Deformatsioon ja olekuvõrrandid
|
|
- Αντίγονος Ζάχος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y, z. VälisjõududetoimelliigubtaasendisseA koordinaatidega x,y,z.vektoritaa nimetatakse punkti A siirdeks ehk siirdevektoriks. Eristame kahte liiki siirded: keha kui terviku siirded (toimuvad ilma deformatsioonideta) selliste siiretega tegeleb jäiga keha mehaanika 2 ; siirded, mis on seotud keha deformatsiooniga käesolevas kursuses vaadeldakse just selliseid siirdeid. Siirdevektori koordinaattelgede x, y, z sihilisi komponente tähistatakse u, v, w, st., u x x, v y y, w z z. (3.) Tavaliselt nimetatakse neid lühidalt siirdekomponentideks. Siirde sünonüüm (mehaanikas) on paigutis. Füüsikud kasutavad samas tähenduses terminit nihe, mis on aga mehaanika seisukohast eksitav. 2 Mitmed pideva keskkonna mehaanika õpikud nimetavad selliseid siirdeid jäigaks deformatsiooniks.
2 3.. Siire ja deformatsioon 3-3 v + v y dy y C C u + u y dy C β 2 dy y v A A β B B B v + v x dx O x u dx u + u x dx x Joonis 3.: Normaal- ja nihkedeformatsioon 3.. Siire ja deformatsioon 3-4 Kui keha deformeerub, siis peavad erinevate punktide siirded olema erinevad, st., u u(x, y, z), v v(x, y, z), w w(x, y, z). (3.2) Vaatleme lõpmata väikese risttahuka kahe serva käitumist x, y tasandil (joon. 3.). Enne deformatsiooni: AB dx x ja AC dy y; Punktide koordinaadid: A :(x, y); B :(x + dx, y); C :(x, y + dy). Peale deformatsiooni: A A ; B B ja C C.Vastavadsiirded: Punkt A: u ja v; Punkt B: u + u v xdx ja v + x dx; Punkt C: u + u v ydy ja v + y dy;
3 3.. Siire ja deformatsioon 3-5 Kuna lineaarses elastsusteoorias on kõik muutused väikesed, siis on väikesed ka servade AB ja AC pöördenurgad, st., cos β, sin β β ja tan β β. Seetõttu lõikude AB ja AC suhtelised pikenemised ehk koordinaatide x ja y sihilised normaaldeformatsioonid ε x A B AB AB ε y A C AC AC A B AB AB A C AC AC u (dx + u + xdx u) dx dx v (dy + v + ydy v) dy dy u x dx dx v y dy dy u x, v y (3.3) 3.. Siire ja deformatsioon 3-6 ja pöörded β tan β B B A B β 2 tan β 2 C C A C v x dx dx + u x dx u y dy dy + u y v x dx ( + u x }{{} ε x dy... u y )dx v x dx dx v x (3.4) Nihe ehk nihkedeformatsioon on defineeritud kui algse täisnurga muutus,st.nihe xy tasandil γ xy β + β 2 u y + v x. (3.5)
4 3.. Siire ja deformatsioon 3-7 Analoogiliselt saab leida normaaldeformatsioonid (suhtelised pikenemised) ja nihkedeformatsioonid (ehk nihked) teistel koordinaattasanditel. Kokku saame kuus seost deformatsioonikomponentide ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz ja siirdekomponentide u, v, w vahel: ε x u x, γ xy u y + v x, ε y v y, γ yz v z + w y, ε z w z, γ xz u z + w x. Saadud seoseid nimetatakse tihti Cauchy võrranditeks või Cauchy seosteks. (3.6) Märgireeglid: pikenemisele vastav normaaldeformatsioon on positiivne; koordinaattelgede positiivsete suundade vahelisele täisnurga vähenemisele vastav nihe on positiivne. Järeldus: Positiivsed pinged põhjustavad positiivseid deformatsioone. 3.. Siire ja deformatsioon Orienteeritud lõigu pikenemine Vaatleme kahte lõpmata lähedast punkti A ja B, kusjuures vektor AB dr (dx, dy, dz). Siinjuures on vektori dr suunakoosinused l dx dr, m dy dr, n dz dr. y B B A dr A dy dx dz z Joonis 3.2: Lõigu AB deformatsioon x
