ELEKTRODÜNAAMIKA...2

Transcript

1 ELEKTRODÜNAAMIKA ELEKTRIVÄLJA PARAMEETRID: MAGNETVÄLJA PARAMEETRID: ÜLDISTATUD OHMI SEADUS KESKKONDADE TÜÜBID: SKALAARSED JA VEKTORVÄLJAD ELEKTROMAGNETILISE VÄLJA VÕRRANDID INTEGRAALSEL KUJUL...3. MAXWELLI VÕRRANDID DIFERENTSIAALKUJUL PIDEVUSE VÕRRAND MAXWELLI VÕRRANDID KOMPLEKSKUJUL ELEKTRIVÄLJA VEKTORITE PIIRITINGIMUSED MAGNETVÄLJA VEKTORITE PIIRITINGIMUSED PIIRITINGIMUSED IDEAALSE ELEKTRIJUHI PINNAL POYNTINGI TEOREEM KÕRVALISED VOOLUD MAXWELLI VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDI AINSUSE TEOREEM LAINEVÕRRAND ELEKTRODÜNAAMILISED POTENTSIAALID STAATILISED VÄLJAD STATSIONAARSED VÄLJAD LAINEVÕRRANDI LAHENDAMINE ANTUD VOOLUDE JA LAENGUTE PÕHJAL ELEMENTAARNE ELEKTRILINE VIBRAATOR ELEMENTAARNE MAGNETILINE VIBRAATOR...8

2 Elektrodünaamika Elektrodünaamika oa teoreetiliet füüikat, mi käitleb elektromagnetilie välja teooriat ja käitleb uhtelielt kiiretoimelii dünaamilii protee elektromagnetilie välja. 1.1 Elektrivälja parameetrid: Elektrivälja tugevu jõud, mi mõjutab üht laenguühikut elektrivälja. Kinniet pinnat väljuv elektrivälja voog on võrdeline piiratud laenguga. Elektriline induktioon elle voog läbi kinnie pinna võrdub elle pinna poolt ümbritetud laenguga. Ülditatud Gaui teoreem: Dd = q 1. Magnetvälja parameetrid: Magnetiline induktioon ja magnetvälja tugevu loodue vabu laenguid ei ole. Magnetväli ei mõjuta liikumatut elektrilaengut. Liikuvale laengule magnetvälja mõjub Lorenzi jõud: F=qvB, ku B on magnetilie induktiooni vektor. See määrab jõu, mi mõjutab üht liikuvat laenguühikut magnetvälja. Magnetilie induktiooni vektor vaakumi on võrdeline magnetvälja tugevue H. Koguvoolu eadu analoogilielt elektrilie induktioonvektori voole läbi pinna võib välja arvutada ka magnetilie induktioonivektori voo läbi pinna. See võrdub aga nulliga. Magnetvälja tirkulatioon mööda kinnit kontuuri on võrdne voolude ummaga, mi läbivad elle kontuuri poolt ümbritetud pinda. 1.3 Ülditatud Ohmi eadu diferentiaalel kujul j σ E igma kekkonna erijuhtivu. (Integraalel kujul U=IR.) Elektromagnetilie välja parameetrid: V A Väljatugevued E ; H m m c Wb Induktioonivektorid D ; B m m Väljatugevued ja induktioonivektorid on eotud vaakumi elektrilie kontandi epilon-null ja magnetilie kontandi müünull abil. Väljaallikate parameetrid: A Voolu ruumtihedu j m A Voolu pindtihedu j m =, ku j on voolu ruumtihedu ja Elektrilaeng q[] c c Laengu ruumtihedu ρ 3 m c Laengu pindtihendu ρ m Kekkondade parameetrid: Aboluutne või uhteline dielektriline F läbitavu ε ; ε m Aboluutne või uhteline magnetiline H läbitavu µ ; µ m Ivari Horm, ranger@deepdut.com

3 1.4 Kekkondade tüübid: Iotroopne kekkond väljatugevue ja induktioonivektorid teineteiega paralleeled Aniotroopne kekkond kekkonna magnetilied või elektrilied omadued õltuvad väljavektori orientatioonit kekkonna uhte -> kekkond ie omab jutkui orientatiooni. Lineaarne kekkonna parameetrid ei õltu väljavektorite amplituudit. Ebalineaarne parameetrid õltuvad väljavektorite uuruet. Homogeenne kekkonna parameetrid ei õltu koordinaatidet. Mittehomogeenne kekkonna omadued ruumi erinevate oade erinevad. 1.5 Skalaared ja vektorväljad Skalaarne väli on ruumi oa, mille iga punkti ieloomutab teatud kalaare uurue ϕ väärtu. Ekiteerivad nn. ekvipotentiaaled pinnad, ku ee uuru on kontant. Gradient on kalaare välja ruumiline tuleti. Vektorväli on ruumi oa, mille iga punkti ieloomutab teatud vektor, elle uuru ja uund. (Elektri- magnetväli, gravitatiooniväli jne.) Jooned, millele väljavektorid iga punkti on puutujak, on välja jõujooned. Vektori hoovu Ψ on eotud vektori normaalkomponendiga pinnale. Vektori tirkulatioon piki kontuuri L on eotud vektori puutujakomponendiga kontuurile L. Välja divergent ehk hajumine välja antud punkti on piir, mille aavutab vektori voog läbi kinnie pinna S ama pinnaga piiratud ruumi V kui V 0. See on vektorvälja kalaarne ruumiline tuleti. Gaui valem div adv = ad. Vektori voog läbi kinnie pinna võrdub elle vektori divergenti ruumintegraaliga üle elle pinna poolt piiratud ruumi. Vektorvälja rootor on piir, mille aavutab vektori tirkulatioon mööda uunaga n perpendikulaaret pinda S ümbritevat kontuuri L, kui S 0. See on vektorvälja vektoriaalne ruumiline tuleti. Kui vektorvälja rootor võrdub nulliga, on väli keeritevaba. Kui vektor on mingi kalaare funktiooni gradient, on väli potentiaalne. Potentiaalne väli on keeritevaba. Rootorvälja allikad puuduvad. Kui mingi vektori divergent võrdub nulliga, võib eda vektorit kujutada mingi vektorvälja rootorina..1 Elektromagnetilie välja võrrandid integraalel kujul Maxwelli võrrandid: Eimene võrrand on koguvoolu eadue ülditu. Magnetvälja tirkulatioon mööda kinnit kontuuri võrdub elektrilie induktiooni voo muutuega läbi elle kontuuriga piiratud pinna ja juhtivuvooluga läbi elle pinna. Teine võõrand on elektromagnetilie induktiooni eadue (Faraday eadue) ülditu. Elektrivälja tirkulatioon mööda pinna kinnit kontuuri võrdub magnetilie induktiooni voo muutuega läbi elle kontuuriga ümbritetud pinna. Kolma võrrand on ülditatud Gaui teoreem. Nelja Maxwelli võrrand kinnitab, et loodue vabu magnetilii laenguid ei ole ja et magnetvälja jõujooned on kinnied. Eimene võrrand näitab, et elektrilie induktiooni voo muututele ja juhtivuvoolule kaaneb magnetvälja tirkulatioon. Teine võrrand näitab, et magnetilie induktiooni voo muutuele kaaneb elektrivälja tirkulatioon. Kolma võrrand näitab, et elektrilaeng tekitab elektrilie induktiooni voo. Nelja võrrand näitab, et magnetvälja jõujooned on kinnied Ivari Horm, ranger@deepdut.com 3

4 . Maxwelli võrrandid diferentiaalkujul 1. ja. võrrand eovad omavahel elektrilii ja magnetilii nähtui. Magnetvälja keeri on eotud aja muutuva elektrilie induktiooniga ja juhtivuvooluga. Elektrivälja keeri tekitatake muutuva magnetilie induktiooni poolt. 3. ja 4. võrrand eovad välju nende allikatega. Elektrivälja allikak on laengutihedu. Magnetväli on allikatevaba, olenoidaalne väli..3 Pidevue võrrand Juhtivuvoolu tihedue välja allikak on muutuv laengutihedu. Pidevue võrrandit tuleneb laengu jäävue eadu. Voolujooned on pidevad..4 Maxwelli võrrandid komplekkujul Monokromaatilite proteide puhul muutuvad kõik väljade parameetrid kui harmoonilied funktioonid ajat. Suurut, mi ei ialda enam teadaolevat ajalit õltuvut, kull aga amplituudi ja faai, σ nimetatake komplekek amplituudik. Kaonurga tangen, mi väljendatake uhtega, ωε määrab juhtivuvoolude ja nihkevoolude uhte. Kaod on eotud ainult juhtivuvooludega. Nii kaod, kui ka kekkonna ieloom ei õltu ainult kekkonna parameetritet vaid ka ageduet. Kuna nihkevoolud on juhtivuvooludega võrrelde väikeed, on tegemit kvaaitationaarete proteidega. On võimalik tõetada, et 3. võrrand on järeldu 1. võrrandit. Samuti ka eda, et 4. võrrand on järeldu 1. võrrandit. See on eletatav ellega, et eeldade perioodilit õltuvut ajat, me kitendaime vaadeldavate nähtute diapaooni. 3.1 Elektrivälja vektorite piiritingimued Elektrilie induktiooni vektori normaalkomponendi muutu kahe kekkonna piiril võrdub pindlaengu tiheduega eraldupinnal. D = ρ D1 n n Elektrilie induktiooni vektori normaalkomponent kahe kekkonna piiril ei muutu. D1 n = D n Elektrivälja tugevue normaalkomponent kahe kekkonna piiril muutub pöördvõrdelielt nende kekkondade dielektriliele läbitavuele. Elektrivälja puutujakomponent kahe kekkonna piiril ei muutu. τ τ Elektrilie induktiooni vektori puutujakomponent kahe kekkonna piiril muutub võrdelielt kekkondade dielektriliele läbitavuele. D D 1τ = τ E E ε1 ε 1n n ε = ε 1 E = 1 E 3. Magnetvälja vektorite piiritingimued Magnetilie induktiooni vektori normaalkomponent kahe kekkonna piiril ei muutu. B1 n = Bn Magnetvälja tugevue vektori normaalkomponent kahe kekkonna piiril muutub H1 n µ pöördvõrdelielt nende kekkondade magnetiliele läbitavuele. = H µ n 1 1τ H Magnetvälja puutujakomponent kahe kekkonna piiril ei muutu. H = τ Ivari Horm, ranger@deepdut.com 4

5 Magnetilie induktiooni vektori puutujakomponent kahe kekkonna piiril muutub B1 τ µ 1 võrdelielt nende kekkondade magnetiliele läbitavuele. = B Magnetvälja puutujakomponendi muutu kahe kekkonna piiril võrdub temaga ritiuunalie pindvoolu tiheduega. H H = j 1 τ τ Seega on induktioonvektorite normaalkomponendid pidevad, väljatugevue normaalkomponendid muutuvad aga pöörvõrdelielt läbitavuele; väljatugevue puutujakomponendid on pidevad, välja induktioonivektorite puutujakomponendid muutuvad aga võrdelielt läbitavuega. n τ µ 3.4 Piiritingimued ideaale elektrijuhi pinnal Ideaalne juht omab lõpmata uurt juhtivut. Ideaale juhi ei aa ekiteerida vahelduvad elektromagnetilied väljad. Samuti ei aa juhi ee olla ka elektrotaatiline väli, võib ekiteerida ainult alalivoolu väli. Kõik välja komponendid muutuvad el juhul teie kekkonna nullik. Ideaale juhi pinnal elektriväli on riti pinnaga ja magnetväli on pinnaga paralleelne. Magnetvälja puutujakomponent võrdub temale ritiuunalie pindvoolu tiheduega. 4.1 Poyntingi teoreem Fikeerib põhilied energeetilied eoed elektromagnetilie välja ja väljendab energia jäävue eadut elektromagnetilie välja jaok. Poyntingi vektor [ EH ] P = näitab energiavoo tihedut ajaühiku ja ieloomutab energia levimit ruumi. Ta eob energiavoo tihedue väljavektoriga E ja H ning võimaldab määrata energiavoo iga ruumi punkti. Võrrand energia jäävuet elektromagnetilite nähtute jaok: [ ] D B EH d + E + H dv + j dv = je kdv v σ Energiabilani võrrand ruumi jaok W P d + + ( P ) = ( P k ), ehk (energiavoog läbi pinna ajaühiku, energiavahetu vaadeldava t üteemi uhte välie ruumiga) + (elektromagnetilie välja ja energia muutu) + (kao võimu) = (kõrvalite jõudude võimu). Kõrvalite jõudude võimu on väljaallika, mi tekitab üteemit väljuva energiavoo. Poyntingi teoreemi kompleke kuju imaginaaroa on eotud elektromagnetilie välja energia, muutue ja väljaallika reaktiivvõimuega. Reaktiivne võimu on võnkumite võimu, mille kekväärtu on null. Seega ei ole imaginaaroa eotud energia levimiega ruumi. 4.4 Kõrvalied voolud Kõrvaline vool on vool, mi on vaadeldava elektromagnetilie välja allikak; elle voolu truktuur ja uuru on teada ja muutumatu (vaadeldava üleande piiride). Elektrodünaamika kautatav kõrvalie voolu mõite erineb mõnevõrra elektromotoorjõu kui mitteelektrilie päritoluga faktori mõitet. Kõrvalit voolu ei eotata vahetult elektrivälja Ivari Horm, ranger@deepdut.com 5

6 mitteelektrilie tekitajaga. Voolu muutumatut uuruet järeldub, et kõrvaline energiaallika peab peitma voolu, kuna elle uuru energia väljakiirgamie protei ei muutu. 4.5 Maxwelli võrrandiüteemi lahendi ainue teoreem Ainue teoreem annab vatue küimuele, millied tingimued on vajalikud ka piiavad ellek, et aada elektrodünaamilie üleande ainuväärne lahend tulemu, mi olek kookõla ekperimendiga. Teoreem formuleeritake ja tõetatake kahel juhul: Siee üleande puhul Maxwelli võrrandiüteem omab üheaina võimaliku lahendi pinnaga S ümbritetud ruumi V iga punkti igal ajamomendil t, kui algmomendil t > t 0 0 on antud vektorite E ja H väärtued iga ruumi V punkti ja kui igal järgneval ajamomendil t > t 0 on teada ühe vektori (ka E või H) projektooni väärtu pinnale S. Välie üleande puhul vaadeldake elektromagnetilit välja lõputu ruumi V,.t. pind S aub lõpmatult kaugel, r. Kuna elektromagnetiline väli levib lõpliku kiiruega c, ii lõpmatue auva pinnani jõuab väli lõpmatult pika aja pärat. Igal lõplikul ajamomendil t > ei ole väli veel pinnani S jõudnud ja järelikult on ka energia voog läbi elle pinna null. t Lainevõrrand Maxwelli 1. ja. võrrand kirjeldavad eoeid aja muutuvate elektri- ja magnetväljade vahel. Elektrilie induktiooni muutu tekitab magnetvälja, vahelduv magnetväli aga omakorda elektrivälja jne. Vahelduvad elektri- ja magnetväli ergutavad teineteit, mi ongi aluek elektromagnetilie energia levimiele ruumi. Maxwelli 1. ja. võrrand ialdavad aga nii elektri- kui ka magnetvälja vektoreid, kujuure neid ei aa eraldada. Arv k = ω εµ on lainearv, mi aina parameetrina lainevõrrandi on määrava tähtuega uuru, tema ieloom määrab elektromagnetilie laine omadued. Võrrandeid nimetatake lainevõrranditek, et ka üldjuhul on lainevõrrandi lahendik elektromagnetiline laine. 5. Elektrodünaamilied potentiaalid Elektrodünaamilied potentiaalid on mõited, mida kautatake elektromagnetilite väljade idumiek väljaallikatega, kuna väljavektorite lainevõrranditet tulenevad eoed ei oma praktiliek kautamiek mugavat kuju. Väljapotentiaalide lainevõrrandid on mittehomogeened d Alambert i võrrandid. Elektromagnetilii välju kirjeldavad üldjuhul Maxwelli võrrandid: rot H E + j rote H div D = ρ div B = 0 Materiaaled võrrandid D = ε E = ε B = µ H j = σ E = µ Väljapotentiaalide lainevõrrandid A A εµ = µ j Ivari Horm, ranger@deepdut.com 6

7 ϕ ϕ εµ = ρ ε Erijuhtudel, kui võrrandite domineerivad teatud liikmed ja oa liikmeid on tähtuetud (muutuvad nullik) on tegemit elektromagnetilite väljade eriliigiga: Staatilied väljad liikumatute laengute väljad, nei väljade vool puudub. Selliel juhul ρ = cont. ; I = 0 ; 0. Stationaared väljad alalivooluväljad. Selliel juhul ρ = cont. ; j = cont.; 0. Kvaaitationaared väljad uhtelielt madalaageduliku voolu väljad. Säärael juhul on ajalii tuletii ialdavad liikmed väga väikeed ja väljade omadued praktilielt ei erine tationaarete väljade omadet. Säärael juhul ei ole elektri- ja magnetväli omavahel eotud ja Maxwelli võrrandiüteem jaguneb elektri- ja magnetvälja võrranditek. 6.1 Staatilied väljad Piiritingimued elektrotaatilie välja vatavad ülditele piiritingimutele. Juhtiva kekkonna ee muutub elektrotaatiline väli nullik, et muidu tekik kekkonna vool ja väli ei olek enam tationaarne. Välja puudumit juhtiva kekkonna ee võib eletada ellega, et eal vabalt liikuvad ühenimelied laengud tukuvad ja aetuvad juhi pinnal nii, et nende väljad juhi ee kompeneeruvad. Järelikult tekib pindlaeng, juhi pind on eega ekvipotentiaalpind, ku ϕ = cont.. Iga ioleeritud juhtivat keha võib el juhul kirjeldada mahtuvuega, mi näitab laengu hulka, mi kulub keha potentiaali tõtmiek ühe ühiku võrra. Elektrotaatilie välja allika võib olla ainult elektrilaeng. Magnetotaatika korral arnanevad valemid täielikult elektrotaatika valemitele. Neid valemeid kautatake piiratud ringi üleannete lahendamiel, kui tegemit on eotud magnetilite laengutega (magnetiline dipool, magnetilied ekraanid jne.). 6. Stationaared väljad Stationaare välja võib tekitada vaid alalivool. Alalivoolu võib tekitada vaid kõrvaline elektromotoorjõud. Elektrotaatilie ja alalivoolu väljade piiritingimued elektrijuhi ja dielektriku piiril praktilielt ei erine. Alalivoolu voolujooned ei oma allikaid ja on eega kinnied. Kuna alalivoolu väli ei oma allikaid, ei aa ka elektrilaeng olla alalivoolu tekitajak. Formaalne elektrotaatiline analoogia kautatake elektrotaatilite ja alalivoolu elektriväljade arnaut tationaarete elektriväljade uurimiel. 7.1 Lainevõrrandi lahendamine antud voolude ja laengute põhjal Lainevõrrandi lahend kirjeldab üldjuhul (kui arvetada elektrodünaamilii, kiireti muutuvaid protee) elektromagnetilie kiirgue eot väljaallikatega voolude ja laengutega. Väljaallikatek on elliel juhul kõrvalied voolud ja kõrvalied laengud, mille truktuur ja uuru on antud ja on jääv Ivari Horm, ranger@deepdut.com 7

8 Kui välja allikatek olekid mittetaatilied laengud ja voolud, ii nende poolt tekitatud väljade truktuur arnanek küll taatiliele juhule, küll aga hakkakid ajat õltuvalt muutuma väljapotentiaalide väärtued, järgide väljaallika väärtue muutumit. Elektromagnetilie välja väärtued levivad ruumi kiiruega v. Elektromagnetilie välja lainelied omadued tulenevad valgukiirue lõplikut väärtuet. Elektromagnetilie välja lainelied omadued domineerivad uhtelielt kõrgetel agedutel ja on oteelt tingitud potentiaalide hilinemiet. Hilinevad potentiaalid on lainevõrrandi lahendik olevad väljapotentiaalid üldjuhul. 7. Elementaarne elektriline vibraator Herzi dipool lihtaima ehituega elektriline antenn, mi on lühike irge juhtmelõik, mida mööda voolab kõrvaline vool, kujuure voolutihedue jaotu piki lõiku on ühtlane. Selline juhtmelõik on arnane üteemiga kahet punktlaengut, mi aetevad teineteiet ama kaugel, kui pikk on juhtmelõik. Elementaare elektrilie vibraatori magnetväli omab ainult ühte komponenti, mi on uunatud mööda aimuuti. Elektriväli vibraatoril omab üldjuhul kahte komponenti. Energiavoo lähitooni, ku r << λ võrdub nulliga. Seega puudub aktiive energia levik ruumi. Lähitooni puudu praktilielt ka potentiaalide hilinemine. Seega ei ilmne iin ka elektromagnetilie välja lainelied omadued; tulemuek on kvaaitationaarne väli. Induktioon- e. lähitooni on tegemit kvaaitationaare väljaga, mille truktuur vatab taatilite ja tationaarete väljade truktuurile. Kaugtooni on Poyntingi vektor reaalne uuru, eega ekiteerib iin aktiive energia voog, mi on uunatud vibraatorit eemale. Tegemit on elektromagnetilie kiirguega. Välja ieloom kaugtooni e. kiirgutooni määrab ka elementaare elektrilie vibraatori kui kiirguallika omadued. 7.3 Elementaarne magnetiline vibraator Elementaarne magnetiline vibraator on elementaarne raamantenn juhtmekeerd teatava raadiuega, mida ergutatake kindla vooluga. Voolutihedue jaotu piki raamantenni on ühtlane. Horiontaale elementaare raamantenni magnetväli omab ama truktuuri, kui vertikaale elektrilie vibraatori elektriväli ja elementaare raamantenni elektriväli omab ama truktuuri kui elektrilie vibraatori magnetväli. Ka magnetiline vibraator omab lähi- ja kaugtooni. Kuna kahe vibraatori omadued on täielikult arnaed, pole vaja magnetilite antennide kirjeldamiel lahendada elektrodünaamilit üleannet, vaid võib rakendada elektrilite antennide arvutuel aadud tulemui, kautade nn. duaalue printiipi Ivari Horm, ranger@deepdut.com 8