OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
|
|
- Θεόδουλος Καψής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune n: A n = Se considera hipercuadrica ana nevida (1.1) (Γ) H(X) := t XAX + BX + a 00 = 0, t A = A M n (R), A O n, B M 1,n (R), ( X, ) X, Φ. a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. Denition 1.1. Se numeste centru de simetrie al hipercuadricei ane Γ un punct C A cu proprietatea ca oricare ar un punct M Γ, rezulta ca simetricul lui M fata de C apartine tot hipercuadricei. Reamintim ca S C (M) = C M. Theorem 1.. Punctul C A este centru de simetrie pentru hipercuadrica ana (Γ) daca si numai daca matricea X a coordonatelor sale in raport cu R verica ecuatia matriceala (1.) AX + t B = O. Remark. Sistemul (1.) este echivalent cu (1.3) = 0, i 1, n. xi Observam ca multimea centrelor de simetrie ale unei hipercuadrice ane este un subspatiu an de ecuatie (1.), de dimensiune n rang(a). n Proof. Presupunem ca C este centru de simetrie pentru Γ si OC = i=1 xi 0ē i. Notam cu X 0 = ( ) t x 1 0 x n 0 matricea coloana a coordonatelor lui C in reperul R. Consideram o translatie de repere R R = {C; ē 1,, ē n }, X = X + X 0. Ecuatia matriceala a hipercuadricei in raport cu noul reper este t (X + X 0 ) A (X + X 0 ) + B (X + X 0 ) + a 00 = 0 (1.4) t X AX + (t X 0 A + B ) X + H(X 0 ) = 0. Fie M Γ ce are in raport cu R matricea coordonatelor X. Atunci, simetricul lui M fata de C are in raport cu R matricea coordonatelor X. Deoarece C este centru de simetrie rezulta ca atat X cat si X verica ecuatia matriceala a lui Γ: (1.5) t X AX (t X 0 A + B ) X + H(X 0 ) = 0. Scazand ecuatiile (1.4) si (1.5) obtinem ( t X 0 A + B) X = 0. Daca presupunem t X 0 A + B O ar rezulta ca ecuatia ( t X 0 A + B) X = 0 este ecuatia unui hiperplan H si ca orice punct al cuadricei Γ apartine acestui hiperplan, deci Γ H, contradictie cu denitia unei hipercuadrice. Deci t X 0 A + B = O AX + t B = O. 1
2 ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE Sistemul de ecuatii liniare (1.) are solutie unica daca si numai daca este un sistem de tip Cramer, deci daca si numai daca δ = det(a) 0. Conicele si cuadricele cu centru unic de simetrie sunt: elipsa hiperbola punct dublu drepte concurente elipsoid hiperboloid cu o panza hiperboloid cu doua panze con patratic punct dublu Daca δ = 0, sistemul (1.) este compatibil daca si numai daca rang(a) = rang (A t B). Daca δ = 0 si 0, atunci Γ nu are centru de simetrie. parabola Daca δ = = 0, atunci Γ are o innitate de centre de simetrie: paraboloidul eliptic paraboloidul hiperbolic cilindrul parabolic o dreapta de centre de simetrie: o pereche de drepte paralele o dreapta dubla o dreapta de centre de simetrie: dreapta dubla cilindrul eliptic cilindrul hiperbolic o pereche de plane secante un plan de centre de simetrie: o pereche de plane paralele plan dublu Exemple 1) Fie cuadrica (1.6) (Γ) x + 5y + z + xy + 6xz + yz x + 6y + z = 0. Am vazut in cursul precedent ca este un hiperboloid cu o panza. Coordonatele centrelor de simetrie sunt solutiile urmatorului sistem x = 0, x + y + 3z 1 = 0, y = 0, x + 5y + z + 3 = 0, z = 0, 3x + y + z + 1 = 0, sistem care are solutia unica C ( 1 3, 3, 3). ) Fie paraboloidul eliptic (1.7) (Γ) 4x + y + 3z + 4xz 4yz + 6x + 4y + 8z + = 0. Coordonatele centrelor de simetrie sunt solutiile urmatorului sistem: 4x + z + 3 = 0, y z + = 0, x y + 3z + 4 = 0. Acesta este incompatibil, deci paraboloidul eliptic nu are centru de simetrie. 