5 3.. Siire ja deformatsioon 3-9 Vastava joonelemendi AB normaaldeformatsioon (ehk suhteline pikenemine) Siin AB dx 2 + dy 2 + dz 2 dr, A B ( dx + u )2 r dr + dr +2 ε r A B AB. (3.7) AB ( dy + v )2 ( r dr + ( l u r + m v r + n w r ). dz + w r dr )2... (3.8) Kombineerides kahte viimast avaldist ning hinnates liikmete suurusjärke saame ε r l u r + m v r + n w r. (3.9) Teisendades osatuletised r järgi osatuletisteks koordinaatide x, y, z järgi, saame 3 ε r l 2 ε x + m 2 ε y + n 2 ε z + lmγ xy + mnγ yz + lnγ xz. (3.0) 3 Detailset tuletuskäiku vt. R. Eek, L. Poverus, Ehitusmehaanika II, Tallinn, Valgus, 967 lk Siire ja deformatsioon 3-0 Rakendus tensomeetrias 4. Olgu vaja määrata xy tasandi meelevaldses punktis normaaldeformatsioonid (suhtelised pikenemised) ε x ja ε y ning nihe γ xy.kuna antud juhul on n 0,siissaamevalemile(3.0)kuju Kaks lahendust: ε r l 2 ε x + m 2 ε y + lmγ xy. (3.). Vaadeldava punkti ümbrusse asetatakse kolm suvaliselt orienteeritud tensomeetrit 5 (joon. 3.3). Tensomeetrite lugemid esitavad valemi (3.) vasakut poolt kolme erineva orientatsiooniga lõigu jaoks. Kuna tensomeetrite orientatsioon on teada (s.o. määratud sihikoosinustega l, m, n) saadakse kolmest lugemist kolm võrrandit otsitavate suuruste ε x, ε y ja γ xy määramiseks. 2. Kuiorienteeridakakstensomeetrit telgedex ja y sihis, siis saame deformatsioonid ε x ja ε y otse tensomeetrite lugemitest, γ xy aga avaldame võrrandist (3.) 4 Tensomeetria on kehades (tarindites) koormamisel tekkinuddeformatsioonide(japingete)katselinemääramine. 5 Tensomeeter on seade deformatsioonide määramiseks. Tänapäeval on enamkasutatav elektriline tensomeeter.
6 3.. Siire ja deformatsioon 3- γ xy ε r l 2 ε x m 2 ε y. (3.2) lm Üldjuhul on kolmas tensomeeter koordinaattelgede suhtes 45 nurga all. Seega l m 2/2 ja γ xy 2ε r ε x ε y. (3.3) y (a) y (b) ε r2 ε r3 ε y ε r ε r 45 ε x x Joonis 3.3: Tensomeetria näide. x 3.2. Deformatsioonitensor Deformatsioonitensor Normaal- ja nihkedeformatsioonidest (ehk nihetest) saab moodustada deformatsioonitensori ε x 2 γ xy 2 γ xz E 2 γ yx ε y 2 γ zx 2 γ yz 2 γ zy ε z. (3.4) Erinevalt pingetensorist on siin nihete kordajaks 0, 5. Ilma selliste kordajateta ei alluks deformatsioonitensor tensorarvutuste reeglitele. Analoogiliseltpingetensoriga saab leida ka deformatsioonitensori invariandid: I ε ε x + ε y + ε z, I ε 2 ε x 2 γ xy ε y 2 γ xy + ε y 2 γ yz + ε x 2 γ xz 2 γ yz ε z 2 γ xz ε z, Iε 3 ε x 2 γ yx 2 γ xz 2 γ xy ε y 2 γ zx 2 γ zy 2 γ yz ε z (3.5).
