Všeobecná teória stability

Transcript

1 Všeobecná teór stblty Defníc stblty podľ Ljpunov V teór nelneárnych sústv s dnes tkmer vždy použív defníc stblty podľ Ljpunov. Estuje zásdný rozdel medz stbltou lneárnej sústvy medz stbltou podľ Ljpunov, ktorá s týk b stého pochodu prebehjúceho v sústve pohybu sústvy ne celej sústvy. Pohyb sústvy s prejvuje čsovou zmenou hodnôt stvových velčín ( t), ( t);...; n ( t)...() ktoré možno povžovť z prvky stvového vektor (t). Jeho zložky sú vo všeobecnost závslé nelen od čsu t, le od stého súboru prmetrov, vytvárjúcch vektor prmetrov m. Z formuláce úlohy musí vyplynúť, ktoré prmetre s povžujú z zložky tohoto vektor. Čsto sú to počtočné podmenky pohybu m ()...() Nenebudený pohyb sústvy (nulové rešene) je opísným vzťhom ( t) F ( m, t)...(3) Ak s zmení vektor prmetrov m m +...(4) kde je vektor poruchy, potom s zmení j pohyb sústvy ( t) F ( m, t)...(5) Tento nbudený pohyb sústvy s líš od nenbudeného pohybu o vektor odchýlky Zákldné defníce y ( t) ( t) ( t)...(6) A. Ak pre tké, že pre pltí pre ε > δ > : N( ) δ N( y ( t)) < ε t > t potom pohyb sústvy je stblný v zmysle Ljpunov. B. Pohyb sústvy, ktorý je stblný v zmysle Ljpunov pre ktorý nvc pltí lm N( y ( t) t

2 je symptotcky stblný v zmysle Ljpunov. C. Pohyb sústvy je nestblný v zmysle Ljpunov, k spoň jedno ε > tké. že pre δ > spoň jedno : N( ) δ pltí pre spoň jedno N( y ( t)) > ε t > t Geometrcký zmysel stblty podľ Ljpunov Ak s v defnícách v predchádzjúcom odseku chápe norm vektor ko eukldovská, t.j. N( ) N n E ( )...() potom koncový bod vektor musí ležť vo vnútr lebo n povrchu n-rozmernej gule so stredom v počtku s polomerom δ, kdežto koncový bod vektor leží vo vnútr n-rozmernej gule o polomere ε so stredom v bode. Ak sústv je opísná rovncm d, f [ ( t), ( t),..., n ( t)],,,..., n...() k uvžujeme čstý prípd poruchového vektor predstvujúceho počtočné podmenky, t.j. pre, ( ), ();,,..., n...(3) V tomto prípde s prestor poruchových vektorov stotožní so stvovým prestorom vzájomné prrdene porúch fázovej trjektóre, reprezentujúcej príslušný nbudený pohyb s prejví tým, že táto trjektór zčín v bode ( ) () +...(4) kde () predstvuje zčtok nenbudeného pohybu. Pohyb je potom stblný v zmysle Ljpunov, k pre kždú guľu G so stredom v (t) s polomerom ε estuje tká guľ G so stredom v () s polomerom δ, že tvorc bod všetkých trjektórí, zčínjúcch n povrchu lebo vnútr gule G ostáv pre všetky t > t vnútr gule G. Pre sústvu druhého rádu (n) degenerujú gule n kružnce. Ak je nenebudený pohyb vo fázovej rovne reprezentovný sngulárnym bodom ted ne je závslý n čse, potom mjú trjektóre pohybu stblného v zmysle Ljpunov tvr podľ obr.. Ak je pohyb symptotcky stblný v zmysle Ljpunov, trjktore mjú tvr podľ obr.b pre pohyb nestblný podľ obr.c. Prtom rovnce () ne sú v substtučnom tvre preto trjektóre nemus mť prebeh podľ prvdel.

3 obr. obr. b

4 obr. c Formulác stblty podľ Ljpunov predstvuje postčujúcu podmenku pre prestor poruchových vektorov, ktorá zručuje, že trjektóre nbudených pohybov (t), odpovedjúcch vektorom z dnej gule G nevyboč z vopred dnej gule G. V podstte s jedná o formulácu podmenky estence stej oblst prípustných hodnôt vektor. Čsto s v tejto súvslost hovorí o podmenke stblty v mlom. Je všk možná j ná formulác úlohy o stblte : Nájsť celú oblsť koncových bodov poruchových vektorov, pre ktoré trjektore nbudeného pohybu nevyboč z gule G. Tkáto oblsť všk závsí n voľbe ε možno ju preto oznčť Sε. Prtom s hľdá njväčš oblsť pre vektory, ktorá ešte zručuje, že trjektore nbudeného pohybu budú stále vnútr gule G. Tkto formulovná úloh s nekedy oznčuje ko hľdne podmenky stblty vo veľkom. Guľ G je čsťou oblst Sε dotýk s jej hrnčnej plochy v jednom bode, č pozdĺž nejkej krvky, resp. G Sε môžu byť j totožné. Pre dvojrozmernú úlohu je vyšetrovne stblty vo veľkom znázornené n obr.d. Aj v prípde symptotckej stblty možno postupovť podobným spôsobom hľdá s njväčš oblsť S v prestore poruchových vektorov, ktorá ešte zručuje symptotckú stbltu všetkých trjektórí (t). Tkáto oblsť s nekedy oznčuje ko spádová oblsť. Ak spádovou oblsťou je celý prestor poruchových vektorov, hovorí s o symptotckej stblte v celom. obr. d

5 V prípde, že nbudený pohyb (t) je funkcou čsu (ne je reprezentovný bodom), potom s j stred gule G ( s ním j celá guľ) pohybuje po trjektór, odpovedjúcej príslušnej trjektór nenbudeného pohybu. Pre uzvretú trjektóru (t) sú pomery T T znázornené n obr.e pre T T n obr.f. V prvom prípde s jedná o pohyb stblný v zmysle Ljpunov (le ne symptotcky), kdežto v druhom prípde o pohyb nestblný. obr. e obr. f Prm Ljpunov metód vyšetrovn stblty Zákldnou myšlenkou prmej Ljpunovej metódy je, že je možné posúdť stbltu pohybu sústvy j bez znlost celého prebehu jemu odpovedjúcej trjektóre. Ljpunov metód je zovšeobecnením Lgrngeovho tvrden, že postčujúcou podmenkou stblty rovnovážneho stvu S sústvy je, by celková energ sústvy bol v tomto stve (odpovedá mu sngulárny bod stvového prestoru) mnmáln. V ďlšom budeme predpokldť, že vyšetrovným sngulárnym bodom je počtok súrdníc. Ak tomu tk ne je, je potrebné urobť trnsformácu...() S K pochopenu ďlších úvh je nutná znlosť nektorých pojmov : Funkc V ( ) v(,,..., n )...()

6 je poztívne (negtívne) defntná, k v okolí počtku súrdníc prestoru P[,,..., n ] má kldnú (zápornú) hodnotu v smotnom počtku ( b v ňom) má hodnotu nulovú. Funkc () je poztívne (negtívne) semdefntná, k má nulovú hodnotu j v ných bodoch uvžovnej oblst nelen v počtku k v osttných bodoch okol počtku ndobúd kldnú (zápornú) hodnotu. Indefntná funkc má v uvžovnej oblst j kldné, j záporné hodnoty. Podľ Lgrngeovho tvrden klesá celková energ sústvy pr pohybe smerom k rovnovážnemu stvu sústvy, k tento stv je stblný. Ljpunov vlstne zovšeobecnl uvedené tvrdene. Predpokldjme, že vyšetrovná sústv je opísná rovncm d f (,,..., n ),,,..., n...(3) potom Ljpunovým funkcm budeme oznčovť poztívne defntné funkce typu (). Je možné určť dervácu podľ čsu. W ( ) dv ( ) V d V d V d n n...(4) po zohľdnení (3) je možné písť n dv ( ) V ( ) W ( ) f (,,..., n )...(5) Počtok súrdníc n-rozmerného stvového prestoru odpovedá stblnému rovnovážnemu stvu, k v okolí počtku je funkc W() negtívne defntná, jedná s o symptotckú stbltu. Ak funkc W() je negtívne defntná v celom stvovom prestore, potom s jedná o prípd symptotckej stblty v celom. Geometrcký význm tkto defnovnej symptotckej stblty je, že fázové trjektóre mus v uvžovnom okolí počtku pretínť plochy V (,,..., n ) C konst. smerom od väčších hodnôt C k hodnotám menším. Nevýhodou uvedenej metódy je, že poskytuje b postčujúce podmenky stblty, t.j. k podmenky stblty sú splnené, potom uvžovný rovnovážny stv je určte stblný, le z nesplnen týchto podmenok nevyplýv nutne nestblt vyšetrovného rovnovážneho stvu. Ne je n zručené, že oblsť stvového prestoru, v ktorom pltí uvedená podmenk stblty reprezentuje celú skutočnú oblsť stblty (oblsť stblty vo veľkom). Súvsí to so skutočnosťou, že voľb Ljpunovej funkce pre dnú sústvu ne je jednoznčná že nektoré funkce reprezentujú prísnejše, né zs menej prísne podmenky stblty. Ďlšou nevýhodou prmej Ljpunovej metódy je, že neposkytuje lgortmus, generovnej vhodnej Ljpunovej funkce. Vcero utorov s pokúslo odstránť túto nevýhodu, le ztľ s podrlo nájsť lgortmy generovn b pre určté tredy nelneárnych sústv. Pre lneárnu sústvu druhého rádu v" + v' + v...(7) je knoncký tvr opsujúcch rovníc

7 v d...(8) d Sngulárnym bodom je počtok súrdníc fázovej rovny. Pre hodnoty, 4 s jedná o stblné ohnsko. Núk s možnosť volť Ljpunovovou funkcou v tvre V ( ) +...(9) Krvky konštntných hodnôt tejto funkce sú kružnce so stredom v počtku, fázové trjektóre ch všk nepretínjú b od hodnôt väčších k hodnotám menším (obr.). Ljpunov funkc podľ (9) bol zrejme nevhodne volená, jej dervác podľ čsu je vo vzťhu (5) d W ( ) 6 + d...() posúdť. Táto funkc je ndefntná, stbltu sngulárneho bodu ted ne je možné jednoznčne Pr voľbe nej Ljpunovej funkce V ( ) získme jej dervácu podľ čsu...() W ( )...() ktorá je v celej fázovej rovne negtívne defntná, jedná s ted o symptotckú stbltu v celom (obr.).

8 K tomu stému výsledku nás dovede j voľb Ljpunovej funkce v tvre :...(3),5,5,5 ) ( V ktorej dervác podľ čsu je :...(4) ) ( W Príslušné krvky konštntných hodnôt Ljpunovej funkce sú spolu s jednou fázovou trjektorou znázornené n obr.

9