3) In cazul cilindrului eliptic (1.8) (Γ) 4x + y + 3z + 4xz 4yz + 8x 4y + 8z = 0,
3 ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 3 sistemul coordonatelor centrelor de simetrie este compatibil nedeterminat: 4x + z + 3 = 0, y z + = 0, x y + 3z + 4 = 0. Dreapta centrelor de simetrie are ecuatiile parametrice x = 1 t, y = 1 + t, z = t.. Directii principale. Hiperplane de simetrie ale unei hipercuadrice intr-un spatiu afin euclidian Hiperplanul diametral conjugat unei directii in raport cu o hipercuadrica ana. Fie ū 0 un vector nenul xat si hipercuadrica (1.1). Theorem.1. Locul geometric al punctelor P din spatiul an A, cu proprietatea ca pentru orice punct M al dreptei δ = P + [ū], are loc H(M) = H(S P (M)), are ecuatia matriceala ( (.1) t XA + B ) U = 0, unde X este matricea coloana a coordonatelor lui P in raport cu reperul considerat si U este matricea coloana a coordonatelor lui ū in raport cu baza reperului. Remark. Daca AU = BU = 0, ecuatia anterioara determina intreg spatiul an. Daca AU = 0 si BU 0, obtinem multimea vida. Daca AU O ecuatia (.1) reprezinta un hiperplan si este echivalenta cu (.) unde ū = u 1 ē 1 + u ē + u n ē n 0. u1 x 1 + u x + + un x n = 0, Denition.. Hiperplanul de ecuatie ( t XA + B ) U = 0, AU O se numeste hiperplanul diametral conjugat directiei ū in raport cu hipercuadrica Γ. In cazul conicelor il numim simplu diametrul conjugat directiei ū in raport cu Γ, iar in cazul cuadricelor il numim planul diametral conjugat directiei ū in raport cu Γ. Denumirea poate explicata astfel. Pentru o hipercuadrica ce are cel putin un centru de simetrie, orice centru de simetrie apartine oricarui hiperplan diametral conjugat unei directii nenule in raport cu hipercuadrica. Acest lucru reiese din ecuatiile (1.3) si (.1). Proof. Revenim la demonstratia teoremei anterioare. Fie L g = {P A M P + [ū] H(M) = H (S P (M))}. Consideram ca P 0 L g si e X 0 matricea coordonatelor lui P 0 in raport cu reperul xat. Ecuatia matriceala a dreptei δ = P + [ū] este δ : X = X 0 + tu, t R. Daca M δ are matricea coordonatelor M rezulta ca M = P 0 M are matricea coordonatelor X = X 0 X. Deoarece M, M δ rezulta ca t R astfel incat X = X 0 tu. H(X) = t (X 0 + tu) A (X 0 + tu) + B (X 0 + tu) + a 00 H(X) = (t UAU ) t + t (t X 0 A + B ) U + H(a 00 ). H( X) = (t UAU ) t t (t X 0 A + B ) U + H(a 00 ). Dar P L g, deci rezulta ca H(X) = H( X) 4t ( t X 0 A + B) U = 0 t R ( t X 0 A + B) U = 0. Reciproc, daca matricea X 0 a coordonatelor lui P verica ecuatia ( t XA + B) U = 0, demonstrati ca pentru orice M(X) P + [ū], simetricul sau M( X) fata de P satisface relatia H(X) = H( X), deci P L g.
