Osnovne ideje mehanike Cosseratovih materialov

Transcript

1 Onovne deje mehanke ovh materalov Jure Žalohar Koroška eta, 4000 Kranj, Slovenja Uvod Idejo, da deformajo telea opšemo z tranlajkm n rotajkm prototnm topnjam, ta prva predtavla brata leta 909 (Foret 000, 005) akšen kontnuum dane menujemo ov, prpada pa večj kupn generalzranh kontnuumov, k vključujejo všje odvode deformajkega polja, dodatne prototne topnje n nelokalne konttutvne enačbe n/al karaktertčne dolžne, kot parametre, k opšejo mkrotrukturo nov (Foret n Severt 003, Foret 005) Kontnuum všjega reda vključujejo všje odvode deformajkega polja, kontnuum všje topnje pa vključujejo dodatne prototne topnje (npr neodvna rotaja v ovem kontnuumu) Razvoj matematčnega aparata, k opuje takšne kontnuume, je v zadnjem čau zelo hter predvem na račun močnejšh n htrejšh računalnkov, k omogočajo razlčna numerčna modelranja pr študju lokalzajkh fenomenov n nelnearnh elatoplatčnh al elatovkoplatčnh konttutvnh zakonov za generalzrane kontnuume Omogočajo pa tud načrtovanje n nterpretajo laboratorjkh ekpermentov (Foret n Severt 003) V tem beedlu opujem knematko n dnamko deformaj ovega kontnuuma v kladu formulajo, k jo najdemo v števlnh člank Samuela Foreta n oavtorjev ozroma odelavev (glej lteraturo) Foret predtavlja formulajo opa platčnh, elatoplatčnh al elatovkoplatčnh deformaj ovh kontnuumov, k je zelo pregledna n elegantna n e bo v prhodnot verjetno»prjela«, čeprav obtajajo števlne alaternatve (glej npr Grammenoud 003) Matematčn op platčnh, elatoplatčnh al elatovkoplatčnh deformaj je zelo uporaben tud na področju razumevanja lomnh n kataklatčnh deformaj, k o pomembne v ezmologj n trukturn geologj Če je v namen razumevanja platčnot ovega kontnuuma na voljo razmeroma velko lterature, pa o lomne n kataklatčne deformaje kamnn kot ovega kontnuuma še razmeroma labo razkane Vdnejše ozroma pomembnejše prpevke, k obravnavajo to problematko, o objavl le Unruh et al (99), w n Unruh (998), Cladouho n Allmendnger (993) ter Fgueredo et al (004) Unruh et al (99) o potavl onovn model, k lomne n kataklatčne deformaje opuje v okvru teorje ovh kontnuumov w n Unruh (998) ta pala o utemeljenot hpoteze, da lomne n kataklatčne deformaje opujemo v okvru ove teorje Clodouho n Allmendnger (99) ter Fgueredo et al (004) pa o e ukvarjal z rotajam poameznh blokov med drnm tem (prelom) n možnotjo merjenja teh rotaj Vrtualna gbanja ovega kontnuuma V klačnem kontnumu opšemo deformajo kamnn z vektorjem premka, torej trem prototnm topnjam Deformajo ovh (al tud mkropolarnh) kontnumov pa opšemo z dvema vektorkma poljema al tud vrtualnma gbanjma: tranlajkm vektorkm poljem u n z mkrorotajkm vektorkm poljem φ, torej šetm prototnm topnjam ranlajko polje u opuje premk neke točke telea pr deformaj, mkrorotajko polje φ pa opuje rotajo tega delčka telea v koordnatnem temu, v katerem je rotaja (makrorotaja) elotnega telea enaka nč Zanma na, od čea je odvna mer relatvnega gbanja na mej med dvema delčkoma v ovem kontnuumu Označmo premk dveh delčkov ozroma mkroelementov kontnuuma z u ozroma z u Pr tranlajkem gbanju mkroelementa še rotrata glede na lokaln koordnatn tem, k je prpet na eloten medj, n er za φ n φ Celoten relatvn premk na mej med mkroelementoma je: L L urel = u + ( n φ ) = u ( φ n), () kjer je u = u u razlka med premkom prvega n drugega mkroelementa, φ = φ + φ je relatvna vrednot zauka prvega mkroelementa glede na drugega, L je razdalja med težščema teh dveh mkroelementov, n pa je

2 normala plokve, k razmejuje mkroelementa med eboj Uporabmo zvezo: φ n = ε φ, () pa dobmo: L L urel = u + ( ε φ ) n = u + ε ( φ + φ ) n (3) ukaj je ε permutajk tenzor Občajn o pred potavmo, da ta zauka prvega n drugega mkroelementa enaka, torej φ = φ V tem prmeru mamo ( φ + φ) = φ = φ n zato: u = u + L ε φ n (4) Gledamo majhne (nfntezmalne) deformaje, zato velja: rel u = u u = ur ur = u Ln = L un, (5) aj je razlka med lego prvega n drugega mkroelementa r r enaka Ln Vpeljal mo še tenzor deformaje u = uj = u j / x = u al tud gradentn tenzor deformaje a vebuje nformajo o prav deformaj telea n o njegov globaln rotaj makrorotaj Zgornjo enačbo za u rel lahko zapšemo takole: C u rel L = u+ ε φ = L u W n, (6) C kjer je W = ε φ ov tenzor mkrorotaje Defnrajmo še ov tenzor deformaje e n torzjko-ukrvljenotn tenzor κ (Foret 000): e = u + ε φ, κ = φ (7) Gradent deformaje, u = u, lahko raztavmo v metrčn n antmetrčn del, ( u ) +( u ), zato lahko ov tenzor deformaje zapšemo kot: C C e = u + u W = u + A, W = ε φ (8) Pr tem mo vpeljal tenzor relatvne mkrorotaje: A = u W C = W maro W C = ε ( φ maro φ )= ε ϕ (9) maro ukaj je W = ε φ antmetrčn del gradenta deformaje, k ga menujemo ponavad kar tenzor maro makrorotaje z akalnm vektorjem φ maro Razlk ( φ φ ) pa rečemo relatvna mkrorotaja Podobno metrčnemu delu gradenta deformaje, u, pravmo makrodeformajk tenzor, aj opuje globalno deformajo medja Metoda vrtualne moč Prnp vrtualne moč al tud d'alembertov prnp predpotavlja, da je vrtualno delo veh l, k delujejo na zbran element telea glede na Gallejev koordnatn tem enako nč, za kakršnokol vrtualno gbanje Sle, k odelujejo pr tem o: zunanje le, k o poleda nterakje telea z drugm tele v okol, n notranje oz nterne le, k o poleda nterakj med poameznm del znotraj telea Pr tem je pomemben tud akom vrtualnega dela notranjh l: Vrtualno delo notranjh l, k delujejo na ubdomeno D Ω je nvarantno glede na kakršnokol premembo koordnatnega tema opazovala Spremembe koordnatnega tema opazovala opšemo z Evkldko tranformajo, to je katerokol čaovno odvno homogeno tranlajo n rotajo: x' = Q() t x + b() t, () kjer je Q utrezn ortogonaln tenzor, točneje tenzor rotaje Z drugm beedam, vrtualno delo nternh l je enako ne glede na opazovaln tem opazovala a akom je ekvvalenten zjav: Delo nternh l je nč za vako togo gbanje telea

