Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic

Transcript

1 Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M / Modelul ( servere, pozt de asteptare ) Modelul smplu de trafc Rata de sosre a cletlor sstem (clet pe utatea de tmp) = tmpul medu tersosr /λ Clet sut servt de u umar de servere paralele Cad u server e ocupat el serveste cu rata (clet pe utatea de tmp) /μ = tmpul medu de servre al uu clet + m Exsta pozt petru clet sstem Cel put pozt de servre s cel mult m pozt de asteptare λ μ Clet blocat (care sosesc atuc cad sstemul este pl) sut perdut

2 < Sstemul cu asteptare pur Numar ft de servere, = pozt de servre, umar ft de pozt de asteptare m = Daca toate cele pozt de servre sut ocupate mometul sosr uu clet, acesta ocupa o pozte de asteptare Nc u clet u e perdut dar u dtre e vor trebu sa astepte petru a f servt D puctul de vedere al utlzatorlor este teresat de stut care este probabltatea ca u clet sa astepte prea mult Dscpla cadrul cozlor de asteptare (Queueg) Se cosdera u sstem cu asteptare cu u sgur server dec = Dscpla de asteptare determa modul care sut servt clet Da format despre Modul care sut servt clet: uul cate uul sau smulta Daca sut servt uul cate uul e spue Ordea care sut luat servre clet Daca clet sut servt smulta e da format refertor la Modul de partajare a capactat de servre tre dfert clet Nota: I cadrul sstemelor de calcul coceptul echvalet este schedulg O dscpla de astepatre este umta work-coservatoare daca clet sut servt la rata treaga de servre μ or de cate or sstemul u este gol.

3 Dscple queueg work coservatoare Frst I Frst Out (FIFO) = Frst Come Frst Served (FCFS) Dscpla de servre comua Ordea de sosre = Ordea de servre Clet sut servt uul cate uul ( la rata treaga de servre μ ) Itotdeaua e servt cletul care a asteptat cel ma mult. Dscpla mplcta cadrul cursulu. Nc u clet u e perdut dar u dtre e vor trebu sa astepte petru a f servt Last I Frst Out (LIFO) = Last Come Frst Served (LCFS) Dscpla de servre cu versare Clet sut servt uul cate uul ( la rata treaga de servre μ ) Itotdeaua e servt cletul care a asteptat cel ma put. Cu partajarea procesorulu Processor Sharg (PS) far queueg Clet sut servt smulta Daca avem clet sstem fecare e servt cu aceeas rata μ / Aplcata la Ssteme cu partajare Coada M / M / Cosderam urmatorul model smplu de trafc: Ift umar de clet depedet: k = Tmp tersosr sut varable IID s au o dstrbute expoetala de mede: /λ Dec clet sosesc potrvt uu proces Posso de testate = U sgur server: Tmp de servre sut varable IID dstrbute expoetal de mede Numar ft de pozt de asteptare: m = Dscpla de servre FIFO Utlzad otata Kedall M/M/-FIFO-queue λ /μ Notat: ρ=λ/ μ = trafc ofert

4 Varable aleatoare mplcate X = umarul de clet aflat sstem la u momet de tmp arbtrar = sstemul e echlbru statstc X = umarul de clet sstem mometul sosr uu ou clet = lugmea coz vazuta de u clet care soseste. = tmpul de asteptare al uu clet tpc S = tmpul de servre al uu clet tpc D=+S = tmpul total pe care u clet tpc l petrece sstem = tarzere Xt () Dagrama taztlor de stare Fe umarul de clet sstem la mometul t Sa presupuem ca Xt () = la u aumt momet de tmp t s sa cosderam ce se tampla pe u terval scurt de tmp (, tt+ h] Poate sos u ou clet cu probabltatea λ h+ o( h) ceea ce determa o trazte + Daca >, atuc cu probabltatea μ h+ o( h) u clet poate paras sstemul ceea ce determa o trazte: Xt () Procesul este mod clar u proces Markov cu urmatoarea dagrama a traztlor: Procesul Xt () este u proces de astere s moarte reductbl cu u spatu al starlor ft S = {,,, }

5 Probabltatea de stare () Ecuatle echlbrelor locale (LBE) πλ=π + + π =ρ π, =,,, μ λ π = π =ρπ μ ( LBE) Relata de ormare: π =π ρ = ( N) = = π = ρ = = ρ, daca ρ< = ρ Probabltatea de stare () Petru u sstem stabl ρ <, aflat echlbru statstc, probabltatea de stare respecta o dstrbute geometrca: ρ< X Geom( ρ) PX { = } =π = ( ρ) ρ, =,,, ρ ρ EX [ ] =, D[ X] = ρ ρ Observate: Acest rezultat este vald petru orce dscpla work-coservatoare ( FIFO, LIFO, PS,.) Acest rezultat u depde de dstrbuta tmpulu de servre cazul FIFO seama ca e valda petru orce dstrbute a tmploe de servre de mede Totus petru orce dscpla de servre smetrca ( ca de expl. LIFO sau PS) rezultatul u depde de dtrbuta tmpulu de servre

6 E[ X ] -lugmea coz- ρ Valoarea mede a coz de asteptare fucte de trafcul ofert Itarzerea mede D Fe tmpul total de tarzere sstem al uu clet tpc Icluzad atat tmpul de asteptare cat s pe cel de servre : S D= + S E[ X] =λe[ D] Coform formule lu Lttle avem:. Astfel: EX [ ] ρ ED [ ] = = = = λ λ ρ μ ρ μ λ Observate: Itarzerea mede este aceeas petru toate dscplele de servre workcoservatoare cadrul cozlor de asteptare: (FIFO, LIFO,PS,.) Varata s cele momete dfera sa

7 Itarzerea mede E[ D] fucte de trafcul ofert ρ = S D Tmpul medu de asteptare Fe tmpul de tarzere sstem al uu clet tpc Itrucat: ρ E [ ] = ED [ ] ES [ ] = = μ ρ μ μ ρ

8 Dstrbuta tmpulu de asteptare () Fe tmpul de asteptare al uu clet tpc Sa otam cu X umarul de clet sstem mometul sosr uu ou clet Coform propretat PASTA: PX { = } = PX { = } =π Sa presupuem acum ca: X = Tmp de servre S,, S a cletlor care asteapta sut varable IID cu dstrbuta Exp( μ) Datorta propretat memoryless a dstrbute expoetale tmpul de servre ramas S petru cletul servre respecta deasemeea dstrbuta expoetala Exp( μ) (s este depedet raport cu tot celalt tmp) Datorta dscple de servre FIFO = S + S + + S Sa costrum u proces Posso puctual τ defd τ =S s τ = S + S + + S, Itrucat ( X = ) : > t τ > t Itrucat = X = avem: Dstrbuta tmpulu de asteptare () = P { = } = P{ X = } =π = ρ P { > t} = P { > tx = } P{ X = } = P{ τ > t} π = P{ τ > t}( ρ) ρ = = A() t Sa otam cu procesul Posso corespuzator lu Rezulta ca: τ > t A() t A() t = Posso( μt) Pe de alta parte se ste ca:. Dec: ( μt) P{ τ > t} = P{ A( t) } = e j! j= τ j μt

9 Dstrbuta tmpulu de asteptare (3) Combad formulele precedete obtem: P { > t} = P{ τ > t}( ρ) ρ = ( μt) μt = e ( ρ) ρ j! = j= j j j ( μρ t ) μt ( j+ ) ( μρ t ) μt μtρ μt μ( ρ) t =ρ e ( ρ) ρ =ρ e =ρ e e =ρe j! j! j= = j+ j= Dstrbuta tmpulu de asteptare (4) Tmpul de asteptare poate f exprmat ca produs a doua varable depedete: = JD, ude J Beroull( ρ) s D Exp( μ( ρ)) : P{ = } = P{ J = } = ρ μ( ρ) t P { > t} = P{ J=, D> t} =ρ e, t> ρ E [ ] = E[ J] ED [ ] =ρ = μ( ρ) μ ρ ρ E [ ] = P{ J= } ED [ ] =ρ = μ ( ρ) μ ( ρ) ρ( ρ) D [ ] = E[ ] E[ ] = μ ( ρ)

10 Aplcate: modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M / Modelul poate f aplcat petru modelarea trafculu de date la vel de pachete Cletul: pachetul IP λ = rata de sosre a uu pachet (pachete pe utatea de tmp) /μ = tmpul medu de trasmtare al uu pachet(utat de tmp) ρ=λ/ μ= carcarea cu trafc Caltatea servculu este determata de tarzerea uu pachet: P z = probabltatea ca u pachet sa astepte prea mult( ma mult dect o valoare de referta z ) P = P{ > z} =ρe z μ( ρ) z Multplexg ga ρ P < % z = Se determa carcarea astfel cat z petru utat de tmp. Multplexg ga este data de varata trafculu ca fucte de rata de servre μ.

11 Coada M / M / Cosderam urmatorul model smplu de trafc: Ift umar de clet depedet: k = Tmp tersosr sut varable IID s au o dstrbute expoetala de mede: /λ Dec clet sosesc potrvt uu proces Posso de testate λ < Numar ft de servere : Tmp de servre sut varable IID dstrbute expoetal de mede Numar ft de pozt de asteptare: m = Dscpla de servre FIFO (FCFS) Utlzad otata Kedall M/M/-FIFO-queue /μ Notat: ρ=λ/( μ) = trafc ofert Xt () Dagrama taztlor de stare Fe umarul de clet sstem la mometul t Sa presupuem ca Xt () = la u aumt momet de tmp t s sa cosderam ce se tampla pe u terval scurt de tmp (, tt+ h] Poate sos u ou clet cu probabltatea λ h+ o( h) ceea ce determa o trazte + Daca >, atuc cu probabltatea m{, } μ h+ oh ( ) u clet poate paras sstemul ceea ce determa o trazte: Procesul Xt () este mod clar u proces Markov cu urmatoarea dagrama a traztlor: Procesul Xt () este u proces de astere s moarte reductbl cu u spatu al starlor ft S = {,,, }

12 Probabltatea de stare () Ecuatle echlbrelor locale (LBE) petru < πλ=π ( + ) μ + λ ρ π = π = π ( + ) μ + + ( ρ) π = π, =,,,! ( LBE) Ecuatle echlbrelor locale (LBE) petru: πλ=π + μ λ π = π =ρπ μ + ( LBE) ( ρ) ρ π = ( ρ) π = ( ρ) π = π, =, +,!! Probabltatea de stare () Relata de ormare (N) ( ρ) ρ π =π + = ( N)!! = = = ( ρ) ( ρ) π = + ρ =!! = ( ρ) ( ρ) = + =, daca ρ< =!!( ρ) α+β Notate: ( ρ) ( ρ) α=, β=!!( ρ) =

13 Probabltatea de stare () Astfel petru u sstem stabl ( ρ< ceea ce seama: λ< μ ) echlbrul statstc exsta s probabltatea de stare este: ρ< ( ρ), =,,,! α+β PX { = } =π = ρ, =, +,! α+β ρ < ρ = : α=, β=, π = = ρ ρ α+β ρ ρ = : α= + ρ, β=, π = = ρ α+β +ρ Probabltatea de asteptare Fe p probabltatea ca u clet care soseste sa tre asteptare Sa otam X umarul de clet sstem mometul sosr uu ou clet U ou clet trebue sa astepte or de cate or toate serverele sut ocupate mometul sosr sale: p = P{ X } PASTA: PX { = } = PX { = } =π. Astfel: ρ ( ρ) β p = P{ X } = π = π =π =!!( ρ) α+β = = = : p =ρ ρ = : p = +ρ

14 Numarul medu de clet care asteapta Fe X umarul medu de clet care asteapta starea de echlbru statstc ( ρ) EX [ ] = ( ) π =π ( )( ρ) ρ =!( ρ) = = p ρ ρ Atuc: ρ ρ = : E[ X] = p = ρ ρ 3 ρ ρ ρ ρ = : E[ X] = p = = ρ +ρ ρ ρ Tmpul medu de asteptare Fe tmpul medu de asteptare al uu clet tpc Potrvt formule lu Lttle avem: E[ X ] = λe[ ]. Astfel: EX [ ] ρ p E [ ] = = p = = p λ λ ρ μ ( ρ) μ λ p ρ = : E [ ] = = μ ρ μ ρ p ρ = : E [ ] = = μ( ρ) μ ρ

15 D Itarzerea mede Fe tmpul medu total petrecut sstem de u clet tpc Icluzad tmpul de asteptare s pe cel de servre D : D= + S p ED [ ] = E [ ] + ES [ ] = + = p + μ ( ) ρ μ λ μ p ρ = : E[ D] = + = + = μ ρ μ ρ μ ρ p ρ = : E[ D] = = + = μ ( ρ) μ ρ μ ρ X Lugmea mede a coz de asteptare Fe umarul de clet sstem (lugmea coz) la echlbru statstc: Potrvt formule lu Lttle avem; E[ X] = λe[ D]. Astfel: λ λ ρ E[ X] = λ E[ D] = p + = p + ρ μ λ μ ρ ρ ρ ρ = : E[ X] = p +ρ=ρ +ρ= ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = : E[ X] = p + ρ= + ρ= ρ +ρ ρ ρ

16 Dstrbuta tmpulu de asteptare () Fe tmpul de asteptare al uu clet tpc Sa otam cu X umarul de clet sstem mometul sosr uu ou clet Cletul trebue sa astepte uma daca X. Acest lucru se tampla cu probabltatea: p Presupuad ca : X =, sstemul arata ca u sstem M / M / cu rata de sosre a cletlor λ s rata de servre μ Fe ' tmpul de asteptare al uu clet tpc aceasta coada M / M / ' Fe X umarul de clet sstem la mometul sosr uu ou clet Rezulta: P { = } = p P { > t} = P{ X P } { > tx } = ' ' μ( ρ) t = p P{ > t X } = p e, t > = JD Dstrbuta tmpulu de asteptare () Tmpul de asteptare poate f exprmat ca produs a doua varable ' ' depedete:, ude s D Exp( μ( ρ)) : J Beroull( p ) P { = } = P{ J= } = p ' μ( ρ) t P { > t} = P{ J=, D > t} = p e, t> ' p E [ ] = E[ J] ED [ ] = p = μ( ρ) μ ( ρ) ' p E [ ] = P{ J= } ED [ ] = p = μ ( ρ) μ ( ρ) p( p) D [ ] = E [ ] E [ ] = μ ( ρ)

17 Exemplu () Problema tparr Fe urmatoarele doua cofgurat: O mprmata rapda (tmp de mprmare varable IID Exp( μ) ) : Doua mprmate paralele ma lete (tmp de mprmare varable IID Exp( μ) Crterul de selecte: mmzarea tarzer med: Petru mprmata rapda avem; model cu ρ =λ/( μ) : ED [ ] = μ ρ M / M / M / M / ρ=λ/( μ) Petru cele mprmate ma lete: model cu : ED [ ] = = = [ ] [ ] ( )( ) ED > μ ρ μ ρ +ρ ( +ρ) ED Exemplu () ED [ ] = μ ρ M / M /