Sirgete varraste vääne
|
|
- Ῥαχήλ Παπαδάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3 esitati valemid mitteümarvarraste jaoks ilma igasuguse tuletuskäiguta. Käesolevas peatükis vaatleme, kuidas toimub väändeülesande lahendamine mitteümarvarraste korral. Ümarvarraste väändeülesande lahendamisel tehtud hüpotees, et varda ristlõiked jäävad deformatsioonil tasapinnalisteks ei kehti mitteümarvarraste puhul. Seda näitavad ilmekalt eksperimentide tulemused(vt. joonis 8.1 a). Enim kõverduvad algsed sirged külgede keskosas. Korrektse lahenduse vaadeldavale ülesandele andis Saint-Venant (1855). Vaatleme ühtlast varrast, mille otstesse on rakendatud momendid, kusjuures ristlõike kuju on meelevaldne (joonis 8.1 b). Saint Venaint lähtus eeldusest, et varda deformatsioon koosneb kahest osast: 1) ristlõike pöörded analoogiliselt ümarvardaga ja ) ristlõike tasandite kõverdumine(deplanatsioon), mis on kõigi ristlõigete jaoks sama. Koordinaatide alguseks valime varda otspinna keskme. Sel juhul on ristlõigete pööretele vastavad siirded u = ϑzy ja v = ϑzx (8.1)
2 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-3 Joonis 8.1: Sirge varda vääne Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-4 kus ϑ on väändenurga intensiivsus. Ristlõigete kõverdumist kirjeldadakse funktsiooniga ψ w = ϑψ(x,y). (8.) Seega deformatsioonikomponendid ε x = ε y = ε z = γ xy = 0, γ xz = w x + u ( ) ψ z = ϑ x y, γ yz = w y + v ( ) ψ z = ϑ y +x ning vastavad pingekomponendid σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, ( ψ τ xz = Gϑ x y ), τ yz = Gϑ ( ) ψ y +x. (8.3) (8.4) Märkused: (i) käesolevas peatükis võivad mõned võrrandid liikmete järjekorra poolest olla erineval kujul kui eelmistes; (ii) nihkepingete tähistuse korral on indeksite järjekorra juures vaja meenutada nihkepingete paarsuse seadust.
3 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-5 Seega on meil igas varda puktis puhas nihe, mis on määratud komponentidega τ xz ja τ yz. Pannes avaldised (8.4) tasakaaluvõrrandeisse σ x x + τ xy y + τ xz z +f x = 0, σ y y + τ xy x + τ yz z +f y = 0, (8.5) σ z z + τ xz x + τ yz y +f z = 0, ning hüljates mahujõud, saame funktsiooni ψ määramiseks diferentsiaalvõrrandi ψ x + ψ = 0. (8.6) y Vaatleme nüüd rajatingimusi t x p νx = σ x l+τ xy m+τ xz n, t y p νy = σ y m+τ yz n+τ xy l, t z p νz = σ z n+τ xz l+τ yz m. (8.7) 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-6 Külgpinnal on t x = t y = t z = 0 ja n = cos(nz) = 0, seega (8.7) 1, on samaselt nullid, aga (8.7) 3 annab τ xz l+τ yz m = 0. (8.8) Viimane tingimus tähendab, et summaarne nihkepinge peab olema suunatud piki varda külgpinna puutujat. Joonis 8.: Funktsiooni ψ määramine väänatud varda külgpinna lähedase lõpmata väikese elemendi abc abil. NB! τ xz = τ zx