7 3.3. Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Üldjuhul muutub keha ruumala ehk maht deformatsiooni käigus 6.Vaatlemelõpmata väikest risttahukat, mille ruumala enne deformatsiooni oli dv dxdydz. Serva AB pikkus enne deformatsiooni (vt. joon. 3.) on dx ja peale deformatsiooni dx dx( + ε x ). Analoogiliselt dy dy dy( + ε y ) ja dz dz dz( + ε z ). Keha ruumala peale deformatsiooni leiame lähtudes eeldusest, et normaaldeformatsioonid ja nihked on väikesed. Pärast mõningaid teisendusi, mille käigus hüljatakse teist ja kolmandat järku väkesed liikmed, saame deformeerunud elementaarristküliku mahuks dv dx dy dz dv ( + ε x + ε y + ε z ). Ruumde- formatsioon ehk suhteline mahumuutus 7 avaldub seega kujul θ dv dv dv ε x + ε y + ε z. (3.6) Seega on ruumdeformatsioon võrdne deformatsioonitensori esimese invariandiga. 6 Mitmetel ainetel on see mahumuutus hüljatavalt väike, näiteks vesi või kummi. 7 I. k. dilatation, volumetric change 3.4. Pidevustingimused 3-4 Teisest küljest, arvestades deformatsioonide ε x, ε y ja ε z definitsioone (3.4) on ruumdeformatsioon siirde divergents: θ u x + v y + w z divu u. 3.4 Pidevustingimused Cauchy võrrandid (3.4) seovad kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz ja γ xz kolme siirdekomponendiga u, v, w järgmisel viisil: ε x u x, γ xy u y + v x, ε y v y, γ yz v z + w y, ε z w z, γ xz u z + w x. Kui on antud kolm siirdekomponenti u, v, w, siis võrrandite (3.4) abil on võimalik üheselt määrata kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz.
8 3.4. Pidevustingimused 3-5 Kui on antud kuus deformatsioonikomponenti ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz,siis pole võrrandite (3.4) abil võimalik kolme siirdekomponenti u, v, w üheselt määrata. Ühese lahendi saamiseks tuleb sisse tuua kuut deformatsioonikomponenti siduvad lisatingimused (lisavõrrandid). Neid lisatingimusi nimetatakse eestikeelses kirjanduses tavaliselt pidevustingimusteks 8. 8 Ingl. k. compatibility conditions. Eesti keeles kasutatakse ka termineid pidevusvõrrandid või sobivustingimused Pidevustingimused 3-6 Alternatiivne põhjendus pidevustingimuste sissetoomiseks. (a) (b) (c) Joonis 3.4: Pidevustingimused Oletame, et vaadeldav keha on algolekus lõigatud väikesteks kuupideks (joon. 3.4 a). Kui iga kuupi on seejärel eraldi deformeeritud, siis on nende uuesti ühendamine selliselt, et tekkiks pidev keha üldjuhul võimatu (joon. 3.4 b). Selleks, et peale deformatsiooni oleks meil endiselt tegu pideva kehaga(joon.3.4c),peavad kuupide deformatsioonid rahuldama pidevustingimusi ehk pidevusvõrrandeid.
9 3.4. Pidevustingimused 3-7 Pidevusvõrrandite tuletamine. Diferentseerime võrrandit (3.4) kaks korda koordinaadi y järgi ja võrrandit (3.4) 2 kaks korda koordinaadi x järgi ning liidame saadud tulemused. 