METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAłIILOR ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE

Transcript

1 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAłIILOR ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE. SEPARAREA SOLUłIILOR ECUAłIILOR ALGEBRICE ŞI TRANSCENDENTE În cazul, când ecuańa algebrcă sau transcendentă are o structură smplă, soluńle pot f determnate exact ş relatv uşor. Dacă însă structura ecuańe este complcată, procedura de determnare a soluńlor devne destul de anevooasă. Ma mult decât atât, atunc când ecuańa modelează careva stuań, fenomene care depnd de ma mulń parametr, valoarea cărora este cunoscută doar aproxmatv, nońunea de soluńe exactă îş perde în general sensul. De aceea are sens de a determna careva metode de calcul aproxmatv al soluńlor ecuańlor algebrce ş transcendente. Fe dată ecuańa f(x = 0 (, f(x fnd defntă ş contnuă pe un careva nterval a x b. Orce valoare ξ, pentru care expresa f(ξ = 0 este adevărată se numeşte zerou al funcńe f(x sau soluńe a ecuańe f(x = 0 În cele ce urmează se va presupune că ecuańa ( are soluń dstncte (zolate, adcă pentru fecare soluńe a ecuańe exstă o vecnătate a sa, care nu conńne alte soluń. Astfel, rezolvarea une ecuań algebrce se dvde în două etape:. Separarea ntervalelor pe care ecuańa are o sngură soluńe ş. Mcşorarea pe cît ma mult posbl a fecăru dn aceste ntervale (dacă se pune problema determnăr tuturor soluńlor sau a unua dn ele (dacă trebue de determnat doar una dn soluń. Pentru separarea soluńlor se va folos următoarea teoremă dn analza matematcă: Teoremă. Dacă funcńa f(x contnuă pe segmentul [a, b] prmeşte la extremtăńle lu valor de semn dfert f(a f(b<0 atunc pe acest segment exstă cel puńn un punct ξ, pentru care expresa f(ξ = 0 este adevărată. Dacă pe acest segment exstă f (x,contnuă, care are un semn constant, atunc soluńa ecuańe pe segmentul [a,b] este uncă. (fără demonstrańe Dacă soluńle ecuańe f (x=0 pot f uşor calculate, atunc procesul de separare a soluńlor se reduce la determnarea semnelor funcńe în extremtăńle segmentulu [a, b] ş în punctele în care dervata funcńe este 0. Segmentele la extremtăńle cărora funcńa va avea valor de semn opus vor conńne câte o soluńe a ecuańe nńale. 5 Exemplul. Să se separe soluńle ecuańe: x 5x f ( x = x 5x + 7; f ( x = 5x 5. Rezolvând ecuańa 5x 4 5 = 0 se obńn soluńle x = ş x =. Se verfcă semnul dervate pe ntervalele: (, : f (x > 0; (, : f (x < 0; (, + : f (x > 0;

2 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente Dec, ecuańa nńală va avea cel mult tre soluń, câte una pe fecare dn ntervalele determnate ma sus. Urmează verfcarea semnulu funcńe în extremtăńle fecărua dntre ntervalele stablte: (, : lm f ( x = ; f ( = x (, : f ( x = 0. x (, : f ( = f ( = 3 x (, : f ( x = 0. (, : f ( = 3 lm f ( x = x (, : f ( x = 0 x Prn urmare, unca soluńe a ecuańe se află în ntervalul (,. Exemplul. Să se determne numărul de soluń a ecuańe e x + x = 0. f (x = e x + ; f (x >0 x R. Întrucât lm f ( x = ; lm f ( x = ; se poate afrma că ecuańa nńală are o sngură soluńe. x x Exemplul 3. Să se separe rădăcnle ecuańe x 3 9x +4x-9=0 pe segmentul [0, 8] f(x = x 3 9x + 4x 9; f (x = 3x 8x+ 4. Rezolvând ecuańa f (x = 0 se obńn soluńle x = 4, x =. x f(x Semn Dec ecuańa va avea tre soluń, câte una pe fecare dn segmentele [0,], [,4], [4,8]. [ 0,8]. Exemplul 4. Să se separe rădăcnle ecuańe x 3 9x + 4x 3 = 0 pe segmentul f(x=x 3 9x + 4x 3; f (x = 3x 8x + 4. Rezolvând ecuańa f (x = 0, se obńn soluńle x = 4, x =. x f(x Semn Dec ecuańa va avea o sngură soluńe localzată pe segmentul [0,]. Cunoaşterea unu lmbaj de programare uşurează mult studerea comportamentulu une funcń ş în partcular procesul separare a soluńlor ecuańe f(x = 0. Următorul program Pascal permte vzualzarea în regm text a grafculu une funcń ş separarea soluńlor. Prn modfcarea subprogramulu (funcńa f în care este descrsă funcńa grafcul cărea se construeşte, programul se adaptează la orcare altă funcńe acceptablă, ntrodusă de utlzator: program cn00; uses crt; const nmax=50; ymax=0; deplas=5;

3 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 3 type var ecran=array[0..,0..78] of char; valorreal=array[..nmax] of real; valorntreg=array[..nmax] of nteger; graf: ecran; y: valorreal; ynorm: valorntreg; vmax,vmn,a,b: real;,j,lnezero: nteger; functon f(x:real:real; f:=exp(cos(*x*ln(x+3*sn(x; procedure calcul(a,b:real;var z:valorreal; var h: real; h:=abs(b-a/(nmax-; for := to nmax do z[]:=f(a+(-*h; procedure normare(var fz:valorntreg; z:valorreal; var max,delta: real; max:=abs(z[]; vmax:=z[]; vmn:=z[]; for := to nmax do f abs(z[]>max then max:=abs(z[]; f z[]>vmax then vmax:=z[]; f z[]<vmn then vmn:=z[]; delta:=(ymax dv / max; for := to nmax do fz[]:=round(z[]*delta; procedure modeleazagrafc(g:ecran; fllchar(g,szeof(g,' '; for :=deplas to nmax+deplas do g[lnezero,]:='-'; g[ymax dv - ynorm[-deplas+],]:='*'; for :=0 to ymax do g[,]:=' '; g[0,]:='^'; g[0,3]:='y'; g[lnezero,nmax+deplas+]:='>'; g[lnezero,3]:='0'; g[lnezero,nmax+deplas+]:='x'; clrscr; for :=0 to do for j:=0 to 78 do wrte(g[,j]; wrteln; gotoxy(4,;wrte(vmax:0:; gotoxy(4,3;wrte(vmn:0:; gotoxy(deplas-,3;wrte ('X: ',a:0:,' ':50,b:0:; gotoxy(,5;wrte('alt nterval (Da / (Nu';

4 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 4 end. repeat clrscr; wrte('introdu extremtatle ntervalulu: '; readln(a,b; calcul(a,b,y; normare(ynorm,y; lnezero:= ymax dv ; modeleazagrafc(graf; untl upcase(readkey='n'; Rezultate Pentru [, 0] grafcul generat de program este dat în desenul. Analzând grafcul generat de program, se observă exstenńa a două soluń a ecuańe cos( x x + 3sn( x = 0 pe [, 0]. După repetarea programulu pe [, 4] ş [4 6] se obńn respectv grafcele dn desenele ş 3, care ndcă exstenńa soluńlor separate pe fecare segment. Îngustarea repetată a fecăru segment ar permte localzarea ma exactă a soluńlor, dar odată ce rădăcnle sunt separate, această problemă poate f rezolvată prn metode numerce. Desenul. Grafcul funcńe, generat de programul cn00. Desenul. Detalzarea grafculu funcńe pe [,4] Desenul 3. Detalzarea grafculu funcńe pe [4,6] Întrebăr ş exercń. Ce numm soluńe a une ecuań?. Ce condń trebue să satsfacă funcńa f(x, pentru ca pe un segment dat să exste cel puńn o rădăcnă a ecuańe f(x=0? Dar pentru exstenńa exact a une soluń? SeparaŃ soluńle ecuańlor: 4 x 3 x a y = + x 3x b y = x x x c y = x x x d y = e x e y = e x x + x ( f y = x[sn(ln( x cos(ln( x]

5 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 5 3. ElaboraŃ un program, care calculează valorle une funcń contnue date pe un segment [a,b] cu pasul h, ş afşează toate ntervalele, la extremtăńle cărora funcńa are valor cu semn opus.

6 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 6. FORMULA GENERALĂ DE DETERMINARE A ERORII * Teoremă. Fe ξ, soluńa exactă ar x - soluńa aproxmatvă a ecuańe f(x = 0 pe un segment [a, b], pe care f (x are semn constant, ar m o valoare pentru care este adevărată negaltatea: f (x > m > 0 pe [a, b]. În acest caz este corectă estmarea eror de calcul x ξ prn expresa x ξ (în partcular, drept m putem lua cea ma mcă valoare a f (x pe segmentul [a,b] f ( x. m DemonstraŃa se face în baza teoreme Lagrange. Conform aceste teoreme valoarea ntermedară c între ξ ş x astfel încât f ( x f ( ξ = ( x ξ f ( c; Deoarece f( ξ = 0 ar f (x m, se obńne x ξ f ( x. m g În practcă utlzarea formule deduse ma sus dă rezultate destul de mprecse, de aceea se folosesc dverse metode de îngustare a segmentulu [a,b], ş utlzarea în caltate de estmare a eror a lungm ntervalulu care conńne atât soluńa aproxmatvă, cît ş cea exactă. * Materalul acestu paragraf este opńonal. La formula generală a eror se face refernńă în paragraful 3.5 Metoda Newton.

7 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 7 3. METODA BISECłIEI Fe dată funcńa f(x, contnuă pe segmentul [a, b] ş f(a f(b < 0. Se cere să se determne o soluńe a ecuańe f(x = 0 ( pe segmentul [a, b]. PropretăŃle funcńe asgură exstenńa a cel puńn o soluńe pe segmentul [a,b]. Una dntre cele ma smple metode de determ-nare a une soluń a ecuańe f(x = 0 este metoda bsecńe. Metoda presupune determ-narea punctulu de mjloc c a segmentulu [a,b] apo calculul valor f(c. Dacă f(c = 0, atunc c este soluńa exactă a ecuańe. În caz contrar soluńa este căutată în contnuare pe acel dntre segmentele [a, c] ş [c, b], pentru care semnul funcńe în extremtăń este dfert (desenul 4. Dacă f(a f(c>0, atunc soluńa e căutată în contnuare pe segmentul [a, b ], unde a c, b b. În caz contrar extremtăńle noulu segment vor f a a, b c. Procesul se rea pe segmentul [a, b ], repetându-se până când nu se obńne soluńa Desenul 4. Calculul consecutv al segmentelor, care conńn soluńa ecuańe. exactă sau (în majortatea absolută a cazurlor! deverea soluńe calculate de la cea exactă nu devne sufcent de mcă. În urma terańlor succesve se obńne consecutvtatea segmentelor [a 0,b 0 ], [a, b ], [a, b ],..., [a, b ],... Pentru fecare dn ele are loc relańa f(a f(b < 0, =0,,,... ( Estmarea eror. Deoarece ξ e un punct al segmentulu [a, b ] rezultă că dferenńa dntre soluńa exactă ş cea calculată nu este ma mare decît lungmea segmentulu [a, b ]. Prn urmare, localzarea soluńe pe un segment cu lungmea ε asgură o eroare ce nu depăşeşte lungmea ε a segmentulu. ξ a < ε = b a NotaŃa a c are semnfcańa a prmeşte valoarea lu c

8 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 8 Algortmzarea metode Algortmul de calcul pentru un număr prestablt n de aproxmăr succesve: Pas 0 InŃalzarea: 0; Pas Determnarea mjloculu segmentulu a + b c ;. Pas Reducerea segmentulu ce conńne soluńa: dacă f(c = 0 atunc soluńa calculată este x = c. SFÂRŞIT. În caz contrar dacă f ( a f ( c > 0, atunc a c; b b, altfel a a; b c Pas 3 +; Dacă = n atunc soluńa calculată este revne la pas Algortmul de calcul pentru o precze ε dată: Pas Determnarea mjloculu segmentulu a + b c ; a + b x =. SFÂRŞIT, în caz contrar se Pas dacă f(c = 0 atunc soluńa calculată este x = c. SFÂRŞIT. în caz contrar dacă f ( a f ( c > 0, atunc a c; b b, altfel a a; b c a + b Pas 3 Dacă b a < ε atunc soluńa calculată este x =. SFÂRŞIT, în caz contrar se revne la pas Exemplul : Să se determne o rădăcnă a ecuańe x 4 + x 3 x = 0 pe segmentul [0, ] pentru 6 dvzăr consecutve. Program: Deoarece numărul de aproxmăr succesve este fxat, ar extremtăńle segmentulu cunoscute, atrburle se realzează nemjloct în program. program cn003; var a,b,c: real;,n:nteger; functon f(x:real:real; f:=sqr(sqr(x+*x*sqr(x-x-; end. a:=0; b:=; n:=6; for := to n do c:=(b+a/; wrteln('=',:3,' x=',c:0:8,' f(x=',f(c::8; f f(c=0 then break else f f(c*f(a>0 then a:=c else b:=c; în contextul dat precza ε semnfcă o eroare de calcul, care nu depăşeşte valoarea ε

9 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 9 Rezultate = x= f(x= = x= f(x= = 3 x= f(x= = 4 x= f(x= = 5 x= f(x= = 6 x= f(x= = 7 x= f(x= = 8 x= f(x= = 9 x= f(x= = 0 x= f(x= = x= f(x= = x= f(x= = 3 x= f(x= = 4 x= f(x= = 5 x= f(x= = 6 x= f(x= Exemplul : Să se determne o rădăcnă a ecuańe 6cos(x + 8sn(x = 0 pe segmentul [, 4] cu precza = program cn004; var a,b,c,eps: real; functon f(x:real:real; f:=6*cos(x+8*sn(x; end. a:=; b:=4; eps:=0.0007; repeat c:=(b+a/; wrteln('x=',c:0:8,' f(x=',f(c::8; f f(c=0 then break else f f(c*f(a>0 then a:=c else b:=c; untl abs(b-a<eps; Rezultate: x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x=

10 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 0 x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= Întrebăr ş exercń. ОÎn ce cazur se folosesc metode aproxmatve de determnare a soluńlor ecuańlor algebrce?. DescreŃ metoda bsecńe. Care sunt prortăńle e? Dar neajunsurle? 3. Formula pentru estmarea eror, dedusă în paragraful curent este ξ a < ε = b a. ExprmaŃ dferenńa dntre valoarea exactă ş cea calculată prn o formulă care depnde doar de extremtăńle segmentulu nńal ş numărul de dvzăr realzate. 4. DescreŃ algortmul metode bsecńe. 5. DetermnaŃ prn metoda bsecńe soluńle ecuańlor: e x x =0 pe segmentul [ -, -0.5 ] x 3 x =0 pe segmentul [, ] x 3 +3x 3=0 pe segmentul [ -3, - ] x 5 x 0. =0 pe segmentul [, ] a pentru 0, 0, 40 dvzăr ale segmentulu nńal b cu precza ε = 0,00; 0,000; 0,0000. c în condńle punctulu precedent determnań numărul de dvzăr necesare pentru a obńne precza cerută. 6. DetermnaŃ prn metoda bsecńe soluńle ecuańlor de pe ntervalele separate în exercńul 3, pagna 30.

11 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 4. METODA COARDELOR Metoda bsecńe, cu toată smpltatea e nu este efectvă în cazurle când rezultatul trebue obńnut prn un număr mc de terań, cu o exacttate înaltă, segmentul nńal care conńne soluńa fnd destul de mare. În acest caz este ma potrvtă dvzarea segmentulu în părń proporńonale, proporńa fnd dată de punctul de ntersecńe al coarde care uneşte extremtăńle segmentulu cu axa 0X. Fe dată funcńa f(x, care posedă următoarele propretăń: ( f(x contnuă pe segmentul [a, b] ş f ( a f ( b < 0. ( Pe segmentul [a, b] exstă f ( x 0; f ( x 0 contnu, ş semnul lor pe [a, b] este constant. PropretăŃle enumerate garantează exstenńa soluńe unce a ecuańe f(x = 0 pentru x [ a, b]. Metoda coardelor presupune alegerea în caltate de aproxmare a soluńe punctulu determnat de ntersecńa drepte ce trece prn punctele (a, f(a ş (b,f(b cu axa OX. Desenul 5. Aproperea succesvă de soluńa ecuańe prn metoda coardelor. Extremtatea fxă - b Desenul 6 Aproperea succesvă de soluńa ecuańe prn metoda coardelor. Extremtatea fxă - a Realzarea metode este următoarea: se stableşte extremtatea e a segmentulu [ a, b] prn care se va duce o sere de coarde. Această extremtate este stabltă de condńa: x 0. f ( e f ( e > 0. Cealaltă extremtate a segmentulu [ a, b] se consderă aproxmare nńală a soluńe: Prn punctele (e, f(e ş (x 0, f(x 0 se duce o coardă. Se determnă punctul x în care ea ntersectează axa OX. Punctul x este consderat următoarea aproxmare a soluńe. Procesul se repetă, coarda următoare fnd dusă prn punctele (e, f(e ş (x, f(x. Astfel se obńne şrul de aproxmăr x 0, x, x,... x, x +,... x n... lmta cărua este soluńa exactă a ecuańe f(x = 0. Punctele e ş x 0 sînt cunoscute. Folosnd ecuańa drepte ce trece prn două puncte putem determna aproxmarea x ( f(x = 0:

12 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente x x y f ( x y f ( x = x x = ( e x e x f e f x f e f x ( ( 0 ( ( 0 f ( x x = x ( e x f ( e f ( x0 În general, avînd calculată aproxmarea x -, putem determna următoarea aproxmare x prn formula recurentă: Se demonstrează că şrul de valor x, x,... x, x +,... x n... calculate după formula (3 converge către soluńa ξ a ecuańe f(x = 0. DemonstraŃe * Fe f(a > 0; f (a > 0 (Desenul 6 (Celelalte cazur posble se demonstrează la fel Deoarece f (a > 0, pe segmentul [a,b] grafcul funcńe este nferor coardelor cu extremtăńle aparńnînd segmentulu cercetat. f ( x x = x ( a x, f ( a f ( x =,,... (3. a Extremtatea fxă este a. Formula (3 se transformă: Dn (3.a rezultă că x < x - : f ( e f ( x f ( x < 0, =,,... ( a x < 0, =,,... f ( a f ( x > 0, =,,... În urma utlzăr repetate a formule (3.a se obńne şrul x 0 > x > > x > ξ > a. Şrul este descrescător ş mărgnt nferor, dec exstă lmta lu ξ. Trecând la lmtă în formula (3.a, se obńne f ( x x = x ( e x, =,,... (3 f (lm x lm lm ( lm x = x a x f ( a f (lm x sau, după înlocure f ( ξ f ( ξ ξ = ξ ( a ξ 0 = ( a ξ f ( a f ( ξ f ( a f ( ξ de unde rezultă 0 = f(ξ. (numtorul fracńe e dfert de 0, al dolea factor la fel. Dec ξ este soluńa ecuańe nńale. ξ = ξ, ceea ce ş trebua de demonstrat. Estmarea eror Faptul că şrul aproxmărlor succesve prn metoda coardelor converge către soluńa exactă mplcă următoarea concluze: cu cât ma multe terań ale metode vor f realzate, cu * DemonstraŃle propuse sunt opńonale ac ş în paragrafele care urmează.

13 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 3 atât ma bne va f aproxmată soluńa. Totuş, am putea determna o formulă, care permte estmarea eror de calcul, ş, prn urmare, exacttatea 3 soluńe obńnute. Demonstrarea formule de estmare a eror. Deoarece ξ este soluńa exactă a ecuańe, f(ξ = 0. Se adăugă f(ξ la numărătorul fracńe dn (3.a, apo se estmează dferenńa între soluńa exactă ş cea calculată teratv: f ( x f ( ξ f ( x x = x a x x = x + a x ( ; ( f ( a f ( x f ( a f ( x f ( a f ( x f ( ξ f ( x = x x (4 ( a x Pentru estmarea fnală se va folos Teorema Lagrange 4. Formula dn teoremă se va aplca aparte pentru ambele părń a egaltăń (4. După înlocurea în (4, se obńne: ( ξ ( m ( ( f ( ξ f ( x = ξ x f '( r r [ ξ, x ]; f ( a f ( x = a x f '( r* r* [ a, x ] f '( r* f '( r x f '( r = x x f '( r* ξ x = x x f '( r M m ξ x x x Prn urmare, dacă se cere calculul soluńe cu o exacttate dată ε, calculele se vor repeta conform formule (3.a până la obńnerea negaltăń M m m x x ε unde M ş m sînt corespunzător margnea superoară ş nferoară a f (x pe [a, b]. (5 Algortmul de calcul Aplcarea metode coardelor necestă o cercetare prealablă a funcńe f(x, pentru stablrea extremtăń fxe, dn care vor f duse coardele. Numărul n de aproxmăr succesve ale soluńe poate f ndcat în enunńul probleme, sau determnat de o condńe. În ambele cazur calculul se realzează conform formule (3.a. CondŃa de oprre în prmul caz va f aplcarea repetată de n or a formule (3.a; în cel de al dolea îndeplnrea condńe (5. Determnarea extremtăń fxe. Dacă descrerea analtcă a f (x nu este ndcată în enunńul probleme, urmează să fe dedusă, folosnd pentru aceasta expresa pentru f(x. Totuş, deducerea formule pentru f (x poate f omsă prn următoarea procedură: Se determnă semnul f(x în punctul c de ntersecńe al drepte ce trece prn punctele (a, f(a ş (b, f(b cu axa 0X. Fxă va f acea extremtate e, pentru care se îndeplneşte condńa: 3 precza 4 Fe f:[a,b] R, contnuă ş dervablă pe [a,b]. Atunc c (a, b astfel încât: f(b f(a = (b -a f (c

14 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 4 f(e f(c < 0. Algortmul de calcul pentru un număr prestablt n de aproxmăr succesve: Pentru a realza acest algortm este sufcent să se cunoască descrerea analtcă a f (x Pas Determnarea extremtăń fxe e ş a aproxmăr x 0 ; 0. f ( x Pas Calculul x + conform formule x = x ( e x ; + f ( e f ( x Pas 3 Dacă + = n atunc SFÂRŞIT, în caz contrar +, ş se revne la pas Algortmul de calcul pentru o exacttate ε dată: Deoarece în formula de estmare a eror fgurează mărmle M ş m, în cazul când valorle lor nu sunt ndcate în enunńul probleme, este necesară o preprocesare matematcă pentru stablrea M ş m. Suplmentar sunt necesare descrerle analtce pentru f(x, f (x. Pas Determnarea extremtăń fxe e ş a aproxmăr x 0 ; 0. f ( x Pas Calculul x + conform formule x = x ( e x ; + f ( e f ( x M m Pas 3 Dacă m x x ε atunc SFÂRŞIT, în caz contrar +, ş se revne la pas Exemplul : Fe dată funcńa f ( x = ln( x sn x. Se cere să se calculeze soluńa aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [0,5;,5] pentru 5 aproxmăr succesve, utlzând metoda coardelor. Preprocesarea matematcă nu este necesară. Programul. Deoarece numărul de aproxmăr succesve este fxat, ar extremtăńle segmentulu cunoscute, atrburle respectve vor f realzate drect în corpul programulu. program cn005; var a,b,e,c,x: real; n,: nteger; functon f(x:real:real; f:=ln(x*sn(x; a:=0.5; b:=.5; n:=5; {determnarea extremtat fxe e s a aproxmar ntale x0} c:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(c*f(a>0 then e:=b; x:=a; end else e:=a; x:=b; {calculul teratv al solute} for := to n do

15 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 5 end. x:= x-(f(x/(f(e-f(x*(e-x; wrteln(t,x:0:8,' ',f(x::8; Rezultate: = x= f(x= = x= f(x= = 3 x= f(x= = 4 x= f(x= = 5 x= f(x= = 6 x= f(x= = 7 x= f(x= = 8 x= f(x= = 9 x=.4765 f(x= = 0 x=.4053 f(x= = x=.4765 f(x= = x= f(x= = 3 x=.4608 f(x= = 4 x=.4584 f(x= = 5 x= f(x= Exemplul : Fe dată funcńa f ( x = x 3x + 7,5x. Se cere să se calculeze soluńa aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [-0,5; 0,5] cu exacttatea ε = 0.000, utlzând metoda coardelor. Pentru funcńa dată pe segmentul [-0,5; 0,5] M ş m sînt respectv egale cu 0 ş 5. Preprocesarea matematcă nu este necesară, deoarece mărmle necesare pentru calculul soluńe cu exacttatea cerută sînt ndcate în enunń. Program Pentru smpltate atrburle necesare vor f realzate drect în corpul programulu. program cn006; var Msup,mnf,a,b,e,x,xnou,xvech,eps: real; functon f(x:real:real; f:=sqr(sqr(x-3*sqr(x+7.5*x-; a:=-0.5; b:=0.5; eps:=0.000; Msup:=0; mnf:=5; {determnarea extremtat fxe s a aproxmar ntale} x:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(x*f(a>0 then e:=b; xnou:=a; end else e:=a; xnou:=b; {calculul teratv al solute}

16 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 6 end. repeat xvech:=xnou; xnou:= xvech-(f(xvech/(f(e-f(xvech*(e-xvech; wrteln(' x=',xnou:0:8,' f(x=',f(xnou::8; untl abs((msup-mnf/mnf*(xnou-xvech<eps; Rezultate: x= f(x= x= f(x= x= f(x= x=0.446 f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= ( = sn(ln( cos(ln(. Să se calculeze soluńa Exemplul 3: Fe dată funcńa f x x[ x x ] aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [; 3] cu exacttatea ε = 0.000, utlzând metoda coardelor. Preprocesarea matematcă Se determna f (x. [ ] f ( x = x sn(ln( x cos(ln( x ; f ( x = sn(ln( x. Pe segmentul [, 3] funcńa ln(x este poztvă, crescătoare, ln(3 < π. Prn urmare sn(ln( x va f de asemenea poztvă, crescătoare pe [, 3] ş m, M vor f respectv sn(ln(ş sn(ln(3. Program. Atrburle necesare se vor efectua drect în corpul programulu. program cn007; var Msup,mnf,a,b,e,x,xnou,xvech,eps: real; functon f(x:real:real; f:=x*(sn(log(x-cos(log(x; end. a:=; b:=3; eps:=0.0000; Msup:=*sn(log(3; mnf:=*sn(log(; x:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(x*f(a>0 then e:=b; xnou:=a; end else e:=a; xnou:=b; repeat xvech:=xnou; xnou:= xvech-(f(xvech/(f(e-f(xvech*(e-xvech; wrteln('x=',xnou:0:8,' f(x=',f(xnou::8; untl abs((msup-mnf/mnf*(xnou-xvech<eps;

17 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 7 Rezultate: x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= x= f(x= Întrebăr ş exercń. ExplcaŃ esenńa metode coardelor. DescreŃ metoda grafc.. Cum depnde extremtatea fxă de semnele dervate ş? 3. DemonstraŃ, că la alegerea corectă a extremtăń fxe, şrul aproxmărlor obńnute prn metoda coardelor converge către soluńa exactă a ecuańe. 4. Care este exacttatea metode, cum poate f obńnută? 5. DescreŃ procesul de determnare a extremtăń fxe. Cum poate f oms calculul f (x? 6. DescreŃ algortmul metode coardelor pentru un număr fx de terań ş pentru o exacttate dată. 7. DetermnaŃ soluńle ecuańlor, utlzând metoda coardelor: a. x 3 0.x + 0.x +. = 0 pe [, ] b. 5x 3 0x + 3 = 0 pe [ 0, ] c. e x x = 0 pe [ -, 0] 8. SeparaŃ ş determnań ma apo soluńle ecuańlor, utlzând metoda coardelor: a. tg(0,55x+0,=x ; b. x 3 0,x +0,5x+,5=0.

18 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 8 5. METODA NEWTON Fe dată funcńa f(x, care posedă următoarele propretăń: ( f(x contnuă pe segmentul [a, b] ş f(af(b < 0. ( Pe segmentul [a, b] exstă f (x 0, f (x 0, contnu, ş semnul lor pe [a, b] este constant. La fel ca în paragrafele precedente, scopul este de a rezolva ecuańa f(x = 0 pentru x [a, b]. Se va încerca rezolvarea probleme prn trasarea consecutvă a unor tangente la grafcul funcńe, prma dntre ele fnd constrută prn extremtatea E 0 a segmentulu [a, b], extremtate, pentru care se respectă condńa: f ( x0 f ( x0 > 0 (x 0 - abscsa extremtăń. Fe că tangenta cu numărul ntersectează axa 0X în punctul x. Următoarea tangentă (+ va v trasată prn punctul E + cu coordonatele(x, f(x ş va ntersecta axa abscselor în punctul x +. Şrul de valor x 0, x, x,..., x, x +,... va converge către soluńa ecuańe f(x = 0. Această metodă de calcul a soluńe ecuańe f(x=0 este numtă metoda tangen-telor sau Newton, după numele matematcanulu, care a ntrodus-o. Geometrc, metoda este lustrată în desenul 7a. Pentru a calcula valorle x, x,... x,... se va folos ecuańa tangente la funcńe, ce trece prntr-un punct dat: y f ( x = f ( x ( x x (3 În caz general ecuańa (3 reprezntă tangenta la funcńa f(x, ce trece prn punctul (x, f(x. Ea va ntersecta axa abscselor în punctul cu coordonatele (x +,0 łnând cont de faptul, că în punctul de ntersecńe a tangente cu axa 0X valoarea ordonate este 0, se obńne: x + = x f ( x f ( x Desenul 7a: convergenńa şrulu de valor x0, x, x,..., x, x+,... către soluńa exactă ξ. a ξ b x 0 f(a x Utlzarea în caltate de punct nńal a extremtăń pentru care nu se respectă condńa f(x 0 f (x 0 >0 poate duce la construrea tan-gentelor care ntersectează axa 0X în afara segmentulu [a, b] (dese-nul 7b. În consecnńă, se trece pe un alt nterval, pe care se determnă o altă soluńe (dacă ea exstă, sau se generează eror de execuńe. Regula de selectare în caltate de punct nńal a extremtăń x 0 pentru care se îndeplneşte condńa f(x 0 f (x 0 >0 este una generală ş e bazată pe următoarea teoremă: y a 0 f(a y E 0 Desenul 7b: tangenta dusă în extremtatea pentru care nu se respectă condńa f(x0f (x0>0 poate părăs segmentul pe care se realzează căutarea soluńe. (4 y=f(x E E x x ξ... E 0 f(b b=x 0 x

19 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 9 Fe funcńa f(x cu propretăńle (, (. Dacă în caltate de aproxmare nńală a soluńe se a extremtatea x 0 : f(x 0 f (x 0 >0, atunc soluńa uncă a ecuańe f(x = 0 pe segmentul [a, b], poate f calculată cu orce grad de exacttate, utlzînd formula (4 (fără demonstrańe Estmarea eror Pentru estmarea eror la aproxmarea cu numărul + (în punctul x +, se va folos pentru funcńa f(x formula Taylor cu termen complementar în forma lu Lagrange: ( n ( n+ f ( a n f ( a f ( x = f ( a + f ( a( x a ( x a + ( x a n! ( n +! unde a este un număr real, ar c este un punct stuat între a ş x. Astfel, pentru x=x + ş a= x, n=, formula Taylor capătă forma: f ( ξ f ( x+ = f ( x + f ( x ( x + x + ( x + x ; ξ ( x, x+. (5 Conform (4, f ( x + f ( x ( x + x = 0, Algortmul Prn urmare f ( x+ M ( x+ x ; M = sup ( f ( x. x [ a, b] Prn înlocure în formula generală a eror ( 3., se obńne: M ξ x + ( x+ x. (6 m Numărul de aproxmăr succesve în procesul de calcul poate f stablt apror sau determnat de o condńe. În orce caz este necesar să se stablească ma întâ extremtatea segmentulu, care va serv drept aproxmare nńală. Calculul aproxmăr următoare se realzează în ambele cazur conform formule (4. CondŃa de oprre a calculelor va f în prmul caz generarea aproxmăr cu ndcele cerut; în cel de al dolea îndeplnrea condńe (6. Algortmul de calcul pentru un număr dat de aproxmăr succesve: n+ Pentru a realza acest algortm este sufcent să fe cunoscute descrerle analtce pentru f (x, f (x ş f (x. Dacă descrera f (x nu este ndcată în enunń, urmează să fe calculată. Calculul f (x poate f oms prn folosrea une procedur smlare cele de determnare a extremtăń fxe pentru metoda coardelor: extremtatea fxă pentru metoda metoda coardelor va f în acelaş tmp aproxmarea nńală pentru metoda tangentelor. Pas Determnarea extremtăń x 0 dn care încep aproxmărle succesve ale soluńe. 0. f ( x Pas Se calculează x + conform formule x = x + f ( x Pas 3 Dacă + = n atunc SFÂRŞIT, în caz contrar +, apo pas Algortmul de calcul pentru o exacttate ε dată: În formula de estmare a eror fgurează mărmle M ş m. În cazul când valorle lor nu sunt ndcate în enunńul probleme, este necesară o preprocesare matematcă pentru stablrea M ş m. Suplmentar sunt necesare descrerle analtce pentru f(x, ş f (x. Pas Determnarea extremtăń x 0 dn care încep aproxmărle succesve ale soluńe. 0.

20 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 0 f ( x Pas Se calculează x + conform formule x = x + f ( x Pas 3 Dacă M ( x + x ε atunc SFÂRŞIT, m în caz contrar +, ş se revne la pas Exemplul 5 3 Fe dată funcńa f ( x = x x + x 3. Se cere să se calculeze soluńa aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [; 5] pentru 0 aproxmăr succesve, utlzînd metoda Newton. Preprocesarea matematcă. Se determnă f (x. 3 f ( x = x x + x 3; f ( x = 3x 4x +. Programul. Deoarece numărul de aproxmăr succesve este fxat, ar extremtăńle segmentulu cunoscute, atrburle necesare se vor realza drect în corpul programulu. program cn008; var a, b, x, c : real;, n: nteger; functon f(z:real:real; f:=z*z*z-*z*z+z-3; functon fd(z:real:real; fd:=3*z*z-4*z+; end. a:=.; b:=5; n:=0; :=0; c:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(c*f(a>0 then x:=a else x:=b; whle <n do :=+; x:=x-f(x/fd(x; wrteln('=',:,' x=',x:5:, ' f=',f(x:5:; Rezultate: = x= f= = x= f= = 3 x= f= = 4 x= f= = 5 x= f= = 6 x= f= = 7 x= f= = 8 x= f= = 9 x= f= Pentru toate exemplele ş exercńle propuse se presupune îndeplnrea condńlor ( ş ( pentru f(x.

21 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente =0 x= f= x Exemplul. Fe dată funcńa f ( x = cos ( x. Se cere să se calculeze soluńa 4 aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [,4; 3] cu exacttatea ε = 0.000, utlzând metoda Newton. Pentru funcńa dată pe segmentul [,4; 3] M ş m sunt respectv egale cu ş Preprocesarea matematcă. x f ( x = cos ( x ; f ( x = sn( x ; f ( x = cos( x. 4 4 Program. Deoarece ε este dat, extremtăńle segmentulu ş valorle M, m - cunoscute, atrburle vor f realzate drect în program. program cn009; var a, b, xn, xv, M, m, e, c : real;, n: nteger; functon f(z:real:real; f:=cos(z*cos(z-z/4; functon fd(z:real:real; fd:=-sn(*z-/4; end. a:=.4; b:=3; M:=; m:=0.03; e:=0.000; c:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(c*f(a>0 then xn:=a; xv:=b; end else xn:=b; xv:=a; whle M*sqr(xn-xv/(*m>e do xv:=xn; xn:=xv-f(xv/fd(xv; wrteln(' x=',xn:5:, ' f=',f(xn:5:; Rezultate: x= f= x= f= x= f= x Exemplul 3: Fe dată funcńa f ( x = sn ( x. Se cere să se calculeze soluńa aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [0,5; 0,7] cu exacttatea ε = , utlzînd metoda Newton.

22 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente Preprocesarea matematcă x f ( x = sn ( x ; f ( x = sn( x ; f ( x = cos( x. Pe segmentul [0,5; 0,7] funcńa sn(x-0,5 este poztvă, crescătoare. Prn urmare m va f atns în x = 0,5 ş va f egal cu sn( 0,5. M nu va depăş valoarea. Această afrmańe rezultă dn propretăńle funcńe cos(x. Program program cn00; var a, b, xn, xv, M, m, e, c : real;, n: nteger; functon f(z:real:real; f:=sn(z*sn(z-z/; functon fd(z:real:real; fd:=sn(*z-/; end. a:=0.5; b:=0.7; M:=; m:=sn(-0.5; e:= ; c:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(c*f(a>0 then xn:=a; xv:=b; end else xn:=b; xv:=a; whle M*sqr(xn-xv/(*m>e do xv:=xn; xn:=xv-f(xv/fd(xv; wrteln(' x=',xn:5:, ' f=',f(xn:5:; Rezultate: x= f= x= f= x= f= Întrebăr ş exercń. DescreŃ sensul geometrc al metode Newton.. Cum poate f stabltă aproxmarea nńală a metode? 3. DemonstraŃ, că la alegerea corectă a punctulu nńal, şrul aproxmărlor obńnute prn metoda Newton converge către soluńa exactă a ecuańe. 4. Care este exacttatea metode, cum poate f obńnută? 5. DetermnaŃ soluńle ecuańlor pentru 5 terań, utlzând metoda Newton: 4x 4 + 8x 3 3x - 7x + 3 = 0 pe [ -,7; -,58], [ -,53; -,4], [ 0,4; 0,5], [ 0,58; 0,8]

23 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 3 x + x + x = 0 [00; 50] ( x cos( x + xsn( x = 0 [ 4,5; 4] [4; 4,5] ln + ln + ln = 0 [0,; 0,5] x x x 6. CalculaŃ soluńle ecuańlor, utlzând metoda Newton, pentru ε = : a cos(x e x/ = 0 [0,; 0,74] M =4, m =0.5 b x 5-4x+9 = 0 [-; -] M =50, m = 7. SeparaŃ ş calculań ma apo soluńle ecuańlor, utlzând metoda Newton, pentru ε=0.0000: x 5 80 x +89=0 e x - x =0

24 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 4 6. METODA MIXTĂ 6 În cazul rezolvăr une ecuań de forma f (x =0 atît metoda coardelor, cît ş metoda tangentelor sînt ma efectve decît metoda bsecńe. Totuş, un neajuns al lor este necestatea calculăr prealable ale unor valor auxlare, cum ar f supremul ş nfmul dervate de ordnul ş a funcńe. În acelaş tmp, metoda bsecńe, deş ma lentă, permte localzarea soluńe exacte în nterorul unu segment [a, b ], extremtăńle cărua sunt cunoscute. Pentru această metodă eroarea de calcul a soluńe a - b. Apare deea de a îmbna efcactatea metode coardelor ş a tangentelor cu smpltatea evaluăr eror preluată de la metoda bsecńe. Fe dată funcńa f(x, care posedă următoarele propretăń:. f(x contnuă pe segmentul [a, b] ş f(af(b < 0.. Pe segmentul [a, b] exstă f (x 0, f (x 0,contnue, ş semnul lor pe [a, b] este constant. Pentru a rezolva ecuańa f (x =0 poate f aplca atât metoda coardelor, cât ş metoda tangentelor. Se observă uşor următoarea legtate: dacă extremtatea a a segmentulu [a, b] este extremtatea fxă pentru metoda coardelor, tot ea este punctul de start în cazul aplcăr metode tangentelor. În acest caz şrul de aproxmăr succesve x 0 =b, x, x,..., x n obńnute prn metoda coardelor va converge către soluńa exactă pornnd de la extremtatea b. Şrul de aproxmăr succesve z 0 =a, z, z,..., z n obńnute prn metoda tangentelor va converge ş el către soluńa exactă, dar pornnd de la extremtatea a. SoluŃa exactă se va afla întotdeauna în nterorul segmentulu [z, x ]. Prn urmare eroarea de calcul a soluńe după terań nu va depăş lungmea segmentulu [z, x ]. Aceeaş legtate se observă ş în cazul când extremtatea b este fxă pentru metoda coardelor. În acest caz şrul aproxmărlor succesve x 0 =a, x, x,..., x n obńnute prn metoda coardelor va converge către soluńa exactă pornnd de la extremtatea a, ar şrul de aproxmăr succesve z 0 =b, z, z,..., z n obńnute prn metoda tangentelor va converge către soluńa exactă pornnd de la extremtatea b. (desenul 8 Dn observańle anteroare rezultă metoda mxtă: se determnă prma ( = aproxmare z prn metoda tangentelor ş prma aproxmare x prn metoda coardelor. Atât tmp cât ( = x z este ma mare decît precza de calcul cerută în condńle probleme se calculează următoarea pereche de aproxmăr. În caltate de soluńe calculată poate f luat mjlocul ultmulu segment determnat de aproxmărle x, z. Pentru calculul aproxmărlor se vor folos formulele deja cunoscute: f ( z z = z + f ( z (metoda tangentelor f ( x x = x ( e x ; e extremtatea fxă (metoda coardelor + f ( e f ( x Desenul 8. Procesul de apropere de solu- Ńa exactă are loc concomtent dn ambele părń 6 OpŃonal

25 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 5 O optmzare consderablă a metode se obńne în cazul când în caltate de punct fx pentru metoda coardelor se a ultma aproxmare obńnută prn metoda tangentelor (desenul 9 În acest caz formulele de calcul capătă forma: f ( z z = z + f ( z (metoda tangentelor f ( x x = x ( z x ; + f ( z f ( x + + z + extremtatea fxă (metoda coardelor Estmarea eror Eroarea de calcul la terańa cu numărul este calculată după formula: = x z Algortmul de calcul Desenul 9. Optmzarea metode mxte Aplcarea metode mxte necestă o cercetare prealablă a funcńe f(x, pentru stablrea exprese f ( x, necesare pentru partea care Ńne de metoda Newton. La fel este necesară stablrea extremtăń fxe e. Algortmul pentru precza de calcul ε. Se determnă punctul de start z 0 pentru metora Newton: c a - (f(a/(f(b - f(a(b - a; Dacă f(cf(a>0 atunc z 0 b; x 0 a; în caz contrar z 0 a; x 0 b;. 0 f ( z 3. Se determnă z = z + f ( z f ( x 4. Se determnă x = x ( z x ; + f ( z f ( x Dacă z x > se revne la pasul 3, în caz contrar se trece la În caltate de soluńe calculată s se a x + z s =. Sfârşt. Exemplul : Fe dată funcńa f ( x = x x + 7. Se cere să se calculeze soluńa aproxmatvă a ecuańe f ( x = 0 pe segmentul [; 6] cu precza = , utlzând metoda mxtă. Preprocesarea matematcă x + f ( x = x( x + = ( x + + x ( x + = ( x + + x ( x + = x +

26 CALCUL NUMERIC. Metode numerce de rezolvare a ecuańlor algebrce ş transcendente 6 Program program cn0; var a,b,c,x,z,e : real; functon f(x:real:real; f:=x*sqrt(+x*x-7; functon fd(x:real:real; fd:=(*x*x+/sqrt(+x*x; a:=; b:=6; e:=0.000; c:=a-(f(a/(f(b-f(a*(b-a; f f(c*f(a>0 then z:=b; x:=a; end else z:=a; x:=b; whle abs(z-x>e do z:=z-f(z/fd(z; x:= x-(f(x/(f(z-f(x*(z-x; wrteln ( z=,z:9:5, f(z=,f(z:9:5, x=, x:9:5, f(x=, f(x:9:5; wrteln((z+x/:9:5; end. Rezultate z= f(z= x=.4554 f(x= z= f(z= x=.5504 f(x= z= f(z= x= f(x= z=.5530 f(z= x= f(x= Întrebăr ş exercń. DescreŃ metoda mxtă pentru rezolvarea ecuańlor algebrce ş transcendente. EnumeraŃ prortăńle e.. ExpuneŃ formulele de calcul, utlzate în metoda mxtă. Dn care metode au fost preluate ele? 3. Cum poate f optmzată metoda mxtă? 4. Care este exacttatea metode, cum poate f obńnută? 5. DescreŃ algortmul metode pentru un număr fx de terań. DesenaŃ schema logcă a algortmulu. 6. RezolvaŃ, utlzând metoda mxtă, ecuańle propuse în paragrafele