Kvantifikacija v naravnem človeškem jeziku

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Matematika teoretična smer (UNI) Sašo Živanović Kvantifikacija v naravnem človeškem jeziku Diplomsko delo Ljubljana, 2002

2 Kazalo 1 Uvod Motivacija Kvantifikator : determinator Nujne poenostavitve Nezadostnost predikatne logike 1. reda Pristop s posplošenimi kvantifikatorji Temelji Konzervativnost Neizrazljivostni izrek Monotonost Permutacijska invariantnost Razširitve modelov Skladenjski pristop Jezik L Zapis determinatorjev v jeziku L Ohranitveni izreki Leme Izreki Monotonost K negaciji usmerjeni izrazi Konzervativnost

3 Program diplomskega dela Diplomsko delo naj vsebuje logično analizo determinatorjev v naravnem človeškem jeziku. Najprej predstavite Barwise-Cooperjev pristop s posplošenimi kvantifikatorji, nato pa še alternativni skladenjski pristop Petra Ludlowa in precizirajte ter strogo dokažite tam formulirane trditve o zvezi med skladenjsko strukturo in semantičnimi lastnostmi. Literatura [1] Jon Barwise and Robin Cooper. Generalized quantifiers and natural language. Linguistics and Philosophy, 4: , [2] Peter Ludlow. The logical form of determiners. Journal of Philosophical Logic, 24:47 69, Ljubljana, junij

4 Povzetek Diplomsko delo se ukvarja z analizo determinatorjev v naravnem človeškem jeziku. Najprej pokažemo neizomorfnost stavkov naravnega človeškega jezika in logike prvega reda, nadaljujemo pa s predstavitvijo aplikacije teorije posplošenih kvantifikatorjev v jezikoslovju in pokažemo, da so možne denotacije determinatorskih izrazov natanko vse konzervativne preslikave. Zatem predstavimo alternativen, skladenjsko usmerjen pristop k problemu, ki stavke naravnega človeškega jezika zapiše v jeziku infinitarne logike, ter pokažemo, na kakšen način je skladenjska oblika stavkov povezana s semantičnimi lastnostmi iz teorije posplošenih kvantifikatorjev: ekspliciramo zvezo med konzervativnostjo in omejeno kvantifikacijo ter monotonostjo in polarnostjo predikatov. This paper deals with the analysis of determiners in the natural language. We first show that sentences of the natural language are not isomorphic to sentences of first order logic and then how the theory of generalized quantifiers is applied to linguistics. As a main result we prove that all possible denotations of determiner phrases are exactly the conservative mappings. Afterwards we approach the problem from a more syntactic perspective: we transcribe sentences of the natural language to the language of infinitary logic and show the correlation between syntactic structure of such sentences and their semantic properties as described in the theory of generalized quantifiers. In particular we explicate the connection between conservativity and restricted quantification on one hand and directional entailingness and predicate polarity on the other. Math. Subj. Class. (2000): 03B65, 91F20, 03C40. Ključne besede: posplošeni kvantifikatorji, infinitarna logika, ohranitveni izreki, interpolacijski izreki, jezikoslovje, konzervativnost, omejena kvantifikacija, monotonost. Key words: generalized quantifiers, infinitary logic, preservation theorems, interpolation theorems, linguistics, conservativity, restricted quantification, monotonicity. 4

5 1 Uvod 1.1 Motivacija Eden glavnih ciljev jezikoslovja je odkriti, na kakšen način govorci povezujemo glasovno verigo z njenim pomenom. V ta namen je seveda nujno potrebno poznati strukturo tako glasovne verige kot pomena. V pričujočem delu se bomo ukvarjali z reprezentacijo pomena, t.j. z logično obliko stavkov naravnega človeškega jezika. Konkretneje, zanimali nas bodo stavki s kvantifikacijo. Za ilustracijo si poglejmo nekaj standardnih zgledov in (grobega) zapisa njihovih pomenov v jeziku predikatne logike 1. reda. (1) a. Vsak pes laja. b. x: P (x) L(x) (2) a. Nek pes laja. b. x: P (x) L(x) (3) a. Ta 1 pes laja. b. x: P (x) ( y : P (y) x = y) L(x) (4) a. Večina psov laja. b.??? (5) a.??? Nekaj ni pes ali laja. b. x: P (x) L(x) x: P (x) L(x) Intuitivno je jasno, da bistvena razlika med zgornjimi stavki izhaja iz poudarjenih besed, ki jih imenujemo determinatorji. Zanima nas, na kakšen način determinatorji sodelujejo pri določanju pomena stavka, na kakšne načine jih lahko kombiniramo, katere besede (in besedne zveze) spadajo v kategorijo determinatorja in nenazadnje, kaj vse lahko z njimi izrazimo. Tradicionalni problem pri analizi kvantificiranih stavkov naravnega človeškega jezika je dejstvo, da skladenjska struktura stavka v naravnem človeškem jeziku ni izomorfna strukturi zapisa v jeziku predikatne logike 1. reda. 1 Ta primer je poskus slovenjenja angleškega stavka The dog barks. Zavedam se, da je slovenski stavek v resnici prevod stavka This dog barks, vendar menim, da prav tako dobro ilustrira bistveno komponento pomena angleškega determinatorja the unikatnost. Oba stavka se uporabljata v primeru, ko je v kontekstu pogovora natanko en pes, le da slovenski ta tako kot angleški this nakazuje, da obstaja še neko zunajjezikovno dejstvo (npr. kazanje s prstom), ki bo poslušalcu omogočilo zožiti kontekst. Dodaten argument v prid prevodu so (pogovorni) stavki tipa Tazelen pulover je najlepši, kjer besedica ta funkcionira natanko tako kot angleški the. 5

6 V primerih (1), (2) in (3) so vsi slovenski zgledi oblike determinator + samostalnik + glagol, medtem ko zgledi v predikatnem računu uporabljajo z različnima kvantifikatorjema različne logične veznike. V primeru (4) se slovenski stavek ne da zapisati v jeziku predikatne logike 1. reda. Dokaz bomo podali v razdelku 1.4. V primeru (5) sicer lahko najdemo slovenski stavek, ki izraža isto prepozicijo kot stavek v predikatnem računu, vendar je stavek nestandardne oblike, neroden in težje razumljiv. Večina raziskovalcev se je tem problemom poskušala izogniti s teorijo posplošenih kvantifikatorjev, katere aplikacijo na analizo determinatorjev bom predstavil v poglavju 2. Odkritih je bilo kar nekaj lastnosti determinatorjev, tako splošnih kot specifičnih, vendar so se proučevale kot izključno semantični pojavi. V tem delu bom zato v poglavju 3 predstavil še alternativen, skladenjski pogled na problem ter poskušal povezati rezultate obeh. 1.2 Kvantifikator : determinator Najprej je potrebno razčistiti rahlo terminološko zmedo. Za primere (1a) (4a) smo dejali, da ilustrirajo stavke s kvantifikacijo, vendar smo nato poudarjene besede v teh zgledih imenovali determinatorje. Tu ne gre za pomoto: kvantifikatorji v teh zgledih so besedne zveze vsak pes, nek pes, ta pes in večina psov. Poenostavljeno rečeno: kvantifikatorji so v naravnem človeškem jeziku sestavljeni iz determinatorja in samostalnika; nadalje se kvantifikator združi z glagolom v stavek. Tako dobimo za stavek (1a) skladenjsko drevo 2 s slike 1. V predikatni logiki 1. reda razlika med kvantifikatorjem in determinatorjem izgine 3, saj vedno kvantificiramo po celotni domeni (N iz drevesa na sliki 1 bi bil nekaj podobnega kot stvar). 2 To skladenjsko drevo je seveda zgolj (krepka) poenostavitev dreves, ki jih rišejo jezikoslovci. Tudi oznake niso prave: kvantifikator Q bi jezikoslovec označil z DP (determinatorska zveza, angl. determiner phrase), stavek S pa z IP (angl. inflectional phrase) oziroma CP (angl. complementizer phrase). Za naše potrebe pa bo dotično drevo povsem zadostovalo. Oznaki N in V sta okrajšavi angleških izrazov noun in verb za samostalnik in glagol. 3 Čeprav kvantifikatorskima simboloma in dostikrat rečemo kar kvantifikatorja, v tem delu z izrazom kvantifikator tudi v primeru predikatne logike 1. reda v bistvu imenujemo pare simbolov x, y ipd., tako da kvantifikator vsebuje tudi informacijo o tem, katero spremenljivko veže. 6

7 S Q V D N vsak pes laja Slika 1: Skladenjsko drevo stavka Vsak pes laja. Razlika je spet opazna v Zermelo Fraenklovi teoriji množic, ko uvedemo okrajšavi za omejeno kvantifikacijo: x y : ϕ(x) def x: x y ϕ(x) in x y : ϕ(x) def x: x y ϕ(x) V tem primeru sta in (oziroma x in x) determinatorja, ki se z množico y združita v kvantifikatorja x y in x y. 1.3 Nujne poenostavitve V analizi determinatorjev naravnega človeškega jezika bomo deloma zaradi jasnosti predstavitve, največ pa zaradi (vsaj navidezne) inherentne zapletenosti jezika (vplivi konteksta,... ) omejili množico obravnavanih determinatorjev. Omejili se bomo na analizo ekstenzionalnih determinatorjev. Za determinator det pravimo, da je ekstenzionalen, kadar na pomen stavka s strukturo, prikazano na sliki 1, vplivata poleg pomena determinatorja le še denotaciji predikatov pod vozlišči N in V, t.j. kadar lahko npr. iz dejstva, da je množica zdravnikov in odvetnikov (v kontekstu pogovora) enaka, sklepamo, da sta stavka det zdravnikov je prišlo na sestanek in det odvetnikov je prišlo na sestanek ekvivalentna glede na resničnostno vrednost. To ne velja za determinatorje, kot so vsi domnevni, nerazkrito število, preveč, premalo, veliko/mnogo, malo, ipd. (prim. [5], str ) 7

8 Ne bomo obravnavali povezovanja determinatorjev z neštevnimi samostalniki, čeprav menim, da obravnavanih teorij ne bi bilo težko prenesti tudi na to področje. 1.4 Nezadostnost predikatne logike 1. reda V tem razdelku bomo pokazali, da predikatni račun 1. reda (z enakostjo) ne zadošča za zapis propozicij, ki jih lahko izrazimo v (najbrž poljubnem) naravnem človeškem jeziku. Protiprimer najdemo v zgledu (4), mi pa se bomo zaradi ohlapnega pomena besede večina raje ukvarjali z determinatorjem več kot polovica, ki nosi zgolj enega od možnih pomenov determinatorja večina. Trditev, ki jo želimo dokazati, sledi neposredno iz izreka 1, vendar bomo v izreku 2 pokazali še več, namreč da niti uvedba novega kvantifikatorja s pomenom več kot polovica stvari ne reši problema, da je torej res potrebno uvesti nov determinator s pomenom več kot polovica (ali pa se stvari lotiti na drugačen način). Definicija 1 Za poljubno formulo ϕ jezika L s c(ϕ) označimo seštevek števila kvantifikatorjev in števila prostih spremenljivk v ϕ. Lema 1 Naj bosta P in Q poljubna enomestna predikata. Za vsa naravna števila m in k, za katera velja k > 3m, obstajata taka modela U 1 in U 2 z isto končno domeno E in isto interpretacijo predikata Q, da velja U 1 U 2 V (1) 2 U 2 > V = 2m (2) V = 2 U 1 (3) E = k (4) U 1 = ϕ U 2 = ϕ (5) kjer označimo U 1 := P U 1, U 2 := P U 2 in V := Q U 1 = Q U 2 ter je ϕ poljubna zaprta formula jezika L z manj kot m kvantifikatorji (t.j. simboli ) se pravi, c(ϕ) < m. Dokaz. Modela U 1 in U 2 konstruiramo na naslednji način. Domena E naj bo poljubna množica moči k. V = Q U 1 = Q U 2 naj bo poljubna podmnožica množice E moči 2m, U 2 := P U 2 poljubna podmnožica množice V moči m + 1 in U 1 := P U 1 poljubna podmnožica množice U 2 moči m. Denotacije vseh ostalih predikatnih simbolov naj bodo. Izberimo si poljuben v E V. 8

9 Denotacije vseh individualnih konstant in funkcijskih simbolov naj bodo v obeh modelih (konstantno) enake v. Dokazati moramo le še, da velja pogoj (5). Dokazali bomo, da za poljubno formulo ϕ(x 1,..., x l ) s prostimi spremenljivkami x 1,..., x l, za katero velja c(ϕ) < m, za poljubno permutacijo f : E E domene E s fiksno točko v 4 in za poljubne a 1,..., a l E, ki za vsak predikat R jezika L zadoščajo pogoju a i R U 1 f(a i ) R U 2 za vsak i = 1,..., l, velja U 1 = ϕ[a 1,..., a l ] U 2 = ϕ[f(a 1 ),..., f(a l )]. (6) Pogoj (5) sledi iz tega v primeru, ko je formula ϕ nima prostih spremenljivk. Dokaz bo potekal induktivno po c(ϕ). Za atomarne formule s predikatom R, različnim od P in Q, pogoj očitno velja, saj je njihova denotacija v obeh modelih enaka. Za atomarne formule s predikatom P ali Q pogoj v primeru, da je (edini) term prosta spremenljivka, velja zaradi predpostavke a i R U 1 f(a i ) R U 2 za R = P oz. R = Q, v primeru, da je ta term individualna konstanta ali funkcijski simbol, pa zato, ker je le-ta v obeh modelih vedno interpretiran kot v E V, za katerega velja U 1 = P (c), U 2 = P (c), U 1 = Q(c) in U 2 = Q(c). Jasno je tudi, da če velja pogoj za formuli ϕ in ψ, potem velja tudi za formuli ϕ in ϕ ψ. Edini netrivialni del dokaza je pokazati, da pogoj velja za formulo ϕ = x: ψ, kjer c(ϕ) < m, če velja za formulo ψ. Vzemimo torej poljubno formulo ψ(x, x 1,..., x l ), za katero trditev leme velja, in za formulo ϕ(x 1,..., x l ) := x: ψ(x, x 1,..., x l ) predpostavimo, da velja c(ϕ) < m. Naj bo f : E E bijekcija s fiksno točko v in naj bodo a 1,..., a l elementi domene, za katere za vsak predikat R in i {1,..., l} velja a i R U 1 f(a i ) R U 2. Recimo, da U 1 = ϕ[a 1,..., a l ]. To pomeni, da za vsak a E velja U 1 = ψ[a, a 1,..., a l ]. Za vsak fiksen a bi radi definirali tako bijektivno preslikavo g : E E, da bo za vsak predikat R veljalo a R U 1 g(a) R U 2 ter a i R U 1 g(a i ) R U 2 za vsak i {1,..., l}. Za i {1,..., l} predpišemo g(a i ) := f(a i ). Če obstaja i {1,..., l}, tako da je a = a i, preslikavo g poljubno razširimo do bijekcije (s fiksno točko v) in smo končali. V nasprotnem opazimo, da velja l < c(ϕ) < m, iz česar zaradi definicij množic U 1, U 2 in V sledi l < U 1 < U 2, l < V U 2 in l < E (V {v}), torej obstajajo b U U 2, b V V U 2 in b E E (V {v}), za katere velja {b U, b V, b E } {f(a i ); i {1,..., l}} =. Torej definiramo še g(a) := b U, če je a U 1 ; g(a) := b V, če je a V U 1 ; g(a) := b E, če je a E (V {v}); 4 Pogoj fiksne točke podamo zato, da lahko brez razlike tudi obravnavamo primer, ko v jeziku L ni individualnih konstant in funkcijskih simbolov. 9

10 in g(a) = v, če je a = v ter razširimo preslikavo g do bijekcije E E (s fiksno točko v). Zdaj, ko imamo ustrezno bijekcijo g : E E, lahko po induktivni predpostavki sklepamo, da velja U 2 = ψ[a, a 1,..., a l ]. Ker je bil a poljuben element domene, velja tudi U 2 = x: ψ(x, x 1,..., x l )[a 1,..., a l ], torej U 2 = ϕ[a 1,..., a l ], kar smo želeli dokazati. Implikacija v nasprotno smer sledi iz že dokazanega, če zamenjamo simbola U 1 U 2 in U 1 U 2 ter namesto permutacije f vzamemo f 1. Izrek 1 Naj bo L jezik 1. reda z enakostjo ter P in Q enomestna predikata v L. V tem jeziku ne obstaja tak stavek ϕ, da bi v vsakem končnem modelu U z domeno E veljalo U = ϕ P U Q U > 1 2 QU Dokaz. Recimo, da tak stavek ϕ obstaja. Izberimo si naravni števili m in k tako, da bo veljalo m > c(ϕ) in k > 3m. Uporabimo lemo 1 za števili m in k ter predikata P in Q. Pogoj (2) nam pove, da je v modelu U 2 stavek Več kot polovica Q-jev je P -jev resničen, iz pogoja (3) pa izvemo, da ta stavek v modelu U 1 ni resničen. Torej U 1 = ϕ in U 2 = ϕ, kar je v protislovju s pogojem(5), saj je število kvantifikatorjev formule ϕ manjše od m. Izrek 2 Jeziku L iz izreka (1) dodajmo kvantifikatorski simbol K, katerega semantiko na končnih modelih U definiramo s predpisom U = Kx: ϕ(x) {a E; U = ϕ(a)} > 1 2 E in tako razširjen jezik poimenujmo L(K). P in Q naj bosta enomestna predikata. Tudi v tem jeziku ne obstaja taka zaprta formula ϕ, da bi v vsakem končnem modelu U veljalo U = ϕ P U Q U > 1 2 QU Dokaz. Da bi dokaz ostal bolj pregleden, bomo predpostavili, da v jeziku L ni individualnih konstant, funkcijskih simbolov in da so edini predikati P, Q in =. Sicer bi v dokazu ubrali podobno pot kot v dokazu izreka 1. 10

11 Vsaki formuli ϕ jezika L(Q) pripišimo formulo ϕ jezika L na naslednji način. ϕ ψ ϕ = ψ ϕ ψ1 ψ2 ϕ = ψ 1 ψ 2 := x: ψ ϕ = x: ψ x: K(x) x = y 1... x = y l ψ (x, y 1,..., y l ) ϕ je atomarna formula ϕ = Kx: ψ(x, y 1,..., y l ) Jasno je, da se seštevek števila kvantifikatorjev in števila prostih spremenljivk pri transformaciji ne spremeni, c(ϕ) = c(ϕ ). Dokažimo, da za poljubno formulo ϕ(x 1,..., x l ) jezika L(K) s prostimi spremenljivkami x 1,..., x l, model U z domeno E, za katerega velja P U Q U in E 2( Q U + c(ϕ)), in poljubne elemente a 1,..., a l velja tudi U = ϕ[a 1,..., a l ] U = ϕ [a 1,..., a l ] Dokaz te trditve bo potekal induktivno glede na kompleksnost formule ϕ. Iz definicije transformacije je očitno, da trditev leme velja za atomarne formule in da se rekurzivno prenaša preko konstrukcij ϕ, ϕ ψ in x: ϕ. Dokaz je netrivialen le v primeru ϕ(x 1,..., x l ) = Kx: ψ(x, x 1,..., x l ). Predpostavimo torej, da velja U = ϕ[a 1,..., a l ]. Po definiciji kvantifikatorja K je potem {b E; U = ψ[b, a 1,..., a l ]} > 1 E. Ker velja 1 E V c(ψ) V + l, obstaja b E (V {a 1,..., a l }), za katerega velja U = ψ[b, a 1,..., a l ]. Očitno velja c(ϕ) = c(ψ), iz tega pa zaradi pogoja E 2( V + c(ϕ)) sledi E 2( V + c(ψ)). Po induktivni predpostavki zato velja U = ψ [b, a 1,..., a l ]. Vzemimo zdaj poljuben b E (V {a 1,..., a l }). Za tak b očitno velja U = P [b ], U = Q[b ], za vsak i {1,..., l} pa še b a i. Vrednosti vseh možnih atomarnih formul v formuli ψ so torej neodvisne od izbire elementa b, kar pomeni, da za vsak b E (V {a 1,..., a l }) velja U = ψ [b, a 1,..., a l ], iz definicije transformacije pa potem sledi U = ϕ [a 1,..., a l ], s čimer je dokaz v desno smer zaključen. Za dokaz v levo predpostavimo, da velja ϕ [a 1,..., a l ]. Potem za vsak b E (V (a 1,..., a l )) velja U = ψ [b, a 1,..., a l ] in po induktivni predpostavki tudi U = ψ[b, a 1,..., a l ]. Ker velja 1 2 E V +c(ψ) > V +l V {a 1,..., a l }, kar pomeni, da za več kot polovico b-jev iz domene E velja ψ(b, a 1,..., a l ), velja tudi U = Kx: ψ(x, x 1,..., x l )[a 1,..., a l ] oziroma U = ϕ[a 1,..., a l ], kar smo želeli dokazati. 11

12 Končno se lahko vrnemo k dokazovanju izreka, ki ga dokažemo s protislovjem. Predpostavimo, da obstaja zaprta formula ϕ jezika L(K), da v vsakem modelu U velja U = ϕ P U Q U > 1 2 QU. Naj bosta m > c(ϕ) in k > 2(2m + c(ϕ)). Po lemi 1 obstajata modela U 1 in U 2, ki zadoščata pogojem (1) (5). Velja torej U 1 = ϕ in U 2 = ϕ. Ker pa velja E = k > 2(2m + c(ϕ)) = 2( V + c(ϕ)), zaradi zgoraj dokazanega velja U 1 = ϕ U 1 = ϕ in U 2 = ϕ U = ϕ. Toda modela U 1 in U 2 zadoščata pogoju (5), ϕ pa je stavek jezika L, za katerega velja c(ϕ) < m, zato velja ekvivalenca U 1 = ϕ U 2 = ϕ. Iz vsega tega sledi U 1 = ϕ U 2 = ϕ, kar je v protislovju z U 1 = ϕ U 2 = ϕ. 12

13 2 Pristop s posplošenimi kvantifikatorji 2.1 Temelji V tem razdelku bomo podali denotacije nekaterih izrazov naravnega človeškega jezika, namreč tistih, ki jih označujejo veje skladenjskega drevesa s slike 1. Denotacije bodo podane direktno, brez Montaguejevega vmesnega λ-računa 5 ali Barwise Cooperjevega jezika L(GQ) (logika s posplošenimi kvantifikatorji), saj to ne bo vplivalo na za nas bistvene ideje, za nameček pa je tudi bolj v duhu sodobnih jezikoslovnih teorij. Naš model M bo vseboval vnaprej fiksirano domeno E, ki je poljubna neprazna množica, in interpretacijsko funkcijo, ki bo vsakemu vozlišču skladenjskega drevesa nekega stavka priredila njegovo denotacijo (preprosto rečeno, (ekstenzionalni) pomen). Vsaki skladenjski kategoriji X (v našem primeru je to lahko stavek, glagol, samostalnik, kvantifikator, determinator ali pridevnik) bomo kasneje določili množico možnih denotacij D X, interpretacijska funkcija pa bo jezikovnemu izrazu α skladenjske kategorije X priredila nek element množice D X. 6 [ X α] D X Interpretacijska funkcija določa denotacije na dva načina. Denotacije terminalnih vozlišč so za vsak model predpisane vnaprej (so konstante jezika, podane v slovarju), za denotacijo poljubnega neterminalnega vozlišča pa želimo, da je enolično določena s pomenom neposredno podrejenih (t.j. hčerinskih) vozlišč 7. Mi bomo tej zahtevi 8 poskušali zadostiti tako, da bo za vsako konfiguracijo [ X [ A α][ B β]] veljalo, da je bodisi α preslikava iz množice D B v množico D X potem velja [ X [ A α][ B β]] := [ A α] ( [ B β] ) bodisi β preslikava iz množice D A v množico D X tedaj pa velja [ X [ A α][ B β]] := 5 Tudi sam Montague pravi, da bi lahko shajali brez tega vmesnega nivoja. 6 Zapisa [ X Y ] in [ X Y Z] sta okrajšani različici skladenjskih dreves X in X Y Y Z 7 Vsakemu neterminalnemu vozlišču sta v modernih jezikoslovnih teorijah, kot je minimalistična slovnica, neposredno podrejeni natanko dve vozlišči; dovoljena so le binarna drevesa. V načelu se bomo tega držali tudi mi, le primere konjunkcije in disjunkcije jezikovnih izrazov bomo zaradi enostavnosti risali s tremi podrejenimi vozlišči. 8 V literaturi t.i. stroga sestavniškost, angl. strict compositionality. 13

14 [ B β] ( [ A α] ) Povedano z drugimi besedami, denotacija enega od hčerinskih vozlišč je preslikava, katere argument je denotacija drugega hčerinskega vozlišča, rezultat aplikacije pa je denotacija starševskega vozlišča. V skladu z intuicijo in tradicionalnim pristopom bo interpretacijska funkcija stavkom pripisala eno od resničnostnih vrednosti 0 in 1, samostalnikom in glagolom pa neko podmnožico domene E. Po prejšnjem odstavku mora biti denotacija kvantifikatorjev preslikava iz potenčne množice domene 2 E v množico resničnostnih vrednosti 2, denotacija determinatorja pa iz istega razloga preslikava iz množice 2 E v množico 2 2E. 9 stavek D S = 2 samostalnik D N = 2 E glagol D V = 2 E kvantifikator D Q = 2 2E determinator D D (2 2E ) 2E pridevnik D A = 2 E Tabela 1: Možne denotacije skladenjskih kategorij Povedati moramo še besedo o množicah 2 = {0, 1}, 2 E, 2 2E in (2 2E ) 2E, v katere spadajo denotacije omenjenih skladenjskih kategorij. 2, 2 E in 2 2E so potenčne množice, kar ima za nas dve posledici: 1. Če je npr. q 2 2E in v 2 E, bomo po potrebi zapisali tudi q 2 E in v E, ekvivalentna pa nam bosta tudi izraza q(v) in v q. V konkretnem primeru bomo uporabili zapis, ki nam bo trenutno bolj ustrezal; zaradi tega bomo včasih zlorabili simbol za zapis enakosti v Boolovi algebri Potenčne množice so Boolove algebre za presek in unijo. Nadalje je trivialno videti, da so množice preslikav iz Boolovih algeber v Boolove algebre tudi Boolove algebre; kupo in kapo definiramo s predpisoma (f g)(a) := f(a) g(a) in (f g)(a) := f(a) g(a). Konkretno je Boolova algebra potem tudi (2 2E ) 2E, katere inducirano relacijo delne urejenosti bomo označili z. Prikažimo uporabo teorije na primerih iz uvoda. Denotacije determinatorjev, ki jih bomo pri tem uporabili, so zapisane v tabeli 2, izbrane pa so tako, da 9 Pojasnilo, zakaj smo pri vseh skladenjskih kategorijah razen pri determinatorju zapisali v tabeli 1 simbol =, najdemo v razdelku

15 se resničnostne vrednosti stavkov, v katerih nastopajo, skladajo s sodbami govorcev. (1) vsak pes ( lajati ) ( vsak ( pes ))( lajati ) lajati {X E; pes X} pes lajati (2) nek pes ( lajati ) ( nek ( pes ))( lajati ) lajati {X E; X pes } lajati pes (3) ta pes ( lajati ) ( ta ( pes ))( lajati ) { lajati {X E; pes X} pes = 1 lajati sicer { pes lajati pes = 1 0 sicer (4) večina psov ( lajati ) ( večina ( pes ))( lajati ) lajati {X E; X pes > X pes } lajati pes > lajati pes Mimogrede opazimo, da bosta v modelu, kjer ne obstaja natanko en pes (t.j. pes = 1), neresnična tako zgled (3) kot tudi zgled (6), saj bo denotacija kvantifikatorja ta pes v obeh primerih prazna množica. (6) Ta pes ne laja. V tabeli 2 so podane tudi definicije nekaterih dosedaj neomenjenih determinatorjev. Razvidno je, da je determinator ta le poseben primer determinatorja teh n; isto velja za determinator oba. Sam determinator teh n je po naši analizi enak determinatorju vseh n, čeprav to ni čisto res; razlika je v tem, da je teh n bolj občutljiv na kontekst kot vseh n, vendar se s tem ne bomo ukvarjali. Novi so tudi determinatorji oblike n števniki. V skladu z intuicijo smo zanje podali definicijo, po kateri sta ekvivalentna pomena primerov (7) in (8), ne pa pomena primerov (7) in (9). (7) Pet psov laja. (8) Najmanj pet psov laja. (9) Natanko pet psov laja. Komentar k definiciji presežnikov bomo podali na str. 17. Doslej smo omenjali le preproste, večinoma enobesedne determinatorje, obstajajo pa tudi skladenjsko zapletenejši, ki jih tvorimo iz enostavejših. Omenimo dva pomembnejša mehanizma za tvorjenje takih determinatorjev: 15

16 nekih n (A) := {X E; X A n} vseh n (A) := {X E; X A = n A X} večina (A) := {X E; X A > X A } naj-f n (A) := {X E; X A = n max {f(x); x X A} > > max {f(x); x X A}} n := nekih n en = nek := 1 noben := nek teh n := vseh n ta := teh 1 oba := teh 2 vsak (A) := vseh n (A) = {X E; A X} n N 0 natanko n (A) := {X E; X A = n} največ n (A) := {X E; X A n} Tabela 2: Denotacije nekaterih determinatorjev 16

17 1. Omejitev (restrikcija) s pridevnikom (kakovostnim ali svojilnim) ali oziralnim odvisnikom, npr. vsi hudobni, polovica Aljinih. Preden pojasnimo ta mehanizem tvorjenja determinatorskih izrazov, se moramo domeniti, kakšna sploh je denotacija ekstenzionalnih 10 pridevnikov. Zagovarjali bomo najbolj intuitivno možnost: pridevnik tako kot samostalnik in glagol denotira neko podmnožico domene. Če ga združimo s samostalnikom v samostalniško zvezo, je denotacija dobljene zveze kar presek denotacij komponent: [ N [ A α][ N β]] = [ A α] [ N β] S tako analizo se oddaljimo od analize, ki jo predlagata Keenan in Stavi v [5] na str , ki pravi, da pridevniki denotirajo restriktivne preslikave 2 E 2 E, kjer je preslikava f : 2 E 2 E restriktivna tedaj, kadar zanjo velja f(a) A za vsako množico A E. Zdi se, da avtorja to analizo zagovarjata zato, ker s predlaganim pravilom za denotacijo kombinacije pridevnika in samostalnika v primeru presežnikov (npr. najvišji) ne dobimo pravega pomena. Vendar mislim, da je naravneje analizirati presežnike kot determinatorje (glej definicijo v tabeli 2) in ohraniti preprostejšo analizo pridevnikov nasploh. Hipoteza o presečnosti ekstenzionalnih pridevnikov je zagovarjana tudi v [13]. Pri podrobnejšem pregledu situacije pa se pojavi še en problem. Kot smo opozorjeni v [5] na str , pri analizi, ki besedno zvezo vsi hudobni strici razčleni kot vsi [hudobni strici], kljub temu, da v tem primeru dá rezultate, ki se skladajo z intuicijo, kmalu naletimo na težave 11. Zato bomo raje operirali z analizo [vsi hudobni] strici: determinator bomo omejili s pridevnikom, tako da bosta skupaj tvorila nov determinatorski izraz. 12 Definicija presežnikov iz tabele 2 je še dodaten argument v prid tej analizi, saj predpostavlja, da je pridevnik vkomponiran v determinator. f : E R je funkcija, ki meri stopnjo 10 Kot smo omenili že v uvodu, se ukvarjamo le z ekstenzionalno semantiko. Naša analiza pridevnikov za neekstenzionalne ne velja. 11 Problemi so predvsem skladenjske narave in se nanašajo na strukture, kjer bi pri željeni analizi določene izraze morali obravnavati kot izpuščene (angl. ellipsis). Kvantifikator vsaka srčkana in nobena zoprna plesalka salse bi tako morali analizirati kot vsaka srčkana plesalka salse in nobena zoprna plesalka salse, kar bi v zapletenejših primerih, ki vsebujejo npr. kvantifikacijo ali anafore, vodilo v težave. 12 V primerih, kjer samostalniška zveza deluje kot predikat (npr. Alja je [čedna punca]), še vedno združujemo pridevnik in samostalnik (saj determinatorja sploh ni) in sicer po standardnem pravilu: čedna punca = čedna punca. 17

18 lastnosti, ki jo označuje pridevnik (npr. višino). V denotaciji kvantifikatorja naj-f (A) bodo tako natanko tiste množice, ki vsebujejo vse elemente množice A z najvišjo 13 stopnjo te lastnosti v množici A, poleg tega pa morajo imeti (kot pri določnem členu) ustrezno kardinalnost. Žal ne glede na to, ali združimo pridevnik z determinatorjem ali samostalnikom, ne moremo ohraniti na str. 13 podanega principa izračuna denotacij neterminalnih vozlišč skladenjskega drevesa kot edinega, ne da bi zakomplicirali denotacijo pridevnikov. Raje kot slednje bomo notranjo strukturo determinatorjev izvzeli iz splošnega pravila in se z njo bolj malo ukvarjali. Poleg že (implicitno) zapisanih pravil za druženje nekaterih determinatorjev s števniki (v teh primerih je števnik obvezen argument determinatorja; če ni prisoten eksplicitno, ga lahko razberemo iz morfološke oblike samostalnika) bomo predlagali le pravilo za druženje kateregakoli determinatorja s pridevnikom [ D [ D α][ A β]] (A) := [ D α] (A [ A β] ), ki da v bistvu enak rezultat, kot bi ga dobili, če bi združili pridevnik in samostalnik, le da sta si skladenjsko bliže pridevnik in determinator. Tak z β omejen determinator α bomo označili z α/β. 2. Uporaba logičnih veznikov in, ali in ne, npr. večina a ne vsi, vsi visoki ali nekateri nizki. 14 Skladenjska razčlemba tovrstnih primerov se v modernih jezikoslovnih teorijah zaradi binarnosti skladenjskih dreves razlikuje od tradicionalne, vendar se mi v to ne bomo spuščali, saj bi dobili enakovredna pravila za interpretacijo. Vezniki in, ali in ne namreč ustrezajo operacijam kapa ( ), kupa ( ) in komplement ( ) v Boolovih algebrah v našem primeru v Boolovi algebri (2 2E ) 2E. [ D [ D α] in [ D β]] := [ D α] [ D β] [ D [ D α] ali [ D β]] := [ D α] [ D β] [ D ne [ D α]] := [ D α] Iz pravkar povedanega sledi, da je množica denotacij determinatorskih izrazov podmnožica Boolove algebre (2 2E ) 2E, zaprta za operaciji in 13 Za nekatere pridevnike bi seveda bilo naravneje zahtevati najnižjo stopnjo. 14 S tem ne želimo reči, da bodo vsi poskusi takega kombiniranja uspešni, temveč le, da jih načelno dopuščamo. Na slovničnost dobljenega izraza namreč vpliva skupek najrazličnejših načel in če eno samo prepove tvorbo določenega izraza, bo izraz neslovničen. 18

19 ter zato podmreža, vprašamo pa se lahko tudi, ali je polna. Da bi prišli do odgovora na to vprašanje, se najprej vprašajmo, kakšne so denotacije determinatorjev, ki jih omejimo s kvantificirano strukturo. Intuitivno vemo, da velja večina koles (od) vsakega študenta = večina j-jevih koles večina koles (od) nekega študenta = j študent j študent večina j-jevih koles, in zato predlagamo naslednji interpretacijski pravili: [ D α/[ Q (od) [ D vsak(ega)][ N β]]] := [ D [ D α]/[ A j-jev]] [ D α/[ Q (od) [ D nek(ega)][ N β]]] := j [ N β] j [ N β] [ D [ D α]/[ A j-jev]] Ti pravili sta seveda zgolj provizorični v resnici bi morali biti izpeljani iz osnovnejših principov interpretacije kvantificiranih izrazov in boljše definicije svojilnosti. Ker pa se v pričujočem delu s temi principi ne ukvarjamo in nam v konkretnem primeru gre le za to, da pokažemo, da obstajajo determinatorski izrazi, katerih denotacija je presek oz. unija osnovnejših determinatorskih izrazov, bomo pravili vseeno uporabljali. V modelu z ustreznimi denotacijami svojilnih pridevnikov bi torej načeloma lahko pričakovali, da je množica možnih determinatorskih denotacij polna podmreža Boolove algebre (2 2E ) 2E. Take ustrezne denotacije so sicer najbrž dokaj redek pojav, vendar bosta njihov načelen obstoj in dejstvo, da so bistvenega pomena pri dokazu konzervativnosti v naslednjem razdelku le v modelih z neskončno kardinalnostjo, dovolj, da bomo privzeli polnost dotične podmreže. 19

20 2.2 Konzervativnost V razdelku 2.1 smo med drugim pojasnili, zakaj menimo, da spadajo denotacije skladenjskih izrazov v ustrezne množice (glej tabelo 1 na str. 14). Nismo pa še utemeljili trditve, implicitno izhajajoče iz dotične tabele, namreč da je za vsako skladenjsko kategorijo X razen za determinatorje (X = D) in poljuben element x množice D X mogoče najti skladenjski izraz, ki bo v neki interpretaciji denotiral element x. 15 Stavki so očitno lahko resnični ali neresnični, jasno pa je tudi, da lahko v bistvu katerekoli samostalnik, glagol ali pridevnik (v ustrezni interpretaciji) denotira katerokoli podmnožico domene. Za kvantifikatorje sicer a prióri ne moremo trditi, da lahko denotirajo katerokoli podmnožico množice 2 2E, vendar to vseeno drži; z uporabo sredstev, razvitih za dokaz izreka 3, bo dokaz te trditve trivialen (glej izrek 5). Izjema so torej le determinatorji, za katere trdimo, da velja D D (2 2E ) 2E. Ob tem, da bomo dokazali to trditev, bomo odgovorili na še pomembnejše vprašanje: Katere pa so vse mogoče denotacije determinatorskih izrazov? Pri tem se bomo zgledovali po [5] 2, najprej pa precizirajmo pogoje, pri katerih bo naše sklepanje veljavno. Model M = (E, ) mora biti izbran vnaprej. Pokazali bomo zgolj, kakšne so denotacije determinatorjev v tem konkretnem modelu. Razmišljanje o tem, kakšne denotacije bi imel nek determinator v različnih modelih, pustimo razdelku 2.6 in poglavju 3. Pod pojmom determinator oz. determinatorski izraz razumemo katerikoli izraz naravnega človeškega jezika, katerega denotacija v modelu M je preslikava 2 E 2 2E. S tem se efektivno odpovemo notranji skladenjski analizi determinatorjev: v razdelku 3.4 bomo namreč povedali, da bi lahko pod pojmom determinator razumeli le besedo, okoli katere se nabirajo za pomensko interpretacijo celega determinatorskega izraza relevantne oznake. V jeziku morajo obstajati imena za vse elemente domene E, t.j. za vsak a E mora obstajati predikat P a, ki denotira množico {a}, oz. ekvivalentno, neka formula ϕ(x) s prosto spremenljivko x, za katero velja M = ϕ(x)[b] b = a za poljuben b E. Kot bomo videli, brez tega pogoja naše sklepanje nikakor ne more biti veljavno. Pa vendar si ni tako težko predstavljati, da bi zmogli vsak 15 Ne trdimo, da je mogoče najti ustrezen skladenjski izraz v vsaki interpretaciji zato tudi imenujemo množice D X množice možnih denotacij. 20

21 element domene poimenovati: uporabimo lahko (med drugim) imena, opise in pridevnike. Definicija 2 Preslikava f : 2 E 2 2E za vsaki množici A, B E velja je konzervativna natanko tedaj, kadar B f(a) A B f(a) Množico konzervativnih preslikav 2 E 2 2E označimo s Cons. Izrek 3 (Konzervativnost) Vzemimo poljuben model M = (E, ). Predpostavimo naslednje: V jeziku obstajata (vsaj) determinatorja vsak in nek, katerih denotacija je podana v tabeli 2. Za vsak element a domene E obstaja pridevnik P a, ki denotira množico {a} E. Če v jeziku obstajata determinatorski izraz d in pridevniški izraz p, obstaja tudi omejitev d/p izraza d z izrazom p. Za poljuben determinator d obstaja determinator z denotacijo d. Za poljubno množico determinatorskih izrazov D obstajata determinatorja z denotacijami d D d in d D d. Potem velja, da je množica D D možnih denotacij determinatorskih izrazov v modelu M enaka množici Cons konzervativnih preslikav 2 E 2 2E. Dokaz. 1. D D Cons: Da bi pokazali, da so denotacije vseh determinatorskih izrazov konzervativne preslikave, moramo pokazati, da osnovni determinatorji 16 denotirajo konzervativne preslikave ter da Boolove kombinacije in omejevanje ohranjajo konzervativnost. 16 O tem, kateri determinatorji so osnovni, bi se dalo razpravljati. Mi bomo dokazali konzervativnost denotacij determinatorjev iz tabele 2. Kar nekaj dodatnih najdemo še v [5]. Seveda ne moremo vedeti, kdaj smo v raziskavi zajeli prav vse obstoječe determinatorje, vendar se moramo tu zadovoljiti z induktivno metodo: menim, da pri dovolj velikem odstotku pokritih determinatorjev, za katere se dejansko izkaže, da so konzervativni, lahko sklepamo, da so konzervativni vsi. Edini resni možni protiprimer je besedica samo, vendar obstaja kopica jezikoslovnih argumentov (nanašajo se predvsem na distribucijo besede samo) v podporo opažanju, da samo ni determinator. 21

22 Najprej pokažimo, da so denotacije determinatorjev iz tabele 2 konzervativne preslikave. Vzemimo poljubni množici A, B E. Iz enakosti B A = (B A) A, B A = (B A) (A A) = (B A ) A = (B A) A in definicij denotacij determinatorjev nekih n, vseh n, večina in naj-f n je razvidno, da so te denotacije konzervativne funkcije. Ostali determinatorji v tabeli so zgolj posebni primeri zgornjih štirih. Nadalje pokažimo, da je konjunkcija (t.j. presek) konzervativnih preslikav f λ ; λ Λ tudi konzervativna preslikava. Za poljubni množici A, B E velja B ( λ Λ f λ )(A) λ Λ: B f λ (A) λ Λ: B A f λ (A) B A ( λ Λ f λ )(A) Konzervativnost disjunkcije konzervativnih preslikav pokažemo popolnoma enako kot konzervativnost konjunkcije. Da negacija ohranja konzervativnost, vidimo iz naslednjega niza ekvivalenc. B f(a) B / f(a) A B / f(a) A B f(a) Kot zadnje dokažimo, da tudi omejitev s pridevnikom ohranja konzervativnost. Naj bodo f poljubna konzervativna in p poljubna restriktivna 17 preslikava, A in B pa poljubni podmnožici E. Potem velja B f(p(a)) p(a) B f(p(a)) p(a) (A B) f(p(a)) A B f(p(a)), kjer smo poleg konzervativnosti preslikave f ključno uporabili lastnost p(a) A omejevalnih preslikav, iz katere sledi p(a) A = p(a). 17 V tem delu dokaza se bomo pretvarjali, da sledimo [5], t.j. da pridevniki denotirajo restriktivne preslikave in ne le presečnih. Trditev bomo torej dokazali malce bolj splošno, kot bi bilo potrebno. 22

23 2. Cons D D : Za Boolovo algebro konzervativnih preslikav (2 2E ) 2E bomo dokazali, da je atomarna, in nato vsak njen atom zapisali kot konjunkcijo denotacij nekih determinatorjev. Definicija 3 Naj bo M mreža. Element 0 a M je atom, kadar za vsak element x M, za katerega velja 0 x a, velja tudi x = 0 ali x = a. (Atomi so torej neposredni nasledniki elementa 0.) Mreža, v kateri se da vsak element x M zapisati kot unija atomov te mreže x = a A x a, se imenuje atomarna. Iz prejšnje točke dokaza vemo, da je množica konzervativnih preslikav Cons zaprta za presek, unijo in komplement, torej je tudi sama (polna) Boolova algebra. Za poljubni množici Q, P E definirajmo preslikavo f P,Q : 2 E 2 2E s predpisom f P,Q (A) := { {X E; X P = Q} A = P A P Dokažimo, da je Boolova algebra Cons atomarna z množico atomov {f P,Q ; Q P E} Vzemimo poljubni množici Q P E in pokažimo, da je preslikava f P,Q atom Boolove algebre Cons. Predpostavimo nasprotno: naj obstaja konzervativna preslikava g, za katero velja 0 < g < f P,Q. Ker je f P,Q (A) = za vsako od P različno množico A E, mora isto veljati tudi za preslikavo g. Da bi bil izpolnjen pogoj 0 < g < f P,Q, morata torej obstajati taki množici X, Y f P,Q (P ), da velja X g(p ) in Y / g(p ). Iz X, Y f P,Q sledi X P = Y P = Q, iz konzervativnosti preslikave g pa sledi protislovna trditev, da je Q = X P g(p ) in Q = Y P / g(p ). Vzemimo poljubno konzervativno preslikavo f. Očitno je f unija preslikav f P, definiranih s predpisoma f P (P ) := f(p ) in f P (A) := za A P. Pokazati moramo le še, da so preslikave f P unije atomarnih preslikav. Naj bo U P := {Q P ; Q f P (P )}. Če za neko množico X E velja X f P (P ), potem iz konzervativnosti preslikave f P sledi X P f P (P ), torej je X P U P. Ker seveda velja tudi X P f P,X P (P ), lahko sklepamo, da je f P Q U P f P,Q. Po drugi strani pa za vsak Q U P in X f P,Q (P ) velja X P = Q, kar zaradi konzervativnosti preslikave f P pomeni, da je X f P (P ). Tako smo dokazali tudi f P Q U P f P,Q. 23

24 Iz predpostavk izreka sledi, da v jeziku za vsak a E obstajata determinatorska izraza vsak/p a in nek/p a. Njuni denotaciji sta in nek/p a (A) = nek (A {a}) = {X E; X A {a} } = { {X E; a X} a A = a / A vsak/p a (A) = vsak (A {a}) = {X E; A {a} X} = { {X E; a X} a A = 2 E a / A Označimo ju z S a := nek/p a in E a := vsak/p a. Dokazali bomo, da za Q P E velja f P,Q = S a (S a E a) a Q }{{} g a P Q } {{ } h s čimer bo dokaz inkluzije Cons D D končan. (S a E a ), a P } {{} k Najprej dokažimo (g h k)(p ) f P,Q (P ). Vzemimo poljuben B (g h k)(p ). B g(p ) pomeni, da za vsak a Q velja B P {a}, oz. ekvivalentno a B P. Torej je Q B P. Iz B h(p ) sledi, da za vsak a P Q velja B P {a} =, iz tega pa sledi B P Q =, kar je ekvivalentno B P Q. Obe smeri inkluzije nam dasta Q = B P, kar po definiciji preslikave f P,Q pomeni, da B f P,Q (P ). Dokažimo še obrat f P,Q (P ) (g h k)(p ). Spet vzemimo poljuben B f P,Q (P ). Po definiciji preslikave f P,Q zanj velja B P = Q. Za poljuben a Q velja B P {a} = Q {a} = {a}, kar je ekvivalentno B S a (P ), se pravi, da B g(p ). Če vzamemo a P Q, dobimo B P {a} =, zato B S a(p ), poleg tega pa velja še P {a} = {a} Q, iz česar zaradi B P = Q in a P sledi P {a} B, kar pomeni B E a(p ); s tem smo dokazali B h(p ). Za poljuben a P velja P {a} =, iz tega pa sledi S a(p ) = E a (P ) = 2 E B, kar nam da še B k(p ). Za poljuben A E, A P velja f P,Q (A) =. Pokažimo, da potem velja tudi (g h k)(a) =. Ločimo dva primera: 24

25 (a) Če P A, potem obstaja b P A. Če je b Q, potem lahko zaradi S b (A) = {X E; X A {b} } = sklepamo, da g(a) =. Če pa b / Q, zaradi b / A velja b P Q, torej dobimo E b (A) = in je zato h(a) =. Presek (g h k) je torej v obeh primerih enak. (b) Če pa A P, obstaja b A P. Potem velja S b (A) = {X E; X A {b} = } = {X E; b / X} = E b (A), torej (S b E b)(a) =, iz tega pa sledi k(a) =. Izrek o konzervativnosti determinatorjev je izredno pomemben s psiholingvističnega stališča. Otroku, ki se uči jezika, namreč (poenostavljeno rečeno) ni potrebno iskati pomena nekega novega determinatorja med vsemi preslikavami 2 E 2 2E, temveč le med konzervativnimi. Poglejmo, kaj to pomeni v številkah. Izrek 4 Med (2 2n ) 2n = 2 4n preslikavami 2 E 2 2E jih je le 2 3n konzervativnih. Dokaz. D D = Cons je polna atomarna Boolova algebra in je zato izomorfna potenčni množici množice svojih atomov. Njena moč je torej 2 a, kjer a označuje število atomov Boolove algebre Cons. Le-ti so preslikave f P,Q, kjer sta P, Q poljubni podmnožici domene E, za kateri velja Q P. Če fiksiramo množico P, si lahko izberemo množico Q na 2 P načinov (katerokoli podmnožico množice P ). Skupno število možnosti izbire množic P in Q je torej n ( ) n 2 P = 2 k = (2 + 1) n = 3 n k P E k=0 se pravi, da je moč Boolove algebre Cons enaka 2 3n. Izrek 5 Množica možnih kvantifikatorskih denotacij D Q je enaka 2 2E. Dokaz. Utemeljevanje, zakaj velja D Q 2 2E, smo podali že v razdelku 2.1. Dokazati moramo le še veljavnost D Q 2 2E Vzemimo poljubno množico U 2 E in pokažimo, da lahko obstaja kvantifikator, katerega denotacija je U. Naj bo U = {B λ ; λ Λ}. Trdimo, da velja U = ( f E,Bλ )(E), λ Λ 25

26 kjer so preslikave oblike f A,B atomi Boolove algebre (2 2E ) 2E iz dokaza izreka 3. To je očitno res, saj za poljubno množico B E velja f E,B (E) = {X E; X E = B} = {B}. 2.3 Neizrazljivostni izrek V tem razdelku bomo, sledeč [5], pokazali še en vidik, v katerem se determinatorji razlikujejo od ostalih jezikovnih izrazov, ki jih omenjamo. Definicija 4 Podmnožica K izrazov skladenjske kategorije C je univerzalna za C, kadar za vsako domeno E in vsak element δ D C iz množice možnih denotacij izrazov skladenjske kategorije D C obstajata d K in interpretacijska funkcija jezika, da velja d = δ. Izraz d skladenjske kategorije C je univerzalen za C, kadar je množica {d} univerzalna za C. Vsi enomestni predikati (samostalniki, glagoli, pridevniki) imajo univerzalne elemente, namreč kar katerikoli izraz. Jasno je namreč, da je lahko denotacija nekega predikata, npr. lajati, katerakoli množica domene. determinatorji pa je drugače, pokazali bomo namreč, da čeprav za vsako konzervativno preslikavo obstaja determinatorski izraz, katerega denotacija je dotična preslikava (izrazljivostni izrek iz [5]), ne moremo vnaprej predpisati nekega izraza in mu z menjavanjem interpretacij dati poljubno denotacijo. Izrek 6 Skladenjska kategorija determinatorjev nima univerzalnega elementa (niti v primeru, če se omejimo na končne modele). Dokaz. Dokaz ni in ne more biti zgolj deduktivne narave. Z jezikoslovnega stališča je namreč bistveno opažanje, da je razred monomorfemskih determinatorjev (se pravi osnovnih determinatorjev, iz katerih s pomočjo izjavnih veznikov gradimo skladenjsko zapletenejše) zaprte narave. Predlogov, natanko katere so preslikave, ki so lahko denotacije monomorfemskih determinatorjev, je veliko, mi bomo povzeli [5]: Denotacije monomorfemskih determinatorjev so permutacijsko invariantne preslikave Ta trditev je morda preveč poenostavljena, saj ne vključuje kazalnih zaimkov, vendar obstajajo razlogi, zaradi katerih je smotrno trditi, da so le-ti sestavljeni iz več delov njihova interpretacija je namreč odvisna od nejezikovnih dejavnikov. Brez težav bi jih 26

27 Dokaz se bistveno opira tudi na dejstvo, da lahko pri fiksnem številu osnovnih gradnikov napravimo le omejeno število skladenjskih kombinacij le-teh. Če grobo pretiravamo, lahko ima determinatorski izraz d, sestavljen iz m besed 19, največ toliko možnih denotacij, kolikor znaša produkt števila možnih denotacij vseh njegovih besed. Za vsako skladenjsko kategorijo, ki lahko nastopa kot sestavni del determinatorskega izraza, zapišimo število možnih denotacij (pri tem z n označimo moč domene E). Samostalniki, pridevniki in glagoli: D N = D A = D V = 2 n ; osnovni (monomorfemski) determinatorji: 2 (n+1)(n+2)/2 možnih interpretacij (glej razdelek 2.5); kvantifikatorji: D Q = 2 2n. Kot vidimo, je največ denotacij možnih v primeru kvantifikatorjev. Če zopet grobo pretiravamo, lahko torej rečemo, da je število možnih načinov interpretacije determinatorskega izraza d dolžine m enako (2 2n ) m Moč množice D D = Cons je po izreku 4 iz razdelka 2.2 enaka 2 3n. Ker je m fiksen, velja 2 m2n lim = lim 2 2n (m ( 3 2 )n) = 0 n 2 3n n torej pri determinatorju poljubne dolžine z večanjem domene kmalu pridemo do situacije, v kateri je (krepko pretirano) število možnih interpretacij tega determinatorja zanemarljivo v primerjavi s kardinalnostjo množice konzervativnih preslikav, kar seveda dokazuje trditev izreka. 2.4 Monotonost Če rečemo, da vemo, kaj nek stavek pomeni, potem naše védenje vključuje tudi zmožnost sklepanja na nadpomenke in podpomenke. V modelu, kjer je resničen stavek (10a), morata nujno biti resnična tudi stavka (10c) in (10d), medtem ko za stavka (10b) in (10e) tega ne moremo trditi. (10) a. Vsak pes laja. b. Vsaka žival laja. analizirali kot kombinacijo kazalnega determinatorja in imena (t.j. zunajjezikovnega dejavnika). V nobenem primeru pa vključitev tega (in morda še kakšnega) razreda determinatorjev med monomorfemske ne poruši trditve izreka, saj je možnosti za interpretacijo kazalnih zaimkov največ toliko, kot je denotacij samostalnikov, ki so, kot bomo videli, že tako ali tako upoštevane v dokazu izreka. 19 Tu najverjetneje ne gre za besede v običajnem pomenu besede, temveč za ustrezen konstrukt, ki ga izdela teorija skladnje. 27

28 c. Vsak rottweiler laja. d. Vsak pes se oglaša. e. Vsak pes laja glasno. Intuitivno je jasno, da je za uspešnost ali neuspešnost takih sodb kriv determinator, in definicije denotacij determinatorjev, podane v tabeli 2, so skladne s tovrstnimi sodbami. V splošnem vidimo, da so denotacije nekaterih determinatorjev monotone preslikave glede na delno urejenost v ustreznih Boolovih algebrah. Rekli bomo, da je preslikava f med Boolovima algebra (oz. jezikovni izraz, ki ga denotira) naraščajoča, kadar ohranja urejenost (x y f(x) f(y)), padajoča, kadar urejenost obrne (x y f(x) f(y)), in monotona, kadar je eno ali drugo. Determinator vsak iz zgornjih primerov je padajoč, kvantifikatorji vsaka žival, vsak rottweiler in vsak pes pa so naraščajoči. Zdi se, da običajni determinatorji vedno slikajo v isti tip kvantifikatorjev (naraščajoči, padajoči ali nemonotoni), zato zlorabimo terminologijo in rečemo, da je determinator naraščajoč/padajoč v drugem argumentu, kadar je vsak kvantifikator, ki ga dobimo z apliciranjem dotičnega determinatorja na nek samostalnik, naraščajoč/padajoč. Običajni monotonosti determinatorjev (kot preslikav) rečemo tudi monotonost v prvem agrumentu. mononotost v 1. argumentu 2. argumentu nekih n vseh n večina naj-f n noben vsak največ n natanko n ne vsak Tabela 3: Monotonost nekaterih determinatorjev Kot vidimo iz tabele 3, je monotonost kar pogost pojav, kar je za nas kot govorce ugodno: naraščajočost/padajočost v prvem argumentu nam omogoča, da iz resničnosti nekega stavka sklepamo na resničnost stavka, ki ga dobimo, če osebek prvotnega stavka zamenjamo z neko njegovo nad/podpomenko; pri monotonosti v drugem argumentu velja povedano za glagol. Monotonost pa je pomembna tudi zaradi tega, ker obstaja jezikovni pojav, ki se zdi tesno povezan z okolji, ki omogočajo sklepanje na podpomenke, torej 28

29 tudi z okolji padajočih determinatorjev. Obstaja namreč razred izrazov, v katerega spadajo izrazi 20 any, ever, yet, contribute a red cent in podobni, imenovanih k negaciji usmerjeni izrazi, angl. negative polarity items (NPIs), za katere se trdi, da se lahko pojavljajo le v teh okoljih, 21 kar nam potrjujejo naslednji primeri, povzeti po [9], saj so med spodnjimi zgledi slovnični natanko tisti, kjer se izraz ever pojavi v padajočem argumentu determinatorja. (11) Every [person who has ever been to New York] [has returned to it]. (12) * Every [person who has been to New York] [has ever returned to it]. (13) * Some [person who has ever been to New York] [has returned to it]. (14) * Some [person who has been to New York] [has ever returned to it]. (15) No [person who has ever been to New York] [has returned to it]. (16) No [person who has been to New York] [has ever returned to it]. 2.5 Permutacijska invariantnost V razdelku 2.2 smo pokazali, da ne more biti vsaka preslikava 2 E 2 2E denotacija kakega determinatorja, temveč da lahko v tej vlogi nastopajo le konzervativne preslikave. Vendar smo za dokaz izreka o konzervativnosti morali predpostaviti, da lahko vsak element domene poimenujemo, oziroma drugače rečeno, da jih lahko ločimo. Iz dokaj obširnega seznama tipov determinatorskih izrazov v [5] je jasno razvidno, da so vsi nelogični determinatorji rezultat omejitve nekega osnovnejšega determinatorja. Šele tedaj, ko dovolimo tudi omejevanje determinatorskih izrazov, lahko namreč generiramo vse konzervativne preslikave. Kaj pa se zgodi, če omejevanja ne dovolimo? Množica možnih determinatorjev se zoži na permutacijsko invariantne determinatorje (v [5] imenovane logični determinatorji, v [15] pa determinatorji, ki zadoščajo pogoju kvantitete), to je natanko na tiste, ki jih obravnava Mostowski v pionirskem delu na tem področju [12], s katerim se bomo v tem razdelku pobliže spoznali. V razdelku 2.1 smo rekli, da so kvantifikatorji preslikave 2 E 2, determinatorji pa preslikave 2 E 2 2E, kjer je E domena modela, kar smo utemeljili 20 Zaradi neraziskanosti področja v slovenskem jeziku se bomo ukvarjali le z angleščino. Slovenski kandidati za uvrstitev v razred k negaciji usmerjenih izrazov bi lahko bili sploh, kdorkoli, kadarkoli in podobni, vendar, kot rečeno, področje še ni dovolj raziskano, da bi lahko karkoli trdili z gotovostjo. 21 Povezava je bila prvič zagovarjana v [7], je pa res, da zanjo obstaja kar nekaj protiprimerov. Analizo, ki te protiprimere obravnava pravilno, bomo predlagali v razdelku