Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului

Transcript

1 Geometrie analitică şi diferenţială asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului 014

2 Cuprins 1 Conice Dreapta în plan Conice pe ecuaţii reduse Cercul Elipsa Hiperbola Parabola Schimbări de repere carteziene Rotaţia Translaţia Reducerea conicelor la forma canonică Invarianţii unei conice Forma canonică a conicelor cu centru Forma canonică a conicelor fără centru Exerciţii Cuadrice 6.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse Sfera Elipsoidul Hiperboloidul cu o pânză Hiperboloidul cu două pânze Conul Paraboloidul eliptic Paraboloidul hiperbolic Cilindri Generatoare rectilinii Reducerea cuadricelor la forma canonică Exemple Generări de suprafeţe Suprafeţe cilindrice

3 .3. Suprafeţe conice Suprafeţe de rotaţie Exerciţii Geometria diferenţială a curbelor şi suprafeţelor Curbe plane Introducere Tangenta şi normala la o curbă plană Elementul de arc al unei curbe plane Curbura unei curbe plane Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane Curbe în spaţiu Reprezentări analitice. Puncte ordinare Triedrul Frenet Elementul de arc. Curbură şi torsiune Suprafeţe Generalităţi Plan tangent şi normală la o suprafaţă Prima formă fundamentală a unei suprafeţe Exerciţii

4 Capitolul 1 Conice 1.1 Dreapta în plan Fie {O, i, j } un reper cartezian ortogonal în plan. Ecuaţia canonică a dreptei determinată de punctul M 0 (x 0, y 0 ) şi de vectorul director v = l i + m j (cu l + m > 0) este sau echivalent x x 0 l = y y 0 m mx ly mx 0 + ly 0 = 0 Notând a = m, b = l şi c = mx 0 + ly 0, obţinem ecuaţia ax + by + c = 0 cu a +b > 0, ecuaţie care se numeşte ecuaţia generală a dreptei în plan. Dacă egalăm rapoartele din ecuaţia dreptei cu λ: x x 0 l = y y 0 m = λ se obţin ecuaţiile parametrice ale dreptei: x = x 0 + λl y = y 0 + λm De asemenea ecuaţia canonică a dreptei determinată de două puncte M 1 (x 1, y 1 ) şi M (x, y ) este: x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 3

5 ecuaţie care se poate rescrie Cazuri particulare x y 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0 ˆ Ecuaţia axei Ox: y = 0 ˆ Ecuaţia unei drepte paralele cu Ox: y = y 0 ˆ Ecuaţia axei Oy: x = 0 ˆ Ecuaţia unei drepte paralele cu Oy: x = x 0 ˆ Ecuaţia primei bisectoare: y = x ˆ Ecuaţia celei de-a doua bisectoare: y = x ˆ Ecuaţia dreptei prin tăieturi: Fie o dreaptă care nu trece prin origine şi nu este paralelă cu axele de coordonate şi fie A(a, 0), B(0, b) punctele de intersecţie ale dreptei cu axele de coordonate, cu a b 0. Obţinem: Fie o dreaptă d de ecuaţie x a 0 a = y 0 b 0 bx + ay ab = 0 x a + y b 1 = 0. ax + by + c = 0, a + b > 0 Atunci şi λax + λby + λc = 0, λ R este o ecuaţie a dreptei d, deci o dreaptă are o infinitate de ecuaţii. Două ecuaţii reprezintă aceeaşi dreaptă dacă şi numai dacă au coeficienţii proporţionali. Dacă dreapta d nu este paralelă cu Oy (deci b 0), ecuaţia dreptei se poate rescrie: y = a b x c b Notănd m = a b, n = c b obţinem y = mx + n care se numeşte ecuaţia explicită a dreptei d. Coeficientul m se numeşte panta dreptei, iar n este ordonata intersecţiei dreptei cu axa Oy. 4

6 Fie A(x A, y A ) şi B(x B, y B ) două puncte distincte pe dreapta d. Dreapta nefiind paralelă cu Oy, avem că x A x B. Punând condiţia ca cele două puncte să verifice ecuaţia dreptei obţinem Scăzând cele două ecuaţii obţinem y A = mx A + n şi y B = mx B + n. y B y A = m(x B x A ) m = y B y A x B x A = tg θ unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Ox şi semidreapta de pe dreapta d situată deasupra axei Ox. Avem: ˆ m > 0 θ unghi ascuţit ˆ m < 0 θ unghi obtuz ˆ m = 0 dreapta este paralelă cu Ox Observaţii 1. Dreapta d care are ecuaţia explicită y = mx + n trece prin punctele de coordonate (0, n) şi (1, m + n), deci ecuaţia canonică a dreptei este x 1 = y n m, aşadar un vector director al dreptei este v = 1 i + m j. O dreaptă este unic determinată de un punct M 0 (x 0, y 0 ) şi de panta m. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreaptă avem m = y y 0 x x 0 y y 0 = m(x x 0 ) 3. Două drepte d 1 şi d neparalele cu Oy având pantele m 1 şi m sunt paralele dacă şi numai dacă m 1 = m. 4. Două drepte d 1 şi d neparalele cu Oy având pantele m 1 şi m sunt perpendiculare dacă şi numai dacă m 1 m = Conice pe ecuaţii reduse Definiţia 1.1. Se numeşte conică o curbă plană definită în reperul cartezian ortonormat {O; i, j } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, unde a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0 (adică cel puţin unul dintre coeficienţii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordonatele euclidiene în reperul dat ale unui punct oarecare al conicei. 5

7 Conicele se mai numesc şi curbe de gradul al doilea. Exemple de conice: cercul, elipsa, hiperbola, parabola Cercul Definiţia 1.. Fie un punct fixat C(a, b) şi r > 0 un număr real fixat. Se numeşte cerc de centru C şi rază r este locul geometric al punctelor M(x, y) care satisfac egalitatea CM = r. (1.1) Avem CM = (x a) i + (y b) j, deci (1.1) se rescrie (x a) + (y b) = r sau echivalent (x a) + (y b) = r (1.) care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru C(a, b) şi rază r. Efectuând calculele în ecuaţia (1.) obţinem: x + y ax by + a + b r = 0. Notând m = a, n = b şi p = a + b r, ecuaţia se rescrie x + y + mx + ny + p = 0, care se numeşte ecuaţia generală a cercului. Ecuaţia (1.) este de asemenea echivalentă cu ecuaţiile x = a + r cos t y = b + r sin t, t [0, π) numite ecuaţiile parametrice ale cercului. 1.. Elipsa Definiţia 1.3. Fie F, F două puncte în plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea se numeşte elipsă. MF + MF = a 6

8 ˆ Punctele F, F se numesc focarele elipsei ˆ Dreapta F F se numeşte axă focală. ˆ Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală: F F = c < a ˆ distanţele MF şi MF se numesc raze focale Pentru a găsi ecuaţia elipsei alegem ca axă a absciselor axa focală F F, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului F F. Originea reperului este mijlocul segmentului F F, deci focarele au coordonatele F (c, 0) şi F ( c, 0). Din definiţia elipsei, punctul M(x, y) aparţine elipsei dacă şi numai dacă (x c) + y + (x + c) + y = a (x + c) + y = a (x c) + y x + cx + c + y = 4a 4a (x c) + y + x cx + c + y a (x c) + y = a cx a (x cx + c + y ) = a 4 a cx + c x (a c )x + a y = a (a c ) Notând b = a c, ecuaţia anterioară devine b x + a y = a b x a + y b = 1, ecuaţie care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a elipsei. Observaţii ˆ Dacă M(x, y) este un punct pe elipsă, atunci şi simetricul lui faţă de Ox, punctul de coordonate (x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci Ox este axă de simetrie a elipsei. ˆ Simetricul lui M faţă de Oy, punctul de coordonate ( x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci Oy este axă de simetrie a elipsei. ˆ Simetricul lui M faţă de O, punctul de coordonate ( x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei. ˆ Intersecţiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b), B (0, b) se numesc vârfurile elipsei. ˆ OA = a şi OB = b se numesc semiaxa mare şi respectiv semiaxa mică a elipsei. 7

