Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Transcript

1 Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.)

2 Skalarni i vektorski produkt vektora u pravokutnom koordinatnom sustavu Neka su i, j i k jedinični vektori duž x, y i z osi pravokutnog koordinatnog sustava. Skalarni produkt vektora: a = axi + ayj + azk i b = bxi + byj + bzk: a b axbx + ayby + azbz (1) Vektorski produkt vektora a i b: a b i j k ax ay az bx by bz = i (aybz azby) + j(azbx axbz) + k(axby aybx) (2) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 1

3 Vektorski identiteti (1) a b = b a (3) a b = b a (4) a (b c) = b (c a) = c (a b) (5) a (b c) = (a c)b (a b)c (6) (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c) (7) (a b) (c d) = c ( a (b d) d ( a (b c) = b ( a (c d) a ( b (c d) (8) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 2

4 Vektorski diferencijalni operator ( nabla ) u pravokutnom koordinatnom sustavu Definicija operatora: i x + j y + k z. (9) Gradijent skalarnog polja ψ (vektorska veličina): ψ = i ψ x + j ψ y + k ψ z (10) Divergencija vektorskog polja A (skalarna veličina): A = A x x + A y y + A z z (11) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 3

5 Rotacija vektorskog polja A (vektorska veličina): A = i ( A z y A y z ) + j ( A x z A z x ) + k ( A y x A x y ) (12) Laplace-ov operator (dif. operator drugog reda): 2 ψ = ψ = 2 ψ x ψ y ψ z 2 (13) 2 A = i 2 Ax + j 2 Ay + k 2 Az (14) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 4

6 Diferencijalni operator u sfernim koordinatama (r,θ,φ) ψ = er A = 1 r 2 r A = er + eθ ψ r + e θ 1 r ψ θ + e φ ( r 2 1 A r) + r sin θ 1 r sinθ [ 2 ψ = 1 r 2 r [ [ θ 1 r sin θ ( Napomena: r 2 ψ r 1 r sinθ θ ψ φ ( Aθ sinθ A φ) φ Ar φ 1 r ) 1 r 2 r r + 1 r 2 sinθ ( r 2 ψ r ( 1 sinθ A θ) + r sinθ ( ra φ θ ) ] ) ] + eφ ( = 1 r 1 r sinθ ψ θ [ r ) 2 ] r 2(rψ) + Aφ θ ( Ar ra θ) θ 1 r 2 sin 2 θ (15) (16) ] 2 ψ φ 2, (17) (18) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 5

7 Vektorski identiteti (2) Za vektorska polja a i b, te za skalarno polje ψ vrijedi: ψ = 0 (19) ( a) = 0 (20) ( a) = ( a) 2 a (21) (ψa) = a ψ + ψ a (22) (ψa) = ψ a + ψ a (23) (a b) = (a )b + (b )a + a ( b) + b ( a) (24) (a b) = b ( a) a ( b) (25) (a b) = a( b) b( a) + (b )a (a )b (26) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 6

8 Vektorski identiteti (3) Ako je x koordinata neke točke u odnosu na ishodište, r = x, n = x/r, vrijedi: x = 3 (27) x = 0 (28) n = 2 r (29) n = 0 (30) Za proizvoljni vektor a vrijedi: (a )n = 1 r ( ) a a n(a n) r (31) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 7

9 Teorem o gradijentu Neka je C krivulja s krajnjim točkama P i Q, a dl neka je element krivulje. Za vektorsko polje koje se može izraziti kao A = ψ gdje je ψ skalarno polje vrijedi: Q P A dl = Q P ψ dl = ψ(q) ψ(p) (32) Za zatvorenu krivulju C vrijedi: A dl = C C ψ dl = 0 (33) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 8

10 Gaussov teorem Volumen V je omeden zatvorenom plohom S. Element volumena je d 3 x, element plohe je da, n je jedinični vektor okomit na da i usmjeren prema van. Gaussov teorem (teorem o divergenciji): A d 3 x = V V V ψ d 3 x = A d 3 x = S S S A n da (34) ψn da (35) n A da (36) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 9

11 Greenovi identiteti Volumen V je omeden zatvorenom plohom S. Element volumena je d 3 x, element plohe je da, n je jedinični vektor okomit na da i usmjeren prema van. Prvi Greenov identitet: (φ 2 ψ + φ ψ) d 3 x = V S φn ψ da (37) Greenov teorem: (φ 2 ψ ψ 2 φ) d 3 x = V S (φ ψ ψ φ) n da (38) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 10

12 Stokesov teorem Neka je S otvorena ploha omedena (zatvorenom) krivuljom C. Element plohe je da, n je jedinični vektor okomit na da. Element krivulje dl orijentiran je pravilom desne ruke u odnosu na orijentaciju vektora n. Stokesov teorem: ( A) n da = S C A dl (39) n ψ da = S C ψ dl (40) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 11

13 Klasična elektrodinamika Vektori E i B su električno i magnetsko polje, ρ je gustoća električnog naboja, j je gustoća električne struje. Maxwellove jednadžbe: E = ρ ǫ0 (41) E = B t (42) B = 0 (43) c 2 B = j ǫ0 + E t (44) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 12

14 Lorentzova sila Na česticu naboja q koja se giba brzinom v u električnom polju jakosti E i u magnetskom polju jakosti B djeluje sila: F = q(e + v B) (45) Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) 13