7.1. Legile lui Kepler. Legea atracţiei universale (gravitaţionale)

Transcript

1 7. Gavitaţia Studiul mişcăii planetelo îşi ae începutuile în astonomie, în obsevaţiile şi analizele asupa taiectoiilo Soaelui, a Lunii şi a celo cinci planete vizibile cu ochiul libe (Mecu, Venus, Mate, Jupite şi Satun). Cuvântul planetă deivă din geacă, unde inseamnă doinţă. Ei studiau aceste copui cae "stăteau cumva atânate deasupa capului lo", consideându-le ca divine şi multe dinte activităţile zilnice cezând că sunt influenţate de poziţia lo. De aceea doeau să le pezică viitoaele poziţii. Astonomul gec Ptolemeu a popus un sistem în cae Pământul ea în centu şi toate celelate planete, Soaele, Luna se învâteau în juul său. Alegând o combinaţie anume de mase şi viteze, el putea să pezică mişcaea planetelo cu o acuateţe destul de bună. Schema lui a fost adoptată şi a supavieţuit mai mult de 1000 ani, până la Copenicus. Acesta a stabilit modelul heliocentic, mult mai simplu, în cae Soaele este în centu şi a demonstat că toate măsuătoile veifică acest lucu. Tycho Bahe ( ), cae s-a născut la tei ani după moatea lui Copenicus, a imaginat un sistem în cae Pământul ea în centu, Soaele şi Luna se oteau în juul său, ia celelate planete se oteau în juul Soaelui. Oicum, după el au ămas însemnăi multiple cu o acuateţe de minute de ac (un minut de ac ae 1/60 gade). Obsevaţiile lui Tycho au fost moştenite de căte Keple ( ), cae a obţinut cele tei legi empiice ale sale Legile lui Keple. Legea atacţiei univesale (gavitaţionale) Legile de mişcae ale planetelo în juul Soaelui au fost stabilite de Johann Keple după calcule de apoape două decenii, pe baza obsevaţiilo de mae pecizie ale lui Tycho Bahe şi ele au umătoul enunţ: 1. Planetele se mişcă în juul Soaelui pe taiectoii eliptice, Soaele aflându-se în unul din focae. Razele vectoae, duse de la Soae la planetă, desciu aii egale în timpi egali, adică viteza aeolaă sau sectoială este constantă (Fig ) 3. Pătatele timpilo de evoluţie ale planetelo în juul Soaelui sunt popoţionale cu cubuile semiaxelo mai ale elipselo: 3 T = k

2 S P Fig Pentu a scie aia descisă de aza vectoae, folosim fomula aiei tiunghiului (podusul latuilo cu sinusul unghiului dinte ele): Δ 0 1 dϕ sau d sin(, d ) 1 ΔS ( + Δ)sin( Δϕ) ϕ ds = = ds = d Ultima expesie ne aată că aia elementaă se poate epezenta pint-un vecto pependicula pe aie (Fig ). ds O +d Q ds d P P' d v Fig Viteza aeolaă se defineşte ca fiind vaiaţia aiei descise de aza vectoae a planetei în unitatea de timp: ds 1 d 1 v 1 1 Ω = = = v = p = L dt dt m m Pentu mişcaea plană, fomula vitezei aeolae devine: ds 1 dϕ 1 Ω = = = & ϕ L = mω = m & ϕ = I & ϕ dt dt Legea a doua ne spune că viteza aeolaă este constantă, da folosind ultima expesie se poate spune că vectoul moment cinetic al planetei faţă de Soae este constant. Din legile lui Keple, pe baza legii fundamentale a dinamicii, Newton a dedus legea atacţiei univesale. Dacă apoximăm taiectoia eliptică a planetelo cu un cec, atunci vitezele unghiulaă şi liniaă sunt constante, ia asupa planetei se execită o foţă centipetă: legea 3 Keple v 4π m m F = m = mω = 4π m F = T k Deci foţa execitată de Soae asupa planetei este popoţională cu masa planetei şi inves popoţională cu pătatul distanţei dinte ele. Da confom pincipiului tei al mecanicii, o foţă egală şi de sens conta se execită din patea planetei asupa Soaelui,

