( ) 01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Thầy Đặng Việt Hùng. Tài liệu tham khảo: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Thầy Hùng. Chuyên đề Hình học không gian

Transcript

1 Thầy Đặng Việt Hùng I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ AB = u Giả sử ta có ( ) ( ; = ; ) = u v AB AC BAC, với BAC 18. AC = v ) Tích vô hướng của hai véc tơ AB = u Giả sử ta có u. v = AB. AC = AB. AC.cs( AB. AC) AC = v Nhận xét: u = + Khi u. v = v = + Khi ( u v u ; v ) = + Khi ( u v u ; v ) = 18 + Khi u v u. v = Ví dụ 1. Ch tứ diện đều ABCD cạnh a. AB ; BC. a) Tính góc giữa hai véc tơ ;. b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ ( CI AC ) a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được AB. BC AB. BC AB. BC cs ( AB; BC) = = =, ( 1 ). AB. BC AB. BC a AB. BC = AB. BA + AC = AB. BA + AB. AC Xét AB. BA = AB. BA.cs AB. BA = a. a.cs18 = a Mà a AB. AC = AB. AC.cs ( AB. AC) = a. a.cs6 = a a AB. BC = a + =. a 1 ( 1) cs ( AB; BC) = = ( AB; BC) = 1. a Vậy ( AB; BC ) = 1. b) Ta có ( cs ; ). CI AC CI = =. AC CI AC CI. AC CI. AC 3 CI. AC = cs ; =, ( ). a 3 a Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI ( CI AC) Ta có CI. AC = CI. ( AI + IC ) = CI. AI + CI. IC D ABC đều nên CI AI CI. AI =. Tài liệu tham khả: 1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!

2 a 3 a 3 3a 3a 3a CI IC CI IC CI IC CI AC a 4 3 cs CI; AC = = ( CI; AC) = 15. a 3 CI; AC = 15. Đồng thời,. =..cs ; =..cs18 =. = =. Thay và () ta được Vậy Ví dụ. Ch hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC the các véc tơ SA; SB; SC. SM ; BC. b) Tính góc a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta 1 SA + SB = SM SM = ( SA + SB) được BC = BS + SC BC = SC SB SM. BC SM. BC b) cs ( SM ; BC) = =, ( 1 ). SM. BC SM. BC SA. SB = Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA. SC = SB. SC = Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên the định lý Pitag ta BC = a được AB = BC = a 1 a SM = AB = a The câu a, SM. BC = ( SA + SB).( SC SB) = = = SA SC SA SB SB SC SB SB SB a SM. BC 1 Thay và (1) ta được cs ( SM ; BC) = = = ( SM ; BC) = 1. SM. BC a. a II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng Một véc tơ u mà có phương sng sng hặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. ) Góc giữa hai đường thẳng Khái niệm: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a ; b lần lượt sng sng với a; b. Kí hiệu a// a b// b Từ định nghĩa ta có sơ đồ ( a;b) = ( a ;b ) Nhận xét: + Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v Khi đó, a; b = φ ; φ 9 a; b = 18 φ ; 9 < φ 18 + Nếu a // b hặc a b thì a; b =. u; v = φ. và a;b. Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!

3 Các xác định góc giữa hai đường thẳng: Phương án 1 (sử dụng định nghĩa) a // a Tạ ra các đường ( a,b) = ( a,b ) b // b Phương án - Lấy một điểm O bất kì thuộc a - Qua O, dựng đường // b ( a,b) = ( a, ) Chú ý: Các phương pháp tính tán góc giữa hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính tán trng tam giác vuông: sin, csin, tan, ct. Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số csin trng tam giác ABC: + a = b + c bc cs A cs A = b c a. bc Ví dụ 1. Ch hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3 a. Tính góc giữa các đường thẳng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. a) Tính góc giữa SD và BC Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng phương án, tìm đường thẳng sng sng với một trng hai đường thẳng SD, BC và sng sng với một đường còn lại. Ta dễ nhận thấy AD // BC. Khi đó ( ) ( ) SDA SD;BC = SD;AD = 18 SDA Xét SAD: SA 3 tan SDA = = SDA = 3. AD 3 SD;BC = 3. Vậy b) Tính góc giữa SB và CD Tương tự, ( ) ( ) SBA CD//AB SB;CD = SB;AB = 18 SBA Xét SAB: SA tansba = = 3 SDA = 6. AB Vậy SB;CD = 6. c) Tính góc giữa SC và BD Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA. Trng SAC có ( ) ( ) IOB OI//SC SC;BD = OI;BD = 18 IOB Áp dụng định lý Pitag ch tam giác vuông ABI: a 3 a 7 IB = IA + AB = + a = a 1 ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB + AD = a + 9a = a 1 OB = = OA Áp dụng định lý Pitag ch tam giác vuông ABO: a 3 a 1 a 13 IO = IA + AO = + = Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!

4 Khi đó, the định lý hàm số csin ch IOB ta được: 8 IOB = arccs ( = SC;BD ) a 1a 7a + OI + OB IB cs IOB = = =.OI.OB a 13 a SC;BD = arccs. 13 Vậy Ví dụ. Ch tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = a, MN = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. D AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng ché nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạ các đường thẳng tương ứng sng sng với AB, CD và chúng cắt nhau. Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD ( ) ( ) MPN AB,CD = MP, NP = 18 MPN D MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp dụng định lý hàm số csin trng MPN ta được MP + NP MN a 3a 1 cs MPN = = = MP.NP.a.a MPN = 1 MP, NP = 6 AB,CD = 6. Vậy Nhận xét: Ngài việc khởi tạ P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự. Ví dụ 3. Ch hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = a. SA vuông góc với AB và AD, = 3 a SA. Tính góc của đường thẳng 3 a) DC và SB. b) SD và BC. Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!

5 a) ( ) D DC // AB DC,SB = AB,SB = α a 3 SA 3 Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó tanα = = 3 = α = 3 AB a 3 Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 3. b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (d AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a DI = a. mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (d cặp cạnh DC và BI sng sng và bằng nhau) nên BC // DI. SD, BC = SD, DI = β. Khi đó, ( ) a 3 7a Tam giác SAI vuông tại A nên SI = SA + AI = + a = 3 3 a 3 7a Tam giác SAD vuông tại A nên SD = SA + AD = + a = 3 3 Áp dụng định lý hàm số csin trng tam giác SDI ta được SD + DI SI a 3 cssdi = = = SD.DI a 1 4..a 3 D cssdi > nên góc SDI là góc nhọn 3 β = SDI = arccs. 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ❶ Ch tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI. Đ/s: ( 3 AB; CI ) = arccs. 6 ❷ Ch tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết AB = a, CD = a, MN = a 5. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. ❸ Ch hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và =. SC, AB, từ đó suy ra góc giữa SC và AB. III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu Chú ý: Các phương pháp chứng minh a b: Chứng minh BC a Tính góc giữa a ; b = 9 a b. a; b = 9 Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v =. Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ the định lý Pitag, trung tuyến tam giác cân, đều... Ví dụ 1. Ch tứ diện ABCD trng đó = = = = = AB AC AD a, BAC 6, BAD 6, CAD = 9. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD. b) Tính độ dài IJ. Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!

6 a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều, ACD vuông cân tại A. Từ đó BC = BD = a,cd = a BCD vuông cân tại B. Chứng minh IJ vuông góc với AB D các ACD, BCD vuông cân tại A, B nên 1 AJ = CD AJ = BJ IJ AB. 1 BJ CD = Chứng minh IJ vuông góc với CD D các ACD, BCD đều nên CI = DI IJ CD. b) Áp dụng định lý Pitag ch AIJ vuông tại I ta được a a a IJ = AJ AI = = 4 Vậy IJ = a/. Ví dụ. Ch hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA. Chứng minh rằng SA BC, SB AC, SC AB. Chứng minh: SA BC. Xét SA.BC = SA. ( SC SB) = SA.SC SA.SB SA.SC = SA.SC.cs SA;SC Mà SA = SB = SC ASB = BSC = CSA SA.SB = SA.SB.cs SA;SB SA.SC = SA.SB SA.SC SA.SB = SA.BC = SA BC Chứng minh tương tự ta cũng được SB AC, SC AB Ví dụ 3. Ch tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngại tiếp BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa BC và AM. AC và BM. a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M là trung điểm của CD. Ta có AO.CD = AM + MO.CD = AM.CD + MO.CD Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán! D ABCD là tứ diện đều nên AM CD và O là tâm đáy (hay O là gia điểm của ba đường ca). Khi đó AM CD AM.CD = AO.CD = AO CD. MO CD MO.CD = b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM Xác định góc giữa BC và AM: Gọi I là trung điểm của BD MI // BC. Từ đó ( ) ( ) AMI BC;AM = MI; AM = 18 AMI Áp dụng định lý hàm số csin trng AMI ta được AM + MI AI csami =, ( 1 )..AM.MI a 3 Các ABD, ACD đều, có cạnh a nên AI = AM =.

7 MI là đường trung bình nên MI = a/. a 3a 3a + Từ đó cs AMI = = AMI = arccs ( BC; AM) = arccs. a a Xác định góc giữa BC và AM: Gọi J là trung điểm của AD MJ // AC. Khi đó ( ) ( ) BMJ AC;BM = MJ; BM = 18 BMJ a 3 Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng BJ = BM = D đó, 1 AIM = BJM AMI = BMJ = arccs. 3 Vậy ( 1 AC;BM ) = arccs. 3 Ví dụ 4. Ch hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Đặt AB = a, AD = b, AA = c. a) Tính góc giữa các đường thẳng: ( AB,B C ); ( AC,B C ); ( A C,B C ). b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sa ch OI = OA + OA + OB + OB + + OC + OC + OD + OD. Tính khảng cách từ O đến I the a. c) Phân tích hai véc tơ AC, BD the ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC và BD vuông góc với nhau. d) Trên cạnh DC và BB lấy hai điểm tương ứng M, N sa ch DM = BN = x (với < x < a). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. Nhận xét: Để làm tốt các bài tán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương: Tất cả các đường ché ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a (nếu hình lập phương cạnh a). Các đạn thẳng tạ bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, ca). a) Tính góc giữa: ( ) ( ) ( ) AB,B C ; AC,B C ; A C,B C. Tính ( AB,B C ) : ( ) D B C //BC AB,B C = AB,BC = 9. Tính ( AC,B C ) : ( ) ( ACB ) D B C //BC AC,B C = AC,BC = 18 ACB ACB = 45 AC,B C = 45. ABCD là hình vuông nên ABC là tam giác vuông cân tại B ( ) Tính ( A C,B C ) : ( ) ( ACB ) D A C //AC A C,B C = AC,B C = 18 ACB Xét trng tam giác ACB có AC = B C = AB (d đều là các đường ché ở các mặt hình vuông của hình lập phương). ACB = 6 A C,B C = 6. D đó ACB đều b) Tính độ dài OI the a. Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!

8 OA + OC = Với O là tâm của hình vuông ABCD thì OA + OC + OB + OD = OB + OD = Khi đó OI = OA + OB + OC + OD OA + OC = OO Gọi O là tâm của đáy A B C D, the quy tắc trung tuyến ta có OI = 4OO OB + OD = OO Khảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO = 4a. c) Phân tích hai véc tơ AC, BD the ba véc tơ a, b, c. a.b = The tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.c = b.c = AC = AB + BC + CC = a + b + c Phân tích: BD = BA + AD = b a Chứng minh AC vuông góc với BD. AC.BD = a + b + c. b a = a.b + b + c.b a a.b c.a = b a = AD AB = AC.BD AC BD. Xét d) Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. MN = MC + CB + BN Ta có phân tích: AC = AB + BC + CC MN.AC = MC + CB + BN. AB + BC + CC = MC.AB + MC.BC + MC.CC + CB.AB + CB.BC + CB.CC + + BN.AB + BN.BC + BN.CC = MC.AB + CB.BC + BN.CC MC.AB = MC.AB.cs = ( a x) a Mà CB.BC = CB.BC.cs18 = a MN.AC = ( a x) a a + ax = MN AC. BN.CC = BN.CC.cs = ax BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Ch hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3, SA = a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa các đường thẳng sau: a) SB và CD b) SD và BC c) SB và AC d) SC và BD Bài : Ch hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là trung điểm H của AB, biết SH = a 3. Gọi I là trung điểm của SD. Tính góc giữa các đường thẳng: a) SC và AB b) SD và BC c) CI và AB d) BD và CI Bài 3: Ch hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = 3a, AD = a, DC = a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = HB, biết SH = a. Tính góc giữa a) SB và CD b) SB và AC Tham gia khóa TOÁN 14 để đạt 9 điểm Tán!