4 ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 4 Exemple 1) Pentru elipsa (Γ) 3x + xy + 3y + 6x y 5 = 0, diametrul conjugat directiei ū = ē 1 3ē in raport cu Γ are ecuatia 1 H x + 1 ( 3) H = 0 3x 7y + 9 = 0. y ) Pentru paraboloidul hiperbolic (Γ ) y z + 4xy 4xz 6x + 4y + z + 8 = 0 si ū = ē 1 ē + 3ē 3, planul diametral conjugat directiei ū in raport cu Γ are ecuatia x + ( ) y + 3 H z = 0 10x + 5z + 4 = 0. Directii principale. Pentru a putea ( deni directiile principale ale unei hipercuadrice, este necesar sa ne situam intr-un spatiu an euclidian E n = E, ( ) E, <, >), Φ. Denition.3. Vectorul nenul ū E se numeste directie principala pentru hipercuadrica Γ daca ū este perpendicular pe hiperplanul diametral conjugat directiei ū in raport cu Γ. Theorem.4. Daca ū 0 este directie principala pentru Γ atunci ū este vector propriu al lui A. Proof. Fie ū o directie principala pentru Γ si U matricea coloana a coordonatelor sale in raport cu baza reperului. Hiperplanul diametral conjugat lui ū fata de Γ are ecuatia matriceala t XAU + BU = 0, deci are vectorul normal avand matricea coordonatelor AU O. Dar ū este perpendicular pe acest hiperplan, rezulta ca ū este coliniar cu vectorul normal hiperplanului, adica λ R astfel incat AU = λu, adica ū este vector propriu al lui A corespunzator valorii proprii λ. Corollary.5. Orice hipercuadrica in E n are cel putin n directii principale ortogonale doua cate doua. Reamintim ca baza reperului in raport cu care o conica sau o cuadrica are ecuatia canonica e formata din directii principale. Proposition. Pentru o hipersfera, orice directie nenula este principala. Proof. Pentru o hipersfera, matricea A este de tipul A = (a ij ) i,j 1,n cu a ii = a 0, i 1, n si a ij = 0 i j. Rezulta ca (A ai n ) X = O, X, deci orice vector nenul este vector propriu al lui A corespunzator valorii proprii a. Hiperplane de simetrie pentru o hipercuadrica euclidiana. Denition.6. Se numeste hiperplan de simetrie pentru hipercuadrica Γ din spatiul an euclidian E n un hiperplan diametral conjugat unei directii principale. In cazul unei conice obtinem notiunea de axa de simetrie, iar pentru cuadrice cea de plan de simetrie. Din (.1) reiese urmatorul rezultat: Theorem.7. Fiecarei valori proprii nenule λ a matricei A ii corespunde un hiperplan de simetrie, de ecuatie (.3) t X(λU) + BU = 0.
5 ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 5 Denumirea anterioara este motivata de faptul ca se poate demonstra ca simetricul oricarui punct al unei hipercuadrice fata de hiperplanul diametral conjugat unei directii principale apartine tot hipercuadricei. Observam in plus ca intersectia a n 1 hiperplane de simetrie este o dreapta, pe care o vom numi axa de simetrie, deoarece simetricul oricarei punct al cuadricei fata de acea dreapta apartine tot cuadricei. Remark. Pentru λ = 0, hiperplanul de simetrie determinat de vectorul propriu corespunzator lui λ este nedeterminat. Mai exact, daca BU 0, ecuatia (.3) nu are solutii. De exemplu, putem vedea ca nu exista