3 deci foţa atacţiei dinte ele tebuie să fie popoţională şi cu masa Soaelui. Alegând convenabil constanta, se scie expesia foţei atacţiei univesale: mm F = γ unde m este masa planetei, M este masa Soaelui (sau a celuilalt cop înte cae se 11 execită foţele ecipoc), este distanţa dinte ele, ia γ = 6,67 10 Nm / kg este constanta atacţiei univesale. Foţele gavitaţionale sunt impotante numai dacă unul din copui ae dimensiuni astonomice (om-pământ) sau ambele (înte copui ceeşti). Să vedem dacă inţelegem fizica Dacă gavitaţia dinte Soae şi Pământ a fi înteuptă, a mai fi valabilă legea a doua a lui Keple? A B C D E F P S Fig Dacă linia imaginaă ce uneşte Soaele şi planeta mătuă aii egale, atunci aceasta este echivalent cu a spune că momentul cinetic al planetei în apot cu Soaele se consevă (este constant). Dacă se îndepătează gavitaţia, planeta se va mişca ectiliniu pe o deaptă tangentă la taiectoie în punctul de despindee, cu viteza din momentul despindeii. Adică segmente egale (AB=CD=EF) sunt pacuse în timpi egali. Ia aiile tiunghiuilo sunt egale (baze egale şi aceeaşi înălţime SP) Să vedem dacă înţelegem fizica Înt-o peşteă din inteioul Pământului, foţa atacţiei gavitaţionale este mai mae, mai mică sau aceeaşi ca la supafaţă Pământului?

4 Fig Mişcaea în câmp cental Un câmp de foţe cental este un spaţiu în cae acţionează foţele centale. Acestea sunt foţe al căo modul depinde de modulul vectoului de poziţie, ia diecţia foţei centale coincide cu cea a vectoului de poziţie, adică: F = F( ) Dacă F( ) > 0, atunci foţa este de espingee, ia dacă F( ) < 0, atunci foţa este de atacţie. Deoaece modulul foţei depinde doa de măimea vectoului de poziţie nu şi de diecţia sa (nu depinde de unghiuile dinte vectoul de poziţie şi axe), atunci câmpul de foţe cental ae o simetie sfeică. Exemple de câmp de foţe cental sunt: câmpul gavitaţional şi câmpul electostatic Mişcaea pe o cubă oaecae dj j' j d i' di O ' i Fig Dacă consideăm un cop cae execută o mişcae înt-un plan, atunci vaiaţia vectoului de poziţie se descompune în două componente, pe două axe alese de-a lungul diecţiei adiale momentane şi pependicula pe aceasta (vezi capitolul de cinematică, ultima fomulă de la viteze, când avem doi temeni, unul tansvesal cae expimă faptul că taiectoia este cubilinie şi unul de-a lungul azei cae expimă faptul că ace egale sunt pacuse în timpi inegali):

5 d d dϕ d = i d + jdϕ = i + j v = v i + vϕ j dt dt dt Deivând expesia vitezei ţinând cont de fomulele Poisson, vom obţine expesia vectoului acceleaţie totală şi componentele sale adiale şi tansvesale: & a i & i & v = = & + && + j & ϕ + j& & ϕ + j && ϕ = i && & ϕ + j && ϕ + & & ϕ = i a + ja 7... ( ) ( ) ϕ Acceleaţia tansvesală se mai poate scie folosind viteza aeolaă: 1 d dϕ 1 a = = ( &) = Ω& ϕ ϕ dt dt Legea fundamentală a dinamicii se scie pe componente: F = ma = m & & ϕ, F = ma = m && ϕ + & & ϕ ( ) ( ) ϕ ϕ 7... Mişcaea în juul unui centu de foţe În cazul câmpului cental de foţe, se alege în centul foţelo - oiginea sistemului de efeinţă şi polul faţă de cae se calculează momentele foţelo şi momentul cinetic. În acest caz, F = 0, F = F şi la fel la acceleaţii. În acest caz, teoema momentului cinetic ϕ faţă de centul foţelo se scie: & L = M = 0 L = const. = p = mω Rezultă celeba integală a momentului cinetic sau consevaea momentului cinetic: L = mω = m ϕ& = const Adică mişcaea este plană şi viteza aeolaă este constantă (aşa cum a dedus şi Keple din măsuătoi expeimentale). Ecuaţia mişcăii (ponind de la pincipiul fundamental) se scie doa pentu componenta adială: mutam temenii (& & ϕ ) = F m && = F + m & ϕ = F + F' m & unde F' joacă ol de foţă centifugă. Aceasta este o foţă consevativă, deci putem defini o enegie potenţială centifugă: L d L du F ' ' = mϕ& = = = 3 m d m d În acest fel poblema devine unidimensională, de-a lungul azei. Enegia cinetică este: mv m m& L m& E c = = ( i & + & ϕ j) = + = + U ' m Înmulţind ecuaţia mişcăii cu d sau aplicând diect teoema enegiei cinetice, se obţine: fote consevative m& L m& L dec = d + = Fd = dw dec = d = du m + m Atunci vom obţine integala enegiei sau teoema de consevae a enegiei totale: m& L + + U = E = const. m

6 7.3. Câmpul gavitaţional şi potenţialul gavitaţional Un cop simte pezenţa altui cop, aflat la o anumită distanţă şi inteacţionează cu acesta pin intemediul unui câmp câmpul gavitaţional. În juul oicăui cop există un astfel de câmp şi oice cop simte câmpuile gavitaţionale ale copuilo cae îl înconjoaă. Pentu a caacteiza câmpul gavitaţional s-au intodus câteva măimi fizice, scalae şi vectoiale: 1. Intensitatea câmpului gavitaţional este o măime vectoială şi se defineşte ca fiind apotul dinte foţa execitată de căte câmp asupa unei paticule punctifome şi masa acestei pobe : def F Γ = F = mγ = ma a = Γ m Am putut scie elaţia anteioaă în vitutea egalităţii dinte masa ineţială şi masa gavifică. Rezultă că o paticulă supusă numai unui câmp gavitaţional va căpăta o acceleaţie egală cu intensitatea câmpului, independent de masa sa, de natua substanţei, de dimensiunile sau foma sa. Din legea atacţiei univesale, ezultă foma intensităţii câmpului gavitaţional: M Γ = γ unde semnul minus indică caacteul atactiv al câmpului.. Enegia potenţială a paticulei m în câmpul gavitaţional al copului M este: mm du = Fd U = Fd = γ Rezultă: câmpul gavitaţional este un câmp consevativ. 3. Potenţialul câmpului gavitaţional este o măime scalaă şi se defineşte ca fiind enegia potenţială a paticulei de pobă apotată la masa acesteia, sau altfel, pin lucul mecanic efectuat de foţele câmpului pentu a deplasa paticula m la infinit, împăţit la masa acesteia: U M dv def = Γd V = = γ U = mv m Difeenţa de potenţial înte două puncte ale câmpului este egală cu minus lucul mecanic efectuat de foţele câmpului înte aceste două puncte. Liniile de câmp sunt adiale, supafeţele echipotenţiale sunt sfee concentice cu copul geneato de câmp, ia sensul vectoului intensitate câmp gavitaţional este spe copul geneato de câmp gavitaţional. Legătua înte intensitatea câmpului gavitaţional şi potenţialul său este: Γ = gadv Enegia de inteacţiune a două paticule se deduce ţinând cont de fomula enegiei potenţiale: m1m m1 m m m1 m1v 1 mv U = γ = γ + γ =

7 unde V 1 este potenţialul în punctul în cae se află copul cu masa m 1. Ia pentu un N 1 sistem de N paticule: U = m k V k unde V k este potenţialul în punctul în cae k = 1 se află copul cu masa mk. 5. Enegia de legătuă este enegia de inteacţiune a unui sistem de copui, luată cu semn schimbat, adică enegia necesaă pentu a desface sistemul în păţile componente şi a le duce la infinit. Ea este egală şi cu enegia degajată la fomaea sistemului din paticulele libee aduse de la infinit Aplicaţie. Mişcaea planetelo n. Planeta a = semiaxa mae a taiectoiei (U.A.) T = peioada mişcăii în juul Soaelui 10 6 (s) 3 19 T / a 10 m -3 s 1 Mecu 0,377 7,60,98 Venus 0,73 19,3,949 3 Pământ 1,000 31,60,986 4 Mate 1,53 59,4,989 5 Jupite 5,0 374,973 6 Satun 9, ,968 7 Uanus 19,17 660,983 7 Neptun 30, ,964 9 Pluto 39, ,947 1U.A. = 1, m Conica este cuba obţinută pin secţionaea unui con cu un plan. Ecuaţia unei conice se obţine egalând cu zeo funcţia de mai jos: f ( x, y) = a11x + a1xy + a y + a13x + a3 y + a33 Pentu a vedea tipul conicei, se calculează deteminantul: a11 a1 Δ = = a11a a1 a1 a Dacă Δ > 0, conica este o elipsă, dacă Δ = 0, conica este o paabolă, Δ < 0, conica este o hipebolă. Focaele conicei sunt punctele în apot cu cae suma distanţelo, d ela oice punct de pe conică la acestea este o constantă. Elipsa şi hipebola au două focae, pe când paabola ae unul singu. Elipsa ae două semiaxe, a-semiaxa mae şi b-semiaxa mică. În coodonate polae şi ϕ, ecuaţia conicei se scie: p = 1+ ecosϕ unde p = b / a, ia e este excenticitatea, cae ae expesiile:

8 a b < 1, pentu elipsa a e = a + b > 1, pentu hipebola a 1, pentu paabola 0, pentu cec ( a = b) Consideăm mişcaea unei planete pe o taiectoie eliptică, cu Soaele înt-unul din π ab focae. Atunci viteza sa aeolaă se scie în funcţie de aia elipsei: Ω = T Să vedem dacă înţelegem fizica Să pesupunem că am tăi pe lună şi Pământul a fi deasupa capului, după cât timp am vedea Pământul apunând? 7.5. Aplicaţie: Sateliţi atificiali Condiţia ca un satelit să aibă o mişcae pe o obită ciculaă staţionaă în juul Pământului, este ca foţa centifugă şi cea a atacţiei univesale să fie egale şi de sens conta: γ M p m v = m De aici ezultă valoaea vitezei pe cae tebuie să o aibă satelitul pe taiectoia sa v 01 = γ M p Dacă consideăm un satelit cae se mişcă foate apoape de Pământ încât aza taiectoiei sale este apoximativ aza Pământului, atunci se obţine o viteză numită pima viteză cosmică: v 0 = 7910 km/h Pentu ca un cop să iasă din sfea de influenţă a Pământului, mişcaea acestuia tebuie să se efectueze pe o paabolă în juul Pământului şi nu pe o elipsă. Se demonstează că viteza de evadae de sub acţiunea Pământului este: M p v 0 = γ = m/s aceasta se numeşte a doua viteză cosmică. p

9 Pentu ca un cop să iasă din sfea de influenţă a Soaelui, mişcaea acestuia tebuie să aibă loc pe o paabolă în juul Soaelui. Se demonstează că viteza de evadae de sub acţiunea Soaelui este: M S v 03 = γ = m/s s cae se numeşte a teia viteză cosmică sau viteza de evadae din sistemul sola. Să vedem dacă înţelegem fizica Dacă Pământul nu a avea munţi, clădii,... a putea un satelit să călătoească la o distanţă de supafaţa Pământului, egală cu înălţimea unui copac? Să vedem dacă înţelegem fizica hjmmncecetătoii ameicani: "Îi cunoaştem viteza şi altitudinea, îi putem afla masa?"