CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan
|
|
- Ζηναις Θέκλα Παπαδόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola şi parabola În continuare vom prezenta noţiunea generală de curbă plană, precum şi o serie de proprietăţi ale acesteia Curbele plane studiate până acum au fost reprezentate doar prin ecuaţii implicite, de forma F(, Deoarece, din punctul de vedere al cinematicii, o curbă plană este traiectoria unui punct material M, este util să descriem curba prin legătura dintre coordonatele carteziene, (,, ale punctului material M şi timpul t : f(t, g(t Fie {O, i, j} (O un reper cartezian în spaţiul punctual euclidian E Definiţia următoare permite introducerea riguroasă a noţiunii de curbă plană folosind diferite tipuri de reprezentări: eplicită, implicită, parametrică etc Definiţia 811 Numim arc simplu de curbă plană, mulţimea (C a punctelor M(, E care satisfac o ecuaţie de tipul (811 f (, a < < b, unde a, b R sunt fiate, sau o ecuaţie de tipul (81 F(,, a 1 < < a, b 1 < < b cu a 1, a, b 1, b R sau un sistem de forma 3
2 (813 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială g h ( t, c ( t 1 < t < c, cu c 1, c R, unde f, F, g, h sunt funcţii reale, de clasă cel puţin C 1 pe domeniile lor de definiţie, iar g şi h stabilesc o corespondenţă bijectivă şi bicontinuă între punctele M (C şi mulţimea valorilor parametrului t (c 1, c Dacă arcul simplu de curbă (C este definit prin ecuaţia (811, spunem că avem o reprezentare (carteziană eplicită a acestuia În cazul utilizării ecuaţiei (81 avem o reprezentare implicită, iar în cazul sistemul (813 o reprezentarea parametrică Fie f o funcţia de clasă cel puţin C 1 pe intervalul (t 1, t Dacă (ρ, θ este un sistem de coordonate polare în E, atunci mulţimea punctelor M(ρ, θ E, ale căror coordonate polare satisfac ecuaţia (814 ρ f (θ, θ (t 1, t, defineşte de asemenea un arc simplu de curbă Reprezentarea (814 se numeşte ecuaţia în coordonate polare a arcului de curbă Asemănător, mulţimea punctelor M E, al căror vector de poziţie r satisface ecuaţia (815 r r (t, c 1 < t < c, c 1, c R ( r (t g(ti + h(t j, unde g, h îndeplinesc condiţiile din definiţia de mai sus reprezintă un arc simplu de curbă Ecuaţia (815 se numeşte ecuaţia vectorială a arcului de curbă (C Eemplu 81 a Se consideră porţiunea situată deasupra aei O din elipsa cu centrul în originea O(, a 31
3 reperului cartezian O şi vârfurile în punctele A(a,, A`(-a,, B(b,, B`(-b, (Vezi Fig 4 Ecuaţia carteziană eplicită a acestui arc de elipsă este 1, a (-a, a, iar ecuaţia implicită este + 1, >, (-a, a a b Deoarece funcţiile f( 1, F(, + 1 satisfac condiţiile a a b din definiţia de mai sus, deducem că porţiunea de elipsă descrisă este un arc simplu de curbă Ecuaţiile parametrice ale acestui arc sunt a cos t t (,π iar cele vectoriale r a cos(ti + b sin(t j, t (,π bsin t În ceea ce priveşte ecuaţiile în coordonate polare, acestea sunt ρ a a b cos θ + b sin θ, θ (,π Observăm că, în cazul în care a b, arcul de curbă descris mai sus reprezintă semicercul de rază r a, cu centrul în originea reperului cartezian O, situat deasupra aei O Definiţia 81 O mulţime de puncte (C se numeşte arc regulat de curbă plană dacă (C este un arc simplu de curbă plană şi, în reprezentările (81 şi (813, sunt îndeplinite condiţiile (816 (F` + (F` >, a 1 < < a, b 1 < < b (F` F F` şi respectiv F, (817 (g`(t + (h`(t >, c 1 < t < c 3
4 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Condiţia (816 din definiţia de mai sus arată că, în cazul arcelor regulate de curbă, derivatele F` şi F` din reprezentarea implicită nu se anulează simultan în punctul de coordonate (, (a 1, a ( b 1, b Analog, în cazul reprezentării parametrice condiţia (817 eprimă faptul că g`(t şi h`(t nu sunt simultan nule în nici un t (c 1, c Dacă în Definiţia 81 cerem ca funcţiile F, g şi h să fie continue pe mulţimea de definiţie şi să aibă derivate (eventual derivate parţiale până la un ordin n(inclusiv n continue (adică funcţiile să fie de clasă C n şi cel puţin una din derivatele de ordinul n să nu se anuleze pe mulţimea de definiţie, atunci arcul regulat se spune că este arc regulat de ordinul n sau de clasă n Condiţiile (816, (817 se numesc condiţii de regularitate Definiţia 813 Un punct M de pe arcul simplu de curbă (C se numeşte punct regulat dacă el îndeplineşte toate condiţiile de regularitate În caz contrar, punctul se numeşte punct singular Din definiţiile de mai sus deducem că un arc regulat este constituit numai din puncte regulate, eceptând eventual etremităţile Definiţia 814 Numim curbă de clasă n, o reuniune de arce regulate de clasă n Deci, dacă (C i (i I este o mulţime de arce regulate de clasă n, atunci curba (C de clasă n arată ca în Fig 41 (Se observă că ea poate avea şi întreruperi 33
5 II Dreapta tangentă şi dreapta normală într-un punct regulat Definiţia 815 Fie M (, un punct regulat al curbei (C şi fie M 1 ( 1, 1 (C un punct oarecare Dreapta tangentă la curba (C în punctul regulat M este limita dreptei M 1 M, secantă la curbă, când M 1 M (Fig 4 Fie curba (C, a cărei ecuaţie parametrică este f(, şi fie M (, un punct regulat al ei, iar M 1 ( 1, 1 un punct oarecare pe curbă Căutăm ecuaţia dreptei tangente la curba (C în punctul M Ecuaţia secantei M 1 M este 1 parametrică a curbei, ecuaţia secantei M 1 M se mai scrie g g( t ( t g( t 1 h h( t ( t h( t 1 1 Ţinând cont de ecuaţia Conform definiţiei de mai sus, ecuaţia tangentei în punctul M se obţine trecând la limită, pentru t 1 t, în ecuaţia secantei M 1 M Obţinem (818 g` g( t ( t h` h( t ( t Ecuaţia (818 reprezintă ecuaţia dreptei tangente la curba (C în punctul regulat M (C atunci când curba este reprezentată parametric Dacă folosim reprezentarea eplicită (811 a curbei (C, observăm că f`( g` h` ( t, ( t g(t, f( h(t Aplicând (818, obţinem (819 f`( ( -, 34
6 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială adică ecuaţia tangentei în punctul M în cazul reprezentării eplicite În cazul curbei date prin ecuaţia implicită F(,, ţinem cont de formula de derivare a funcţiilor implicite şi avem F` (, `( F` (, g' h` ( t În acest caz, ecuaţia (818 devine ( t (811 ( F`(, + ( F`(, Am obţinut teorema următoare: Teorema 81 Considerăm curba (C şi M (, un punct regulat al ei În cazul reprezentării parametrice (813 a curbei (C, ecuaţia tangentei în punctul M (, este (818; în cazul reprezentării eplicite (811 a curbei (C, ecuaţia tangentei este (819, iar în cazul reprezentării implicite de ecuaţia tangentei este (811 Definiţia 816 Dreapta normală într-un punct regulat al unei curbe plane este dreapta ce trece prin acel punct şi este perpendiculară pe dreapta tangentă în punctul respectiv Din definiţia de mai sus şi Teorema 81 rezultă imediat ecuaţiile normalei la o curbă plană într-un punct regulat al acesteia Teorema 813 Fie M (, un punct regulat al curbei (C În cazul în care curba (C are reprezentarea parametrică (813, ecuaţia dreptei normale în punctul M (, este (8111 h` g( t ( t + g` h( t ( t ; în cazul reprezentării carteziene eplicite (811, ecuaţia normalei este (811 ( f `( + ( -, 35