hiperplan diametral conjugat unui vector propriu corespunzator valorii proprii 0 in cazul unei parabole sau al unui paraboloid. Din acest motiv parabola (λ 1 = 0, λ 0) are o singura axa de simetrie, iar paraboloidul eliptic ori cel hiperbolic (λ 1 0, λ 0, λ 3 = 0) au ecare doar doua plane de simetrie. Daca BU = 0, atunci relatia (.3) este identic adevarata, deci orice hiperplan diametral conjugat vectorului propriu corespunzator este hiperplan de simetrie. De exemplu, in cazul unui cilindru eliptic sau hiperbolic, obtinem o innitate de hiperplane de simetrie asociate unui vector propriu corespunzator valorii proprii λ = 0. In cazul unei conice cu centru unic de simetrie C, acesta apartine celor doua axe de simetrie, deci putem determina in doua moduri axele de simetrie ale unei elipse sau hiperbole: e ca drepte prin C, avand ca directii directiile principale, e ca diametri conjugati directiilor principale. De exemplu, folosind notatiile din exemplele din cursurile precedente, axa Cx e dreapta prin C, de directie ī, sau este diametrul conjugat lui j in raport cu Γ. Am notat cu ī, j vectorii proprii ai lui A. Pentru o cuadrica cu centru unic de simetrie C, avem de asemenea mai multe posibilitati de determinare a axelor si planelor de simetrie. Axele de simetrie sunt drepte prin C, cu directiile date de directiile principale. Planele de simetrie sunt plane prin C, avand ca vectori normali cate o directie principala. Sau putem determina mai intai planele de simetrie, ca ind planele diametral conjugate unor directii principale, iar axele de simetrie sunt intersectia a doua plane de simetrie distincte. Pentru conicele si cuadricele care nu au centru unic de simetrie vom da cate un exemplu pentru a explica modul in care putem determina reperul canonic, fara a folosi metoda expusa in demonstratia teoremelor de clasicare a conicelor, respectiv cuadricelor. Exemple 1) Fie conica x + xy + y + 3x + y = 0, a carei ecuatie e data in raport cu reperul ortonormat R = {O; ī, j}. Deoarece δ = 0, = 1 0, rezulta ca este o parabola, de ecuatie canonica ỹ = ±p x, p = I 3 = 4. Semnul ± din ecuatia anterioara va xat dupa alegerea reperului canonic. Stim ca acesta are ca origine varful parabolei iar baza e formata din directiile principale ale matricei A. Valorile proprii ale lui A sunt λ 1 = 0 si λ =, iar directiile principale sunt ī = 1 (ī j) U(0) si j = 1 (ī + j) U(). Axa de simetrie a parabolei este diametrul conjugat directiei j : (V x) x + y + 1 = 0. Varful parabolei il obtinem intersectand axa de simetrie cu parabola: V (0, 1). Cealalta axa a reperului canonic, V ỹ, este tangenta in V la parabola (sau perpendiculara in V pe V x): x y+1 = 0. Reprezentati grac parabola! Cu aceasta alegere a reperului canonic, ecuatia canonica a parabolei este ỹ = x. Remark. Se poate demonstra ca in cazul in care a 11 0, atunci un vector propriu corespunzator valorii proprii nenule este vectorul j = a 11 ī + a 1 j, deci putem retine ca ecuatia axei de simetrie a parabolei este a 11 H x + a 1 H y = 0.
6 ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE 6 Daca a 11 = 0, δ = 0 a 1 = 0. Rezulta ca a 0. In acest caz consideram j = a 1 ī + a j vectorul propriu corespunzator valorii proprii nenule si axa de simetrie a parabolei este H a 1 x + a H y = 0. ) Ne propunem sa determinam reperul in raport cu care cuadrica urmatoare are ecuatia canonica. (Γ) y z + 4xy 4xz 6x + 4y + z + 8 = 0. Aceasta ecuatie e data in raport cu un reper ortonormat R = { O; ī, j, k }. Vom nota coordonatele punctelor in raport cu reperul canonic prin x, ỹ, z. Calculam invariantii ortogonali δ = 0, 0. Valorile proprii ale lui A sunt λ 1 = 3, λ = 3, λ 3 = 0. Deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic. Directiile principale sunt ī = 1 3 ( ī j + k) U(3), j = 1 3 ( ī + j k) U( 3), k = 1 3 (ī j k) U(0). Primelor doua directii principale le corespund doua plane de simetrie. Planul (ỹv z) este planul diametral conjugat lui ī : x + y z 1 = 0. Planul ( xv z) este planul diametral conjugat lui j : x y + z + = 0. x Intersectia acestor doua plane de simetrie ne va da axa de simetrie V z : 1 = y = z+1. Intersectand V z cu cuadrica obtinem varful paraboloidului: V ( 5 18, 10 18, 8 18 ). Planul ( xv z) este planul tangent cuadricei in V si il obtinem prin dedublare din ecuatia cuadricei: x + y + z + 9 = 0. Celelalte doua axe ale reperului canonic R c = { V ; ī, j, k } se determina ca drepte prin C, de directie respectiv ī, j, sau ca intersectia a cate doua plane ale reperului canonic, deja determinate Pentru a determina ecuatia canonica a cuadricei, stim ca A = si B = ( t S 0 A + B) S = ( ) , a 00 = H(S 0 ) = 0, unde S 0 e matricea coloana a coordonatelor lui V si S e matricea schimbarii de baze { ī, j, k } { ī, j, k }. Deci ecuatia canonica a paraboloidului hiperbolic este 3 x 3ỹ 6 z = 0 x ỹ = z. 3) Fie cuadrica x + y xy y z + 1 = 0. Determinam δ = 0, λ 1 = 0, λ =, λ 3 = 0, K 0, deci cuadrica este un cilindru parabolic. Consideran directia principala corespunzatoare lui λ, j = 1 (ī j). Planul diametral conjugat lui j este plan de simetrie pt cilindrul parabolic: ( xo z) : x y + 1 = 0. (Am notat cu O originea reperului canonic, inca nedeterminata). Intersectia dintre planul de simetrie si cilindru este axa reperului canonic (O z) x + 1 = y 1 1 = z Generatoarele cilindrului sunt paralele cu aceasta axa. Ca origine a reperului canonic putem alege orice punct de pe aceasta dreapta, de exemplu O ( 1, 0, 5 8 ). Planul ( xo ỹ) este planul perpendicular in O pe dreapta O z: x + y z = 0. Axa (O x) este intersectia planelor ( xo z) si ( xo ỹ), iar axa O ỹ se obtine ca ind normala in O la planul ( xo z). Astfel determinam (O x) x + 1 = y 1 1 = z 5 8, (O ỹ) x + 1 = y 1 1 = z In nal, planul (ỹo z) e planul prin O, avand ca normala dreapta O x: x + y + z 3 4 = ( Pentru a scrie ecuatia canonica a cilindrului parabolic, folosim A = 0 0, B = a 00 = H(S 0 ) = 0, deci ỹ = 3 x. ỹ = K 6 λ 3 x. ),
a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.
POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραDacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2
Capitolul 9 CONICE ŞI CUADRICE 9.1 Conice pe ecuaţii reduse 9.1.1 Cercul Definiţia 9.1 Fie un plan () şi un reper ortonormat R =(; ) Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραGeometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului
Geometrie analitică şi diferenţială asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului 014 Cuprins 1 Conice 3 1.1 Dreapta în plan............................
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 10 CONICE ŞI CUADRICE Conice pe ecuaţii reduse Elipsa
Capitolul 1 CONICE ŞI CUADRICE 1.1 Conice pe ecuaţii reduse 1.1.1 Elipsa Definiţia 1.1 Elipsa este locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea că suma distanţelor la două puncte fie, F şi F (numite
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραIntroducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar
Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραConice şi cercuri tangente
Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραX 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este:
CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 1. Recapitulare morfisme afine In acest curs dorim sa studiem izometriile unui spatiu an euclidian. Vom vedea ca acestea sunt morsme ane cu anumite proprietati
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan
CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.
Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραb = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Διαβάστε περισσότεραGeometria diferenţială a curbelor în spaţiu
Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότερα1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.
TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραGheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE
Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3
6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă
Διαβάστε περισσότεραGeometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber
Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα