2.1 Clasificarea materialelor solide [n func\ie de rezistivitate

Transcript

1 .1 Clasificarea materialelor solide [ fuc\ie de rezistivitate Di exerie\a de toate zilele se ]tie c` roriet`\ile electrice ale materialelor sut foarte diferite. De exemlu, rezistivitatea ρ, variaz` [tr-o gam` de valori extrem de larg`, dac` se au [ vedere umai materialele folosite la fabricarea disozitivelor ]i circuitelor itegrate. Alumiiul, metalul utilizat etru realizarea cotactelor la semicoductor ]i etru trasee are rezistivitatea la temeratura camerei, foarte mic`, de circa 10-6 Ωcm. La ca`tul ous al scalei etru rezistivitate se situeaz` izolatorii, de ild` bioxidul de Si (SiO ) folosit ca elicul` rotectoare ]i asivat, ce se caracterizeaz` ritr-o rezistivitate de circa Ωcm, sau lasticul casulelor cu o rezistivitate ]i mai mare, de Ωcm. Se oate afirma astfel c` u circuit itegrat oarecare iclude materiale cu o rezistivitate ce variaz` [tr-o gam` foarte larg` de valori (circa 4 ordie de m`rime) etru u arametru electric uzual. O clasificare a materialelor solide oate fi f`cut` cu ajutorul rezistivit`\ii. Astfel, cele av@d ρ 10-3 Ωcm se umesc coductori, iar materialele cu ρ 10 8 Ωcm, izolatori. Clasa itermediar` iclude semicoductorii ce costituie materialele de baz` [ fabricarea disozitivelor ]i circuitelor itegrate. Semicoductorii s-au imus ri dou` roriet`\i remarcabile: (i) - rezistivitatea lor oate fi u]or modificat` ]i recis cotrolat`; (ii) - coduc\ia curetului este realizat` ri dou` tiuri de urt`tori mobili. Proriet`\ile amitite ale materialelor semicoductoare se ob\i umai ritr-o ordoare erfect` a atomilor [ tot volumul, ordie ob\iut` [ moocristale. { re\eaua moocristalelor se accet` umai defecte uctuale (atomi de imuritate) sau liiare (disloca\ii). Petru a arecia desitatea de defecte admise trebuie amitit c` gama cocetra\iilor de imurit`\i (um`rul de imurit`\i [tr-u cm 3 ) este cm -3, valori mult mai mici [ raort cu desitatea atomilor semicoductorului, care este de aroximativ 10 cm -3. La fabricarea disozitivelor ]i circuitelor itegrate se folosesc semicoductori simli, Si [ majoritatea situa\iilor sau Ge, recum ]i semicoductori comu]i GaAs, IP, etc. Si, [ rezet ]i [ viitor cel mai utilizat material semicoductor, are o re\ea cristali` de ti diamat. { aceast` re\ea fiecare atom se [vecieaz` cu 4 atomi uiform distribui\i [ sa\iu. O rerezetare schematic` bidimesioal` este dat` [ figura.1: 1

2 Fig..1 Cercul [ care s-a [scris +4 simbolizeaz` atomul f`r` cei 4 electroi de vale\` (Si ]i Ge sut elemete tetravalete). {tre doi atomi vecii se stabile]te o leg`tur` covalet`. Aceast` leg`tur` se face cu o ereche de electroi, c@te uul de la fiecare atom. Deci u atom []i va [m`r\i electroii de vale\`, c@te uul cu fiecare atom veci, etru formarea leg`turilor covalete. Coduc\ia electric` [ semicoductori este realizat` ri mi]carea dirijat` a electroilor de vale\`. Petru aceasta semicoductorul trebuie lasat sub ac\iuea uui aget exter, de exemlu u c@m electric.. Bezi de eergie [ semicoductori Comortarea electroilor [ corul solid, [ geeral ]i [ semicoductori, [ secial a fost cel mai bie descris` cu ajutorul mecaicii cuatice. Cel mai imortat rezultat ob\iut evide\iaz` fatul c` electroii, resectiv ivelele eergetice se grueaz` [ bezi eergetice ermise searate ri bezi iterzise, feome ilustrat [ fig... Fig..

3 Fiecare ivel eergetic, rerezetat [ figur` ritr-o liie cotiu` oate fi ocuat de cel mult u electro. Diagrama bezilor eergetice (fig..) a fost elaborat` [ raort cu u ivel de zero al eergiei tocmai etru a idica fatul c` electroii di bezile ermise, fiid lega\i de atomi, au eergii egative. Nivelul zero (E 0) coresude eergiei electroilor ce `r`sesc semicoductorul. Num`rul ivelelor eergetice ditr-o bad` ermis` cre]te cu eergia. Electroii de vale\` sut cei mai slab lega\i de atomi datorit` ozi\iei lor eriferice ]i, ca urmare, ocu` ultimele dou` bezi ermise (cele mai aroiate de E 0) deumite bada de vale\` (BV), resectiv bada de coduc\ie (BC) (fig..). Electroii au osibilitatea s` treac` de e u ivel eergetic e altul [ urm`toarele codi\ii: i)- dac` electroului i se comuic` o eergie el oate trece e u ivel eergetic suerior cu codi\ia ca acest ivel s` fie liber ]i eergia comuicat` s` fie suficiet` etru saltul eergetic cosiderat. ii)- electroul trece e u ivel eergetic iferior ritr-u roces sota, atural, codi\ioat umai de existe\a uui ivel iferior eocuat. Petru a fi osibile feomeele de coduc\ie electric` [ semicoductori este ecesar ca BV ]i BC s` fie ar\ial ocuate de electroii de vale\`. Feomeele de coduc\ie sut imosibile dac` BV ]i BC sut fie golite, fie comlet ocuate cu electroi de vale\` iar aceast` afirma\ie oate fi u]or [\eleas` dac` se face o aalogie cu mi]carea uui fluid [tr-u tub [chis la ambele caete (fig..3): Fig..3 3

4 Tubul (1) este asociat bezii de coduc\ie BC, iar tubul () bezii de vale\` BV. Se cosider` mai situa\ia [ care tubul (1) este comlet gol, iar tubul () este umlut de fluid (fig..3a). Pri [cliarea tuburilor ca [ fig..3b u se roduce ici o delasare a fluidului. Situa\ia este asem``toare uui semicoductor aflat la 0 K c@d electroii de vale\` ocu` itegral BV (de aici deumirea de bad` de vale\`), iar BC este comlet liber`. { coseci\` la zero absolut, feomeele de coduc\ie [ semicoductori sut imosibile. Dac` se trasfer` o mic` catitate de fluid di tubul () [ (1) (fig..3c), ri [cliarea tuburilor aare o delasare et` a fluidului (fig..3d). Mi]c`rii fluidului, aflat [ catitate mare [ tubul (), de la st@ga la dreata, [i coresude delasarea [ ses ivers a uei mici zoe golite di tub. Este evidet c` mi]carea zoei golite este mult mai u]or de urm`rit. Aalogia se face acum cu u semicoductor aflat la o temeratur` oarecare este zero absolut. Datorit` vibra\iilor termice ale re\elei cristalie o arte di electroii de vale\` trec [ BC. { felul acesta BV ]i BC vor fi ar\ial ocuate de electroi. Feomeul fizic ce exlic` trecerea electroilor di BV [ BC este ruerea de leg`turi covalete. Dac` u electro `r`se]te leg`tura covalet` atuci el u mai este legat de atomul de la care rovie ]i se delaseaz` liber [ iteriorul re\elei cristalie deveid electro de coduc\ie. Deci acest electro va ocua u ivel eergetic [ BC (de aici ]i deumirea de bad` de coduc\ie). Acest feome este evide\iat [ figura.4 ri rocesul (a). Fig..4 Locul l`sat liber oate fi ocuat de u alt electro ditr-o alt` leg`tur` covalet` (rocesul (b), fig..4). Mi]carea electroului de la leg`tura covalet` sre golul existet [tr-o alt` leg`tur` covalet` este echivalet` cu mi]carea golului [ ses ivers (rerezetat` cu liie uctat` etru rocesul (b) di fig..4). 4

5 La alicarea uui electric exterior, [ semicoductor aar cure\i electrici datorit` a dou` mecaisme de coduc\ie diferite, coresuz`toare celor dou` bezi eergetice ar\ial ocuate ]i aume: (i) - delasarea dirijat` a electroilor de coduc\ie, feome similar cu mi]carea fluidului [ tubul (1) (fig..3d); (ii) - delasarea dirijat` a electroilor di leg`turile covalete sre locurile libere di alte leg`turi covalete, evidet aceast` delasare fiid echivalet` cu mi]carea [ ses ivers a golurilor. Feomeul este echivalet cu delasarea fluidului sre dreata, resectiv a zoei golite sre st@ga [ tubul () di figura.3d..3 Electroi ]i goluri Mi]carea electroului ca articul` idividual` [ semicoductor este comlet descris` cu ajutorul mecaicii cuatice. Coduc\ia curetului electric [s`, fiid u feome macroscoic, oate fi aalizat` cu legile mecaicii clasice dac` se defiesc dou` articule "fictive": (i) - electroul, e -, articul` mobil` egativ` de sarci` -q (q 1, cm -3 ) ]i masa m m 0 (m 0, masa electroului liber iar m, masa electroului [ semicoductor) folosit etru descrierea mi]c`rii dirijate a electroilor de coduc\ie (di BC); (ii) - golul, e +, articul` mobil`, ozitiv` de sarci` +q ]i masa m m (masa golului [ semicoductor) utilizat etru descrierea mi]c`rii electroilor di BV, mai recis a delas`rii locurilor libere de la o leg`tur` covalet` la alta. Masele e + ]i e - deid de atura semicoductorului. A]a cum au fost defii\i, electroii ot ocua umai ivelele ermise di BC (fig..5). Defiim astfel E C ca fiid eergia asociat` margii iferioare a BC ]i coresude eergiei ote\iale a e -. Dac` u electro are eergia E, atuci difere\a E - E C rerezit` eergia sa cietic`. Golurile ocu` ivelele eergetice di BV. Petru aceste articule fictive defiim E V ca fiid eergia asociat` margiii suerioare a BV ]i rerezit` eergia ote\ial` a golului (fig..5). Dac` u gol are eergia E, atuci difere\a E-E V rerezit` eergia sa cietic`. 5

6 Fig..5 Dista\a eergetic` ditre ivelele E C ]i E V coresude, a]a cum se costat` di fig..5, l`\imii eergetice E G a bezii iterzise. La K, E G este de 1,1 ev la Si, resectiv de 0,67 ev etru Ge. Feomeele de coduc\ie sut legate umai de mi]carea electroilor di BC ]i BV. Pri urmare studiul uui semicoductor ur, aflat la echilibru termic, rerezetat ri diagrama sa eergetic` se oate face umai ri aaliza celor dou` bezi ermise (fig.5). Probabilitatea ca u e - s` ocue ivelul de eergie E este, coform statisticii Fermi-Dirac f ( E) 1 E E 1+ ex kt F iar etru acela]i ivel robabilitatea de ocuare cu u gol este evidet ( ) ( ) f E 1 f E (.1a) (.1b) { formulele (.1) T este temeratura absolut`, k costata lui Boltzma, iar E F este o eergie de referi\`, umit` eergie sau ivel Fermi. Mai recis, a]a cum se deduce orid de la rela\iile (.1) eergia Fermi coresude ivelului a c`rui robabilitate de ocuare cu u e - sau e + este aceia]i: ( ) ( ) f E f E 1. F F ( ) LaT0 K f E 0 dac` E E F ]i > f ( E) 1 c@d E < E F, deci toate ivelele eergetice situate sub ivelul Fermi sut ocuate, iar cele este E F sut libere (fig..6, rerezetate cu liie uctat`). La T > 0K fuc\iile de robabilitate u mai variaz` abrut, umai etru E > EF + 3 kt, f 0, resectiv etru E < E 3kT, f 1 ude 3kT rerezit` aroximativ 77 mev. (fig..6, rerezetate cu liie cotiu`) F 6

7 Fig..6 Eergia Fermi deide de temeratur` dar ]i de doarea semicoductorului. Ea oate fi situat` [: (i) - bada iterzis`, situa\ie uzual` c@d semicoductorul se ume]te edegeerat (ii) - bada de coduc\ie sau de vale\`, caz [ care semicoductorul este degeerat..4 Semicoductorul la echilibru termic Echilibru termic. Semicoductorul este la echilibru termic dac`: (i) - u se afl` sub ac\iuea uui c@m electric sau magetic, radia\ii lumioase sau ucleare ]i (ii) - temeratura este uiform` [ tot volumul s`u. { fat, echilibrul termic este u echilibru termodiamic [ sesul c` la fiecare roces ce are loc [ semicoductor [i coresude u alt roces care evolueaz` [ ses cotrar. De exemlu, dac` u um`r de e - sut excita\i de la eergiea E 1 la o eergie suerioar` E, u um`r egal de e - vor trece de e ivelul eergetic E e E 1. La echilibru termic rodusul cocetra\iilor de electroi ]i goluri este costat. cost 0 0 i ude i se ume]te cocetra\ie itrisec`. Rela\ia (.) este o coseci\` direct` a legii ac\iuii maselor. Calcule folosid mecaica cuatic` idic` urm`toarele exresii etru cocetra\iile de e - ]i e + la echilibru termic: (.) EC EF 0 N c ex, kt N C πm h kt 3 (.3a) 7

8 EF EV 0 N V ex, kt N V πm h kt 3 (.3b) ude N C ]i N V rerezit` desit`\ile de st`ri eergetice di bada de coduc\ie ]i resectiv di bada de vale\` iar h este costata lui Plack. N C ]i N V deid de masele efective ale e -, resectiv e + deci de atura semicoductorului ]i de temeratur`. Sre exemlu, etru Si la T300 K se ob\i etru desit`\ile de st`ri eergetice urm`toarele valori: N C cm -3 ]i N V cm -3. { codi\ii de eechilibru ici ua di formulele aterioare (.1-.3) u mai este valabil`. Petru a `stra formalismul rela\iilor (.3) se itroduc dou` ivele eergetice fictive, de calcul umite cvasiivele Fermi, etru electroi E F, resectiv etru goluri, E F (E F E F E F ). Cocetra\iile de e - ]i e + [ codi\ii de eechilibru sut date de ecua\iile: idicele 0. EC EF NC ex (.4a) kt EF EV NV ex (.4b) kt { formulele rezetate [ acest subcaitol starea de echilibru termic este evide\iat` ri.5 Semicoductor itrisec. Semicoductor extrisec.5.1 Semicoductor itrisec. Rerezit` o situa\ie idealizat` a uui semicoductor lisit de imurit`\i. La u astfel de semicoductor e - ]i e + sut [ um`r egal ]i aar umai ri ruerea leg`turilor covalete. Ca urmare, la echilibru termic, \i@d cot de (.) se ob\ie urm`toarea rela\ie [tre cocetra\ii: 0 0 i (.5) Se justific` astfel etru i deumirea de cocetra\ie itrisec`. { cazul uui semicoductor dat, aflat la o temeratur` costat` cocetra\ia itrisec` are o valoare bie recizat`. Folosid rela\iile (.), (.3a) ]i (.3b) se ob\ie etru i formula i 3 E G AT ex, EG EC EV (.6) kt 8

9 ude A este o costat` cu temeratura dar deedet` de atura semicoductorului, deede\` 3 evide\iat` ri urm`toarea rela\ie: AT N N C ). E G rerezit` l`\imea eergetic` a bezii ( V iterzise ]i deide at@t de tiul semicoductorului c@t ]i de temeratur`. { tabelul.1 sut date valorile etru E G ]i i la 300K [ cazul a trei semicoductori des folosi\i. Cocetra\ia itrisec` este cu multe ordie de m`rime mai redus` dec@t cocetra\ia atomilor de imuritate di semicoductor (circa10 cm -3 ). 1 Tabelul.1 Semicoductorul E G (ev) i (cm -3 ) Si 1,108 1, Ge 0,670, GaAs 1,430 1, Pozi\ia ivelului Fermi la semicoductorul itrisec deumit` ]i ivel itrisec, E F E i, se deduce utiliz@d (.3) ]i (.5). E i EC + EV kt NC + l (.7a) N V Av@d [ vedere fatul c` N C ]i N V au valori foarte aroiate, termeul al doilea [ (.7a) este eglijabil, deci E i E C + E V (.7b) ceea ce sugereaz` c` ivelul Fermi la semicoductorul itrisec este lasat aroximativ la mijlocul bezii iterzise. { fig..7 se rezit` diagrama eergetic` a semicoductorului itrisec la echilibru termic. 9

10 Fig..7 BC ]i BV s-au rerezetat schematic umai ri ivelele eergetice E C, resectiv E V. Semicoductorul ce co\ie imurit`\i [ re\eaua cristali` se ume]te semicoductor extrisec. Exist` dou` tiuri de semicoductori extriseci: semicoductorul de ti, resectiv de ti..5. Semicoductorul de ti. Se ob\ie dot@d (do@d) semicoductorul cu imurit`\i etavalete, de exemlu: P, Sb sau As. Imurit`\ile, resuuse cu o distribu\ie uiform`, substituie [ re\eaua cristali` atomii semicoductorului de baz`. Cocetra\ia de imurit`\i N D are valori uzuale [tre ]i cm -3, deci mult mai reduse dec@t cocetra\ia atomilor de semicoductor ( 10 cm -3 ). Pri urmare u atom de imuritate este [cojurat umai de atomii semicoductorului de baz`. Patru di cei cici electroi de vale\` ai atomului etavalet servesc la formarea leg`turilor covalete cu atomii vecii (ai semicoductorului) (fig..8). Fig..8 10

11 Al 5-lea electro este slab legat, deci are evoie de o eergie mic` etru a devei e - liber (fig..8). { cazul Sb aceast` eergie este de 50 mev. Se sue c` imurit`\ile doeaz` electroi de coduc\ie de aici roveid ]i deumirea de imurit`\i dooare. Pri urmare atomii de imuritate etavale\i rerezit` o surs` sulimetar` de electroi de coduc\ie fa\` de cristalul ur (itrisec). {tr-u semicoductor doat cu imurit`\i etavalete e - rovi di: (a) - ioizarea imurit`\ilor; rezult` e - sa\ial` a atomilor de imuritate. (b) - ruerea de leg`turi covalete; rezult` erechi de e - ]i e + mobili. Dac` N D < mobili ]i ioi ozitivi imobili, av@d disozi\ia cm -3, la temeratura camerei ractic toate imurit`\ile sut ioizate. Atuci cocetra\ia de electroi liberi (la echilibru termic) va fi 0 ND + 0 (.8a) ude 0 este cocetra\ia de goluri rezultat` di ruerea leg`turilor covalete. Ecua\ia (.8a) exrim` egalitatea ditre um`rul sarciilor elemetare egative ]i resectiv um`rul sarciilor electrice ozitive, [ uitatea de volum sau cu alte cuvite eutralitatea semicoductorului de ti uiform doat. Rela\ia (.8a) [mreu` cu (.) ermite determiarea cocetra\iilor de e - ]i e +. i@d cot c` i << N D rezult` 0 N D, 0 i (.9a) N D deci cocetra\ia de e - este mult mai mare dec@t cocetra\ia de goluri ( 0 >> 0 ). Exemlu: dac` N D cm -3, etru Si la 300K ( i 1, cm -3 ) rezult` cm -3 ]i 0, cm -3. Ca urmare e - sut urt`tori mobili de sarci` majoritari, e + urt`tori mobili de sarci` mioritari, iar semicoductorul este de ti. Fig..9 rezit` diagrama eergetic` a uui semicoductor de ti aflat la echilibru termic. 11

12 Fig..9 Electroul sulimetar al atomului etavalet ocu` [ bada iterzis` u ivel eergetic E D, localizat doar [ veci`tatea imurit`\ilor; de aceea a fost rerezetat cu liie discotiu`. Nivelul E D este lasat [ aroierea BC iar dista\a E C - E D, cu valori [tre 40 ]i 50 mev etru imurit`\ile etavalete uzuale, rerezit` eergia ecesar` ioiz`rii imurit`\ilor. { fig..9 sut ilustrate cele dou` modalit`\i de ob\iere a electroilor de coduc\ie: ioizarea imurit`\ilor (rocesul (a)), resectiv ruerea leg`turilor covalete (rocesul (b)). Deoarece E C - E D << E C - E V rocesul (a) este mult mai robabil. La semicoductorul de ti ivelul Fermi este lasat [ jum`tatea de sus a bezii iterzise (fig..9). {tr-adev`r, deoarece 0 >> 0, \i@d cot de rela\iile (.3a) ]i (.3b) rezult` E C - E F < E F - E V. De asemeea dac` itroducem exresia lui 0 (.9a) [ rela\ia.3a se ob\ie urm`toarea rela\ie: N N E E kt l (.8c) F V V D i.5.3 Semicoductorul de ti. Ob\ierea uui semicoductor de ti imue folosirea de imurit`\i trivalete, de exemlu: B, Ga, I. Cocetra\ia de imurit`\i N A, cosiderat` uiform` [ tot volumul semicoductorului are uzual acela]i domeiu de valori ca N D. Atomul de imuritate trivalet, cum se arat` [ fig..10 satisface umai 3 di cele 4 leg`turi covalete cu atomii vecii ai semicoductorului de baz`. Leg`tura covalet` esatisf`cut` se oate comleta cu u electro ditr-o alt` leg`tur` covalet` (stabilit` [ doi atomi ai semicoductorului), care las` [ urma sa u gol. Petru c` accet` u electro, imurit`\ile se umesc accetoare. 1

13 Fig..10 Fig..11 {tr-u semicoductor doat cu imurit`\i accetoare cocetra\ia de goluri este redomiat` ( 0 >> 0 ). Golurile rovi di: (a) - ioizarea atomilor trivale\i; [ urma acestui roces rezult` e + ]i ioi egativi imobili (sarcia sa\ial` fix`); (b) - ruerea de leg`turi covalete di care rezult` erechi de e + ]i e -. Codi\ia de eutralitate imue N A (.8b) dac` se cosider` c` ioizarea imurit`\ilor este comlet`. Di rela\ia (.8b), [mreu` cu codi\ia de echilibru ]i rela\ia care aare [tre cocetra\ii 0, N A 0 << N se ob\i: i i (.9b) N A { acest caz 0 >> 0, deci e + sut urt`torii mobili majoritari, e - urt`torii mioritari, iar semicoductorul este de ti. Diagrama de bezi, la echilibru termic, etru u semicoductor de ti este dat` [ fig..11. Nivelul asociat imurit`\ilor accetoare E A este discotiuu (la fel ca E D, fig..9), situat [ bada iterzis` [ veciatatea BV. Eergia E A - E V, cu aceia]i gam` de valori ca E C - E D este eergia ecesar` ioiz`rii imurit`\ilor accetoare. { fig..11 sut rezetate cele dou` rocese fizice care au ca rezultat aari\ia e + : (a) - ioizarea imurit`\ilor, acesta fiid mecaismul redomiat ]i (b) - ruerea leg`turilor covalete, roces mai u\i robabil deoarece E C - E V >> E A - E V. La semicoductorul de ti ivelul Fermi, E F este situat [ jum`tatea iferioar` a bezii iterzise. Astfel di rela\iile (.3a), (.3b) ]i iegalitatea ditre cocetra\ii secific` A 13

14 semicoductorului de ti ( 0 >> 0 ) rezult` E C - E F > E F - E V. De asemeea [locuid exresia lui 0 (.9b) [ rela\ia.3b se ob\ie: E N V F EV kt l (.9c) N A.5.4 Cocluzii 1. Semicoductorul itrisec (lisit de imurit`\i) rerezit` o idealizare.. Semicoductorii utiliza\i [ fabricarea disozitivelor semicoductoare ]i circuitelor itegrate sut ite\ioat dota\i (doa\i) cu imurit`\i dooare ]i/sau accetoare. { geeral o bucat` semicoductoare co\ie ambele tiuri de imurit`\i. imurit`\i: 3. { stabilirea cocetra\iilor de electroi ]i goluri coteaz` cocetra\iile ete de * * ND ND N A dac` ND > N A, resectiv NA NA N D c@d NA > N D. Cocetra\iile * * ete de doori N D, resectiv de accetori N A substituie ND, resectiv N A [ rela\iile (.9a ]i.9b) de calcul a m`rimilor 0 ]i Dac` N D N A semicoductorul se ume]te comesat. { acesta caz 0 0 i. Tot comortare itrisec` are ]i semicoductorul cu N D N A la temeraturi mari, etru care i ( ) >> [ D A] T max N,N itriseci exrimat` ri rela\ia (.6)). (se are [ vedere cre]terea exoe\ial` cu temeratura a cocetra\iei 5. Nivele eergetice asociate imurit`\ilor dooare sau accetoare sut situate [ bada iterzis`, [ imediata veciatate a BC resectiv BV (la dista\a de..3 E th ude E th kt este eergia termic`). Aceste ivele eergetice se umesc u\i ad@ci etru a le difere\ia de ivelele E T asociate traelor etru e -. Nivelele E T sut situate [ reajma mijlocului bezii iterzise. 6. Nivelul Fermi E F este situat [ geeral tot [ bada iterzis`. Dac` E F este lasat la dista\e mai mari de 3E th de E C, resectiv E V [ iteriorul bezii iterzise atuci semicoductorul este edegeerat. { caz cotrar semicoductorul este degeerat. U semicoductor degeerat este * * doat cu cocetra\ii mari de imurit`\i ( N, N > cm A D -3 ). Astfel di rela\iile (.8c ]i.9c) se observ` c` e m`sur` ce ND ]i N A cresc, ivelul Fermi situat ii\ial [ bada iterzis` (etru semicoductori edegeera\i) se aroie de E C, resectiv E V iar etru valori ale lui N D ]i N A comarabile sau mai mari dec@t N C resectiv N V ivelul Fermi trece [ BC resectiv BV..6 Feomee de trasort Electroii ]i golurile, a]a cum au fost defii\i [ sec\iuea.3, sut "articule libere" [ sesul c` mi]carea lor [ semicoductor u deide de articularit`\ile re\elei cristalie. Iflue\a * for\elor di cristal este [cororat` [ masele efective m ]i care difer` de m0 (masa e - liber) ]i bie[\eles valorile lor difer` de la u semicoductor la altul. Folosid legile fizicii statistice se 14 m *

15 demostreaz` c`, [tocmai ca articulele libere "clasice", e - ]i e + di semicoductori au o eergie termic`. { coseci\` aceste articule au, chiar [ codi\ii de echilibru termic, o mi]care haotic` [ semicoductor. Viteza medie `tratic` de delasare a electroilor deide de temeratur` ri rela\ia 3kT ν th (.10) m ]i este cuoscut` ]i sub deumirea de vitez` termic`. Petru Si la 300K, ν th 10 7 cm s. Mi]carea e - ]i e + este siuoas`, urt`torii de sarci` av@d ciociri frecvete at@t cu atomii semicoductorului de baz` c@t ]i cu atomii de imuritate. { urma ciocirilor e - []i ierd eergia cietic` ]i []i modific` traiectoria astfel [c@t, ei vor revei ractic la ozi\ia ii\ial` de mi]care. O form` simlificat` a traiectoriei e - [ iteriorul re\elei cristalie este rezetat` [ cotiuare: Timul mediu [tre dou` ciociri cosecutive τ c, τ c are valori [tre s iar dista\a este de ordiul a 100Å. Sesul delas`rii e - ]i e + se modific` [ urma ciocirilor. Pri urmare, la echilibru termic mi]carea termic` aleatorie a urt`torilor de sarci` u d` a]tere la u curet electric ( J0). Astfel dac` [tr-u elemet de volum dat u gru de urt`tori se delaseaz` [tr-u ses, [ acela]i tim u gru idetic de al\i urt`tori se mi]c` [ ses ivers. de c@m; Curetul electric ri semicoductor aare [ urm`toarele dou` situa\ii: (a) - semicoductorul este sub icide\a uui c@m electric, caz [ care iau a]tere cure\ii (b) - semicoductorul este euiform doat; ri difuzia urt`torilor di zoele uteric doate cu imurit`\i sre zoele mai slab doate aar cure\ii de difuzie. Cure\ii de c@m Se cosider` u semicoductor uiform doat, lasat [tr-u c@m electric uiform r ξ. Acesta se ob\ie alic@d la caetele l`cu\ei semicoductoare o tesiue cotiu` U. Datorit` lui r ξ e - are o mi]care dirijat` [ ses ivers de]i aceasta este afectat` de ciociri. { itervalele ditre ciociri e - sut accelera\i de c@m cu 15

16 r a q r ξ m (.11) roduc@d o cre]tere a vitezei [tre coliziui ν r a r τ (.1) c dac` se cosider` c` timul mediu ditre ciociri u este modificat de reze\a c@mului electric. Cre]terile de vitez` sut aulate de ciocirile cu re\eaua cristali`. Ca urmare viteza medie de delasare a electroilor sub ac\iuea c@mului electric (deumit` vitez` de drift) este r r ν τ r q c ν ξ (.13a) m Rela\ia de mai sus idic` roor\ioalitatea ditre viteza e - ]i c@mul electric r ν r qτ c, µ ξ, µ m c, ν µ ξ, m factorul de roor\ioalitate µ fiid deumit mobilitatea electroilor. { mod similar etru goluri se ob\ie r r (.13b) qτ µ (.13c) ude µ este mobilitatea golurilor. { deducerea acestor ecua\ii s-au utilizat legile mecaicii clasice. Fig..1.a idic` mi]carea electroului [ semicoductor sub ac\iuea c@mului electric [ coformitate cu descrierea f`cut` [ acest aragraf. Fig..1 16

17 { fig.1b se rezit` delasarea e - e diferite ivele di BC. { reze\a c@mului electric costat E ivelele eergetice di BC ]i BV variaz` liiar (roblema ). Du` cum se ]tie electroii au tedi\a atural` de delasare c`tre eergii mai reduse. { urma ciocirilor, e - ierde toat` eergia cietic` ]i revie e ivelul E C care coresude eergiei r sale ote\iale. Dac` ξ are valori reduse, eergia cietic` ierdut` de e - ]i cedat` re\elei cristalie este suficiet de mic` etru a u [c`lzi areciabil re\eaua. Trebuie s` se recizeze c` viteza de drift r ν sau r ν u oate fi atribuit` [ ici u momet uui aumit urt`tor. Purt`torii de sarci` se delaseaz` [ direc\ii aleatoare cu viteze termice mult mai mari dec@t vitezele de drift. Traiectoriile lor ditre ciociri sut distorsioate de for\a rodus` de c@m. Efectul et al acestor distorsiui, mediat e mai mul\i urt`tori, oate fi rerezetat ca o mi]care de agita\ie termic`. Aceasta eroduc@d ici u curet este surimat`, ri urmare fiecare urt`tor se mi]c` cu viteza de drift, a]a cum este ilustrat schematic [ fig..1. Desitatea curetului de electroi creat de c@mul electric (um`rul de e -, cu sarcia (-q), ce se delaseaz` [ uitatea de tim ri uitatea de surafa\`) este r r r Jc, ( q) ν qµ ξ (.14a) r J c, are acela]i ses cu ξ r de]i electroii se delaseaz` [ ses ivers. Similar etru desitatea curetului de goluri se oate scrie r r r J qν qµ ξ, c (.14b) Desitatea curetului de c@m este r r r J J + J,, Jc q( ) c c c, r r 1 r µ + µ ξ ξ ρ (.15a) ude 1 ρ qµ + µ ( ) (.15b) este rezistivitatea semicoductorului. Rela\ia (.15a) exrim` legea lui Ohm etru semicoductori. { cazul semicoductorilor extriseci [ exresia (.15b), la umitor, coteaz` umai uul di termei di cauza difere\elor areciabile ditre cocetra\iile de e - ]i e + (roblema ). Mobilitatea electroilor ]i golurilor A]a cum s-a ar`tat la itesit`\i reduse ale c@mului electric, vitezele de drift cresc roor\ioal cu c@mul, cu u factor deumit mobilitate (vezi rela\iile (.13)). Mobilitatea este u arametru de material deci µ ]i µ deid de atura semicoductorului ri itermediul maselor efective. { tabelul sut idicate mobilit`\ile e - ]i e +, la 300K, etru 17

18 trei materiale semicoductoare slab doate (cocetra\ia total` de imurit`\i este mai mic` cm -3 ). Tabelul. Semicoductorul µ cm Vs µ cm Vs Si Ge GaAs Valorile mobilit`\ilor deid, de asemeea, de cocetra\ia total` de imurit`\i ( NT ND + N A ). {tr-adev`r atomii de imuritate ioiza\i cotribuie al`turi de vibra\iile re\elei cristalie la stabilirea traiectoriilor de mi]care ale urt`torilor mobili. C@d e - sau e + trece e l`g` u io fix sufer` o deviere a traiectoriei sale, ceea ce erturb` delasarea ordoat` a urt`torilor de sarci` e direc\ia c@mului ]i ca urmare, mobilitatea scade. Deci µ ]i µ se mic]oreaz` ri cre]terea cocetra\iei totale de imurit`\i a]a cum se ilustreaz` etru Si, la 300K [ fig..13. Fig..13 Trebuie reamitit c`, sre deosebire de mobilit`\i care deid de N D + N A, cocetra\iile de electroi ]i goluri sut stabilite de cocetra\ia et` de imurit`\i ( N D + N ). Observa\ia este imortat` etru semicoductorii comesa\i caracteriza\i ri mobilit`\i mult mai reduse [ comara\ie cu cei ecomesa\i ]i av@d acelea]i cocetra\ii de e - ]i e +. A 18

19 Temeratura este o alt` m`rime ce iflueteaz` areciabil mobilit`\ile. La cocetra\ii reduse de imurit`\i c@d determiate sut ciocirile cu atomii semicoductorului de baz`, µ ]i µ scad cu temeratura, m µ, µ T, ude m,5. Pri cre]terea temeraturii vibra\iile re\elei se itesific`, robabilitatea ciocirilor cu re\eaua cristali` cre]te, τc, ]i τ c, scad ]i coform rela\iilor (.13) mobilit`\ile se mi]coreaz`. C@d ciocirile cu atomii de imuritate sut reoderete (la cocetra\ii mari de imurit`\i), µ ]i µ cresc cu temeratura: m µ, µ T, m ' 1,5. {tr-adev`r ri m`rirea temeraturii viteza termic` a e - ]i e + cre]te, timul c@t u urt`tor mobil r`m@e [ veci`tatea uui atom de imuritate ioizat scade ]i ca urmare efectul de [mr`]tiere rodus de io se reduce. { coseci\` ri cre]terea lui T, mobilit`\ile e + ]i e - cresc. { cazul Si, cu o cocetra\ie de imurit`\i ce variaz` [tr-o gam` uzual` (N T cm -3 ) ]i la temeraturi ormale de lucru ([tre 90 ]i 400K) mobilit`\ile scad cu temeratura. De observat c` idiferet de atura semicoductorului, cocetra\ia de imurit`\i sau temeratur` electroii sut mai mobili dec@t golurile (µ >µ ). Pri urmare disozitivele ce lucreaz` e baz` de electroi sut mai raide dec@t cele care lucreaz` cu goluri. { [cheierea acestei sec\iui trebuie ar`tat c` roor\ioalitatea ditre vitezele de drift ]i c@mul electric (rela\iile (.13)) u mai este valabil` la c@muri itese, c@d ν ]i ν devi comarabile cu ν th. { aceste codi\ii eergia c@]tigat` de urt`torii mobili de c@m are valori aroiate de eergia termic` ]i u mai este cedat` itegral re\elei [ rocesul de ciocire. Mi]carea e - ]i e + sub ac\iuea c@mului electric u mai oate fi aalizat` searat de mi]carea de agita\ie termic`, deci modelul rous la [ceutul acestui aragraf []i ierde valabilitatea. Fig..14 rezit` deede\a exerimetal` a vitezelor de drift de c@mul electric etru Si, la 300K. P@` la valori de V/cm etru e -, resectiv V/cm etru e +, ν ]i ν cresc liiar cu ξ resect@d rela\iile (.13). 19

20 Fig..14 La foarte itese (ξ > V/cm) vitezele de drift tid s` se satureze la valorile ν,e, resectiv ν,e care sut comarabile cu viteza termic`. Eergia cietic` a electroilor la c@muri itese devie semificativ` ceea ce face ca temeratura lor s` de`]easc` temeratura re\elei. { acest caz electroii sut deumi\i electroi fierbi\i. Rezistivitatea A]a cum s-a mai remarcat rezistivitatea este ua ditre cele mai imortate caracteristici ale materialelor semicoductoare. Valorile ei sut recis cotrolabile ri rocesul tehologic de imurificare. { fig..15 se rezit` deede\a rezistivit`\ii de cocetra\ia de imurit`\i accetoare sau dooare etru Si, la 300K. 0

21 Fig..15 Rerezetarea la scar` dublu logaritmic` \ie cot de: a) rela\ia (.15b) ; b) deede\a cocetra\iilor de e - ]i/sau e +, recum ]i a mobilit`\ilor µ ]i /sau µ de N D ]i/sau N A (fig..13). Rezistivitatea semicoductorilor este uteric deedet` de temeratur` a]a cum se ilustreaz` (calitativ) [ fig..16. Fig..16 { zoa I a curbei rezistivitatea scade cu temeratura datorit` cre]terii cocetra\iilor de urt`tori majoritari ri rocesul de ioizare a imurit`\ilor. Pe or\iuea a II-a di curb`, ce curide ]i temeraturile uzuale de lucru, cocetra\iile de majoritari sut ractic costate, dar coteaz` sc`derea mobilit`\ii ceea ce determi` o cre]tere u]oar` a rezistivit`\ii cu temeratura. La temeraturi ridicate (or\iuea a III-a) are loc o ou` cre]tere a cocetra\iilor de urt`tori datorit` geer`rii de erechi electro-gol ri ruerea de leg`turi covalete; se exlic` astfel sc`derea areciabil` a rezistivit`\ii cu temeratura [ aceast` zo`. Cure\ii de difuzie { semicoductorii caracteriza\i ri cocetra\ii euiforme de electroi sau goluri aare tedi\a atural` a uiformiz`rii distribu\iei lor. Acest feome de difuzie a e - sau e + d` a]tere cure\ilor de difuzie. 1

22 Petru exrimarea catitativ` a cure\ilor de difuzie se cosider`, mai [t@i etru simlitate, o bar` semicoductoare caracterizat` de-a lugul ei (e direc\ia x) de o distribu\ie euiform` de electroi ca [ fig..17. Fig..17 Temeratura [ bar` este costat` ]i ca urmare electroii au o mi]care de agita\ie termic` cu viteza ν th dat` de (.10). Fluxul de electroi (um`rul de electroi ce traverseaz` [ uitatea de tim o surafa\` egal` cu uitatea ormal` e direc\ia x) ce difuzeaz` de la st@ga la dreata laului x 0 este 1 ( λ c ) V th 0, { aceast` rela\ie λ c, ν thτ c, rerezit` drumul liber mijlociu al e - [tre dou` ciociri cosecutive iar kt V th este tesiuea termic`. Factorul 1 q deoarece jum`tate di cocetra\ia de electroi de la x jum`tate sre dreata. Similar fluxul de e - cocetra\ia de electroi de la sre dreata la laul x 0 va fi [ ( λc ) ( λc F ν th 0, 0, aare [ exresia fluxului λ c, difuzeaz` sre st@ga ]i cealalt` ce traverseaz` laul x 0 veid disre dreata deide de 1 x λ c, ]i este 0 ( λ c, ) V th. Fluxul de e - ce difuzeaz` de la st@ga 1 )] (.16a) Dac` [ jurul origiii ([tre laele x λ c, ]i λc ) se resuue o varia\ie liiar` a cocetra\iei de electroi de forma x,

23 d0 ( x) ( ) dx x (.17) va rezulta di (.16a) etru F exresia F d Vthλ c (.16b) dx, i@d cot de leg`tura ditre drumul liber mijlociu ]i timul mediu ditre ciociri recum ]i de rela\iile (.10) ]i (.13) se ob\ie d d F Vthµ D (.16c) dx dx ude D µ (.18a) V th este costata de difuzie etru electroi. Desitatea curetului de difuzie de e - va fi J ( q) F qd d d, (.19a) dx Geeraliz@d etru u semicoductor caracterizat de o distribu\ie euiform` e toate direc\iile a cocetra\iei de electroi, desitatea curetului de difuzie de electroi va avea exresia r r Jd, ( q) F qd (.19b) ude Proced@d similar etru desitatea curetului de goluri rezult` r r Jd, qf qd (.19c) V th ( ) D µ (.18b) este costata de difuzie etru goluri iar ]i sut gradie\ii cocetra\iilor de e - ]i e +. Rela\iile (.18) sut cuoscute sub deumirea de rela\iile lui Eistei. Ele exrim` leg`tura ditre costatele de difuzie ]i mobilit`\i, leg`tur` ce subliiaz` fatul c` difuzia ]i driftul sut maifest`ri ale mi]c`rii de agita\ie termic` a urt`torilor, deci u sut feomee ideedete. Deducerea riguroas` a rela\iilor lui Eistei (mai sus s-a referat o variat` ituitiv`) se oate face ri examiarea imlica\iilor de ordi statistico-mecaic e care le are situa\ia de echilibru [tr-u semicoductor euiform doat. Trebuie re\iut c` rocesul de difuzie u are imic de a face cu fatul c` e - ]i e + sut urt`tori de sarci`. Difuzia are loc ur ]i simlu datorit` fatului c` um`rul de urt`tori care (ca rezultat al mi]c`rii de agita\ie termic`) au comoetele de vitez` dirijate disre regiuea de [alt` cocetra\ie c`tre regiuea de cocetra\ie mai mic` este mai mare dec@t um`rul de urt`tori care au vitezele dirijate [ ses ous. 3

24 De asemeea este imortat de re\iut c` fluxul de articule ce rezult` [ urma difuziei deide de gradietul cocetra\iei de urt`tori ]i u de cocetra\ia roriu-zis`. Difuzia st` la baza comort`rii fizice a majorit`\ii disozitivelor semicoductoare. Acest feome u este rezet [ metale ude u se ot realiza cocetra\ii euiforme de e - ; orice tedi\` de euiformizare a distribu\iei electroilor este aihilat` raid datorit` rezistivit`\ii foarte sc`zute a metalelor. Ecua\iile cure\ilor [ semicoductoare Desitatea curetului total [tr-u semicoductor are dou` comoete r r r J J + J (.0a) datorate celor dou` tiuri de urt`tori mobili: electroii ]i golurile. La r@dul lor fiecare di r r desit`\ile ]i J au c@te dou` comoete: de drift datorat` c@mului electric, resectiv de J difuzie. Coform rela\iilor (.14) ]i (.19) rezult` r r r r J J, c + J, d qµξ + qd J J r + J r qµ r ξ qd r, c, d { cazul [ care c@mul electric este variabil [ tim, ξ ξ( ) (.1a) (.1b) r r t rela\ia (.0a) va iclude ]i termeul coresuz`tor desit`\ii curetului de delasare r () r () r r jt j t+ j() t+ε δξ s δt ude ε s este ermitivitatea semicoductorului iar r j, r j, r j sut fuc\ii de tim. (.0b) Exresiile (.0) ]i (.1) evide\iaz` difere\ele care aar [ rocesul de coduc\ie a curetului electric la semicoductori [ raort cu metalele. La metale coduc\ia se datoreaz` umai electroilor de coduc\ie (u exist` curet de goluri). De asemeea curetul de e - la metale co\ie r r r umai comoeta de drift datorat` c@mului electric ( J J J, c )..7 Geerarea ]i recombiarea e - ]i e + { codi\ii de echilibru, cocetra\iile urt`torilor mobili de sarci` 0 ]i 0 sut determiate umai de cocetra\iile de imurit`\i ]i de temeratur` (ri ( T) i, vezi aragraful (.5)). C@d echilibrul este erturbabil, cocetra\iile de e - ]i e + se ot modifica semificativ fa\` de 0 resectiv 0. Difere\ele - 0 ]i - 0 ot fi ozitive (cocetra\ii [ exces) sau egative (deficit de urt`tori). Cum aceste difere\e rerezit` abateri de la starea de echilibru, [ mod atural se asc mecaisme fizice care tid s` restabileasc` starea de echilibru. 4

25 Mai recis, ori de ori exist` u deficit de urt`tori mobili (- 0 ]i - 0 sut egative) aare feomeul de geerare de erechi (e -, e + ) ri ruerea leg`turilor covalete. C@d - 0 ]i - 0 sut ozitive coresuz@d uor cocetra\ii de urt`tori mai mari dec@t valorile de echilibru, urt`torii [ exces au tedi\a de a se recombia, deci de a disare ri aihilare reciroc`. Astfel e - de coduc\ie ocu` di ou locurile libere di leg`turile covalete esatisf`cute ]i ri aceasta disar [mreu` cu u um`r egal de e +. Ratele de desf`]urare ale mecaismelor de geerare/recombiare, [ sesul um`rului de articule (e - sau e + ) care se geereaz`/recombi` [ uitatea de volum ]i [ uitatea de tim se umesc viteze de geerare/recombiare ]i se oteaz` cu g,g,r,r se defiesc ri rela\iile:. Vitezele ete de recombiare R r g (.a) R r g (.b) Eergetic vorbid rocesele de geerare/recombiare rerezit` trecerea e - de e u ivel eergetic e altul (fig..18). Fig..18 Geerarea uui e - (fig..18a) [seam` veirea uui e - [ BC. Electroul oate sosi: (i) - di BV (geerare bad`-bad` sau direct`) sau (ii) - de e u ivel de eergie E t situat [ bada iterzis` (geerare idirect`). Geerarea uui e + (fig..18b) [seam` `r`sirea de c`tre u e - a BV. Electroul oate trece: (i) - [ BC (geerare direct`) sau (ii) - e ivelul E t di bada iterzis` (geerare idirect`). 5

26 Recombiarea uui e - (fig..18c) este rocesul ivers geer`rii de e -, deci cost` [ `r`sirea de c`tre u electro a BC. Electroul oate trece: (i) - [ BV (recombiare bad`-bad` sau direct`) sau (ii) - e ivelul E t (recombiare idirect` ri cetrii de recombiare). Recombiarea uui e + (fig..18d) cost` [ veirea uui e - [ BV. Electroul oate vei: (i) - di BC (recombiare direct`) sau (ii) - de e u ivel E t di bada iterzis` (recombiare idirect`). Cele de mai sus scot [ evide\` dou` modalit`\i de desf`]urare a roceselor de geerare/recombiare. Cea mai siml` osibilitate este geerarea/recombiarea direct` (bad`bad`) care se desf`]oar` ri trecerea direct` a e - di BV [ BC ]i ivers. Acest mecaism este foarte u\i robabil [ cazul Si. Al doilea mecaism, redomiat la Si, este geerarea/recombiarea idirect` care se desf`]oar` ri itermediul cetrilor de recombiare. Cetrii de recombiare rovi di imerfec\iui ale re\elei cristalie. Este vorba fie de atomi str`ii (de exemlu atomi de Au, ce ocu` ozi\ii itersti\iale [tre atomii semicoductorului de baz`) fie defecte ale re\elei de tiul disloca\iilor, de ild`. Cetrilor de recombiare li se asociaz` ivele eergetice ad@ci E t situate [ veci`tatea mijlocului bezii iterzise. Ei ac\ioeaz` ca trete itermediare [ trazi\ia e - [tre BC ]i BV. Astfel cetrii de recombiare ot emite e - sre BC (fig..18a) sau BV (.18d) sau ot cata e - vei\i di BC (fig..18c) sau BV (fig..18b). Trebuie recizat c` at@t cetrii de recombiare c@t ]i imurit`\ile dooare/accetoare itroduc ivele eergetice situate [ BI. Difere\a cost` [ fatul c` ivelele eergetice itroduse de imurit`\i sut suerficiale deoarece E D ]i E A sut situate [ veci`tatea BC resectiv BV. Procesul idirect de geerare/recombiare ri cetrii de recombiare este descris satisf`c`tor de modelul Schockley-Read-Hall (du` umele autorilor). Coform acestui model care resuue u sigur ivel E t etru cetrii de recombiare, viteza et` de recombiare este aceia]i etru e - resectiv e + ]i are exresia U R R σ σσν Et E + i ex kt ( ) N th t i Ei Et i + + σ ex kt i (.3a) ude N t este cocetra\ia cetrilor de recombiare, E i ivelul Fermi itrisec, iar σ ]i σ sec\iuile eficace de catur` etru e -, resectiv e +. Di aaliza rela\iei (.3a) se desrid o serie de cocluzii. Mai [t@i se observ` c` [ cazul echilibrului termic ( ), viteza et` de recombiare este ul` U 0; aceasta [seam` 0 0 i c` g r ]i g r,ude r (g ) ]i r (g ) ot avea ]i valori eule. 6

27 { al doilea se costat` c` viteza et` de recombiare este maxim` atuci ivelul eergetic al cetrilor de recombiare este lasat aroximativ la mijlocul bezii iterzise (E t E i ). Petru a exlica fizic acest lucru se cosider`, de exemlu, E t lasat deasura lui E i, aroae de BC. { aceste codi\ii du` rocesul de catur` a uui e - di BC este mult mai robabil` emiterea di ou [ BC dec@t [ BV deoarece E c - E t < E t - E v. Recombiarea e]ueaz` [ aceast` evetualitate. Similar dac` E t este lasat sub E i aroae de BV, atuci este u\i robabil ca s` aib` loc rocesul de catur` a e - di BC, recombiarea f`c@du-se [ acest caz doar ri trecerea direct` a e - di BC [ BV. { sf`r]it rela\ia (.a) se simlific` [ cazul uui semicoductor extrisec la care abaterile de la echilibru sut mici. Se resuue, de exemlu, etru u semicoductor de ti la care sut [deliite codi\iile (i) >> > (semicoductorul este la u ivel mic de ijec\ie) ]i 0 0 (ii) >> i ex E t E kt i exresia (.a) devie R 0, τ τ 1 σ ν N th t (.b) ude τ este timul de via\` al golurilor [ exces (roblema ). { cazul uui semicoductor de ti, [ codi\ii similare R 0, τ τ 1 σν N th t (.c) [ care τ este timul de via\` al electroilor [ exces. Observa\iile desrise di aaliza rela\iilor (.) descriu realitatea fizic` coform c`reia u semicoductor aflat la eechilibru []i dezvolt` mecaisme care tid s`-l readuc` la echilibru. Pe baza acestor observa\ii se oate da o form` siml` etru vitezele ete de recombiare ]i aume R R 0 τ τ 0 (.3a) (.3b).8 Ecua\iile de baz` ale disozitivelor semicoductoare (Schockley) 7

28 Majoritatea disozitivelor semicoductoare ot fi descrise de 3 seturi de ecua\ii liiare ]i difere\iale, [ care trebuie recizate codi\iile la limit`, codi\iile ii\iale ]i datele tehologice (doare, de exemlu). Ecua\iile vor fi articularizate etru cazul uidimesioal. Acesta coresude uei bare semicoductoare a c`rei lugime este mult mai mare dec@t dimesiuile sec\iuii erediculare e axa Ox. Se cosider` de asemeea c` roriet`\ile fizice uctuale sut acelea]i, doar valoarea m`rimilor studiate r ξ,φ r, J r difer` de la u uct la altul e direc\ia x. 1. Ecua\iile de curet Este vorba desre ecua\iile descrise [ aragraful.6. (]i aume.0 a,b ]i.1 a,b) referitoare la desit`\ile de curet de e - ]i e +. Dac` vom articulariza ecua\iile.0b ]i.1b etru cazul uidimesioal atuci se ob\i urm`toarele ecua\ii: J J d q( µ ξ D ) (.0c) dx + d q( µ ξ D ) (.1c) dx. Ecua\iile de cotiuitate exrim` varia\ia cocetra\iei de urt`tori mobili [ uitatea de tim d dt 1 dj q dx + τ 0 G L (.4a) d dx 1 dj q dx + τ 0 G L (.4b) ude G L este viteza de geerare. De asemeea trebuie recizat c` [tr-o uitate de volum egal` cu 1 cm 3 ]i o uitate de tim egal` cu 1 s um`rul de e - resectiv de e + oate varia datorit`: i) trecerii uui curet ri volumul cosiderat (rela\iile.4) ii) feomeelor de geerare/recombiare itere (rela\iile.4 ri termeii τ 0 ]i τ iii) feomeului de geerare exter` de erechi (e -, e + ) caracterizat de viteza de geerare G L 4.Ecua\ia Poisso d φ dξ q ( + N dx dx ε s D N A ) ude φ ]i ξ sut ote\ialul resectiv c@mul electric creat [ semicoductor de sarcia electric`. Aceasta este comus` di: sarcia mobil` de cocetra\ii resectiv sarcia fix` datorat` ioilor de imuritate ozitivi (egativi) de cocetra\ii N D ( N A ) 0 ) 8

29 Semul mius di exresia ecua\iei Poisso se datoreaz` sarciii egative a ioilor de imuritate ]i/sau a electroilor. 9