7 iar în cazul reprezentării implicite ecuaţia căutată este (8113 ( F`(, - ( F`(, III Curbura şi rază de curbură Înainte de a da definiţia următoare, reamintim că lungimea arcului de curbă AB, A( A, A, B( B, B (C este dată de formula B (8114 l 1 ( f `( AB + a d, în cazul reprezentării carteziene eplicite (811 şi de formula B (8115 l ( g` ( t ( h`(t AB t + (81, unde A g(t A, B h (t B t a dt, în cazul reprezentării parametrice Definiţia 817 a Numim unghi de contingenţă al unui arc de curbă şi-l notăm α, unghiul ascuţit format de tangentele duse la etremităţile arcului (Fig 43 b Numim curbură medie a unui arc de curbă, şi o notăm cu K m, raportul dintre unghiul de contingenţă şi lungimea arcului: α (8115 K m s c Numim curbura unei curbe într-un punct şi o notăm cu K sau R 1, limita curburii medii când lungimea arcului tinde către zero 1 α (8116 K lim s R s 36
8 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Inversul curburii poartă numele de raza de curbură a curbei în acel punct În cele ce urmează vom determina o epresie analitică pentru calculul curburii Pentru înce- put, considerăm reprezentarea eplicită (811 a curbei (C Presupunem că funcţia f( este clasă cel puţin în vecinătatea unui punct regulat M (, al curbei Considerăm punctul M 1 ( +, +, infinit apropiat de M, şi (T, (T tangentele în M şi respectiv M 1, care formează cu aa O unghiurile ϕ şi respectiv ϕ + ϕ (Fig 43 Presupunem în plus că f `` Este uşor de văzut că unghiul ϕ + ϕ, ca unghi eterior, este egal cu suma unghiurilor ϕ şi α Deci ϕ α De asemenea, observăm că dacă s (M 1 M, atunci Deci α K lim s ( ϕ / ( ϕ / lim s lim s ( s / ( dϕ / d ( s / ( / d Interpretarea geometrică a derivatei, tg ϕ f `( ϕ arctg f `(, conduce la relaţia dϕ /d 1+ 1 ( f `( (8114, rezultă că /d ( f `( f ``( (8117 K 1+ ( f `( f ``( 1+ şi [ ] 3/ de Pe de altă parte, din formula [ ] 1+ ( f `(, R f ``( Teorema 814 Fie (C o curbă plană, de clasă cel puţin într-o vecinătate a punctului său regulat şi neinfleionar ( ``( M(, aîn cazul reprezentării eplicite (811 a curbei 3/ 37
9 (C curbura şi respectiv raza de curbură în punctul M sunt date de relaţia (8117 b În cazul reprezentării implicite (81 a curbei (C, curbura este dată de formula ( `` F (8118 K - ( ` F F `F `F ``+ F ` ( F ` + ( F ` (8119 K - (8119 prin înlocuire directă Este bine-cunoscut următorul rezultat: Curbura unei curbe este identic nulă dacă şi numai dacă curba este o dreaptă (pentru detalii vezi [1] Rezultă următoarea interpretare: curbura unei curbe într-un punct măsoară abaterea curbei de la o linie dreaptă, anume abaterea de la dreapta tangentă la curbă în punctul respectiv VI Puncte multiple ale unei curbe plane Fie (C o curbă definită de ecuaţia F(, Punctul M(, (C se numeşte punct multiplu de ordinul n, dacă funcţia F(, împreună 38 F `` c În cazul reprezentării parametrice (813 curbura este g` ( h``( h`( g``( ( g`( + ( h`( Demonstraţie Deoarece cazul a a fost demonstrat, este suficient să arătăm b şi c b Teorema de derivare a funcţiilor implicite ne asigură că F` (, f`( `( Derivând încă o dată pe f`( în raport cu F` (, ( `` F obţinem f``( ( ` F F `F `F ``+ F ` ( F ` 3 F `` Înlocuind epresiile obţinute pentru f`( şi f``( în (8117 obţinem (8118 c Reamintim g' ( t g& că f`( Deci f``( h`( t h& gh &&& &&& gh Din (8117 rezultă ( h&
10 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu toate derivatele sale parţiale până la ordinul n-1 inclusiv se anulează în acest punct şi cel puţin o derivată parţială de ordinul n este diferită de zero în M(, Propoziţia 811 Fie (C o curbă definită de ecuaţia F(,, unde F este o funcţie de clasă C Într-un punct dublu, M(, (C, pantele tangentelor la cele două ramuri ale curbei sunt rădăcinile ecuaţiei în m (81 m F ``(, + m F ``(, + F ``(, Demonstraţie Dacă punctul M (, este un punct dublu al curbei (C, atunci F(,, F `(,, F `(, Panta tangentei în M F este m - ` (, lim Cum M (, (, F `(, este punct dublu, rezultă m - lim (, (, (, (, F ` (, F `(, Aplicând teorema lui l` Hospital, avem m - (, F `(, F ` F `` lim F `` + (, + F ``(, `( Deoarece derivatele mite sunt egale, iar (, F ``(, `( `( m, trecem la limită şi eliminând numitorii obţinem ec (81 În funcţie de natura rădăcinilor ecuaţiei (81 avem următoarele situaţii (vezi Fig 44: Definiţia 818 a Punctul dublu M (, este eliptic dacă not (F ``(, - F ``(, F ``(, < În acest caz cele două tangente sunt imaginare iar punctul M (, este un punct izolat b Punctul dublu M (, este hiperbolic dacă > Atunci ecuaţia (81 are două rădăcini reale şi distincte Acestea corespund celor două tangente 39
11 (distincte la curbă în punctul M Prin punct trec două ramuri ale curbei Punctul M se numeşte nod c Punctul dublu M (, este parabolic dacă De această dată ecuaţia (81 are două rădăcini reale egale Corespunzător, eistă două tangente la curbă în punctul M reale şi confundate Spunem că punctul M este punct de întoarcere 8 Curbe în spaţiu Fie {O, i, j, k } (notat Oz un reper cartezian ortonormat în spaţiul punctual euclidian E 3 Definiţia 81 Numim arc simplu de curbă în spaţiu, mulţimea (C a punctelor M(,, z E 3 care satisfac fie ecuaţiile (81 f (,, z g(,, (, (a, b (c, d, a, b, c, d R fie ecuaţii de tipul (8 F(,, z, G(,, z, (,, z (a 1, b 1 (a, b (a 3, b 3, a i, b i R, i 1,, 3, fie un sistem de forma (83 z z(t ( t ( t, t (t 1,t, t 1, t R, 4
12 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială unde f, g, F, G,,, z sunt funcţii reale de clasă cel puţin C 1 pe domeniile lor de definiţie, funcţiile F şi G satisfac teorema de eistenţă a funcţiilor implicite (p 58 [8] iar funcţiile (, ( şi z( stabilesc o corespondenţă bijectivă şi bicontinuă între punctele M (C şi mulţimea valorilor parametrului t (t 1, t Ecuaţia (81 poartă numele de reprezentare eplicită a arcului simplu de curbă (C, ecuaţia (8 este reprezentarea implicită a acestuia, iar sistemul (813 furnizează reprezentarea parametrică a lui (C Fie r vectorul de poziţie al punctului M (C Dacă funcţiile (, ( şi z( sunt cele din definiţia de mais sus, atunci ecuaţia (84 r (ti + (t j + z(t k, t 1 < t < t, t 1, t R se numeşte ecuaţia vectorială a arcului simplu de curbă (C D( F,G F` Introducem notaţia pentru determinantul funcţional D(,z G` mod asemănător se definesc şi determinanţii (, ( D F,G D z, ( ( D F,G D, Ca şi în cazul curbelor plane, avem următoarele condiţii de regularitate: (85 ( ( D F,G D,z D( F,G sau sau D( z, ( ( D F,G D, definite implicit prin ecuaţiile (8 şi (86 (`(t + (`(t + (z`(t - în cazul curbelor definite prin ecuaţiile parametrice (83 Astfel, un arc simplu de curbă în spaţiu (C se numeşte arc regulat de curbă dacă în reprezentările (8 sau (83, sunt îndeplinite condiţiile (85, respectiv (86 Un punct M, de pe un arc simplu de curbă (C, se numeşte regulat dacă îndeplineşte toate condiţiile de regularitate În caz contrar, se spune că punctul este singular 41 F` z G` z În - în cazul curbelor
13 I Dreapta tangentă şi planul normal la o curbă în spaţiu Fie (C o curbă definită parametric prin ecuaţiile (83 şi fie (84 ecuaţia sa vectorială Reamintim formula de calcul a lungimii arcului regulat de curbă AB t B (87 ( ` ( t + ( `(t ( z`(t l AB + dt ta Dreapta tangentă la curbă în punctul regulat M (,, z (C este poziţia limită a dreptelor M M 1 atunci când M 1 (C, M 1 M Se cunoaşte, (vezi cursul de analiză matematică sau [8] pentru detalii, că vectorul director al tangentei în punctul M este dr dt t t r ( t & (t i + & (t j + z& (t k, (t, (t, z(t z Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct arbitrar M(,, z de pe tangentă, atunci ecuaţia vectorială a tangentei este R r (t + λ ṙ (t Ecuaţiile dreptei tangente la (C în punctul M, sub formă de rapoarte, se obţin imediat şi sunt următoarele (88 & ( t ( t & ( t ( t z z& z( t ( t Dacă curba (C este dată ca intersecţie a două suprafeţe, adică se cunosc ecuaţiile implicite (8, atunci presupunem că (t; (t; z z (t este o parametrizare a curbei Prin derivare în raport cu t, F` ` obţinem: G` ` ( t + F` `( t + F` z`( t ( t + G` `( t + G` z`( t 4
14 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Pentru t t, matricea sistemului are rangul doi, deoarece punctul M este regulat Putem presupune că, spre eemplu, determinantul ( (, z D F,G D este nenul în punctul M Rezolvăm sistemul de mai sus prin regula lui Cramer şi, luând z`(t ca parametru, avem (89 & ( t ( ( z D F,G D, & ( t ( ( D F,G D z, tangentei în M la curba (C (81 ( t D( F,G D(, z z& ( t Aplicând (88, obţinem ecuaţiile ( ( D F,G D, ( t ( ( D F,G D z, z( t ( ( z D F,G D, Definiţia 8 Se numeşte plan normal (π N la curba (C într-un punct regulat M (,, z (C, planul perpendicular în M pe dreapta tangentă la curbă în punctul M Dacă R (respectiv r (t este vectorul de poziţie al unui punct arbitrar M(,, z situat în planul normal (π N (respectiv al punctului M (C, atunci ecuaţia vectorială a planului normal este < R - r (t, ṙ (t > De aici rezultă ecuaţia carteziană a planului normal: (811 ( (t `(t + ( (t `(t + (z z(t z`(t În cazul în care curba (C este dată prin ecuaţiile implicite (8, putem folosi formulele (89 pentru a rescrie ecuaţia (811 sub forma ( t ( t z z( t (81 F ` F ` F ` G ` G ` G z z `, unde toate derivatele parţiale F `, G ` etc se calculează în punctul (,, z 43
15 II Triedrul lui Frenet Fie (C o curbă de clasă cel puţin şi fie M un punct regulat al curbei Fie r vectorul de poziţie al unui punct oarecare M (C Presupunem că avem următoarea reprezentare vectorială a curbei (C r r (t, t I, I un interval din R şi că vectorul de poziţie al punctului M este r (t Aşa cum am arătat în paragraful precedent vectorul ṙ (t este vectorul director al tangentei în punctul M la curbă Punctul M se numeşte neinfleionar dacă r (t şi infleionar dacă r (t Dacă, în plus, vectorii ṙ (t şi r (t sunt necoliniari, adică r (t r (t, atunci punctul M se numeşte nestaţionar În caz contrar, el se numeşte punct staţionar al curbei (C Definiţia 83 Se numeşte plan osculator (π la curba (C într-un punct neinfleionar şi nestaţionar M (t (C, planul care trece prin M şi este paralel cu direcţiile vectorilor liberi ṙ (t şi r (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (π, atunci ecuaţia vectorială a planului osculator este R - r (t, ṙ (t r (t De aici rezultă ecuaţia carteziană a planului osculator: (813 & ( t & ( t z& ( t ( t ( t z( t z z 44
16 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Se observă că planul osculator (π conţine dreapta tangentă la curbă în punctul M şi este perpendicular pe planul normal, (π N, în M De asemenea este important de reţinut că, în punctele infleionare sau staţionare ale lui (C, nu putem ataşa plan osculator Din acest motiv, în cele ce urmează, vom lua în considerare numai punctele M (C, neinfleionare şi nestaţionare O altă observaţie importantă este aceea că planul osculator nu depinde de parametrizarea aleasă pe curba (C Intersecţia dintre planul normal (π N şi planul osculator (π la curba (C în punctul M este în mod evident o dreaptă Definiţia 84 Dreapta de intersecţie dintre planul normal (π N şi planul osculator (π se numeşte normala principală la curba (C în punctul M şi va fi notată (n p Ecuaţia normalei principale, ca dreaptă de intersecţie a celor două plane, este dată de sistemul format de ecuaţiile (81 şi (813 Pe de altă parte, se observă că vectorul director v N al normalei principale este perpendicular pe fiecare din normalele celor două plane Deci v N este coliniar cu vectorul ( ṙ (t r (t ṙ (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (n p, atunci ecuaţia vectorială a normalei principale este (814 R - r (t λ( ṙ (t r (t ṙ (t, λ R canonice Scriind această ecuaţie pe componente obţinem ecuaţiile carteziene (815 (n p : & z& z& & m n n l z z & & l 45 m, unde
17 (816 l & && z& && z, m z& && z & &&, n & && & && Definiţia 85 Dreapta perpendiculară pe planul osculator (π în M se numeşte dreaptă binormală (b N Observăm că am obţinut în M trei drepte perpendiculare două câte două, anume: dreapta tangentă la curba (C în M, normala principală şi dreapta binormală Este clar că dreapta binormală este conţinută în planul normal, iar vectorul ei director este de fapt normala la planul osculator, adică vectorul liber ṙ (t r (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (b N, atunci ecuaţia vectorială a binormalei este (817 R - r (t λ( ṙ (t r (t, λ R De aici deducem ecuaţiile carteziene generale ale binormalei (818 (b N : (816 l m z z n, unde l, m şi n sunt definiţi de Definiţia 86 Se numeşte plan rectificat (sau rectificator în M planul ce trece prin M principală în M şi este perpendicular pe normala Ecuaţia vectorială a planului rectificat este R - r (t, ( ṙ (t r (t ṙ (t, deoarece normala principală în M este de fapta normala la planul rectificat Ecuaţia carteziană a planului rectificat este z z (819 & ( t & ( t z& ( t l m n cu l, m şi n definiţi de (816 46
18 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Fie M(,, z un punct regulat neinfleionar şi nestaţionar al curbei (C ( (t, (t, z z(t În continuare vom dicuta unele proprietăţi ale tangentei, normalei principale şi binormalei la curba (C în punctul M În primul rând, observăm că versorul dreptei tangente este τ r r (t/ ( t dr, unde s semnifică lungimea arcului de curbă Derivând dτ dτ relaţia τ, τ 1 în raport cu s, obţinem τ, Deci τ şi sunt vectori ortogonali Deducem că dτ este o direcţie în planul normal Un dτ d r calcul simplu arată că d dr d dr dt dt d r dt dr d t + dt dt r dt d t + r Deoarece ṙ şi r sunt direcţii ce determină planul osculator, dτ rezultă că este o direcţie în planul osculator Fiind direcţie atât în planul osculator cât şi în cel normal, dτ este vectorul director al norm- dτ dτ alei principale Notăm cu ν versorul / şi îl vom numi versor normal principal Deoarece binormala este perpendiculară atât pe dreapta tangentă cât şi pe normala principală, alegem versorul β al binormalei astfel încât reperul {M, τ,ν, β } să fie drept orientat (adică τ ν β, ν β τ, β τ ν Atunci planul osculator este determinat de τ şi ν, planul normal (π N este determinat de ν şi β iar planul rectificat este determinat de τ şi β 47
19 Definiţia 87 a Triedrul format de vectorii liberi τ,ν şi β se numeşte triedrul lui Frenet dτ b Scalarul K se numeşte curbură a curbei (C în punctul regulat M (C Inversul curburii se numeşte rază de curbură R 1/K dν dβ În cele ce urmează vom calcula şi derivatele, Cum ν, ν dν 1, prin derivare rezultă că, ν sunt vectori ortogonali Analog se dβ arată că şi β sunt ortogonali Deoarece triedrul lui Frenet formează o dν dβ baza în V 3, avem a β + b τ şi a1 ν + b 1 τ Derivând relaţia τ, dτ dν ν obţinem, ν + τ, K + τ,a β + b τ K + b b -K Procedând asemănător, se derivează relaţia τ, β şi se obţine b 1 Derivăm şi relaţia ν, β şi deducem că a + a 1 Notând scalarul a 1 cu 1/T obţinem a - 1/T Valoarea 1/T se numeşte torsiunea curbei (C în punctul M, iar T se numeşte raza de torsiune Din cele de mai sus rezultă relaţia (8 dτ / dν / 1/ R dβ / 48 1/ R 1/ T cunoscută sub denumirea de formulele lui Frenet 83 Eerciţii τ 1/ T ν, β 1 (Cisoida lui Diocles Cercul (C de rază r şi centru A(r, care intersectează aa O a reperului cartezian O în punctele O şi B Fie D un
20 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială punct variabil pe tangenta în punctul B la cercul (C Notăm cu E intersecţia dreptei DO cu cercul (C a Să se determine locul geometric al punctelor P(, care satisfac condiţia P OD şi DP OE (Fig 46 b Să se determine punctele singulare ale cisoidei şi să se precizeze care este ordinul lor de multiplicitate R: Dacă (, sunt coordonatele lui P, atunci folosim notaţiile din Fig 46 şi avem OP cos t, OP sin t, OP OD - PD OD OE r/cos(t rcos (t r sin (t/cos(t Deci r sin (t, r sin 3 (t/cos(t Eliminând pe t, obţinem ecuaţia carteziană implicită F(,, unde F(, 3 + r b Deoarece F` 3 +, F` 4r se anulează simultan dacă şi numai dacă, rezultă că O(, este singurul punct singular al cisoidei El este un punct dublu deoarece F`` -4r pentru Punctul este parabolic (Foliului lui Descartes Se considera curba a cărei ecuaţie implicită este (Fig 47 a Să se determine toate punctele duble ale curbei precum şi pantele tangentelor în acestea b Să se determine curbura şi raza de curbură în punctele de pe curbă ce au abscisa egală cu 1 R: a Avem F` 3 -, F` 3, F`` 6, F`` -, F`` 6 Singurul punct de pe curbă în care se anulează derivatele parţiale de ordinul înâi este O(, Deoarece F`` -, rezultă că O(, este punct dublu Cantitatea, din Definiţia 818 este egală cu 4 în punctul (,, deci avem de a face cu un punct hiperbolic Rezolvând ecuaţia (81 rezultă că 49
21 pantele celor două tangente în punct sunt m 1 şi m Cele două tangente sunt aa O şi aa O b Se deduce uşor că punctele de pe foliul lui Descartes care au abscisa egală cu 1 sunt (1, 1, (1, 5 /-1/ şi (1, - 5 /-1/ Aplicând formula (8118 deducem că în cazul punctului (1, 1 curbura este K 8, R 1/8 În cazul punctului (1, 5 /-1/ obţinem K (59/ /1 615, R 1/K şi pentru punctul (1, - 5 /-1/ avem K -(59/ /1 169, R 1/K (Elicea cilindrică Fie curba (C : cos t, sint, z 3t, t R (Fig 48 a Să se determine triedrul Frenet al curbei într-un punct oarecare b Să se scrie ecuaţia planului rectificator R: Avem: & (t -sint, & (t cost, z& (t 3, & & (t - cost, & & (t - sint, & z& (t Versorul dreptei tangente este τ - / 13 sin(t i + / 13 cos(t j + 3/ 13 k Ecuaţia planului osculator este (vezi relaţia (813 cos sin cos ( t sin( t z ( t cos( t 3 ( t cos( t 3t 3 sin(t( cos(t - 3 cos(t( sin(t +(z 3t De aici deducem că un versor al binormalei este β 3/ 13 sin(t i - 3/ 13 cos(t j + / 13 k Atunci versorul normalei principale va fi ν β τ -13(cos(t i + sin(t j Ecuaţiile tangentei sunt principale sunt ( t ( t X cos 3sin X cos sin ( t ( t X cos cos Y sin 3cos Y ( t Z ( t cos(t + (Y - 3sin(t sin(t ( t ( t Y sin cos sin( t sin( t 5 ( t Z ( t 3 3t Ecuaţiile normalei, Y 3t Ecuaţiile binormalei sunt 3t Ecuaţia planului rectificator este (X - 3cos(t
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραGeometria diferenţială a curbelor în spaţiu
Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραa carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.
POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραOANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραb = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραDacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2
Capitolul 9 CONICE ŞI CUADRICE 9.1 Conice pe ecuaţii reduse 9.1.1 Cercul Definiţia 9.1 Fie un plan () şi un reper ortonormat R =(; ) Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραIntroducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar
Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber
Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραConice şi cercuri tangente
Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Διαβάστε περισσότερα