1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

Transcript

1 Marek Kolk, Tartu Ülikool, Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega kui te õpite mingi kursuse jaoks või mingi muu aine kontekstis, siis ei tasu lootma jääda ainult käesolevale materjalile, sest midagi teie jaoks olulist võib siit olla välja jäänud ja mingid teemad võivad olla täiesti üleliigsed. Sisukord 1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud Tehted kompleksarvudega Kompleksarvu kaaskompleks Kompleksarvu skalaariga korrutamine Kompleksarvude liitmine Kompleksarvude korrutamine Kompleksarvude jagamine Punktide teisendused Erinevad omadused Kompleksarvude kasutamine abivahendina Reaalelus leiduvate ülesannete kirjeldamine Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Lõpmatud trigonomeetrilised read Kahemõõtmelised graafikud Võrrandite lahendamine Integreerimine

2 3.7 Diferentsiaalvõrrandid Julia hulgad, fraktalid Sinusoidi esitlus kompleksarvude abil Vooluvõrgud Fourier read ja teisendused Ülesanded Imaginaararvud Imaginaararvudeks nimetatakse arve kujul b i, kus b on suvaline reaalarv ja i on imaginaarühik, millele vastab üks-üheselt vektor (0, 1) ja millel on omadus i 2 = 1. (1.1) Kompleksarvud on kujul z := a + b i, a, b R. (1.2) Lihtne on ette kujutada, et meil on reaaltelg ja sellega risti olev imaginaartelg ning iga kompleksarvu jaoks peame kasutama kahte parameetrit a ja b, millest esimene on võetud reaalteljelt ja teine imaginaarteljelt. Punkti z koordinaatide jaoks võiksime kasutada ka lihtsalt kuju z = (a, b), kuid avaldis a + b i osutub mugavaks siis, kui hakkame kompleksarve liitma, lahutama ja korrutama. Kõigi kompleksarvude hulka tähistame sümboliga C. Märgime, et elektroonikas kasutatakse tihti i asemel tähist j, kuna i on seal voolutugevuse tähistamiseks. 2

3 1.2 Praktiline väärtus Kompleksarvud lubavad vaadata matemaatilisi võrrandeid, mis ei ole lahenduvad reaalarvude hulgal. Teisisõnu, kompleksarvude abil on lahend olemas kõikidel lahenduvatel algebralistel võrranditel. Tegemist on rohkem matemaatilise küsimusega, mis lubab lahendusalgoritme kasutada universaalselt, muretsemata tulemuse enda pärast. Klassikaliseks näiteks on võrrand x 2 = 1, mille lahenditeks on reaalarvud x 1 = 1 ja x 2 = 1 ning võrrand x 2 = 1, millel reaalarvude hulgas lahendit ei ole (küll aga on olemas kompleksarvude hulgas, x 1 = i ja x 2 = i). Kompleksarve kasutatakse sageli praktikas info salvestamiseks kahemõõtmeliste objektide kohta. Näiteks graafiku punkti (x, y) saab esitada kui kompleksarvu z esitusega z = x + y i. Nii võiksime esitada koos ka mistahes kahe erineva hulga elemente, näiteks koerte hulga X ja kasside hulga Y korral võiksime liita ja lahutada kasse ja koeri koos kartmata nende segamini ajamist või näiteks kui kehal on kaks eraldiseisvat omadust laius-kõrgus või lainepikkus-võnkesagedus jne. Iseenesest ei ole see ainuke ega matemaatiliselt tingimata parim viis. Sama hästi võiks kasutada näiteks vektorit koordinaatidega u = (x, y), polaarkoordinaate (r, ϕ) (nurk ϕ ja kaugus r), funktsiooni parameetrilist kuju, x = r cosϕ, y = r sin ϕ, kahemuutujafunktsioone, info salvestamist kahte erinevat tüüpi muutujasse või mingit muud vastavat matemaatilist objekti. Kompleksarvude eeliseks teiste kahemõõtmeliste objektide ees on asjaolu, et paljudes programmeerimiskeeltes on kompleksarvude struktuur ja tehted süsteemisiseselt juba olemas ning see lihtsustab kahemõõtmeliste objektidega opereerimist, ilma et peaks iga kord hakkama uuesti vastavaid struktuure ja tehteid defineerima. Kompleksarvude üks kasulikumaid omadusi peitub tema astmelises esituses ja korrutamistehtes. Viimane lubab oluliselt lihtsustada matemaatilist aparatuuri, mida on vaja mõningate füüsikas ette tulevate nähtuste uurimiseks. Kahe kompleksarvu korrutamisel saadakse uus kompleksarv, mille argument ϕ (nurk reaaltelje positiivse suunaga) on lihtsalt selle kahe kompleksarvu argumentide summa ϕ 1 + ϕ 2. Viimane omadus on aga kasulik näiteks lainete korral, kus 3

4 erinevad lainefaasid võivad summeeruda ja seega on kompleksarvud lainete kirjeldamisel naturaalne valik. Tavaliste vektorite korral peaksime kasutama palju keerulisemat matemaatilist struktuuri, kompleksarvude korral on teatud lihtsad omadused juba naturaalselt olemas. 1.3 Kõige ilusam valem? Paljud matemaatikud on avadanud arvamust, et maailma kõige ilusam valem on Euleri samasus e iπ + 1 = 0, (1.3) mis ühendab endas viite väga tähtsat matemaatilist konstanti: nulli, ühte, irratsionaalarvu π, irratsionaalarvu e ja imaginaararvu i. Lisaks on kasutusel kolm väga tähtsat tehet: liitmine, korrutamine ja astendamine. Siinjuures on oluline, et kasutatakse väga minimaalseid vahendeid ja see kõik esitub lihtsa ja elegantse seosena ning tegemist ei ole sugugi triviaalse valemiga. Kui kirjutada e iπ = 1, (1.4) siis võib näha, et irratsionaalarvu e aste imaginaararvuga iπ annab tulemuseks täisarvu (reaalarvu) 1. Üsna kummaline, eks ole? 1.4 Kompleksarvu erinevad kujud Kompleksarvu algebraline kuju: z = a + b i. (1.5) Kompleksarvu trignomeetriline kuju: z = r(cos θ + i sin θ), (1.6) kus r on punkti z kaugus nullpunktist ja θ on kompleksarvu argument ehk nurk reaalteljega. 4

