KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010"

Transcript

1 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1

2 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me käsitleda kõigi hulkade, kõigi rühmade, kõigi topoloogiliste ruumide ja teiste matemaatiliste objektide kogumeid. Et sellest probleemist üle saada, vaatleme lisaks hulkadel veel kogumeid, mida kutsume klassideks. Iga hulk on klass, kuid mitte vastupidi. Hulgad on klassid, mis kuuluvad mõnda klassi. Klasse, mis ei ole hulgad, nimetatakse pärisklassideks. Iga omaduse P jaoks on olemas kõigi selliste hulkade klass, millel on omadus P. Muuhulgas on olemas kõigi hulkade klass, kõigi rühmade klass jne. ntud klasside jaoks saab moodustada nende ühisosa, ühendi ja otsekorrutise, samuti võib vaadelda kujutusi klasside vahel, ekvivalentsiseoseid klassidel jne Kategooria deinitsioon Deinitsioon 1.1. Kategooria C koosneb järgmistest asjadest: 1. klass C 0, mille elemente kutsume selle kategooria objektideks; 2. iga objektipaari (, B) jaoks on olemas hulk C(, B), mille elemente nimetame morismideks objektist objekti B; 3. iga objektikolmiku (, B, C) jaoks on olemas kujutus (komponeerimine ehk korrutamine) C(, B) C(B, C) C(, C); paari (, g) kujutist (morismide ja g kompositsiooni ehk korrutist) tähistame g või lühidalt g; 4. iga objekti jaoks on olemas morism 1 C(, ), mida kutsutakse objekti ühikmorismiks. Need andmed peavad rahuldama järgmisi aksioome. 1. Kui (, B) (, B ), siis C(, B) C(, B ) =. 2. ssotsiatiivsuse aksioom: mistahes morismide C(, B), g C(B, C), h C(C, D) korral kehtib võrdus h(g) = (hg). 3. Ühiku aksioom: mistahes morismide C(, B), g C(B, C) korral kehtivad võrdused 1 B = ja g1 B = g. Morismi C(, B) jaoks kasutatakse tihti tähistusi : B ja B; üheselt määratud objekti kutsutakse morismi lähteobjektis ehk doomeniks (tähistus: dom ) ning objekti B kutsutakse sihtobjektiks ehk kodoomeniks (tähistus: cod ). Morismi : nimetatakse objekti endomorismiks ja hulka End() = C(, ) nimetatakse objekti endomorismide hulgaks. On selge, et (End(), ) on monoid. Kategooria C objektide klassi tähistatakse ka Ob(C) või C, morismide klassi aga Mor(C) või C 1. Morismide hulka objektist objekti B tähistatakse veel ka sümboliga Mor(, B) või hom(, B). Märkused Osutub, et 1 on objekti ainus ühikmorism, sest kui i C(, ) on veel mingi morism, mis rahuldab ühiku aksioomi, siis 1 = 1 i = i. 2. Samamoodi nagu poolrühmade korral järeldub assotsiatiivsuse aksioomist, et lõpliku arvu morismide komponeerimisel võib sulge paigutada mistahes (mõttekal) viisil ja seega võib nad üldse ära jätta. Deinitsioon 1.3. Kategooria on väike kui tema objektide klass on hulk, vastasel korral kutsutakse kategooriat suureks. Näide 1.4. Paljud matemaatilised struktuurid ja nende vahel vaadeldavad kujutused või homomorismid moodustavad kategooria. Järgnevas tabelis on toodud mõned selliste kategooriate näited. 2

3 Tähis objektid morismid Set hulgad kujutused Rel hulgad binaarsed seosed hulkade vahel Mon monoidid monoidide homomorismid Gr rühmad rühmade homomorismid b beli rühmad rühmade homomorismid Rng ühikelemendiga assotsiatiivsed ringid ringide homomorismid Vec R vektorruumid üle reaalarvude lineaarkujutused Mod R parempoolsed moodulid üle ringi R moodulite homomorismid Ban Banachi ruumid üle reaalarvude tõkestatud lineaarkujutused Ban 1 Banachi ruumid üle reaalarvude ahendavad lineaarkujutused Top topoloogilised ruumid pidevad kujutused Pos järjestatud hulgad järjestust säilitavad kujutused Lat võred võrede homomorismid Graph graaid graaide homomorismid Sgraph graaid tugevad graaide homomorismid 0 ei ole ei ole 1 1 2, B B, 1, 1 B Enamusel juhtudel on morismide komponeerimiseks tavaline kujutuste komponeerimine (järjestrakendamine) ja ühikmorismid on samasusteisendused. Kategoorias Rel on seoste kompositsiooniks nende korrutis ja ühikmorism on võrdusseos. Kategooriat 0 nimetatakse tühjaks kategooriaks. Näide Võib vaadelda kategooriat, kus objektid on naturaalarvud, morismid m-st n-i on kõik maatriksid (üle ikseeritud korpuse), millel on m rida ja n veergu, morismide komponeerimine on harilik maatriksite korrutamine ja ühikmorismideks on vastavat järku ühikmaatriksid. 2. Järjestatud hulka (selle kursuse jooksul kutsume osaliselt järjestatud hulki lühidalt järjestatud hulkadeks) (P, ) võib vaadelda kategooriana P, mille objektide hulk on P. Kui x, y P, siis P(x, y) koosneb täpselt ühest morismist, kui x y, ning on tühi vastasel juhul. (Kategooria saamiseks piisab tegelikult sellest, et on eeljärjestus, s.t. releksiivne ja transitiivne seos hulgal P.) 3. Iga hulka võib vaadelda kui diskreetset kategooriat, s.t. kui kategooriat, mille objektid on selle hulga elemendid ja ainsad morismid on ühikmorismid. 4. Iga monoid (M, ) tekitab kategooria M, milles on üks objekt, M 0 = { }, ja M(, ) = M; morismide komponeerimine on monoidi M korrutamine. Ka vastupidi: iga üheobjektilise kategooria kõigi morismide hulk on monoid Funktsionaalsed programmeerimiskeeled kui kategooriad Lisaks matemaatikale leiavad kategooriad rakendamist veel näiteks unktsionaalsete programmeerimiskeelte teoorias. Puhtal unktsionaalsel programmeerimiskeelel on olemas: primitiivsed andmetüübid, iga tüübi konstandid, operatsioonid, mis on kujutused andmetüüpide vahel, konstruktorid, mida kasutades saab olemasolevatest andmetüüpidest ja operatsioonidest tuletada uusi vaadeldava keele andmetüüpe ja operatsioone. Selline keel ise on kõigi operatsioonide ja tüüpide hulk, mida saab konstruktorite abil tuletada primitiivsetest tüüpidest ja operatsioonidest. Selleks, et unktsionaalset programmeerimiskeelt L saaks vaadelda kategooriana C(L), tuleb teha kaks eeldust ja üks väike muudatus. 3