9 ˆ Raportul e = c < 1 se numeşte excentricitatea elipsei. Avem: a e = c a = a b a = 1 ( b a ) b a = 1 e deci excentricitatea caracterizează forma elipsei. ˆ Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile x = a cos t y = b sin t, t [0, π) numite ecuaţiile parametrice ale elipsei. ˆ Ecuaţia tangentei la elipsă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe elipsă se obţine prin dedublare: 1..3 Hiperbola xx 0 a + yy 0 b 1 = 0. Definiţia 1.4. Fie F, F două puncte în plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea se numeşte hiperbolă. MF MF = a ˆ Punctele F, F se numesc focarele hiperbolei ˆ Dreapta F F se numeşte axă focală. ˆ Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală: F F = c > a ˆ distanţele MF şi MF se numesc raze focale Pentru a găsi ecuaţia carteziană implicită a hiperbolei alegem ca axă a absciselor axa focală F F, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului F F. Originea reperului este mijlocul segmentului F F, deci focarele au 8

10 coordonatele F (c, 0) şi F ( c, 0). Prin definiţie, punctul M(x, y) aparţine hiperbolei dacă şi numai dacă (x + c) + y (x c) + y = ±a (x + c) + y = (x c) + y ± a x + cx + c + y = x cx + c + y ± 4a (x c) + y + 4a Observaţii ±a (x c) + y = cx a a (x cx + c + y ) = a 4 a cx + c x (c a )x a y = a (c a ) b x a y = a b x a y b = 1. ˆ Axele Ox şi Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei; ˆ Intersecţiile hiperbolei cu axa Ox, punctele A(a, 0), A ( a, 0), se numesc vârfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeşte axa transversă a hiperbolei; ˆ Dreptele de ecuaţii y = ± b x sunt asimptotele hiperbolei şi se obţin ca a asimptote oblice ale funcţiilor f 1 (x) = b a x a şi f (x) = b a x a ; ˆ Dacă a = b, hiperbola are ecuaţia x y = a şi se numeşte hiperbolă echilateră, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x şi y = x; ˆ O ecuaţie de forma xy = ±a reprezintă tot o hiperbolă echilateră, având ca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoarele axelor. ˆ Raportul e = c a < 1 se numeşte excentricitatea hiperbolei. Avem: e = c a = a + b a = 1 + ( b a ) b a = e 1 deci excentricitatea caracterizează forma hiperbolei. 9

11 ˆ Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile x = a ch t y = b sh t, t R numite ecuaţiile parametrice ale hiperbolei. ˆ Ecuaţia tangentei la hiperbolă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe hiperbolă se obţine prin dedublare: 1..4 Parabola xx 0 a yy 0 b 1 = 0. Definiţia 1.5. Fie o dreaptă fixă d în plan şi un punct fix F d. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea că distanţa la punctul F este egală cu distanţa la dreapta d se numeşte parabolă. ˆ Punctul F se numeşte focar; ˆ Dreapta d se numeşte dreaptă directoare; ˆ Distanţa de la focar la dreapta directoare se numeşte parametrul parabolei şi se notează cu p. Pentru a găsi ecuaţia parabolei alegem ca axă a absciselor perpendiculara dusă prin F la d, care intersectează dreapta d în punctul A şi are sensul pozitiv de la directoare către focar, iar axa ordonatelor este mediatoarea segmentului AF. Focarul F are coordonatele ( p, 0), iar prin definiţie un punct oarecare M(x, y) se află pe parabolă dacă şi numai dacă MF = MB unde B este proiecţia lui M pe dreapta d şi are coordonatele ( p, y). Obţinem: (x p ) + y = x + p x px + p 4 + y = x + px + p 4 de unde se obţine ecuaţia carteziană implicită a parabolei: y = px Axa Ox se numeşte axa parabolei (sau axa transversă a parabolei) şi este axă de simetrie pentru parabolă, iar punctul O(0, 0) se numeşte vârful parabolei. Observaţii 10

12 ˆ Ecuaţia carteziană a parabolei este echivalentă cu ecuaţiile x = t p y = t, t R numite ecuaţiile parametrice ale parabolei; ˆ Ecuaţia tangentei la parabolă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe parabolă se obţine prin dedublare: yy 0 = p(x + x 0 ); ˆ Ecuaţia y = px, p > 0 reprezintă tot o parabolă cu axa transversă Ox, vârful în origine, dar situată în semiplanul din stânga axei Oy; ˆ Ecuaţiile x = py şi x = py, cu p > 0 reprezintă parabole având axa transversă Oy şi vârful în origine. 1.3 Schimbări de repere carteziene Rotaţia Fie {O; i, j } un reper cartezian ortonormat obţinut prin rotirea reperului {O; i, j } cu un unghi θ [0, π). Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare M din plan în reperul iniţial şi cu (x, y ) coordonatele aceluiaşi punct în reperul rotit. Avem: OM = x i + y j = x i + y j Înmulţind scalar această egalitate cu i, respectiv j, obţinem: x i i + y j i = x i i + y j i x i j + y j j = x i j + y j j Avem i i = j j = 1 şi i j = j i = 0, deci x = x i i + y j i y = x i j + y j j (1.3) Avem i i = cos θ, j i = cos (θ + π ) = sin θ i j = cos ( π θ) = sin θ, j j = cos θ 11

13 şi înlocuind în (1.3) găsim sau echivalent ( x y x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x y ). Matricea C = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) este o matrice ortogonală (C 1 = C T ), deci rotaţia în plan de unghi θ este o transformare ortogonală Translaţia Fie reperul {O; i, j }, un punct A(x 0, y 0 ) şi considerăm reperul cartezian ortonormat {A; i, j }. Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare M din plan în reperul iniţial şi cu (x, y ) coordonatele aceluiaşi punct în reperul nou. Avem: OM = OA + AM x i + y j = x 0 i + y0 j + x i + y j de unde obţinem x = x 0 + x. y = y 0 + y Prin compunerea unei translaţii cu o rotaţie se obţine rototranslaţia de ecuaţii x = x 0 + X cos θ Y sin θ, y = y 0 + X sin θ + Y cos θ unde (X, Y ) sunt coordonatele punctului M în {A; i, j }. 1.4 Reducerea conicelor la forma canonică Fie o conică de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0. Prin schimbarea reperului, se schimbă şi coordonatele punctelor de pe conică, deci se schimbă şi ecuaţia pe care o verifică acestea. Vom căuta reperul în care ecuaţia conicei are o formă particulară (de elipsă, hiperbolă sau parabolă), numită formă canonică. 1

14 1.4.1 Invarianţii unei conice Definiţia 1.6. Fie o conică de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (1.4) f(x,y) cu a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0. Numerele reale I = a 11 + a, δ = a 11 a 1 a 1 a, = se numesc invarianţii conicei. a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 Teorema 1.1. Invarianţii I, δ, nu se schimbă la translaţii sau rotaţii. Demonstraţie: x = x 0 + x Înlocuind ecuaţiile translaţiei y = y 0 + y în (1.4) obţinem a 11 x + a 1 x y + a y + a 13x + a 3y + a 33 = 0, (1.5) a 13 = a 11x 0 + a 1 y 0 + a 13 unde a 3 = a 1x 0 + a y 0 + a 3, deci coeficienţii termenilor de grad nu se a 33 = f(x 0, y 0 ) modifică, aşadar I şi δ rămân neschimbaţi. Efectuând operaţii pe coloane în avem: = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 C 3 x 0 C 1 = C 3 y 0 C Efectuând operaţii pe linii în avem : a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 Fie acum o rotaţie de unghi θ. Avem: L 3 x 0 L 1 = L 3 y 0 L a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 =. x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ ( x y ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x y ) X = CX, 13