5 Kompleksarvu astmeline kuju: z = r e iθ. (1.7) 2 Tehted kompleksarvudega 2.1 Kompleksarvu kaaskompleks Kompleksarvu z = a + b i kaaskompleksiks on arv z = a b i = r(cos θ i sin θ) = r e iθ. Seega kaaskompleks asub arvuga z nullpunktist võrdsel kaugusel, kuid on vastupidise nurgaga θ. Arvud z ja z on sümmeetrilised reaaltelje suhtes. 2.2 Kompleksarvu skalaariga korrutamine Kompleksarvu skalaariga korrutamine toimub nii, nagu näiteks vektorite korral. Kompleksarvu moodul z korrutub vastava skalaariga ehk komplekarvu kaugus nullpunktist kas siis lüheneb või pikeneb vastava skalaari kordselt. Iga arvu α R korral αz = (αa) + (αb) i = (αr)(cos θ + i sin θ) = (α r)e iθ. Kui me korrutame arvuga 1, siis jääb arvu z kaugus nullpunktist samaks, kuid kompleksarv peegeldatakse nullpunkti suhtes vastassuunas ehk z ja z on sümmeetrilised nullpunkti suhtes. 5

6 2.3 Kompleksarvude liitmine Kompleksarvude liitmine ja lahutamine toimub analoogiliselt vektoritega (koordinaadid liidetakse komponentide kaupa). Näiteks vektorite u = (u 1, u 2 ) ja v = (v 1, v 2 ) korral u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ). Seega kompleksarvude z 1 = a 1 + b 1 i + ja z 2 = a 2 + b 2 i korral z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) i. 2.4 Kompleksarvude korrutamine Kompleksarvude korrutamine ei ole enam sama, mis vektorite korral. Vektorite jaoks on olemas mitut erinevad sorti korrutisi, näiteks vektorkorrutis u v annab tulemuseks uue vektori, mis on toodud vektoritega risti, skalaarkorrutis ja segakorrutis annavad tulemuseks hoopis reaalarvu. 6

7 Kõige lihtsam on kompleksarvude korrutamine kasutades astmelist kuju, kahe kompleksarvu z 1 = r 1 e i θ 1 ja z 2 = r 2 e i θ 2 korral z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (θ 1+θ 2 ). (2.1) Viimane annab kompleksarvude korrutamise jaoks väga lihtsa reegli: kompleksarvude moodulid tuleb omavahel korrutada ja argumendid omavahel liita. Geomeetriliselt saame, et suvalise kompleksarvu z korrutamine ühikringi elemendiga e iϕ pöörab graafikul punkti z nurga ϕ võrra. z = 2 + i = 5e iθ z e iπ/4 = 5e i(θ+π/4) Kui me korrutame suvalisi kompleksarve z 1 = r 1 e i θ 1 = a 1 + b 1 i ja z 2 = r 2 e i θ 2 = a 2 +b 2 i, siis pööratakse vektorit u = (a 1, b 1 ) nurga θ 2 võrra ja punkt (a 1, b 1 ) kaugeneb nullpunktist r 2 korda. Viimane annab väga lihtsa matemaatilise aparatuuri punktide teisendamiseks tasandil. Näiteks, kui meil on vaja punkti (a, b) keerata 45 kraadi vastupäeva, siis tuleb arvu z = a + b i korrutada arvuga e iπ/4. Kui seejuures on vaja punkti (a, b) viia kaugemale või lähemale nullpunktile, siis tuleb valida vastav r ja korrutada arvuga re iπ/ Kompleksarvude jagamine Jagamine defineeritakse kui z pöördarvuga korrutamine. Astmelisel kujul on tehe väga lihtne, z 1 z 2 = r 1e iθ1 r 2 e iθ 1 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ). Seega kompleksarvude jagamisel moodulid jagatakse omavahel ja argumendid lahtutatakse (ehk kompleksarvu z 1 liigutatakse ringjoonel z = r 1 /r 2 päripäeva nurga θ 2 7

8 võrra). Algebralisel kujul kasutatakse ära kaaskompleksi omadusi, 2.6 Punktide teisendused z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 = (a 1 + b 1 i)(a 2 b 2 i) z 2 2. Punkti (a, b) all mõtleme siin kompleksarvu z = a+bi komplekstasandil. Kokkuvõttes võime punkti (a, b) jaoks välja tuua järgmised teisendused. Punkti peegeldamiseks nullpunkti suhtes tuleb arvu z korrutada arvuga 1 (ehk korrutada kompleksarvuga e iπ ). Punkti peegeldamiseks reaaltelje suhtes tuleb kasutada kaaskompleksi z = a bi või korrutada arvu z = re iθ ühikringi elemendiga e i(2θ). Punkti peegeldamiseks imaginaartelje suhtes tuleb peegeldada kaaskompleksi z nullpunkti suhtes, ehk z = a + bi = ze i(2θ). Punkti pööramiseks ϕ kraadi tuleb arvu z = re iθ korrutada ühikringi elemendiga e iϕ. Punkti kaugemale viimiseks nullpunktist tuleb arvu z korrutada arvuga α > 1 ja lähemale toomiseks tuleb korrutada arvuga 0 α < Erinevad omadused Kompleksarvude hulk C ei ole järjestatud ja seega ei saa kompleksarvude hulgal lahendada võrratusi, kuna näiteks ei saa määrata, kumb arv on suurem, kas 2 + 3i või 3 + 2i. Algebra põhiteoreem ([3]). Kõik algebralised võrrandid on kompleksarvude hulgas lahenduvad ja igal võrrandil on nii palju lahendeid, kui suur on võrrandi aste. Kompleksarvude hulk on kinnine kõigi tehete suhtes (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, astendamine, juurimine). Kinnine tähendab, et tehte tulemus on samuti kompleksarv. Näiteks reaalarvude hulk ei ole kinnine juurimise suhtes, kuna juur negatiivsest arvust ei pruugi kuuluda reaalarvude hulka. 8

9 Täisarvulised astmed ([3]). Imaginaararvu i astmed võib kirja panna matemaatilise valemiga i 4k+n = i n, k Z, n {0, 1, 2, 3}. Iga järgmine aste arvust i tähendab ühikringi arvuga e iπ/2 korrutamist ehk pööramist 90 kraadi võrra kellaosuti vastupidises suunas. Märgime, et i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1 ja i 3 = i. Seega on tulemus perioodiline. Juurimine. Ei tohi langeda lõksu seoses reaalarvudele kehtivate tehetega ja nende üksühese kasutamisega. Näiteks, kasutades positiivsetele reaalarvudele kehtivat teisendamise reeglit, võime saada 2 2 = ( 2)( 2) = 4 = 2. Kompleksarvude korral võib tulla vastuseks 2 2 = ( 2i)( 2i) = 2i 2 = 2. Viga tuleb siin sellest, et valem ab = a b kehtib positiivsete reaalarvude a ja b korral, kuid ei kehti negatiivsete arvude a ja b korral. Lisaks ei ole 2 üheselt määratud, sellel arvul on kaks erinevat juurt 2i ja 2i. 9

10 Moivre i valem, z n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)), n N, z C. (2.2) Valemit on lihtne tuletada eksponentsiaalsest kujust z = re iθ, seega z n = (re iθ ) n = r n e inθ. Kui n ei ole naturaalarv, siis valem üldjuhul ei kehti. Anname veel lisaks mõned matemaatiliselt ranged teoreemid, mis iseloomustavad kompleksarve ja nende omadusi. Teoreem 2.1. [1]. Kompleksarvude korpus C on minimaalne korpus, mis sisaldab reaalarvude korpust ja milles võrrand x = 0 on lahenduv. Teoreem 2.2. [1]. Olgu V 2 kõikide tasandil asetsevate vektorite vektorruum. Vektorruumid C ja V 2 on isomorfsed. 3 Kompleksarvude kasutamine abivahendina 3.1 Reaalelus leiduvate ülesannete kirjeldamine Üldjuhul ei pruugi reaalelus leiduv probleem ja matemaatiline mudel (kompleksarvud koos defineeritud tehetega) üksikasjadeni kokku sobida ([7]). On probleeme, mida saab esitada ja lahendada väga mitmel viisil, on probleeme, kus kompleksarvude kasutamine oluliselt lihtsustab lahendusalgoritme ja on probleeme, mille korral kompleksarvude kasutamine on ebamõistlik või väheefektiivne. On ütlemine, et kui sul on töövahendiks ainult haamer, siis proovi teha nii, et sinu lahendatav probleem käituks nagu nael. Kompleksarvude korral tähendab see seda, et me võtame ette reaalelus ette tuleva probleemi, teisendame ta ümber kompleksarvudeks, teeme vajalikud tehted arvestades kompleksarvude ja vastavate tehete omadusi ning lõpuks teisendame vastuse tagasi reaalseks. Kogu see teisendamine ei pruugi olla üksühene, vahel visatakse näiteks tulemusest minema imaginaarosa. Oluline koht on tõlgendamisel. Üks võimalus on võtta näiteks kaks füüsikalist suurust ja asetada üks neist reaalteljele ja teine imaginaarteljele. Näiteks merel sõitva paadi korral võiksime kasutada vektoreid tuule poolt mõjuva jõu u ja lainete poolt mõjuva jõu v kohta. Sel juhul resultantjõud on nende kahe vektori summa u + v. Alternatiivina võiksime kasutada 10

11 ka kompleksarve, asetades näiteks ida-lääne suuna reaalteljele ja põhja-lõuna suuna imaginaarteljele. Näiteks tuule korral, mis puhub kaks ühikut idasuunas ja 6 ühikut põhjasuunas saame kasutada kompleksarvu 2 + 6i ja laine korral, mis levib 4 ühikut idasuunas ja kolm ühikut lõunasuunas, saame kompleksarvu 4 3i. Sel juhul nende kahe jõu summa oleks 6 + 3i. Viimase tulemuse võime tõlgendada tagasi reaalellu, paadile mõjub lisajõud 6 ühikut idasuunas ja 3 ühikut põhjasuunas. Selle lihtsa ülesande lahendamiseks oleksime võinud kasutada ka teisi matemaatilisi vahendeid. Tekib küsimus, kuidas me teame, et võime kasutada teatud matemaatilisi operatsioone (näiteks liitmist või korrutamist) ilma, et saadud tulemus ei muutuks absurdseks? Universaalset vastust sellele küsimusele ei olegi. Praktikas kasutatakse teatud võtteid, mida keegi teine on teaduslikult artiklites tõestanud või vähemalt ei ole seni näidatud, et kasutatavad võtted selle reaalelu probleemi lahendamiseks ei tööta. Samuti võib juhtuda, et näiteks saame kasutada kompleksarvude liitmist ja lahutamist, aga korrutamine annab absurdse tulemuse. Vaatleme näidet, kus kompleksarvude otsene kasutamine on halb valik. Olgu näiteks õunte kilohind 1 euro ja apelsinide kilohind 2 eurot. Kasutame hinna kirjeldamiseks arvu 1 + 2i. Ostame 6 kilo õunu ja 2 kilo apelsine, üritame tähistada arvuga 6 + 2i. Kokku maksame sel juhul kogus korda hind, (1 + 2i)(6 + 2i) = i ehk 2 eurot õunte ja 14 eurot apelsinide eest, mis on aga täiesti vale vastus. Seega antud ülesannet ei saa lahendeda meie kasutatud vahenditega. 3.2 Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Kasutades kompleksarvu astmelist kuju, on väga lihtne tuletada mõningasi trigonomeetrilisi valemeid ([5]). Näiteks z = cos(a + b) + i sin(a + b) = e i(a+b) = e ia e ib = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = (cos a cos b sin a sin b) + (cos a sin b + sin a cos b)i. Avaldised on võrdsed, kui nende vastavad reaalosad ja imaginaarosad on omavahel võrdsed, seega saame ühest teisendusest lausa kaks valemit: cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b, sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a. 11

12 Vaatleme veel näiteks järgmist teisendust: z = cos(2a) + i sin(2a) = e i2a = (e ia ) 2 = (cos a + i sin a) 2 = (cos 2 a sin 2 a) + (2 sin a cos a)i ehk cos(2a) = cos 2 a sin 2 a, sin(2a) = 2 sin a cos a. 3.3 Lõpmatud trigonomeetrilised read Kasutades Moivre i valemit, võib mõnikord oluliselt lihtsustuda lõpmatute trigonomeetriliste ridade analüüs ([5]). Näitame, et kehtib seos r n sin (2n + 1)θ = n=0 (1 + r) sin θ, r (0, 1). 1 2r cos(2θ) + r2 Siin kõik väärtused on reaalarvulised. Esiteks teisendame summat r n sin (2n + 1)θ = r n Im ( ( e i(2n+1)θ) ( = Im e ) ) iθ re 2iθ n, n=0 n=0 kus arvestame, et suvalise arvu sin x korral kehtib sin x = Im(cos x + i sin x) = Im(e ix ). Edasi arvestame, et ühikringi elemendi z (0 < z < 1) korral kehtib geomeetrilise rea summa valem n=0 zn = 1 1 z. Kuna re2iθ kuulub ühikringi sisse, siis n=0 ( r n sin (2n + 1)θ = Im e iθ 1 ( = Im 3.4 Kahemõõtmelised graafikud n=0 ) ) = Im (e iθ 1 re 2iθ 1 re 2iθ (1 re 2iθ )(1 re 2iθ ) ) e iθ re iθ sin θ + r sin θ = 1 r(e 2iθ + e 2iθ ) + r 2 1 2r cos (2θ) + r. 2 Kompleksarvude abil on mõnikord lihtsam kirja panna kahemõõtmelisi graafikuid, kui seda on reaalarvude ja kahe parameetri (a, b) kasutamine ([5]). Erinevus ei ole suur, aga vaatleme näiteks järgmisi olukordi. Ühikringjoone võrrand xy-tasandil keskpunktiga (0, 0) antakse ilmutamata kujul seosega x 2 + y 2 = 1. Kompleksarvude korral võib selle seose anda valemiga z = 1 ehk polaarkoordinaatide korral r = 1 ja nurk θ teeb täisringi. 12

13 Liigutades selle ühikringi punkti (a 0, b 0 ), saaksime ringjoone valemiks (x a 0 ) 2 + (x b 0 ) 2 = 1. Kompleksarvude korral tähistame keskpunkti z 0 ja kogu ringjoone valem võtab kuju z z 0 = 1. Kompleksarvude korral võime kasutada pisut lühemat notatsiooni. Kompleksarvude korral on mõnikord lihtsam kasutada vahetut analüüsi (kuid mitte alati), kui arvutada otseste valemitega. Vaatleme näiteks võrrandit z i z + i = 1. Paneme tähele, et meie võrdus on ekvivalentne võrdusega z i = z + i. Viimane tähendab, et z kaugus punktist (0, 1) on sama mis punktist (0, 1). Järelikult on z näol tegemist suvalise punktiga reaaltelje peal ja vastuseks on z R. Alternatiiv on kasutada z algebralist kuju ja lahendada võrrand a 2 + (b 1) 2 = a 2 + (b + 1) 2, mis annab vastuseks b = 0 ja a R. 3.5 Võrrandite lahendamine Vaatleme võtet, kus võrrandi lahendamine taandatakse kompleksarvu z ühejuurte leidmisele ([5]). Olgu Teisendame, (z + i) 7 + (z i) 7 = 0. ( ) 7 z + i = 1 = e i(2m+1)π z + i z i z i = ei(2m+1)π/7, m Z. Korrutades arvuga (z i) ja grupeerides z kordajad, saame millest ( z = i ei(2m+1)π/7 + 1 iei(2m+1)π/14 e i(2m+1)π/7 1 = + e i(2m+1)π/14 2 cos 2m+1 = i π) 14 e i(2m+1)π/14 e i(2m+1)π/14 2i sin ( 2m+1 π), 14 z = cos ( 2m+1 π) ( ) 14 2m + 1 sin ( = cot π, m = 0, 1,..., 6. 2m+1π)

14 3.6 Integreerimine Kompleksarvude korral saab kasutada omadust, et e iθ dθ = ie iθ + C (NB! integreerimiskonstant C on kompleksarv). Vaatleme reaalarvulist integraali I = t 0 sin(4s) ds. Selle integraali saab kõige lihtsamini leida tavalise asendusvõttega, ehk I = 1 4 t 0 sin(4s) d(4s) = 1 4 ( cos(4s)) s=t s=0 = 1 cos(4t). 4 Vaatleme lisaks ideed, mida annab kompleksarvude kasutamine ([5]). Järgnev võte võib mõnikord anda olulist võitu, kui tavaline asendusvõte ei tööta. Märgime, et kehtib omadus ( Re(f(s)) ds = Re ) f(s) ds, ( Im(f(s)) ds = Im Kasutades avaldist sin(4s) = Im(e i4s ) ja I = Im(J), saame J = t 0 = sin(4t) 4 e i4s ds = i 4 ei4s s=t s=0 + i 1 cos(4t). 4 = ei4t 1 4i = cos(4t) 1 + i sin(4t) 4i ) f(s) ds. Võttes viimasest avaldisest imaginaarosa, saamegi sama vastuse, mis ennegi. Vaatleme veel järgmist integraali I = e x cos x dx. Selle integraali leidmiseks reaalarvuliste funktsioonide abil peaks kasutama juba kahesammulist ositi integreerimist, mis on tunduvalt tülikam, kui kompleksarvude kasutamine. Kuna cos x = Re(cos x + i sin x) = Re(e ix ), siis I = Re( e x e ix ) dx = Re( e (i+1)x dx) = Re ( ) = Re e x (cos x+i sin x)(1 i) + C 1 i 2 = Re x cos x+sin x = e + C, C R, C 2 C. ( e (i+1)x ) + C 1+i = Re ( ) e x (cos x+sin x+i sin x i cos x) + C 2 ( e x e ix 1+i + C ) Tehniliselt ei olnud siin midagi keerulist, oma lahenduse oleksime saanud ka palju lühemalt kirja panna. 14

15 3.7 Diferentsiaalvõrrandid Osutub, et kompleksarvude abil saab oluliselt lihtsustada teatud sorti diferentsiaalvõrrandite täpset lahendamist ([5]). Vaatleme näiteks harmoonilise liikumise difetentsiaalvõrrandit d 2 y(θ) + y(θ) = 0. dθ2 Tuletame teoorias teada oleva üldlahendi y(θ) = A cos θ + B sin θ, kus A ja B on suvalised reaalarvulised kordajad. Seame reaalarvulisele väärtusele y(θ) vastavusse kompleksarvu z(θ), sellisel juhul y = Re(z) ja me saame d 2 Re(z(θ)) + Re(z(θ)) = 0 dθ 2 ( ) d 2 Re z(θ) + z(θ) = 0 d2 z(θ) + z(θ) = 0. dθ2 dθ2 Viimase võrrandi üldlahend on z(θ) = C e iθ, kus C on suvaline kompleksarv (lahendit võib kontrollida lihtsalt, pannes C e iθ võrrandisse z(θ) asemele, avaldise C e iθ tuletis θ järgi on ic e iθ ja teine tuletis i 2 C e iθ = C e iθ ). Tähistades C = A ib saame y = Re(z) = Re ((A ib)(cos θ + i sin θ)) = A cos θ + B sin θ. Me oleme tuletanud üldlahendi ühe sammuga ilma siinus- ja koosinusfunktsiooni eraldi vaatlemata. Antud näites oli nn ajavõit üsna marginaalne, kuid keerulisemate võrrandite korral võivad kompleksarvud lahendust lihtsustada olulisel määral. Vaatleme veel ühte näidet. Olgu antud algtingimusega diferentsiaalvõrrand dx dt + kx = sin(ωt), x(0) = 0. Teeme asenduse x(t) = Im(z(t)), kus z(t) on kompleksväärtustega funktsioon ja dz dt + kz = eiωt, z(0) = 0. Korrutame võrrandi läbi teguriga µ(t) = e kt, saame Teisendame, kt dz e dt + ekt kz = e kt e iωt, z(0) = 0. d ( e kt z(t) ) = e (k+iω)t. dt Võttes mõlemast poolest määramata integraali, saame e kt z(t) = 1 k + iω e(k+iω)t + C, C C. 15

16 Siit avaldame z(t), Algtingimus z(0) = 0 annab ehk z(t) = e kt 1 k + iω e(k+iω)t + Ce kt = 1 k + iω eiωt + Ce kt. 0 = 1 k + iω + C, z(t) = 1 k + iω eiωt 1 k + iω e kt. Leidmaks siit imaginaarosa, teisendame ehk 1 k + iω = 1 k iω k + iω k iω = k iω k 2 + ω, 2 ( ) 1 Im k + iω e kt = ωe kt k 2 + ω. 2 Edasi teisendame z(t) esimest liiget ( ) 1 1 Im k + iω eiωt = Im((k iω)(cos(ωt) + i sin(ωt))). k 2 + ω2 Võttes tulemused kokku, saame lõppvastuse x(t) = 1 ωe kt (k sin(ωt) ω cos(ωt)) + k 2 + ω2 k 2 + ω. 2 Ilma kompleksarvudeta olnuks viimase avaldise tuletamine mõnevõrra pikem. 3.8 Julia hulgad, fraktalid Gaston Julia ( ) oli Poincare õpilane ([2]), kes uuris kujutust z n+1 = zn 2 + c, (3.1) kus nii z n kui c on kompleksarvud. Me saame uurida selle protsessi koondumist, andes ette algväärtused z 0 ja c ning vaadates protsessi edasist kulgu. Kui n-i kasvades z n tõkestamatult kasvab (s.t. z n ), siis protsess hajub. Kui reaal- ja imaginaarosad jadast z n lähenevad mingile kindlale arvule, siis protsess koondub. Kandes vastavad punktid z 0 komplekstasandile ja tähistades erineva värviga, kas protsess hajub või koondub teatud iteratsioonide arvu järel, võime saada väga keerulise struktuuriga kujundid: fraktaalse struktuuriga kujundid, mille korral mingi väikese ala suurendamine toob ikka uuesti ja uuesti esiele algse kujundiga sarnased jooned, elemendid või algkujundi enda. 16

17 Julia pani oma töö kirja 199 leheküljel, mis avaldati trükis aastal. Sõltumatult Juliast jõudis analoogiliste tulemusteni ka Pierre Fatou (avaldas tulemused 1919). Julia ja Fatou tööd jäid kauaks ajaks tähelepanuta Benoit Mandelbrot tutvus Julia töödega onu soovitusel aastal, kuid tõsisem huvi ilmnes antud teema vastu alles aastate teises pooles. Mandelbrotil õnnestus näidata, et Julia hulgad saab kokku võtta üheks keerukaks hulgaks, mida tänapäeval tuntakse Mandelbroti hulgana (nn piparkoogimehike). Selliseid kauneid jooniseid saab valmistada arvutil, lähtudes mistahes kompleksetest kujutustest. Neid tulemusi on kasutatud näiteks vaibamustrite koostamiseks, samuti kunstlike maastike loomiseks ulmefilmides. Kogu see jutt võiks olla ainult ilus matemaatiline teooria, kui kõigel sellel ei oleks ka väga praktilist väärtust. Nimelt, ükskõik kuhu looduses me enda ümber ka ei 17

18 vaataks, leiame sealt eest fraktaalsed struktuurid, protsessid on tihti kaootilised kuid siiski mingi korrapäraga jne. Kummalisel kombel on see kõik ka kuidagi seotud kompleksarvudega. 3.9 Sinusoidi esitlus kompleksarvude abil Kompleksarvud on laialdaselt kasutusel elektoonikas ja signaalitöötluses ([7]), kuna kompleksarvud on kompaktne ja efektiivne viis kirjeldamaks siinus- ja koosinuslaineid (viimased aga on omakorda efektiivne viis kirjeldamaks võnkumisi ja perioodilisi protsesse). Sinusoidi võib kirjeldada näiteks polaar- või ristkoordinaatides vastavalt valemitega M cos (ωt + φ) või A cos (ωt) + B sin (ωt). Siin M on maksimaalne amplituud, mis võib tähistada rõhu muutust helilainete korral või elektromagneetilist kõikumist elektromagnetkiirguse kirjeldamisel. Laine sagedus on ω ja lainefaasiks on φ. 18

19 Osutub, et ühele kindlale sinusoidile on võimalik vastavusse seada üks kindel kompleksarv. Seega jääb ära opreerimine sinusoididega, mis tegelikult on ju funktsioonid. Selle asemel opereeritakse oluliselt lihtsamate objektidega: kompleksarvudega. Pärast teisenduse lõppu seatakse kompleksarvudele omakorda vastavusse sinusoid. Edaspidi kasutame imaginaarühiku rollis tähist j, j 2 = 1. Me saame seada vastavuse kompleksarvudega järgmiselt: M cos (ωt + φ) Me jθ, (3.2) kus θ φ, A cos (ωt) + B sin (ωt) a + b j, (3.3) kus a A ja b B. On oluline märkida, et tegemist ei ole võrdustega, vaid vastavusse seadmisega. Osutub, et sinusoidi käitumine sarnaneb paljudel juhtudel kompleksarvude käitumisega (või vähemalt me saame tulemusi üheselt tõlgendada). Siinjuures on olemas mõned piirangud. Olgu näiteks X ja Y kaks kompleksarvu, mis kirjeldavad kahte erinevat võrdse sagedusega sinusoidi, amplituudid ja faasinihked võivad erineda. Sel juhul kahe arvu summa X + Y on uus arv ja sellele tõepoolest vastab ka uus kolmas sinusoid (s.t. kahe võrdse sagedusega sinusoidi liitumisel tekib uus kolmas sinusoid). Seega matemaatiline mudel ja olukord tegelikkuses on vastavuses. Samas, korrutades arvud X ja Y, saame uue kompleksarvu XY. Nüüd on olukord hoopis teine, kahe sinusoidi korrutamisel ei saada enam uut sinusoidi. Seega korrutamistehe kahe sinusoidi korral ei kirjelda enam reaalelus toimuvat protsessi. Samuti ei ole kompleksarvudest enam abi, kui sinusoidid on erineva sagedusega, sel juhul kompleksarvude kasutamine ei anna mingit eelist. Siinjuures ei tähenda see seda, et me ei võiks sinusoidide korral kompleksarve omavahel korrutada. Täiesti lubatud on tehted ax, kus nii a kui X on kompleksarvud, kuid oma sisult on a lihtsalt mingi kompleksarv ja X meie poolt kirjeldatav sinusoid. Võimalik on sageduse jaoks kasutada muutujat, näiteks ω. Sel juhul 2ω + 3ωj ja 3ω + 1j annab liites tulemuseks 5ω + (3ω + 1)j ning isegi siis, kui me sageduse ω arvväärtust ei tea, saame kompleksarve kasutada. Sinusoidide puhul on veel oluline, et me kasutaksime lineaarseid tehteid (liitmine, lahutamine, süsteem võib omada võimendit või kõrg-, madalsagedusfiltreid jne). 19

20 Vaatleme järgmiselt kompleksarvude kasutamist, kui sinusoidile rakendada lineaarset süsteemi (teisisõnu, kui me korrutame sinusoidi kompleksarvulise parameetriga). Sel juhul on tulemuseks ikkagi sinusoid, kusjuures sama sagedusega (joonis pärineb õpikust [7]). Olgu meil antud sinusoid polaarkoordinaatides 3 cos(ωt + π/4) või siis harilikul kujul cos(ωt) sin(ωt). Sellele sinusoidile seame vastavusse kompleksarvu Z = 3e jπ/4. Korrutame arvu Z (ehk sinusoidi) parameetriga a = 0.5e j3π/8, tulemuseks saame az = 3e jπ/4 0.5e j3π/8 = 1.5e jπ/8. Viimasele arvule az vastab sinusoid parameetritega 1.5 cos(ωt π/8) või ka cos(ωt) sin(ωt). Seega korrutamine arvuga a muutis esialgse sinusoidi amplituudi kaks korda väiksemaks ja muutis faasinihet 3π/8 radiaani võrra. Siit saab juba aimu, mida peaks tegema, et sinusoidi muuta just selliseks, nagu meil vaja on Vooluvõrgud Vaatleme vooluahelat läbiva voolu tugevuse i ja pinge u omavahelisi seoseid takistis, kondensaatoris ja induktiivpoolis ([7]). Takisti korral on seos antud Ohmi seaduse abil u = i R, 20

21 kus R on vooluringi takistus. Samas, kondensaatori ja induktiivpooli korral peame kasutama diferentsiaalvõrranded i = C du dt, u = Ldi dt, kus C on mahtuvus ja L on induktsioon. Toodud diferentsiaalvõrrandite süsteemi täpne lahendamine ei ole enam nii lihtne. Osutub, et kasutades kompleksarve võime diferentsiaalvõrrandite asemel lahendada algebralisi võrrandeid ja viimane on juba oluliselt lihtsam. Kuidas seda tehakse? Me kirjeldame voolu ringlemist kui sinusoidi levimist, seega voolu tugevus ja pinge levivad kui sinusoidid. Lisaks me vaatleme kõiki kolme - takisti, kondensaator, induktiivpool - kui lineaarset süsteemi. Süsteemi sisendiks on sinusoidne voolu tugevus I ja väljundiks sinusoidne voolu pinge U, kusjuures eelneva jutu põhjal võime suurusi I ja U käsitleda kompleksarvudena. Suuruste I ja U (joonisel on tähistatud V -ga) jaoks kehtib seos I Z = U, (3.4) kus Z on kompleksarv, mida nimetatakse ka näivtakistuseks (impedantsiks, impedance). Näivtakistus on vahelduvvoolu takistus, mis arvestab aktiivtakistust R ja induktiiv- X L ning mahtuvustakistuse X C vahet. Arvestades kompleksarvude jagamist, võrdub näivtakistuse Z amplituud voolu tugevuse I ja pinge U aplituudide jagatisega ning näivtakistuse Z faasinihe võrdub I ja U faasinihete vahega. Valemit (3.4) võib lugeda kui Ohmi seadust sinusoidide kohta ja siinjuures on oluline, et see kehtib just nimelt kompleksarvude jaoks. 21

22 Toodud diferentsiaalvõrranditest võib tuletada, et näivtakistus takisti, kondensaatori ja induktiivpooli jaoks on vastavalt R, j ja jωl. ωc Võtame näiteks voolu tugevuse I sisendiks koosinuslaine amplituudiga 1, viimast annab kirjeldada kompleksarvuga 1 + 0j. Sel juhul takisti pinge on U = IZ = (1 + 0j)(R + 0j) = R + 0j ehk koosinuslaine amplituudiga R. Kondensaatori korral ( U = IZ = (1 + 0j) 0 1 ) ωc j = 0 1 ωc j ehk siinuslaine amplituudiga 1. Induktsioonipooli korral ωc U = IZ = (1 + 0j)(0 + jωl) = 0 + jωl ehk negatiivne siinuslaine amplituudiga ωl. Näide 3.1. Vaatleme Notch filtrit (filter, mis selektiivselt summutab signaalid mingis kitsas vahemikus, näiteks Hz signaalid), ([7]). Näivtakistus kui kompleksarv lubab RLC skeeme (skeemid, mis sisaldavad takistit, induktsioonipooli ja kondensaatorit) vaadelda kui tavalist skeemi kolme takistusega. Kui antud skeem sisaldaks takisti, pooli ja kondensaatori asemel hoopis kolme takistit R 1, R 2 ja R 3, siis saaks sisend- ja väljundpinge arvutada suhtest u out u in = R 2 + R 3 R 1 + R 2 + R 3. Meie RLC süsteemi korral tuleks ilma kompleksarvudeta appi võtta diferentsiaalvõrrandid. Samas, kompleksarvude abil saame kirjutada U out U in = Z 2 + Z 3 Z 1 + Z 2 + Z 3. 22

23 Asendades vastavad näivtakistused, saame Siit edasi teisendades saame U out U in = U out k 2 = jωl j ωc U in R + jωl j ωc R 2 + k + j Rk 2 R 2 + k, k = ωl 1 2 ωc Fourier read ja teisendused Signaalitöötluses kasutatakse selliseid matemaatilist abivahendeid nagu Fourier ridu ja Fourier teisendusi (pidevad või diskreetsed, reaalsed või kompleksed). Anname vaid põgusa ülevaate ideest, mille praktiline sisu tugineb põhimõttele, et iga perioodiline liikumine on esitatav harmooniliste võnkumiste summana ja kõik sumbuvad liikumised on kirjeldatavad eksponentfunktsioonide abil. Digitaalselt saame salvestada ainult konkreetseid väärtusi. Olgu meil näiteks N mõõdetud signaali (näiteks mingi elektrisignaali pingete väärtused) x 0, x 1,..., x N 1. Fourier teisenduste korral saab üksüheselt neile väärtustele vastavusse seada sinusoidid ja sinusoididest saab tuletada signaali väärtused x 0, x 1,..., x N 1. Teisisõnu, i-nda signaali x[i] väärtuse saab tuletada siinus- ja koosinuslainete abil järgmiselt ([6, 7]): N/2 ( ) N/2 2πki ( ) 2πki x i = C k cos + D k sin, i = 0,..., N 1, (3.5) N N k=0 k=0 23

24 kus sinusoidide amplituudide C k ja D k väärtused on koostatud valemitega C k = 2 N N 1 n=0 ( 2πkn x n cos N ), D k = 2 N 1 N n=0 ( 2πkn x n sin N ), k = 0,..., N 2. (3.6) Kui meil on olemas signaali väärtused x 0, x 1,..., x N 1, siis me saame moodustada amplituudide jadad C k ja D k (k = 0,..., N ) ning moodustada sinusoidid. Kui meil on 2 olemas amplituudide väärtused C k ja D k (k = 0,..., N ), siis me saame moodustada 2 signaali väärtused x 0, x 1,..., x N 1 ja need kõik on omavahel üksüheses vastavuses. Siinjuures märgime, et tegemist on reaalväärtustega diskreetse Fourier teisendusega. Eeltoodust on näha, et matemaatilised avaldised selliste summadega võivad minna pisut keeruliseks. Teisalt, meenutades kompleksarvude omadust e jθ = cos θ + j sin θ, on võimalik neid avaldisis oluliselt lihtsustada. Selleks me peame kasutama diskreetset Fourier teisendust kompleksarvude jaoks. Esiteks võime avaldada siinus- ja koosinusfunktsioonid, cos x = ejx + e jx 2, sin x = ejx e jx. (3.7) 2j Sellisel juhul avalduvad sinusoidid positiivse ja negatiivse sagedusega avaldiste summana cos (ωt) = 1 2 ej( ω)t ejωt, sin (ωt) = 1 2 jej( ω)t 1 2 jejωt. (3.8) Kompleksarvude abil saame kasutada järgmisi valemeid x n = N 1 k=0 F k e j2πkn/n, n = 0,..., N 1, (3.9) kus F k = 1 N N 1 n=0 x n e j2πkn/n, k = 0,..., N 1. (3.10) 24

25 Kui funktsioon f(x) on perioodiline perioodiga 2l, siis tema Fourier rida on ([4]) f(x) = a ( a n cos nπ l x + b n sin nπ ) l x, a n, b n R. (3.11) n=1 Sellist lohisevalt pikka avaldist on aga üsna tülikas teisendada. Võttes appi kompleksarvud, saab analoogiliselt Fourier rea komplekskujul kirja panna valemiga f(x) = n= kus kordajad c n avalduvad samuti lihtsate valemitega c n e j nπ l x, (3.12) c n = 1 2l l nπ j f(x)e l x dx, n Z. (3.13) l Kasutatakse järgmist terminoloogiat ([4]), eriti elektro- ja raadiotehnikas. Avaldisi e j nπ l x nimetatakse harmoonikuteks ja arve α n = nπ l f(x) = n= (n Z) funktsiooni c n e jαnx (3.14) lainearvudeks. Lainearvude hulka nimetatakse spektriks. Kui kanda lainearvud arvsirgele, siis saame üksikute punktide hulga. Sellist arvuhulka nimetatakse diskreet- 25

26 seks hulgaks ja vastavat spektrit - diskreetseks spektriks. Valemitega (3.13) määratuid kordajaid kompleksamplituutideks. Märgime, et mõningates elektri- ja raadiotehnikaalastes töödes nimetatakse amplituutide moodulite c n hulka samuti funktsiooni f(x) spektriks. 4 Ülesanded Enamus pärinevad õpikust [3], mõned ka materjali [5] alamfailidest i 23 =. i 48 =. (3 + 5i) + (5 8i) =. (4 2i) + (4 + 2i) =. (2 + 3i) + (7 i) =. (m ni) (m + li) =. (5 2i)(3 + 4i) =. (2 + 7i)(2 7i) =. 2 5i 3 + i = i 5 2i =. 26

27 (3 4i) 2 =. (2 + i) 3 =. (5 + 2i) 4 =. (1 i) 5 =. 15. Teisendada trigonomeetrilisele kujule 1 3 i =. 16. Teisendada trigonomeetrilisele kujule 2 + 2i =. 17. Teisendada trigonomeetrilisele kujule 4 =. 18. Teisendada trigonomeetrilisele kujule i =. 19. Teisendada algebralisele kujule p = 8(cos 210 o + i sin 210 o ) =. 20. Teisendada algebralisele kujule p = 2.74(cos i sin 2.43) =. 21. Leida kompleksarvude z 1 = 4(cos 150 o + i sin 150 o ) ja z 2 = 2(cos 60 o + i sin 60 o ) korrutis z 1 z 2. 27

28 22. Leida kompleksarvude z 1 = 8(cos 210 o +i sin 210 o ) ja z 2 = 2(cos 120 o +i sin 120 o ) jagatis z 1 /z Leida kompleksarvude z 1 = 4(cos 150 o + i sin 150 o ) ja z 2 = 2(cos 60 o + i sin 60 o ) korrutis z 1 z Leida kompleksarvu z = 5(cos 73 o + i sin 73 o ) kuup. 25. Leida kompleksarvu z = 8 kuupjuur. 26. Leida kompleksarvu z = 3 + 3i 3 eksponentkuju. 27. Leida kompleksarvu z = 5e 3π i/4 kolmas aste. 28. Näidata, et cos 4 θ = 1 (cos 4θ + 4 cos 2θ + 3) Näidata, et n=0 2 n cos nθ = cos θ 5 4 cos θ. Viited [1] M. Kilp. Algebra I. Eesti Matemaatika Selts, Tartu [2] Ü. Lepik. Kaos ja kord. Tartu Ülikooli Kirjastus [3] V. Luigelaht, E. Reiman. Matemaatika tehnikumidele. Tallinn, Valgus [4] N. Piskunov. Diferentsiaal- ja integraalarvutus 2. Tallinn Valgus, [5] G. G. Ross. Complex Numbers and Ordinary Differential Equations (Lecture Notes). Oxford University, Michaelmas Term [6] T. Sauer. Numerical Analysis. Pearson, [7] S. W. Smith. The Scientist and Engineerś Guide to Digital Signal Processing. Newnes,