Izračun koordinat poligonskih točk

Transcript

1 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Izračun koornat polgonskh točk Polgonske točke povezane v polgone tvorjo polgonsko mrežo. Koornate polgonskh točk računamo na osnov merjenh polgonskh stranc n lomnh kotov. Polgonska stranca je razalja me vema polgonskma točkama. Lomn kot je kot me vema polgonskma strancama; vrh kota je polgonska točka. Prklepn polgon Prključen al prklepn polgon poteka me vema anma točkama (trgonometrčnma al polgonskma). Na slk spoaj je poan takšen polgon. slka 1: prključen (prklepn) polgon Pr tem polgonu moramo poznat koornate točk,,, D. Mermo prklepna kota 1, 5 (prklepn kot so enak kot lomn kot, le a se menujejo tako zara tega, ker prklepajo polgon na ano točko), lomne kote 2, 3, 4, n polgonske strance 1, 2, 3, 4. Na osnov anh n merjenh kolčn moramo zračunat neznane koornate polgonskh točk 1, 2 n 3. orej: Dano: točke (Ya,Xa), (Yb,Xb), (Yc,Xc), D(Y,X) Merjeno: 1, 5, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 Neznano: 1 (Y 1,X 1 ), 2(Y 2,X 2 ), 3(Y 3,X 3 ) Koornate neznanh polgonskh točk zračunamo s pomočjo oločenh smernh kotov me točkam polgona n merjenh polgonskh stranc. Najprej z anh koornat zračunamo začetn smern kot ν n končn smern kot ν D : Y Y Y Y tan ν tan ν X X X X D D D Da b zračunal neznane koornate polgonskh točk moramo zračunat koornatne razlke y n x, začenš o prve ane točke. Koornatne razlke me točkam polgona pa lahko zračunamo na osnov znanh smernh kotov posameznh polgonskh stranc. e zračunamo s pomočjo merjenh lomnh (prklepnh kotov). Najprej s poglejmo zvezo me smernm n lomnm kot (slka 2). 1

2 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov slka : zračun smernega kota polgonske strance Smern kot n-te strance obmo, če smernemu kotu prejšnje strance prštejemo lomn kot na točk ter vsot prštejemo, al oštejemo 180. Splošno velja: ν n+ 1 n ν n n 1 + n ± prštejemo takrat, kaar je vsota manjša o 180, oštejemo če je vsota večja o 180. Za polgon na slk lahko zračunamo smerne kote na naslenj načn: ν ν + ± ν ν + ± ν ν + ± ν ν + ± ν ν + ± 180 D 3 5 Smern kot ν D smo s že v začetku zračunal z koornat točk n D n obe vrenost b moral bt enak. Zara nezogbnh napak pr merjenju lomnh kotov, smerna kota ne bosta enaka. Če zgornje enačbe seštejemo, obmo: D [ ] n *180 [ ] ν ν + ± ako zračunan smern kot ν D bo ostopal o smernega kota, k smo ga zračunal z koornat. o ostopanje menujemo kotno nesoglasje n ga označujemo z f. Izračunamo ga po enačb: D f ( ν + n*180 ) ( ν + [ ]) "MOR" "JE" pr čemer je n števlo lomnh kotov (števlo "bet") v polgonu. Kotno nesoglasje f mora bt manjše al enako o opustnega nesoglasja. Dopustno nesoglasje je oločeno s pravlnkom n je ovsno o: vrste uporabljenega nstrumenta (poatek, natančnost...) metoa zmere. n 1 2

3 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Če je kotno nesoglasje manjše o opustnega, ga razelmo enakomerno na vse merjene kote. Zatem zračunamo popravke za merjene lomne kote: kotno nesoglasje elmo s števlom lomnk kotov (brez ostanka). Popravk so v sekunah n so celoštevlčne vrenost, ne ecmalne. f v n Računska kontrola zračuna popravkov lomnh kotov se glas: [v ] f S popravljenm lomnm kot lahko zračunamo okončne smerne kote polgonskh stranc n nato koornatne razlke (koornatne razlke računamo na tolko ecmalk, na kolkor so poane zmerjene polgonske strance): 1 1 y sn ν x cosν y sn ν x cos ν 1 1 y sn ν x cos ν y sn ν x cos ν Vsota zračunanh koornatnh razlk b morala bt enaka razlk koornat anh točk n : y Y Y x X X [ ] [ ] Zara nezogbnh napak pr merjenju polgonskh stranc pre o t.. koornatnh nesoglasj: f y (Y Y ) [ y] f x (X X ) [ x] "MOR" "JE" Iz koornatnh nesoglasj lahko zračunamo skupno lnearno nesoglasje f. f f + f x y o mora bt manjše al enako opustnemu lnearnemu nesoglasju : f Koornatna nesoglasja f y n f x porazelmo na koornatne razlke n to sorazmerno olžnam posameznh polgonskh stranc. Izračunamo popravke v y n v x : fy fx v y v x [ ] [ ] Računska kontrola zračuna popravkov koornatnh razlk je: [v y ] f y [v x ] f x Izračunane popravke algebrsko prštejemo posameznm koornatnm razlkam. (Preznak popravkov je ovsen o preznaka koornatnega nesoglasja). ako obmo popravljene koornatne razlke y' n x' : y' y + v x' x + v Y X S popravljenm koornatnm razlkam zračunamo koornate polgonskh točk: 3

4 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Zanja računska kontrola je ta, a z algebrskm seštevanjem koornatnh razlk, moramo o ane točke prt točno v ano točko. Zara zaokroževanja lahko pre o razlke ene o veh enot na zanjem ecmalnem mestu. Vsa računanja se ponava opravjo v trgonometrčnem obrazcu števlka 19. 4

5 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Zaključen polgon Zaključen polgon poteka o ene ane točke n se zaključ na st an točk. Dana točka je lahko trgonometrčna točka al že prej oločena polgonska točka. Polgon zhaja z točke 1 n se zaključ na st točk. Na polgonu na slk xx zgoraj sta poan točk1 n 1. Mermo oba prklepna kota 1, n 6, lomne kote 2, 3, 4, 5, ter polgonske strance 1, 2, 3, 4, 5. Računamo koornate točk 2, 3, 4 n 5. Mermo vse lomne kote 1, 2, 3, 4, 5 n polgonske strance 1, 2, 3, 4. Postopek zračuna je enak kot pr prklepnem polgonu. Začetn smern kot je tu ν 1, končn smern kot pa ν 1. Kotno nesoglasje lahko zračunamo kot: 1 f ( ν + n *180 ) ( ν + [ ]) 1 "MOR" "JE" pr čemer je n števlo lomnh kotov (števlo ) v polgonu. ν ν ν ν ν ν 4 5 slka : zaključen polgon 4 Kotno nesoglasje f mora bt manjše al enako o opustnega nesoglasja. Če je kotno nesoglasje manjše o opustnega, ga razelmo enakomerno na vse merjene kote. Zatem zračunamo popravke za merjene lomne kote n to tako, a kotno nesoglasje elmo s števlom lomnk kotov (brez ostanka). v 5 f n

6 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Računska kontrola zračuna popravkov lomnh kotov se glas: [v ] f S popravljenm lomnm kot lahko zračunamo okončne smerne kote polgonskh stranc n nato koornatne razlke: y sn ν x cosν y sn ν x cos ν 3 3 y sn ν x cos ν y sn ν x cos ν y sn ν x cos ν Vsota zračunanh koornatnh razlk v zaključenem polgonu b morala bt enaka nč: y 0 n x 0 [ ] [ ] Zara nezogbnh napak pr merjenju polgonskh stranc nastop t.. koornatno nesoglasje: f y 0 [ y] f y [ y] f x 0 [ x] 6 f x [ x] u tukaj mora bt skupno lnearno nesoglasje f manjše al enako opustnemu lnearnemu nesoglasju: f fx + fy ; f. Koornatna nesoglasja f y n f x porazelmo na koornatne razlke n to sorazmerno olžnam posameznh polgonskh stranc. Izračunamo popravke koornatnh razlk v y n v x : fy fx v y v x [ ] [ ] Računska kontrola zračuna popravkov koornatnh razlk je: [v y ] f y [v x ] f x Izračunane popravke algebrsko prštejemo posameznm koornatnm razlkam. (Preznak popravkov je ovsen o preznaka koornatnega nesoglasja). ako obmo popravljene koornatne razlke y' n x' : y' y + v Y x' x + v X točk: S popravljenm koornatnm razlkamo zračunamo koornate polgonskh Zanja računska kontrola je ta, a z algebrskm seštevanjem koornatnh razlk, začenš o ane točke 1 premo nazaj v sto točko 1. Lahko nastop razlka ene o veh enot na zanjem ecmalnem mestu, zara zaokroževanja.

7 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Zunanj urez Zunanj urez je postopek oločtve koornat neznane točke na osnov opazovanh zunanjh smer z veh anh točk. Zunanja smer je smer z ane točke na novo točko. Poleg zunanjh smer obstajajo tu t. notranje smer smer z novh točk na ane točke. Pr zunanjem urezu opazujemo smer z veh anh točk o nove točke, poane so koornate teh veh točk, ščemo pa koornate točke neznane točke. ν δ ν b y x merjeno: δ, δ ano: (Y,X ), (Y, X ) neznano: (Y, X ) δ x a δ y Smern kot ν oz. ν zračunamo z koornat anh točk n. ϕ n ϕ sta orentran smer. Orentrana smer je kot, k ga oklepa neka smer s severom. Iz slke je razvno, a orentrane smer zračunamo: ϕ ν + δ oz. kot δ v oglšču zračunamo kot: δ ϕ ν ϕ ν δ δ ν ϕ ( ν ± 180 ) ϕ δ ϕ ϕ Računska kontrola je: δ + δ + δ 180. Da b zračunal koornate točke prvo zračunamo koornatne razlke me točkam oz. n. Pr tem obstajata va načna zračuna koornatnh razlk o točk n o točke. 7

8 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov I. načn: z snusovega zreka zračunamo strance trkotnka a n b. b a sn δ sn δ sn δ sn δ b sn δ sn δ a sn δ sn δ S pomočjo stranc lahko zračunamo koornatne razlke o točke o oz. o točke o : y a sn ϕ y bsn ϕ Koornate točke so: x a cosϕ x bcosϕ Y ' + y X ' X + x Y '' Y + y X '' X + x Na koncu sle še zanja kontrola (koornat točke morata bt enak, če jh računamo s točke ter s točke ): Y ' Y '' X ' X '' II. načn: y y y ( x x )tan ϕ y y y ( x x )tan ϕ x y y x tan ϕ + x tan ϕ tan ϕ tan ϕ ( y y ) ( x x )tan ϕ x x x tan ϕ tan ϕ ( y y ) ( x x )tan ϕ x x x tan ϕ tan ϕ Y ' + y X ' X + x Y '' Y + y X '' X + x zanja kontrola je enaka: Y ' Y '' X ' X '' 8

9 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Notranj urez Notranj urez pomen oločtev koornat nove točke s pomočjo opazovanh notarnjh smer z nove točke o tr ane točke. Obstaja velko razlčnh reštev problema notranjega ureza. u bomo poal reštev po ollnsu. Dano: (Y, X ), (Y,X ), M(Y M,X M ) Merjeno: kota α n. Neznano: koornate nove točke (Y,X ) Skoz točke, n postavmo krog. Premca M seka ta krog v točk (v slavo ollnsa se menuje ollnsova (pomožna) točka). M M M a ϕ δ a δ s ϕ M δ ϕ b α ϕ α b δ ϕ slka : notranj urez (reštev po ollnsu) Y Y Y tan ν X X X s ( Y Y ) + ( X X ) V trkotnku sta v oglščh n ana kota α n. Iz smernega kota ν n kotov α n zračunamo orentrane smer s točk n na točko : ϕ ν ϕ ν Β Α +α ν + α + π 9

10 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Kontrola: δ 180 (α + ) ϕ ϕ, δ δ + δ Izračun koornat ollnsove (pomožne) točke (y,x ) opravmo na osnov anh koornat n ter orentranh smer ϕ n ϕ. m 2 r s sn, pr čemer je δ δ + δ δ a m sn α b m sn y a sn ϕ x a cos ϕ y bsn ϕ x b cos ϕ y y + y y + y x x + x x + x Seaj mamo oločen položaj točke. Zanma nas položaj točke. Prvo zračunamo smern kot s točke M na novo točko : Y YM YM tan ν M X X X M M Z njegovo pomočjo zračunamo lahko orentrane smer na novo točko. δ ν M ϕ δ ϕ ν M ϕ ν + δ ϕ ν δ a m sn δ b m sn δ y a sn ϕ x a cos ϕ y b sn ϕ x b cos ϕ Y ' + y X ' X + x Y '' Y + y X '' X + x zanja kontrola je enaka kot pr zunanjem urezu: Y ' Y '' X ' X '' Očtno je, a je ollnsova reštev notranjega ureza enaka vojnemu zunanjemu urezu. 10

11 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Ločn presek Ločn presek uporabljamo za zračun koornat točk kaar mamo, namesto merjenh smer, na voljo merjene razalje o veh (treh) anh točk o nove točke. ν ( y, x ) b merjeno: a, b ano: (Y,X ), (Y, X ) neznano: (Y, X ) ν ν α a ( y, x ) Poobno kot pr zunanjem urezu lahko tu ločn presek zračunamo na va načna. 1. načn (trgonometrčn): Iz kosnusovega zreka zračunamo kote v trkotnku : 2 a + b 2b cos 2 b a a + 2 cos α + a b cos α 2a + b a cos 2b 2 2 kontrola je: a cos α + b cos Zatem zračunamo smerne kote stranc trkotnka a n b: ν ν + α ν ν Smern kot ν zračunamo z koornat anh točk n. S pomočjo smernh kotov zračunamo koornatne razlke o n o točke : y a sn ν x a cos ν y bsn ν x b cos ν 11

12 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Y ' + y X ' X + x Y '' Y + y X '' X + x 2. načn (geoetsk): Načn računanja je enak zračunu koornat lnjskh točk. ukaj računamo elne koornatne razlke o točk () o točke (vznožje všne h) ter naprej o točke o nove točke (glej slko). h je všna v trkotnku p, q projekcj stranc a n b na stranco Zveza me projekcjam ter všno n strancam: h b q 2 h a p 2 a b p q a b ( p + q)( p q) ( p + q) a b p q 2 2 p + q p q h ( y, x ) b a ( y, x ) slka: ločn presek (geoetska reštev) 12

13 M. Kuhar: Geoezja (UN) - zbrana poglavja, nov Projekcj p n q lahko zračunamo z zgornjh zvez: p + q p q p + p + q p q q Če je točka z esne stran aljce (velja a je h ): Y Y + p sn ν + h cosν Y Y q sn ν + h cosν ' ' X X + pcosν h sn ν X X q sn ν h sn ν ' " Če je točka z leve stran aljce (velja a je h û): Y Y + p sn ν h cosν Y Y q sn ν h cosν ' ' X X + pcosν + h sn ν X X q sn ν + h sn ν ' " Zanja kontrola: Y ' + y X ' X + x Y '' Y + y X '' X + x 13