15 unde C = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ), X = ( x y ), X = ( x y ). Introducem de asemenea notaţiile A = ( a 11 a 1 a 1 a ), B = ( a 13 a 3 ). Ecuaţia conicei se rescrie matriceal X T AX + BX + a 33 = 0. Înlocuind ecuaţiile rotaţiei X = CX în ecuaţia matriceală anterioară obţinem X T (C T AC)X + B(CX ) + a 33 = 0 Matricea C fiind ortogonală, A şi C T AC au acelaşi polinom caracteristic, iar coeficienţii acestuia fiind chiar I şi δ, deducem că aceştia nu se schimbă la efectuarea unei rotaţii. Introducem notaţiile Ā = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33, C = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ , Ā = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 Considerăm forma pătratică având matricea Ā în baza canonică din R3. Atunci Ā este matricea aceleiaşi forme pătratice în baza dată de matricea C, deci avem = det Ā = det( C T Ā C) = det C T det Ā det C = det Ā = Forma canonică a conicelor cu centru Fie conica de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (1.6) f(x,y) cu a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0. Căutăm o translaţie de ecuaţii x = x 0 + x astfel încât în noile coordonate ecuaţia conicei y = y 0 + y a 11 x + a 1 x y + a y + a 13x + a 3y + a 33 = 0, (1.7) a 13 să nu conţină termeni de grad 1, adică = a 11x 0 + a 1 y 0 + a 13 = 0 a 3 = a. 1x 0 + a y 0 + a 3 = 0 Caz 1. Dacă δ 0, sistemul anterior are soluţie unică, iar în reperul translatat cu centrul în O (x 0, y 0 ) ecuaţia conicei este a 11 x + a 1 x y + a y + f(x 0, y 0 ) = 0, (1.8) 14

16 Dacă punctul de coordonate (x, y ) verifică (1.8), atunci şi punctul de coordonate ( x, y ) verifică (1.8), deci O este centru de simetrie pentru conică, iar coordonatele lui sunt: a 13 a 1 a 3 a x 0 =, y 0 = δ Termenul liber f(x 0, y 0 ) din (1.8) se rescrie astfel: a 11 a 13 a 1 a 3 δ (1.9) f(x 0, y 0 ) = a 11 x 0 + a 1 x 0 y 0 + a y0 + a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 = (a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 )x 0 + (a 1 x 0 + a y 0 + a 3 )y 0 + +a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 = a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 a 11 a 1 a 13 Avem = a 1 a a 3 = a 13 x 0 δ + a 3 y 0 δ + a 33 δ = δf(x 0, y 0 ) a 13 a 3 a 33 Ecuaţia (1.8) devine a 11 x + a 1 x y + a y + δ = 0, (1.10) Dacă a 1 = 0, atunci (1.10) este formă canonică. Dacă a 1 0, considerăm forma pătratică Φ R R, Φ(x, y ) = a 11 x + a 1 x y + a y, având matricea A = ( a 11 a 1 ) în baza canonică. Există o bază ortonormată formată din vectori proprii ai lui A în care Φ are forma canonică a 1 a λ 1 X + λ Y, unde λ 1 şi λ sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinile ecuaţiei caracteristice: a 11 λ a 1 a 1 a λ = 0 λ Iλ + δ = 0. În noile coordonate ecuaţia conicei (1.10) devine λ 1 X + λ Y + δ = 0, (1.11) deci are formă canonică. Putem presupune că baza { v 1, v } în care avem forma canonică se obţine din baza { i, j } printr-o rotaţie de unghi θ 15

17 v (0, π), aşadar 1 = cos θ i + sin θ j v = sin θ i + cos θ j corespunzători matricei A obţinem:. Cum v 1 şi v sunt vectori proprii ( a 11 a 1 ) ( cos θ a 1 a sin θ ) = λ 1 ( cos θ sin θ ) λ 1 cos θ = a 11 cos θ + a 1 sin θ ( a 11 a 1 ) ( sin θ a 1 a cos θ ) = λ ( sin θ cos θ ) λ sin θ = a 11 sin θ + a 1 cos θ Înmulţind prima relaţie cu sin θ, pe a doua cu cos θ şi sumându-le obţinem (λ 1 λ ) sin θ cos θ = a 1 Cum a 1 0 şi θ (0, π ), deducem că λ 1 λ şi λ 1 λ are acelaşi semn cu a 1. Din cele două formule anterioare se poate obţine unghiul θ: λ 1 cos θ = a 11 cos θ + a 1 sin θ tg θ = λ 1 a 11 a 1 λ sin θ = a 11 sin θ + a 1 cos θ tg θ = a 11 λ Legătura între coordonatele iniţiale x, y şi coordonatele X, Y în care avem forma canonică sunt: a 1 x = x 0 + X cos θ Y sin θ y = y 0 + X sin θ + Y cos θ. Coeficienţii formei canonice λ 1 X + λ Y + δ = 0 fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice λ Iλ + δ = 0, distingem următoarele cazuri: 1. δ > 0, I > 0, < 0 λ 1 > 0, λ > 0, δ < 0 elipsă. δ > 0, I > 0, = 0 λ 1 > 0, λ > 0, δ = 0 un punct 3. δ > 0, I > 0, > 0 λ 1 > 0, λ > 0, δ > 0 4. δ > 0, I < 0, < 0 λ 1 < 0, λ < 0, δ < 0 5. δ > 0, I < 0, = 0 λ 1 < 0, λ < 0, δ = 0 un punct 6. δ > 0, I < 0, > 0 λ 1 < 0, λ < 0, δ > 0 elipsă 7. δ < 0, 0 hiperbolă 16

18 8. δ < 0, = 0 două drepte concurente Dacă 0 conica se numeşte nedegenerată, iar dacă = 0 conica se numeşte degenerată. Caz. Dacă δ = 0 şi rang( a 11 a 1 a 13 a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 = 0 ) = 1, sistemul a 1 a a 3 a 1 x 0 + a y 0 + a 3 = 0 are o infinitate de soluţii, deci conica are o infinitate de centre. Dacă (x 0, y 0 ) este o soluţie a sistemului anterior, atunci în reperul translatat cu centrul în O (x 0, y 0 ) ecuaţia conicei este a 11 x + a 1 x y + a y + f(x 0, y 0 ) = 0, (1.1) unde f(x 0, y 0 ) = a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33. Distingem cazurile: 1. Dacă a 1 = 0, cum a 11 a = a 1 a 11 = 0 sau a = 0, deci conica degenerează în două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă.. Dacă a 1 0, cum a 11 a = a 1 a 11 şi a au acelaşi semn. Înmulţind eventual ecuaţia (1.1) cu 1, putem presupune că a 11 > 0 şi a > 0, iar (1.1) devine ( a 11 x ± a y ) ± f(x 0, y 0 ) = 0 deci conica degenerează în două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă Forma canonică a conicelor fără centru Fie din nou conica de ecuaţie a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (1.13) f(x,y) cu a ij R, i, j {1,, 3}, a 11 + a 1 + a > 0. Caz 3. Dacă δ = 0 şi rang( a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 ) =, sistemul a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 = 0 a 1 x 0 + a y 0 + a 3 = 0 este incompatibil, deci nu există o translaţie în urma căreia să dispară termenii de grad 1 din ecuaţie, altfel spus conica nu are centru de simetrie. Dacă a 1 0, considerăm forma pătratică Φ R R, Φ(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y, 17

19 având matricea A = ( a 11 a 1 ) în baza canonică. Există o bază ortonormată formată din vectori proprii ai lui A în care Φ are forma canonică a 1 a λ 1 x + λ y, unde λ 1 şi λ sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinile ecuaţiei caracteristice: a 11 λ a 1 a 1 a λ = 0 λ Iλ + δ = 0 Cum δ = 0 λ 1 λ = 0. Presupunem λ 1 = 0, λ = I 0 (dacă ambele valori proprii ar fi nule, ar rezulta a 11 = a 1 = a = 0). În noile coordonate x, y ecuaţia conicei devine Iy + a 13x + a 3y + a 33 = 0 (1.14) Putem presupune că baza { v 1, v } în care avem forma canonică se obţine din baza { i, j } printr-o rotaţie de unghi θ (0, π ), aşadar v 1 = cos θ i + sin θ j v = sin θ i + cos θ j x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ Cum v 1 este vector propriu corespunzător valorii proprii 0 obţinem: ( a 11 a 1 ) ( cos θ a 1 a sin θ ) = ( 0 0 ) a 11 cos θ + a 1 sin θ = 0 tg θ = a 11 a 1 a 13 Prin calcul se obţine de asemenea = a 13 cos θ + a 3 sin θ a 3 = a 13 sin θ + a 3 cos θ Dacă a 13 = 0 a 13 = tg θ = a 11 rang ( a 11 a 1 a 13 ) = 1, deci a a 3 a 1 a 1 a a în Iy + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0. Grupând corespunzător termenii în ecuaţia anterioară obţinem I (y + a 3 I ) + a 13 (x + c ) = 0 a 3 unde c = a 33 a 3 I. Efectuând translaţia X = x + c a 3 Y = y + a 3 I ecuaţia conicei devine IY + a 13X = 0 18

20 Cum este invariant la rotaţii şi translaţii, avem = deci găsim forma canonică 0 0 a 13 0 I 0 a Y = ±px, unde p = = a 13I a 13 = I I 3. Semnul ± în ecuaţia anterioară se alege în funcţie de poziţia parabolei faţă de axele de coordonate ale reperului iniţial, intersectând parabola cu aceste axe. Ecuaţia axei de simetrie a parabolei este a 11 (a 11 x + a 1 y + a 13 ) + a 1 (a 1 x + a y + a 3 ) = 0 iar coordonatele vârfului parabolei se obţin intersectând parabola cu axa de simetrie, deci rezolvând sistemul format din ecuaţia anterioară şi ecuaţia iniţială a conicei. Dacă a 1 = 0, din δ = 0 a 11 = 0 sau a = 0. Pentru a 11 = 0, ecuaţia conicei devine a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0 a 13 = 0 conică degenerată. a 13 0 parabolă (făcând o translaţie ca mai sus). Exemplu: Fie conica de ecuaţie x 4xy + 4y 6x + y + 1 = 0. ˆ coeficienţii a 11 = 1, a = 4, a 1 =, a 13 = 3, a 3 = 1, a 33 = 1; ˆ invarianţii I = 5, δ = 4 = 0, = deci conica este o parabolă nedegenerată ˆ p = I = 1 forma canonică Y = ± X = 5 ˆ axa de simetrie: a 11 (a 11 x + a 1 y + a 13 ) + a 1 (a 1 x + a y + a 3 ) = 0 x y 1 = 0 x ˆ vârful 4xy + 4y 6x + y + 1 = 0 x y 1 = 0 V ( 1 5, 5 ) 19

21 ˆ intersecţia parabolei cu axa Ox: x 4xy + 4y 6x + y + 1 = 0 y = 0 x 1, = 6 ± 3 parabola 4 3 y x Concluzii: În funcţie de semnul invarianţilor distingem cazurile: δ Forma canonică Tip X 0 a + Y > 0 b 1 = 0 elipsă X a + Y b + 1 = 0 X = 0 a + Y b = 0 punct X 0 < 0 a Y b 1 = 0 hiperbolă X = 0 a Y = 0 două drepte concurente b 0 Y px = 0 parabolă Y = 0 a = 0 două drepte paralele = 0 Y = 0 două drepte confundate Y + a = 0 0

22 1.5 Exerciţii 1. Să se scrie ecuaţiile cercurilor determinate de: (a) centrul în C(, 3) şi raza r = 7 (b) centrul în C(1, 1) şi o tangetă la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0 (c) extremităţile unui diametru sunt A(3, ) şi B( 1, 6) (d) trece prin punctele M 1 ( 1, 5), M (, ), M 3 (5, 5) (e) trece prin origine şi are centrul C(, 0). Să se determine centrul şi raza următoarelor cercuri; să se scrie ecuaţiile parametrice şi să se reprezinte grafic: (a) x + y 6x 4y + 9 = 0 (b) x + y 4x + y 4 = 0 (c) x + y x = 0 (d) x + y y = 0 (e) x + y 4x + 3 = 0 (f) x + y x y = 0 3. Să se determine intersecţia cercului cu dreapta: (a) (C) x + y y = 0, (d) x + y = 1 (b) (C) x + y x = 0, (d) x = y 4. Să se scrie ecuaţiile elipselor date prin elementele: (a) F ( 1, 0), F (1, 0) şi semiaxa mare 5 (b) axa mare 10 şi distanţa dintre focare 8 (c) axa mică 16 şi F (3, 0) (d) semiaxele 4 şi (e) distanţa dintre focare 6 şi semiaxa mare 5 (f) semiaxa mare 5 şi excentricitatea 0, 6 5. Să se determine semiaxele, focarele şi excentricitatea elipselor, şi să se scrie ecuaţiile lor parametrice: (a) x 9 + y 4 1 = 0 1

23 (b) 9x + 5y = 5 (c) 3x + 4y = 1 (d) x + y 6 = 0 (e) 5x + 169y = 5 6. Să se afle punctele de intersecţie ale elipsei cu dreapta: (a) x 4 + y 1 = 0, x + y 3 = 0 (b) 5x + 8y 77 = 0, x + y 7 = 0 7. Să se scrie ecuaţia tangentei la elipsa x +y 6 = 0 în punctul M(, 3) de pe elipsă 8. Să se scrie ecuaţiile hiperbolelor având focarele pe axa Ox şi cunoscând următoarele elemente: (a) semiaxele sunt 4 şi 3 (b) distanţa dintre vârfuri 6 iar distanţa între focare 10 (c) semiaxa transversă este 1 şi e = 5 4 (d) F (0, 10), F (0, 10) şi distanţa între vârfuri 8 9. Să se afle semiaxele, focarele, excentricitatea şi asimptotele hiperbolelor (a) 16x 5y = 400 (b) x 9 y 16 = 1 (c) x 5y 10 = Să se reprezinte hiperbolele şi asimptotele lor: (a) x y = 1 (b) x 4y 4 = 0 (c) 4y 9x 36 = 0 (d) xy = ; xy = (e) x 5 y 49 1 = Să se scrie ecuaţia tangentei la hiperbola în punctul M 0 (5, 4) x 5 y 4 = 1

24 1. Să se scrie ecuaţiile tangentelor duse din M 0 (, 1) la hiperbola şi să se afle punctele de contact. x 4y 1 = Să se scrie ecuaţia unei parabole cu vârful în originea reperului ştiind că: (a) focarul este F (1, 0) (b) focarul este F (0, ) (c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0, 5, situată în semiplanul stâng (d) axa de simetrie este Oy, p = 3 şi situată în semiplanul inferior 14. Să se determine focarul, axa de simetrie, şi să se reprezinte grafic parabolele: (a) y = x (b) y = 4x (c) x = 5y (d) x = y 15. Să se scrie ecuaţia tangentei şi ecuaţia normalei la parabola y = 3x în punctul de abscisă x = Să se recunoască şi să se reprezinte grafic curbele: (a) 4x 5y = 0 (b) x + y 9 = 0 (c) y x = 0 (d) x + y x = 0 (e) x + y 4 = 0 x = cos t (f), t [0, π] y = sin t (g) y + x = 0 (h) 16x 9y = 0 (i) x + y 1 = 0 x = 1 + cos t (j), t [0, π] y = sin t (k) y + 4x = 0 x = 3 cos t (l), t [0, π] y = sin t 3

25 17. Să se reprezinte domeniile din plan mărginite de curbele: y a) = x x = y y = x b) y = 1 y = x c) y = x x = 18. Să se reprezinte domeniile din plan determinate de: x + y y a) y x x 0 x + y 4 b) x + y 4 1 x 0 x c) + y 4 x + y x x + y x y d) x y y Să se aducă la forma canonică şi să se reprezinte grafic conicele: (a) 5x + 8xy + 5y 18x 18y + 9 = 0 R: X 1 + Y 9 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (b) 5x + 6xy + 5y 16x 16y 16 = 0 R: X 4 + Y 16 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (c) x xy + y 5x + y = 0 R: X 18 + Y 6 1 = 0, C(3, 1), α = π 4. (d) 3x xy + 3y 4x 4y 36 = 0 R: X 0 + Y 10 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (e) 5x 8xy + 5y 1x + 6y = 0 R: X 9 + Y 1 1 = 0, C(, 1), α = π 4. (f) x xy + y 5x + y = 0 R: X 18 + Y 6 1 = 0, C(3, 1), α = π 4. (g) 3x + 10xy + 3y x 14y 13 = 0 R: X 1 Y 4 1 = 0, C(, 1), α = π 4. (h) x 8xy + 7y + 6x 6y + 9 = 0 R: X 9 Y 1 1 = 0, C(1, 1), α = arctg 1. (i) 3xy + 6x y 8 = 0 R: X 4 Y 4 1 = 0, C( 1 3, ), α = π 4. (j) 6xy + 8y 1x 6y + 11 = 0 R: X 1 Y 9 (k) 5x + 1xy x 1y 19 = 0 1 = 0, C( 1, ), α = arctg 3. R: X 4 Y 9 1 = 0, C(1, 1), α = arctg 3. 4

26 (l) 5x 6xy + 5y + x 14y + 1 = 0 R: X 4 + Y + 1 = 0 (m) 5x xy + 5y + 1x 1y + 1 = 0 R: X + 3Y = 0, C( 1, 1) (n) x + 3xy + y x 1 = 0 R: y = x + 1, y = x 1. (o) 3x 7xy + y 4x + 3y + 1 = 0 R: x y 1 = 0, 3x y 1 = 0 (p) x xy + y 10x 6y + 5 = 0 R: = 64, Y = 4 X, x y 1 = 0, V (, 1). (q) x + 4xy + 4y + x y 1 = 0 R: = 5 4, Y = 1 5 X, x + y = 0, V ( 5, 1 5 ). (r) x 4xy + 4y 4x y + 10 = 0 R: = 5, Y = 5 X, x y = 0, V (, 1). (s) x 4xy + 4y 6x 38y + 5 = 0 R: = 05, Y = 18 5 X, x y + 5 = 0, V ( 1, ). (t) 4x 4xy + y 8x 8y + 4 = 0 R: = 144, Y = X, 10x 5y 4 = 0, V ( 5 50, 3 ). 5 (u) x + 4xy + 4y + x + y = 0 R: x + y = 1, x + y =. (v) x 4xy + 4y + 10x 0y + 5 = 0 R: x y + 5 = 0. (w) x 4xy + 4y + 3x 6y + = 0 R: x y + 1 = 0, x y + = 0. 5

27 Capitolul Cuadrice Definiţia.1. Se numeşte cuadrică o suprafaţă în spaţiu definită în reperul cartezian ortonormat {O; i, j, k } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma a 11 x + a y + a 33 z + a 1 xy + a 13 xz + a 3 yz + a 14 x + a 4 y + a 34 z + a 44 = 0, unde a ij R, i, j {1,, 3, 4}, j i, iar coeficienţii termenilor de gradul al doilea a 11, a, a 33, a 1, a 13, a 3 nu sunt toţi nuli. Aşadar o cuadrică este o mulţime de puncte în spaţiu ale căror coordonate (x, y, z) verifică o ecuaţie de gradul al doilea de forma celei de mai sus. ˆ cuadricele se mai numesc şi suprafeţe algebrice de ordinul al doilea ˆ exemple de cuadrice: sferă, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse.1.1 Sfera Definiţia.. Fie un punct fixat C(a, b, c) şi R > 0 un număr real fixat. Sfera de centru C şi rază R este locul geometric al punctelor M(x, y, z) care satisfac egalitatea CM = R. (.1) Avem CM = (x a) i + (y b) j + (z c) k, deci (.1) se rescrie (x a) + (y b) + (z c) = R 6

28 sau echivalent (x a) + (y b) + (z c) = R (.) care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a sferei de centru C(a, b, c) şi rază R. Efectuând calculele în ecuaţia (.) obţinem: x + y + z ax by cz + d = 0, (.3) unde d = a +b +c R. Se pune problema dacă orice ecuaţie de forma (.3) reprezintă ecuaţia unei sfere. Cum (.3) este echivalentă cu distingem următoarele cazuri: (x a) + (y b) + (z c) = a + b + c d, 1. dacă a + b + c d > 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (.3) reprezintă sfera cu centrul C(a, b, c) şi rază R = a + b + c d;. dacă a + b + c d = 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (.3) se reduce la punctul de coordonate (a, b, c); 3. dacă a + b + c d < 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (.3) este mulţimea vidă. Ecuaţia (.3) în care a + b + c d > 0 se numeşte ecuaţia generală a sferei. Fie M(x, y, z) un punct din spaţiu şi M (x, y, 0) proiecţia lui M pe planul xoy. Introducem notaţiile: ˆ ρ = OM - distanţa de la M la origine ˆ θ [0, π] - unghiul dintre Oz şi OM ˆ ϕ [0, π) - unghiul dintre Ox şi OM Numerele reale ρ, θ, ϕ se numesc coordonatele sferice ale lui M. Relaţiile de legătură între coordonatele carteziene şi coordonatele sferice ale punctului M sunt: x = ρ sin θ cos ϕ y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos θ, ρ 0, θ [0, π], ϕ [0, π). 7

29 Considerând coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonate cu centrul în C(a, b, c) şi axele paralele cu cele iniţiale, obţinem ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în C şi rază R: x = a + R sin θ cos ϕ y = b + R sin θ sin ϕ z = c + R cos θ, θ [0, π], ϕ [0, π). Considerăm un plan (p) şi notăm cu d distanţa de la C la acest plan. Avem următoarele situaţii posibile: ˆ d > R intersecţia dintre plan şi sferă este vidă, deci planul este exterior sferei; ˆ d = R intersecţia dintre plan şi sferă este un punct, deci planul este tangent la sferă; ˆ d < R intersecţia dintre plan şi sferă este un cerc, deci planul este secant la sferă..1. Elipsoidul Definiţia.3. Se numeşte elipsoid o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică unde a > 0, b > 0, c > 0. x a + y b + z c 1 = 0, Fie M(x 0, y 0, z 0 ) un punct pe elipsoid. Atunci: ˆ punctele de coordonate (x 0, y 0, z 0 ), (x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ) aparţin elipsoidului, deci planele xoy, xoz, yoz sunt plane de simetrie ale elipsoidului; ˆ punctele de coordonate (x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ) aparţin elipsoidului, deci axele Ox, Oy, Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului; ˆ punctul de coordonate ( x 0, y 0, z 0 ) aparţine elipsoidului, deci O este centru de simetrie al elipsoidului. Intersecţiile elipsoidului de ecuaţie x a + y b + z 1 = 0 cu planele şi axele c de coordonate sunt: 8

30 ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x a + y b 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x a + z c 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y b + z c 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x a 1 = 0 A(a, 0, 0), A ( a, 0, 0) ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y b 1 = 0 B(0, b, 0), B (0, b, 0) ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z c 1 = 0 C(0, 0, c), C (0, 0, c) Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Dacă a = b = c, elipsoidul este o sferă. Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt: x = a sin θ cos ϕ y = b sin θ sin ϕ z = c cos θ, θ [0, π], ϕ [0, π). 9

31 .1.3 Hiperboloidul cu o pânză Definiţia.4. Se numeşte hiperboloid cu o pânză o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x a + y b z c 1 = 0, unde a > 0, b > 0, c > 0. Ca şi în cazul elipsoidului, avem: ˆ planele de coordonate sunt plane de simetrie ˆ axele de coordonate sunt axe de simetrie ˆ originea este centru de simetrie Tot hiperboloizi cu o pânză sunt şi cuadricele de ecuaţii x a y b + z x 1 = 0 sau c a y b z c + 1 = 0. Intersecţiile hiperboloidului cu o pânză de ecuaţie x a + y b z c 1 = 0 cu planele şi axele de coordonate sunt: 30

32 ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x a + y b 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu xoz(y = 0) : x a z c 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y b z c 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x a 1 = 0 A(a, 0, 0), A ( a, 0, 0) ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y b 1 = 0 B(0, b, 0), B (0, b, 0) ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z c 1 = 0 ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): elipsă x a + y b z 0 c + 1 = Hiperboloidul cu două pânze Definiţia.5. Se numeşte hiperboloid cu două pânze o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x a + y b z c + 1 = 0, unde a > 0, b > 0, c > 0. 31

33 Ca şi în cazurile anterioare, avem: ˆ planele de coordonate sunt plane de simetrie ˆ axele de coordonate sunt axe de simetrie ˆ originea este centru de simetrie Tot hiperboloizi cu două pânze sunt şi cuadricele de ecuaţii x a y b + z x + 1 = 0 sau c a y b z c 1 = 0. Intersecţiile hiperboloidului cu două pânze de ecuaţie x a + y b z c + 1 = 0 cu planele şi axele de coordonate sunt: ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x a + y b + 1 = 0 ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x a z c + 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y b z c + 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x a + 1 = 0 ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y b + 1 = 0 ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z c + 1 = 0 C(0, 0, c), C (0, 0, c) ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): elipsă sau punct sau x a + y b z 0 c + 1 = Conul Definiţia.6. Se numeşte con o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică unde a > 0, b > 0, c > 0. x a + y b z c = 0, 3

34 Ca şi în cazurile anterioare, avem: ˆ planele de coordonate sunt plane de simetrie ˆ axele de coordonate sunt axe de simetrie ˆ originea este centru de simetrie Tot conuri sunt şi cuadricele de ecuaţii x a y b + z x = 0 sau c a y b z c = 0. Intersecţiile conului de ecuaţie x a + y b z c coordonate sunt: = 0 cu planele şi axele de ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x a + y = 0 O(0, 0, 0) b ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x a z = 0 două drepte c ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y b z = 0 două drepte c 33

35 ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x = 0 O(0, 0, 0) a ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y = 0 O(0, 0, 0) b ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z = 0 O(0, 0, 0) c ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): x a + y b z 0 c = 0 elipsă.1.6 Paraboloidul eliptic Definiţia.7. Se numeşte paraboloid eliptic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică unde a > 0, b > 0. x a + y b = z, Avem: ˆ planele xoz şi yoz sunt plane de simetrie ˆ axa Oz este axă de simetrie Tot paraboloizi eliptici sunt şi cuadricele de ecuaţii x a + z y = y sau c b + z c = x. 34

36 Intersecţiile paraboloidului eliptic de ecuaţie x a + y b axele de coordonate sunt: ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x a + y = 0 O(0, 0, 0) b ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x = z parabolă a ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y = z parabolă b ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x = 0 O(0, 0, 0) a ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y = 0 O(0, 0, 0) b ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z = 0 O(0, 0, 0) = z cu planele şi ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): (pentru z 0 > 0) x a + y b = z 0 elipsă.1.7 Paraboloidul hiperbolic Definiţia.8. Se numeşte paraboloid hiperbolic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x a y b = z, unde a > 0, b > 0. Avem: ˆ planele xoz şi yoz sunt plane de simetrie ˆ axa Oz este axă de simetrie Tot paraboloizi eliptici sunt şi cuadricele de ecuaţii x a z y = y sau c b z c = x. Intersecţiile paraboloidului hiperbolic de ecuaţie x a y = z cu planele b şi axele de coordonate sunt: 35

37 ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x a y = 0 două drepte b ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x = z parabolă a ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y = z parabolă b ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x = 0 O(0, 0, 0) a ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y = 0 O(0, 0, 0) b ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z = 0 O(0, 0, 0) ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): x a y b = z 0 hiperbolă.1.8 Cilindri Definiţia Se numeşte cilindru eliptic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x a + y 1 = 0, unde a > 0, b > 0. b 36

38 . Se numeşte cilindru hiperbolic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x a y 1 = 0, unde a > 0, b > 0. b 3. Se numeşte cilindru parabolic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică y = px, unde p R. 37

39 .1.9 Generatoare rectilinii Conul şi cilindrii sunt suprafeţe riglate, adică pot fi scrise ca reuniunea unei familii de drepte. În afară de acestea, hiperboloidul cu o pânză şi paraboloidul hiperbolic sunt de asemenea suprafeţe riglate. Ecuaţia hiperboloidului cu o pânză se poate rescrie sub forma x a + y b z c 1 = 0 x a z c = 1 y b (x a + z c ) (x a z c ) = (1 + y b ) (1 y b ) (.4) α ( x Considerăm familia de drepte d α,β a + z c ) = β (1 + y b ) β ( x a z c ) = α (1 y unde α şi β b ) nu sunt simultan nuli. Reuniunea acestei familii de drepte este chiar hiperboloidul cu o pânză anterior. α ( x 0 Fie M 0 (x 0, y 0, z 0 ) d α,β, deci a + z 0 c ) = β (1 + y 0 b ) β ( x 0 a z 0 c ) = α (1 y. 0 b ) ˆ dacă αβ 0, atunci înmulţind ecuaţiile anterioare şi împărţind prin αβ obţinem x 0 a + y 0 b z 0 c 1 = 0 deci M 0 este pe hiperboloid; ˆ dacă α = 0, β y 0 b = 0, x 0 a z 0 c = 0, aşadar în (.4) ambii membri sunt nuli, deci M 0 verifică ecuaţia hiperboloidului; ˆ dacă α 0, β = 0 1 y 0 b = 0, x 0 a + z 0 c = 0, aşadar în (.4) ambii membri sunt nuli, deci M 0 verifică ecuaţia hiperboloidului; Aşadar orice dreaptă din familia d α,β este inclusă în hiperboloid. Reciproc, se poate arăta că petru orice punct M 0 (x 0, y 0, z 0 ) de pe hiperboloid există α, β R astfel încât a + z 0 α ( x 0 c ) = β (1 + y 0 b ) β ( x 0 a z 0 c ) = α (1 y aşadar M 0 d 0 α,β. b ) Dreptele din familia d α,β se numesc generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o pânză. 38

40 O altă familie de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o pânză x a + y b z c 1 = 0 este λ ( x d λ,µ a + z c ) = µ (1 y b ) µ ( x a z c ) = λ (1 + y. b ) În mod analog găsim pentru paraboloidul hiperbolic x a y = z următoarele b familii de generatoare rectilinii: α ( x d α,β a + y b ) = βz β ( x a y b ) = α λ ( x şi d λ,µ a + y b ) = µ µ ( x a y. b ) = λz. Reducerea cuadricelor la forma canonică Fie cuadrica definită prin ecuaţia generală a 11 x + a y + a 33 z + a 1 xy + a 13 xz + a 3 yz + a 14 x + a 4 y + a 34 z + a 44 = 0, f(x,y,z) Ca şi în cazul conicelor, pentru orice cuadrică se poate determina un reper cartezian ortogonal convenabil în raport cu care ecuaţia cuadricei are forma cea mai simplă, numită formă canonică sau redusă. La această formă se poate ajunge printr-o translaţie şi o rotaţie adecvată a reperului iniţial {O; i, j, k }. Un punct C se numeşte centru de simetrie al cuadricei dacă simetricul oricărui punct M al cuadricei în raport cu C aparţine de asemenea cuadricei. Elipsoidul, hiperboloizii şi conul sunt cuadrice cu centru, iar paraboloizii sunt cuadrice fără centru. Căutăm o translaţie a sistemului Oxyz astfel încât originea noului sistem de coordonate C(x 0, y 0, z 0 ) să fie centru de simetrie al cuadricei. Relaţiile dintre coordonatele x, y, z din reperul iniţial {O; i, j, k } şi coordonatele x, y, z din sistemul translatat {C; i, j, k } sunt: x = x 0 + x y = y 0 + y z = z 0 + z 39

41 Înlocuind în ecuaţia iniţială a cuadricei obţinem a 11 x +a y +a 33 z +a 1 x y +a 13 x z +a 3 y z +a 14x +a 4y +a 34z +a 44 = 0, a 14 = a 11x 0 + a 1 y 0 + a 13 z 0 + a 14 unde a 4 = a 1x 0 + a y 0 + a 3 z 0 + a 4, iar a 44 = f(x 0, y 0, z 0 ). a 34 = a 13x 0 + a 3 y 0 + a 33 z 0 + a 34 Pentru ca C(x 0, y 0, z 0 ) să fie centru de simetrie, trebuie ca ecuaţia în noile coordonate să nu conţină termeni de gradul 1, aşadar a 14 = a 4 = a 34 = 0, deci (x 0, y 0, z 0 ) sunt soluţii ale sistemului a 11 x 0 + a 1 y 0 + a 13 z 0 + a 14 = 0 a 1 x 0 + a y 0 + a 3 z 0 + a 4 = 0 a 13 x 0 + a 3 y 0 + a 33 z 0 + a 34 = 0. a 11 a 1 a 13 Dacă δ = a 1 a a 3 0, sistemul anterior are soluţie unică, iar ecuaţia a 13 a 3 a 33 cuadricei este a 11 x + a y + a 33 z + a 1 x y + a 13 x z + a 3 y z + f(x 0, y 0, z 0 ) = 0. Dacă a 1 = a 13 = a 3 = 0, atunci cuadrica este în formă canonică. Dacă cel puţin unul din coeficienţii a 1, a 13, a 3 este nenul, atunci efectuăm o rotaţie a reperului cartezian, folosind metoda valorilor şi vectorilor proprii. Considerăm forma pătratică Φ R 3 R, Φ(x, y, z ) = a 11 x + a y + a 33 z + a 1 x y + a 13 x z + a 3 y z Se determină valorile proprii λ 1, λ, λ 3 ale matricei A = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33, precum şi vectorii proprii ortonormaţi corespunzători v 1, v, v 3. În reperul cartezian {C; v 1, v, v 3 }, cuadrica are ecuaţia canonică λ 1 X + λ Y + λ 3 Z + f(x 0, y 0, z 0 ) = 0 iar relaţiile dintre coordonatele x, y, z şi X, Y, Z sunt x y z = S BB 40 X Y Z

42 unde S BB este matricea de trecere de la baza B = { i, j, k } la baza B = { v 1, v, v 3 }. Dacă δ = 0, atunci cuadrica este fără centru. În acest caz se efectuează mai întâi o rotaţie folosind metoda valorilor şi vectorilor proprii, urmată de o translaţie adecvată...1 Exemple 1. Reducerea la forma canonică a cuadricei de ecuaţie 5x + 7y + 5z + xy + xz + yz 6y + 4z + 1 = 0. ˆ a 11 = a 33 = 5, a = 7, a 1 = a 13 = a 3 = 1,a 14 = 0, a 4 = 3, a 34 =, a 44 = 1 a 11 a 1 a ˆ δ = a 1 a a 3 = = a 13 a 3 a x 0 + y 0 + z 0 = 0 ˆ centrul de simetrie: x 0 + 7y 0 + z 0 3 = 0 x 0 + y 0 + 5z 0 + = 0 x = 0 + x ˆ translaţia y = 1 + y z = 1 + z ˆ 5x + 7y + 5z + x y + x z + y z 3 = 0 C (0, 1, 1 ) 5 λ 1 1 ˆ valorile proprii 1 7 λ 1 = 0 λ 1 = 4, λ = 5, λ 3 = λ ˆ vectorii proprii v 1 = (1, 0, 1), v = (1, 1, 1), v 3 = (1,, 1) ˆ rotaţia x y z = ˆ ecuaţia canonică X Y Z 4X + 5Y + 8Z 3 = 0 X Y Z = 0 deci cuadrica este un elipsoid. 41

43 . Reducerea la forma canonică a cuadricei de ecuaţie y + 4xy 8xz 4yz + 6x 5 = 0. ˆ a 11 = a 33 = 0, a =, a 1 =, a 13 = 4, a 3 =, a 14 = 3, a 4 = a 34 = 0, a 44 = 5 ˆ δ = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 = λ 4 ˆ valorile proprii λ = 0 λ 1 = 0, λ = 6, λ 3 = 4 4 λ ˆ vectorii proprii v 1 = ( 1,, 1), v = (1, 1, 1), v 3 = (1, 0, 1) ˆ rotaţia x y z = = 0 ˆ 6y 4z 6x + 3y + 3 z 5 = 0 3 ˆ 6 (y + 6 ) 4 (z 3 8 ) 6 (x ) = 0 X = x ˆ translaţia 3 Y = y + 6 Z = z 3 8 ˆ ecuaţia canonică 6Y 4Z 6X = 0 deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic. x y z.3 Generări de suprafeţe Prin ecuaţia unei suprafeţe în spaţiu se înţelege o ecuaţie în 3 variabile de forma F (x, y, z) = 0, unde F D R 3 R, ecuaţie care este satisfăcută de coordonatele tuturor punctelor de pe suprafaţă în raport cu un reper fixat, dar nu este satisfăcută de coordonatele nici unui alt punct din afara suprafeţei. 4

44 Orice curbă în spaţiu poate fi privită ca intersecţia a două suprafeţe care conţin acea curbă şi care nu mai au alte puncte comune. Aşadar o curbă în spaţiu poate fi definită prin două ecuaţii de forma F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0. Exemple: o dreaptă este intersecţia dintre două plane, un cerc este intersecţia dintre o sferă şi un plan, etc..3.1 Suprafeţe cilindrice Definiţia.10. Fie v = l i +m j +n F (x, y, z) = 0 k 0 şi o curbă (C). G(x, y, z) = 0 Se numeşte suprafaţă cilindrică o suprafaţă generată prin mişcarea unei drepte de direcţie v, numită generatoare, care se sprijină pe curba C, numită curbă directoare a suprafeţei. Ecuaţiile unei drepte oarecare de direcţie v x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n pot fi rescrise sub forma de intersecţie de plane nx lz = λ d λ,µ ny mz = µ, λ, µ R. (.5) Suprafaţa cilindrică este generată de acele drepte din familia d λ,µ care se sprijină pe curba C (deci intersectează această curbă). Aşadar căutăm acele valori ale lui λ şi µ pentru care sistemul nx lz = λ ny mz = µ F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 (.6) este compatibil. Eliminând x, y, z din acest sistem, obţinem o relaţie între λ şi µ Φ(λ, µ) = 0 (.7) numită condiţie de compatibilitate. Suprafaţa cilindrică este formată din toate dreptele d λ,µ corespunzătoare valorilor lui λ şi µ care satisfac condiţia de 43

45 compatibilitate (.7), aşadar coordonatele punctelor acestei suprafeţe satisfac ecuaţia Φ(nx lz, ny mz) = 0 Exemplu: Să se găsească ecuaţia cilindrului având curba directoare de x ecuaţii y = z iar generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei. x + y + z = 0 ˆ v = i + j + x z = λ k generatoarele y z = µ x z = λ y z = µ ˆ sistemul x y = z x + y + z = 0 este compatibil ˆ condiţia de compatibilitate (λ µ) (µ λ) + 3(µ + λ) = 0 ˆ ecuaţia suprafeţei cilindrice.3. Suprafeţe conice x y xz + yz + x + y z = 0 F (x, y, z) = 0 Definiţia.11. Fie V (x 0, y 0, z 0 ) şi o curbă (C). Se G(x, y, z) = 0 numeşte suprafaţă conică o suprafaţă generată prin mişcarea unei drepte, numită generatoare, care trece prin punctul fix V şi se sprijină pe curba C, numită curbă directoare a suprafeţei. Ecuaţiile unei drepte oarecare care trece prin V pot fi rescrise sub forma x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n d λ,µ x x 0 λ = y y 0 µ = z z 0, λ = l 1 n, µ = m n R. (.8) Suprafaţa conică este generată de acele drepte din familia d λ,µ care se sprijină pe curba C (deci intersectează această curbă). Aşadar căutăm acele 44

46 valori ale lui λ şi µ pentru care sistemul x x 0 = y y 0 λ µ F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 = z z 0 1 (.9) este compatibil. Eliminând x, y, z din acest sistem, obţinem o relaţie între λ şi µ Φ(λ, µ) = 0 (.10) numită condiţie de compatibilitate. Suprafaţa conică este formată din toate dreptele d λ,µ corespunzătoare valorilor lui λ şi µ care satisfac condiţia de compatibilitate (.13), aşadar coordonatele punctelor acestei suprafeţe satisfac ecuaţia Φ ( x x 0 z z 0, y y 0 z z 0 ) = 0 Exemplu: Să se găsească ecuaţia conului cu vârful în origine şi curba x directoare de ecuaţii + y = 1. z = 1 ˆ generatoarele x λ = y µ = z 1 x λ = y µ = z 1 ˆ sistemul x + y = 1 z = 1 este compatibil ˆ condiţia de compatibilitate λ + µ = 1 ˆ ecuaţia suprafeţei conice ( x z ) + ( y z ) = 1 x + y = z.3.3 Suprafeţe de rotaţie F (x, y, z) = 0 Definiţia.1. Fie o curbă (C). Se numeşte suprafaţă de G(x, y, z) = 0 rotaţie o suprafaţă generată prin rotirea curbei C în jurul unei drepte d, numită axă de rotaţie. 45

47 Presupunem că axa de rotaţie are ecuaţiile d x x 0 = y y 0 l m = z z 0 n. Prin rotirea în jurul lui d, fiecare punct de pe curba C va descrie un cerc (numit cerc generator) care se află într-un plan perpendicular pe d şi are centrul pe d. Un astfel de cerc poate fi scris ca intersecţia dintre o sferă cu centrul pe d şi un plan perpendicular pe d: (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = λ C λ,µ (.11) lx + my + nz = µ Suprafaţa de rotaţie este generată de acele cercuri din familia C λ,µ care se sprijină pe curba C (deci intersectează această curbă). Aşadar căutăm acele valori ale lui λ şi µ pentru care sistemul (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = λ lx + my + nz = µ F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 (.1) este compatibil. Eliminând x, y, z din acest sistem, obţinem o relaţie între λ şi µ Φ(λ, µ) = 0 (.13) numită condiţie de compatibilitate. Suprafaţa de rotaţie este formată din toate cercurile C λ,µ corespunzătoare valorilor lui λ şi µ care satisfac condiţia de compatibilitate (.13), aşadar coordonatele punctelor acestei suprafeţe satisfac ecuaţia Φ ((x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ), lx + my + nz) = 0. Exemplu: Să se găsească ecuaţia suprafeţei obţinute prin rotirea dreptei de x + z = x = 0 ecuaţii în jurul dreptei de ecuaţii. y = 0 y = 0 (x ) + (y ) + z = λ cercurile generatoare z = µ (x ) + (y ) + z = λ z = µ sistemul x + z = y = 0 este compatibil condiţia de compatibilitate µ λ + 4 = 0 ecuaţia suprafeţei de rotaţie (x ) + (y ) z = 4 46

48 .4 Exerciţii 1. Să se scrie ecuaţia sferei în următoarele cazuri: (a) C(1,, ), R = 3 (b) C = O, R = (c) C = O şi trece prin punctul A(3, 1, ) (d) C(, 1, 3) şi trece prin punctul B(, 0, 1) (e) Punctele A(1,, 1) şi B(3, 4, 5) sunt extremităţile unui diametru (f) C(1,, 3) şi este tangentă planului 6x + 7y 6z + 31 = 0 (g) Sfera trece prin O(0, 0, 0), A(, 0, 0), B(0, 5, 0), C(0, 0, 3) R: a = 1, b = 5, c = 3. Să se determine centrul şi raza sferelor: (a) x + y + z x 4y 6z + 5 = 0 (b) x + y + z 8x 4y + z + 17 = 0 (c) x + y + z + x 6y + 4z 11 = 0 (d) x + y + z x + 3y 4z + 1 = 0 (e) (x + y + z ) + 4x y + z 5 = 0 3. Fie sfera de ecuaţie şi planul (p) x y z + 9 = 0. (S) x + y + z 6x + 4y z 86 = 0 (a) Să se afle centrul şi raza sferei (b) Să se arate că S p (c) Să se afle centrul şi raza cercului de intersecţie a sferei S cu planul p R: C(3,, 1), R = 10, C 1 ( 1,, 3), r = 8 Aceleaşi cerinţe pentru: (a) (S) x + y + z 4x y + 6z + 1 = 0, (p) x + y z 3 = 0 (b) (S) (x 4) + (y 7) + (z + 1) 36 = 0, (p) 3x + y z 9 = 0 4. Să se scrie ecuaţiile planelor tangente la sfera (S) x + y + z 4x + y 6z + 8 = 0 în punctele de intersecţie ale sferei cu dreapta (d) x 1 1 R: S d = {M 1 (1, 0, 1), M (3,, 5)} 47 = y 1 = z 1