3 () Vrtualno moč () P nternh l lahko zrazmo z gototo moč p : D P = p dv, () () () () kjer je dv dferenal volumna ubdomene D Ω Za gototo moč p predpotavmo, da je lnerano odvna od obeh možnh vtrualnh gbanj u n φ : () p = σ : ( u ) : W + μ φ (3) C Pr tem o σ, μ, u W n φ objektvne kolčne, kar pomen, da e tranformrajo kot objektvn C tenzorj pr prehodu med koordnatnm tem (Foret 005) ov tenzor deformaje u W predtavlja pravzaprav relatvno deformajo glede na koordnatn tem, k je»prtrjen«na mkrotrukturo Gradent φ predtavlja torzjko ukrvljenotn tenzor, tenzorja σ n μ pa menujemo tenzor napetot n tenzor gotote navora V plošnem ta ta dva tenzorja nemetrčna Za tenzor napetot n tenzor gotote navora predpotavmo, da ta (koraj povod) zvezno dferenablna Iz zgornjh dveh enačb z uporabo Gauovega teorema prdemo do relaje: () C P = u φ : σ + μ + σ W dv σu + μφ n d, (4) kjer je D rob ubdomene D Enotk vektor n predtavlja normalo na katerkol del roba te ubdomene pa pretavlja dvergeno tenzorja napetot D D σ Vrtualno moč zunanjh napetot lahko razdelmo v vrtualno moč volumkh l: = + dv ( d ) P f u φ D (5) n v vrtualno moč kontaktnh l: = + d (6) () P t u m φ D Ve te defnje vrtualnh moč o lnearno odvne od vrtualnh gbanj n njhovh prvh gradentov Pravzaprav člen, k o lnearno odvn od u n φ v enačbah (5) n (6) no bl napan, ker nmajo ekvvalentov v enačbah za moč nternh l Vektor t predtavlja površnko gototo l ( = napetot ob drnem temu), vektor m pa predtavlja površnko gototo navora Moč nternh l defnramo kot naprotno vrednot čaovnemu odvodu knetčne energje: = ρ + ρ Γ φ dv (7) ( a) P := K a u I D Vektorja a n Γ predtavljata dejank popešek n mkrorotajo Gototo nov pa označmo z ρ V zgornj enačb mo vpeljal tud zotropčn mkrorotajk vztrajnotn moment I 3 Ravnotežne enačbe Glede na prnp vrtualnega dela, e mora elotna vrtualna moč veh l znčt na vak ubdomen D Ω n za vako vrtualno gbanje, k ga opšemo z u n φ orej: () ( d) () ( a) P + P + P + P = 0 (3)

4 Subttuja enačb (4), (5), (6) n (7) v enačbo (3) vod do nalednje varajke enačbe: D ( σ ρ ) ( μ ε : σ ρ ) n t u d n m φ d = 0 ( σ ) ( μ ) D + f a u dv + + I Γ φ dv D D (3) Najprej predpotavmo, da ta vrtualn gbanj u n φ zbran tako, da ta enak nč zven ubdomene D (Foret 005) V zgornj vot mora bt zato volumk ntegral enak nč o pomen, da mora bt ntegrand enak nč kjerkol v notranjot ubdomene D, kjer je le-ta kontnurana Htrot n mkrorotaja ta lahko varrana neodvno, kar vod do ravnovenh enačb: σ + f = ρu, (33) μ ε : σ+ = ρφ I u mo oznake za popešek n za mkrorotajo zamenjal z dejankm vrtualnm gbanj Zgornje ravnovene enačbe upoštevamo v enačb (3), k e nato poenotav v površnke ntegrale, k o enak nč za va vrtualna gbanja Poledčno ta napetot n površnka gotota navora lnearna funkja normale n : t = σn n m = μn, x D (34) e enačbe e nanašajo na rob ubdomene D, kjer ta vektorja t n m defnrana 4 Homogenzajke metode za ove materale Polkrtal lahko obravnavamo kot heterogen ov materal, če je etavljen z agregata amotojnh ovh zrn Homogenzajke metode nam omogočajo študj obnašanja takšnh heterogenh ovh materalov (Foret et al 000) Obtajajo števlne metode homogenzaje ovh materalov, vendar bomo tu omenl le metodo Hll-Mandel Namen je nadomett heterogen materal z homogenm nadometnm medjem (HNM) Če nadometn medj obravnavamo kot Cauhyjev kontnuum, potem mamo za povprečno gototo moč nternh l: σ : e+ μ : κ = Σ : E, (4) kjer je E efektvn metrčn deformajk tenzor, Σ pa je efektvn metrčn napetotn tenzor Če pa je HNM obravnavan kot ov kontnuum pa mamo: σ : e + μ : κ = Σ : E + M : K (4) u ta M n K efektvn tenzor gotote navora n efektvn torzjko ukrvljenotn tenzor Pr tem E n Σ nta več nujno metrčna Druga možnot homogenzaje je eveda bolj plošna n vebuje prvo kot poeben prmer, če je karaktertčna dolžna zelo majhna Določtev efektvnh latnot temelj na robnh pogojh na robu volumna V Robn pogoj morajo bt tak, da utrezajo enemu od zgornjh dveh enačb Preprota generalzaja klačnh homogenh robnh pogojev je: u = E x n φ = K x x V (43) enzorja E n K ta v naprej določena n kontantna Sled: E = u n K= κ (44) Pogoj σ : e + μ : κ = Σ : E + M : K je potem avtomatčno zpolnjen za nalednjo defnjo efektvnega napetotnega tenzorja: Σ= σ n M = μ+ ( ε : σ) x = μj + εmnσmnxj e ej (45)

5 V zgornjh enačbah mo zanemarl protnot makrorotaj določenh na robu V e makrorotaje označmo z maro W Potemtakem b moral pat: maro u = E+ W n K= κ (46) 5 Lnearna ova elatčnot V lnearn teorj entrometrčnh n zotropnh mkropolarnh kontnuumov je prota energja mkrorotaje n od makrodeformaje: Ψ odvna od ρψ = A 0 + Ejklejejk + Cjklκjκ kl (5) Možne o tud razšrtve, k upoštevajo anzotropjo n entronemetrčnot (nonentroymmetr mropolar elatty), čear pa tule ne bomo upošteval enzor napetot n tenzor gotote navora defnramo kot: ρψ σ = = E e, jkl kl e ρψ μ = = C κ jkl kl κ (5) V prmeru zotropne elatčnot dopolnemo dve Laméjev kontant 4 dodatnm parametr, tako da mamo (Foret et al 997): σ = λ r( e) + μe + μe μ = α r( κ) + βκ + γκ (53) ov op platčnh deformaj Enačbe tanja Deformajo ovega kontnuma lahko raztavmo v dve komponent: v elatčn n platčn del Za nfntezmalne deformaje lahko napšemo (Foret et al 997, Foret n Severt 003): e p e p e = e + e, κ = κ + κ () Spefčna nterna energja ε, entropja η n Helmholtzeva prota energja Ψ = ε η o funkje tanja n nternh premenljvk Energjk prnp bomo zapal takole (Foret n Severt 003): () ρε = p Q, () kjer je Q vektor toplotnega toka Prota energja je odvna od elatčne deformaje, torzjke ukrvljenot n nterne premenljvke q, k je povezana utrjevanjem materala pr napredujoč deformaj (materal hardenng) Intrnzčna dpaja pr zotermn prememb je zato: D = σ : e + μ : κ ρψ = Ψ Ψ Ψ = σ ρ : e e + μ ρ : κ e + σ : e p + μ : κ p ρ q e e e κ q K dpaj prpevajo le platčne deformaje, zato z zgornje enačbe lahko razberemo: (3) σ = ρ Ψ, μ = ρ Ψ, R = ρ Ψ (4) e e e κ q e enačbe menujemo enačbe tanja Vpeljal mo tud termodnamčno lo R, k je povezana z nterno

6 premenljvko q Glede na te enačbe zapšemo edaj dpajo kot: := : p p D σ e + μ : κ + Rq (5) Učnkovt načn, kako zagotovmo poztvno defntnot dpaje za katerkol termodnamčn proe je, da predpotavmo obtoj t dpajkega potenala Ω( σ, μ, R), k ga menujemo tud vkoplatčn potenal al tud pevdo-potenal dpaje Pr tem naj velja: p e = Ω, κ = Ω, q = Ω (6) σ μ R e enačbe opujejo platčno tečenje n jh menujemo tud evolujke enačbe za nterno premenljvko Materal, katerh deformajo lahko pšemo takšnm potenalom, e menujejo tandardn generalzran materal p p Defnrajmo še dualn potenal Ω* e, κ, q, n er tako, da velja: ( ) Ω* Ω* Ω* σ =, μ =, R = p p (7) e κ q Op platčnot V preteklot o za op platčnh deformaj uporabl dva razlčna modela potenalov V prvem modelu je potenal funkja tenzorja napetot n tenzorja gotote navora, torej Ω( σ, μ, R), v drugem modelu pa je potenal vota dveh neodvnh funkj, od katerh je ena odvna od tenzorja napetot, druga pa od tenzorja gotote navora: (, R) (, ) Ω = Ω σ + Ω μ R tot () Oba modela upoštevata dejtvo, da e pr napredujoč platčn deformaj napetot korajda ne premnjajo, torej σ = 0 Napetot o neodvne od htrot deformaje V prvem modelu defnramo eno amo prožnotno funkjo f ( σ, μ, R) n en am platčn multplkator p : p f p f f e = p, κ = p, q = p () σ μ R V drugem modelu pa natopata dve prožnotn funkj f ( σ R R ) n f (, R, R ) multplkatorja:,, p f p f f p, κ, q p f e = κ = =, q = κ σ μ R R μ n dva platčna (3) Najprej poglejmo prv model, kjer defnramo eno amo prožnotno funkjo: f ( σ, μ, R) = J ( σ, μ) R( p) J ( σ, μ) = a σ : σ + a σ : σ + bμ : μ + bμ : μ d d d d d d d d (4) d d tu je npr σ devatorčn del tenzorja napetot, σ je tranponran devatorčn del tenzorja napetot, a a b b pa o materaln parametr Platčno tečenje opšemo z enačbam: d d d d p a σ + a σ p bμ + bμ e = p, κ = p, J ( σ, μ) J ( σ, μ) a a b b p = e : e + e : e + κ : κ + κ : κ a a a a b b b b p p p p p p p p (5) Po drugem zgoraj omenjenem modelu pa defnramo dve prožnotn funkj: ( σ ) = ( σ) ( κ) ( μ ) = ( μ) ( κ) f, R J R p,, f, R J R p,, d d d d d d d d J = a σ : σ + a σ : σ, J ( μ) = bμ : μ + bμ : μ (6)

7 Imamo tud dva platčna multplkatorja: a a b b p = e : e + e : e, : : a a a a κ = κ κ + κ κ (7) b b b b p p p p p p p p Prmer uporabe teh enačb predtavljajo platčne deformaje krtalov, k jh opujejo Foret et al (997, 000) Foret n Severt (003) opujeta tud druge modele za op platčnh deformaj, k vključujejo všje odvode deformajkega polja akšne teorje padajo v kupno kontnuumov všjega reda (hgher grade meda) 3 Knematka elatoplatčnh deformaj ovh materalov Prožnot n utrjevanje nov pr platčnh deformajah ta povezana večnoma z natajanjem n ratjo populaje robnh n vjačnh dlokaj n dlokajkh truktur v nekem določenem volumnu V Dejank mehanzm, k odelujejo pr tem proeu o še vedno dokaj labo poznan Populajo dlokaj opšemo v oblk korelajke tenzorke funkje (Foret et al 000) Naj bota ξ n b lnjk vektor dlokaje n Burgerjev vektor Prva korelajka funkja je tenzor gotote dlokaj: α = b ξ, (3) kjer oklepaj pomen anambelko povprečenje Nalednja korelajka funkja pa je α ( x, x* ) = ( b ξ)( x) ( b ξ)( x* ) = α ( x x* ), (3) jkl pr čemer predpotavmo tattčno unformnot Ena nvaranta tenzorja α jkl je: α 0 = L/V = ρ, (33) jkl kjer je L dolžna dlokaj v volumnu V, ρ pa je dlokajka gotota V modernejšh teorjah platčnh deformaj uporabljajo večnoma notranje premenljvke, k o kakorkol povezane z dokajko gototo ρ ne pa tud tenzorjem α akšen prtop e je pokazal kot upešen pr opu platčnh deformaj krtalov pr tenezjkh, tržnh n do neke mere tud nehomogenh deformajkh pogojh Kolčn α n ρ predtavljata dva neodvna opa ene n te populaje dkontnutet, zato b moral v prnpu obe natopat v konttutvnem zakonu (Foret et al 997) Pomen tenzorja gotote dlokaj n njegovo povezavo z otalm kolčnam, k opujejo deformajo ovh materalov, bomo nekolko podrobneje opal Najprej zapšmo tenzork gradent deformaje za nfntezmalne deformaje: jkl F= x X = + e (34) kjer je x pozja nekega delčka materala po deformaj, X pa po njej enzor F lahko raztavmo na elatčn n platčn del (Fvel n Foret 003): F= E P (35) e e Elatčn del E je produkt dtorzjkega tenzorja S n rotajkega tenzorja R : e e E = S R (36) ako mamo: e e p p FF = u + ω + u + ω ( ω ) ( F = S R P= + u + + u + ω e e e e p p e e p p + u + ω + u + ω ) (37) Pr tem je ω = W Če je S neka ravna plokev, k vebuje točko x n je omejena krvuljo, je Burgerjev

8 vektor defnran kot (Foret et al 997): b dx = E = E n ds (38) S Če je plokev S dovolj majhna lahko potavmo db = n b ξ n ds = αn ds, (39) kjer je n gotota dlokaj na enoto površne Vdmo, da velja: α = nb ( ξ ) (40) Za tenzor gotote dlokaj mora torej veljat (Foret et al 997, Fvel n Foret 003): α= E = ε E e e = e e = u e + ω e = u e + ω e (3) kl k,l j Sedaj upoštevamo, da velja κ = φ n p = e p ω ω ω = ω φ o pomen, da ω predtavlja relatvno rotajo materalnh koordnat glede na poamezen element telea Zadnj člen v zgornj enačb nekolko preoblkujemo: e ω = ε ω e e jkl k,l j = εjklεkmφm,le ej = ε ε κ e e klj km ml j = δ δ δ δ κ e e ml j l mj ml j = ( r κ) κ orej: Če v tej enačb zanemarmo člen u e, dobmo: e α = u κ + ( r κ) (3) α= κ + ( r κ), (33) k jo v nverzn oblk zapšemo takole: κ = ( r α) α (34) Pomembno je, da enačba za tenzor gotote dlokaj vebuje elotn torzjko ukrvljenotn tenzor κ Nčear zato a pror ne moremo vedet o elatčnh al platčnh prpevkh (Foret et al 997) orzjko ukrvljenot materala e med drnm plokvam lahko raztavmo na elatčn n platčn del κ n κ p ermodnamka la, k je povezana e κ je tenzor gotote navora, k vplva na ravnoveje materala n zato natopa v ravnovenh enačbah o je tud razlog, da platčne deformaje opšemo v okvru ove teorje (Foret n Severt 000) Platčna deformaja ovh materalov je poleda zdrov ob drnh temh al tud dlokajah Za vak drn tem defnramo: m = b b, (35) kjer je b Burgerjev vektor Vektor m = b b predtavlja mer premka ob drnem temu Naj bo n normala na drno plokev Platčn tenzor htrot deformaje defnramo kot: e p = γ P, (36) kjer je γ htrot premkanja ob drn plokv, P pa je orentajk tenzor (Foret 998) Indek označuje ndek drne plokve Orentajk tenzor je defnran kot P = m n (37)

9 Na podoben načn formulramo tud platčno komponento torzjko ukrvljenotnega tenzorja Najprej defnramo torzjko ukrvljenotne orentajke tenzorje Q n Q (Foret et al 997, Foret 998): Q = ξ m n Q = m m, (38) kjer je ξ = n m lnjk vektor dlokaje Sled: p θ θ κ = Q + Q l l (39) Pr tem ta l n l karaktertčn dolžn materala, θ n θ pa ta ntern premenljvk, k mata v zgornj enačb podobno vlogo kot velkot deformaje γ v enačb (35) Indek označuje ukrvljenot delčka materala med drnm temom zarad robnh dlokaj, ndek pa označuje ukrvljenot zarad vjačnh dlokaj V nadaljnem beedlu bomo ponekod protnot vjačnh dlokaj zanemarl Utrezno nterno p premenljvko bomo označl z θ, karaktertčno dolžno pa z l 4 Interpretaja multzdrnega mehanzma platčnot Glede na poglavje opšemo rotajo poameznega mkroelementa ovega materala z vektorjem φ ozroma φ = φ ov tenzor mkrorotaje pa je W = ε φ V koordnatnem temu rotrajočega e mkroelementa telea zgleda rotaja materala ravno v naprotn mer, torej φ n W = ε φ Sedaj upoštevamo, da je mer relatvnega gbanja na mej med dvema rotrajočma mkroelementoma odvna od gradentnega tenzorja deformaje n od relatvne mkrorotaje, pr čemer velja: Glede na to defnjo mora torej veljat b = γm = γ + γ γ ( n) = ε φ n γ ( n) = 0 (4) Za platčno komponeneto ovega tenzorja deformaje zato dobmo: e = γ m n = γ n + γ n u + ε φ p (4) Pr tem mo prvzel, da je platčna komponeneta deformaje btveno večja kot elatčna Za metrčn del platčne komponente ovega tenzorja deformaje dobmo za nemetrčn del pa Sled: Hkrat predtavlja zraz pomembne rezultate: = = m n n u p ( e ) γ γ m n n n u ( e p ) γ γ γ ( ), (43) = = + + ε φ (44) γ ( n) u u + ε φ tenzor relatvne mkrorotaje u γ γ n P = =, (45) A Zgornje zveze prepšemo v tr W maro = u = γ n, (46)

10 A = γ P 5 Generalzran Shmdov zakon p p enzorja e n κ b lahko zračunal z enačb (35) n (38), vendar b moral prej poznat vrednot nternh premenljvk γ n θ Začnmo lo na enoto dolžne dlokaje, k jo defnramo takole (Foret et al 997): ( ξ ) f dx = b n ds = b dx, (5) ( σ ) ( σ) kjer je nds= ξ dx Dlokaja e lahko premka v voj ravnn le, če je komponeneta tržne le v mer premka: τ = f n ξ = σ : ( b n) = σ : P b b (5) večja od določene vrednot o je fzkaln pomen Shmdovega krterja Htrot premkanja vzdolž -tega drnega tema zračunamo po enačb: = gn ( τ x ) (53) γ τ x k r Pr tem je x nterna knematčna premenljvka, r pa zotropna utrjevalna premenljvka x n r pravzaprav predtavljata kohezjo n pa mejo prožnot Parametra n n k predtavljata vkoznotna parametra Podoben krterj je tud za ukrvljenotn tenzor Obravnavajmo tem robnh dlokaj, za katere naj bo b = be, normala na ravnno drnega tema z = e n ξ = e Pr majhnh deformajah je ukrvljenot zarad dlokaje 3 enaka: p nb κ = e 3 e l Predpotavmo, da takšne geometrčno nujne dlokaje natanejo takrat, ko je lokaln moment μ = me e 3 ( m < 0) dovolj velk n z njm povezana ukrvljenot prevelka, da b bla lahko akomodrana amo z elatčnm deformajam Predpotavmo nalednj zraz za vkoplatčno htrot ukrvljanja: θ = μ : Q lk lr ( gn μ : Q ) (54) Pomen nternh premenljvk je podoben kot v enačb za γ 6 Prota energja n značlnot utrjevanja Ključn problem termodnamke analze konttutvnega zakona za dpatven tem je zbra relevantnh nternh premenljvk odkaterh je lahko odvna prota energja a naj b bla odvna od deformaje, ukrvljenot n e e temperature ( e, κ, ) ozroma od ( e, κ, ter še od ledečh nternh premenljvk: G S premenljvke δ, kjer velja δ = γ G G premenljvke δ, kjer velja δ = bθ l knematke utrjevalne premenljvke α )

11 Potavmo, da je prota energja kvadratna funkja teh premenljvk: e e S G e e e e ρψ ( e, κ,, α, δ, δ ) = Ejklejekl + Cjklκjκkl + α S S G G S G I S G + r0 δ + h r h h δδ + δ δδ δδ j j j j f j j ( ) j, j, j, (6) Za vako populajo dlokaj uporabmo utrjevalno matrko h j n Interakjo med razlčnm dlokajam pa I G G opšemo z matrko h j Če predpotavmo, da o termodnamke le, k o povezane premenljvkam δ, δ n α nalednje:, r n x, potem dobmo nalednje utrjevalne enačbe: r Izotropno utrjevanje ψ r = ρ = r + h δ + h j S I S 0 j j G j j δ ψ r = ρ = r + h δ + G G 0 j j δ I S j j h δ, (6) h δ (63) G G Zarad enotavnot člena h δ nmo ratavl na h δ n h δ G j j j j j j da b razločl prpevek robnh n vjačnh I dlokaj Ito velja za člen, k vebuje h j Knematčno utrjevanje x ψ = ρ = α (64) α 7 Dpaja Sedaj, ko mo predtavl nterne premenljvke, dobmo za ntrnzčno dpajo: S G G ( τγ α δ ν θ ν θ δ δ D = x r + + r r ) (7) kjer je ν = μ : Q n ν = μ : l l Q (7) Naraščanje števla dlokaj n njhovo premkanje ta dpatvna proea Prv trje člen v zgornj enačb za dpajo vključujejo dpajo zarad drenja, preotal člen pa vključujejo dpajo zarad naraščanja števla dlokaj V nekaterh prmerh lahko zadnj člen zanemarmo Če pa natopajo ntenzvne rotaje poameznh delčkov telea, pa je zadnj člen kljub temu lahko pomemben Nekaj dodatnh nformaj o materalnh parametrh lahko zpeljemo z entropjkega prnpa Evolujko pravlo za α je α = γ d γ α (Foret et al 997, Calletaud et al 003) Upoštevajoč Shmdov zakon za γ n θ ter G G defnje za n lahko zgornjo enačbo za dpajo napšemo takole (Foret et al 997): δ δ D = (( τ x ) gn( γ) r + dα γ ) ( r gn) ( r gn) + θ ν θ + θ ν θ h, (73), Poztvna defntnot te enačbe je doežena, če je d > 0 n če je matrka j takšna, da je r vedno poztven (Foret et al 997)

12 3 ov op lomnh n kataklatčnh deformaj 3 Onovne predpotavke Platčne deformaje o povezane knematko dlokaj v materalu, v naprotju pa o lomne n kataklatčne povezane knematko makrokopkh dkontnutet prelomov n razpok (w n Unruh 998) Pr tem e materal deformra tud elatčno n platčno, vendar je deformaja materala zarad premkanja ob temh prelomnh dkontnutet btveno večja Z lomnm deformajam označujemo v tem beedlu ve tte deformaje medja, k o povezne premkom ob števlnh družnah prelomnh dkontnutet Družne prelomnh dkontnutet predtavljajo tematčno orentrane plokve (drne teme), k o vzporedne n ob katerh prde do več al manj vzporednega premkanja Kataklatčne deformaje pa e pravloma pojavljajo znotraj lomnh on n predtavljajo deformajo drobrja v lomnh onah Matematčn op pa je za oba tpa deformaj enak Razumevanje lomnh n kataklatčnh deformaj je pomembno predvem v ezmologj n trukturn geologj pr študju deformaj kamnn v zemeljk korj n študju mehanzmov, k o povezan z natajanjem potreov V teorj ovh kontnumov v naprotju klačnm prtopom mer premka ob drnh temh, k omejujejo poamezne mkroelemente, n odvna od tenzorja napetot, temveč od ovega tenzorja deformaje: γ m = L n n n n ( e ( e : ) ) (3) u je m enotk vektor v mer premka ob -tem drnem temu, γ pa je velkot premka ov tenzor deformaje vključuje tako relatvno gbanje mkroelementov medja, kot tud njhovo relatvno rotajo Prpevek relatvnega gbanja mkroelementov na mer premka ob drnem temu je: prpevek relatvne rotaje mkroelementov pa je γ = L n n n n ( u ( u : ) ) γ = L( A n ( A : n n) n), (3) (33) Kjer velja: γm = γ + γ (34) V teorj ovh materalov na mer premkanja ob drnh temh torej pomembno vplvajo tud rotaje mkroelementov med drnm plokvam (w n Unruh 998) akšno možnot klačn prtop zanemar Smer premka je tako odvna od dveh tenzorjev: od makrodeformajkega tenzorja u n od tenzorja relatvne mkrorotaje A Hkrat zgornj račun pojan, zakaj je mer premkov ob makrokopkh dkontnutetah, kot o prelom v Zemeljk korj, premoorazmerna z velkotjo prelomov Če je L razdalja med težščema oednjh blokov n S velkot mejne plokve, potem predvdevamo, da velja L = k S 4, kjer je k 4 neka geometrčna kontanta (glej tud poglavje 34) Lomne n kataklatčne deformaje matematčno opšemo podobno kot platčne deformaje (Rehe 978, 983, Marret n Allmendnger 990, Kotrov 974) Deformajo medja v plošnem raztavmo na elatčn, platčn n lomn oz kataklatčn člen: Lomno komponento defnramo podobno kot platčno: V baz latnh vektorjev λ, λ, λ 3 e = e e + e p + e l n κ = κ e + κ p + κ l (35) l e = γ( m n) = γp (36) V V tenzorja makrodeformaje u lahko gradent deformaje u zarad

13 premkov ob en družn dkontnutet napšemo kot λ λ λ 0 0 u = γ = (37) λ λ λ Pr tem zberemo λ = γ n λ 3 = γ ter n = ( λ + λ 3) n m = ( λ + λ 3) Antmetrčn del tenzorkega gradenta deformaje predtavlja makrorotjk tenzor Ker v tem poebnem prmeru velja maro ε ε λ u = u = φ = γ, (38) je on vektor makrorotaje vzporeden rednj latn o tenzorja makrodeformaje u Če o v medju protne maro tud družne prelomnh dkontnutet z drugačno orentajo, lahko mer onega vektorja marorotaje φ bolj al manj odtopa od rednje latne o tenzorja u, vendar merjenja v narav kažejo, da o ta odtopanja mnogokrat zanemarljva (w n Unruh 998 ter latne mertve) Prav tako on vektor mkrorotaje φ tež k vzporednot z φ maro enzor relatvne mkrorotaje A zato v baz latnh vektrojev λ, λ, λ 3 tenzorja u defnramo kot (w n Unruh 998): 0 0 C maro λ λ 0 0 φ φ 3 A = = (39) maro φ φ 0 0 C 0 0 λ λ 3 V baz latnh vektorjev tenzorja makrodeformaje tako ov tenzor deformaje zapšemo takole: Parameter C je: λ 0 C λ λ 3 e = u + A = 0 λ 0 (30) C 0 λ 3 λ λ 3 C maro φ φ = (3) 05, ( λ λ ) 3 w n Unruh (998) menujeta ta parameter vrtnčnotn parameter, m pa ga bomo menoval mkropolarn parameter Imenovale v zgornjem ulomku je makmaln možn trg, k ga zračunamo z latnh vrednot tenzorja makrodeformaje Parameter C predtavlja poebno knematko prototno topnjo, k opuje normalzrano mero maro razlke med rotajo elotnega kamnnkega mava φ n rotajo poameznh blokov med prelomnm plokvam φ (w n Unruh 998) Poleg mkropolarnega parametra C je pomemben še mkropolarn parameter R, k ga defnramo kot: R = e u ( 9) e ( 9 ),( 9) (3) u je ( 9 ),( 9) e = ( e,e,e 33,e,e 3,e 3,e,e 3,e3) n u = ( u,u,u 33,u,u 3,u 3,u,u 3,u3) Parameter R opuje normalzrano mero razlke med ovm tenzorjem deformaje n njegovo metrčno komponento, k predtavlja makrodeformajo Podobno kot mo prej defnral mkrorotajk parameter R, lahko edaj defnramo še makrorotajk parameter Rm, k defnra oeno ntenzvnot makrorotaje: Rm = u + W u,( 9) ( 9 ),maro,( 9) u + W,( 9) ( 9),maro (33)

14 3 Konttutvn zakon Za konttutvno povezavo med deformajam n napetotm v prmeru lomnh n kataklatčnh deformaj v prblžku prčakujemo podobno zvezo, kot v prmeru trenjkega granularnega tečenja: σ d = d (3) μ f d u je σ devatorčn del tenzorja napetot, d je devatorčn del tenzorja deformaje, μ pa je tržna vkoznot f (Dartevelle 003) Ker e lomna n kataklatčna deformaja (= deformaja povezana premk ob prelomh) akumulrata koz daljša geološka obdobja n lahko doežeta velko ntenzvnot, lahko predpotavmo, da o napetot neodvne od htrot deformaje (Kapar 00, Dartevelle 003) Zgornja enačba je podobna konttutvn enačb za Newtonovke tekočne, vendar tržna vkoznot μ f ne me bt kontantna Samo tako namreč tenzor napetot n odven od htrot deformaje Glede na zgornjo enačbo tud klepamo, da o latn vektorj tenzorja deformaje n tenzorja napetot enak V nekolko razšrjen oblk zato konttutvn zakon zapšemo takole (Dartevelle 003): σ = p + μ e, f r (3) V teorj mkropolarnh (ovh) kontnumov moramo bt še nekolko bolj prevdn Napetotn tenzor σ namreč n nujno metrčen (Foret 000) V konttutvn enačb moramo zato upoštevat tud njegovo antmetrčno komponento Do možne n prblžne reštve e dokopljemo pomočjo enačb za platčno tečenje V ta namen platčne n lomno-kataklatčne deformaje združmo v platčnolomne deformaje, k jh opšemo lp p l lp p l tenzorjema e = e + e n κ = κ + κ Predvdevamo, da je povezava med lomnm, kataklatčnm n platčnm deformajam tenzorjem napetot odvna od th zakonov Enačbe za lomnoplatčno tečenje napšemo po vzoru enačb za platčno tečenje: Spomnmo e še nalednjh zvez: d d d d lp a σ + a σ lp bμ + bμ e = p, κ = p, J ( σ, μ) J ( σ, μ) a a b b p = e : e + e : e + κ : κ + κ : κ a a a a b b b b lp lp lp lp lp lp lp lp f ( σ, μ, R) = J ( σ, μ) R( p) J ( σ, μ) = a σ : σ + a σ : σ + bμ : μ + bμ : μ d d d d d d d d d d u je npr σ devatorčn del tenzorja napetot, σ je tranponran devatorčn del tenzorja napetot, a a b b pa o materaln parametr V nalednjem koraku bomo predpotavl, da je tenzor napetot σ dot večj od tenzorja gotote navora μ, k ga bomo zato zanemarl o memo tort, ker predpotavmo, da je lp relatvna mkrorotaja povod v materalu enaka, torej φ = 0 Enačbo za e napšemo takole: d d lp a σ + a σ pa d pa d e = p = σ + σ = J( σ) J( σ) J( σ) p ( d ) p ( d ) a + a σ + a a σ J σ J σ (33) Zadnj člen lahko napšemo še drugače, če upoštevamo vzporednot med onm vektorjem makrorotaje n onm vektorjem mkrorotaje, torej tud relatvne mkrorotaje Začnmo z ravnovenm enačbam v mkropolarnem kontnumu: μ ε : σ + =ρφ I Spet zanemarmo tenzor gotote navora, aj predpotavmo, da je velkot relatvne mkrorotaje povod enaka, torej φ = 0 Prav tako bomo zanemarl volumke navore, aj predvdevamo, da o le-t v Zemeljk korj odotn Sled: ε : σ = ρφ I

15 Levo tran te zveze lahko zrazmo v mlu akalnega vektorja naptotnega tenzorja σ Glede na relajo: led: σ = ε : σ, σ = ρi φ (34) o je zelo pomemben rezultat Sklepamo, da e mer makrorotaje n relatvne mkrorotaje ne premnjata, zato predpotavmo še: φ φ maro φ φ φ, n zato je tud on vektor antmetrčnega dela tenzorja napetot, σ, vzporeden vektorju φ orej: rel : σ = = : : ρi φ σ ε ε ε φ A (35) lp Antmetrčna komponeneta tenzorja napetot je torej orazmerna antmetrčn komponenet tenzorja e : ( σ) ( σ) A ( lp e ) kj d kj σ = = p p (36) u je k neka kontanta, ulomek J ( σ) / p pa mo pal, ker je tenzor napetot neodven od htrot deformaje Zato z enačbe (33) led lp lp p d lp ( e ) + ( e ) = ( a + a)( σ ) + k( a a)( e ) J ( σ) Očtno mora torej veljat: = p J +, (37) lp ( e ) ( d a ) a σ σ lp lp ( e ) ka ( a )( e ) ka ( a ) = = (38) Za konttutvn zakon potem dobmo: J ( σ) J ( σ d d lp ) ( lp σ + σ = e + e ) pa + a pa a (39) Celoten tenzor napetot lahko potem napšemo v nalednj oblk: lp lp μ σ = p I+ μ e + e ozroma r f σ = p I+ u + A r μf μ (30) kjer ta μ n μ vkoznotna parametra, p pa je hdrotatčn tlak Antmetrčen del tenzorja napetot ma f r velk vplv na velkot tržne napetot ob prelomn dkontnutet Napetot ob dkontnutet je: σn = pn + μu n + μan = pn + μu n + μ α n, (3) r r aj velja An = α n, kjer je α on vektor tenzorja relatvne mkrorotaje A Vektork produkt med normalo prelomne dkontnutete n n onm vektorjem α lež v ravnn dkontnutete, zato člen μ A vplva le na velkot tržne napetot ob dkontnutet V nemetrčnh napetotnh tanjh o zato tržne napetot ob prelomnh dkontnutetah lahko znatno večje kot v metrčnh napetotnh tanjh

16 33 Multzdrn mehanzem lomnh n kataklatčnh deformaj Poenotavljeno prelome predtavljamo kot ravnne, katerh orentajo podamo z enotkm vektorjem normale n Smer premka ob prelomn plokv podamo z enotkm vektorjem m Pr tem velja n m = 0, aj ta ta dva vektorja med eboj pravokotna Opazovanja v narav kažejo, da je velkot premka ob prelomu odvna od velkot preloma ozroma od njegove dolžne (Man et al 999): b l α (33) Najpogoteje znaša vrednot α okol Odvnot velkot premka od dolžne preloma je v tem prmeru nvarantna glede na merlo (Uda 999) Prav tako o na podlag ezmološkh analz potreov n na podlag opazovanj v narav ugotovl, da je velkot premka odvna od pada napetot ob zdru (Uda 999), zato zgornjo enačbo napšemo takole: b = kδ σ (33) l u je k neka kontanta Glede na plošne ugotovtve na področju mehanke kamnn (Jaeger n Cook 969) lahko pade napetot Δσ oenmo kot Δ σ = τ τ re (333) Pade napetot je povezan padem tržne trdnot Naj bo τ tržna trdnot pred zdrom, τre pa redualna tržna trdnot po zdru Zarad trenja ob prelomn dkontnutet je redualna tržna trdnot lahko večja kot nč (Uda 999, Jaeger n Cook 969) Če je σ n povprečna normalna napetot ob prelomn dkontnutet, lahko τ re oenmo na podlag Amotonovega zakona trenja (Jaeger n Cook 969) kot τre = μσn, kjer je μ koefent trenja Pr opu lomnh n kataklatčnh deformaj gra pomembno vlogo deformajk moment M (Marrett n Almendnger 990): M = Sb, (334) k je produkt površne preloma S n premka ob njem b Soroden je ezmčnemu momentu v ezmologj Med njma velja zveza M, kjer je G = GM tržn modul kamnne (Marret n Almendnger 990, Uda 999) Glede na zgornje enačbe velja: M σs 3 = Δ (335) Obravnavamo namreč dvodmenzonalne prelomne dkontnutete, kjer je l S (Uda 999) V zgornj enačb je neka kontanta Porazdeltev števla prelomnh dkontnutet ozroma prelomov glede na velkot opšemo z enačbo (Man 000, Man et al 999, 000): dn AB n( M) = =, (336) dm M B+ kjer ta A n B parametra porazdeltve Parameter B ma lahko vrednot med /3 n, najpogoteje pa njegova vrednot znaša okol /3 (Man n Kynd 00) V amo fzkalno ozadje zgornje porazdeltvene funkje e na tem metu ne bomo puščal Povejmo pa, da zgornja porazdeltvena funkja dobro opše predvem porazdeltev manjšh prelomnh dkontnutet, za večje prelome pa utegne porazdeltev nekolko odtopat od tte, k jo napove zgornja enačba (Man 000, Man et al 999, 000) Izračunajmo edaj števlo prelomov z deformajkm momentom med n ozroma površno med n S : M M S Celoten deformajk moment pa je: M A N ( M < M < M) = n( M) dm = A = B B B 3B 3B M M M S S Δσ M max (337) AB B M = Mn ( M) dm = Mmax (338) B 0

17 V tej porazdeltv o prot parametr trje: Sedaj lahko pšemo: A, B n Mmax V prblžku pa lahko za največj prelom potavmo: logn = log = 0 ozroma 0 = loga BlogMmax (339) M BMmax = (330) B V tej enačb ta prota parametra dva: B n Mmax Ker je vrednot parametra B enaka prblžno /3, je neznanka v tej enačb le M max Deformajo zarad premkov ob prelomnh dkontnutetah ozroma prelomh ene družne zračunamo (Rehe 978, 983, Marret n Almendnger 990): M M M V V V l k k k e = P = ( n ) + ( n ) k k k k k k, (33) kjer ndek k označuje k-to družno prelomov, V pa je volumen medja z opazovano populajo prelomov, elotn deformajk moment za prelome k-te družne Za elotno lomno deformajo dobmo potemtakem: M M M V V V l k k k e = P = ( n ) + ( n ) k k k k k k k Pr tem enačbe, k mo jh napal na konu poglavja 4 zapšemo takole: u M M = = n, P V V k M k pa je (33) W maro M = u = n, V (333) M A= P V e enačbe predtavljajo multzdrn mehanzem lomnega ozroma kataklatčnega tečenja n o ekvvalnetne enačbam za multzdrn mehanzem platčnot v teorj platčnh deformaj Pr lomn deformaj o orentajk tenzorj P določen že vnaprej Colulomb-Mohrovm krterjem trdnot (Jaeger n Cook 969) al pa z že prej obtoječm plokvam anzotropje v medju, kot o naprmer platnatot, prej obtoječe razpoke, krlavot, klvaž maro td Pr homogenh deformajkh pogojh pa je vrednot tenzorjev u n W določena z robnm pogoj v kladu z enačbam, k mo jh omenl v poglavju o homogenzajkh metodah za ove materale Volumen medja V je ponavad btveno večj od karaktertčne dolžne, zato je HNM Cauhyjev kontnuum Za homogene razmere velja: maro maro maro E = u = u ozroma u = E+ W n W = W (334) maro u mo z W označl makrorotajk tenzor, k je določen na robu medja Prot parametr v zgornjh enačbah maro multzdrnega mehanzma lomnega tečenja o torej A, n Enačb za u n W napšemo takole: M (,,, ) (,,, ), S S S (, W,, W ) (,,, ) Vu = P P P M M M Sm S S S j j j jn N VW = W M M M j j j jn N Sm Pravzaprav mamo 8 enačb za komponenete u n W n za N neznank a tem napšemo v oblk: j L j (335) = H M (336) maro Neodvnh enačb je manj kot 8, n er 4 za tenzor u n za tenzor W, torej kupno 6 Če hočemo, da je tem določen, mora bt števlo N enako 6, kar pomen, da poljubne deformajke robne pogoje lahko kompenzra najmanj 6 družn drnh temov V tem prmeru je reštev zgornje enačbe: M = H H L (337)

18 Če je družn več, o nekatere nepotrebne n najbrž no aktvne Če pa je družn premalo, pa je tem predoločen V tem prmeru robnh pogojev n nujno mogoče popolnoma kompenzrat z zdr ob drnh temh Najblžja reštev je dolčena z enačbo: M = HH HL (338) Verjetno pa e v medju razvjejo nove geometrčno nujne dkontnutete Najmanj drnh temov je geometrčno nujnh v prmeru, če je makrorotajk tenzor enak nč 34 Relatvna mkrorotaja pr lomnem n kataklatčnem tečenju Vrednot tenzorja relatvne mkrorotaje A n neporedno odvna od zgornjh enačb Na vrednot relatvne mkrorotaje vplva porazdeltev prelomnh dokaj glede na velkot (enačba 336) n pa protorka razporejenot dkontnutet Opazovanja v narav kažjo, da mer vektorja relatvne mkrorotaje φ določa geometrja tema prelomov na vaj dva možna načna: () Premk vzdolž preečne med prelom: Opazovanja prelomov n ezmčne analze potreov (latne mertve n analze) kažejo, da premk ob prelomh težjo k vzporednot preečno poameznh prelomov z drugm prelom Imejmo dva preloma z velkotjo S = k L 4, n S = k L 4, n z normalama n n n Preečna d med tema dvema prelomoma je: ( n n ) d =, (34) n n () Mkrorotaja zarad povjanja največjh prelomov: je drug mehanzem, k določa mer mkrorotaje φ V tem prmeru je prelom etavljen z najman dveh egmentov z normalama n n n, mer trga γ = u n ( u : n n ) n pa mora bt prblžno pravokotna na preečno d med namšljenma ravnnama z normalama n n n : ( n n ) φ d = (34) n n Smer relatvne mkrorotaje torej kakorkol določa geometrja tema prelomov Odgovor na vprašanje, od čea je odvna velkot ozroma ntenzvnot relatvne mrkrotaje, pa je nekolko daljš Predvdevamo, da je ntenzvnot relatvne mkrorotaje odvna od elatčnh latnot materala med prelomnm plokvam n od geometrje tema prelomov Hkrat opazovanja v narav kažejo, da je mkrorotaja odvna tud od gradenta velkot premka ob razlčno velkh prelomh Relatvno mkrorotajo defnramo kot: δb φ = (343) l Pr tem je δb razlka med velkotjo premka ob dveh razlčno velkh prelomh, k omejujeta bloke materala med prelomnma plokvama, l pa je karaktertčna velkot Velja db Δσ b = Δσ S = (344) ds S Ker je na en tran prelom z velkotjo na drug tran pa je prelom z velkotjo S lahko pšemo: S δ S = S S = ks (345) Sled: db δb = δs = k Δσ S (346) ds

19 Ker je proe lomne deformaje v Zemeljk korj fraktalen, je geometrja tema prelomov na razlčnh karaktertčnh velkoth enaka o pomen, da mora med površno prelomov, k omejujejo bloke kamnn z določeno karaktertčno velkotjo l veljat: Sled V = k S = k l S l (347) 3 3, aj velja tud 3 l = k S 4, (348) kjer o dobmo k, k, n k3 razlčne kontante, k o odvne od geometrje tema prelomov Za mkrorotajo potem φ kδσ k = = kgeomδσ (349) 4 Intenzvnot relatvne mkrorotaje je po tej enačb odvna od elatčnh latnot nov, torej od kontante, od pada napetot Δσ n od geometrje tema prelomov, torej od geometrčne kontante k Intenzvnot geom mkrorotaje pa je neodvna od karaktertčne velkot, kar mo tud prčakoval glede na fraktalne latnot prelamljanja Zgornj rezultat še zdaleč n dokončen Mkrorotaja namreč ne natopa amo na lev temveč tud na den tran enačbe v padu napetot Δσ V ren moramo ugotovt, kako je ntenzvnot relatvne mkrorotaje odvna od maro robnh pogojev u n W Začnmo z defnjo pada napetot: Δ σ = τ μσ n, (340) kjer je τ tržnanapetot ob prelomn dkontnutet, σn je normalna napetot, μ pa je koefent trenja Defnrajmo orentajka tenzorja D n N : D = n d, (34) N = n n Ne pozabmo, da je mer premka vzporedna preečn preloma z nekm drugm prelomom, torej: m = d (34) Stržna napetot ob prelomu je τ = σ : D, normalna napetot pa je σ = σ : N Pade napetot je potemtakem: n Δ σ = σ : ( D μn) (343) V to enačbo vtavmo konttutvn zakon σ = p I+ μu + μ A, r pr čemer upoštevamo, da je prpevek antmetrčnega dela tenzorja napetot k velkot normalne napetot enak nč (enačba 3): σ : N = 0 (344) Prpevek antmetrčnega dela tenzorja napetot k velkot tržne napetot pa n enak nč Velja: γ = φ n = ( φ n δ) d γ d = φ n δ o ϕ (345) γ = An γ d = An d = A D orej mora veljat: : σ : D = μ A : D = μφ n δ o ϕ (346) V teh računh mo upošteval, da vektor oklepa z vektorjem d kot ϕ Kot δ pa je med normalo n n

20 vektorjem φ Sedaj enačbo (349) napšemo v oblk: φ = k σ : ( D μn) = k σ : ( D μn) + k σ : geom geom geom ( D μn) = = k σ : ( D μn) + k μa : ( D μn) = geom geom = k σ : ( D μn) + k μ φ nδ oϕ geom geom (347) kjer mo upošteval σ : N = 0 n σ : D = μ A : D = μφ n δ o ϕ Izrazmo φ ( ) ( n dobmo rezultat: φ = Κ r u + μ u : D μn) (348) F geom f Pr tem mo vpeljal geometrčno kontanto ( Fgeom = kgeom μkgeom nδ oϕ, k vključuje geometrjo tema prelomov, elatčne latnot materala med prelomnm plokvam ter vkoznotn parameter μ K pa je povprečn tljvotn modul Glede na dejtvo, da velja Κ r u : D μn = 0, lahko pšemo: φ = μ u : ( D μn) F geom f ) (349) a enačba predtavlja zelo pomemben rezultat Velkot relatvne rotaje je premoorazmerna z globalno makrodeformajo, odvna pa je tud od elatčnh n vkoznotnh latnot materala n od geometrje tema prelomov Ker je relatvna mkrorotaja določena naprmer z dvema prelomoma z normalama n n n, mora veljat nalednje: φ = F geom μf u : ( D μn), (340) φ = F μ u : ( D μn ) geom f Razlčn prelom morajo terej met razlčno vrednot geometrčne kontante F geom 35 Relatvna mkrorotaja zarad premkov ob preečn med prelom Nekolko podrobneje poglejmo relatvno mkrorotajo, k natane zarad premkov ob preečnah med prelom Smer trga ob dveh prelomh z normalama n n n mora bt enaka n hkrat vzporedna preečno med prelomoma d : γd = L( en ( e : n n ) n) = γ + γ, (35) γd = L en e : n n n = γ + γ ( ) Izenačmo n dobmo: Ker velja γ = Lφ n led: γ γ = ( γ γ ) Δ ( n Δn (35) Δ = φ Ln L ), (353) torej: Δ = φ Δn (354) Vektorja Δn n tud v takšn oblk: Δ mata komponente ( Δn, Δn, Δ n ) ozroma (,, ) 3 Δ Δ Δ Zgornjo enačbo lahko zapšemo 3 Δ = Gφ, (355)

21 kjer je: 0 Δn Δn 3 G = n 0 n 3 Δ Δ (356) Δn Δn 0 Za vektor relatvne mkrorotaje potem dobmo: kjer je: G φ = G Δ, (357) n Δ n n3 n3 n Δ Δ Δ Δ n Δ = Δn3 ΔnΔn3 Δn (358) n Δ 3 Δn Δn Δn Δn Enačba (357) predtavlja odvnot vektorja relatvne mkrorotaje od deformajkh robnh pogojev Hkrat veljata tud enačb (340) z čear lahko potem zračunamo geometrčn kontant: F, geom = : ( G Δ ) ( μ,, ) u D N (359) Enačba (357) je neodvna od velkot prelomov S n S, k ta povezan z razdaljo med redšč rotrajočh blokov L n L dve kolčn ta zatopan tako v defnj vektorja Δn kot tud vektorja Δ n na vrednot produkta G n Δ ne vplvata, če je le razmerje L : L neodvno od merla opazovanja Zaenkrat še nmamo nkakršnh podatkov o tem, kakšno naj b to razmerje blo eoretčno lahko ugbamo, da je kakorkol povezano porazdeltvjo prelomov glede na velkot, naprmer z razmerjem M : M Morda ravno največj prelom n max max njhova velkot določajo relatvno mkrorotajo, na manjšem merlu pa je zarad amopodobnot orentaja n velkot relatvne mkrorotaje enaka Defnrajmo vektor deformajkega momenta M, katerega velkot je enaka deformajkemu momentu M, mer pa je enaka mer premka b : M = Sb = S γ + γ = Sγ + Sγ = M + M (350) S tem vektor deformajkega momenta raztavmo na prpevek zarad makrodeformaje n na prpevek zarad relatvne mkrorotaje Celotna makrodeformajka komponenta deformajk momenta M za dano družno prelomov je: Sedaj upoštevamo, da velja S ( k4 ) B B M = M,max S,maxL,max n n n B = B = L, pa dobmo: ( u ( ) ) u : n B M = L n n n ( u ( u : ) n) 3,max B k4 (35) Razmerje L : L je torej enako: ( u ( u : ( )) ) u ( u : ( )) M n n n n L,max : L = = 3 L,max M n n n n L (35) Vrednot M n M zračunamo z enačb (337) al (338) Zgornja oena za razmerje L je eveda : L pravlna le, če ta kontant n k enak za obe družn prelomov B 4

22 36 Abolutna nterna rotaja amopodobnega ovega materala Relatvna mkrorotaja predtavlja op relatvne rotaje poameznh mkroelementov enega glede na drugega Vendar to še n tud abolutna rotaja poameznh mkroelementov Kamnne v Zemeljk korj predtavljajo amopodoben materal, k ma fraktalne latnot o pomen, da je na vakem merlu opazovanja proe prelamljanja vdet enako Geometrja tema prelomov je neodvna od merla opazovanja, kakor tud relatvna mkrorotaja o pa pomen, da o znotraj večjh rotrajočh blokov še manjš rotrajoč blok Celotna rotaja materala na najmanjšem možnem merlu opazovanja l 0 je zato vota rotaj na veh večjh dmenzjah ozroma merlh Označmo razlko med dvema karaktertčnma dmenzjama z δl Potem je prpevek relatvne mkrorotaje k elotn rotaj mkroelementa na najmanjšem možnem merlu enak: l 0 L0 δl α( l ) + α( l + δl ) + + α( L ) k φdl = kφl kφl kφl, (36) kjer je k neka neznana kontanta, k jo zračunamo takole: kφl0 Σαδl ( l + δl) = Σ α ( L0 ) = k = δl φl l0 α (36) Prpevek k rotaj najmanjšh mkroelementov do velkot l je potemtakem: Dejanka rotaja mkroelementa velkot l pa je: 0 0 Karaktertčno merlo za n-dmezonalne prelome defnramo takole: Rotaja najmanjšh blokov je enaka 0 kφl l Σ α() l = =Σα( L ) (363) δl L l α = Σα( L0) Σ α() l = Σα( L0) (364) L 0 Za -D prelome: l := S Za -D prelome: l := S Za 3-D prelome: 3 l := S (365) α max = Σ L α 0 n jo zmermo z naprmer (paleo)magnetnm merjenj Rotaja na nekolko večjem merlu pa je manjša n jo lahko zračunamo, če zmermo velkot največjega preloma, k je povezan z rotajo regje: l α() l = α max (366) L 0 N torej nujno, da je rotaja regje enaka rotaj, k jo zkazujejo blok kamnn na merlu zdanka (npr etnega veka, kamnoloma td), temveč je verjetno mnogo manjša, odvno od velkot največjega preloma L0 Vr n Lteratura Cladouho, and RW Allmendnger 993: Fnte tran and rotaton from fault lp data, J Strut Geol 5, Dartevelle, S 003: Numeral and granulometr approahe to geophyal granular flow, PhD the, Mhgan ehnologal Unverty, Mhgan 3 Fgueredo, RP, EA Varga, A Morae 004: Analy of bookhelf mehanm ung the mehan of generalzed ontnua, J Strut Geol 6, Fvel, M, S Foret 003: Platte rtallne et tranton d'ehelle: a du monortal, 7 p, ehnque de l'ingeneur

23 5 Foret, S 998: Modellng lp, knk and hear bandng n laal and generalzed ngle rytal platty, Ata Mater 46, Foret, S 000: Meda, n Enylopeda of Materal: Sene and ehnology, edted by KHJ Buhow, RW Cahn, MC Flemng, B Ilhner, EJ Kramer and S Mahajan, pp 75-78, Elever Sene Ltd 7 Foret, S, F Barbe and G Calletaud 000: modellng of ze effet n the mehanal behavour of polyrytal and mult-phae materal, Int J Sold and Strut 37, Foret, S, G Calletaud and R Severt 997: A heory for Elatovoplat Sngle Crytal at Fnte Deformaton, Arh Mehan 49, Grammenoud, P 003: Mkropolare Platztät, Ph D he, p, Unverty of Darmtadt 0 Jaeger JC and NGW Cook 969: Fundamental of Rok Mehan, Methuen London Kapar, JW 00: Conttutve Model for Engneerng materal, n Enylopeda of Phyal Sene and ehnology, hrd Edton, Volume 3, pp , Aadem Pre Kotrov, VV 974: Sem moment and energy of earthquake, and em flow of rok, Izv Aad S USSR Phy Sold Earth, Engl ranl,, Man I G 000: Apparent Break n Salng n the Earthquake Cumulatve Frequeny Magntude Dtrbuton: Fat or Artfat?, Bulletn of the Semologal Soety of Amera 90, tr Man I G, D Irvng, R Muon, A Readng 999: Contrant of frequeny magntude relaton and maxmum magntude n the UK from oberved emty and glao otat reovery rate, Geophyal Journal Internatonal 37, Man I G, F H Al-Kynd 00: Entopy, energy, and proxmty to rtalty n global earthquake populaton, Geophyal Reearh Letter 9, 009/00GL Man I G, G O'Bren, J R Henderon 000: Stattal phy of earthquake: Comparon of dtrbuton exponent for urfae area and potental energy and the dynam emergene of log perod energy quanta, Journal of Geophyal Reearh 05, tr Marret, R and RW Allmendnger 990: Knemat analy of fault-lp data, J Strut Geol, Onk, PR 00: modellng of ellular old, C R Mehanque 330, Rehe, Z 978: Analy of faultng n three-dmenonal tran feld, etonophy 47, Rehe, Z 983: Faultng of rok n three-dmenonal tran feld II heoretal analy, etonophy 95, Geophy Re 03,,05 -, w, RJ, GM Protzman and SD Hurt 99: heory of lkenlne pattern baed on the veloty gradent tenor and mrorotaton, etonophy 86, Cladouhou,, RW Allmendnger 993: Fnte tran and rotaton from fault-lp data, J of Strut Geol 5, Uda, A 999: Prnple of Semology, Cambrdge Unverty Pre, 475 pp