4 Eeldame, et iga tüübi (nii primitiivse kui tuletatud) jaoks leidub mitte millegi tegemise operatsioon 1. Selle rakendamisel ei tehta sisendandmetega mitte midagi, need väljastatakse muutmata kujul. Lisame keelele ühe tüübi, mida tähistame sümboliga 1, millel on omadus, et igast tüübist leidub üheselt määratud operatsioon tüüpi 1. Iga konstanti c tüübist tõlgendame kui morismi c : 1. Eeldame, et keelel on olemas komponeerimiskonstruktor: kui on operatsioon, mille sisendid on tüüpi ja väljundid on tüüpi B, ning kui g on operatsioon sisenditega tüübist B ja väljunditega tüübist C, siis nende järjestrakendamine on tuletatud operatsioon ehk programm (tihti tähistatakse seda ; g), mille sisendtüüp on ja väljundtüüp C. Nendel eeldustel tekitab unktsionaalne programmeerimiskeel L kategooria C(L), kus 1. objektid on keele L tüübid, 2. morismid on keele L operatsioonid (nii primitiivsed kui tuletatud), 3. morismi lähte- ja sihtobjekt on vastava operatsiooni sisend- ja väljundtüüp, 4. morismide komponeerimine on antud komponeerimiskonstruktori abil, kusjuures komponeeritavate järjekord vahetatakse ära, s.t. g = ; g, 5. ühikmorismid on mitte millegi tegemise operatsioonid. Näide 1.6. Vaatleme programmeerimiskeelt, milles on kolm andmetüüpi: nat (naturaalarvud ja 0), boolean (tõene või väär) ja char (sümbolid). nname operatsioonide kirjelduse kategoorses stiilis. Tüübis nat on konstant 0 : 1 nat ja operatsioon succ : nat nat. Leiduvad konstandid true, alse : 1 boolean ja operatsioon : boolean boolean, mis peavad rahuldama võrdusi true = alse ja alse = true. Tüübis char on üks konstant c : 1 char iga sümboli c jaoks. On kaks tüübiteisendusoperatsiooni ord : char nat ja chr : nat char. Need rahuldavad võrdust chr ord = 1 char. (Et chr oleks deineeritud kõigil naturaalarvudel, võib lugeda, et ta tegutseb mooduli n järgi, kus n on sümbolite arv.) Näiteprogrammiks on morism next, mis on deineeritud kui kompositsioon chr succ ord : char char ja mis leiab antud sümbolile koodi järgi järgneva sümboli. Märgime, et kaks morismi (programmi) samastatakse kategoorias C(L), kui nad peavad deineerivate võrduste tõttu samad olema. Näiteks morismid chr succ ord ja chr succ ord chr ord on samad. Paneme veel tähele, et tüübis nat on olemas konstandid succ... succ 0 : 1 nat, kus succ esineb null või rohkem korda Mõned konstruktsioonid Olemasolevatest kategooriatest saab teatud konstruktsioonide abil luua uusi. Deinitsioon 1.7. Kategooria alamkategooria koosneb 1. kategooria objektide klassi 0 alamklassist B 0 ; 2. iga objektipaari (B, B ) B 2 0 jaoks leiduvast hulgast B(B, B ) (B, B ), nii et (a) kui B(B, B ) ja g B(B, B ), siis g B(B, B ), (b) 1 B B(B, B) iga B B 0 korral. Deinitsioon 1.8. Kategooria alamkategooriat B nimetatakse täielikuks alamkategooriaks, kui B, B B 0 = B(B, B ) = (B, B ), s.t. B sisaldab koos iga kahe objektiga kõik nende objektide vahel kategoorias leiduvad morismid. 4

5 Näide 1.9. Kategooria b on kategooria Gr täielik alamkategooria, Gr on Mon täielik alamkategooria, Mon on poolrühmade kategooria Sgr alamkategooria, mis ei ole täielik. Kategooria Ban on Vec R alamkategooria, kuid mitte täielik alamkategooria. Deinitsioon Kategooriate ja B korrutis on kategooria B, mis on deineeritud järgmiselt. 1. ( B) 0 = 0 B ( B)((, B), (, B )) = {(a, b) a (, ), b B(B, B )}. 3. Kategooria B morismide komponeerimine on indutseeritud ja B komponeerimiste poolt, nimelt (a, b )(a, b) = (a a, b b). Deinitsioon Kui 0 on kategooria ikseeritud objekt, siis leidub -aluste objektide kategooria ( ), mis on deineeritud järgmiselt. 1. Objektid on paarid (B, ), kus : B. 2. Morism h : (B, ) (B, ) on morism h : B B, mille korral h =. 3. Komponeerimine kategoorias ( ) on indutseeritud komponeerimise poolt. B B naloogiliselt võib konstrueerida -üleste objektide kategooria ( ). h Näide Kui (P, ) on järjestatud hulk, mida vaadeldakse kategooriana P (vt. näidet 1.5) ja a P, siis (a P) on kõigi elementide hulk, mis on a-st suuremad või a-ga võrdsed, s.t. elemendi a poolt tekitatud pääilter. Ülesanded Vali mingid objektid ja morismid nende vahel nii, et nad moodustavad kategooria. Põhjenda, miks nad moodustavad kategooria. Edaspidises kutsume seda kategooriat sinu lemmikkategooriaks. 2. Too mõni näide täielikust ja mittetäielikust alamkategooriast oma lemmikkategoorias. B 5

6 2. Morismide ja objektide liigid 2.1. Morismide liigid Deinitsioon 2.1. Morismi : B kategoorias C nimetatakse monomorismiks, kui ta on vasakult taandatav, s.t. iga morismide paari g, h : C korral; g = h g = h koretraktsiooniks (või lõikeks), kui ta on vasakult pööratav, s.t. leidub selline morism g : B, et g = 1. Sellisel juhul nimetatakse objekti objekti B retraktiks. Lause 2.2. Kategoorias C 1. iga koretraktsioon on monomorism; 2. iga ühikmorism on koretraktsioon; 3. kahe monomorismi (koretraktsiooni) korrutis on monomorism (koretraktsioon); 4. kui kahe morismi korrutis k monomorism (koretraktsioon), siis on monomorism (koretraktsioon). Tõestus. 1. Oletame, et k = 1 ja g = h kus : B, k : B ja g, h : C. Siis g = 1 g = (k)g = k(g) = k(h) = (k)h = 1 h = h. 2. Iga C 0 korral 1 = Oletame, et k : B D ja : B on monomorismid ja (k)g = (k)h, kus g, h : C. C g B k D h Siis k(g) = k(h) ja seega g = h, sest k on monomorism. Kuna on monomorism, siis viimasest võrdusest järeldub g = h. Sellega oleme näidanud, et k on monomorism. Kui k : B D ja : B on koretraktsioonid, s.t. sk = 1 B ja t = 1 mingite s : D B ja t : B korral, siis võrduste ahel näitab, et k on koretraktsioon. (ts)(k) = t(sk) = t1 B = t = 1 t B k s 4. Oletame, et k on monomorism ja g = h, kus : B, k : B D, ja g, h : C. Siis D (k)g = k(g) = k(h) = (k)h, millest järeldub g = h. Seega on monomorism. Kui k on koretraktsioon, s.t. s(k) = 1 mingi s : D korral, siis (sk) = 1 tähendab, et ka on koretraktsioon. Deinitsioon 2.3. Morismi : B kategoorias C nimetatakse epimorismiks kui ta on paremalt taandatav, s.t. iga morismipaari g, h : B C korral; g = h g = h retraktsiooniks, kui ta on paremalt pööratav, s.t. leidub morism g : B nii, et g = 1 B. 6

7 naloogiliselt lausega 2.2 saab tõestada järgmise lause. Lause 2.4. Kategoorias C 1. iga retraktsioon on epimorism; 2. iga ühikmorism on retraktsioon; 3. kahe epimorismi (retraktsiooni) korrutis on epimorism (retraktsioon); 4. kui kahe morismi korrutis k on epimorism (retraktsioon), siis k on epimorism (retraktsioon). Deinitsioon 2.5. Kategooriat nimetatakse konkreetseks kategooriaks, kui tema objektid on hulgad (harilikult mingi struktuuriga), morismid on kujutused (mis harilikult säilitavad vaadeldavat struktuuri), morismide komponeerimine on kujutuste järjestrakendamine ja ühikmorismid on samasusteisendused. Set, Gr, Rng, Top, Ban, Pos ja paljud teised on konkreetsete kategooriate näideteks. Rel ei ole konkreetne kategooria, sest mitte kõik binaarsed seosed ei ole kujutused. Konkreetsetes kategooriates, saab eri tüüpi morismide suhete kohta rohkem öelda. Lause 2.6. Konkreetses kategoorias kehtivad morismide jaoks järgmised implikatsioonid: koretraktsioon = (ki) injektiivne (im) = monomorism, retraktsioon = (rs) sürjektiivne = (se) epimorism. Tõestus. (ki). Oletame, et morismi : B jaoks leidub selline morism g : B, et g = 1. Kui (a 1 ) = (a 2 ), a 1, a 2, siis ka a 1 = (g)(a 1 ) = g((a 1 )) = g((a 2 )) = (g)(a 2 ) = a 2. Seega on injektiivne. (im). Oletame, et : B on injektiivne ja g = h, kus g, h : C. Siis iga c C korral (g(c)) = (h(c)), millest järeldub, et g(c) = h(c) iga c C korral. Järelikult g = h ja me oleme tõestanud, et on monomorism. Ei ole raske veenduda, et ka implikatsioonid (rs) ja (se) kehtivad. Näide 2.7. Osutub, et kategoorias Set on monomorismideks parajasti injektiivsed kujutused. Lause 2.6 põhjal me juba teame et injektiivsed kujutused on monomorismid. Tõestame vastupidise väite. Olgu : B monomorism ja iga a korral olgu g a : { } kujutus üheelemendilisest hulgast { } hulka, mis kujutab elemendiks a. Kui (a) = (a ), a, a, siis (g a )( ) = (g a )( ) ehk g a = g a. Eelduse põhjal g a = g a, mis on samaväärne võrdusega a = a. Seega on injektiivne. Näide 2.8. Kategoorias Top on monomorismideks injektiivsed pidevad kujutused. Tõepoolest, vaadeldes üheelemendilist topoloogilist ruumi { } ja mistahes teist topoloogilist ruumi paneme tähele, et kujutused g a : { }, a, mis on deineeritud näites 2.7, on pidevad ning järelikult morismid kategoorias Top. Seega näite 2.7 tõestuse saab üle kanda. Näide 2.9. Kategooriates Gr ja b on monomorismideks injektiivsed rühmade homomorismid. Jällegi peame näitama ainult seda, et monomorismid on injektiivsed. Olgu : G H rühmade monomorism ja iga a G korral olgu g a : Z G kujutused g a (z) := a z. Ilmselt g a on rühmade homomorism. Kui (a) = (a ), siis (g a )(1) = (g a )(1). Lihtne on näidata, et siis ka (g a )(z) = (g a )(z) iga z Z korral ning järelikult g a = g a. Eelduse põhjal g a = g a ja seega a = a. Näide Kategoorias Ban 1 on monomorismideks injektiivsed ahendavad lineaarsed operaatorid (ehk ahendavad lineaarkujutused, need on lineaarkujutused : B, mis rahuldavad tingimust (a) a iga a korral). Banachi ruumi B ühikkera elemendid on üksüheses vastavuses ahendavate operaatoritega R B. Tõepoolest, kui b 1 siis k b : R B, mis on deineeritud võrdusega k b (r) := rb, 7

8 r R, on ahendav operaator. Vastupidi, kui k : R B on ahendav operaator, siis k(1) 1 = 1, mis tähendab, et k(1) kuulub B ühikkerasse. Ilmselt on need konstruktsioonid teineteise pöördkonstruktsioonid. Oletame nüüd, et : B C on Banachi ruumide monomorism ja (b) = (b ). Kui b, b 1, siis (k b )(1) = (k b )(1), millest järeldub k b = k b. Kuna on monomorism, siis k b = k b ja seega b = b. Järelikult on injektiivne ühikkeral. Tänu lineaarsusele on siis injektiivne kogu ruumil B. Näide Implikatsioon (im) ei ole pööratav, s.t. mitte kõik monomorismid konkreetses kategoorias ei ole injektiivsed. Vaatleme jaguvate beli rühmade kategooriat Div. Meenutame, et beli rühm on jaguv, kui iga a ja iga naturaalarvu n korral leidub selline b, et nb = a. Loomulik sürjektsioon π : Q Q/Z jaguva rühma Q aktorrühmale alamrühma Z järgi ei ole injektiivne, sest näiteks π(3) = 3 = 4 = π(4), kuigi 3 4. (Märgime, et aktorrühmas Q/Z kehtib võrdus a = b, a, b Q, parajasti siis, kui a b Z.) Näitame, et π on monomorism. Oletame, et on jaguv beli rühm ja, g : Q on sellised rühmade homomorismid, et π = πg. Võttes h := g : Q saame πh = 0 (siin 0 on nullkujutus Q/Z, a 0). Me peame tõestama, et h = 0. Kui = {0}, siis on see ilmne. Vastasel juhul kehtib iga a korral 0 = (πh)(a) = h(a), s.t. h(a) Z. Oletame vastuväiteliselt, et h 0. Siis leidub selline a, et h(a) N. Tänu jaguvusele saame leida sellise b, et 2h(a) b = a. Et h on beli rühmade homomorism, siis h(a) = h(2h(a) b) = 2h(a)h(b), kus viimane korrutis on hulgas Q. Jagades selle võrduse mõlemaid pooli nullist erineva ratsionaalarvuga 2h(a) saame h(b) = 1 2 ning järelikult (πh) (b) = ( 1 2) 0, mis on vastuolus eeldusega πh = 0. Järelikult peab h = 0. Näide Ka implikatsioon (ki) ei ole pööratav. Kategoorias Set on tühjad kujutused injektiivsed, aga neil ei ole vasakpoolset pöördelementi, kui. Siiski iga injektiivne kujutus B kategoorias Set, kus B, on koretraktsioon. Näide Kategoorias Set on epimorismideks sürjektiivsed kujutused. Selles veendumiseks vaatleme epimorismi : B, kaheelemendilist hulka {0, 1} ja kujutusi g, h : B {0, 1}, mis on deineeritud võrdustega { 1, kui b (), g(b) = 0, kui b (), h(b) = 1 iga b B korral. Ilmselt g = h : {0, 1} on konstantsed kujutused elemendile 1. Järelikult g = h, mis tähendab, et () = B ehk on sürjektiivne. Vastupidine väide järeldub lausest 2.6. Veelgi enam, kategoorias Set on iga sürjektiivne kujutus retraktsioon. Olgu : B sürjektiivne kujutus. Deineerime kujutuse g : B valides iga b B jaoks elemendi a b nii, et (a b ) = b ja võttes g(b) := a b. Siis ilmselt (g)(b) = (g(b)) = (a b ) = b iga b B korral ja seega g = 1 B. (Paneme tähele, et kõigi nende (üldjuhul lõpmata paljude) valikute tegemiseks on meil vaja valikuaksioomi.) Näide Kategoorias Top on epimorismideks sürjektiivsed pidevad kujutused. Selles veendumiseks kasutame näidet 2.13, milles topoloogiliseks ruumiks on {0, 1} topoloogiaga {, {0, 1}} ning g ja h on deineeritud samamoodi. On selge, et g ja h on siis pidevad kujutused. Näide Kategoorias Ban 1 on epimorismideks tiheda kujutisega ahendavad operaatorid. (Lineaarkujutusel : B kategoorias Ban 1 on tihe kujutis, kui sulund () = B, s.t. et iga b B ja iga ε > 0 korral leidub a nii, et (a) b < ε.) Oletame, et : B on epimorism. Siis () on B kinnine alamruum ja aktorruum B/() on Banachi ruum. Nii loomulik sürjektsioon π : B B/() kui ka nullkujutus 0 : B B/() on ahendavad operaatorid. Võrdustest π = 0 = 0 saame π = 0, mis tähendab, et B = (). Vastupidi, oletame et () = B ja g = h, g, h : B C. Kuna g ja h langevad kokku hulgal (), siis pidevuse tõttu g, h langevad kokku ka hulgal () = B. Seega g = h. Näide Implikatsioon (rs) ei ole pööratav. Kategoorias Graph leidub sürjektiivne homomorism 8

9 millel ei ole parempoolset pöördmorismi. Näide Implikatsioon (se) ei ole pööratav. Vaatleme monoidide ja monoidide homomorismide kategooriat Mon ning monoidi (N {0}, +) sisestust i monoidi (Z, +), mis kindlasti ei ole sürjektiivne. Samas osutub ta epimorismiks. Vaatleme monoidide homomorismi : (Z, +) (S, ). Iga n N korral (n) = ( ) = (1) n, s.t. (n) on määratud (1) poolt. Lisaks sellele, (1) on ( 1) pöördelement monoidis S, sest (1)( 1) = (1 + ( 1)) = (0) = 1 = (0) = (( 1) + 1) = ( 1)(1). Kuna igal S elemendil saab olla ainult üks pöördelement, siis ( 1) on määratud (1) poolt. Samuti väärtus igal teisel negatiivsel täisarvul on määratud (1) poolt. Seega homomorism on täielikult ära määratud elemendiga (1) S. Nüüd oletame, et g, h : (Z, +) (S, ) on sellised monoidide homomorismid, et gi = hi. Siis g(1) = g(i(1)) = h(i(1)) = h(1) ja seega g = h. Järelikult i on epimorism. Deinitsioon Morismi nimetatakse bimorismiks, kui ta on nii monomorism kui epimorism, s.t. kui ta on taandatav. Deinitsioon Morismi nimetatakse isomorismiks, kui ta on nii koretraktsioon kui ka retraktsioon, s.t. kui ta on pööratav. Kategooria C objektid ja B on isomorsed kui leidub isomorism : B. Objektide ja B isomorsust tähistatakse = B. Lause Kategoorias C 1. iga isomorism on bimorism; 2. iga ühikmorism on isomorism; 3. kahe bimorismi (isomorismi) korrutis on bimorism (isomorism). Tõestus. See järeldub lausest 2.2 ja lausest 2.4. Järeldus Objektide isomorsusseos on ekvivalentsiseos. Lause Kui epimorism on koretraktsioon, siis on ta isomorism. Tõestus. Harjutus. Näide Kategoorias Set on isomorismideks bijektiivsed kujutused. Näide Kategooriates Gr, b ja Rng on isomorismideks bijektiivsed homomorismid. Näide Kategoorias Top on isomorismideks homöomorismid (pidevad lahtised bijektsioonid). Kuna pidevad bijektsioonid ei pruugi olla homöomorismid, siis on see näiteks kategooriast, kus bimorismid ei pruugi olla isomorismid. Näide Kategoorias Vec R on isomorismideks bijektiivsed lineaarkujutused. Näide Kategoorias Ban 1 on isomorismideks isomeetrilised bijektsioonid. Iga isomeetriline bijektsioon : B on isomorism, sest b = ( 1 )(b) = 1 (b) iga b B korral ning seega 1 on ahendav lineaarne operaator. Vastupidi, kui ahendaval operaatoril : B on olemas pöördkujutus 1 : B, mis on samuti ahendav operaator, siis on isomeetriline. Tõepoolest, kuna a = ( 1 )(a) = 1 ((a)) (a) ja (a) a iga a korral, siis (a) = a iga a korral. Näide Iga rühma võib vaadelda kui üheobjektilist kategooriat, kus kõik morismid on isomorismid. Näide Meenutame, et iga järjestatud hulka võib vaadelda kategooriana (näide 1.5). Sellises kategoorias on iga morism bimorism, sest mistahes kahe objekti vahel leidub ülimalt üks morism. Isomorismid on aga ainult ühikmorismid. 9

10 2.2. Objektide liigid Deinitsioon Kategooria C objekti 1 nimetatakse lõppobjektiks, kui C igast objektist C leidub täpselt üks morism objekti 1. Kategooria C objekt 0 on algobjekt, kui objektist 0 leidub täpselt üks morism C igasse objekti. Objekt on nullobjekt, kui ta on nii lõpp- kui algobjekt. Lause Kategooria mistahes kaks lõpp-(alg-, null-)objekti on isomorsed. Tõestus. Kui C, C C 0 on lõppobjektid, siis C(C, C) = {1 C } ja C(C, C ) = {1 C }. Samuti leiduvad morismid : C C ja g : C C. Kuna g : C C, siis g = 1 C ja samamoodi g = 1 C. Näide Kategoorias Set on tühi hulk algobjekt ja üheelemendilised hulgad on lõppobjektid. Sama kehtib kategooria Top korral. Näide Kategooriates b, Vec R, Ban 1 jt. on {0} nii alg- kui ka lõppobjekt, seega nullobjekt. Näide Ühikelemendiga assotsiatiivsete ringide kategoorias Rng on {0} lõppobjekt ja Z algobjekt. Deinitsioon Kategooria C objekti P nimetatakse projektiivseks, kui iga epimorismi g : B C ja iga morismi : P C jaoks leidub selline morism h : P B, et gh =. B h g P Lause Projektiivse objekti retrakt on projektiivne. Tõestus. Järgmises diagrammis olgu P projektiivne ja olgu tema retrakt, s.t. ri = 1 mingite r : P ja i : P korral (vt. deinitsiooni 2.1). B h g C P r r C Kui : C, siis P projektiivsuse tõttu leidub selline h : P B, et gh = r. Seega ghi = ri =. Deinitsioon Kategooria C objekti nimetatakse injektiivseks, kui iga monomorismi g : B C ja iga morismi : B korral leidub selline morism h : C, et hg =. i g B C Näide Kategooria Set iga objekt on projektiivne. Kasutades akti, et iga epimorism on retraktsioon kategoorias Set ja deinitsiooni 2.35 tähistusi saame leida sellise p : C B, et gp = 1 C. Võttes h := p saame gh = gp =. Näide Klassikalise algebra tulemus (nn. Baeri injektiivsuskriteerium) väidab, et beli rühm on injektiivne parajasti siis, kui ta on jaguv. Näide Projektiivsed ja injektiivne objektid mängivad tähtsat rolli moodulite teoorias (üle ringi). Klassikaline tulemus on, et a moodul on projektiivne parajasti siis, kui ta on vaba mooduli otseliidetav. h 10

11 Ülesanded Tõestada, et kui epimorism on koretraktsioon, siis ta on isomorism. 2. Tõestada, et konkreetses kategoorias on iga retraktsioon sürjektiivne (vt. lauset 2.6). 3. Tõestada, et konkreetses kategoorias on iga sürjektiivne morism epimorism (vt. lauset 2.6). 4. Millised on monomorismid, epimorismid, bimorismid ja isomorismid sinu lemmikkategoorias? 5. Kas su lemmikkategoorial on olemas lõpp-, alg- või nullobjekt? 6. Tõestada otse, et kategooria Set iga objekt on projektiivne (vt. näidet 2.38). 7. Millised on projektiivsed objektid sinu lemmikkategoorias? 8. Tõestada, et kategooria Set objekt on injektiivne parajasti siis, kui ta on mittetühi. 11

12 3. Funktorid 3.1. Kovariantsed ja kontravariantsed unktorid Deinitsioon 3.1. Kovariantne unktor F kategooriast kategooriasse B koosneb 1. kujutusest F 0 : 0 B 0 kategooriate ja B objektide klasside vahel; objekti 0 kujutist tähistatakse F (); 2. iga objektipaari (, ) jaoks kujutusest F, 1 : (, ) B(F (), F ( )); morismi (, ) kujutist tähistatakse F (); nii et on täidetud järgmised tingimused: 1. mistahes morismide (, ) ja g (, ) korral F (g) = F (g)f (); 2. iga objekti 0 korral F (1 ) = 1 F (). F () F ( ) Deinitsioon 3.2. Kontravariantne unktor F kategooriast kategooriasse B koosneb 1. kujutustest F 0 : 0 B 0 kategooriate ja B objektide klasside vahel; objekti 0 kujutist tähistatakse F (); 2. iga objektipaari (, ) jaoks kujutustest F, 1 : (, ) B(F ( ), F ()); morismi (, ) kujutist tähistatakse F (); nii et on täidetud järgmised tingimused: F () 1. mistahes morismide (, ) ja g (, ) korral F (g) = F ()F (g); 2. iga objekti 0 korral F (1 ) = 1 F (). F () F ( ) Näited 3.3. Toome mõned kovariantsete unktorite näited. 1. Iga kategooria korral leidub ühikunktor 1 :, mis on objektidel deineeritud võrdusega 1 () = ja morismidel võrdusega 1 () =. 2. Kategooria iga alamkategooria B tekitab loomulikul viisil sisestusunktori B, mis on lihtsalt ühikunktori 1 ahend kategooriale B. F () 12

13 3. Kui ja B on kategooriad ja B B 0 on ikseeritud objekt, siis leidub konstantne unktor objektile B, B : B ehk lihtsalt B, mis on deineeritud võrdustega B () := B, B () := 1 B iga 0 ja kategooria iga morismi korral. 4. Unustav unktor U : Gr Set kujutab rühma (, ) tema põhihulgaks ja rühmahomomorismid vastavateks kujutusteks. Samamoodi võib veel vaadelda unustavaid unktoreid Rng b ( unustab ära korrutamise), Rng Mon ( unustab ära liitmise) või Ban 1 Vec R ( unustab ära normi). 5. Vaba rühma unktor F : Set Gr säeb igale hulgale vastavusse vaba rühma, mille tekitajate hulgaks on, ning igale kujutusele indutseeritud homomorismi, mis tekitajatel langeb kokku kujutusega. 6. Iga rühma korral olgu selle rühma kommutaatoralamrühm, s.t. alamrühm, mis on tekitatud kõigi elementide poolt, mis on kujul aba 1 b 1, kus a, b. Deineerime F : Gr b võrdustega F () := /, F (h)(a ) := h(a)b, kõigi rühmade, B ja rühmade homomorismide h : B korral. Siis F on unktor, mida nimetame abelistamise unktoriks. 7. Kui R on ring ja M R on ikseeritud parempoolne R-moodul, siis leidub mooduliga M R tensorkorrutamise unktor M R : R Mod b (vasakpoolsete R-moodulite kategooriast beli rühmade kategooriasse b), mis on deineeritud võrdustega (M R )( R N) := M R N, M R () := 1 M iga vasakpoolse R-mooduli R N ja iga vasakpoolsete R-moodulite homomorismi korral. Näited 3.4. On ka palju kontravariantsete unktorite näiteid. 1. Leidub unktor P : Set Set, mis säeb igale hulgale vastavusse tema kõigi alamhulkade hulga P() ja kujutusele : B kujutuse 1 : P(B) P(), mis kujutab B alamhulga C hulgaks 1 (C). 2. Kui (X, τ) on topoloogiline ruum, siis X kõigi lahtiste alamhulkade U hulk τ on järjestatud hulk sisalduvusseose suhtes ja seega tekitab kategooria, kus morism i V U : V U leidub parajasti siis, kui V U. Olgu C(U) = {h : U R h on pidev}. Siis C : τ Set on unktor, kui deineerime kujutused C(i V U ) : C(U) C(V ) võrdusega C(i V U )(h) := h V. Järgmisena toome sisse unktorid, mis on kategooriateoorias väga suure tähtsusega. Näide 3.5. Kategooria C ikseeritud objekti C korral deineerib reegel C(C, ) g B C(C, B) g kovariantse unktori C(C, ) : C Set, mida nimetatakse kovariantseks esitatavaks unktoriks (unktor on esitatud C poolt) või kovariantseks mor-unktoriks. (Märgime, et tihti kirjutatakse asemel C(C, ).) Näide 3.6. Kategooria C ikseeritud objekti C korral deineerib reegel C(, C) g B C(B, C) g 13

14 kontravariantse unktori C(, C) : C Set, mida nimetatakse kontravariantseks esitatavaks unktoriks või kontravariantseks mor-unktoriks. Funktorite F : B ja G : B C korral on võimalik moodustada nende kompositsioon ehk korrutis GF : C (mis osutub samuti unktoriks), kui deineerida (GF )() := G(F ()), (GF )() := G(F ()) iga objekti 0 ja iga morismi korral. Selline komponeerimine on assotsiatiivne ja ühikunktorid käituvad ühikelementidena sellise komponeerimise suhtes. See võib viia mõttele vaadelda kõigi kategooriate kategooriat, kus unktorid mängiks morismide rolli. Kahjuks kõigi kategooriate kogum ei ole enam klass ja ka kõigi ühest kategooriast teise viivate unktorite kogum ei pruugi olla hulk. Väljapääs sellest on muuta kategooria deinitsiooni lubades suuremaid objektide ja morismide kogumeid (neid kutsutakse mõnikord konglomeraatideks). Selliseid asju nimetame kvaasikategooriateks (Herrlichi ja Streckeri järgi). Seega kõigi kategooriate ja nendevaheliste unktorite kogum, mis on varustatud unktorite komponeerimisega, on kvaasikategooria, mida tähistatakse CT. Siiski, kui on väike kategooria ja B on suvaline kategooria, siis kõigi unktorite kogum Fun(, B) kategooriast kategooriasse B on klass, ja kui B on ka väike, siis Fun(, B) on hulk. Seega võime kõnelda kõigi väikeste kategooriate kategooriast, mida tähistatakse Cat Duaalsusest Jämedalt öeldes tähendab kategoorne duaalsus kõigi morismide ringikeeramist. Deinitsioon 3.7. Kategooria C duaalne kategooria C op deineeritakse järgmiselt. 1. Kategooriatel C ja C op on samad objektid, C op 0 = C Iga, B C op 0 korral C op (, B) = C(B, ), s.t. C op morismid on C morismid, mida kirjutatakse vastupidises suunas. Segaduse vältimiseks kirjutame op : B, kui vaatleme C morismi : B kui C op morismi. 3. Komponeerimine kategoorias C op deineeritakse võrdusega op g op := (g) op. Kategoorias C : B C Kategoorias C op : g g (g) op B C op g op Iga kategooriate jaoks deineeritud mõiste jaoks leidub duaalne mõiste (mille nimi tekitatakse harilikult eesliite ko- abil), mis saadakse deinitsioonis kõigi morismide suuna muutmisel vastupidiseks ja kompositsioonide g asendamisel kompositsioonidega g. Samuti on iga väite jaoks olemas duaalne väide. Duaalsusprintsiip ütleb, et kui mingi väide on tõene kõigis kategooriates, siis ka selle väite duaalne väide on tõene kõigis kategooriates. Me näeme, et lõppobjektid on duaalsed algobjektidega, epimorismid monomorismidega, projektiivsus on injektiivsuse duaalne mõiste jne. Samuti näiteks, kui me teame, et lõppobjektid on igas kategoorias määratud üheselt isomorismi täpsusega, siis duaalsusprintsiibi põhjal ka algobjektid on määratud üheselt isomorismi täpsusega. Lause 3.8. Kategooriate ja B korral leidub üksühene vastavus kontravariantsete unktorite B ja kovariantsete unktorite op B vahel. Tõestus. On selge, et iga kategooria C korral eeskiri ( ) op : C C op, C C, op on kontravariantne unktor ja ( ) op ( ) op = 1 C (ehk (C op ) op = C). 14

15 Kui F : B on kontravariantne unktor, siis F ( ) op : op B on kovariantne unktor, sest kahe kontravariantse unktori kompositsioon on kovariantne unktor. Samuti, kui G : op B on kovariantne unktor, siis G ( ) op : B on kontravariantne unktor. Et F ( ) op ( ) op = F ja G ( ) op ( ) op = G, siis ongi meil olemas nõutav üksühene vastavus. Seda tulemust silmas pidades räägime edaspidises vaikimisi alati kovariantsetest unktoritest (mis lähtuvad siis kas kategooriast või op ). Mõnikord võib olla mugav vaadelda kontravariantseid unktoreid B kui kovariantseid unktoreid B op Funktorite omadusi Deinitsioon 3.9. Vaatleme unktorit F : B ja iga objektipaari, 0 korral kujutust Funktor F on F, 1 : (, ) B(F (), F ( )), F (). täpne, kui kujutus F, 1 on injektiivne iga, 0 korral; täielik, kui kujutus F, 1 on sürjektiivne iga, 0 korral; täielik ja täpne, kui kujutus F, 1 on bijektiivne iga, 0 korral; kategooriate isomorism, kui leidub selline unktor G : B, et F G = 1 ja GF = 1 B. Näiteks unustav unktor U : Gr Set on täpne, aga mitte täielik ning ei ole kategooriate isomorism. Unustav unktor U : b Gr on täielik ja täpne. Deinitsioon Vaatleme unktorit F : B. 1. F säilitab monomorismid, kui iga morismi korral on monomorism F () on monomorism. 2. F peegeldab monomorismid, kui iga morismi korral F () on monomorism on monomorism. Loomulikult saab samasugused deinitsioonid anda ka teiste morismitüüpide jaoks. Lause Täpne unktor peegeldab monomorismid ja epimorismid. Tõestus. Vaatleme täpset unktorit F : B ja morismi : kategoorias, mille korral F () : F () F ( ) on monomorism kategoorias B. Oletame, et g = h mingite morismide g, h : korral. Siis g = h = F ()F (g) = F ()F (h) = F (g) = F (h) = g = h, kus teine implikatsioon kehtib sellepärast, et F () on monomorism ja viimane implikatsioon sellepärast, et F on täpne. Samamoodi, kui F () on epimorism ja g = h mingite g, h : korral, siis g = h = F (g)f () = F (h)f () = F (g) = F (h) = g = h. Lause Iga unktor säilitab isomorismid. Tõestus. Kui k = 1, kus : B ja k : B, siis F (k)f () = F (1 ) = 1 F (). See tõestab, et F säilitab nii koretraktsioonid kui ka retraktsioonid ning seega isomorismid. Lause Täielik ja täpne unktor peegeldab isomorismid. Tõestus. Oletame, et F : B on täielik ja täpne unktor, : on morism kategoorias ja F () : F () F ( ) on isomorism kategoorias B. Siis F ()s = 1 F ( ) ja sf () = 1 F () mingi s : F ( ) F () korral. Kuna F on täielik, siis s = F (g) mingi g : korral. Võrdustest F (g) = F (1 ) ja F (g) = F (1 ) järelduvad tänu F täpsusele võrdused g = 1 ja g = 1. Seega on isomorism. 15

16 3.4. Komakategooriad Lähtudes antud unktorist (või unktoritest), on võimalik konstrueerida uusi kategooriaid. Esitame siin mõned sellised konstruktsioonid. Deinitsioon Olgu F : C ja G : B C unktorid. Komakategooria (F G) (ehk (F, G)) deineeritakse järgmiselt. 1. (F G) objektid on kolmikud (,, B), kus 0, B B 0 ja : F () G(B) on C morism. 2. Morism objektist (,, B) objekti (,, B ) kategoorias (F G) on paar (a, b), kus a : kategoorias, b : B B kategoorias B ja F (a) = G(b). 3. Komponeerimine kategoorias (F G) on indutseeritud ja B komponeerimiste poolt, see tähendab, et (a, b )(a, b) = (a a, b b). F (a) F () F ( ) F ( ) G(B) G(B ) G(B ) G(b) Näide Võtame eelmises deinitsioonis = 1, s.o. diskreetse kategooria üheainsa objektiga, ning olgu C C 0. Siis objekti C võib vaadelda kui konstantset unktorit C : 1 C, C. Võttes F = C saame kategooria ( C G), kus objektid on kolmikud (,, B), kus B B 0 ja : C G(B), ning morismid (,, B) (,, B ) on paarid (1, b) kus b : B B on selline, et = C (1 ) = G(b). Ilmselt on see kategooria isomorne kategooriaga, mille objektid on paarid (, B), kus B B 0, : C G(B), ning kus morismid (, B) (, B ) on sellised B morismid b : B B, et = G(b). Tähistame viimase kategooria sümboliga (C G) ja nimetame seda objekti C G-aluste objektide kategooriaks. F (a ) G(b ) C G(B) G(B ) G(b) Kui võtame veel G = 1 C (kategooria C ühikunktor), saame täpselt C-aluste objektide kategooria (C 1 C ) = (C C) (vt. deinitsiooni 1.11). naloogiliselt võib saada C F -üleste objektide kategooria ja C-üleste objektide kategooria. Näide Olgu = 1, F = { } : 1 Set konstantne unktor, mis on deineeritud võrdusega { } ( ) = { }, ning olgu G : B Set suvaline unktor. Siis komakategooria ( { } G) objektid on kolmikud (,, B), kus B B 0 ja : { } G(B) on kujutused. Iga sellise kujutuse võib samastada hulga G(B) elemendiga ( ). Morism peab muutma diagrammi (1, b) : (,, B) (,, B ) { } 1 { } { } G(B) G(B ) G(b) kommutatiivseks. Sellist komakategooriat nimetatakse G elementide kategooriaks ja tähistatakse el(g). Tähistust veidi muutes võib öelda, et unktori G : B Set elementide kategooria konstrueeritakse järgmiselt. 16

17 1. el(g) objektid on paarid (b, B), kus b G(B). 2. Morism h : (b, B) (b, B ) on selline morism h : B B, et G(h)(b) = b. 3. el(g) komponeerimine on indutseeritud B komponeerimise poolt. Teine konstruktsioon, mis on väga sarnane komakategooriate konstruktsiooniga, on endounktori algebrate konstruktsioon. (Funktorit nimetatakse kategooria endounktoriks.) Deinitsioon Endounktori F : algebrate (lühidalt: F -algebrate) kategooria lg(f ) konstrueeritakse järgmiselt. 1. Objektid on paarid (, ), kus : F (). 2. Morism ϕ : (, ) (, ) on selline morism ϕ :, et F (ϕ) = ϕ. 3. lg(f ) komponeerimine on indutseeritud komponeerimise poolt. F (ϕ) F (ψ) F () F ( ) F ( ) ϕ Näide Traditsionaalselt vaadeldakse universaalalgebrat (, ( i ) i I ) kui hulka, millel on antud teatud algebralised tehted i : ni. Tehted võib kokku võtta üheks kujutuseks : i I ni, nii et universaalalgebra on antud hulgaga ja kujutusega : F (), kus kategooria Set endounktor F on objektidel deineeritud võrdusega F (X) := i I X ni ψ ja iga kujutuse : X Y korral kujutus F () : i I Xni i I Y ni on deineeritud võrdusega F ()(x 1,..., x ni ) := ((x 1 ),..., (x ni )), kus (x 1,..., x ni ) X ni. Näiteks rühma võib vaadelda kui Set-endounktori F -algebrat, kus F (X) = X 0 X 1 X 2. Saab näidata, et kui (, ) ja (B, B ) on kaks sama tüüpi algebrat, siis kujutus ϕ : B on algebrate homomorism parajasti siis, kui järgmine diagramm kommuteerub: F () F (ϕ) ϕ F (B) B B. rvutiteaduses on eriti kasulikuks osutunud endounktori algebratega duaalsed koalgebrad. Deinitsioon Endounktori F : koalgebrate (lühidalt: F -koalgebrate) kategooria Coalg(F ) konstrueeritakse järgmiselt. 1. Objektid on paarid (, α ), kus α : F (). (Kui = Set, nimetatakse kujutusi α koalgebra (, α ) struktuurikujutusteks.) 2. Morism ϕ : (, α ) (, α ) on selline morism ϕ :, et F (ϕ)α = α ϕ. 3. Coalg(F ) komponeerimine on indutseeritud komponeerimise poolt. 17

18 ϕ α F () F ( ) F (ϕ) Näide Lõplikke ja lõpmatuid Σ-liste (Σ on mingi hulk) võib modelleerida kui unktori F : Set Set koalgebraid, kus F on deineeritud võrdusega α F (X) := { } (Σ X). Hulga Σ elementide kõigi lõplike ja lõpmatute listide hulgal Σ deineeritakse struktuurikujutused α Σ : Σ { } (Σ Σ ) võrdusega {, kui σ on tühi list, α Σ (σ) := (head(σ), tail(σ)), kui σ on mittetühi list. Näide Mittetühje binaarpuid, mille lehed on tüüpi Σ, võib modelleerida kui unktori F : Set Set koalgebraid, kus F on deineeritud võrdusega F (X) := Σ (X X). Kõigi selliste puude hulgal T võib struktuurikujutused α T : T Σ (T T ) deineerida võrdusega { t Σ, kui t on leht, α T (t) := (let(t), right(t)), kui t ei ole a leht. Näide Olgu andmetüüpide = pangakonto ja Q jaoks antud operatsioonid rahasisse ja kontojääk: rahasisse : Q, kontojääk : Q. Pangakonto tüüp koos nende operatsioonidega on unktori F (X) = X Q Q koalgebra. Struktuurikujutusel α : Q Q on kuju α (a) = (rahasisse(a, ), kontojääk(a)). Näide Deterministlikke automaate võib vaadelda koalgebratena. Fikseeritud hulga Σ jaoks vaatleme kovariantset mor-unktorit F = Set(Σ, ) = ( ) Σ : Set Set. F -koalgebra olgu antud kujutusega α : Σ. Sellised kujutused on üksüheses vastavuses kujutustega δ : Σ, see tähendab, deterministlike automaatidega, mille sisendtähestik on Σ, olekute hulk ja üleminekuunktsioon δ, kui deineerime δ (a, σ) := α (a)(σ). ϕ B α Σ Σ F (ϕ)=ϕ α B B Σ Kujutus ϕ : B on F -koalgebrate homomorism, kui ϕα (a) = α B (ϕ(a)), see tähendab, kui ϕ(δ (a, σ)) = ϕ(α (a)(σ)) = (ϕα (a))(σ) = (α B (ϕ(a)))(σ) = δ B (ϕ(a), σ), iga a ja σ Σ korral. Võrdus ϕ(δ (a, σ)) = δ B (ϕ(a), σ) on täpselt see, millega deineeritakse automaatide homomorism. Ülesanded Konstrueerida unktor oma lemmikkategooriast mõnda teise kategooriasse või mõnest teisest kategooriast oma lemmikkategooriasse. Kas sellel unktoril on mõni hää omadus? 18

19 2. Tõestada, et unktor F : B on kategooriate isomorism parajasti siis, kui ta on täielik, täpne ja indutseerib bijektsiooni 0 B 0 objektide klasside vahel. 3. Tõestada, et kategooriate isomorism säilitab ja peegeldab monomorismid ja epimorismid. 4. Näidata, et kategooriate ja B korrutist B (vt. deinitsiooni 1.10) võib vaadelda komakategooriana. 19

20 4. Loomulikud teisendused 4.1. Loomulike teisenduste deinitsioon ja näited Loomulikke teisendusi võib vaadelda kui unktoritevahelisi morisme. Deinitsioon 4.1. Olgu F, G : B kaks kovariantset unktorit kategooriast kategooriasse B. Loomulik teisendus α : F G unktorist F unktorisse G on kategooria B morismide süsteem (α : F () G()) 0, mis on indekseeritud objektide järgi, mille korral α F () = G()α kategooria iga morismi : korral, s.t. järgmine ruut on kommutatiivne: F () α G() F () G() F ( ) G( ) α. Morismi α, kus 0, nimetatakse loomuliku teisenduse α = (α ) 0 komponendiks kohal. Deinitsioon 4.2. Olgu F, G : B kaks kontravariantset unktorit kategooriast kategooriasse B. Loomulik teisendus α : F G unktorist F unktorisse G on kategooria B morismide süsteem (α : F () G()) 0, mis on indekseeritud objektide järgi, mille korral G()α = α F () kategooria iga morismi : korral, s.t. järgmine ruut on kommutatiivne: F () α G() F () G(). F ( ) G( ) α Deinitsioon 4.3. Loomulikku teisendust α : F G, kus F, G : B, nimetatakse loomulikuks isomorismiks, kui α : F () G() on isomorism kategoorias B iga 0 korral. Funktoreid F ja G nimetatakse loomulikult isomorseteks (tähistus: F = G), kui leidub loomulik isomorism F G. Funktorite F, G : B korral tähistame kõigi nendevaheliste loomulike teisenduste konglomeraati tähisega Nat(F, G). Näide 4.4. Iga unktori F : B jaoks leidub selle unktori samasusteisendus 1 F : F F, mis on deineeritud võrdusega (1 F ) := 1 F () iga 0 korral. Näide 4.5. Olgu : B ikseeritud morism kategoorias. Deinitsioon (, ) C (g) := g, g : C, annab loomuliku teisenduse (, ) : (, ) (B, ) objektide ja B poolt esitatud unktorite vahel, sest kategooria iga morismi h : C C korral (hg) = h(g), s.t. järgmine ruut on kommutatiivne: (, ) C C (, C) (B, C) h C (,h)=h (, C ) (B, C ) (, ) C (B,h)=h Duaalselt, ikseeritud morismi : B korral kategoorias, deinitsioon (, ) C (g) := g, g : C, annab loomuliku teisenduse (, ) : (, ) (, B) kontravariantsete esitatavate unktorite vahel.. 20

21 Näide 4.6. Fikseeritud korpuse K korral võime vaadelda kontravariantset mor-unktorit Vec K (, K) : Vec K Set. On hästi teada, et vektorruumi V korral üle K saab lineaarkujutuste V K (ehk lineaarsete unktsionaalide) hulka Vec K (V, K) = Hom(V, K) =: V vaadelda kui vektorruumi üle K punktiviisiliste tehete suhtes. Veelgi enam, kui : V U on lineaarkujutus, siis Vec K (, K)() = : U V on ka lineaarkujutus. Seega unktorit Vec K (, K) võib vaadelda kui kontravariantset unktorit Vec K Vec K. Me tähistame seda unktorit lühidalt ( ). Funktori ( ) kompositsioon iseendaga on kovariantne unktor Vec K Vec K. Me tähistame seda ( ) ja nimetame teise kaasruumi unktoriks. Iga vektorruumi V korral deineerime kujutuse α V : V V = Hom(Hom(V, K), K) võrdusega (α V (a))(g) := g(a), a V, g Hom(V, K). Lineaaralgebrast on teada, et kujutused α V Iga Hom(V, U), iga a V ja iga h Hom(U, K) = U korral on vektorruumide lineaarkujutused. ( α V )(a)(h) = (α V (a)( ))(h) = α V (a)(h) = (h)(a) = h((a)) = α U ((a))(h) = (α U )(a)(h), mis tõestab, et α = (α V ) V (VecK ) 0 : 1 VecK ( ) on loomulik teisendus. V α V V V U α U U ( )= U α U ((a)) V V α V (a) K Näide 4.7. Kui K on korpuse K multiplikatiivne rühm ja GL n (K) kõigi n-ndat järku regulaarsete maatriksite rühm üle K, siis det K : GL n (K) K on rühmade homomorism. Veelgi enam, ruut GL n (K) GL n() GL n (L) det K det L K K L kommuteerub iga korpuste homomorismi : K L korral (siin GL n () rakendab kujutust maatriksi kõigile elementidele ja (a) := (a) 0 iga a K \ {0} = K korral). See tähendab, et determinant on loomulik teisendus det : GL n ( ) unktorite GL n, ( ) : Field Gr vahel. Näide 4.8. Oletame, et mingis programmeerimiskeeles L (näiteks näite 1.6 keeles) on olemas konstruktor ( ), mis lubab iga andmetüübi (s.t. konstantide hulga) abil konstrueerida uue tüübi, mis on kõigi lõplike -listide hulk. Näiteks kui = {a, b}, siis listid [a, b, a], [ ], [b, b, b, b] kuuluvad tüüpi. Kui : B on keele L operatsioon, siis tähistab (tuletatud) operatsiooni B, mis rakendab operatsiooni antud -listi kõigile elementidele (nt. ([a, b, a]) = [(a), (b), (a)] B ). On kerge näha, et ( ) : C(L) C(L) on keele L poolt indutseeritud kategooria C(L) endounktor. Tüübi korral võib vaadelda hulka ( ) =, mis koosneb kõigi -listide listidest; see on saadud unktori ( ) kahekordsel rakendamisel. Sellise tüübi jaoks võib soovida omada latten-operatsiooni, mis lihtsalt konkateneerib kõik listid listis. Näiteks latten([[a, b, a], [ ], [b, b, b, b]]) = [a, b, a, b, b, b, b]. Kõigi selliste latten-operatsioonide süsteem on loomulik teisendus ( ) ( ), sest järgmine ruut kommuteerub iga operatsiooni : B korral: latten B latten B B. 21

22 4.2. Funktorite kvaasikategooriad Lemma 4.9. Kui F, G, H : B on unktorid kategooriast kategooriasse B ja α : F G, β : G H on loomulikud teisendused, siis võrdus (β α) := β α, 0, deineerib loomuliku teisenduse β α : F H. F G α β B H Tõestus. Iga morismi : korral kategoorias H()(β α) = H()β α = β G()α = β α F () = (β α) F (). F () α G() β H() F () G() H() F ( ) G( ) H( ) α β Näide Olgu : B ja g : C B morismid kategoorias. Vaatleme loomulikke teisendusi (, ) : (, ) (B, ) ja (g, ) : (B, ) (C, ) (vt. näidet 4.5). Siis ((g, ) (, )) D (h) = ((g, ) D (, ) D )(h) = (g, ) D (h) = (h)g = h(g) = (g, ) D (h) iga morismi h : D korral kategoorias. Järelikult (g, ) (, ) = (g, ). Deinitsioonist järeldub kergesti, et loomulike teisenduste komponeerimine on assotsiatiinve ja unktorite samasusteisendused käituvad selle komponeerimise suhtes ühikelementidena. Seega võime moodustada kõigi kategooriast kategooriasse B viivate unktorite kvaasikategooria Fun(, B), kus morismideks on loomulikud teisendused selliste unktorite vahel. Kui on väike, siis see kvaasikategooria on kategooria Yoneda Lemma Teoreem 4.11 (Yoneda Lemma). 1. Leidub üksühene vasatavus θ F, : Nat((, ), F ) F () unktorite (, ) ja F vaheliste loomulike teisenduste ja hulga F () elementide vahel; muuhulgas neid loomulikke teisendusi on hulk. 2. Bijektsioonid θ F, tekitavad loomuliku teisenduse suhtes. 3. Kui on väike kategooria, siis bijektsioonid θ F, tekitavad loomuliku teisenduse ka F suhtes. Tõestus. 1. Deineerime kujutused Nat((, ), F ) θ F, τ F () võrdusega θ F, (α) := α (1 ) 22

23 iga loomuliku teisenduse α : (, ) F korral ja võrdusega τ(a) B () := F ()(a) (1) iga a F (), B 0 ja : B korral. Peame kontrollima, et τ(a) = (τ(a) B ) B 0 on loomulik teisendus (, ) F. Tõepoolest, mistahes morismide g : B C ja : B korral kategoorias (F (g)τ(a) B )() = F (g)(f ()(a)) = F (g)(a) = τ(a) C (g) = (τ(a) C (g ))(). (, B) τ(a) B F (B) g (, C) τ(a) C F (g) F (C) Edasi, iga a F () korral (θ F, τ)(a) = θ F, (τ(a)) = τ(a) (1 ) = F (1 )(a) = 1 F () (a) = a, mis tõestab, et θ F, τ = 1 F (). Teisest küljest, kui α : (, ) F on loomulik teisendus ja : B on morism kategoorias, siis ((τθ F, )(α)) B () = (τ(θ F, (α))) B () = (τ(α (1 ))) B () = F ()(α (1 )) = (F ()α )(1 ) = (α B ( ))(1 ) = α B (1 ) = α B (). Siin neljas võrdus järeldub α loomulikkusest, s.t. diagrammi (, ) (, B) α α B F () F () F (B). kommutatiivsusest. Seega τθ F, (α) = α iga α korral, mis tõestab, et τθ F, = 1 Nat((, ),F ). 2. Olgu F ikseeritud unktor. Tõestame, et kujutuste süsteem (θ F, ) 0 on loomulik teisendus. Selleks vaatleme unktorit N : Set, mis on objektidel deineeritud võrdusega N() := Nat((, ), F ) ja morismidel : B on kujutused N() : Nat((, ), F ) võrdusega N()(α) := α (, ), Nat((B, ), F ) deineeritud kus (, ) : (B, ) (, ) (vt. näidet 4.5) ja α : (, ) F. Ei ole raske veenduda, et N on tõesti unktor. Näitame, et deinitsioon ν := θ F,, 0, annab loomuliku teisenduse ν : N F. Nat((, ), F ) θ F, F () N() Nat((B, ), F ) θ F,B F () F (B) Tõepoolest, iga morismi : B ja loomuliku teisenduse α : (, ) F korral (F ()θ F, )(α) = F ()(α (1 )) = α B (( )(1 )) = α B (), (θ F,B N())(α) = θ F,B (α (, )) = (α (, )) B (1 B ) = α B ((, ) B (1 B )) = α B (1 B ) = α B (). 23

24 3. Kui on väike kategooria, siis võime vaadelda kategooriast kategooriasse Set viivate unktroite kategooriat Fun(, Set). Fikseeritud objekti 0 korral vaatleme seekord unktorit M : Fun(, Set) Set, mis on objektidel F : Set deineeritud võrdusega M(F ) := Nat((, ), F ) ja kui γ : F G on morism kategoorias Fun(, Set), siis kujutused M(γ) : Nat((, ), F ) Nat((, ), G) on deineeritud võrdusega M(γ)(α) := γ α. Teisest küljest, leidub kohal väärtustamise unktor ev : Fun(, Set) Set, mis on deineeritud võrdusega ev (F ) := F (); ev (γ) := γ. Tuleb välja, et deinitsioon µ F := θ F,, F : Set, annab loomuliku teisenduse µ : M ev. Nat((, ), F ) θ F, F () γ =M(γ) Nat((, ), G) θ G, G() γ =ev (γ) Tõepoolest, mistahes loomulike teisenduste γ : F G ja α : (, ) F korral (γ θ F, )(α) = γ (α (1 )) = (γ α )(1 ) = (γ α) (1 ) = θ G, (γ α) = (θ G, (γ ))(α). Järeldus Kui, B 0, siis igal loomulikul teisendusel (, ) (B, ) on kuju (, ) üheselt määratud morismi : B jaoks. Tõestus. Olgu α : (, ) (B, ). Rakendame Yoneda lemmat unktori F = (B, ) korral. Kuna võrdusega (1) deineeritud kujutused τ : (B, ) Nat((, ), (B, )) on bijektiivsed, siis leidub üheselt määratud morism : B nii, et α = τ(). Järelikult iga C 0 ja g : C korral mis tähendab, et α = (, ). α C (g) = τ() C (g) = ((B, )(g))() = (g )() = g = (, ) C (g), Kategooria korral deineerime kujutuse Y op : Fun(, Set) võrdustega Y op () := (, ), Y op () := (, ) : (, ) (B, ) kus : B kategoorias. Näite 4.10 põhjal (g, ) = (g, ) (, ), kui : B, g : C B kategoorias, seega Y op (g) = Y op (g)y op (), Y op (1 B ) = 1 Y op (B). (2) Järelikult Y op on kontravariantne unktor. Seda unktorit nimetatakse kontravariantseks Yoneda sisestuseks. naloogiliselt saab deineerida kovariantse Yoneda sisestuse. Lause Yoneda sisestus on täielik ja täpne. Tõestus. Peame näitama, et iga, B 0 korral on kujutus (Y op ) B, 1 : (B, ) Fun(, Set)(Y op (), Y op (B)) = Nat((, ), (B, )) bijektiivne. Kuid nagu me nägime järelduses 4.12, τ() = (, ) = Y op () iga : B korral. Seega Y op on bijektiivne morismidel sest τ on seda. 24

25 4.4. Loomulike teisenduste horisontaalne kompositsioon Lisaks loomulike teisenduste niinimetatud vertikaalsele kompositsioonile on olemas veel teine viis loomulike teisenduste komponeerimiseks. Lause Vaatleme järgmist olukorda: F α B β C, G H K kus, B, C on kategooriad, F, G, H, K on unktorid ja α, β on loomulikud teisendused. Võrdus (β α) := β G() H(α ) = K(α )β F () : (HF )() (KG)() deineerib loomuliku teisenduse β α : HF KG. HF β α C KG Tõestus. Kõigepäält paneme tähele, et tõepoolest β G() H(α ) = K(α )β F (), sest β on loomulik teisendus: H(α ) H(F ()) H(G()) β F () K(F ()) K(α ) β G() K(G()). Lisaks sellele on iga morismi : korral välimine ristkülik diagrammis (HF )() H(α ) (HG)() β G() (KG)() (HF )() (HF )( ) (HG)( ) (KG)( ) H(α ) (HG)() β G( ) (KG)() kommutatiivne, sest vasakpoolne ruut kommuteerub α loomulikkuse ja H unktoriaalsuse tõttu ning parempoolne ruut kommuteerub β loomulikkuse tõttu. Lauses 4.14 deineeritud kompositsiooni nimetatakse loomulike teisenduste α ja β horisontaalseks kompositsiooniks (mõnikord ka Godement i korrutiseks). Väga tihti kirjutatakse unktori F samasusteisenduse 1 F asemel sümbol F ise. Seega näiteks kus β F : HF KF ja H α : HF HG. (β F ) = β F (), (3) (H α) = H(α ), (4) Ülesanded Tuletame meelde, et iga monoidi võib vaadelda kategooriana (vt. näidet 1.5). Mis on unktorid selliste kategooriate vahel? Oletame, et, B on rühmad, mida vaadeldakse üheobjektiliste kategooriatena, ja, g : B on kaks unktorit nende kategooriate vahel. Näidata, et loomulik teisendus g leidub parajasti siis, kui ja g on konjugeeritud, see tähendab, et ( b B)( a )((a) = b 1 g(a)b). 2. Tõestada, et loomulik teisendus α : F G on loomulik isomorism parajasti siis, kui leidub a loomulik teisendus β : G F nii, et β α = 1 F ja α β = 1 G. Teiste sõnadega: loomulikud isomorismid on isomorismid unktorite kvaasikategoorias Fun(, B). 3. Näidata, et Teoreemi osas deineeritud N on unktor. 25

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016 KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

1 Entroopia ja informatsioon

1 Entroopia ja informatsioon Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE

2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA

T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Lexical-Functional Grammar

Lexical-Functional Grammar Lexical-Functional Grammar Süntaksiteooriad ja -mudelid 2005/06 Kaili Müürisep 6. aprill 2006 1 Contents 1 Ülevaade formalismist 1 1.1 Informatsiooni esitus LFG-s..................... 1 1.2 a-struktuur..............................

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Mathematica kasutamine

Mathematica kasutamine mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397 Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2 Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Square 43 LED

Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee

Διαβάστε περισσότερα

Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.

Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Deformatsioon ja olekuvõrrandid Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,

Διαβάστε περισσότερα