Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare

Transcript

1 C A P I T O L U L 6 Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 6. Introducere Modelele rețelelor cu șrur de aștetare (queueng networks models), e scurt rețelele cu aștetare, sunt deosebt de folostoare entru a rerezenta ș analza sstemele cu resurse artajate de servre, cum sunt, de exemlu, rețele de comuncaț, ș s-au dovedt a f un nstrument uternc ș flexbl în ceea ce rvește atât evaluarea erformanțelor cât ș lanfcarea acestora. Asemenea modele sunt ma avantajoase entru rerezentarea structurlor reale ale sstemelor cu un număr mare de resurse decât modelele constând dntrun sngur sstem de servre. În cazul rețelelor, fecare sstem de servre (șr, stațe) cu aștetare dn rețea, rerezntă o resursă reală, ce este secalzată entru o anumtă actvtate de servre (job, oerațe) a unu ansamblu de clenț care modelează adevăraț utlzator. Cometța clențlor în obțnerea accesulu la resursa de servre coresunde ozțonăr lor în locațle de aștetare dn șrurle rețele. Analza modelelor de rețea cu șrur constă în evaluarea unu set de ndcator de erformanta, cum sunt utlzarea resurselor, tmul de răsuns, trafcul servt (throughut) etc. Analza se oate face rn ntermedul metodelor analtce, a smulărlor sau a măsurătorlor, atunc când obectul studulu exstă în realtate. În catolul de față, se urmărește doar rezentarea metodelor analtce de analză, secfce rncalelor categor de modele de rețea cu șrur, care satsfac o aletă largă de cernțele ș restrcțle muse de realtate. Modelul de rețea, așa cum s-a reczat deja, este un ansamblu de ssteme de servre nterconectate rn legătur (lnk-ur), care asgură deservrea unu ansamblu de clenț ș, în consecnță, este defnt rn șrur, clenț ș toologe. Pentru toate acest comonente sunt secfcate o sere de însușr, bună arte dn ele deja exuse o dată cu ntroducerea clasfcăr endall (aragraful.) ce urmează a f reamntte în contnuare, alătur de altele secfce subectulu în dscuțe. Caracterstcle fecăre staț sunt: o numărul de untăț de servre (servere), consderate, în mod uzual, dentce ș ndeendente, o rata de servre, măsurată în untăț de servre raortate la untatea de tm; fecare server servește un clent cu o vteză care oate f constantă sau deendentă de starea stațe, o lungmea coz, n general, se consderă nfntă, dar se oate avea în vedere ș cazul fnt, o dsclna de servre, conform cărea clenț ntraț în șr urmează să fe servț. Caracterstcle toologce sunt: o numărul de staț, o matrce robabltățlor de rutare, ermte modelarea comortamentulu e care fecare clent îl urmează o dată cu tranztarea, de către acesta, a rețele; când servre unu clent se închee, acesta ărăsește stața în cauză ș, cu o anumtă robabltate, trece medat în alt șr al rețele, sau, eventual, o ărăsește, arcurgând legătura coresunzătoare. Caracterstcle clențlor sunt:

2 4 INGINERIA TRAFICULUI o cererea de servre adresată fecăru șr, exrmată în untăț de servre; rn raortarea cerer de servre (în general, varablă aleatore) la rata de servre (constantă) se obțne o nouă varablă aleatore: tmul de servre, a căre mede se notează, ca ână în rezent, cu, o clasele de aartenență, care seară clenț duă cererea ș comortamentul lor dfert, vs-a-vs de aceeaș stațe, deosebrle vzând, desgur, tm de servre ș robabltățle de rutare; în general, clasfcare clențlor este temorară în sensul că, de la un șr la altul, un clent oate schmba clasa, conform nformațe dn matrcea robabltățlor de rutare. o numărul total de clenț în rețea, dacă aceasta nu rezntă ntrăr ș eșr, sau o rocesul de sosre în fecare șr, în caz contrar. Pe lângă clase, clenț se ot dferența ș rn lanțur. Un lanț (chan) rerezntă o categore în care un clent se va găs e toată durată fnțăr sale în rețea. Un lanț oate ncorora un anumt număr de clase. Prn urmare, dacă se secfca ma multe lanțur, însemnă că acestea realzează o artțe a claselor întrucât, conform defnțe, clenț nu ot trece de la un lanț la altul. Dret exemlfcare, fgura 6.(c) rezntă o rețea cu atru clase (a, b, c, d) ș două lanțur, rmul ncluzând clasele a ș b, ar al dolea, clasele c ș d. Funcțe de numărul de clase ncororate, un lanț oate f cu o clasă sau cu ma multe clase. Dret urmare, țnând cont de numărul s tul lanțurlor asocate, o rețea cu șrur de aștetare oate f: cu un lanț cu o sngură clasă (sngle-class sngle-chan), e scurt: monoclasă cu un lanț cu ma multe clase (multle-class sngle-chan), e scurt: multclasă cu lanțur cu ma multe clase (multle-class multle-chan) cu lanțur monoclasă (sngle-class multle-chan) Un lanț este deschs dacă ermte ntrăr ș eșr dn rețea ș este închs în caz contrar. Dn unct de vedere al avansăr clențlor rn rețea, acestea se îmart în: I. Rețele fără revenre în stuața în care clenț trec cel mult o dată rntr-un șr; II. Rețele cu revenre dacă toț clenț sau doar un dntre e revn în șrurle "vztate" anteror. Ma mult, luând în consderare noțune de lanț, utem avea: A. Rețele deschse în cazul în care toate lanțurle sale sunt deschse, B. Rețele închse dacă toate lanțurle sale sunt închse, C. Rețele mxte atunc când exstă atât lanțur deschse cât ș închse. În fgura 6. sunt exemlfcate tre toolog osble de rețea cu șrur de aștetare. Structură deschsă, cu revenre, dn magnea 6.(a) oate rerezenta un smlu sstem de calcul, ar magnea 6.(b) o toologe clască de rețea închsă, în care clenț sunt îndrumaț cclc în mod ermanent. În exemlul structur mxte, fgura 6.(c), se oate observa că lanțul este deschs ș descre îndrumarea clențlor care vztează de două or acelaș șr, rma dată aarțnând clase a ș ao clase b. În schmb, lanțul este închs, e ac crculând rn cele două șrur un număr constant de clenț ce trec dn clasa c în clasa d ș (a) Flux de clenţ no CPU Flux de clenţ servţ Dsc Imrmantă Imrmare magnetcă N (b) (c) Clasa a Clasa b Clasa d Lanţ Lanţ Clasa c Fgura 6.: Exemle de toolog de rețea: (a) deschsă ; (b) închsă; (c) mxtă

3 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 4 nvers, funcțe de sstemul tranztat. Desgur, acolo unde nu se secfcă, recum în cazul exemlelor dn fgurle 6. (a) ș (b), clenț aarțn une sngure clase ș, mlct unu sngur lanț. În cele ce urmează se vor analza doar rețelele deschse în care sunt vehculaț ș relucraț clenț aarțnând une clase unce. O rețea cu șrur de aștetare este corect constrută (well-formed) dacă de la orce stațe se oate ajunge, robablstc, la orce altă stațe, nclusv dnsre ș însre exteror. 6. Defnț ș notaț Mărmle utlzate în analza rețelelor cu ssteme (șrur) de aștetare sunt însoțte de o sere de notaț secfce, duă cum urmează: numărul sstemelor (staț de lucru) N numărul clențlor dn sstemul N numărul total al clențlor dn rețea, N N N vectorul de stare a rețele, N N,N,,N rata ndvduală de servre în sstemul s număr de servere în sstemul,j robabltatea de rutare, adcă robabltatea ca un clent dn sstemul să fe transferat în sstemul j 0,j robabltatea, entru o rețea deschsă, ca de la o sursă externă, modelată ca un "sstem vrtual" cu numărul de ordne 0, să ntre un clent în sstemul j, robabltatea ca un clent să ărăsească o rețea deschsă duă ce ș-a fnalzat servcul în sstemul, consderând ca destnațe externă un "sstem vrtual" ș numerotat cu, j matrcea robabltățlor de rutare între ssteme notat Nn Pr N n n robabltatea stațonară de stare a rețele rata totală (globală) de sosre dn exteror (entru o rețea deschsă) rata de sosre a clențlor într-un sstem, ntrare rn legătura ce străbate "exterorul" acestua. roductvtatea unu șr care rerezntă rata cu care clenț sunt servț ș ărăsesc șrul. În cazul șrurlor nfnte este evdentă egaltatea roductvtatea globală a rețele, egală valorc cu rata totală de sosre în cazul rețelelor construte numa cu ssteme fără erder. 6. Teorema lu Burke Prntre metodele de analză a rețelelor cu șrur, o mortanță deosebtă î revne soluțe (sub formă de) rodus care este osblă în anumte oteze secale, recum cvas-reversbltatea. În rncu, se consderă că un șr este cvas-reversbl dacă starea curentă, lecărle trecute ș ntrărle vtoare ale clențlor sunt mutual ndeendente. Această roretate se referă la relața dntre rocesul de sosre a clențlor ș cel de lecare a acestora dn sstemul de servre ș conduce la o nouă însușre. Este vorba de roretatea M M (se ctește: Markov mlcă Markov) care a fost demonstrată rma dată în 956 de către P.J. Burke, de unde ș numele de teorema lu Burke, ș care reczează că: "într-un sstem M/M/s, un roces Posson de ntrare roduce

4 44 INGINERIA TRAFICULUI un roces Posson de lecare dentc dn unct de vedere robablstc ș ndeendent de starea șrulu".,, Fgura 6.: Rețea deschsă cu staț Pe baza aceste teoreme se ot stabl ratele de sosre a clențlor în stațle de relucrare cunoscând: rutele de îndrumare de-a lungul rețele ș ratele de tranzt între staț. De exemlu, entru cazul rețele dn fgura 6., relațle de evaluarea a sosrlor în staț sunt:,, (6..), Duă rezolvarea acestu sstem de ecuaț se obțne că:,,, (6..), ș în fnal se oate verfca recuerarea rate globale a sosrlor, ca roductvtate globală adcă:, Rețele deschse fără revenre ș fără erder Se consderă rețeaua lanț, monoclasă, dn fgura 6.4., comusă doar dn două ssteme M/M/ conectate în tandem (de rețnut că noțunea de lanț, folostă în contextul rezent, nu are înțelesul reczat anteror, cu ocaza rezentăr modulu de caracterzare a clențlor, ea referndu-se, în cazul de față, la manera în care sunt nterconectate șrurle cu aștetare ale rețele. Concret: o rețea lanț este una ș o rețea mono lanț sau cu ma multe lanțur este alta!). Clenț, ce sunt oferț rețele de o sursă externă, arcurg în mod oblgatoru ambele ssteme entru a-ș închea servcul ș entru a f elberaț sre o destnațe externă. Deș este un exemlu smlu de rețea lanț, concluzle ce se vor recza entru el rămân valable entru orce alte stuaț de rețele lanț, ndferent de numărul sstemelor conectate în sere. Starea rețele într-un moment oarecare t este secfcată rn ntermedul unu vector N t, care reczează numărul de clenț dn fecare sstem, adcă. N t Nt, Nt Consderând că sosrle în rmul sstem urmează o lege Posson, de rată, asgurată de sursa externă, ș că tm de servre dn cele două ssteme sunt dstrbuț exonențal, cu meda /, resectv /, utem determna robabltatea de stare a rețele folosnd, entru fecare sstem elementar, rezultatul ofert de teorema lu Burke. Conform acestea, în cazul unu sstem M/M/ ajuns la echlbru statstc: N d t, este de t Posson de rată ; rocesul de lecare, secvența tmlor de lecare ână la momentul t este ndeendentă de numărul clențlor în sstem la momentul t, N t. Sstem Sstem Fgura 6.4.: Rețea "lanț deschs" cu ssteme M/M/

5 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 45 Prn urmare, soluța entru rețeaua aleasă se determnă alcând următorul rațonament: ) cum rmul sstem este M/M/, rezultă că lecărle dn el urmează tot un roces Posson. Aceste lecăr sosesc în următorul sstem, dec ș entru sstemul sosrea clențlor urmează tot un roces Posson; ) rocesul N t este determnat de secvența de sosre în sstemul ână la momentul t ș de secvența de varable aleator ndeendente ș dentc dstrbute care rerezntă tm de servre în sstemul. Cum secvența de sosre în sstemul este ndeendentă de N t, înseamnă că N t este ndeendent de N t. În această stuațe, rezultă că: PrNt n,nt n PrNt n PrNt n (6.4.) ceea ce exrmă fatul că: robabltatea ca rețeaua să se afle în starea n, n este egală cu rodusul robabltățlor ndvduale (arțale) ca sstemele să se afle în stărle coresunzătoare n ș, resectv, n. Relața (6.4.) rerezntă verfcarea matematcă a ndeendențe stărlor dn cele două ssteme înlănțute ș justfcă, rn modul de exrmare al robabltăț de stare a rețele, concetul de soluțe rodus. Aceeaș ndeendență se oate demonstra, în mod smlar, ș în care sstemele ncluse sunt de t M/M/s sau M/M/, dar ș entru alte structur de rețea, nu neaărat sub formă de lanț, conform celor ce urmează a f rezentate e arcursul acestu catol. Prn extraolare, cazul general al une rețele deschsă fără revenre ș de t monoclasă are următoarea soluțe rodus: N n n (6.4.) N unde: n n,n,,n este vectorul de stare a rețele N n este robabltatea ca rețeaua să fe în starea n N n este robabltatea ca sstemul să fe în starea n, entru. Alcața 6.4. Determnaț exresa robabltăț vectorulu de stare entru rețeaua a căre structură este dată în fgura 6.4. ș reczaț condțle echlbrulu statstc. Caz artcular: 0,4 ș 0, 5 clenț/sec. Indcațe: Seararea rocesulu Posson de rată de la eșrea rmulu sstem generează la ntrarea în sstemul, resectv, rocese Posson ndeendente de rata, resectv ( ), ar suma ma multor rocese Posson ndeendente este tot un roces Posson de rată egală cu suma ratelor ndvduale. Se calculează dec că: ș ( ). În aceste condț, entru cazul artcular rous:, 0,4 ș,6, Fgura 6.4.: Rețea fără revenre cu ssteme M/M/ adcă regmul de stabltate este asgurat dacă,5 clenț/sec. * * * Performanța rețelelor fără revenre dende în mod evdent de structura fecăru sstem comonent, dar ș de modul de îndrumare a clențlor rn rețea. În acest sens, se rezntă în cele ce urmează două modele larg foloste în actvtățle de roectare ș analză de erformanță a rețelelor de telecomuncaț.

6 46 INGINERIA TRAFICULUI Rutare determnstă Fe o rețea comusă dn ssteme de transmsun, almentată cu clenț ce sunt colectaț de la S nodur-sursă, rn rețeaua de acces, ș entru care exstă D nodurdestnațe. Presuunem că: - sosrle clențlor sunt de t Posson; - tm de servre urmează dstrbuț exonențale de mede /, unde, rerezntă denttatea sstemulu; - rutarea (îndrumarea) clențlor rn rețea este descrsă rn ntermedul unor matrce de tranzt, D s,d, anexate fecăru sstem,, ș în care un element s,d are valoarea dacă ruta de la sursa s, s, S, către destnața d, d, D traversează sstemul ș este 0 în caz contrar; - ratele de sosre în rețea sunt conțnute în matrcea: Λ s,d, unde s, d este rata de sosre a clențlor generaț de sursa s ș având d ca destnațe. Cu aceste notaț ș resuuner, ratele de sosre a clențlor în fecare sstem al rețele ot f calculate cu exresa: S D s,d s d s, d, entru, (6.4.) ar e baza acestor rate ot f evaluaț următor ndcator de erformanță la nvel de sstem ș de rețea, folosnd următoarele formule: tmul medu etrecut în rețea de un clent generat de sursa s cu destnața d: Ts,d s,d T (6.4.4) unde T este tmul medu de tranzt rn sstemul. numărul medu de clenț în rețea: N N (6.4.5) unde este numărul medu de clenț dn sstemul. Dacă fecare sstem al rețele este de t M/M/, atunc relața anteroară se dezvoltă în forma: N (6.4.6) tmul medu etrecut de un clent în rețea : T Lttle N (6.4.7) în care rata totală de ntrare în rețea,, este dată de relața: S D s d s, d (6.4.8) Relața (6.4.7) oate f folostă entru a mnmza tmul medu de tranzt al întreg rețele, T, în condțle unu cost maxm accetabl ș entru o matrce de trafc dată [ILNG]. Cum, dn unct de vedere ractc, server dn rețea sunt fecare conectaț la lnle de legătură dntre nodurle rețele, ceea ce se urmărește de fat este otmzarea caactăț acestor ssteme de transmsun (emțătoare/recetoare, memor tamon, med de comuncare, regeneratoare etc.). De asemenea, trebue remarcat ș fatul că formula anteroară a mede tmulu total etrecut de un clent în rețea nu țne seama de întârzerle datorate roagărlor efectve e resectvele lnle de legătură. Alcața 6.4. Un număr de 6 nodur A/F sunt consttute într-o rețea al căru graf orentat este rezentat în fgura Pachetele generate în nodur sunt transmse sre destnaț de-a lungul rețele rn ntermedul a 7 ln ce sunt utlzate doar în sensurle marcate în fgură rn săgeț. Se reczează că: matrcea ratelor de generare t Posson a achetelor este Λ ; fecare sstem de transmsun funcțonează ca un sstem M/M/;

7 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 47 lungmea achetelor urmează o dstrbuțe exonențală, de mede L 800 bț; caactatea fecăru sstem de transmsun este C 0 kbț/sec; denttatea fecăru sstem este ndcată e arcul coresunzător. Să se determne: a) numărul total medu de clenț în rețea; b) tmulu medu etrecut de un clent rn rețea; c) lmta lungm med a achetelor entru care rețeaua ese dn starea de echlbru; d) care sstem este cel ma solctat dn unct de vedere al numărulu medu de clenț; e) ce relațe sursă-destnațe este cea ma defavorzată în rvnța întârzer med a achetelor rn rețea. B C A 6 7 D 5 4 F E C B 6 F 5 A 7 E D Λ D c FB 7 6 F E A 5 6 A B F 7 E D C B F A 7 E D C E D C B F A F A B E D C Fgura 6.4.: Rețea cu rutare determnstă Indcaț: Pentru a faclta comletarea matrcelor de tranzt caracterstce celor 7 ssteme de transmsun s-au detalat, în fgura 6.4., rutele foloste de fecare nod sursă entru îndrumarea achetelor emse ele sre toate destnațle dn rețea. Comonența matrcelor de tranzt este reczată în tabelul Ratele de sosre a achetelor în fecare sstem se calculează conform relațe 6.4., ș anume rn înmulțrea, lne cu lne, a matrce Λ cu matrcele de tranzt D coresunzătoare. Se obțn rezultatele: 4 ; 9 ; 4 ; 5 6 5; 7 achete/sec Se verfcă ao dacă trafcul ofert fecăru sstem are o valoare subuntară ( ), ștnd că C / L 5achete/sec. Cum, entru cazul ales condța este verfcată entru toate sstemele, se oate trece la evaluarea ndcatorlor de erformanță ceruț, folosnd exresle (6.4.4) - (6.4.7). Se obțn rezultatele: 7 a) N 7, 6 achete ; 7 7, 6 b) T 0, 547 sec; 50 c) L mn C / 0 / 0, 909 kbț; d) sstemele # ș #4 sunt încărcate cu cel ma mare număr de clenț, ș anume: N N4 7, achete e) cele ma mar întârzer coresund relațlor realzate e cele ma lung trasee, ș anume: sec ș TEA sec. De observat că relațle comlementare nu suferă aceleaș mar întârzer, având în vedere că rutele resectve sunt mult ma scurte, comortând doar câte un tranzt ntermedar, ș anume: TC F 0, 4 sec ș sec. Cea ma radă relațe este A B, cu TAB 0, 09 sec.

8 48 INGINERIA TRAFICULUI Tabelul 6.4.: Matrcele de tranzt ale sstemelor de servre a achetelor Nodur surse Nodur destnaț A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F D D D A B C D E F D 4 D 5 D 6 A B C D E F D Rutare robablstcă Acest model este adecvat stuațlor în care rețeaua are o comlextate sortă atât dn unct de vedere al toologe, cât ș al algortmlor de rutare, ceea ce ermte a se consdera că achetele sunt îndrumate sre eșrle dn nodur în mod aleatoru, fără a ma țne cont de o anumtă adresă de destnațe. În această oteză, relațle de calcul al erformanțe rețele sunt asemănătoare cu cele deduse în cazul rutăr determnste, manera de calcul al ratelor de ntrare în fecare sstem de transmsun fnd însă dfertă (vez alcața ce urmează). Alcața 6.4. Fe rețeaua dn fgura 6.4.4(a) în care nodurle ș 5 sunt "surse" (de accesa al achetelor în rețea), ar nodurle ș 4 sunt nodur "destnațe" (de eșre dn rețea). Se reczează că: - lungmea achetelor urmează o dstrbuțe exonențală de mede 0,8 kbț; - caactatea fecăru sstem de transmsun, ce funcțonează duă modelul M/M/, este de 8 kbț/sec, - matrcea P a robabltățlor de rutare rn rețea, ș, resectv, matrcea Λ a ratelor de sosre în rețea (în achete/sec) Indcațe: Conform valorlor reczate în matrcea P se stablesc ma întâ drumurle accetate entru îndrumarea fluxurlor de achete între surse ș destnaț entru cele 4 comuncaț osble. Planurle de îndrumare sunt lustrate în magnle (b) ș (c) dn fgura 6.4.4). Se determnă ao rata totală de tranzt a achetelor rn fecare dn cele 7 ssteme, în raort cu artcarea fecărua la îndrumarea fluxurlor de clenț coresunzătoare une anumte relaț sursă-destnațe. Dn consultarea celor 4 lanur de rutare se oate observa că legătura dntre nodurle ș 4 se folosește bdrecțonal, ceea ce mlcă folosrea unu sstem searat e fecare sens.

9 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 49 a b g f e c 5 4 d (a) a f e g 0 0, , ,4 0,6 0 P ,5 0 0,5 0 b a f g c e Λ b c 5 d 4 b f g c (b) 5 d 4 b f g c 5 d 4 Exresle de calcul al ratelor totale care încarcă fecare sstem, dn care s-au elmnat robabltățle de rutare cu valor untare, recum ș sumele celor comlementare, sunt rezentate în contnuare: a P,,, 4, 5achete/sec; b P, P, P5, P5,,, 4 P5, P, 5, 5, 4, 7 achete/sec c P 5, P5, 4 P, P, 4 P5, P5, P, 4, P5, 4 P5, P, 45,, 9 achete/sec c P, P, P5, P5, P, 4, P5, P, 5, 4, 6 achete/sec d P, 5 P5, 4,, 4 P5, 4 5, 5, 4 5, 5 achete/sec e P, 5,, 4 4, 5 achete/sec f P, 5 P5,,, 4 P5, 5, 5, 4 5, 5 achete/sec P P P P P 4 95 (c) 5 d 4 Fgura 6.4.4: Exemlu de rețea cu rutare robablstcă: a) structura rețele; căle de rutare entru comuncațle de la: b) sursa ș c) sursa 5 g P,, 4 5, 5,,, 4 5,, 4 5, 5, 4, achete/sec Pentru a ne asgura că aceste exres sunt corecte, se verfcă entru fecare relațe în arte dacă fluxul ntrat în nodul de destnațe este egal cu cel generat de nodul sursă. De exemlu, în cazul fluxulu,4 trebue să fe îndelntă relața ce urmează, care este scrsă la modul general, rn ntermedul robabltățlor de rutare: P, 5 P5, 4 P5, P5, P, 4 P5, P5, P, P, 4 P, P, P, 4 Următorul as este, ca ș în cazul rutăr fxe, verfcarea condțe de echlbru statstc, ș.a.m.d Rețele fără revenre, cu erder dstrbute Studul rețelelor fără revenre, ce rezntă erder dstrbute, se oate face luând în consderare cazul artcular al rețele monoclasă dn fgura 6.5., alcătută dn două ssteme de servre cu aștetare ș coz fnte. Perderle aar datortă comletăr caactățlor de memorare în cele două ssteme ș se manfestă fe rn neaccetarea în rețea a unor clenț

10 50 INGINERIA TRAFICULUI no, cu rata L, fe rn resngerea lor duă rmul servcu, cu rata L. Tm de servre dn cele ssteme urmează o dstrbuțe exonențală de mede /, resectv /, ar sosrle în rețea sunt descrse de un roces Posson de rată mede. q q Sstem L Sstem L Fgura 6.5.: Lanț deschs cu două ssteme un-server cu erder Consderând N t numărul de clenț în sstemul la momentul t ș t de clenț în sstemul la momentul t, atunc erechea t,n t N numărul N rerezntă un roces Markov contnuu în tm, deoarece duratele de stațonare în fecare stare urmează o dstrbuțe exonențală: eșrea dntr-o stare se face duă ce exră fe un tm de servre (un clent ărăsește unul dntre ssteme la sfârștul servculu în acesta), fe un nterval de tm între două sosr succesve (un nou clent este accetat în rețea), amb tm urmând dstrbuț exonențale. Prn urmare, dagrama de tranzț ș stăr a rocesulu se rezntă ca în fgura Alcața 6.5. Screț ecuațle de echlbru global coresunzătoare dagrame dn fgura Indcațe: se au în consderare fronterele,, 9. Descomunerea ecuațlor globale de echlbru în ecuaț de echlbru local (în vederea dentfcăr une relaț de recurență) nu se oate alca deoarece, de exemlu ecuața numărul 9 nu ermte acest lucru. În acest caz, soluța se determnă rezolvând sstemul de ecuaț de echlbru global (în general, rn metode numerce). * * * Alcața 6.5. Fe o rețea tandem alcătută dn două ssteme de servre fără aștetare. Fecare sstem dețne doar o sngură resursă. Să se determne erformanța aceste rețele ștnd că sosrea clențlor urmează un roces Posson de rată mede 0 achete/sec, ar tm de servre în ssteme urmează o dstrbuțe exonențală de mede / / 0, sec. 0,, ,0,0 0, k, k k -, k k, k Fgura 6.5.: Dagrama de stăr ș tranzț entru lanțul cu ssteme un server 4 0,k - 0, 0, 0,k -,,0 k -,k - k -,0 k -, k, k =+q ; k =+q k, k - Fgura 6.5.: Dagrama de stăr ș tranzț entru lanțul de ssteme cu șrur fnte k, 0 8 9

11 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 5 Indcațe: Conform datelor dn enunț, dagrama de tranzț se rezntă ca în fgura Se fac notațle: /, / ș se determnă robabltățle de stare, e baza ecuațlor de echlbru global. Rezultă astfel următoarele exres de calcul: 0, 0 ; 0, 0, 0;, 0, 0 ;, 0 0, 0 cu valorle numerce: 0 5 ;, 05;, L ( (,0) (,) ) 0, 0 0,, ( ) (,0) (,) ( ) (0,0) (0,), 0, Performanța rețele se arecază rn ntermedul următorlor ndcator: a. robabltatea de erdere defntă ca raort e termen lung dntre numărul t N a t al clențlor sosț la N L al clențlor resnș de rețea în ntervalul t ș numărul ntrarea rețele în acelaș nterval de tm, adcă: L lm t a Pentru a determna această robabltate, se folosește schema dn fgura care reczează blanțul ratelor de erdere ș de servre ce caracterzează rețeaua analzată. Pe baza aceste scheme, se stablește că numărul medu de clenț resnș de rețea, într-un nterval t, este: N N t t, t t, 0, 0, 0 0, N L t, 0,,, 0, Întrucât numărul medu de clenț sosț în resectvul nterval este N a t t, înseamnă că, în urma calculelor, se obțne: L 0, 65. b. robabltatea de blocare a rețele - folosnd noțunea de robabltate de dsonbltate, A, entru un sstem de a acceta clenț în momentul t, exresa robabltăț de blocare la nvelul rețele se oate scre în forma: B A A, dacă dsonbltățle celor două ssteme sunt: A 0, 0 0, ș A 0, 0 0, L. Cum era de aștetat, dat fnd natura ossonană a rocesulu "sosrea clențlor la ntrarea în rețea", relațle de calcul al celor două robabltăț, L ș B, sunt dentce. c. rata mede de servre a rețele: d L 0, 75 clenț/sec, j 0, 875 clenț j e. tmul medu etrecut de un clent în rețea calculat rn alcarea relațe lu Lttle entru fecare sstem în arte, adcă: N, 0, N T 0, sec ș 0,, T 0, sec 0, 0 0, 0,, Cum un clent servt de rețea trebue să arcurgă cele două ssteme înlănțute, tmul total de tranzt este: T T T 0, sec. f. gradul de utlzare a resurselor: d. numărul medu de clenț în rețea: N j ( (0,) (,) ) ( ) L ( ) (0,0) (,0) (0,) (,) (,) Fgura 6.5.4: Blanțul ratelor de servre ș de erdere

12 5 INGINERIA TRAFICULUI g,, 0, 0 5 ș g 0,, 0, Rețele cu formă rodus Rezultatele obțnute în catolul 6.5 urmează a f generalzate e arcursul acestu catol, luând în consderare rețele de comlextate sortă a căror robabltăț stațonare de stare au, în contnuare, forma rodus. Generc, aceste rețele oartă denumrea de "rețele cu formă rodus" (roduct-form queueng networks), sau "rețele searable". Termenul a fost ntrodus în 96 de către J.R. Jackson, care a analzat rețelele deschse cu dstrbuț exonențale, atât entru tm de servre, cât ș entru nter-sosr (tm dntre două sosr succesve), ș dsclna FIFO de reluare dn coz. Ma târzu, 967, analza a fost extnsă de către W.J. Gordon ș G.F. Newell entru rețelele închse. În cazul acestor rețele, atât deschse, cât ș închse, se oate obțne o soluțe entru robabltățle de stare, într-o maneră smlă ș efcentă, exrmată ca un rodus de factor care rerezntă robabltățle de stare a fecăru șr. Contrbuț ulteroare au condus la consderarea rețelelor de t BCMP, 975, ș elly, 978, care extnd alcabltatea forme rodus ș la alte dstrbuț entru tm de servre ș nter-sosr, recum ș dsclne de servre, adatate rețelelor actuale de comuncaț, cu o dverstate largă de clase de clenț. Exstența soluțlor sub forma rodus PF (Product Form) este garantată de una dn roretățle ce urmează: Proretatea de echlbru local LB (Local Balance) reczează fatul că rata cu care rocesulu CTMC (Contnuous Tme Markov Chans) asocat rețele ărăsește o stare,, datortă fnalzăr servculu ofert de stața unu clent aarțnând lanțulu r este egală cu rata cu care rocesul ntră în aceeaș stare cu ocaza sosr în acelaș șr a unu clent smlar. De rețnut că dacă robabltățle stațonare de stare,, verfcă ecuațle de echlbru local, atunc ele satsfac ș ecuațle de echlbru global, dar nu ș recroc. Proretatea M M, ce se traduce rn "Markov mlcă Markov" un șr are această roretate, dacă ș numa dacă șrul transformă un roces Posson de ntrare întrun roces Posson de eșre. Matematc se oate demonstra că o rețea de șrur are soluța sub formă de rodus dacă ș numa dacă toate șrurle sale au roretatea M M. Proretatea de echlbru al șrulu (stațe) SB (Staton - Balance) se sune că dsclna de servre a șrulu are roretatea SB dacă rata de servre a clențlor dntr-o anumtă locațe dn șr este roorțonală cu robabltatea ca, la sosre, un clent să ocue resectva ozțe. Cu alte cuvnte, în cazul șrurlor cu ozț dferențate, rata cu care clenț ntră într-o locațe este egală cu rata cu care aceșt es dn aceasta. Matematc, se oate demonstra că rețelele în care toate stațle dețn roretatea SB au o soluțe în formarodus. Recroca, în schmb, nu este adevărată. SB entru toate şrurle LB PF M M entru toate şrurle Fgura 6.6.: Relațle între roretăț Relațle de mlcare, atât între aceste roretăț, cât ș între ele ș roretatea de exstență a soluțe sub formă rodus, sunt rerezentate grafc în fgura Rețele Jackson Rețelele deschse cu revenre sunt o categore folostă ma ales în modelarea rețelelor de calculatoare, în care îndelnrea une actvtăț (de exemlu, calcul cooerant) resuune deseor revenr rn rețea. Lteratura de secaltate, consacrată aceste categor de rețele, rezntă ma multe modele matematce de rețele deschse cu revenre, care se

13 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 5 dferențază funcțe de otezele luate în consderare. Dntre aceste modele, cel ma famlar este modelul rețelelor Jackson, care mune următoarele oteze: rețeaua este arcursă de o sngură categore de clenț, numărul total de clenț admș în rețea este nelmtat, fecare dn cele staț (ssteme de servre cu șrur de aștetare) au sosr de t Posson, ar clenț ot ărăs rețeaua rn orce sstem, tm de servre sunt dstrbuț exonențal în orce sstem, toate șrurle de aștetare dn staț folosesc dsclna FIFO, o stațe dsune de s servere dentce, cu rată de servre (, ), ratele de sosre într-o stațe ș cele de servre caracterstce stațe, dend de numărul n de clenț rezenț, adcă se accetă o sosre ș servre deendentă de stare. Sursa externă de clenț sstem vrtual #0 0, 0,k Sstem # ( n ) Sstem # ( n ) k k,k k,,0 k,0 Destnața externă a clențlor sstem vrtual #(+) Fgura 6.6.: Structura generală a rețele Jackson În fgura 6.6. este rezentă structura generală a une rețele Jackson. Sursa externă, consderată a f "stața externă" de denttate 0, generează clenț conform unu roces Posson de rată. Aceșt clenț sunt reluaț de rețea, care î dstrbue robablstc celor staț, ar acestea, duă defntvarea relucrărlor ce le revn, îndrumă clenț fe sre celelalte staț, fe sre exterorul rețele, "stața externă". În acest fel, clenț suferă relucrăr reetate în cadrul rețele, utând reven nclusv rn ssteme tranztate anteror. Drjarea clențlor în rețea se face robablstc, semnfcațle robabltățlor marcate în fgura 6.6. fnd: 0, robabltatea ca un clent ce vne dn exterorul rețele (stața vrtuală 0) să se îndrete către stața,, astfel încât 0,.,j robabltatea ca un clent servt de stața să fe drjat către o altă stațe j, astfel încât j,j, j (destnața externă fnd ș ea nclusă ca stațe ). Vectorul de stare n n,n,,n, caracterstc rețele, reczează numărul de clenț în fecare sstem ș este caracterzat de o anumtă robabltate, notat Nn PrN n n, ce oate f determnat e baza cunoașter tuturor robabltățlor de tranzțe ș rezolvând sstemul ecuațlor de echlbru global; aceste ecuaț se scru, de exemlu, folosnd o dagramă de tranzț ca cea rerezentată în fgura 6.6..

14 54 INGINERIA TRAFICULUI n ( n ),0 0, ( n ),0 n ( n ) j j j, n 0, ( n ), ( n ), j n j Fgura 6.6.: Dagramă de tranzț ș stăr entru rețele Jackson deschse Dagrama aarțne de fat unu roces de naștere ș moarte cu număr nfnt de stăr, entru ș j oarecare,, j. De reczat că notața 0, 0,,,, 0 rerezntă "vectorul untate e ozţa " în care valoarea aare doar entru elementul de rang, toate celelalte elemente ale sale fnd 0. Ecuațle de echlbru global, coresunzătoare fluxurlor robablstce de ntrare ș eșre care străbat frontera de refernță,, numte ecuațle Chamman - olmogorov, sunt de forma următoare: k k ( n ) ( ) , n 0, n 4 4 robabltatea de rata de ntrare a ărăs sstemul în starea n ( ) rata totală de ărăsre a stăr n ( a ) k ( n ), k k j ( n j ) j, j n n j (6.6.) Țnând seama că toate stațle au șrur nfnte de aștetare, rezolvarea sstemulu format dn ecuațle de balans rerezntă o roblemă dfclă, de aceea vom recza doar concluzle ce le mlcă. Aceste concluz rerezntă de fat teorema lu Jackson, care se enunță astfel: Consderând că ratele de servre au exresa: n entru n s n (6.6.) s entru n s ș că se resectă condțle de stațonartate: ns, atunc, entru orcare stare osblă n n,n,,n a rețele, robabltatea de stare se exrmă sub formă rodus, ș anume: n Nn PrN n PrN n PrN n (6.6.) unde Pr N n este robabltatea de stare a sstemulu de t M/M/s la care rata sosrlor este, ar rata servrlor este n. Țnând cont de legăturle dn rețea, ratele de sosre, se determnă scrnd ș rezolvând următorul sstem de ecuaț de trafc: 0, j,j j, j, entru, N (6.6.4)

15 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 55 sau, în formă matrcală: Λ q ΛP (6.6.5) în care: q 0,, 0,,, 0, este vectorul robabltățlor de îndrumare la ntrarea în rețea, P,j este matrcea robabltățlor de îndrumare în rețea, Λ este vectorul ratelor de ntrare în fecare sstem. Dacă matrcea P are lnle ndeendente, condțe îndelntă în cazul rețelelor desche, soluța sstemulu este: q Λ ( I fnd matrcea untate) (6.6.6) I P,,, Țnând cont de conservarea afluențe de clenț la bornele rețele, ceea ce înseamnă că, dat fnd lsa erderlor, entru ntrarea ș eșrea dn rețea este caracterstcă aceeaș rată, este ermsă screrea relațe:, (6.6.7) Cu acestea, folosnd teratv ecuațle de balans local, scrse e baza une dagrame comlete de stăr, se ajunge la exresa detalată a robabltăț de stare a rețele în forma: n n 0 (6.6.8) m m unde 0 este un vector cu elemente, de forma 0 0,0, L,0. În consecnță, relața de normare, n n, ne conduce la exresle e baza cărora se ot calcula 0 ș n. Un caz artcular, frecvent utlzat în analza rețelelor de telecomuncaț, consderă că toate sstemele dn rețea sunt de tul M/M/. În această stuațe ș resuunând că se resectă condța de stabltate entru toate sstemele rețele,,, atunc: 0 (6.6.9) de unde rezultă că: n n (6.6.0) Algortmul bazat e teorema lu Jackson entru calcularea robabltăț de stare a rețele trebue derulat în următor aș: Pasul : calcularea rate de sosre a clențlor în fecare șr rn rezolvarea sstemulu ecuațlor de trafc (6.6.4) sau (6.6.5) Pasul : consderând că fecare stațe este un sstem M/M/s se verfcă stațonartatea ș, în caz afrmatv, se calculează robabltățle de stare ș ndcator de erformanță dorț, cu ajutorul exreslor cunoscute. Pasul : folosnd (6.6.0) se calculează robabltatea de stare a rețele. Alcața 6.6. Fe rețeaua dn fgura 6.6.4, formată dn șrur de t monoserver FIFO, almentată cu rata externă 5clenț/sec. Să se calculeze ndcator de erformanță ș robabltatea ca rețeaua să se găsească în starea,0,, dacă 0,5 0,5 Fgura 6.6.4: Rețea Jackson cu staț

16 56 INGINERIA TRAFICULUI tm de servre a clențlor sunt exonențal dstrbuț, ratele de servre fnd secfce entru două regmur de lucru: a), 75 clenț/sec, sau b) clenț/sec ș 4 4 clenț/sec. Rezolvare: Ratele de ntrare în fecare sstem se determnă rn rezolvarea sstemulu ecuațlor de trafc: 0, ;,, 0, 5 0, 5,, 0, 5 obțnându-se în fnal că: 5, 7, 5 ș 0 clenț/sec. Pentru a se verfca, entru cele două stuaț rouse, condța de stabltate se calculează valorle ntestăț de trafc ofert fecăru sstem: a) 0, 5, 0, 75 ș 8 / 7, dec, în această stuațe, contnuarea calculelor nu ma are sens, datortă nstabltăț ultmulu sstem. b) 0, 5, 0, 75 ș 0, 75. În acest caz se oate contnua cu calcularea valorlor solctate, toate șrurle resectând condța de stabltate. - robabltatea stăr,, a rețele este:, 0, N N 0 N 7, numărul medu de clenț rezenț în rețea: N N - tmul medu de tranzt rn rețea: T 0 5 Lttle N 5/ 5 sec. clenț, Rețele Gordon-Newell Gordon ș Newell consderă rețelele închse cu aștetare, suuse aceloraș oteze ca ș rețelele Jackson, sngura dferență, majoră de altfel, fnd aceea că nc un clent nu ntră în rețea sau nu ese dn rețea, adcă 0,, 0 (dn această cauză, în unele lucrăr, entru aceste rețele se folosește char denumrea de Jackson închse). Această dferență are, însă, un mact semnfcatv, ce generează următoarele caracterstc secfce: în rețea crculă ermanent aceaș clenț, în număr constant, N N, rețeaua rezntă un număr fnt de stăr osble, egal cu M C N, coresunzătoare modulu în care clenț sunt dstrbuț sstemelor, ratele de ntrare în fecare sstem dend de valoarea lu N, motv entru care este necesară substtuța N. Totuș, entru smltatea screr, vom consdera în contnuare echvalente cele două notaț. ratele de ntrare în ssteme, N, nu sunt legate de o rată externă de sosre. În acest caz, sstemul de ecuaț de trafc (6.6.4) devne: N j N j j, entru, (6.6.) sau, scrs în formă matrceală: Λ Λ P, unde P j, (6.6.) Notațle Λ ș P au aceleaș semnfcaț ca ș în cazul rețelelor Jackson deschse, dar, de data aceasta, matrcea P nu ma are toate lnle ndeendente fnd, dec, nenversablă. În consecnță, soluțle sstemulu nu ma sunt unce, motv entru care, una N. Această atrbure este echvalentă cu a dn ratele de ntrare se consderă rată globală,

17 6. Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 57 consdera rata relatvă de vztare rn resectvul sstem egală cu ș ermte ca sstemul (6.6.) să abă soluțe uncă.