Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Transcript

1 Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn često se koristi i oznaka a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta = a n1 a n2 a nn Determinanta matrice definira se induktivno, tj determinanta matrice n tog reda definira se pomoću determinante matrice (n 1) og reda Podimo redom Definicija 1 (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = a je broj a a11 a Definicija 2 (Determinanta drugog reda) Determinantom matrice A = 12 a 21 a 22 zovemo broj A = a 11 a 22 a 12 a 21 Primjer 1 Izračunajmo determinante sljedećih matrica Za A = 5 deta = Za B = detb = Definicija 3 (Determinanta trećeg reda) Determinanta matrice A = a je broj A = a 22 a a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 +a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 Definicija 4 (Determinanta n tog reda) Determinanta matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn je broj deta = a 11 deta 11 a 21 deta 21 ++( 1) n+1 a n1 deta n1 = 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) k+1 a k1 deta k1

2 Primjer 2 Izračunajmo sljedeću determinantu = = = 6 Determinantu možemo računati tako da ju razvijemo po bilo kojem redku ili stupcu, naime vrijedi sljedeći teorem Teorem (Laplaceov razvoj determinante) Za matricu A reda n imamo razvoje: po i tom stupcu: deta = po i tom retku: deta = Svojstva determinante ( 1) k+i a ki deta ki, ( 1) k+i a ik deta ik D1 Matrica A i transponirana matrica A T imaju jednake determinante, tj deta = deta T D2 Ako je A = (a ij ) trokutasta matrica n tog reda, onda je deta = a 11 a 22 a nn D3 Ako dva stupca determinante zamjene mjesta, determinanta mijenja predznak D4 Ako matrica A ima dva jednaka stupca, onda je deta = 0 D5 Ako iščezavaju svi elementi nekog stupca matrice A, onda je deta = 0 D6 Determinanta se množi skalarom tako da se samo jedan stupac pomnoži tim skalarom, tj zajednički faktor svih elemenata nekog stupca može se izlučiti ispred determinante D7 Determinanta ne mijenja vrijednost ako nekom stupcu determinante dodamo linearnu kombinaciju preostalih stupaca D8 Ako je neki stupac determinante linearna kombinacija preostalih stupaca te determinante, onda je determinanta jednaka nuli D9 Matrica A je regularna onda i samo onda ako je deta 0 2

3 Primjer 2 Izračunajmo sljedeće determinante matrica trećeg reda : deta = = = = 30 Naravno isto bismo dobili i direktnom primjenom Laplaceovog razvoja detb = = = 0 detc = = ( 2) = 2 ( 1)+1 (7) = 5 UočimoAiC suregularnejersuimdeterminanterazličite odnula, dokb nijeregularna Teorem (Binet-Cauchyjev teorem) Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, onda je Uočimo da za regularnu matricu A vrijedi det(ab) = detadet B I = AA 1, tada ako poznamo determinantu matrice A koristeći teorem Binet-Cauchy možemo izračunati deta 1, naime vrijedi: deta 1 = 1 deta Primjer 3 Ako su deta i detc determinante matrica trećeg reda koje smo izračunali u prošlom primjeru, onda det(ac) = detadetc = 30 5 = 150 Takoder možemo izračunati i determinante inverza, npr deta 1 = 1 30 Cramerovo pravilo Najprije ćemo uvesti ovaj pojam promatrajući sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 (1) a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Sustav zapisan matrično glasi gdje je A = a11 a 12 a 21 a 22 Ax = b, 3 b = b1 b 2

4 Kako bismo uveli Cramerovo pravilo sustav ćemo riješiti metodom suprotnih koeficijenata Množeći prvu jednadžbu susatava (1) brojem a 22, a drugu brojem ( a 12 ), nakon zbrajanja tako pomnoženih jednadžbi dobivamo (a 11 a 22 a 21 a 12 )x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12 (2) Ako sada prizvoljnoj matrici A pridružimo det A imamo a b a b A = det A = c d c d = ad bc, (3) onda (2) možemo zapisati a 11 a 12 a 21 a 22 x b 1 a 12 1 = b 2 a 22, odnosno Dx 1 = D 1, (4) a 11 a 12 gdje je broj D = determinanta sustava Slično ćemo dobiti da je a 21 a 22 Dx 2 = D 2 a 11 b 1 gdje je D 2 = a 21 b 2 (5) Iz (4) i (5) možemo zaključiti: ako je D 0, sustav (1) ima jedinstveno rješenje x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D ; (6) ako je D = 0 i D 1 = D 2 = 0, sustav je rješiv i ima beskonačno mnogo rješenja; ako je D = 0, a pri tome barem jedan od brojeva D 1,D 2 različit od nule, sustav nema rješenja; Prethodno navedene tvrdnje u literaturi su poznate kao Cramerovo pravilo Primjedba 1 Geometrijski bismo mogli dobivena tri slučaja promatrati na sljedeći način: jedinstveno rješenje nema rješenja beskonačno mnogo rješenja 4

5 Primjer 4 Primjenom Cramerovog pravila diskutirat ćemo sljedeći sustav jednadžbi u ovisnosti o parametru λ R λx 1 +4x 2 = 1 Dobivamo 4x 1 +λx 2 = 1 D = λ 2 16, D 1 = λ 4, D 2 = λ 4 PremaCramerovom pravilu sustav ima jedinstvenorješenje x 1 = x 2 = 1 λ+4 za λ R\{ 4,4}, zaλ = 4sustavimabeskonačnomnogorješenjakojaleže napravcu4x 1 +4x 2 = 1, azaλ = 4 sustav nema rješenja Cramerovo pravilo vrijedi i općenito za sustav n jednadžbi s n nepoznanica Neka je zadan sustav od n jednadžbi s n nepoznanica: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (2) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Zapišimo ga u vektorskom obliku: x 1 a 1 +x 2 a 2 ++x n a n = b, gdje su a 1,,a n stupci matrice sustava A, a b vektor slobodnih koeficijenata Neka je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n D = deta = a n1 a n2 a nn determinanta matrice sustava (2) Nadalje, neka je D i (i = 1,,n) determinanta koja se dobiva iz determinante D zamjenom i tog stupca stupcem slobodnih koeficijenata, odnosno u determinanti D zamjenimo a i sa b 1 Sustav (2) ima jedinstveno rješenje ako i samo ako je D 0 U tom je slučaju rješenje dano s x i = D i D, i = 1,,n 2 Ako je D = 0, da bi sustav (2) bio rješiv, mora vrijediti U suprotnom, sustav (2) nema rješenje D 1 = D 2 = = D n = 0 5