2 ε x y ε y x 2 3 u x y v x 2 y 2 ( u x y y + v x ) }{{} γ xy 2 γ xy x y. (3.7) Kombineerides võrrandeid (3.4) 3 saame veel kaks analoogilist pidevusvõrrandit. Neist aga ei piisa. Selleks, et saada veel kolm võrrandit, leiame võrrandeist (3.4) 4 6 osatuletised «puuduva koordinaadi» järgi, liidame (3.4) 4 5 ja lahutame saadud summast (3.4) 6.Seejärelvõtamesaadudtulemusestosatuletisey järgi: ( γxy y z + γ yz x γ ) xz y 3 v 2 x y z 2 2 x z Analoogiliselt saab tuletada veel kaks pidevusvõrrandit. ( ) v 2 2 ε y y x z. (3.8) 3.4. Pidevustingimused 3-8 Kokku oleme saanud kuus pidevusvõrrandit (pidevustingimust), mis on tuntud ka Saint-Venant i pidevusvõrranditena: 2 ε x y + 2 ε y 2 x 2 2 ε y z + 2 ε z 2 y 2 2 γ xy x y, 2 γ yz y z, 2 ε z x + 2 ε x 2 z 2 ( γxz x 2 γ xz x z, y + γ xy z γ yz x ( γxy y z + γ yz x γ xz y ( γyz z x + γ xz y γ xy z ) ) ) 2 2 ε x y z 2 2 ε y x z 2 2 ε z x y (3.9)
10 3.4. Pidevustingimused 3-9 Saadud kuuel pidevusvõrrandil ehk pidevustingimusel on väga selge füüsikaline sisu.. Esimesed kolm: kui on antud normaaldeformatsioonid (suhtelised pikenemised) kolmes ristuvas sihis, siis nende sihtidega määratud tasandites ei saa nihkedeformatsiooni meelevaldselt ette anda, vaid nad on määratud avaldistega (3.9) Viimased kolm: kui on antud nihkedeformatsioonid kolmes ristuvas tasapinnas, siis ei saa normaaldeformatsioone meelevaldselt ette anda, vaid nad on määratud avaldistega (3.9) Olekuvõrrandid Olekuvõrrandid Välisjõudude toimel kehad (keskkonnad) deformeeruvad. On selge, et ühe ja sama välisjõu toimel võivad erinevad materjalid deformeeruda väga erinevalt järelikultonvajavõrrandeid,mismääraksidkuidasüksvõiteinematerjal koormamisel käitub. Võrrandeid, mis seovad omavahel deformatsioonid ja pinged, nimetatakse olekuvõrranditeks. Lineaarses e. klassikalises elastsusteoorias on olekuvõrrandid esitatud üldistatud Hooke i seadusena, misesitablineaarseseosepinge-jadeformatsioonitensori vahel. Kui on vaja arvestada ka temperatuuri mõju kehade deformatsioonidele, siis tuuakse sisse termoelastsus tegurid ning lisatakse võrranditesse vastavad lisaliikmed. Sel juhul öeldakse tihti, et tegu on termoelastsusteooriaga.
11 3.5. Olekuvõrrandid Üldistatud Hooke i seadus Klassikalises (ehk lineaarses) elastsusteoorias (k.a. elementaarteooria) kehtib üldistatud Hooke i seadus: deformatsioonitensori komponendid on lineaarsed funktsioonid pingetensori komponentidest. Kõige üldisemal juhul saab vastavad seosed esitada järgmisel kujul: ε x D σ x + D 2 σ y + D 3 σ z + D 4 τ xy + D 5 τ yz + D 6 τ zx ε y D 2 σ x + D 22 σ y + D 23 σ z + D 24 τ xy + D 25 τ yz + D 26 τ zx ε z D 3 σ x + D 32 σ y + D 33 σ z + D 34 τ xy + D 35 τ yz + D 36 τ zx γ xy D 4 σ x + D 42 σ y + D 43 σ z + D 44 τ xy + D 45 τ yz + D 46 τ zx (3.20) γ yz D 5 σ x + D 52 σ y + D 53 σ z + D 54 τ xy + D 55 τ yz + D 56 τ zx γ zx D 6 σ x + D 62 σ y + D 63 σ z + D 64 τ xy + D 65 τ yz + D 66 τ zx Viimased avaldised sisaldavad 36 elastsuskonstanti sedaonpalju! Kui eeldada, et keha on ideaalselt elastne (st. peale koormuse kõrvaldamist taastub algne kuju), homogeenne ja isotroopne, siis jääb järele vaid kaks sõltumatut elastsuskonstanti (Youngi moodul E ja Poissoni koefitsent ν), mis on määratavad väga lihtsate eksperimentide abil Olekuvõrrandid 3-22 Tõmme surve (x-telje sihis). Elastsuskonstant ehk Youngi moodul E: ε x σ x /E Poissoni koefitsent (Poissoni tegur) ν: ε y νε x Nihe (xy tasandis). Nihkeelastsusmoodul G: γ xy τ xy /G, kus G E 2( + ν). (3.2) Kuna nihkeelastsusmoodul G on avaldatav E ja ν kaudu, siis ei saa teda pidada iseseisvaks elastsuskonstandiks.
12 3.5. Olekuvõrrandid 3-23 Üldistatud Hooke i seaduse tuletamiseks vaatleme lõpmata väikest isotroopset risttahukat, milles mõjuvad vaid normaalpinged σ x, σ y, σ z.pingeσ x > 0põhjustab pikenemist x-telje sihis ja lühenemist y- ja z-telje sihis. Analoogiline toime on normaalpingetel σ y > 0jaσ z > 0. Seega on summaarne suhteline pikenemine x-telje sihis ehk normaaldeformatsioon ε x σ x E ν σ y E ν σ z E E [σ x ν(σ y + σ z )]. (3.22) Nihkepingete ja nihkedeformatsioonide vahelised seosed on määratudhooke i seadusega iga koordinaattasandi jaoks sõltumatult, s.t., τ xy põhjustab vaid nihet γ xy,jne.(vrd.normaaldeformatsioonidega). Kokku saame kuus võrrandit, mis esitavad üldistatud Hooke i seadust isotroopse ideaalselt elastse keha jaoks: ε x E [σ x ν(σ y + σ z )], γ xy G τ xy, ε y E [σ y ν(σ z + σ x )], γ yz G τ yz, (3.23) ε z E [σ z ν(σ x + σ y )], γ zx G τ zx Olekuvõrrandid 3-24 Paljudes õpikutes 9 esitatakse valemitega (3.20) analoogilised pingete ja deformatsioonide vahelised seosed natuke teisel kujul. Esiteks tuuakse sisse tähistused ja σ σ x, σ 2 σ y, σ 3 σ z, σ 4 τ yz, σ 5 τ xz, σ 6 τ xy (3.24) ε ε x, ε 2 ε y, ε 3 ε z, ε 4 2γ yz, ε 5 2γ xz, ε 6 2γ xy. (3.25) Seejärel esitatakse pinge sõltuvana deformatsioonist kujul σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 3 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 C 4 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 5 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 (3.26) 9 Vt. näiteks J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates, Philadelphia,Taylor&Francis,999
13 3.5. Olekuvõrrandid 3-25 ja deformatsioon sõltuvana pingest kujul ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 2 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 3 S 32 S 33 S 34 S 35 S 36 S 4 S 42 S 43 S 44 S 45 S 46 S 5 S 52 S 53 S 54 S 55 S 56 S 6 S 62 S 63 S 64 S 65 S 66 σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6. (3.27) Elastsuskoefitsentidest moodustatud maatriksit [C ij ]nimetataksejäikusmaatriksiks 0.Maatriksit[S ij ][C ij ] võib eesti keeles seega nimetada pöördjäikusmaatriksiks või paindlikkusmaatriksiks või vetruvusmaatriksiks. 0 I. k. stiffness matrix I. k. compliance matrix. Tehnikasõnastikusoningliskeelsesõnacompliance eestikeelseks vasteks pakutud ka vetruvus Olekuvõrrandid 3-26 Kasutades nüüd tähistusi (3.24) ja (3.25) saavad valemid (3.23) kuju ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ν E ν E E ν E ν E E ν E ν E E G G G σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6. (3.28)
14 3.5. Olekuvõrrandid Hooke i seadus ruumdeformatsiooni jaoks Vastavalt üldistatud Hooke i seadusele (3.23) ε x + ε y + ε z }{{} θ ( 2ν) E (σ x + σ y + σ z ) }{{} I σ (3.29) Seega θ ( 2ν)Iσ. (3.30) E Suurust θ ε x + ε y + ε z nimetatakse ruumdeformatsiooniks (vt. ka (3.6)) ja ta on ühtlasi ka deformatsioonitensori esimene invariant. Tuues sisse ruumpaisumismooduli K ja keskmise pinge σ 0, K E 3( 2ν), σ 0 σ x + σ y + σ z 3 Iσ 3, (3.3) saame lineaarse seose keskmise pinge ja ruumdeformatsiooni vahel kujul σ 0 Kθ. (3.32) 3.5. Olekuvõrrandid Pingete avaldamine deformatsioonide kaudu Liidame avaldise (3.23) paremale poolele ja lahutame avaldise (3.23) paremast poolest suuruse E νσ x: ε x E [σ x + νσ x νσ x ν(σ y + σ z )] E [( + ν)σ x νi σ ]. (3.33) Avaldades (3.30)-st invariandi I σ Eθ/( 2ν), saame ε x ( + ν)σ x E νθ ( 2ν), kust σ x Eνθ ( + ν)( 2ν) + Eε x +ν (3.34) Tuues sisse Lamé koefitsiendid 2 λ Eν ( + ν)( 2ν), µ E 2( + ν) saame valemist (3.34) 2 σ x λθ +2µε x. G, (3.35) 2 Alternatiivne lineaarse teooria elastsuskonstantide paar.
