Vznik pásmového energetického spektra elektrónov. Blochov teorém

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vznik pásmového energetického spektra elektrónov. Blochov teorém"

Ματθάν Παπακωνσταντίνου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 43 Eletón v peodcom pol 43 Vzn pásmovéo enegetcéo spet eletónov Blocov teoém V jednoeletónovej poxmácí má Scödngeov ovnc pe stconáne stvy eletónu v yštál tv de ( ) ψ + V m ( ) ψ = Eψ, ( ) V + T = V V je peodcá potencáln eneg eletónu ( ) ( ) Vo všeobecnost s ovnc ( ) eš poxmtívnym metódm, vycádzjúcm v nultom pblížení zo stvov eletónu v zolovnom tóme tzv metód tesnej väzby (podobnejše v p 434) Rešen ovnce ( ) s opejú o tzv Blocov teoém : Vlnové funce, toé sú ešením ovnce ( ) pe ( ) V peodcé, ψ = u e tzv Blocove funce, de u ( ) je peodcá func s peodctou yštálovej mežy, tj u + T = u mjú tv ( ) ( ) Pozn: ( ) ( ) Úplná vlnová func má ted tv postupnej ovnnej vlny s mpltúdou modulovnou peodcou funcou ( ) u Pmo z Blocovo teoému vyplýv d dôsledov o stve eletónu v peodcom pol, np: Symet dspeznéo vzťu v - pestoe: E( ) = E( ), peodct dspeznéo vzťu v E + T = E, vdtcá závslosť ( ) novej zóne, tď - pestoe: ( ) ( ) E v oolí extémov enege v Bllou- Páve uvžovná peodct yštálovéo poľ mežy má z následo ozštepene ostýc enegetcýc ldín zolovnýc tómov v pásm (poz ďlše ptoly)

2 43 Kong-Penneyo model Ide o jednoducý model pe jednoozmený yštál, v toom uvžujeme peodctu potencálnej enege Z jeo ešen zísme vceé dôležté výsledy pltné pe tojozmený yštál V tomto model uvžovné zjednodušene pebeu potencálnej V nám umožňuje extne ešť Scödngeovu ovncu enege ( ) Uvžujme ldné óny podľ obázu: d X V Sutočný pebe potencálnej enege eletónu b V=0 II I -b 0 + V 0 X Apoxmác potenc enege systémom pvoulýc potencálovýc jám Podľ obázu pltí: v oblst I : V = 0 pe 0 < x <, v oblst II : V = V 0 pe b < x < 0 Upvme Scödngeovu ovncu do vodnejšeo tvu: d ψ ozmený pípd + V ( x) ψ = Eψ m dx d ψ dx m po úpve + ( E V ( x) ) ψ = 0 Potom pe vlnové funce pltí: d ψ m v oblst I : + Eψ = 0 dx d ψ m + 0 ψ = dx v oblst II : ( E V ) 0, ( ) ( )

3 Pedpoldjme pe enegu eletónov E < V0 (vzné stvy) Zveďme oznčene v ovncc ( ) ( ) me m α =, β = ( V E) 0 α, β eálne Potom, v oblst I : d ψ + α ψ = 0 dx v oblst II : d ψ β ψ = 0 dx Podľ Blocovo teoému ψ ( x ) = u( x) e x ovnce pe u( x) : dψ du x = e dx dx ψ d u = e dx dx + u e x ( ) d x du x Dosdením ( ) + e u dx do ovnce pe oblsť I d u du + + ( α ) u = 0 v oblst I, dx dx do ovnce pe oblsť II d u du + ( β + ) u = 0 v oblst II dx dx dosdením ( ), e x,, dosďme ľdjme ( ) γ x Pe ovncu v oblst I ľdjme ešene v tve u = Ae dostneme vdtcú ctestcú ovncu s oeňm γ, úplné ešene v oblst I v tve súčtu exponencál: γ x γ x u = A e + B e U ovnce v oblst II ovným postupom γ x γ x u = C e + B e ( ) u = ( ) ( ) Koefcenty A, B, C D s uč zo spojtost funcí v bodoc x = 0 x =, tj ( 0) u( 0) zo spojtost c devácí v týcto bodoc, tj du dx x= 0 = du dx x= 0 du dx x= du = dx x= b u x u ( x) u u b =

4 Z ešteľnost sústvy štyoc ovníc pe A, B, C, D vyplyne podmen: snα P α + cosα mv0 b de P = Rozbo zísnéo vzťu ( ): = cos, ( ) ) Rovnc ( ) pozn : α = me n vlnovom čísle ted dspezný vzť posytuje závslosť enege E ( ) b) Rovncu je možné ešť numecy, esp gfcy tým zísť ľdný dspezný vzť Gfcé ešene: 4 3 P snα α + cosα dovolené odnoty α α - - zázné odnoty α Pozn: fyzálny význm má b ešene α > 0 Dovolené odnoty α zázné odnoty α pásm dovolenýc enegí, pásm záznýc enegí

5 ) Pvá stn ovnce (, tj cos môže ndobúdť b odnoty z ntevlu, α môže ndobúdť b té odnoty, že snα P + cosα α poz gf Ted exstujú oblst dovolenýc enegí oblst záznýc enegí Ší pásem dovolenýc enegí ste s nástom enege E c) Velčn P mv0 b podľ výsledu P = (vď oe) je úmená súčnu V 0 b ted ploce (moutnost) béy Hľdjme ešen pe lmtné odnoty P : ) P = 0 tj bez potencál béy (pípd voľnýc eletónov) : Potom z ovnce ( ) cos α = cos α = E = m - ted dspezný vzť pe voľné eletóny ) P tj neonečne vysoé béy Potom ovnc ( ) má ešene b pe sn α = 0 α = ± n, esp me = ± n E n m = n, - dsétne spetum vznej čstce v neonečne lboej jme tómovéo ozmeu (bez enegetcýc pásem) d) Učme odnoty vlnovéo čísl, toé odpovedjú dovoleným enegetcým pásmm Vo vnút dovolenéo pásm enegí s cos mení od + do (vď pedcádzjúc ob)

6 Vynesme závslosť cos o funcu : cos 0 - dovolené enegetcé pásmo odpovedá z ntevlu, ted z Bllounovej zóny dovolené enegetcé pásmo pe odpovedjúce čovnej čst funce cos, ted z oblst < + <, tzv Bllounov zón 3 ďlše dovolené enegetcé pásm nlogcým spôsobom e) Vynesme do gfu z ovnce ( ) vypočítnú závslosť E = E( ) pe dné P (vď ob n ďlšej stne) Func E() je nespojtá vzn pásem dovolenýc záznýc odnôt enege Znázonene E( ) E = n obázu ubou plnou čou s nzýv ozšíené pásmové scém Peodcým opovním závslost E( ) E = vo vnút ždéo pásm (n ob čovne) dostávme tzv peodcé pásmové scém Toto peodcé ozšíene umožňuje peodct enege o funce s peódou ozmeu Bllounovej zóny E + n = E( ) Pozn: Dôz vď v ďlšom texte pomocou Blocovo teoému

7 E dspezný vzť pe voľné eletóny E = m 3 pásmo pásmo pásmo Ďlším čsto používným zobzením dspeznýc vzťov v jednotlvýc pásmc je tzv eduovné pásmové scém Dostneme o penesením dspeznýc vzťov E = E( ) pe vyšše ležce pásm do Bllounovej zóny s ešpetovním vyšše uvedenej podmeny peodcty Potom s nzýv eduovné vlnové číslo E je vcznčnou funcou E 3 pásmo pásmo pásmo

8 Dosľ sme uvžovl neončený jednoozmený yštál V ďlšom uážeme, o s zmení uvedené ešene, budeme uvžovť jednoozmený yštál onečnýc ozmeov Nec dĺž tómovéo eťzc bude Aplujme Bon-Kámnove podmeny n vlnovú funcu ψ, tj poždujeme by pltlo ψ ( x + ) =ψ (x) Petože podľ Blocovo teoému pltí: ( x ) = u( x) e x ψ, ( ) poždujeme ted by ( ) x + u x + e = u( x) e x u + = ) (z peodcty u ), ted musí pltť Veme, že ( x ) u(x e = = n, de n = 0, ±, ±, pe dovolené odnoty : = n ted dsétne odnoty Z dsétnost odnôt vlnovéo čísl dsétne odnoty E v ždom enegetcom pásme Petože je pe ždé enegetcé pásmo obmedzené n jednu Bllounovu zónu (po penesení dspeznéo vzťu do Blloun zóny môžeme uvžovť túto zónu) počet ôznyc odnôt je totožný s počtom enegetcýc ldín v pásme oznčme N N učíme z podmeno: dĺž Blloun zóny v - pestoe: + ntevl ppdjúc n jednu odnotu (vď oe): Ted N = =, čo s ovná počtu tómov v eťzc A uvžujeme spn eletónu (n ždej ldne eletóny s opčným spnom) v jednom enegetcom pásme s môže ncádzť mxmálne N eletónov (de N je počet čstíc eťzc)

9 433 Poyb eletónu v tojozmenej meže V tejto ptole s doážeme netoé všeobecne pltné vzťy pe eálny (tojozmený) yštál ) Uážme, že pe peodcú potencálnu enegu V ( ) (s peodctou mežy) vlnové funce ψ vyzujú tnslčnú vlstnosť ψ + T =ψ e, de T tnslčný veto mežy ( ) ( ) T Pozn: podľ uvedenéo vzťu mení s len fáz vlny eletónu Dôz : Upvme ψ ( + T ) s využtím Blocovo teoému: ( ) ( ) ( ) T T ( ) T T u T e u e e ( ) e + + = + = ψ =ψ, čo bolo teb doázť Zo zísnéo výsledu je vdeť, že veto neje učený jednoznčne A totž zvolíme nmesto veto = + T (de T je tnslčný veto ecpočnej mežy) dostneme tú stú vlnovú funcu: ( ) ( ) T ( ) T T T T T e e e ( ) e ψ + = ψ = ψ = ψ, petože pltí T T = n, de n je celé číslo ψ ψ Pe ovnú fázu vlny pe ždé T ( ) ( Eletónové stvy ctezovné vetom evvlentné pe enegu pltí: E ( T ) = E( ) ) + T sú fyzálne + tzv peodct E v pásme Z vyšše odvodenýc vzťov vyplýv, že všety fyzálne neevvlentné ešen je možné nájsť s vetoom ležcm v pmtívnej bune ecpočnej mežy s výodou s volí z túto bunu Bllounov zón

10 b) Uvžujme tojozmený yštál s otoombcou symetou, tvu nol s nm,, 3 Z pedcádzjúceo odstvc veme, že všety fyzálne neevvlentné ešen je možné elzovť s ležcm v Bllounovej zóne Voľme súdný systém v smee yštlogfcýc osí x < Bllounov zón pe tento yštál: y <, ( ) z < 3 3 de,, 3 sú mežové pmete otoombcej elem buny Pozn: Veto ( x, y, z ) ndobúd spojté odnoty v Bll zóne uvžujeme neonečne veľý yštál Pe onečný yštál ( ) 3 : plujme Bon-Kámnove ojové podmeny n vlnovú ψ, ted poždujme funcu ( ) ψ ( x y, z) ( x, y, z, =ψ ψ ( x, y z) ( x, y, z, =ψ ψ ( x y, z ) =ψ ( x, y z +, +, + ) ), 3, ) Z týcto podmeno x = n, y = n, z =, ( n = 0, ±, ±, ) - ted dsétne odnoty,, ) x S uvážením obmedzení ( pltnost = N, = N, 3 = N33, de N je počet mežovýc bodov v eťzc (v smee osí X, Y, Z), vyplýv, že počet ôznyc vlnovýc vetoov v Bllounovej zóne je N = N N N3, čo je ovné počtu pmtívnyc bune v yštál A uvážme spn v jednom enegetcom pásme je N možnýc stvov pe eletóny y z 3

11 c) Eletóny epezentovné vlnovým vetoom ončcm n nc Bllounovýc zón s nemôžu yštálom šíť Dôz: Uvžujme b nce Blloun zón v smeoc yštlogfcýc osí otoombcú mežu (všeobecný dôz je možné nájsť v ctovnej ltetúe) Hnce jednotlvýc Blloun zón v smee yštlogfcýc osí (mežové pmete ) : = n, n = ±, ±,, =,, 3 ( ) Vlnová dĺž de Bogle-o vlny s dným : pltí = λ = λ Poovnním s ( ) podmen: = nλ ( ) Nvc vln s vetoom s ší olmo n sústvu ovín s medzovnnou vzdlenosťou (z vlstnost tnslčnéo veto ecpočnej mežy) Potom ovnc ( ) je totožná s Bggovým záonom pe eflexu vlny od sústvy mežovýc ovín s medzovnnou vzdlenosťou (je splnené θ = 90 ) Intefeencou odzenej vlny s vlnou postupujúcou vzná stojté vlnene čím sme doázl tvdene v úvode Pozn: Z uvedenýc úv vyplýv tež ný spôsob defnovn Bllounovýc zón o oblst -pestou ončené plocm vytvoeným z oncovýc bodov týc vetoov eletónovýc vĺn, p toýc docádz eflex n yštálovej meže Táto defníc Blloun zón je totožná s defnícou z yštlogfe (o vodne vybté elementáne buny ecpočnej mežy)

Σχετικά έγγραφα

MATEMATIKA. (zbierka úloh) Matematika. 2. ročník. PaedDr. K. Petergáčová

MATEMATIKA. (zbierka úloh) Matematika. 2. ročník. PaedDr. K. Petergáčová (Té) MATEMATIKA (ziek úloh) Vzelávi olsť Peet Ročník, tie Mtetik pá s infoáii Mtetik očník Tetiký elok Vpovl PeD K Petegáčová Dátu Moené vzelávnie pe veoostnú spoločnosť/pojekt je spolufinnovný zo zojov