phân thức, một cách tự nhiên ta sẽ cố gắng đưa chúng về dạng có chung mẫu. Ta có thể làm được điều ấy trong bài toán này với chú ý : ài.34. M P = P /(O) = P /(O) = M Q Đường thẳng này luôn đi qua điểm O đối xứng với O qua cố định. ài.35. Ta có thể dễ dàng nhận ra quan hệ: G G 1 = G G 1 = G G 1 = δ

32 3 Ngoài ra, cần chú ý đẳng thức : δ = G + G + G 3 Khi đó, bất đẳng thức hình học trở thành bất đẳng thức đại số tầm thường. ài.36. Ta cần chứng minh P, Q, R, M đồng viên, điều này tương đương với DP DQ = DR DM Hãy chứng minh rằng R R = RD RM chất của phương tích, từ đó có thể dùng ( ) chứng minh ( ). ài.37. iến đổi từ đẳng thức : Đáp số : ài.38. cos α = cos ÂO R = cos ĈOD ( ) ( ). hú ý P, Q,, đồng viên để dùng tính sin ÂO a + b + ab cos α sin α sin ĈOD ách quen thuộc và ngắn gọn nhất là sử dụng phương tích : Hãy chứng minh rằng F, H, I đều nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính E và đường tròn đường kính D. ài.39. Gọi giao điểm cùa F Q với (I) không trùng với F là T. Giả sử T D ED = {M }. Sử dụng định lý Pascal để suy ra M M. Từ N kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (I) tại T. Hãy chứng minh T T để suy ra F Q là đường đối cực của N đối với (I). Từ đây ta có kết quả cần chứng minh. ài.40. hú ý đến bổ đề : Trong một tứ giác lồi, tổng độ dài hai đường chéo nhỏ hơn chu vi và lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối của tứ giác. ài.41. Gọi K là giao điểm tiếp tuyến tại, của (O). Lấy Q là giao điểm K,. Khi đó, có thể dùng cực-đối cực hoặc tỉ số kép để chứng tỏ EF luôn đi Q cố định. ài.4. Áp dụng định lý Ptolemy để chứng minh hai kết quả sau, từ đó suy ra ngay điều phải chứng minh : Đường tròn ngoại tiếp E tiếp xúc với. Đường tròn ngoại tiếp DE tiếp xúc với D. ài.43. Gọi M, N, P, X, Y, Z là trung điểm các đoạn,,, H, H, H và D, E, F là chân đường cao hạ từ,, của tam giác theo thứ tự. Ta xét 3 trường hợp sau đây: Trường hợp 1 : ó ít nhất trong 3 bộ (M, D); (N, E); (P, F ) trùng nhau.