15 3.5. Olekuvõrrandid 3-29 Leides analoogilised avaldised σ y ja σ z jaoks ning avaldades seostest (3.23) nihkepinged, olemegi saanud Hooke i seaduse alternatiivse kuju σ x λθ +2µε x, τ xy µγ xy, σ y λθ +2µε y, τ yz µγ yz, σ z λθ +2µε z, τ zx µγ zx. (3.36) Kasutades viimaseid valemeid leiame seose pingetensori ja deformatsioonitensori esimese invariandi vahel σ x + σ y + σ z }{{} I σ 3λθ +2µ (ε x + ε y + ε z ), kust I σ } {{ } θ (3λ +2µ)θ. (3.37) Kui tähistada keskmist normaaldeformatsiooni ε 0 ε x + ε y + ε z 3 θ 3, (3.38) siis saame seose keskmise pinge ja keskmise normaaldeformatsiooni vahel σ 0 (3λ +2µ)ε 0. (3.39) 3.5. Olekuvõrrandid Anisotroopsed kehad Eelmistes alajaotustes vaatlesime isotroopseid materjale ning seal oli pingete ja deformatsioonide vaheliste seoste kirjeldamiseks vaja vaid kahte sõltumatut elastsuskoefitsenti. Anisotroopse keha puhul on elastsuskonstantide arv loomulikult suurem. Kuna anisotroopseid materjale on mitut liiki, siis tuleb vajalik elastsuskonstantide arv määrata iga liigi jaoks eraldi. Ortotroopsed materjalid, näiteks vineer, on üks sagedamini esinevaidanisotroopse materjali liike. Sellisest materjalist kehade jaoks on võimalik määrata 3 omavahel ristuvat telge (peasuunada), mille sihis rakendatud normaalpinged ei põhjusta telgedevaheliste nurkade muutumist. Ortotroopse materjalielastsed omadused ei muutu telgede pööramisel 80 võrra, kuid muutuvad iga teistsuguse pöörde korral. Ortotroopse materjali iseloomustamiseks on vaja üheksat elastsuskonstanti. Valemid (3.27) saavad selliste materjalide korral kuju
16 3.5. Olekuvõrrandid 3-3 kus ε ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 S S 2 S S 2 S 22 S S 3 S 23 S S S S 66 σ σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6, (3.40) S E, S 22 E 2, S 33 E 3, S 2 ν 2 E, S 3 ν 3 E, S 23 ν 23 E 2, S 55 G 23, S 44 G 3, S 66 G 2. (3.4) Konstandid E, E 2, E 3, ν 2, ν 3, ν 23, G 2, G 3 ja G 23 on vastavalt Youngi moodulid, Poissoni tegurid ja nihkeelastsusmoodulid koordinaattelgedega määratud sihtides 3. 3 Tihti on koordanaatteljed valitud peasuundadega, 2, 3 määratud sihtides. Vt. lisaks J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates, Philadelphia, Taylor & Francis, Deformatsiooni potentsiaalne energia Deformatsiooni potentsiaalne energia Vaatleme lõpmata väikest risttahukat (joon. 3.5). Nagu on jooniselt näha, ei eelda me antud juhul enam homogeenset pingust. Arvestame aga klassikalise elastsusteooria eeldusi ja hüpoteese, mille kohasel on materjal ideaalselt elastne, deformatsioonid on väikesed ja kehtib superpositsiooniprintsiip.eesmärgiks on leida deformatsiooni potentsiaalne energia, miskehasonsalvestunud.selleks tuleb kõigepealt leida töö, mida tehakse deformatsiooni muutumisel (suurenemisel) elementaarristtahukas. Vaatleme tahke, mis on risti x teljega. Eeldame, et normaalpingete toimel suureneb deformatsioon dε x ja tahkude vaheline kaugus dε x dx võrra. Vastav elastsusjõu elementaartöö (hüljates kõrgemat järku väikesed suurused): σ x dydzdε x dx.
17 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-33 τ zy + τ zy z dz τ yz + τ yz y dy dy σ x z τ xy τ xz y τ zx Z τ yx τ yz dx σ y + σ y y dy Y σ y σ z X τ zy dz τ yx + τ yx y dy τ xy + τ xy x dx σx + σx x dx τ xz + τ xz x dx x τ zx + τ zx z dz σ z + σ z z dz Joonis 3.5: Elementaarristtahukas 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-34 Vaatleme tahke, mis on risti x teljega ja tahke, mis on risti y teljega. Eeldame, et nihkepingete toimel muutub nurk x ja y telje vahel väikese suuruse dγ xy võrra. Vastav elastsusjõu elementaartöö (hüljates kõrgemat järku väikesed suurused): τ xy dydzdγ xy dx. Analoogiliselt saab leida pingetele σ y, σ z, τ yz ja τ xz vastavad tööd. Rakendame superpositsiooni printsiipi ja saame summaarse elementaartöö da (σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xz dγ xz ) dxdydz. (3.42) Jagades viimase elementaarruumalaga dv dxdydz, saame elementaartöö tiheduse da da /dv.kunaeeldusepõhjalonmaterjalideaalseltelastne,siis on tehtud töö tõttu suurendatud elementaarristahuka potentsiaalset energiat dw da võrra ning potentsiaalse energia tihedus suureneb dw dw /dv võrra.
18 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-35 Edaspidi vaatleme seega suurust dw,st.potentsiaalseenergiajuurdekasvuühikruumala kohta: dw σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xz dγ xz. (3.43) Asendame saadud avaldisse pinged σ x,... üldistatud Hooke i seadusest (3.36) ja saame dw (λθ +2µε x ) dε x +(λθ +2µε y ) dε y +(λθ +2µε z ) dε z + + µγ xy dγ xy + µγ yz dγ yz + µγ zx dγ xz λθdθ +2µ (ε x dε x + ε y dε y + ε z dε z )+ + µ (γ xy dγ xy + γ yz dγ yz + γ zx dγ xz ). (3.44) Viimast avaldist integreerides leiame potentsiaalse energia tiheduse sõltuvana deformatsioonidest W 2 [ λθ 2 +2µ ( ε 2 x + ε 2 y + ε 2 z ) + µ ( γ 2 xy + γ 2 yz + γ 2 zx )]. (3.45) Kuna Lamé koefitsiendid (3.35) on positiivsed, siis peab ka potentsiaalne energia olema positiivne (või null) igas ideaalselt elastse keha punktis Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-36 Kasutades taas Hooke i seadust kujul (3.36) saame viimasest Clapeyroni valemi W 2 (σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ). (3.46) Viimasest saab omakorda avaldada W läbi pingete ja elastsuskonstantide E ja ν kui kasutada Hooke i seadust kujul (3.23) W [ σ 2 2E x + σy 2 + σz 2 2ν (σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z )+2(+ν) ( τxy 2 + τyz 2 + τzx 2 )]. (3.47) Kuna W on potentsiaalne energia, siis peab avaldis (3.43) olema funktsiooni W täisdiferentsiaal, mis omakorda tähendab, et σ x W ε x, τ xy W γ xy, σ y W ε y, τ yz W γ yz, Viimased avaldised on tuntud Castigliano valemitena. σ z W ε z, τ zx W γ zx. (3.48)
19 3.6. Deformatsiooni potentsiaalne energia 3-37 Eeltoodu kontrolliks leiame avaldistest (3.45) osatuletised W ε x λθ +2µε x σ x, W γ xy µγ xy τ xy,... (3.49) Et leida kehas salvestunud summaarne potentsiaalne energia W tuleb potentsiaalse energia tihedust integreerida üle kogu keha ruumala V,st. W V WdV Wdxdydz. (3.50) Rakendes Clapeyroni valemit avaldub summaarne potentsiaalne energia kujul W 2 V V (σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) dx dy dz. (3.5) Sisukord 38 Sisukord 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3. Siire ja deformatsioon Cauchy seosed Orienteeritud lõigu pikenemine Deformatsioonitensor Ruumdeformatsioon ehk suhteline mahumuutus Pidevustingimused Olekuvõrrandid
20 Sisukord Üldistatud Hooke i seadus Hooke i seadus ruumdeformatsiooni jaoks Pingete avaldamine deformatsioonide kaudu Anisotroopsed kehad Deformatsiooni potentsiaalne energia
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria põhivõrrandid,
Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid
Διαβάστε περισσότερα2.1. Jõud ja pinged 2-2
1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραPinge. 2.1 Jõud ja pinged
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραDeformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραMaterjalide omadused. kujutatud joonisel Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega,
Peatükk 7 Materjalide omadused 1 Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega, mis sageli lõpevad katsekeha purunemisega, näiteks tõmbekatse, väändekatse või löökkatse.
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραVektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias
ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt Tallinn 2006 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud kasutamiseks Tallinna Tehnikaülikooli
Διαβάστε περισσότεραNÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραFüüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge
9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραADVANCED STRUCTURAL MECHANICS
VSB TECHNICAL UNIVERSITY OF OSTRAVA FACULTY OF CIVIL ENGINEERING ADVANCED STRUCTURAL MECHANICS Lecture 1 Jiří Brožovský Office: LP H 406/3 Phone: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραTeaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on
Διαβάστε περισσότεραLõplike elementide meetod
Andres Lahe Lõplike elementide meetod 0.8 0.6 0.4 0. 0 N3=0.5*(+x)*(+y) 4 3 Tallinn 008 Õpevahend on vormindatud tekstitöötlusprogrammiga LATEX (loe: lateh). Tekstitöötlusprogramm LATEX on programmi TEX
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere DÜNAAMIKA Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinn 2003/2004/2005 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud
Διαβάστε περισσότεραVektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραChapter 2. Stress, Principal Stresses, Strain Energy
Chapter Stress, Principal Stresses, Strain nergy Traction vector, stress tensor z z σz τ zy ΔA ΔF A ΔA ΔF x ΔF z ΔF y y τ zx τ xz τxy σx τ yx τ yz σy y A x x F i j k is the traction force acting on the
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραStaatika ja kinemaatika
Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.
Διαβάστε περισσότεραKehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.
KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused
Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad 1. ülesanne Füüsika lõppvoor. 30. märts 2003. a. Keskkooli ülesannete lahendused Läheme kiirusega v/2 liikuvasse süsteemi. Seal on olukord sümmeetriline,
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότερα5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE
TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)
Διαβάστε περισσότεραKordamine 2. osa Jõud looduses, tihedus, rõhk, kehad vedelikus ja gaasis. FÜÜSIKA 8. KLASSILE
Kordamine 2. osa Jõud looduses, tihedus, rõhk, kehad vedelikus ja gaasis. FÜÜSIKA 8. KLASSILE AINE TIHEDUS AINE TIHEDUSEKS nimetatakse füüsikalist suurust, mis võrdub keha (ainetüki) massi ja selle keha
Διαβάστε περισσότερα3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon
Διαβάστε περισσότεραRF võimendite parameetrid
RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne
Διαβάστε περισσότεραREAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 65. füüsikaolumpiaad
Eesti oolinoorte 65. füüsiaolumpiaad 14. aprill 018. a. Vabariili voor. Gümnaasiumi ülesannete lahendused 1. (POOLITATUD LÄÄTS) (6 p.) Autor: Hans Daniel Kaimre Ülesande püstituses on öeldud, et esialgse
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραREAKTSIOONIKINEETIKA
TARTU ÜLIKOOL TEADUSKOOL TÄIENDAVAID TEEMASID KOOLIKEEMIALE II REAKTSIOONIKINEETIKA Vello Past Õppevahend TK õpilastele Tartu 008 REAKTSIOONIKINEETIKA. Keemilise reatsiooni võrrand, tema võimalused ja
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραVektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2
Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee
Διαβάστε περισσότεραAnalüütiline mehaanika
Tartu Ülikool FÜÜSIKA INSTITUUT Loengukonspekt aines Analüütiline mehaanika LOFY.04.002 Hardi Veermäe, Teet Örd 19. oktoober 2011. a. Sisukord 0 Eessõna 3 1 Newtoni mehaanika 4 1.1 Liikumine eukleidilises
Διαβάστε περισσότερα8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.
TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότερα