2. ELEMENTE DE MECANICĂ NEWTONIANĂ

Transcript

1 3. Elemente de mecanică newtoniană. ELEMENTE DE MECANICĂ NEWTONIANĂ Mecanica newtoniană studiază mişcaea copuilo macoscopice ce se deplasează cu viteze mici în compaaţie cu viteza luminii, cauzele acestei mişcăi pecum şi inteactiunile dinte copui..1. Cinematică.1.1. Definiţii. Măimi fundamentale Cinematica, ca pate a mecanicii, studiază mişcaea copuilo făă a lua în consideaţie cauzele cae o detemină. Ea ne aată cum se mişcă efectiv copuile, funizându-ne legile de mişcae. Studiul mişcaii unui cop pesupune obsevaea unui obiect definit suficient de cla pentu a fi tanssubiectiv, astfel încât toţi subiecţii să se poată efei în acelaşi mod la acesta. Pe de altă pate este necesa să se educă, pe cât posibil, gadul de complexitate al obiectului de intees. Reduceea maximă a gadului de Fig..1 complexitate al unui obiect implică educeea tutuo aspectelo acestuia până la simpla lui pezenţă în spaţiu, făcându-se abstactie inclusiv de extindeea spaţială, espectiv de foma obiectului. Definim astfel punctul mateial ca pezenţă a copului înt-un punct geometic. În momentul în cae facem acest lucu avem nevoie de un supot matematic cae este spaţiul euclidian tidimensional. În acest spaţiu identificăm copul mateial cu punctul geometic, P, espectiv cu vectoul de poziţie al

2 . Elemente de mecanică newtoniană 33 acestuia, adică cu ansamblul celo tei poiecţii ale lui pe axele unui sistem de efeinţă catezian, pe cae îl vom numi sistemul laboatoului (Fig..1). Avem nevoie de o măime fundamentală, lungimea, pentu a fi capabili să discutăm configuaţia unui sistem, espectiv să pecizăm poziţiile elative ale obiectelo, adică ale punctelo mateiale. Constucţia cinematicii necesită însă intoduceea unei a doua măimi fundamentale, timpul. Devine astfel posibil studiul mişcăii copului, vectoul de poziţie devenind o funcţie vectoială de timp, ( t), descisă de ansamblul celo tei funcţii scalae x () t, y() t şi z ( t). Din acest moment studiul cinematic al mişcaii copului se educe la studiul t. matematic al funcţiei vectoiale ( ).1.. Vectoul viteză Datoită mişcăii, copul, consideat punct mateial, ocupă difeite poziţii în spaţiu. Cuba cae conţine totalitatea poziţiilo succesive ocupate de un cop aflat în mişcae se numeşte taiectoie. Fie Γ taiectoia punctului mateial, M1 şi M două poziţii ale acestuia la momentele t1 şi t, definite de vectoii de poziţie (t 1 ) şi ( t ) şi oiginea sistemului de efeinţă O (Fig..). Fig.. Definim viteza instantanee v, înt-un punct oaecae al taiectoiei, ca limita spe cae tinde apotul dinte ( t ) ( t 1 ) şi t t 1 atunci când t t 1, espectiv: ( t ) ( t1) v lim. (.1) t t1 t t1 Cum în sistemul de efeinţă al laboatoului vectoul de poziţie al punctului mateial:

3 34. Elemente de mecanică newtoniană este o funcţie vaiabilă în timp: x1x + y1y + z1z, (.), (.3) ( t) x( t) 1 x + y( t) 1 y + z( t) 1 z viteza v va fi dată de: d dx dy dz v 1x + 1y + 1z, (.4) sau, utilizând o notaţie fecvent folosită df ( t) x& ( t) 1 x + y& ( t) 1 y + z& ( t) 1 z f&, aceasta se mai scie: v &. (.5) În ultimele două elaţii se evidenţiază componentele vitezei faţă de efeenţialul catezian, espectiv: v x dx dy dz x, & v y y, & v z z&. (.6) Mişcaea punctului mateial poate fi descisă şi cu ajutoul coodonatei s cae ne dă poziţia copului pe taiectoia Γ ca lungimea măsuată faţă de o oigine abitaă O' situată pe taiectoia Γ. Coodonata s este o funcţie scalaă de timp, s s( t), deivata sa este tot un scala şi epezintă măimea vitezei pe taiectoie, adică: ds v. (.7) Dacă notăm cu 1 τ vesoul tangentei la taiectoie (Fig..), atunci: d ds 1 τ. (.8) astfel că viteza v se scie:

4 . Elemente de mecanică newtoniană 35 v ds 1 τ. (.9) Din ultima elaţie ezultă că vectoul viteză, definit în fiecae punct al taiectoiei şi la oice moment de timp, este tangent la taiectoia punctului mateial, sensul fiind dat de sensul mişcăii Vectoul acceleaţie Vectoul acceleaţie la un moment de timp t este vectoul a definit ca deivata vectoului viteză în apot cu timpul la momentul consideat: dv d a. (.10) Componentele acceleaţiei se obţin imediat: a a a x y z dv dv x y dv z d x && x d y && y d z && z (.11) Astfel vectoul acceleaţie se scie: a a x 1x + a y 1y + az 1z && x1x + && y1y + && z1z. (.1) În afaă de sistemul de efeinţă al laboatoului, pentu pecizaea poziţiei unui punct mateial se defineşte şi un sistem de efeinţă popiu cu oiginea în punctul mateial şi axele date de vesoii 1 τ şi 1 n, unde 1 n este vesoul nomal la taiectoia Γ (Fig..3) şi oientat spe inteioul acesteia. Tebuie subliniat faptul că 1 τ şi 1 n sunt funcţii de timp.

5 36. Elemente de mecanică newtoniană Fig..3 Astfel, ponind de la elaţia (.9), pe cae o deivăm în apot cu timpul, expesia acceleaţiei se scie: dv d s ds d1 d s ds d1 τ τ a τ + τ + n (.13) unde confom Fig..3 s-a opeat substituţia d1 Din Fig..3, la limita dα d1 τ t t 1 şi, avem: d1 1 τ τ n. ds ρdα, (.14) unde ρ este aza de cubuă a taiectoiei în punctul consideat. Intoducând (.13) în (.1) şi ţinând seama de (.7), avem: d s v a 1 1 τ + n. (.15) ρ Relaţia (.14) epezintă descompuneea acceleaţiei după cele două diecţii de intees: tangenta la cubă şi nomala la aceasta. Componenta după diecţia tangentei, numită acceleaţie tangenţială, ae d s măimea a τ şi sensul mişcăii atunci când viteza ceşte şi inves mişcăii atunci când viteza scade.

6 . Elemente de mecanică newtoniană 37 Componenta după diecţia nomalei, numită acceleaţie nomală, ae v modulul a n şi este totdeauna nomală pe viteză, fiind oientată înspe ρ concavitatea cubei (Fig..4) Mişcaea ectilinie Fig..4 Mişcaea ectilinie este mişcaea a căei taiectoie este o deaptă. Dacă, de exemplu, taiectoia este paalelă cu axa Ox, pacusul s pe taiectoie este chia coodonata x, ia măimea vitezei şi măimea acceleaţiei sunt: dx dv d x v, a, (.16) Dacă măimea vitezei este constantă, mişcaea este unifomă. Evident, pentu acest caz acceleaţia este nulă. Mişcaea cu acceleaţie constantă se numeşte mişcae unifom vaiată: a const. Legile acestei mişcăi ezultă în uma integăii ecuaţiilo (.15): v v 0 x x0 + at at + v 0t + (.17) unde constantele de integae v 0 şi x0, pe cae le vom numi condiţii iniţiale ale mişcăii, epezintă poziţia şi viteza copului la momentul, t 0.

7 38. Elemente de mecanică newtoniană Dacă punctul mateial se deplasează pe o diecţie oaecae, atunci ecuaţiile (.17) devin: v v 0 + at at (.17 ) 0 + v 0t +. Cunoaşteea legilo de mişcae şi a condiţiilo iniţiale pemite deteminaea poziţiei şi vitezei copului deci a stăii acestuia, la oice moment ulteio de timp Mişcaea ciculaă Să consideăm un punct mateial M aflat în mişcae pe o taiectoie ciculaă de ază R (Fig..5). În oice moment, poziţia punctului mateial pe taiectoie este deteminată de unghiul θ pe cae aza vectoae R, R OM, îl face cu aza de efeinţă OM 0. Cum acul s este egal cu R θ, confom elaţiei (.8) viteza v pe taiectoie va fi: Fig..5 θ ds d v R Rω, (.18) dθ unde ω este viteza unghiulaă. Pe toată duata mişcaii, acceleaţia nomală va fi oientată spe centu, ia maimea ei în modul este dată de an v Rω R. (.19) Acceleaţia tangenţială este: d s dω aτ R Rε (.0) dω unde ε epezintă acceleaţia unghiulaă. Dacă viteza unghiulaă este constantă, ω const., mişcaea se numeşte cicula unifomă. În acest caz acceleaţia tangenţială este nulă.

8 . Elemente de mecanică newtoniană 39 O Vectoul viteză unghiulaă ω ae ca supot axa de otaţie pependiculaă în pe planul figuii, ia sensul este cel cae ezultă din elaţia: v ω R. (.1).. Pincipiile mecanicii newtoniene Cinematica ăspunde la întebaea: Cum se mişcă copuile? neluând în discuţie nici un moment cauzele mişcăii. În momentul în cae se pune întebaea: De ce se mişcă un cop înt-un anumit fel?, se tece la dinamică. Întebându-ne despe cauze, ăspunsul ne va conduce imediat la inteacţii dept cauze ale modificăii stăii de mişcae a copului, espectiv la foţe. Analiza expeimentelo acumulate în timp pivind mişcaea copuilo şi influenţa inteacţiunii dinte copui asupa mişcăii i-au pemis lui Isaac Newton să constuiască o teoie fizică unitaă asupa tutuo fenomenelo cae apa în inteacţiunile mecanice dinte copuile macoscopice pecum şi asupa mişcăii acestoa. Astfel, s-a născut mecanica clasică sau mecanica newtoniană. Înainte de a enunţa pincipiile cae stau la baza mecanicii newtoniene tebuie să amintim că aceasta este constuită pe ideea de spaţiu absolut şi timp univesal, independent de spaţiu. Un sistem de efeinţă absolut poate să fie apoximat pint-un sistem de efeinţă având oiginea în centul de geutate al sistemului sola şi axele oientate spe tei stele fixe. Aşa cum am mai discutat, mecanica newtoniană explică coect numai mişcaea copuilo macoscopice având viteze mici în compaaţie cu viteza luminii. Extindeea legilo mecanicii la viteze mai devine posibilă o dată cu apaiţia teoiei elativităţii a lui Einstein. Pe de altă pate studiul mişcăii la nivelul atomic şi subatomic (al micopaticulelo) constituie obiectul mecanicii cuantice, elaboată în pima jumătate a secolului XX. Teoia elativităţii şi mai ales mecanica cuantică au adus după ele o dezvoltae explozivă a întegii fizicii, umată de ezultate tehnologice emacabile...1. Pincipiul ineţiei Enunţul pimului pincipiu, cunoscut ca pincipiul ineţiei, în fomulaea lui Newton, cu efeie la spaţiul absolut este: Oice cop îşi păstează la infinit staea lui de epaus sau de mişcae ectilinie şi unifomă, dacă nu este constâns să-şi modifice această stae de mişcae pin intevenţia veunei foţe impimate. Popietatea intinsecă a copului, consideat punct mateial, de a-şi păsta staea de mişcae ectilinie şi unifomă, espectiv de a se împotivi modificăii acesteia, se numeşte ineţie. Expeienţa ne aată că ineţia difeă de la un cop la

9 40. Elemente de mecanică newtoniană altul aceasta fiind o caacteistică popie fiecăui cop. Apae astfel necesitatea intoduceii unei a teia măimi fundamentale în mecanică, ca măsuă a ineţiei, şi anume masa ineţială, m. Pincipiul ineţiei pemite să se intoducă sistemul de efeinţă ineţial, ca fiind sistemul de efeinţă în cae este espectat pincipiul ineţiei. Toate sistemele de efeinţă ineţiale sunt echivalente înte ele şi se deplasează unele faţă de altele cu viteze constante.... Pincipiul fundamental Newton intoduce în enunţul pincipiului ineţiei foţa impimată dept cauză a modificăii stăii de mişcae. El defineşte foţa pin popoziţia umătoae: Foţa impimată este acţiunea execitată asupa unui cop, pentu a-i schimba staea de epaus sau de mişcae ectilinie şi unifomă. Cum acţiunea execitată asupa unui cop nu poate fi făcută decât de un alt cop, ezultă că foţa este o măime cae descie fizic inteacţiunea dinte copui. Înte foţa F, definită ca măimea fizică ce descie inteacţiunile dinte copui, masa m, ca popietate a copului de a se împotivi modificăii staii de mişcae şi acceleaţia a, ca măime cinematică, există elaţia: F ma. (.) Această ecuaţie, cunoscută ca pincipiul fundamental al mecanicii este ecuaţia fundamentală a dinamicii. Deoaece în mecanica newtoniană masa m nu depinde de viteză, fiind constantă în timp, dependenţa acceleaţiei a de viteza v este dată de elaţia (.11), ecuaţia fundamentală a dinamicii se poate scie şi sub foma: d dp F ( mv), (.3) unde pin: p mv (.4) se defineşte impulsul copului. Dacă elaţia (.) expimă popoţionalitatea foţei cu acceleaţia, elaţia (.3) ne aată că deivata impulsului în apot cu timpul este egală cu ezultanta foţelo exteioae cae acţionează asupa copului.

10 . Elemente de mecanică newtoniană 41 Aceste afimaţii epezintă enunţui altenative ale pincipiului fundamental al dinamicii...3. Pincipiul acţiunii şi eacţiunii În fomulaea lui Newton, pincipiul actiunii şi eacţiunii ae umătoul enunţ: acţiunile ecipoce a două copui sunt întotdeauna egale şi diijate în sensui contae. Dacă notăm cu F 1 foţa cu cae copul 1, aflat în inteacţiune cu copul, acţionează asupa acestuia şi cu F 1 foţa cu cae copul eacţionează, acţionând asupa copului 1 (Fig..6), confom enunţului, avem: F 1 F 1. (.5) Fig Pincipiul supapuneii Confom pincipiului supapuneii, dacă asupa unui cop de masă m acţionează simultan foţele F,F,F,..., acţiunea lo este aceeaşi cu acţiunea 1 3 Fn ezultantei F, calculată ca suma vectoială a acestoa: n F. (.6) F i i 1 În baza acestui pincipiu ezultă ca fiecae foţă F i acţionează independent, pezenţa celolalte foţe nepetubând efectul acţiunii ei. Deci, fiecae foţă F i va poduce o acceleaţie a i, Fi mai, astfel că sumând avem: F Fi m ai ma. unde a este acceleaţia podusă de foţa ezultantă F.

11 4. Elemente de mecanică newtoniană..5. Pincipiul elativităţii galileene Să consideăm două sisteme de efeinţă ineţiale (Fig..7), aşa cum au fost definite în baza pincipiului ineţiei. Sistemul S' se deplasează cu viteză constantă u faţă de sistemul S. La momentul iniţial t 0 0 vectoul R 0 detemină poziţia oiginii O' a sistemului S ' faţă de sistemul S. Un punct mateial de masă m aflat în mişcae este identificat la un moment dat faţă de sistemul de efeinţă S' pin vectoul de poziţie ' ( t' ), ia faţă de sistemul S pin vectoul de poziţie () t (Fig..7). Fig..7 Legătua dinte coodonatele punctului mateial în sistemul coodonatele sale în sistemul S se expimă pin elaţiile: S' şi t' t (.7) ' R. Pima elaţie este scisă pesupunându-se că timpul ae un caacte absolut, fiind independent de spaţiu şi de sistemul de efeinţă, ia a doua ezultă din figua.7. Aceste elaţii sunt echivalente cu umătoaele patu elaţii scalae: unde ux,uy x' x u y' y u z' z u x y z t x t y t z t' t, u sunt componentele vitezei u în sistemul S. z (.8)

12 . Elemente de mecanică newtoniană 43 Relaţiile (.7), sau foma echivalentă (.8), constituie gupul de tansfomăi Galilei. Acesta ae popietatea emacabilă de a lăsa invaiantă legea fundamentală & a dinamicii. Înt-adevă, dacă deivăm de două oi elaţia (.7), deoaece R 0, obţinem a' a şi deoaece inteacţia dinte copui este independentă de sistemul de efeinţă abita ales la cae apotăm mişcaea acestoa: F' ( x', y',z', t) F( x, y,z,t ), ezultă că legea fundamentală a dinamicii nu se schimbă la teceea dint-un efeenţial ineţial la altul. Acest ezultat este cunoscut dept pincipiul elativităţii galileene, sau pincipiul elativităţii mecanice. Afimaţia făcută anteio, că toate sistemele ineţiale sunt echivalente înte ele devine o fomulae a pincipiului elativităţii mecanice...6. Mişcaea punctului mateial înt-un sistem de efeinţă neineţial Legea fundamentală a mecanicii, sub foma F ma, descie mişcaea punctului mateial faţă de un sistem de efeinţă ineţial. Confom definiţiei date, foţa F, descie inteacţia dinte două copui. În afaă de aceasta se mai defineşte şi o pseudofoţă numită foţă de ineţie, notată tot cu simbolul F şi având aceeaşi dimensiune. Să consideăm un efeenţial ineţial S, consideat fix şi un efeenţial neineţial S' având o mişcae acceleată faţă de S (Fig..8). Fig..8 Poziţia unui punct mateial de masă m faţă de sistemul neineţial S' este dată de vectoul de poziţie: ' ' ' ' x'1x + y'1y + z' 1z. (.9)

13 44. Elemente de mecanică newtoniană Dacă este vectoul de poziţie al punctului mateial faţă de sistemul ineţial S, ia R este vectoul de poziţie al oiginii O' a sistemulu i S ' faţă de oiginea O a sistemului S, atunci: ' + R. (.30) Să consideăm, pentu început, că mişcaea sistemului neineţial mişcae de tanslaţie. Viteza punctului mateial faţă de sistemul S este: sau S' este o & v & ' & + R, (.31) v v' + V, unde: v' ' ' ' x'1 & x + y'1 & y + z' & 1z (.3) este viteza punctului mateial faţă de S', ia V R &, este viteza oiginii O' a sistemului S' faţă de oiginea O a sistemului S. Acceleaţia punctului mateial faţă de sistemul S se obţine deivând viteza v în apot cu timpul & a v& & ' + R (.33) sau a a' + A, unde a ' este acceleaţia punctului mateial faţă de sistemul S ', ia & & A V R este acceleaţia sistemului de efeinţă neineţial S' faţă de sistemul S. Influenţa mişcăii de tanslaţie a sistemului neineţial S' având acceleaţia A faţă de sistemul ineţial S asupa punctului mateial de masă m ezultă cla dacă consideăm suma foţelo de inteacţie ce se execită asupa sa egală cu zeo, adică F 0. În acest caz F ma 0 implică a 0, ia din elaţia (.33) ezultă că: a' A. (.34) Copul, consideat punct mateial, va avea faţă de sistemul S' a' A datoată exclusiv mişcăii neineţiale a acestuia (Fig..9). o acceleaţie

14 . Elemente de mecanică newtoniană 45 Fig..9 Foţa de inteacţie, caacteizând exclusiv inteacţia copuilo, este independentă de sistemul de efeinţă, fiind astfel zeo şi în sistemul S'. Pentu a putea aplica legea fundamentală a dinamicii şi în sistemele neineţiale, se consideă o pseudofoţă numită foţă de ineţie dată, pin definiţie, de podusul dinte masa copului şi acceleaţia sistemului neineţial cu semn schimbat: F i ma. (.38) Astfel, adunând la foţele de inteacţiune şi pseudofoţa F i putem aplica pincipiul al doilea al dinamicii şi în cazul sistemelo neineţiale. Ca o aplicaţie, vom considea, în continuae, un sistem de efeinţă neineţial S' aflat în apot cu sistemul ineţial S înt-o mişcae de otaţie caacteizată de vectoul viteză unghiulaă ω ct. (Fig..10). Deoaece S şi stau în elaţia ' : x1 S' Fig..10 au oiginea comună, vectoii şi ' sunt identici, adică ' ' ' x + y1y + z1z x'1x + y'1y + z' 1z. (.36) În acest caz viteza v a punctului mateial faţă de sistemul S va fi: d d' v.

15 46. Elemente de mecanică newtoniană La calculul deivatei & ' folosind ecuaţia (.39) tebuie să avem în vedee că şi vesoii axelo sistemului S ' sunt vaiabili în timp, deci: ' ' ' ' ' ' ' & & & & x'1 & x + y'1 & y + z'1 & z + x'1x + y'1y + z' 1z. (.37) Confom elaţiei (.3), pimii tei temeni din membul dept al ecuaţiei (.37) epezintă viteza v ' a punctului mateial faţă de sistemul mobil S ': v' x'1 &. (.38) ' ' ' x + y'1 & y + z' & 1z Acum, ţinând cont de elaţia (.1), putem scie: & ' ' & ' ' 1x ω 1x, 1y ω 1y şi & ' 1 z 1 ' ω z (.39) astfel că, ultimii tei temeni din (.37) devin: ' ' ' ( 1 ) + y' ( ω 1 ) + z' ( ω 1 ) ω ' x' ω. (.40) x y Intoducând notaţia: u ω ' viteza copului faţă de sistemul S, va fi: v v' +ω ' v' + u. (.41) Dacă, simultan cu mişcaea de otaţie este pezentă şi o mişcae de tanslaţie a sistemului S' faţă de S, atunci viteza copului faţă de sistemul fix S va fi: z v + v' + u. (.4) v 0 Se obişnuieşte ca viteza v să se numească viteză absolută, viteza v ' viteză elativă fiind notată cu v, ia suma v 0 + ( ω ' ), numită viteză de tanspot este notată cu v t, astfel încât: v v + v t. (.43)

16 . Elemente de mecanică newtoniană 47 Acceleaţia absolută a mişcăii se obţine deivând în apot cu timpul viteza absolută dată de elaţia (.4), adică: v& + v' & + u&. (.44) a 0 Calculăm pentu început deivata în apot cu timpul a vitezei elative v ' (.38): ' ' ' ' ' ' v' & & & & && x'1x + && y'1y + && z'1z + x'1 & x + y'1 & y + z' & 1z. (.45) Pimii tei temeni epezintă deivata a doua a vectoului ' faţă de sistemul S ', adică acceleaţia a ' : & ' + ' ' ' a' && x'1x + && y'1y && z' 1z. (.46) Dacă se au în vedee elaţiile (.39), atunci se poate scie: x'1 & & y'1 & & & z'1 & x y z x' & y' & z' & ' ' ' ω 1x ω v x 1x ' ' ' ( ω 1y ) ω v y 1y ' ' ' ( ω 1z ) ω v z 1 z astfel încât ultimii tei temeni ai elaţiei (.45) epezintă podusul vectoial ω v '. În final obţinem: v& a' +ω v'. (.47) Ultimul temen din membul dept al ecuaţiei (.44), u &, se obţine deivând în apot cu timpul membul stâng al ecuaţiei (.40), cae epezintă o fomă anteioaă a lui u : u& d ' ' ' ' ' ' [ x' ( ω 1x ) + y' ( ω 1y ) + z' ( ω 1z )] x' & ( ω 1x ) + y' & ( ω 1y ) + z' & ( ω 1z ) & ' + x' ω 1x & ' + y' ω 1y & ' + z' ω 1z Folosind acest ezultat şi ţinând cont de elaţiile (.39), avem: + + ω & '.

17 48. Elemente de mecanică newtoniană u& ω + z' ' ' v' + x' ( ω ω 1x ) + y' ( ω ω 1y ) + ' ( ω ω 1 ) + ω & ' ω v' + ( ω ω ' ) + ω & '. z (.48) Astfel, acceleaţia absolută a, dată de elaţia (.44), în cae se înlocuiesc cu expesiile lo date de (.50) şi espectiv (.51), devine: a + a' + & (.49) a 0 ( ω ω ' ) + ω v' +ω '. Dacă vectoul viteză unghiulaă ω nu vaiază în timp, atunci din elaţia (.49) dispae temenul & ', astfel încât acceleaţia absolută va fi: ω a' + ( ω ω ' ) + ω v'. a a0 + (.50) Semnificaţia temenilo cae apa în expesia lui a este umătoaea: a 0 este acceleaţia oiginii sistemului mobil, a ' epezintă acceleaţia elativă a punctului mateial faţă de sistemul mobil, ia ω ω ' este acceleaţia centipetă a c, cae dacă se dezvoltă dublul podus vectoial, devine: a ω c ρ, (.51) unde ρ este vectoul ază de otaţie (Fig..11). Temenul ω & ' este o acceleaţie tangenţială unde ω & epezintă acceleaţia unghiulaă, ia temenul ω v' a C0 epezintă acceleaţia Coiollis, cae este tot timpul pependiculaă pe axa de otaţie şi pe viteza elativă v'. Suma a 0 + ω & ' + ( ω ω ' ) at se numeşte Fig..11 acceleaţie de tanspot. Obsevăm că aceasta este o acceleaţie la cae se educe acceleaţia absolută în lipsa acceleaţiei elative. În baza elaţiei (.35), foţa de ineţie actionând asupa punctului mateial în sistemul S' este pin definiţie: F m (.5) unde i a S' v & ' şi u &

18 . Elemente de mecanică newtoniană 49 a + ω & ' + (.53) as' 0 ( ω ω ' ) + ω v'. Atunci, foţa totală, ca sumă dinte foţa de inteacţiune şi pseudofoţa, F i, va fi: Cum F' F + F F m. (.54) i a S' F ma, Fi ma S' şi a' a a S ', avem: F' ma'. (.55).3. Teoeme de consevae.3.1. Consevaea impulsului Am definit vectoul impuls ca podusul dinte masa copului şi vectoul viteză: p mv. Legea fundamentală a mecanicii, scisă cu ajutoul impulsului p, este: dp F. Dacă suma foţelo cae acţionează asupa punctului mateial de impuls p este zeo, F 0, atunci: d p 0 (.56) de unde ezultă: p 0 (.57) ( t) p( t ) const. Ultimele două elaţii, echivalente, expimă conse-vaea impulsului mecanic, espectiv: impulsul unui punct mateial izolat de exteio ( F 0) se păstează constant în timp în apot cu un sistem de efeinţă ineţial..3.. Consevaea momentului cinetic Pin definiţie, momentul unei foţe F în apot cu un punct O este podusul vectoial: M F, (.58)

19 50. Elemente de mecanică newtoniană unde este vectoul de poziţie al unui punct abita al supotului foţei faţă de punctul O. Momentul cinetic al unui cop, consideat punct mateial, este momentul impulsului acestuia: L p. (.59) Deivând ultima elaţie în apot cu timpul şi obsevând că & m & 0 obţinem: dl p & + & p F M. (.60) Deci, viteza de vaiaţie a momentului cinetic al unui cop este dată de momentul foţei cae acţionează asupa sa. Acest ezultat este cunoscut ca teoema de vaiaţie a momentului cinetic. În cazul în cae F 0 atunci M 0, şi avem: d L 0 sau L () t L( t0 ) const. (.61) Relaţia (.61) expimă legea consevăii momentului cinetic cae ne aată că vectoul moment cinetic al unui cop izolat se păstează constant în timp Consevaea enegiei mecanice Să consideăm un punct mateial aflat în mişcae sub acţiunea unei foţe F. Fie d o deplasae elementaă a punctului mateial. Pin definiţie: dl Fd (.6) este lucul mecanic elementa al foţei F coespunzăto deplasăii d a copului. Foţa F poate să depindă explicit de, v şi t, foma difeenţială F d ne fiind, în geneal, o difeenţială totală exactă: dl dφ şi de aceea lucul mecanic elementa se scie, în geneal, cu o baă deasupa simbolului dl, adică dl.

20 . Elemente de mecanică newtoniană 51 Sunt cazui în cae foma difeenţială Fd se poate scie ca o difeenţială totală exactă: dl Fd du. (.63) unde măimea U este o funcţie scalaă numită enegie potenţială. În acest caz, se spune că foţa F deivă dint-un potenţial şi pentu a vedea ce înseamnă aceasta să sciem difeenţiala funcţiei U: Folosind opeatoul gadient: U U U du dx + dy + dz. x y z x y z 1x + 1y + 1z. (.64) du poate fi, confom celo discutate în capitolul 1, scis sub foma: du U d. (.65) Compaând cele două expesii ale lui du (.63) şi (.65), ezultă că: F U. (.66) Astfel, foţele cae satisfac elaţia (.66), sunt foţe ce deivă dint-un potenţial. După cum vom vedea ele se mai numesc şi foţe consevative. dv Să consideăm o astfel de foţă şi ţinând cont că F m şi d v, lucul mecanic elementa se scie: dl Fd m vdv. (.67) Deoaece lucul mecanic nu depinde de dum integaea ultimei elaţii înte două momente de timp şi t, conduce la: t1

21 5. Elemente de mecanică newtoniană t L 1 Fd t1 mv t t1. (.68) Astfel, lucul mecanic al foţei F mv este egal cu vaiaţia măimii, măime cae este o caacteistică a copului şi pe cae o vom numi enegie cinetică, E c : mv Ec. (.69) Pe de altă pate, ţinând cont că foţa F deivă dint-un potenţial obţinem: t t mv du t t 1 1 sau ( U U1) Ec1 Ec. Astfel: U1 + Ec1 U + Ec const. (.70) Relaţia (.70) expimă teoema de consevae a enegiei mecanice a unui cop. Confom acesteia, enegia mecanică a unui cop cae se mişcă înt-un câmp de foţe cae deivă dint-un potenţial se păstează constantă în timp dacă copul nu este supus şi alto inteacţii. În consecinţă, foţele cae deivă dint-un potenţial sunt numite foţe consevative..4. Sisteme de puncte mateiale.4.1. Centul de masă Să consideăm un sistem de puncte mateiale, de mase m şi vectoi de poziţie i i, cu i 1,,...,n (Fig..1). Dacă sistemul este plasat înt-un câmp de foţe de acceleaţie constantă a Fig..1, atunci asupa fiecăui punct mateial actionează o foţă F m a, ia momentul foţei fată de oigine este: i i

22 . Elemente de mecanică newtoniană 53 Mi i Fi i mia. (.71) Momentul total al foţelo cae actionează asupa sistemului de puncte mateiale este: M mia. (.7) Mi i Momentul total poate fi scis şi ca momentul foţei ezultante cae acţionează asupa sistemului aplicată înt-un punct, numit centu de masă, de vecto de poziţie CM a căei expesie poate fi obţinută astfel: F F m a i i şi M i mia ( i mi ) a ( CM mi ) a CM F unde s-a notat: m i i CM. (.73) m i Atunci, impulsul sistemului de puncte mateiale p va fi: m d i i d d m i i dcm P pi mi mi i mi m ( ) mv. CM (.74) Obsevăm că sistemul de puncte mateiale se compotă ca şi cum înteaga masă a sistemului m mi, este concentată în centul de masă..4.. Mişcaea centului de masă Consideând foţele intene F ij Fji ce acţionează înte paticulele i şi j se obsevă că ezultanta acestoa este întotdeauna zeo, Fint Fij 0. Foţa i,j 0 intenă ce acţionează asupa punctului mateial i este:

23 54. Elemente de mecanică newtoniană Fint,i Fji j i dpi. Vaiaţia impulsului total al sistemului podusă de foţele intene va fi deci întotdeauna nulă: dp dpi Fji 0. (.75) i i j i Astfel, impulsul total, adică impulsul centului de masă se consevă atâta timp cât nu sunt pezente decât foţele intene. Viteza centului de masă v CM este constantă în acest caz. Să consideăm în continuae sistemul de puncte mateiale plasat înt-un câmp exten de foţe. Asupa fiecăui punct mateial actionează F ext, i cae confom legii a doua a dinamicii, va detemina vaiaţia impulsului acestuia: dpi Fext,i. Atunci, pentu întegul sistem de puncte mateiale foţa ezultantă F ext este: F ext dpi d dp d Fext,i ( pi ) ( mv CM ), (.76) Se obsevă că acţiunea unui câmp de foţe exten de acceleaţie constantă asupa unui sistem de puncte mateiale se taduce pin acţiunea ezultantei foţelo extene asupa întegii mase a sistemului plasată în centul de masă. Dacă F ext 0, atunci P const Momentul cinetic al unui sistem de puncte mateiale Momentul cinetic al unui punct mateial având impulsul p este, după cum ştim, dat de: l p. De asemenea, se ştie că sub acţiunea unei foţe, vaiaţia momentului cinetic l este dată de momentul foţei:

24 . Elemente de mecanică newtoniană 55 dl F M. Pentu a putea vedea cum vaiază în timp momentul cinetic al sistemului de puncte mateiale să obsevăm mai întâi că pentu fiecae peeche de paticule i şi j, foţele de inteacţie intene sunt egale şi de sens conta: F ij F ji. (.77) Aceasta face ca momentul foţelo să se anuleaze pentu fiecae peeche de paticule (Fig..13): Mint i,j Minti + Mint j i Fji + j Fij ( i j ) Fij 0. (.78) Fig..13 Astfel, în absenţa foţelo extene, momentul cinetic total al unui sistem de puncte mateiale, dat de: L l i se consevă: dl 0 L const. (.79) Dacă însă sistemul de puncte mateiale se află sub actiunea unui câmp exten de foţe, atunci momentul foţei F ext, i va fi: Mext,i i Fext,i (.80) ia momentul total al foţelo extene este dat de:

25 56. Elemente de mecanică newtoniană M ext M ext, i. (.81) Atunci, deivata totală în apot cu timpul a momentului cinetic al sistemului de puncte mateiale plasat în câmpul exten de foţe va fi: dl d dl i ( li ) Mext,i Mext. (.8) În acest caz, dacă M ext 0, momentul cinetic total al sistemului de puncte mateiale se consevă Enegia unui sistem de puncte mateiale. Consevaea enegiei Enegia mecanică a unui sistem de puncte mateiale se compune din enegia cinetică şi enegia potenţială a tutuo punctelo mateiale cae alcătuiesc sistemul. Pentu a vedea cae este enegia cinetică a sistemului, să obsevăm că viteza fiecăui punct mateial faţă de un sistem de efeinţă oaecae se poate scie ca suma dinte v şi viteza punctului mateial în sistemul centului de masă, notată cu v : int, i CM v i v + v. (.83) CM int,i Atunci, enegia cinetică a sistemului de puncte mateiale este: 1 Ec miv i 1 mi CM int,i 1 1 mv + miv CM int,i 1 mv + Ec,int + v CM CM ( v + v + v v ) CM + v CM pint,i. int,i miv int,i int, i Cum ultimul temen din (.84) este nul ( p 0) (.84), enegia cinetică a sistemului de puncte mateiale ae în final, expesia: 1 E c mv + E CM c,int. (.85)

26 . Elemente de mecanică newtoniană 57 Enegia potenţială a sistemului de puncte mateiale se compune din doi temeni, unul dat de enegia potenţială datoată foţelo intene consevative ia celălalt câmpului de foţe extene consevative în cae este plasat sistemul. Astfel, pimul temen de enegie potenţială E p,int este suma enegiilo potenţiale datoate inteacţiilo dinte peechile de puncte mateiale ( i, : E p,int Ep,ij. (.86) i,j i Atunci când asupa sistemului nu acţionează nici un fel de foţe extene (nu se efectuează lucu mecanic exten), enegia popie a sistemului de paticule E, dată de suma: 1 E mv + E CM c,int + Ep,int, (.87) se consevă: E const. (.88) În sistemul centului de masă, enegia sistemului de puncte mateiale este chia enegia intenă a acestuia, : E int E c,int + Ep,int Eint. (.89) Dacă sistemul de puncte mateiale este sub acţiunea unui câmp exten de foţe consevative, atunci sistemul ae şi o enegie potenţială extenă E p,ext pe cae i-o confeă câmpul exten astfel că enegia totală a sistemului de puncte mateiale este dată de: 1 E tot mv + E CM c,int + Ep,int + Ep,ext E + E j) p,ext. (.90) Înte două momente de timp t1 şi t ale mişcăii sistemului, lucul mecanic al foţelo consevative extene detemină vaiaţia enegiei cinetice a sistemului pecum şi vaiaţia, cu semn schimbat, a enegiei potenţiale extene a acestuia: Ec Ec1 Ep,ext1 Ep,ext E c + Ep,ext Ec1 + Ep,ext1 (.91)

27 58. Elemente de mecanică newtoniană Ţinând cont că în cazul sistemului de puncte mateiale enegia potenţială intenă E p,int nu este modificată sub acţiunea foţelo consevative extene, se poate scie că: Etot Ec + Ep,ext + Ep, int const. (.9) Astfel, sub acţiunea foţelo consevative enegia totală a sistemului de puncte mateiale se consevă..5. Dinamica solidului igid Un solid igid este caacteizat de faptul că distanţele dinte punctele sale mateiale, sau dinte elementele sale de masă infinitezimale dm nu se modifică în timp. Foţele extene cae actionează asupa unui solid igid detemină mişcăi de tanslaţie sau de otaţie ale acestuia făă să se înegisteze deplasăi elative ale elementelo copului. Un solid igid este deci un cop nedefomabil cae se compotă ca un tot pe pacusul mişcăii. Număul maxim al gadelo de libetate de mişcae pentu un solid igid este 6, adică 3 gade de libetate de tanslaţie şi 3 gade de libetate de otaţie. La o mişcae de tanslaţie, toate punctele mateiale ale unui igid au, la un acelaşi moment de timp, aceeaşi viteză v şi aceeaşi acceleaţie a astfel că taiectoiile umate sunt paalele (Fig..14). Fig..14 Aceasta face ca, în cazul tanslaţiilo, mişcaea unui solid igid să se educă la mişcaea centului de masă. Dat fiind că un cop solid ae o stuctuă mateială continuă, vectoul de poziţie al centului de masă CM se obţine, ponind de la elaţia (.73) cae epezintă expesia CM pentu un sistem de puncte mateiale, la limita m i 0, ceea ce face ca sumele să teacă în integale, ezultând:

28 . Elemente de mecanică newtoniană 59 CM Dacă se foloseşte densitatea masică ( ) CM dm. (.93) dm ρ() ρ, dată de ρ() dm dv, elaţia se mai scie: 1 m dv. (.94) Înainte de a obţine expesiile măimilo dinamice caacteistice unui solid igid, tebuie emacat că în ceea ce piveşte mişcaea de otaţie, datoită masei distibuite a copului, unele caacteistici cinematice şi dinamice ale mişcăii ţin exclusiv de natua otatoie a mişcăii. Astfel, consideând un solid igid cae se oteşte cu viteza ω în juul unei axe fixe (Fig..15), obsevăm că punctele acestuia desciu taiectoii ciculae cu viteze v ( ) difeite, după cum cecul descis este de ază mai mică sau mai mae: v ω. (.95) ( ) Fig..15 Ca şi în cazul mişcăii de tanslaţie, copul manifestă o ineţie faţă de mişcaea de otaţie cae este măsuată de momentul de ineţie J al copului. Pentu a vedea cae este expesia acestuia, să sciem mai întâi enegia cinetică de otaţie a unui element de masă dm al unui cop solid cae se oteşte cu viteza unghiulaă ω în juul unei axe fixe (Fig..15): 1 1 dec,ot v () dm ω dm. (.96) Enegia cinetică de otaţie a întegului cop va fi deci: 1 Ec,ot ω dm. (.97) Pin definiţie, momentul de ineţie J al unui cop solid este dat de: J dm. (.98) Se obsevă că J este independent de viteza unghiulaă ω, depinzând doa de distibuţia masei copului faţă de axa de otaţie.

29 60. Elemente de mecanică newtoniană Dacă otaţia ae loc în juul axei Oz, cae tece pin centul de masă al copului, atunci momentul de ineţie J este dat de: JCM dm + dm (.99) unde coodonatele x şi y fiind măsuate în sistemul centului de masă, J este indexat cu iniţialele CM. ( ) x y Fig..16 Dacă axa de otaţie, notată cu A, nu tece pin centul de masă ci se află la o distanţă a faţă de centul de masă, fiind paalelă la Oz (Fig..16), momentul de ineţie faţă de axa de otaţie A se calculează astfel: JA [ x + ( y + a) ] dm ( x + y ) dm + a dm + a ydm (.100) JCM + a m unde s-a ţinut cont că deoaece y CM 0, ydm my CM 0. Acest ezultat constituie teoema lui Steine. Ponind de la definiţia (.98), pentu enegia cinetică de otaţiei a unui cop de moment de ineţie J: 1 Ec,ot Jω. (.101) şi ţinând cont de cele discutate la un sistem de puncte mateiale, enegia cinetică a unui cop solid igid faţă de un sistem de efeinţă oaecae se compune din enegia cinetică de tanslaţie a centului de masă şi enegia cinetică de otaţie: 1 1 Ec mv + J CM CMω. (.10)

30 . Elemente de mecanică newtoniană 61 Dacă solidul igid se mişcă înt-un câmp exten de foţe consevative, atunci enegia sa totală E E c + E p, se consevă: 1 1 E mv + JCMω + Ep const. (.103) CM O altă măime dinamică impotantă este momentul cinetic L. Ponind de la definiţia momentului cinetic al unui punct mateial de impuls p mv, să sciem mai întâi momentul cinetic al unei mase elementae dm : dl ( v)dm. (.104) Dacă este distanţa elementului de masă dm până la axa de otaţie ( ω ) şi se ţine cont că v ω, atunci momentul cinetic al elementelui de masă dm pe diecţia lui ω este: dlω ω dm, (.105) Pentu o mişcae de otaţie a copului caacteizată de ω const., pin integae a expesiei (.105), momentul cinetic al întegului cop pe diecţia lui ω, L ω va fi: Lω ω dm J ω. (.106) Tebuie menţionat că legea de vaiaţie a momentului cinetic dl M ext (.107) este valabilă şi în cazul mişcăii de otaţie. Dacă M ext 0, atunci L J ω const. (.108) Dacă M ext 0, atunci pentu J const. şi axa de otaţie fixă, obţinem: dl dω J Jε (.109) unde ε este acceleaţia unghiulaă a copului. În final, pezentăm alatuat, măimile şi legile cae desciu mişcaea de tanslaţie şi mişcaea de otaţie pentu a putea obseva coespondenţa dinte acestea.

31 6. Elemente de mecanică newtoniană Tanslaţie Rotaţie Legea de legătuă spaţiul s unghiul ϕ s ϕ viteza v viteza unghiulaă ω v ω acceleaţia a acceleaţia unghiulaă ε a ε + ω v masa m momentul de ineţie J J dm impulsul p momentul cinetic L L p foţa F momentul foţei M M F dp dl F M dp dl m ct. ma J ct. J ε mv E c,t E c,ot Jω.6. Echilibul copuilo Un cop, consideat punct mateial, se găseşte în echilibu dacă suma foţelo exteioae cae se execită asupa lui este nulă: F 0. (.110) Să admitem că foţa F este consevativă şi că enegia potenţială U nu depinde decât de x, U U( x). Astfel, pentu cazul unidimensional, la echilibu avem: du F 0. (.111) dx Deci, echilibul se va stabili în punctele x 0 în cae deivata funcţiei U( x) se anulează: du 0. (.11) dx x 0 Rezultă, astfel, că punctul mateial va fi în echilibu atât în stăile în cae enegia potenţială este maximă cât şi minimă, da tebuie să distingem înte maximele şi minimele enegiei potenţiale în funcţie de semnul deivatei a doua. Fie k valoaea acesteia în : x 0