4 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-7 Vaatleme varda külgpinna lähedast lõpmata väikest elementi abc (joonis 8.). Eeldame, et s positiivne suund on c a. Suunakoosinused l = cos(nx) = dy, m = cos(ny) = dx ds ds. (8.9) Kasutades valemeid (8.9) ja (8.4) saame rajatingimusele (8.8) kuju ( ) ( ) ψ dy ψ x x y ds y +x = 0. (8.10) s Seega suvaline väändeülesanne taandub funktsiooni ψ määramisele diferentsiaalvõrrandist (8.6) rajatingimusel (8.10). Rajatingimuste rahuldamiseks on ka teine võimalus, mis viib lihtsamale võrrandile. Kuna σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, siis tasakaaluvõrrandeist jääb järgi τ xz z = 0, τ yz z = 0, τ xz x + τ yz y = 0. (8.11) Kuna (8.4) põhjal τ xz ja τ yz ei sõltu koordinaadist z, siis esimesed kaks on samaselt rahuldatud, kolmas tähendab aga, et võime tuua sisse pingefunktsiooni ϕ(x, y) τ xz = ϕ y ja τ yz = ϕ x. (8.1) 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8 Asendades (8.1) pingekomponentide avaldisse (8.4), saame ( ) ϕ ψ y = Gϑ x y, ϕ ( ) ψ x = Gϑ y +x. (8.13) Diferentseerime (8.13) 1 y järgi ja (8.13) x järgi ning lahutame esimesest teise. Saame diferentsiaalvõrrandi ϕ x + ϕ = F, F = ϑg (8.14) y pingefunktsiooni ϕ määramiseks. Avaldiste (8.9) ja (8.1) abil saame nüüd rajatingimustele (8.8) kuju ϕdy y ds + ϕ x dx ds = dϕ ds = 0, (8.15) st., pingefunktsion ϕ peab olema konstantne piki väliskontuuri. Täisvarraste puhul võib selle konstandi vabalt valida, näiteks võtta ϕ = 0. Seega tuleb pingete määramiseks leida ϕ, mis rajal oleks null. Järgmistes alajaotustes vaatleme konkreetse kujuga ristlõikeid.
5 8.. Elliptiline ristlõige 8-9 Varda otstes on l = m = 0 ja n = ±1, st. rajatingimused (8.7) saavad kuju t x = ±τ xz, t y = ±τ yz. (8.16) Seega on pingejaotus varda otstes identne pingejaotusega suvalises varda ristlõikes. Integreerimine üle kogu otspindade annab nullise peavektori ja väändemomendi (pöördemomendi) M t = ϕdxdy. (8.17) Saadud lahend on täpne Saint-Venant i printsiibi mõistes. 8. Elliptiline ristlõige Vaatleme varrast, mille ristlõige on esitatav võrrandiga (vt. joonis 8.3) x a + y 1 = 0. (8.18) b Kui valida nüüd pingefunktsioon kujul ( ) x ϕ = m a + y b 1, (8.19) 8.. Elliptiline ristlõige 8-10 Joonis 8.3: Elliptilise ristlõikega varda vääne. kus m on konstant, siis on diferentsiaalvõrrand (8.14) ja rajatingimused (8.15) rahuldatud tingimusel, et a b m = F. (8.0) (a +b ) Seega kokku ϕ = a b ( ) F x (a +b ) a + y b 1. (8.1)
6 8.. Elliptiline ristlõige 8-11 Konstandi F määramiseks asendame (8.1) momendi avaldisse (8.17) Kahe viimase põhjal ning pingekomponendid (8.1) Järelikult suhe F = M t(a +b ) πa 3 b 3. (8.) ϕ = M ( ) t x πab 3 a + y b 1 (8.3) τ xz = M ty πab 3, τ yz = M tx πa 3 b. (8.4) τ xz τ yz = a b y x, (8.5) st., pingekomponentide suhe on proportsionaalne suhtega y/x. Järelikult on see suhe konstantne piki igat punktist O väljuvat kiirt ( ellipsi raadiust ), näiteks OA joonisel 8.3. Seega summarse nihkepinge suund (lõigu OA igas punktis) ühtib nihkepinge suunaga punktis A. Vertikaalse telje OB punktide puhul on nihkepinge τ yz = 0 ja summaarne pinge on võrdne nihkepingega τ xz. 8.. Elliptiline ristlõige 8-1 Horisontaalküljel on olukord vastupidine. On selge, et max τ xz > max τ yz ja et max τ xz = τ max = M t πab. (8.6) Kui a = b, siis saame valemi ümarvarda maksimaale nihkepinge määramiseks väändel. Avaldiste (8.) ja (8.14) põhjal saame määrata väändenurga ϑ = M t a +b πa 3 b 3 G. (8.7) Valemis (8.7) esineva väändemomendi kordaja pöördväärtust C = πa3 b 3 G a +b = GA4 4π I ρ (8.8) nimetatakse varda väändejäikuseks. Siin A = πab on ristlõike pindala ja I ρ = πab 4 (a +b ) ristlõike polaarinertsimoment.
7 8.. Elliptiline ristlõige 8-13 Siirdekomponentide u ja v leidmiseks tuleb vaid asendada (8.7) avaldistesse (8.1). Kolmanda komponendi w leidmiseks tuleb pingekomponendid (8.4) ja väändenurk (8.7) asendada avaldistesse (8.4), integreerida, avaldada ψ ning (8.) abil avaldada w = M t (b a )xy πa 3 b 3 G. (8.9) Seega on deformeerunud ristlõike samasiirdejooned w = const. (w isojooned) hüperboolid, mille asümptootideks on ellpsi poolteljed (vt. joonis 8.4). Joonis 8.4: Samasiirdejooned w = const Membraananaloogia Membraananaloogia Väändeülesannete lahendamise puhul on osutunud väga kasulikuks Prantli poolt (1903) sisse toodud membraananaloogia. Vaatleme väänatava varda ristlõike kujulist servast toetatatud membraani. Membraani servale on rakendatud ühtlane tõmme ja pinnale ühtlaselt jaotatud rõhk (põikkoormus). Tähistame membraani ühikpinnale mõjuva rõhu q ja serva ühikpikkusele mõjuva tõmbejõu S, vt. joonis 8.5 a). Vaatleme membraani väikest elementi abcd, täpsemalt öeldes, tema tasakaalu. Väikeste läbipainete korral on külgedel ad ja bc mõjuva summaarse tõmbejõu projektsioon z-teljel S( w/ x )dxdy ja ülejäänud kahel küljel S( w/ y )dxdy. Tasakaaluvõrrand omab seega kuju qdxdy +S w w x dxdy +S y dxdy = 0 kust saame w x + w y = q S. (8.30) Võrreldes võrrandit (8.30) ja membraani läbipainde rajatingimusi (membraani läbipaine servas on null) võrrandiga (8.14) ja rajatingimustega (8.15) funktsiooni ϕ jaoks, jõuame järeldusele, et need kaks ülesanet on langevad kokku.
8 8.3. Membraananaloogia 8-15 Joonis 8.5: Põikkoormusega koormatud ühtlaselt tõmmatud membraan a); deformeerunud membraani samaläbipainde jooned b). NB! τ xz = τ zx 8.3. Membraananaloogia 8-16 Teisisõnu, selleks et leida diferentsiaalvõrrandi (8.30) abil funktsiooni ϕ, tuleb (8.30)-s asendada q/s suurusega F = Gϑ võrrandist (8.14). Joonisel 8.5 b) on membraani deformeerunud pind kujutatud samaläbipaindejoonte (isojoonte) abil. Vaatleme suvalist punkti B. Kuna teda läbival isojoonel on läbipaine konstantne, siis w = 0, (8.31) s kus s kujutab endast loomulikku koordinaati vaadeldaval isojoonel. Analoogiline võrrand pingefunktsiooni ϕ jaoks omab kuju (vt. valem (8.15)) dϕ ( ϕ ds = dx x ds + ϕ ) dy y ds dx = τ yz ds +τ dy xz ds = τ xzl+τ yz m = 0. (8.3) Viimane väljendab asjaolu, et summaarse nihkepinge projektsioon isojoone normalile on null. Järelikult mõjub summaarne nihkepinge vaadeldavas punktis isojoone puutuja sihis. Selliselt konstrueeritud isojooni (kõveraid) vaadeldaval ristlõikel nimetatakse seetõttu nihkepingete trajektoorideks (analoogia punkti kiiruse ja trajektooriga).
9 8.3. Membraananaloogia 8-17 Summaarne nihkepinge τ vaadeldavas punktis B saadakse kui projekteeritakse nihkepinged τ xz ja τ yz puutuja sihile Arvestades, et τ xz = ϕ y, τ yz = ϕ x saame avaldisele (8.33) kuju τ = τ = τ xz m+τ yz l. (8.33), l = cos(nx) = dx dn ( ϕ dy y dn + ϕ x ) dx dn ja m = cos(ny) = dy dn (8.34) = dϕ dn. (8.35) Seega on nihkepinge punktis B määratud membraani läbipainde tõusuga punkti B läbiva samaläbipaindejoone normaali suunas (võetuna miinusmärgiga). Seega vastab suurimale väändepingele membraani läbipainde suurim tõus. Teisisõnu, maksimaaalsed nihkepinged mõjuvad punktides, kus isojooned paiknevad üksteisele kõige lähemal. Väändemomendi avaldisest (8.17) saab järeldada, et kahekordne paindunud membraaniga piiratud ruumala on võrdne väänedemomendiga (loomulikult eeldusel, et membraani puhul on tehtud asendus Gϑ q/s) Membraananaloogia 8-18 Eksperimentaalsete uuringute korral kasutatakse membraanina seebikilet. Katsekehaks on (tasapinnaline) plaat, kuhu on lõigatud uuritava ristlõike kujuline ava. Kui eesmärgiks on pingete otsene määramine eksperimendist, siis tehakse samasse plaati võrdluseks ka ringikujuline ava. Allutades nüüd mõlemat ava katvad membraanid võrdsele survele 1 saame vajalikud väärtused suhtele q/s, mis vastab suurusele Gϑ. Viimane on sama mõlema väänatava varda jaoks. Seega, tingimusel, et väändenurk varda pikkusühiku kohta ja nihkeelastsusmoodul G on mõlemal vardal võrdne, saame võrrelda pingeid uuritava ristlõikega vardas pingetega ümarvardas mõõtes kahe seebikile kalded. Tõsi küll, pingekontsentaatorite lähedal võib seebikile meetod anda ebatäpseid tulemusi. Aljaotuses 8.6 refereeritav elektriline analoogia annab siin täpsemaid tulemusi. 1 Katsed näitavad, et mõlemas kiles tekkivad tõmbejõud võib sel juhul lugeda praktiliselt võrdseks.
10 8.4. Kitsa ristküliku kujulise ristlõikega varda vääne Kitsa ristküliku kujulise ristlõikega varda vääne Vaatleme varrast, mille ristlõike laius c on väike võrraldes kõrgusega h (jooonis 8.6). Antud juhul saame lahendi kasutades membraananaloogiat järgmisel kujul: hülgame ristküliku lühikeste külgede mõju ja eeldame, et membraani pind on silindriline (läbipainded on seejuures väikesed). Sellisel juhul saab membraani läbipainded määrata niidi mehaanikast tuntud valemi w = 4δ ( ) c c 4 x, (8.36) abil (vt. joonis 8.6 b)). Viimases valemis esinev suurus δ = qc 8S (8.37) määrab läbipainde maksimaalse väärtuse (st. läbipainde kohal x = 0). Valem (8.36) on tuntud kui painduva niidi (paraboolsete) läbipainete valem. Vastavalt läbipainde valemile (8.36) on membraani kalle (parabooli tõus) dw dx = 8δx = q x. (8.38) c S 8.4. Kitsa ristküliku kujulise ristlõikega varda vääne 8-0 Joonis 8.6: Varda ristlõige ja maksimaalsed nihkepinged a) ja vastava membraanani läbipaine b). Parabooli maksimaalne tõus vastab servapunktile ja on dw dx = qc S. (8.39) x=±c/
11 8.4. Kitsa ristküliku kujulise ristlõikega varda vääne 8-1 Membraani ja x,y tasandiga piiratud keha ruumala V = qbc3 cδb = 3 1S. (8.40) Kasutades membraananaloogiat ja asendades valemites (8.39) ja (8.40) suuruse q/s suurusega Gϑ, saame τ max = cgϑ ja M t = 1 3 bc3 Gϑ. (8.41) Viimasest omakorda ϑ = 3M t bc 3 G ja τ max = 3M t bc. (8.4) Rakendades membraananaloogiat valemile (8.38) saame leida nihkepinged väänatud vardas τ yz = Gϑx. (8.43) Leides sellele pingejaotusele vastava väändemomendi M t = b c/ 0 τ yz xdx =... = bc τ max, (8.44) Kitsa ristküliku kujulise ristlõikega varda vääne 8 - näeme, et see on korda väiksem kui valemiga (8.41) määratud M t. Teise poole momendist M t annavad pinged τ xz, mis on väikesed võrraldes pingetega τ yz ja omavad maksimaalset väärtust ristõike lühemal küljel. Kuna aga jõu õlg on nende jaoks suur, siis summaarselt annavad nad ikkagi poole väändemomendist M t. Joonis 8.7: Õhukeseseinalised avatud ristlõiked. Valemeid (8.41) ja (8.4) võib kasutada ka näiteks joonisel 8.7 kujutatud õhukeseseinaliste avatud ristlõigete korral. Siin tuleb vaid võtta b võrdseks ristlõike keskjoone pikkusega. Teisisõnu, ristlõige tuleb mõtteliselt sirgestada.
12 8.5. Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-3 Sellist lähenemist saab kasutada väga erineva kujuga torude (õõnsate varraste) puhul, eeldades, et seina paksus c on väike võrreldes ristlõike diameetriga (kõrgusega, laiusega) ning ristlõige on avatud. Sellisel juhul membraani kalle ja ruumala, mille ta määrab erineb vähe ristkülikulise varda vastavatest suurustest. Tuleb märkida, et joonisel 8.7 b) kujutatud juhul leiab ristlõike nurkades aset märgatav pingete kontsentratsioon. 8.5 Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne Vaatleme ristkülikulise ristlõikega varrast (kõrgus b ja laius a, joon. 8.8). Kasutame mebraananaloogiat, st. plaadi ristlõike kujulise membraani läbipainded peavad rahuldama võrrandit (8.30): w x + w y = q S ja olema plaaadi servades x = ±a ja y = ±b võrdsed nulliga. (8.45) 8.5. Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-4 Joonis 8.8: Ristkülikuline ristlõige Kuna läbipainded on antud juhul sümmeetrilised nii x kui y telje suhtes, siis on nii (8.45) kui rajatingimused rahuldatud kui anda läbipainded ette kujul W = n=1,3,5,... ( b n cos nπx ) Y n, (8.46) a kus b 1,b 3,... on konstandid ja Y 1,Y 3,... funktsioonid, mis sõltuvad vaid muutujast y. Funktsioonide Y n määramiseks väljendatakse (8.45) parem pool Fourier reana,
13 8.5. Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-5 st., esitatakse kujul q S = n=1,3,5,... q 4 ( 1)n 1 cos nπx Snπ a. (8.47) Seejärel rahuldadakse rajatingimused ja sümmetriatingimused ning saadakse ( ) Y n = 16qa nπy cosh ( 1) n 1 Sn 3 π 3 a 1 b n cosh nπb. (8.48) a Asendades saadud funktsioonid (8.48) läbipainde avaldisse (8.46) saame ( ) W = 16qa nπy 1 cosh 3( 1)n 1 Sπ 3 a 1 n cosh nπb cos nπx (8.49) a a n=1,3,5,... Asendades nüüd suuruse q/s suurusega Gϑ saame esitada pingefunktsiooni kujul ( ) ϕ = 3Gϑa nπy 1 cosh 3( 1)n 1 π 3 a 1 n cosh nπb cos nπx a. (8.50) a n=1,3,5, Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-6 Pingekomponentide τ xz ja τ yz määramiseks tuleb nüüd differntseerida avaldist (8.50) ( ) τ yz = ϕ x = 16Gϑa nπy 1 cosh ( 1)n 1 π a 1 n cosh nπb sin nπx a. (8.51) a n=1,3,5,... Eeldades, et b > a saame, et maksimaalne nihkepinge mõjub pikemate külgede x = ±a keskpunktides (see vastab membraani läbipainde maksimaalsele kaldele). Pannes x = a ja y = 0 ja arvestades, et = π 8, saame τ max = Gϑa 16Gϑa π n=1,3,5,... 1 n cosh nπb. (8.5) a Kui b > a, siis koondub (8.5) paremal pool olev lõpmatu rida väga kiiresti ja τ max määramine fikseeritud suhte b/a puhul ei valmista raskusi. Näiteks väga kitsa ristlõike puhul on suhe b/a väga suur ja lõpmatu rea avaldise (8.5) paremal poolel võib hüljata. Tulemuseks saame τ max = Gϑa, (8.53) mis on kooskõlas alajaotuses 8.4 esitatud valemiga (8.43) või (8.41) (c = a).
14 8.5. Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-7 Tabel 8.1: Suhte b/a ja konstantide k, k 1 ja k vaheline seos. b/a k k k Ruudukujulise ristlõike puhul a = b ja Üldjuhul esitatakse maksimaalne nihkepinge kujul τ max = 1,351Gϑa. (8.54) τ max = Gkϑa, (8.55) kus kordaja k väärtus sõltub suhtest b/a (vt. tabel 8.1). Et leida väändemomendi M t ja väändenurga ϑ vahelist seost, tuleb leida integraal (vt. (8.17)) a b M t = ϕdxdy. (8.56) a b On ilmne, et ka see integraal avaldub lõpmatu rea kujul. Analoogiliselt nihkepingega, koondub ka see rida b > a puhul ning tuues sisse suhtest b/a sõltuvad 8.5. Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-8 kordajad k 1 ja k (vt. tabel 8.1) saame väändemomendi M t ja väändenurga ϑ vahelise sõltuvuse kujul M t = k 1 Gϑ(a) 3 b (8.57) ja maksimaalse nihkepinge ning väändemomendi vahelise seose τ max = M t k (a) b. (8.58) Teisest peatükist (või tugevusõpetuse kursusest) on tuttavad valemid τ h = τ max = M t W t, W t = k h hb, τ b = k b τ h ja tabel 8. koos vastava joonisega, mis on kooskõlas siin esitatud lahendusega.teisespeatükivastavasalajaotuses( Väändepingedmitteümarristlõigetes ) esitatud konstantide tabel koos joonisega on pärit prof. Aleksander Klausoni tehnilise mehaanika loengukonspektist ning on praktiliselt samal kujul esitatud uues tugevusõpetuse õpikus. Tabel 8. pärineb aga prof. Jaan Metsaveere ja dots. Uusi Raukase koostatud õppevahendi Varda sisejõud ja pinged ühest Klauson, J. Metsaveer, P. Põdra, U. Raukas, Tugevusõpetus, Tallinn, TTÜ Kirjastus, 01.
15 8.5. Ristkülikulise ristlõikega varraste vääne 8-9 varasemast trükist. Siin on lisaks esitatud veel tabel 8.3, kus on toodud vastavate konstantide väärtused pisut suurema täpsusega. On selge, et tabelis 8.1 toodud konstandi k ja tabelites 8. ning 8.3 esitatud konstandi k h väärtused langevad kokku. Tabel 8.: Suhte h/b ja konstantide k h ja k b vaheline seos ning maksimaalsed nihkepinged (Metsaveere ja Raukase põhjal). Tabel 8.3: Suhte h/b ja konstantide k h ja k b vaheline seos. h/b k h k b Valtsmetallist varraste (talade) vääne Valtsmetallist varraste (talade) vääne Joonis 8.9: Kolm erinevat valtsmetallist tala ristlõiget: a) nurkraud ; b) karpraud ; c) I-raud. Vaatleme nn. nurkprofiilist, karpprofiilist ja I-profiilist talade väänet (joonis 8.9). Rakendame alajaotuses 8.4 saadud tulemusi kitsa ristkülikulise tala jaoks, st. valemeid ϑ = 3M t bc 3 G ja τ max = 3M t bc, (8.59) kus b tähistab ristküliku kõrgust ja c laiust.
16 8.6. Valtsmetallist varraste (talade) vääne 8-31 Nurkprofiili puhul tuleb valemis (8.59) võtta b = a c. Karpprofiili ja I-profiili puhul tuleb ristlõige lahutada kolmeks ristkülikuks ning eeldada, et vaadeldava ristlõike väändejäikus võrdub ristkülikute väändejäikuste summaga, st. (8.59) 1 tuleb suurus bc 3 asendada suurusega b 1 c 3 1 +b c 3. Seega antud juhul väändenurk ϑ = 3M t (b 1 c 3 1 +b c 3 (8.60) )G. Ristlõike servas mõjuvate maksimaalsete nihkepingete määramiseks (hindamiseks) kasutatakse valemit (8.41) 1, st. valemit τ = cϑg. Seega näiteks I-tala vöös mõjuva nihkepinge hindamiseks saab kasutada valemit 3 τ max = 3M t c b 1 c 3 1 +b c 3. (8.61) Vaadeldavate ristlõigete nurkades ilmneb oluline pingete kontsentratsioon. Vaatleme näitena nurkprofiili seinapaksusega c (joonis 8.10). Tähistame ümardatud sisenurga raadiuse a. Kasutades membraananaloogiat saame nurgas mõjuva maksimaalse nihkepinge jaoks hinnangu 3 Meenutame, et valemid kitsa ristkülikulise ristlõike jaoks saadi eeldusel, et membraan oli kitsamast otsast lahti, järelikult τ = const piki pikemat külge Valtsmetallist varraste (talade) vääne 8-3 ( c ) τ max = τ 1, (8.6) 4a kusτ 1 tähistabseinasmõjuvatnihkepinget.näiteksa = 0,5cpuhulτ max = 1,5τ 1 ja a = 0,1c puhul τ max = 3,5τ 1. Joonis 8.10: Pingete kontsentratsioon nurkprofiili korral.
17 8.6. Valtsmetallist varraste (talade) vääne 8-33 Joonis 8.11: Suhe τ max /τ 1 sõltuvana suhtest a/c. Joonis 8.11 esitab pingete kontsentratsiooni iseloomustava suhte τ max /τ 1 sõltuvana kõverusraadiuse ja seina paksuse suhtest a/c. Siin vastavad alumised kõverad nurkprofiilile. Kõver A on saadud numbriliselt kasutades lõplike vahede meetodit ja esitab täpsemaid tulemusi kui kõver B, mis vastab valemile (8.6). Samal ajal on selge, et a/c < 0,3 korral annab valem (8.6) täpse tulemuse Valtsmetallist varraste (talade) vääne 8-34 Ülemised kaks kõverat iseloomustavad pingete kontsentratsiooni I- ja T- profiilides kahe erineva seina ja vöö paksuste suhte c/s jaoks. Viimased tulemused on saadud eksperimentidest, kus pingefunktsiooni ϕ analoogiks on elektriline potentsiaal V konstantse voolutiheduse i puhul. Vastav võrrand omab kuju V = ρi, (8.63) kus ρ on plaadi takistus (konstantne). Katse käigus hoitakse plaadi servas konstantset potentsiaali. Sellisel juhul on meil jällegi täielik analoogia võrranditega (8.14) ja rajatingimustega (8.15). Rakendades viimati käsitletud analoogiat nurkprofiilile, saadakse joonise 8.11 kõver A.
Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria põhivõrrandid,
Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραPinge. 2.1 Jõud ja pinged
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότερα2.1. Jõud ja pinged 2-2
1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραDeformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραÜlesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus
Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραDeformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Διαβάστε περισσότερα3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
ugevusanalüüsi alused. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL 1. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL.1. Varda arvutusskeem väändel Väände puhul on tihtipeale koormusteks detaili otseselt väänavad pöördemomendid või jõupaarid (Joon..1):
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραTeaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt Tallinn 2006 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud kasutamiseks Tallinna Tehnikaülikooli
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραTabel 1 Tala HE800B ristlõike parameetrid
KONSTRUKTSIOONIDE ARVUTUSED Komposiitsilla kandetalaks on valitud valtsitud terastala HE800B (võib kasutada ka samadele ristlõike parameetritele vastavat keevitatud tala). Talade vahekaugus on 1,7 meetrit.
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραStaatika ja kinemaatika
Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραLõplike elementide meetod
Andres Lahe Lõplike elementide meetod 0.8 0.6 0.4 0. 0 N3=0.5*(+x)*(+y) 4 3 Tallinn 008 Õpevahend on vormindatud tekstitöötlusprogrammiga LATEX (loe: lateh). Tekstitöötlusprogramm LATEX on programmi TEX
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότερα5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE
TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραFüüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge
9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse
Διαβάστε περισσότεραKandvad profiilplekid
Kandvad profiilplekid Koosanud voliaud ehiusinsener, professor Kalju Looris ja ehnikalisensiaa Indrek Tärno C 301 Pärnu 2003 SISUKORD 1. RANNILA KANDVATE PROFIILPLEKKIDE ÜLDANDMED... 3 2. DIMENSIOONIMINE
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότεραKui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha
Διαβάστε περισσότεραMaterjalide omadused. kujutatud joonisel Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega,
Peatükk 7 Materjalide omadused 1 Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega, mis sageli lõpevad katsekeha purunemisega, näiteks tõmbekatse, väändekatse või löökkatse.
Διαβάστε περισσότεραTehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA
Tehniline Mehaanika I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STTIK 1.1. Põhimõisted Staatika on jäikade kehade tasakaaluõpetus. Ta uurib tingimus,
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότεραVeaarvutus ja määramatus
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted
Διαβάστε περισσότεραANTENNID JA RF ELEKTROONIKA
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Mikrolainetehnika õppetool Laboratoorne töö aines ANTENNID JA RF ELEKTROONIKA Antenni sisendtakistuse määramine Tallinn 2005 1 Eesmärk Käesoleva laboratoorse töö eesmärgiks on tutvuda
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus
Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.
Διαβάστε περισσότεραEcophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραNÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov
Διαβάστε περισσότεραTuulekoormus hoonetele
Tuulekoormus hoonetele Ivar Talvik 2009 TUULEKOORMUSE OLEMUSEST Tuule poolt avaldatav rõhk konstruktsioonist eemal: 2 ρ v q=, [Pa, N/m 2 2 ] kus on ρ on õhu tihedus ja v on õhu liikumise kiirus ρ = 1,
Διαβάστε περισσότεραWilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)
Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda,
Διαβάστε περισσότεραPEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine
PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL 5.1 Koormuse iseloom (1) P Projekt peab arvestama asjaolu, et lumi võib katustele sadestuda paljude erinevate mudelite kohaselt. (2) Erinevate mudelite rakendumise põhjuseks
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραRaudbetoonkonstruktsioonid I. Raudbetoon-ribilae ja posti projekteerimine
Raudbetoonkonstruktsioonid I MI.0437 Raudbetoon-ribilae ja posti projekteerimine Juhend kursuseprojekti koostamiseks Dots. J. Valgur Tartu 2016 SISUKORD LÄHTEÜLESANNE... 3 ARVUTUSKÄIK... 3 1. Vahelae konstruktiivne
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραVektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραREAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant
Διαβάστε περισσότεραVirumaa Kolledž. Gennadi Arjassov. L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaamika. Ehitusmehaanika RAR2030.
Viruaa Koedž Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 5/ Eessõna Loengukonspekt Varraskonstruktsioonide staatika
Διαβάστε περισσότεραVirumaa Kolledž Reaal ja tehnikateaduste keskus
Viruaa Koedž Reaa ja tehnikateaduste keskus Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 7/8 Eessõna Loengukonspekt
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότερα