6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

Transcript

1 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline ja koormus on pikkade külgede sihis konstantne, siis plaadi keskosa (vt. joonis 6.6) elstne pind on silindrilise kujuga (silindri moodustaja on paralleelne y teljega). Teisisõnu, plaadi keskosas siirded w = w(x). Sellist plaadi deformatsiooni nimetatakse silindriliseks paindeks. Olgu plaat välja venitatud y telje sihis ja koormus ühtlaselt jaotunud üle kogu plaadi pinna, st., p(x, y) = p = const. (joon. 6.6). Plaadi elastse pinna võrrand (6.10) saab sel juhul kuju D 4 w(x) x 4 = p. (6.26) See võrrand on väga sarnane tugevusõpetusest tuntud tala elastse joone võrrandiga EI 4 w(x) x 4 = p. (6.27) Silindriline paine 264 Joonis 6.6: Pikk ristkülikuline plaat.

2 Silindriline paine 265 Läbipainete võrdlemiseks tuleb võrrelda plaadi paindejäikust D = Eh 3 /12(1 ν 2 ) ühikulise laiusega tala 7 paindejäikusega EI = Eh 3 /12. Kuna plaadi paindejäikus on tala omast suurem, siis on plaadi läbipaine tala omast väiksem. Sisejõud määratakse seostest (6.13) ja (6.14). Kuna w = w(x), siis ka paindemomendid ja põikjõud on vaid koordinaadi x funktsioonid. M x = D 2 w(x) x 2, M y = νd 2 w(x) x 2 = νm x. (6.28) Võrreldes taladega tekivad seega plaadis ka paindemomendid M y. Talas neid ei teki kuna tala ristlõiked saavad vabalt deformeeruda (joon. 6.7). On ilmselge, et paindemomendid M y põhjustavad pingeid σ y, mida tuleb arvesse võtta näiteks raudbetoonplaatide sarrustamisel: plaat tuleb kindlasti sarrustada ka pikisuunas. 7 Plaadi koormus on antud pinna ühiku kohta, talal aga pikkusühiku kohta Silindriline paine 266 Joonis 6.7: Paindemomendid M y.

3 Ühtlaselt koormatud jäigalt kinnitatud elliptiline plaat Ühtlaselt koormatud jäigalt kinnitatud elliptiline plaat See on üks vähestest plaadi painde ülesannetest, millele on võimalik leida analüütiline (täpne) lahend. Vaatleme ellpitilist plaati (joon. 6.8), millele koordinaatteljed x ja y on sümmeetriatelgedeks. Sellisel juhul saame elliptilise plaadi kontuuri võrrandile kuju x 2 a + y2 = 1. (6.29) 2 b2 Näitame, et plaadi elastse pinna (keskpinna vertikaasiirete) avaldis kujul ( ) 2 w = w 0 1 x2 a y2, (6.30) 2 b 2 kus w 0 on plaadi läbipaine koordinaatide alguses, rahuldab plaadi elastse pinna (diferentsiaal)võrrandit (6.10) 4 w x w 4 x 2 y + 4 w 2 y = p(x,y) 4 D Ühtlaselt koormatud jäigalt kinnitatud elliptiline plaat 268 Joonis 6.8: Elliptiline plaat.

4 Ühtlaselt koormatud jäigalt kinnitatud elliptiline plaat 269 ja ääretingimusi jäigalt kinnitatud servas (6.19) w w = 0, = 0, (6.31) n kus n on plaadi kontuuri normaal. On ilmselge, et plaadi kontuuril on esimene neist rahuldatud. Kuna plaadi kontuuril tuletised w/ x = w/ y = 0, siis on tuletised suvalises suunas, kaasa arvatud normaal n, nullid ja ääretingimused (6.31) rahuldatud. Nüüd leiame avaldisest (6.30) vajalikud osatuletised, paneme need elastse pinna võrrandisse (6.10) ja avaldame läbipande plaadi keskel p w 0 = D ( 24 ). a a 2 b + 24 (6.32) 2 b 4 Seega saab plaadi elastse pinna avaldis (6.30) kuju ( ) 2 w = p 1 x2 a y2 2 b ( 2 D 24 ). a a 2 b + 24 (6.33) 2 b 4 Kuna avaldis (6.33) rahuldab nii elastse pinna võrrandit kui ääretingimusi, siis on ta vaadeldava ülesande täpseks lahendiks Ühtlaselt koormatud jäigalt kinnitatud elliptiline plaat 270 Edasi on võimalik leida paindemomentide avaldised, kasutades valemeid (6.13) ( 2 ) w M x = D x + w 2 ν 2 = y 2 = M y = D pa a2 b + 6 a4 2 b 4 ( 2 ) w y + w 2 ν 2 = x 2 ) )] [(1 3 x2 a y2 + ν (1 a2 3 y2 2 b 2 b 2 b x2, 2 a 2 (6.34) = pb 2 ) )] [(1 3 y2 a x2 + ν (1 b2 3 x2 2 b 2 a 2 b y2. 2 a b2 a + 6 b4 2 a 4 Plaadi keskel, kus x = y = 0 saavad paindemomendid seega väärtuse ( ) ( ) pa ν a2 b pb ν b2 2 a 2 M x = a2 b a4 b 4, M y = b2 a b4 a 4. (6.35)

5 Ühtlaselt koormatud jäigalt kinnitatud elliptiline plaat 271 Vaadeldava kinnitusviisi tõttu on plaadi servas paindemomendid nullist erinevad. Eeldusel, et a > b saame maksimaalse momendi plaadi servas kohal x = 0, y = ±b: 2pb 2 maxm k =. (6.36) b2 a + 6 b4 2 a 4 Erijuhul a = b = r saame ellipsist ringi, st., elliptilise plaadi asemel vaatleme ringikujulist plaati ehk ümarplaati, mille korral momendid plaadi keskel ja servas saavad väärtuse M 0 = pr2 16 (1 + ν), M k = pr2 8. (6.37) Et saada maksimaalset paindepinget plaadi ristlõikes, st., σ(±h/2) tuleb saadud momendiavaldised jagada vastupanumomendiga W = h 2 / Elastse pinna võrrandi lahendamine ristkülikulise plaadi korral Elastse pinna võrrandi lahendamine ristkülikulise plaadi korral Plaadi painde diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks tuleb üldjuhul kasutada ligikaudseid meetodeid. Selliseid meetodeid on välja töötatud suhteliselt palju. järgmistes peatükkides vaatleme neist mõningaid Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades Vaatleme kõikidest servadest vabalt toetatud ristkülikplaati, mis on koormatud meelevaldse ristkoormusega p(x, y). Vabalt toetatud plaadi elastset pinda saab kirjeldada kahekordse trigonomeetrilise rea abil: w(x,y) = m=1 n=1 C mn sin mπx a Selle rea iga liige rahuldab ääretingimusi (6.21) sin nπy b. (6.38)

6 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 273 Joonis 6.9: Vabalt toetatud ristkülikplaat. w = 0, 2 w x = 0 ja/või 2 w = 0, (6.39) 2 y2 seega ka kogu rea puhul on ääretingimused rahuldatud. Plaadile rakendatud koormus arendatakse Fourier ritta, st. p(x,y) = B mn sin mπx a m=1 n=1 sin nπy b. (6.40) Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 274 Tegurid B mn leitakse matemaatilisest analüüsist tuntud valemite abil B mn = 4 ab a b 0 0 p(x,y) sin mπx a nπy sin dxdy. (6.41) b Järgmise sammuna tuleb siire w ja koormus p asendada plaadi elastse pinna võrrandisse (6.10): [ (mπ ) 4 ( mπ ) 2 ( nπ ) 2 ( nπ ) ] 4 C mn sin mπx nπy sin = a a b b a b m=1 n=1 = 1 B mn sin mπx nπy sin D a b. (6.42) m=1 n=1 Kuna viimane võrrand peab kehtima iga m ja n korral, siis B mn C mn = π 4 D [(m/a) 2 + (n/b) 2 ] 2. (6.43) Kokku oleme saanud plaadi elastse pinna jaoks avaldise w(x,y) = 1 B mn mπx nπy π 4 D [(m/a) 2 + (n/b) 2 2 sin sin ] a b. (6.44) m=1 n=1

7 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 275 Joonis 6.10: Ühtlaselt koormatud ristkülikplaat. Ühtlaselt jaotatud koormuse juht. Elastse pinna avaldise (6.44) rakendamise näitena vaatleme ühtlaselt koormatud plaati. Sellisel juhul kordajad Kuna integraal a 0 B mn = 4p ab a b 0 0 sin mπx a nπy sin dxdy. (6.45) b { sin mπx 2a/mπ, kui m = 1, 3, 5,... a dx = 0, kui m = 2, 4, 6,... (6.46) Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 276 siis B mn = 4p 2a 2b ab mπ nπ = 16p, π 2 mn m,n, = 1, 3, 5,... (6.47) Elastse pinna avaldis saab antud juhul kuju w(x,y) = 16p π 6 D m=1,3,5 n=1,3,5 1 mπx mn [(m/a) 2 + (n/b) 2 2 sin ] a sin nπy b. (6.48) Kui tähistada plaadi külgede pikkuste suhe b/a = β (s.t. asendame b = aβ), siis saame viimasele anda kasutamiseks mugavama kuju w(x,y) = 16pa4 π 6 D m=1,3,5 n=1,3,5 1 mπx mn [m 2 + (n/β) 2 2 sin ] a sin nπy aβ. (6.49) Sisejõudude leidmiseks tuleb viimasest avaldisest võtta piisaval arvul osatuletisi ning kasutada valemeid (6.13) ja (6.14):

8 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 277 M x = 16pa2 π 4 M y = 16pa2 π 4 m=1,3,5 m=1,3,5 16(1 ν)pa2 T xy = π 4 β Q x = 16pa π 3 Q y = 16pa π 3 β m=1,3,5 m=1,3,5 m 2 + ν(n/β) 2 mπx mn [m 2 + (n/β) 2 2 sin ] a νm 2 + (n/β) 2 mπx mn [m 2 + (n/β) 2 2 sin ] a 1 mπx m=1,3,5 n=1,3,5 [m 2 + (n/β) 2 2 cos ] a 1 mπx nπy cos sin n [m 2 + (n/β) 2 ] a aβ, n=1,3,5 n=1,3,5 n=1,3,5 n=1,3,5 sin nπy aβ, sin nπy aβ, cos nπy aβ, 1 mπx nπy sin cos m [m 2 + (n/β) 2 ] a aβ. (6.50) Kui on vaja leida toereaktsioonid, siis tuleb kasutada valemeid (6.17) ja (6.18). Et välja selgitada, mitu liiget ülaltoodud trigonomeetrilistes ridades tuleb Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 278 võtta, tuleb uurida ridade koonduvust. Selgub, et kõige kiiremini koondub läbipainde avaldis (6.49). Pisut aeglasemalt koonduvad momentide avaldised ja veelgi aeglasemalt põikjõu ja toeraektsioonide avaldised. Koondatud jõu juht. Olgu koondatud jõud P rakendatud plaadi punktis Joonis 6.11: Koondatud jõuga koormatud ristkülikplaat. K koordinaatidega x 0, y 0. Valemite tuletamiseks eeldame, et see jõud on jaotunud lõpmata väikesele pinnale dxdy punkti K ümbruses: p(x,y) = P dxdy. (6.51)

9 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 279 Tegurid B mn leitakse valemi (6.41) abil. Siin esineva kahekordse integraali arvutamisel tuleb arvestada, et see integraal on null kõikjal peale punkti K, kus ta omab väärtust B mn = 4 ab a b 0 0 p(x,y) sin mπx a Kasutades nüüd valemit (6.44) saame avaldise w(x,y) = 4P Dabπ 4 m=1,3,5 n=1,3,5 nπy 4P sin dxdy = b ab sin mπx 0 a sin nπy 0. b (6.52) sin mπx 0 a sin nπy 0 b mπx nπy [(m/a) 2 + (n/b) 2 2 sin sin ] a b. (6.53) Teades läbipainet, saame leida sise- ja reaktsioonjõud kasutades vastavaid avaldisi (6.13), (6.14), (6.17) ja (6.18). Kuna rida (6.53) koondub aeglasemalt kui rida (6.49) ning tema abil saadud sise- ja reaktsioonjõude esitavad read aeglasemalt kui ühtlaselt jaotatud koormusele vastavad read, siis tuleb koondatud jõudude puhul olla ettevaatlik. Teisisõnu, aktsepteeritava tulemuse saamiseks tuleb siin valida tunduvalt pikemad read kui ühtlaselt jaotatud koormuse korral Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 280 Näide. Vaatleme ruutplaati, st. b/a = β = 1, millel Poissoni tegur ν = 0, 3 ja millele mõjub ühtlaselt jaotunud koormus p(x, y) = p. Leiame plaadi läbipainde, sisejõud ja toereaktsioonid mõnedes iseloomulikes punktides piirdudes vaid trigonomeetriliste ridade nelja esimese liikmega, st., m,n = 1, 3. Läbipaine plaadi keskel, st. punktis x = 0, 5a ja y = 0, 5b = 0, 5a. Kasutame valemit (6.49). Vaja on leida järgmised suurused: sin(mπx/a),... { 1/ mn [ m 2 + (n/β) 2] } 2, m,n = 1, 3 w avaldis arvestades, et D = Eh 3 /[12(1 ν 2 )]. Tulemusena saame w = 0, 0443pa 4 /Eh 3. (6.54) Paindemomendid plaadi keskel. Analoogiline protseduur annab tulemuseks M x = M y = 0, 0470pa 2. (6.55)

10 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 281 Väändemoment plaadi nurgas x = y = 0 avaldub kujul ning põikjõud ja toereaktsioon külje x = 0 keskel T xy = 0, 0315pa 2, (6.56) Q x = 0, 28pa; R x = 0, 36pa. (6.57) Positiivsed paindemomendid viitavad sellele, et plaadi alumine pool on tõmmatud. Vastavalt valemile (6.18) põhjustab väändemoment plaadi nurkades nn. täiendava koondatud reaktsioonjõu R o = 2T xy = 0, 0630pa 2. Kuna nurgas x = y = 0 on R o positiivne suund üles (vt. vastavat joonist), siis antud juhul on R o suunatud alla. See omakorda tähendab seda, et plaadi nurk püüab üles tõusta. Küljel x = 0 (välisnormaal on suunatud x-telje negatiivses suunas) on positiivsed Q x ja R x suunatud üles, st. z telje negatiivses suunas Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 282 Tabelite kasutamisest. Samasugused arvutused saab läbi viia ka ühest erinevate β väärtuste jaoks ja suuremate liikmete arvuga ridade jaoks. Tulemused erinevad eeltoodud näitest vaid kordajate väärtuste poolest. Seega saab plaatide arvutamisel kasutatavatele valemitele (mis esitavad läbipaindeid, sisejõudusid jne.) anda järgmise kuju: läbipaine ja paindemomendid plaadi keskel w = k 1 pa 4 Eh 3; M x = k 2 pa 2 ; M y = k 3 pa 2 ; (6.58) põikjõud ja toereaktsioonid pikema külje keskel põikjõud ja toereaktsioonid lühema külje keskel koondatud reaktsioonjõud plaadi nurkades Q x = k 4 pa; R x = k 6 pa; (6.59) Q y = k 5 pa; R y = k 7 pa; (6.60) R o = k 8 pab. (6.61)

11 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 283 Kuna Poissoni teguri fikseeritud väärtuse (näiteks ν = 0, 3) korral sõltuvad konstantide k 1,...,k 8 väärtused vaid suhtest β, siis on mõistlik koondada need konstantide väärtused tabelisse, eeldades seejuures, et b > a. Äsjavaadeldud näite korral on konstantidel tabeli 6.1 põhjal järgmised väärtused: k 1 = 0, 0443, k 2 = 0, 0479, k 3 = 0, 0479, k 4 = 0, 338, k 5 = 0, 338, k 6 = 0, 420, k 7 = 0, 420 ja k 8 = 0, 065. Seega on näha, et läbipainde ja paindemomentide leidmisel piisabki vaid neljast esimesest rea liikmest (viga jääb alla 2%), kuid näiteks põikjõu korral oleks vaja rohkem liikmeid. Taolised tabelid on koostatud ka teiste kinnitustingimuste ja koormusskeemide jaoks. Vastavalt ääretingimustele on seejuures kasutatud ka Navier meetodist erinevaid meetodeid. Järgnevalt on esitatud kuus tabelit, mille põhjal on võimalik arvutada läbipaindeid, sise- ja reaktsioonjõudusid ühtlasele koormusele allutatud ristkülikulise plaadi jaoks. Tabelid pärinevad õpikust R. Eek, L. Poverus, Ehitusmehaanika II, Tallinn, Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 284 Tabel 6.1: NB! Tabeli q on meil p ja tabeli P R on meil R 0.

12 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades Tabel 6.2: NB! Tabeli q on meil p Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades Tabel 6.3: NB! Tabeli q on meil p

13 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades Tabel 6.4: NB! Tabeli q on meil p Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades Tabel 6.5: NB! Tabeli q on meil p

14 Navier meetod lahendus kahekordsetes trigonomeetrilistes ridades 289 Tabel 6.6: NB! Tabeli q on meil p Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod on üks diferentsiaalvõrrandite numbrilise (arvulise) lahendamise meetoditest. Joonis 6.12: Funktsioon f(x) ja tema väärtused võrgusõlmedes f(x i ) = f i. Meetodi idee: tuletised leitakse nn. lõplike vahede abil.

15 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 291 Vaatleme ühe muutuja funktsiooni f(x) (vt. joonis 6.12) Jagame x telje osadeks võrdse sammuga x saame 1D võrgu, mille i ndas punktis x = x i ja f(x i ) = f i. Tuletised punktis x i leitakse valemite abil, mis põhinevad tuletise definitsioonil: f f(x + x ) f(x) (x) = lim, f (x) = [f (x)],... (6.62) x 0 x f (x i ) = f i = f i+1 f i 1, 2 f (x i ) = f i = f i+1 f i 1 2 = f i+1/2 f i 1/2 = f i+2 2f i + f i = = f i+1 2f i + f i 1 2, Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 292 f (x i ) = f i = f i+1 f i 1 2 f (x i ) = f i = fi IV = f i+1 f i 1 2 = f i+2 2f i+1 + 2f i 1 f i 2 2 3, = f i+1 2f i + f i 1 2 = = f i+2 4f i+1 + 6f i 4f i 1 + f i 2 4. (6.63) Tihti esitatakse need ja nendega sarnased valemid nn. graafiliste operaatorite abil (vt. joonis 6.13), mis esitavad võrgu sõlmedes leitud funktsiooni väärtuste f i 2,f i 1,... kordajaid. Olles näiteks tähistanud i ndale tuletisele vastava graafilise operaatori T i, saame funktsiooni f tuletiste leidmiseks valemid f i = T 1f 2, f i = T 2f, f 2 i = T 3f 2 3, f i = T 4f 4. (6.64) Nimetatud graafilised operaartorid on kui trafaretid, millega liigutakse mööda võrku ja määratakse f i 2,f i 1,... kordajad i ndas sõlmes.

16 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 293 numbriliseks leidmi- Joonis 6.13: Graafilised operaatorid funktsiooni f(x) tuletiste f i...f i seks Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 294 Plaadi elastse pinna siirded, sisejõud ja toereaktsioond on kahe muutuja, x ja y, funktsioonid. Seega on nende korral vaja numbriliselt määrata osatuletisi nii x kui y järgi. Vastavad valemid on analoogilised ühe muutuja funktsioonide juures kasutatutega. Nüüd tuleb vaid kasutada kahte indeksit, näiteks punktis x = x i ja y = y k osatuletis f(x,y) = f i+1,k f i 1,k f(x,y) ja = f i,k+1 f i,k 1, (6.65) x 2 x y 2 y kus x ja y on vastavalt võrgusammud x ja y teljel. Kuna vaatleme ristkülikplaate, siis pole vaja osadeks jagada kogu x ja y telge piirdume vaid plaadi külgede pikkuste lõikudega (joonis loengus). Teisisõnu, vaatlema lõike 0 x a ja 0 y b, mille jagame osadeks sammudega x = a m, y = b n, (6.66) Vaatleme plaadi elastse pinna (diferentsiaal)võrrandit (6.10) 4 w x w 4 x 2 y + 4 w 2 y = p(x,y) 4 D

17 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 295 Tuues sisse tähistuse W(x,y) = Dw(x,y), Saame viimasele kuju 4 W x W x 2 y W y 4 = p(x,y) ehk 2 ( 2 W ) = p. (6.67) Viimases võrrandis on vaja leida neljandat järku osatuletised x ja y järgi ning samuti neljandat järku segaosatuletis. Võrrandi (6.67) vasakut poolt saab kujutada graafilise operaatori B abil ( vt. joonis 6.14). Selleks tuleb liita võrrandi liikmetele vastavad graafilised operaatorid ning tuua sisse tähistus α = x y 1 y = α x. (6.68) Seejärel saab biharmooniline võrrand (6.67), st. plaadi elastse pinna diferentsiaalvõrrand, kuju BW = p 4 x. (6.69) Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 296 Joonis 6.14: Biharmoonilise võrrandi graafiline operaator B.

18 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 297 Võrgupunktide liigitus. Vastavalt valemitele (6.66) oleme katnud ristkülikplaadi võrguga kus on (m + 1)(n + 1) punkti ehk sõlme (joonis loengus). Võrgupunkte, mis asetsevad plaadi servadel nimetame servapunktideks ehk rajapunktideks. Võrgupunkte, mis asetsevad servapunktidest seespool nimetame avapunktideks. Kuna neljanda tuletise arvutamise valemeis on vaja teada funktsiooni väärtusi kahes naaberreas või naaberveerus, siis tuleb sisse tuua nn. välis- ehk lisapunktid, mis asuvad väljaspool plaati. Funktsiooni väärtused neis punktides määratakse rajatingimustest. Tavaliselt on võimalik piirduda ühe rea välispunktidega. Punktide arv plaadil on (m + 1)(n + 1), neist (m 1)(n 1) on avapunktid ja (m + 1)(n + 1) (m 1)(n 1) = 2(m + n) servaehk rajapunktid Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 298 Plaadi paindeülesande lahendamiseks tuleb lõplikes vahedes esitatud biharmooniline võrrand kujul (6.69) lahti kirjutada igas avapunktis. Tulemusena saame võrrandisüsteemi, kus on avapunktide arvuga võrdne arv algebralisi võrrandeid. Saadud süsteemi lahend annabki meile plaadi elastse pinna siirded (läbipainded) avapunktides. Servapunktide siirded on esitatud rajatingimuste abil. Kui siirded on leitud, siis nende abil saame leida sisejõud vastavalt valemitele (6.13) ( 2 ) ( w M x = D x + w 2 ) W 2 ν 2 = y 2 x + W 2 ν 2 = M xw, y 2 2 x ( 2 ) ( w M y = D y + w 2 ) W 2 ν 2 = x 2 y + W 2 ν 2 = M yw, x 2 2 (6.70) y T xy = (1 ν)d 2 w x y = (1 ν) 2 W x y = (1 ν)αt xyw 4 2 x

19 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 299 ja (6.14) ( 3 ) ( w Q x = D x + 3 w 3 ) W = 3 x y 2 x + 3 W 3 x y ( 2 3 ) ( w Q y = D x 2 y + 3 w 3 ) W = y 3 x 2 y + 3 W y 3 = Q xw 2 3 x, = α Q yw 2 3 x. (6.71) M x, M y, T xy, Q x ja Q y on graafilised operaatorid (vt. joon. (6.15) ja (6.16)). Toereaktsioonide leidmise juures õnnestub plaadi elastse pinna võrrandi abil ellimineerida nn. teise rea välispunktid. Kasutades graafilisi operaatoreid R x ja R y (vt. joon. (6.17) (6.20)) saab vastavad avaldised esitada kujul R x = R xw 2 3 x p x 2, R y = 1 R y W α 2 3 x p x 2. (6.72) Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 300 Joonis 6.15: Graafilised operaatorid painde- ja väändemomentide leidmiseks.

20 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 301 Joonis 6.16: Graafilised operaatorid põikjõudude leidmiseks Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 302 Joonis 6.17: Graafilised operaatorid toereaktsioonide leidmiseks.

21 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 303 Joonis 6.18: Graafilised operaatorid toereaktsioonide leidmiseks Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 304 Joonis 6.19: Graafilised operaatorid toereaktsioonide leidmiseks.

22 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 305 Joonis 6.20: Graafilised operaatorid toereaktsioonide leidmiseks Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 306 Ääretingimused. Kinnisserv. Servapunktides, mis on risti x teljega ( ) W W i = 0, = 0 W i 1,k = W i+1,k. (6.73) x x=x i Servapunktides, mis on risti y teljega ( ) W W i = 0, = 0 W i,k 1 = W i,k+1. (6.74) x y=y k Vabalt toetatud serv. Servapunktides, mis on risti x teljega W i = 0, (M x ) x=xi = 0 W i 1,k = W i+1,k. (6.75) Servapunktides, mis on risti y teljega W i = 0, (M x ) y=yi = 0 W i,k 1 = W i,k+1. (6.76)

23 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 307 Vaba serv. Siin on olukord tunduvalt keerulisem, sest W 0 ja W väärtusi raja- ja välispunktides ei õnnestu avaldada avapunktide kaudu. Selle asemel lisatakse avapunktides lahti kirjutatud plaadi elastse pinna võrranditele lisavõrrandid, mis väljendavad vaba serva tingimusi paindemomendi, põikjõu ja/või toereaktsiooni jaoks. Näide. Ruutplaadile servapikkusega a mõjub ühtlaselt jaotunud koormus inensiivsusega p o. Leida plaadi plaadi keskpinna siirded avapunktides ja paindemomentide väärtused plaadi keskel ning servade keskpunktis kahel juhul: 1) kui kõik plaadi servad on jäigalt kinnitatud; 2) kui kõik plaadi servad on vabalt toetatud. Katame plaadi pinna võrguga, mille samm x = y = = a/4 (joonis 6.21). Sümmeetria tõttu peame vaatlema vaid kolme sisepunkti ja kirjutama nende jaoks lahti biharmoonilise võrrandi, kasutades eeltoodud graafilist operaatorit B Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod Joonis 6.21:

24 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 309 Kui rajatingimusi ei arvesta, on tulemuseks kolmest võrrandist koosnev kaheksa tundmatuga võrrandisüsteem 20W 1 32W 2 + 8W 3 + 4W 4 + 0W 5 + 0W 6 + 0W 7 + 0W 8 = p o 4, 8W W 2 16W 3 8W 4 + 6W 5 + 0W 6 + 1W 7 + 0W 8 = p o 4, 2W 1 16W W 3 + 4W 4 16W 5 + 2W 6 + 0W 7 + 2W 8 = p o 4. (6.77) Mõlema rajatingimuse korral on siirded servapunktides nullid, st. W 4 = W 5 = W 6 = 0 ja tundmatute arv väheneb kolme võrra. Jäiga kinnituse korral saame lisaks tingimused W 7 = W 2 ja W 8 = W 3 ning võrrandisüsteem (6.77) saab kuju 20W 1 32W 2 + 8W 3 = p o 4, 8W W 2 16W 3 = p o 4, (6.78) 2W 1 16W W 3 = p o 4. Selle lahend on W 1 = 0, 4607p o 4, W 2 = 0, 3090p o 4, W 3 = 0, 2093p o 4. (6.79) Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 310 Paindemomendid (ν = 0.3) { M1 = (2, 6W 1 2W 2 0, 6W 2 )/ 2 = 0, 3944p o 2 = 0, 0246p o a 2 M 4 = 2W 2 / 2 = 0, 6180p o 2 = 0, 0386p o a 2 (6.80) Et võrrelda saadud siirde W 1 väärtust tabelites antud konstandiga k 1 tuleb W 1 jagada suurusega n 4 /[12(1 ν 2 )]. Tulemuseks on k 1 = , mis erineb tabelist saadud väärtusest k 1 = 0, Et saavutada suuremat kooskõla, tuleb suurendada võrgupunktide arvu. Näiteks n = 12 korral saame k 1 = ja n = 24 korral saame k 1 = (vt. joonist 6.22 kus on esitatud vastav relatiivne viga sõltuvana võrgupunktide arvust ja joonist 6.23 kus on esitatud k 1 sõltuvana võrgupunktide arvust). Paindemomentide korral pole sellist ümberarvutamist vaja teha. Võrgupunktide arvule n = 4 vastavad k 2 = 0, 0246 ja k 4 = 0, 0386, tabelis k 2 = 0, 0231 ja k 4 = 0, Väärtusele n = 12 vastavad k 2 = 0, 0232 ja k 4 = 0, 0495 ning n = 24 vastavad k 2 = 0, 0230 ja k 4 = 0, 0509.

25 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 311 k 1 * relatiivne viga, % Jäik kinnitus n Joonis 6.22: Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod Jäik kinnitus k 1 * ja k n Joonis 6.23:

26 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 313 Vaba toetuse korral saame lisaks rajatingimused W 7 = W 2 ja W 8 = W 3 ning võrrandisüsteem (6.77) saab kuju 20W 1 32W 2 + 8W 3 = p o 4, 8W W 2 16W 3 = p o 4, (6.81) 2W 1 16W W 3 = p o 4. Selle lahend on W 1 = 1, 0313p o 4, W 2 = 0, 7500p o 4, W 3 = 0, 5469p o 4. (6.82) Paindemomendid (ν = 0.3) { M1 = (2, 6W 1 2W 2 0, 6W 2 )/ 2 = 0, 7312p o 2 = 0, 0457p o a 2, M 4 = (W 2 W 2 )/ 2 = 0. (6.83) Et võrrelda saadud siirde W 1 väärtust tabelites antud konstandiga k 1 tuleb W 1 jällegi jagada suurusega n 4 /[12(1 ν 2 )]. Tulemuseks on k 1 = , mis erineb tabelist saadud väärtusest k 1 = 0, 0443 tunduvalt vähem kui jäiga kinnituse lahend (vt. joonist 6.24 kus on esitatud vastav relatiivne viga sõltuvana Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 314 võrgupunktide arvust ja joonist 6.25 kus on esitatud k 1 sõltuvana võrgupunktide arvust). Ka paindemomentide väärtused on antud juhul paremas kooskõlas tabelis antutega. Tabelis k 2 = 0, 0479, ja n = 4, 12, 24 vastavad k 2 = 0, 0457; 0, 0476; 0, 0478.

27 Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod 315 k 1 * relatiivne viga, % Vaba toetus n Joonis 6.24: Võrgumeetod ehk lõplike vahede meetod Vaba toetus k 1 * ja k n Joonis 6.25: