SEMNALE {I SISTEME DISCRETE

Transcript

1 CAPITOLUL SEMNALE {I SISTEME DISCRETE.. Semale discrete Dup\ cum a fost precizat ` capitolul, u semal discret, x, este o fuc]ie a c\rei variabil\ idepedet\ este u `treg [i poate lua orice valoare real\ sau complex\. Este de remarcat c\ u semal discret u este defiit la momete ditre dou\ e[atioae succesive [i este gre[it a cosidera c\ semalul x este egal cu zero petru valori e`tregi ale variabilei idepedete. Obi[uit, x k defie[te al k-lea e[atio al semalului x, idiferet dac\ acesta provie di e[atioarea uui semal aalogic sau u. U exemplu de semal discret este reprezetat ` figura.. Figura.. Reprezetarea grafic\ a uui semal discret Pe lâg\ reprezetarea grafic\ a uui semal discret, mai exist\ câteva moduri de descriere a acestora, care ueori sut mai coveabile:. Reprezetarea fuc]ioal\, de exemplu 3

2 x, 4,,,,3,4,5 6 î rest (.). Reprezetarea tabelar\, de exemplu x Reprezetarea pri secve]e de umere O secve]\ ifiit\, cu origiea timpului marcat\ pri ( ) este reprezetat\ sub forma x[ ] {...,,, 4,,,...} (.) O secve]\ x[ ] ale c\rei valori sut ule petru <, se reprezit\ sub forma x[ ] {,, 4,,,...} (.3) ~ acest caz, origiea timpului este primul elemet di stâga al secve]ei [i marcarea sa este op]ioal\. O secve]\ discret\ de durat\ fiit\ se reprezit\ ca x {3, -, -, 5,, 4, } (.4) ude ( ) reprezit\ origiea timpului, adic\ x.... Câteva semale discrete elemetare ~ prelucrarea umeric\ a semalelor itervi adesea câteva semale de baz\, care vor fi defiite dup\ cum urmeaz\:. Semalul impuls uitate, care este descris de, δ (.5), î rest [i este reprezetat ` figura.. 3

3 Figura.. Reprezetarea grafic\ a impulsului uitate Impulsul uitate joac\ acela[i rol ca distribu]ia Dirac di cazul semalelor defiite ` timp cotiuu, dar, spre deosebire de aceasta, δ este o fuc]ie obi[uit\, u o distribu]ie. O secve]\ arbitrar\, cum este cea di figura., poate fi reprezetat\ ca o sum\ de impulsuri poderate [i `târziate [ ] x x k δ k, k Z (.6) [ ]. Semalul treapt\ uitate, otat u, este defiit de, N u, i rest [i este reprezetat ` figura.3. (.7) Figura.3. Reprezetarea grafic\ a treptei uitate Leg\tura `tre treapta uitate [i impulsul uitate este dat\ de rela]ia k u δ, k Z (.8) care arat\ c\ valoarea treptei uitate la mometul rezult\ pri acumularea valorilor precedete ale impulsului uitate. O alt\ reprezetare a treptei uitate este dat\ de suma de impulsuri uitate `târziate [ k],,k (.8') u δ Z 3

4 Impulsul uitate poate fi reprezetat ca δ u u[ ] 3. Semalul ramp\ uitate, otat uzual cu u r [i defiit de, N u r, i rest este reprezetat ` figura.4. (.9) (.) Figura.4. Reprezetarea grafic\ a semalului ramp\ uitate 4. Semalul expoe]ial, defiit de x [ a, petru ε Z (.) Petru a R, x[ ] este real [i este reprezetat ` figura.5 petru diferite valori ale lui a. Dac\ parametrul a este complex, atuci se poate scrie e jω a r (.) ude r [i ω reprezit\ modulul, respectiv faza m\rimii complexe a. ~ acest caz Deoarece x jω r e r ( cosω j ω x si ) (.3) este complex, se poate reprezeta grafic partea sa real\ r cosω xr (.4) ca fuc]ie de [i, de asemeea, partea sa imagiar\ xi r siω (.5) tot ca fuc]ie de. Petru u semal complex discret x se mai poate reprezeta ueori umai modulul x r, (.6) de asemeea, ca fuc]ie de. Semalul expoe]ial poate fi scris ca o sum\ de fuc]ii sius [i cosius poderate expoe]ial, iar o secve]\ siusoidal\ ca o sum\ de expoe]iale. 33

5 jω Se observ\ c\ partea real\ [i imagiar\ a lui e variaz\ siusoidal cu. Faptul c\ este `totdeaua `treg coduce la difere]e importate `tre propriet\]ile secve]elor expoe]iale complexe [i siusoidale discrete [i cotiue. Petru a p\stra aalogia cu cazul aalogic, ω reprezit\ pulsa]ia siusoidei complexe [i se m\soar\ ` radiai/e[atio, iar um\rul de e[atioae. Figura.5. Reprezetarea grafic\ a semalului expoe]ial petru diverse valori ale lui a Expoe]ialele complexe sau siusoidele discrete sut periodice de perioad\ π, deci va fi ecesar\ umai cosiderarea pulsa]iilor di domeiul fudametal π < ω π sau ω < π... Clasificarea semalelor discrete... Semale de eergie fiit\ [i semale de putere fiit\ Eergia uui semal se defie[te cu rela]ia E 34 x (.7)

6 Aceast\ m\rime poate fi calculat\ atât petru semale reale, cât [i petru semale complexe. Dac\ m\rimea E, defiit\ de (.7) este fiit\, semalul se ume[te de eergie fiit\. Puterea medie a uui semal discret x se defie[te cu rela]ia N P lim x (.8) N N N Dac\ se defie[te eergia uui semal pe u iterval fiit N N, ca fiid E x N N N (.9) atuci, eergia sa se poate exprima ca E lim E (.) N [i puterea sa medie P lim EN (.) N N Evidet, dac\ E este fiit, P. Pe de alt\ parte, dac\ eergia uui semal este ifiit\, puterea poate fi fiit\ sau ifiit\. Dac\ puterea este fiit\ ([i diferit\ de zero) semalul se ume[te de putere fiit\. Exemplul.. S\ se determie puterea semalului treapt\ uitate. Petru treapta uitate, puterea este N N P lim u ( ) lim, N N N N deci treapta uitate este u semal de putere fiit\. Di expresia eergiei se observ\ c\ petru acest semal eergia este ifiit\. Cu defii]iile aterioare, rezult\ c\ semalul ramp\ uitate, defiit de (.), u este ici de putere, ici de eergie fiit\.... Semale periodice [i eperiodice [ N] x U semal x este periodic, de perioad\ N dac\ [i umai dac\ x ±, petru ε Z N `treg (.) Cea mai mic\ valoare pozitiv\ a lui N petru care rela]ia (.) este `depliit\ se ume[te perioad\ fudametal\. Dac\ u exist\ ici o valoare petru N care s\ satisfac\ rela]ia (.), semalul se ume[te eperiodic sau aperiodic. 35 N

7 Eergia uui semal periodic este fiit\ pe o perioad\, N, dac\ x ia valori fiite ` acest iterval. Eergia semalelor periodice, petru < <, este ifiit\. Puterea medie a semalelor periodice este fiit\ [i este egal\ cu puterea medie pe o perioad\, dac\ valorile semalului ` acest iterval sut fiite. N N P x (.3) Evidet, semalele periodice ce pot lua umai valori fiite sut de putere fiit\. [i impar, dac\..3. Semale pare (simetrice) [i impare (atisimetrice) U semal real x este par, dac\ x [ ] x [ ] x (.4) x (.5) Se observ\ c\ petru semale impare x. ~ figura.6 sut prezetate dou\ semale, uul par (a) [i uul impar (b). Figura.6. Exemple de semal par (a) [i impar (b) Orice semal discret x poate fi exprimat ca suma a dou\ compoete, ua par\ [i ua impar\. ~tr-adev\r, dac\ se defie[te [ x x[ ] ] (.6) x e ude satisface codi]ia de simetrie (.4) [i x e 36

8 ude x o [ x x[ ] x o satisface rela]ia (.5), rezult\ x x x e o ] (.7) (.8).3. Opera]ii simple cu semale discrete ~ acest paragraf vor fi cosiderate câteva opera]ii simple efectuate asupra variabilei idepedete [i a amplitudiii semalului discret. Trasform\ri ale variabilei idepedete Deplasarea ` timp a semalului. U semal x poate fi deplasat ` timp pri `locuirea variabilei idepedete cu k, ude k Z. Petru k >, deplasarea ` timp are ca rezultat o `târziere a semalului cu k uit\]i de timp. Dac\ k <, deplasarea ` timp determi\ u avas al semalului cu k uit\]i de timp. Exemplul.. Fie semalul x reprezetat ` figura.7.a. S\ se reprezite semalele x [ 3] [i x[ ]. Semalele x [ 3] [i respectiv x[ ] sut reprezetate ` figurile.7.b [i.7.c. Dac\ semalul x este stocat pe u mediu oarecare este relativ simplu de a modifica origiea timpului pri itroducerea uei `târzieri sau a uui avas. Dac\, `s\, semalul este geerat de u feome fizic ce se desf\[oar\ ` timp real, u este posibil\ realizarea uui avas, deoarece acest lucru implic\ e[atioae ce u au fost `c\ geerate. Figura.7. Reprezetarea grafic\ a semalului x (a), a versiuii sale `târziate cu 3 uit\]i (b) [i ` avas cu uit\]i (c) 37

9 Reflectarea semalului. O alt\ modificare a variabilei idepedete, ecesar\ ` aplica]ii, este aceea de a `locui variabila cu, opera]ie umit\ reflectare (foldig) a semalului ` raport cu axa ordoatelor. Aceast\ opera]ie este ilustrat\ ` figura.8. Figura.8. Ilustrarea grafic\ a opera]iei de reflectare Multe di opera]iile realizate ` PNS implic\ reflectarea [i deplasarea ` timp. Opera]iile de reflectare [i deplasare ` timp u sut comutative. Dac\ se oteaz\ opera]ia de deplasare ` timp cu TD [i cea de reflectare cu TF, se poate scrie TD k [ x[ ]] x[ k], k > TF[ x[ ]] x[ ] TDk { TF[ x[ ]] } TDk [ x[ ]] x[ k] ` timp ce TF TDk [ x[ ]] TF[ x[ k]] x[ k { } ] Exemplul.3. Fie semalul x reprezetat ` figura.9. S\ se reprezite semalul ob]iut pri reflectarea [i deplasarea spre dreapta cu uit\]i a semalului x, precum [i cel ob]iut pri deplasarea spre dreapta cu uit\]i [i apoi reflectarea semalului x. Solu]ie. ~ figura.9 s-au reprezetat semalele x[ ] x[ ], adic\ x reflectat, x [ ] x[ ], adic\ x reflectat [i deplasat uit\]i spre dreapta, x [ ] x[ ], adic\ x deplasat cu uit\]i spre 3 dreapta [i x 4 [ ] x[ ], adic\ x deplasat uit\]i spre dreapta [i apoi reflectat. 38

10 Figura.9. Ilusrarea ecomutativit\]ii opera]iilor de deplasare ` timp [i reflectare Decimarea semalului. Opera]ia de decimare a semalului cost\ ` `locuirea variabilei idepedete cu M, ude M N, adic\ x M [ ] x[ M] (.9) Aceast\ opera]ie se mai ume[te de scalare a axei timpului sau sube[atioare [i este ilustrat\ ` figura.a, petru M. Semalul x [ ] x are o "derulare" mai rapid\ decât x. Iterpolarea semalului. Opera]ia de iterpolare coduce la ob]ierea uui semal cu "derulare mai let\", dat de rela]ia x,daca L divide pe, L N x L [ ] L (.3), î rest pri itroducerea a L- valori ule `tre dou\ e[atioae cosecutive ale semalului x. Aceast\ opera]ie este ilustrat\ ` figura.b, petru L. 39

11 Figura.. Ilustrarea opera]iilor de a) decimare, b) iterpolare Sumarea, multiplicarea [i scalarea secve]elor Suma a dou\ semale x [i x este u semal ale c\rui valori la u aumit momet sut egale cu suma valorilor semalelor implicate ` sum\ la acel momet x x, Z (.3) Produsul a dou\ secve]e se ob]ie efectuâd produsul e[atio cu e[atio al secve]elor x x, Z (.3) Scalarea amplitudiii uui semal cu o costat\ A se realizeaz\ pri multiplicarea valorii fiec\rui e[atio al semalului cu costata A A x, Z (.33) [ ] [ ].4. Sisteme discrete U sistem discret este u dispozitiv sau u algoritm care opereaz\ asupra uui semal discret, umit itrare sau excita]ie, coform uor reguli bie defiite, petru a produce u alt semal discret, umit ie[irea sau r\spusul sistemului. Semalul de itrare semalul de ie[ire [ ] x este trasformat de sistemul discret `, coform rela]iei H[ x ] (.34) 4

12 ude H reprezit\ trasformarea (umit\ ueori [i operator) sau procesarea realizat\ de sistem asupra lui x petru a produce. Grafic, rela]ia (.34) este reprezetat\ ` figura.. Figura.. Reprezetarea uui sistem ` timp discret ~ cotiuare se va face referire umai la sisteme cu o sigura itrare [i o sigura ie[ire. Exist\ mai multe moduri de a caracteriza u sistem discret [i a descrie opera]ia pe care el o execut\ asupra itr\rii petru a ob]ie r\spusul sistemului. Uul ditre acestea cost\ ` descrierea sistemului pritr-o rela]ie itrare ie[ire, igorâdu-se detaliile de structur\ iter\ sau de realizare a sistemului, acesta fiid v\zut ca o "cutie eagr\". Aceast\ situa]ie este descris\ de ota]ia x H (.34') echivalet\ cu (.34). Exemplul.4. Rela]ia itrare ie[ire este exemplificat\ pri urm\toarele sisteme, ` care semalul de itrare se cosider\ a fi, 3 3 x, i rest a) x b) x[ ] c) x[ ] d) [ x[ ] x[ ] x[ ] 3 max x, x, x e) { [ ] [ ]} f) x k x x[ ] x[ ]... Semalul de itrare poate fi scris explicit sub forma secve]ei x [ ] {..., 3,,,,,, 3,...} 4 (.35)

13 Ie[irea sistemelor este a) [ ] {..., 3,,,,,, 3,...} Se observ\ c\ ie[irea este idetic\ cu itrarea [i sistemul se ume[te idetitate. b) [ ] {..., 3,,,,,, 3,...} ~ acest caz sistemul `târzie cu u e[atio semalul de itrare. c) [ ] {..., 3,,,,,, 3,...} Acest sistem "avaseaz\" sau aticipeaz\ semalul de itrare cu u e[atio. 5 5 d) [ ] {...,,,,,,,,,,...} ~ acest caz, sistemul realizeaz\ media aritmetic\ a e[atioulului prezet, trecut [i urm\tor petru fiecare momet de timp. e) [ ] {.., 3, 3, 3,,,, 3, 3, 3,...} Acest sistem selecteaz\ la fiecare momet valoarea maxim\ ditre x [ ], x [i x[ ]. f) [ ] {.., 3, 5, 6, 6, 7, 9,,...} Acest sistem este u acumulator, calculâd suma tuturor e[atioaelor trecute pâ\ la mometul respectiv. Petru uele di sistemele cosiderate ` exemplele precedete se observ\ c\ ie[irea la u momet u depide umai de itrarea de la (adic\ x [ ]), ci [i de valorile itr\rii la momete diaite [i dup\. ~ exemplul acumulatorului rela]ia itrare ie[ire care `l defie[te poate fi rescris\ echivalet sub forma 4

14 x k x k x [ ] x (.35') care justific\ umele de acumulator, sistemul calculâd valoarea curet\ a ie[irii pri aduarea (acumularea) valorii curete a itr\rii la valoarea precedet\ a ie[irii. Petru acest exemplu se presupue c\ semalul de itrare este cuoscut petru [i se dore[te s\ se determie ie[irea petru. Petru,,..., rela]ia (.35) devie [ ] [ ] x[ ], [ ] [ ] x[ ] [. a. m. d. Se observ\ c\ ` calculul lui [ ] itervie [ ], care se poate calcula cu rela]ia adic\ [ ] [ ] x[ k ], reprezit\ efectul tuturor itr\rilor aterioare mometului asupra sistemului. R\spusul sistemului petru la semalul de itrare x aplicat la mometul depide de semalul de itrare la mometul [i toate itr\rile aplicate aterior. ~ coseci]\, petru u este uic determiat de itrarea x petru. Iforma]ia suplimetar\ ecesar\ determi\rii lui petru este codi]ia ii]ial\ [ ], care sitetizeaz\ efectul itr\rilor aterioare asupra sistemului. Codi]ia ii]ial\ [ ] `mpreu\ cu secve]a de itrare x petru vor determia ` mod uic ] secve]a de ie[ire [ petru. Dac\ acumulatorul u a avut ici o excita]ie `aite de, [ ] codi]ia ii]ial\, caz ` care sistemul se zice c\ este ii]ial relaxat. ~ acest caz, ie[irea depide umai de secve]a de itrare x petru. 43

15 De obicei, sistemele se cosider\ relaxate la. Dac\ itrarea se aplic\ uui sistem de la, ie[irea sistemului este uic determiat\ de secve]a de itrare. Se observ\, ` cazul acumulatorului, ca petru a determia ` mod uic secve]a de ie[ire petru, este ecesar\ o sigur\ codi]ie ii]ial\. ~ geeral, petru sisteme discrete, iforma]ia suplimetara costituit\ de setul de valori [ ], [ ], [ N ] ecesare determi\rii ie[irii [ ] petru, la secve]a de itrare x petru, poart\ umele de codi]ii ii]iale. Dac\ acestea sut ule, sistemul este ii]ial relaxat. Aceste o]iui vor fi reluate ` paragraful.5, ude se va itroduce descrierea sistemelor discrete cu ajutorul ecua]iilor cu difere]e. Exemplul.5. Se cosider\ acumulatorul descris de (.35) excitat de secve]a x u. S\ se determie secve]a de ie[ire ` codi]iile: a) sistemul este ii]ial relaxat ( [ ] ); b) [ ]. Ie[irea sistemului este defiit\ ca [ ] x[ k] x[ k] x[ k] [ ] x[ k] ( ) Dar x k a) Dac\ [ ] [ ] ( ), ; b) Dac\ [ ] [ ] ( ),..4.. Reprezetarea simbolic\ a sistemelor discrete Opera]iile asupra semalelor discrete reprezetate pri secve]e sut realizate de sisteme discrete a c\ror reprezetare simbolic\ este dat\ ` cotiuare. 44

16 Sumator. Multiplicator cu o costat\ Figura.. Reprezetarea simbolic\ a sumatorului Figura.3. Reprezetarea simbolic\ a multiplicatorului cu o costat\ Multiplicator de semal Elemet de `târziere Figura.4. Reprezetarea simbolic\ a multiplicatorului Figura.5. Reprezetarea simbolic\ a uui elemet de `târziere Elemet de aticipare Figura.6. Reprezetarea grafic\ a uui elemet de aticipare Observa]ie. Opera]ia de aticipare este erealizabil\ fizic `tr-u sistem de timp real. Exemplul.6. Cu ajutorul blocurilor costructive prezetate aterior s\ se reprezite diagrama bloc a sistemului discret descris de 45

17 [ ] 5 x[ ] x[ ]. Solu]ie. Di rela]ia itrare ie[ire care caracterizeaz\ sistemul se observ\ c\ acesta poate fi implemetat cu ajutorul a 3 multiplicatoare, sumatoare [i 3 elemete de `târziere. Figura.7. Reprezetarea diagramei bloc petru sistemul di exemplul Clasificarea sistemelor discrete ~ aaliza [i proiectarea sistemelor discrete este de dorit clasificarea lor ` fuc]ie de propriet\]ile geerale pe care acestea le au. Di acest motiv este ecesar\ specificarea uor propriet\]i ale acestora care pot fi folosite ` descrierea caracteristicilor lor geerale Sisteme discrete statice [i diamice U sistem discret se ume[te static sau f\r\ memorie dac\ ie[irea sa la u momet oarecare depide umai de itrarea di acel momet. ~ caz cotrar, sistemul se ume[te diamic sau cu memorie. Dac\ ie[irea uui sistem la u momet este complet determiat\ de itr\rile x[ N],..., x[ ] (N ), se spue c\ acesta are memorie de ordiul N. Dac\ N este fiit, sistemul este cu memorie fiit\, iar dac\ N, sistemul are memorie ifiit\. Exemple de sisteme statice (f\r\ memorie) a) a x ; 3 x b x b). Exemple de sisteme diamice (cu memorie) c) x 3x ; [ ] [ ] d) x k ; N 46

18 [ ] e) x k. Sistemele c) [i d) au memorie fiit\, ` timp ce e) are memorie ifiit\. Se observ\ c\ sistemele statice sut descrise ` geeral de o rela]ie itrare ie[ire de forma F[ x, ] [i u iclud elemete de `târziere (memorie). [ k] [ k] x[ ] a) H[ x ] x[ ] x[ ] ; b) H [ x ] x[ ]; c) x cosω. a) [, k] H[ x[ k ] x[ k] x[ k ] (.36).4... Sisteme discrete ivariate [i variate ` timp Sistemele pot fi `mp\r]ite ` dou\ mari categorii: - sisteme ivariate ` timp; - sisteme variate ` timp. Pri defii]ie, u sistem relaxat, descris de operatorul H este ivariat ` timp dac\ [i umai dac\ x H implic\ x H (.37) petru orice semal de itrare [i orice deplasare k. Petru a determia dac\ u sistem este sau u ivariat ` timp se procedeaz\ ` felul urm\tor: Se cosider\ o itrare arbitrar\ x, care va produce r\spusul. Se `târzie semalul de itrare cu k uit\]i [i se recalculeaz\ ie[irea. ~ geeral, aceasta se poate scrie [, k] H[ x[ k]] (.38) Dac\ ie[irea [, k] este egal\ cu [ k] petru toate valorile lui k, sistemul este ivariat ` timp. ~ caz cotrar, dac\ [, k] [ k], chiar petru o sigur\ valoare a lui k, sistemul este variat ` timp. Exemplul.7. S\ se determie dac\ sistemele descrise de urm\toarele rela]ii itrare ie[ire sut sau u variate ` timp. 47

19 [ k] x[ k] x[ k ] Deoarece [, k] [ k] b) [, k] H[ x[ k ] x[ k] [ k] ( k) x[ k] Se observ\ c\ [, k] [ k] c) [, k] H[ x[ k ] x[ k] cosω [ k] x[ k] cosω( k) Deoarece [, k] [ k] [ a x a x ] a H[ x[ ] a H[ x [ ]] x H[ x ], rezult\ c\ sistemul este ivariat ` timp., rezult\ c\ sistemul este variat ` timp., rezult\ c\ sistemul este variat ` timp Sisteme discrete liiare [i eliiare Pri defii]ie, u sistem discret este liiar, dac\ satisface pricipiul superpozi]iei. Cu alte cuvite, ` acest caz, r\spusul sistemului la o sum\ poderat\ de semale de itrare este egal cu suma r\spusurilor sistemului la fiecare di semalele de itrare, poderate corespuz\tor, adic\ u sistem discret, relaxat, caracterizat de operatorul H este liiar, dac\ H (.39) petru orice secve]e de itrare arbitrare [i [i petru orice a costate arbitrare [i a. Rela]ia (.39) implic\ propriet\]ile de scalare [i aditivitate ale sistemelor liiare [i poate fi extis\ la orice combia]ie poderat\ de semale de itrare, pe baza iduc]iei. ~tr-adev\r, dac\ se presupue c\ M M x a x H a k k k k ude k k, k,,... M, este adev\rat\ petru M semale, atuci petru semalul M x a x, ak xk ie[irea sistemului este M H ak xk M a k k M M H[ x a x ] H[ x[ ] a H[ x [ ] M M am M ak k M x M M 48

20 ~ geeral, di (.39) se observ\ c\ u sistem relaxat, liiar, cu itrarea zero produce ie[irea ul\. Dac\ u sistem produce o ie[ire diferit\ de zero la itrare zero, el este fie erelaxat, fie eliiar. Dac\ u sistem discret u satisface pricipiul superpozi]iei, el se ume[te eliiar. Exemplul.8. S\ se determie dac\ sistemele descrise de urm\toarele rela]ii itrare ie[ire sut sau u liiare. a) H[ x ] x ; [ ] [ ] ; ]. Solu]ie. a) Petru dou\ secve]e de itrare x [i x, ie[irile corespuz\toare sut x x O combia]ie liiar\ a celor dou\ semale de itrare are ca b) H x x c) H[ x ] x [ rezultat ie[irea 3 H [ ax a x ] [ ax [ ] ax[ ] ] a x a x a a care este o combia]ie liiar\ a ie[irilor corespuz\toare, deci sistemul este liiar. x x b) [ ], [ ] H[ a x a x ] a x [ ] a x [ ] a a 3 deci sistemul este liiar. c) x, 3 a x H[ a x a x ] a x a a x x a x [ ] a [ ] a a x [ ] x [ ] a a x a x, Combia]ia liiar\ corespuz\toare a ie[irilor [i este a 3 deci sistemul este eliiar. 49

21 Sisteme discrete cauzale [i ecauzale U sistem discret este cauzal dac\ ie[irea sa la u momet,, depide umai de valoarea prezet\ [i cele trecute ale itr\rii ( x, x [ ],...) [i de ici o valoare viitoare ( x [ ], x[ ],...). Matematic, ie[irea uui sistem cauzal poate fi scris\ sub forma F[ x, x[ ], x[ ],...] (.4) ude F este o fuc]ie arbitrar\. U sistem discret care u satisface rela]ia (.4) se ume[te ecauzal. U sistem ecauzal u este realizabil fizic. Exemplul.9. S\ se stabileasc\ dac\ sistemele descrise de urm\toarele rela]ii itrare ie[ire sut sau u cauzale. a) x x[ ] ; b) x x ; [ ] c) x[ ] ; d) x. [ ] Solu]ie a) cauzal; b) ecauzal; c) ecauzal; d) ecauzal (de exemplu, petru, [ ] x[ ]). Pri aalogie cu sistemele cauzale, se defiesc secve]ele cauzale cele care sut egale cu zero petru <. ~ caz cotrar, ele se umesc ecauzale. Dac\ o secve]\ este diferit\ de zero umai petru <, aceasta se ume[te pur ecauzal\ Sisteme discrete stabile [i istabile Stabilitatea este o proprietate importat\ care trebuie avut\ ` vedere ` orice aplica]ie practic\. U sistem oarecare, relaxat, se spue c\ este stabil ` ses MIME (M\rgiit la Itrare M\rgiit la ie[ire), dac\ [i umai dac\ orice semal de itrare limitat produce u semal de ie[ire limitat (se mai folose[te acroimul eglezesc BIBO de la Bouded Iput Bouded Output, ` specificarea sistemelor stabile). Matematic, aceasta se poate scrie dac\ x M < ; atuci M < (.4) x 5

22 Implica]iile pe care le are stabilitatea petru sistemele liiare ivariate ` timp vor fi discutate ` paragraful.4.7. Se spue c\ u sistem cauzal [i stabil este realizabil. ~ caz cotrar este erealizabil. Alte clasific\ri ale sistemelor discrete ` fuc]ie de r\spusul la impuls [i de modul de implemetare vor fi prezetate ` paragrafele.4.8 [i.4.9, dup\ itroducerea descrierii sistemelor discrete cu ajutorul ecua]iilor cu difere]e [i a sumei de covolu]ie Aaliza sistemelor discrete, liiare, ivariate ` timp (SDLIT) Suma de covolu]ie ~ cotiuare se vor trata sisteme discrete, liiare, ivariate ` timp, petru care se va ar\ta c\ sut complet caracterizate ` domeiul timp de r\spusul la impuls. Exist\ dou\ metode de baz\, folosite ` aaliza r\spusului sistemelor discrete liiare la u semal de itrare dat. Ua se bazeaz\ pe ob]ierea solu]iei di ecua]ia itrare ie[ire care caracterizeaz\ sistemul, care are, ` geeral, forma N [ ] ak [ k] bk x[ M k ] (.4) ude a [i b sut parametri costa]i care caracterizeaz\ sistemul [i k k x idepede]i de [i. Rela]ia (.4) se ume[te ecua]ie cu difere]e a sistemului discret, liiar, ivariat ` timp. A doua metod\ se bazeaz\ pe folosirea r\spusului la impuls al sistemului. Ca o coseci]\ a propriet\]ilor de liiaritate [i ivaria]\ ` timp, r\spusul sistemului la u semal de itrare arbitrar poate fi exprimat ` fuc]ie de r\spusul s\u la impuls cu ajutorul sumei de covolu]ie. Petru determiarea r\spusului uui sistem liiar la u semal de itrare dat, acesta se descompue `tr-o sum\ de semale elemetare compoete [i, folosid proprietatea de liiaritate a sistemului, r\spusurile sistemului la semalele elemetare se sumeaz\ petru a forma r\spusul total. Orice semal x poate fi descompus `tr-o sum\ de impulsuri scalate [i `târziate, coform rela]iei (.6). De exemplu, secve]a x {, 4,, 3} poate fi scris\ sub forma x δ[ ] 4δ 3δ[ ] 5

23 Se defie[te r\spusul sistemului [, k] la u impuls aplicat la mometul k cu rela]ia [, k] h[, k] H[ δ[ k] ] (.43) ~ (.43), desemeaz\ timpul, iar k arat\ localizarea ` timp a impulsului de itrare. Cosiderâd semalul de itrare dat de (.6), r\spusul sistemului va fi H x[ k δ k] (.44) Sistemul discret fiid liiar, coform pricipiului superpozi]iei, rezult\ x k H{ δ[ k] } x[ k h k], (.45) Dac\ sistemul discret liiar este [i ivariat ` timp, adic\ dac\ δ H h atuci δ[ k] H h[ k], rela]ia (.45) devie x[ k h k] (.46) (.47) Rela]ia (.47) este cuoscut\ sub deumirea de sum\ de covolu]ie [i di aceasta rezult\ c\, dac\ petru u sistem discret liiar ivariat ` timp se cuoa[te r\spusul la impuls, se poate deduce r\spusul sistemului la orice secve]\ de itrare. Fuc]ia h se mai ume[te fuc]ie podere. Petru calculul ie[irii la u aumit momet se efectueaz\ urm\toarele opera]ii elemetare:. Reflectarea. R\spusul la impuls h k este "reflectat" fa]\ de k petru a ob]ie h[ k].. Deplasarea ` timp. Se deplaseaz\ h[ k] cu uit\]i de timp spre dreapta (stâga) dac\ este pozitiv (egativ) petru a ob]ie [ k] h. 3. Multiplicarea. Se `mul]e[te x k cu h[ k] petru a produce secve]e de tipul v k x k h[ k. ] 4. Sumarea. Se sumeaz\ toate valorile secve]ei produs v k petru a se ob]ie ie[irea la mometul. 5

24 Pa[ii 4 trebuie repeta]i petru toate valorile posibile ale lui petru a ob]ie petru < <. Opera]ia de covolu]ie este simetric\, adic\ u coteaz\ care di cele dou\ secve]e este reflectat\ [i deplasat\. ~tr-adev\r, dac\ ` (.47) se efectueaz\ schimarea de variabil\ m-k, atuci -m, x[ m][ h m] m (.48) Reveid la idexul k, se ob]ie x[ k] h k (.48') rela]ie care arat\, de fapt, c\ suma de covolu]ie este comutativ\. Exemplul.. S\ se determie r\spusul sistemului care are r\spusul la impuls,,,, h, la itrarea x, 3,, ` rest., i rest. Solu]ie. Coform pa[ilor descri[i aterior, se calculeaz\ `tâi h[ k]. h k...,,,,,,,... [ ] { } x[ k h k] x h x[ h ] 4 k x[ k] h[ k] x[ ] h x h[ ] x[ ] h[ ] 8 k [ ] x[ k] h[ k] x[ ] h[ ] x h x[ ] h[ ] 7 k 3 x[ k] h[ 3 k] x h[ ] x[ ] h k 4 x[ k h 4 k] x h 3 k 53

25 [ ] x[ k] h[ k] x[ ] h[ ] [ ] {...,,, 4, 8, 7,, -3,,...} ; Fig..9. Covolu]ia uui semal discret de durat\ ifiit\ cu u semal discret de durat\ fiit\. Fig..8. Covolu]ia a dou\ semale de durat\ fiit\ N [i N. Covolu]ia are durata N N - 54

26 Grafic, rezultatele aterioare pot fi urm\rite pe figura.8. h[ k] se deplaseaz\ cu uit\]i. Petru >, deplasarea este spre dreapta [i petru <, spre stâga. Coform pa[ilor prezeta]i aterior, petru o valoare dat\, se efectuaz\ produsele ditre x [k] [i h[ k], e[atio cu e[atio, [i apoi se sumeaz\. Dac\ semalele au durat\ fiit\, avâd N, respectiv N e[atioae, cuprise `tre -N 3 [i -N 3 N -, respectiv -N 4 [i -N 4 N -, covolu]ia lor are durat\ fiit\, avâd N N - e[atioae, produsul x[ k] h[ k] fiid zero petru to]i k atuci câd < -(N4N 3 ) [i >-N 4 N --N 3 N -. ~ cazul exemplului cosiderat, N 3, N 4, N 3, N 4 [i produsele x[ k] h[ k] sut zero petru <- [i >4. Pri urmare, u se pue problema coverge]ei sumei de covolu]ie, dac\ ambele semale au durat\ fiit\ [i, evidet, fiecare di semale este m\rgiit x ] M, Z, h[ ] M, Z. [ Exemplul.. S\ se determie covolu]ia ditre semalul x de durat\ em\rgiit\ x[ ] a u[ ], [i h[ ] u[ ] u[ N ], care este eul doar petru,,, N-, adic\ are lugimea N. Solu]ie. Covolu]ia acestor semale este ilustrat\ ` figura.9. Uul di semale fiid de durat\ em\rgiit\, [i covolu]ia va avea durat\ ifiit\ [i, pri urmare, se va pue problema coverge]ei sumei ce reprezit\ covolu]ia petru toate valorile lui. Di figur\ se observ\ c\ petru <, x[ k] h[ k]. Dac\ <, Dac\ N, N ( x h) ( x h) [ ] [ ] a a k N k a a a N. N a a.4.4. Propriet\]ile sistemelor discrete, liiare, ivariate ` timp [i itercoectarea acestora Deoarece r\spusul uui SDLIT este dat de o sum\ de covolu]ie, propriet\]ile acestei clase de sisteme sut defiite de propriet\]ile sumei de covolu]ie discrete, care este comutativă şi asociativ\. 55.

27 . Comutativitatea sistemelor [i coectarea lor ` cascad\. Propriet\]ile de comutativitate [i asociativitate ale sumei de covolu]ie coduc la comutativitatea SDLIT. Petru a ilustra acest lucru, se cosider\ sistemele di figura.a [i b. [ ] x[ ] h[ ] ( x[ ] h[ ] ) h[ ] x[ ] ( h[ ] h[ ]) (.5) x[ ] ( h[ ] h[ ]) ( x[ ] h[ ] ) h[ ] x[ ] h[ ] [ ]. Sistemele di figura a [i b sut echivalete cu sistemul di figura c. Se costat\ c\ `tr-o cascad\ de sisteme discrete, liiare, ivariate ` timp u coteaz\ locul acestora ` cascad\, deoarece, idiferet de pozi]ia acestora, petru acela[i semal de itrare se ob]ie acela[i semal de ie[ire. Ca o coseci]\ a propriet\]ii de comutativitate [i asociativitate, r\spusul la impuls al uei cascade de SDLIT este idepedet de ordiea sistemelor ` cascad\. Figura.. Ilustrarea propriet\]ii de comutativitate a SDLIT. Impulsul uitate δ este elemet eutru petru suma de covolu]ie x δ x k δ [ k] k [ ] δ x δ x[ ] [ ]... x x δ... x δ deci, dac\ la itrarea uui sistem discret liiar se aplic\ la ie[ire se ob]ie δ h h (.5) (.5) 3. Dac\ la itrarea uui SDLIT se aplic\ δ ], la ie[ire se ob]ie h [ ], adic\ [ ] h[ ] h[ ] [ δ (.53) 4. U sistem avâd r\spusul la impuls h δ u modific\ semalul de itrare x (.54) 56

28 ~ cotextul coect\rii ` cascad\ a sistemelor se itroduce o]iuea de sistem ivers, caracterizat pri r\spusul la impuls h i care satisface rela]ia h hi δ (.55) 5. Coectarea ` paralel a SDLIT. ~ figura. (a) este prezetat\ coectarea ` paralel a dou\ sisteme h [i h. Se poate ar\ta simplu c\ acesta este echivalet cu sistemul di figura. (b). ~tr-adev\r, coform figurii..a, se poate scrie ] [ ] x h x h x[ ] ( h h (.56) ) [ Figura.. Coectarea ` paralel a dou\ SDLIT.4.5. R\spusul SDLIT la treapta uitate De[i r\spusul la impuls joac\ u rol ese]ial ` aaliza [i siteza sistemelor discrete, liiare, ivariate ` timp, ueori prezit\ iteres utilizarea r\spusului la treapta uitate petru a ob]ie r\spusul sistemului la o itrare arbitrar\. R\spusul la treapta uitate x [ ] u[ ] se ob]ie utilizâd suma de covolu]ie h[ k] u[ k] [ ] s[ ] h[ k] (.57) Di aceast\ rela]ie se poate ob]ie explicit r\spusul la impuls ` fuc]ie de r\spusul la treapta uitate, dup\ cum urmeaz\: de ude rezult\ s [ ] h[ ] h[ k] h[ ] s[ ] (.58) h [ ] s[ ] s[ ] (.59) 57

29 Petru a ob]ie r\spusul al sistemului la semalul de itrare x, se `locuie[te h dat de (.59) ` rela]ia (.47). [ s[ k] s[ k ] ] x[ k] s[ k] x[ k] s[ k ] [ ] x[ k] (.6) Cuoscâd r\spusul s al uui sistem la treapta uitate, se defie[te covolu]ia ditre acesta [i u semal oarecare de itrare ca fiid [ ] x[ k] s[ k] (.6) s R\spusul al sistemului la itrarea x se poate exprima sub forma [ ] s [ ] s[ ] (.6).4.6. Cauzalitatea sistemelor discrete, liiare, ivariate ` timp exprimat\ ` fuc]ie de r\spusul la impuls ~ cazul SDLIT cauzalitatea poate fi exprimat\ ` fuc]ie de r\spusul la impuls al sistemului. Petru a determia aceast\ rela]ie, fie u SDLIT a c\rui ie[ire la u momet este dat\ de suma de covolu]ie [ ] h[ k] x[ k] (.63) care se `mparte ` doi termei, uul co]iâd valoarea prezet\ [i cele trecute ale itr\rii ( x petru ) [i uul care co]ie valorile viitoare ale itr\rii ( x petru > ). [ ] h[ k] x[ k] h[ k] x[ k] [ h x[ ] h x[ ]...] [ h[ ] x[ ] h[ ] x[ ]...] (.64) Cum petru u sistem cauzal ie[irea la mometul depide umai de valoarea prezet\ [i cele trecute ale itr\rii, rezult\ c\ r\spusul la impuls al sistemului trebuie s\ satisfac\ codi]ia h [ ] petru < (.65) Deoarece h este r\spusul la impuls al SDLIT relaxat, rezult\ c\ rela]ia (.65) este codi]ia ecesar\ [i suficiet\ petru cauzalitate. Datorit\ acestei codi]ii limitele sumei pot fi modificate petru a reflecta aceast\ restric]ie, ob]iâdu-se 58

30 [ ] h[ k] x[ k] x[ k] h[ k] (.66) Aterior s-a itodus o]iuea de secve]\ cauzal\ petru a deumi o secve]\ care este zero petru < [i de secve]\ ecauzal\ petru a deumi o secve]\ care este diferit\ de zero petru <. Aceast\ termiologie semific\ faptul c\ astfel de secve]e pot fi r\spusurile la impuls ale uui sistem cauzal, respectiv, ecauzal. Dac\ la itrarea uui SDLIT cauzal se aplic\ o secve]\ cauzal\, suma de covolu]ie devie [ ] h[ k] x[ k] x[ k] h[ k] (.67) R\spusul uui SDLIT cauzal la u semal de itrare cauzal este, de asemeea, cauzal, deoarece [ ], petru < Stabilitatea sistemelor discrete, liiare, ivariate ` timp exprimat\ ` fuc]ie de r\spusul la impuls Codi]ia de stabilitate ` ses MIME di paragraful.4..5 poate fi exprimat\ petru SDLIT ` fuc]ie de caracteristicile sistemului. Fie u SDLIT caracterizat de r\spusul la impuls h c\ruia i se aplic\ u semal de itrare m\rgiit de covolu]ie (.48'). x [ ] M <. Ie[irea sa este dat\ de suma x [ ] h[ k] x[ k] k[ k] x[ k] M h[ k] (.68) x Di rela]ia (.68) se observ\ c\ semalul de ie[ire va fi m\rgiit dac\ r\spusul la impuls al sistemului satisface codi]ia h [ k] (.69) ~ cocluzie, u SDLIT este stabil ` ses MIME dac\ r\spusul s\u la impuls este absolut sumabil Sisteme discrete cu r\spus fiit la impuls [i r\spus ifiit la impuls A[a cum s-a ar\tat aterior, SDLIT pot fi caracterizate ` fuc]ie de durata r\spusului lor la impuls. Aceste sisteme se `mpart ` dou\ clase, [i aume: cele al c\ror r\spus la impuls are durat\ fiit\, umite 59

31 sisteme FIR (acroimul proveid de la ii]ialele egleze[ti "fiite impulse respose") [i cele al c\ror r\spus la impuls are durat\ ifiit\, umite sisteme IIR ("ifiite impulse respose"). U sistem FIR are u r\spus la impuls egal cu zero ` afara uui iterval fiit. F\r\ a pierde di geeralitate, petru sistemele FIR cauzale se poate scrie h, petru < şi M (.7) caz ` care suma de covolu]ie devie M h k x[ k] (.7) O iterpretare util\ a acestei expresii se ob]ie observâd c\ ie[irea la mometul este o sum\ poderat\ a e[atioaelor semalului de itrare x, x[ ],... x[ M ]. Cu alte cuvite, sistemul podereaz\ cu valorile r\spusului la impuls h k cele mai recete M valori ale e[atioaelor de semal [i sumeaz\ cele M produse. ~ coseci]\, sistemul ac]ioeaz\ ca o fereastr\ care "vede" umai ultimele M e[atioae ale itr\rii petru a ob]ie ie[irea. Cu alte cuvite, u sistem FIR are o memorie fiit\ de ordi M. Spre deosebire de sistemele FIR, u sistem IIR are r\spusul la impuls de durat\ ifiit\ [i, cu ajutorul sumei de covolu]ie, r\spusul s\u este h k x[ k] (.7) ude s-a presupus sistemul cauzal (limita iferioar\ a sumei este k ), de[i aceast\ presupuere u era absolut ecesar\. Se observ\ c\ ` calculul r\spusului sut implicate valoarea prezet\ [i toate valorile precedete ale itr\rii, deci sistemul are memorie ifiit\ Sisteme discrete recursive [i erecursive Aterior s-a ar\tat cum se poate ob]ie ie[irea uui SDLIT cu ajutorul sumei de covolu]ie ` fuc]ie de e[atioaele semalului de itrare. Exist\ multe sisteme petru care este mai coveabil a se exprima ie[irea u umai ` fuc]ie de valoarea prezet\ [i cele aterioare ale itr\rii, ci [i ` fuc]ie de valorile precedete ale ie[irii. 6

32 Exemplul.. Fie sistemul defiit de rela]ia x k (.73) care calculeaz\ media e[atioaelor acumulate (media cumulativ\). Di (.73) se observ\ c\ petru calculul ie[irii este ecesar\ stocarea tuturor e[atioaelor x[ k], petru k. Aparet, este ecesar\ o memorie care cre[te liiar cu um\rul e[atioaelor de la itrare. Petru sistemul descris de rela]ia (.73) este mai u[or s\ se calculeze [ ] ` fuc]ie de [ ] [i x. ~tr-adev\r, pritr-o rearajare simpl\ a rela]iei (.73) se ob]ie ( ) x k x [ ] x (.74) [i atuci [ ] x (.75) Acum media cumulativ\ se calculeaz\ mai u[or, multiplicâd valoarea precedet\ a ie[irii [ ] cu, valoarea e[atioului curet de itrare cu [i apoi aduâd cele dou\ produse. Coform rela]iei (.75), calculul lui ecesit\ dou\ multiplic\ri, o aduare [i o loca]ie de memorie (elemet de `târziere), dup\ cum este ar\tat ` figura.. Acesta este u exemplu de sistem recursiv. ~ geeral, ie[irea uui sistem cauzal recursiv poate fi exprimat\ astfel F[ [ ], [ ],..., [ N], x, x[ ],..., x[ M ]] (.76) ude F este o fuc]ie de argumetele sale. Ecua]ia (.76) este o ecua]ie recursiv\, specificâd u mod de calcul al ie[irii sistemului ` fuc]ie de valorile precedete ale ie[irii [i valoarea prezet\ [i precedete ale itr\rii. Spre deosebire de sistemul descris de (.76), dac\ depide umai de valoarea prezet\ [i cele trecute ale itr\rii, atuci F[ x, x[ ],..., x[ M ]] (.77) [i sistemul se ume[te erecursiv. 6

33 Figura.. Implemetarea sistemului descris de (.75) U sistem FIR, cauzal, descris de suma de covolu]ie M h k x[ k] h x h x[ ]... h[ M ] x[ M ] F[ x, x[ ],..., x[ M ]], (.78) ude F este o sum\ poderat\ a valorilor prezet\ [i trecute ale itr\rii cu valoarea r\spusului la impuls h, M, este erecursiv. Difere]a de baz\ `tre sistemele erecursive [i cele recursive cost\ ` preze]a la cele di urm\ a uei reac]ii ce co]ie cel puti u elemet de `târziere. Petru calculul ie[irii [ ] a uui sistem recursiv care este excitat cu u semal aplicat la, trebuie calculate toate valorile precedete ale ie[irii,...,, [ ]. Spre deosebire de aceast\ situa]ie, realizarea erecursiv\ permite calculul lui [ ] f\r\ cuoa[terea ie[irilor precedete. Di (.76) se observ\ c\ ie[irea uui sistem recursiv se poate determia dac\ se cuosc codi]iile ii]iale [i itrarea. Di puct de vedere al cotribu]iilor acestora ` r\spusul sistemului se pot face urm\toarele observa]ii:. Dac\ sistemul este ii]ial relaxat la mometul, memoria sa ar trebui s\ fie zero, deci [ ]... [ N]. Deoarece memoria sistemului determi\ starea sa, r\spusul acestuia ` codi]ii ii]iale ule se ume[te r\spus de stare zero sau r\spus for]at [i se oteaz\ cu sau. zs fr. Dac\ sistemul este erelaxat [i itrarea sa este ul\, r\spusul s\u se ume[te r\spus de itrare zero, otat zi. Acesta se mai ume[te r\spus liber sau atural r. 3. U sistem recursiv cu codi]ii ii]iale eule este erelaxat [i poate produce u semal de ie[ire f\r\ a avea excita]ie. 6

34 4. Petru clasa sistemelor liiare r\spusul acestora este suma celor dou\ r\spusuri, de itrare zero [i de stare zero [ ] zi [ ] zs[ ]. ~totdeaua este posibil a implemeta u sistem FIR ` maier\ erecursiv\, dar pri rearajarea adecvat\ a rela]iei (.77) care descrie sistemul, acesta poate fi implemetat [i recursiv. Exemplul.3. Fie u sistem FIR descris de ecua]ia M x[ k] (.79) M care calculeaz\ media mobil\ sau aluec\toare. Coform rela]iei (.77), acest sistem este de tip FIR, cu r\spusul la impuls h, M (.8) M [i implemetarea di figura.3. Figura.3. Implemetarea erecursiv\ a uui sistem FIR petru calculul mediei mobile Rela]ia (.79) poate fi `s\ rearajat\ sub forma M x[ k] ( x x[ M ]) (.8) M M [ ] ( x x[ M ]) M Rela]ia (.79), scris\ ` forma echivalet\ (.8), poate fi implemetat\ ca ` figura.4 ` form\ recursiv\. U sistem IIR u poate fi implemetat decât recursiv, deoarece implemetarea erecursiv\ ar implica u um\r ifiit de celule de `târziere. ~ cocluzie, termeii de FIR [i IIR trebuie v\zu]i drept caracteristici geerale ale sistemelor referitoare la durata r\spusului la 63

35 impuls, ` timp ce termeii de recursiv [i erecursiv se refer\ la posibilit\]ile de implemetare ale acestora. Figura.4. Implemetarea recursiv\ a uui sistem FIR care calculeaz\ media mobil\.5. Corela]ia semalelor discrete ~ sec]iuile precedete semalele s-au presupus determiiste, adic\ fiecare valoare a secve]ei este uic determiat\ de o expresie matematic\, u tabel de atribuire sau o regul\ oarecare. ~ multe situa]ii `s\, procesele care geereaz\ semale sut mult prea complexe, astfel `cât descrierea lor este fie foarte dificil\, fie imposibil\. ~ aceste cazuri este util\ modelarea lor cu secve]e aleatoare, a c\ror caracterizare matematic\ se realizeaz\ pe baza mediilor de diferite ordie [5]. Semalele aleatoare u sut absolut sumabile sau de p\trat sumabil [i, ` coseci]\, u au trasformat\ Fourier, dar multe di propriet\]ile acestor semale pot fi descrise de fuc]iile lor de autocorela]ie sau de corela]ie, petru care trasformata Fourier exist\ adesea. Ca [i ` cazul covolu]iei, ` cazul opera]iei de corela]ie sut implicate dou\ semale. Spre deosebire de covolu]ie, scopul calcul\rii corela]iei a dou\ semale este de a ob]ie o m\sur\ a gradului ` care cele dou\ semale sut depedete [i de a extrage iforma]ii di aceast\ depede]\. Opera]ia de corela]ie este folosit\ ` cazul radarului, soarului, comuica]iilor digitale [i alte aplica]ii. Spre exemplu, se presupue c\ exist\ dou\ secve]e aleatoare x [i care trebuie comparate. ~ cazul radarului sau soarului x poate reprezeta semalul discret trasmis, iar, semalului recep]ioat. Dac\ ]ita este prezet\, semalul recep]ioat cost\ di suma ditre semalul reflectat de ]it\ [i zgomot, adic\ 64

36 a x[ D] w, (.8) ude D `târzierea itrodus\ ` semalul reflectat, a u factor de ateuare [i w[ ] zgomot aditiv. Pe de alt\ parte, dac\ u exist\ ]it\ ` spa]iul ivestigat, semalul cost\ umai di zgomot. Deoarece, ` geeral, semalul reflectat de ]it\ este "`ecat" ` zgomot, se pue problema detec]iei ]itei, adic\, de a decide, pe baza semalului recep]ioat, dac\ ]ita este sau u prezet\ [i, ` caz afirmativ, s\ se g\seasc\ `târzierea D di care se poate determia dista]a pâ\ la ]it\. Ispec]ia vizual\ a semalului u relev\ preze]a sau abse]a semalului ax[ D]. Opera]ia de corela]ie `tre semalul trasmis [i cel recep]ioat ofer\ u mijloc de a decide preze]a sau lipsa ]itei. O alt\ aplica]ie a corela]iei, `tâlit\ adesea ` comuica]iile digitale, cost\ ` detec]ia `tre dou\ alterative. ~ acest caz semalul recep]ioat este de forma xi w, i,; L (.83) ude x [i x reprezit\, de exemplu, "" logic, respectiv, "" logic. Efectuâd corela]iile semalului recep]ioat cu cele dou\ semale [i x geerate local la recep]ie, se poate lua decizia care di cele dou\ semale x sau x este prezet ` semalul recep]ioat. ~ cele ce urmeaz\ se va defii opera]ia de corela]ie [i autocorela]ie petru semale de eergie fiit\ [i petru semale de putere fiit\..5.. Corela]ia [i autocorela]ia secve]elor de eergie fiit\ Fie x [i dou\ semale de eergie fiit\. Secve]a de corela]ie ditre x[ ] [i [ ] este o secve]\ r l defiit\ cu rela]ia sau, echivalet x x l x[ ] [ l] x x [ ] r, l ; ± ; ± ;... (.84) l x[ l] [ ] r, l ; ± ; ± ;... (.85) Ordiea idicilor x [i idic\ direc]ia ` care o secve]\ este deplasat\ fa]\ de cealalt\. ~ rela]ia (.84) este edeplasat\ [i este x 65

37 deplasat\ fa]\ de x cu l uit\]i, spre dreapta petru l pozitiv [i spre stâga petru l egativ. ~ (.85) este edeplasat\ [i x este deplasat\ cu l uit\]i spre stâga petru l pozitiv [i spre dreapta, dac\ l este egativ. Deplasarea lui x spre stâga cu l uit\]i fa]\ de echivaleaz\ cu deplasarea lui spre dreapta fa]\ de x cu l uit\]i, astfel `cât l ob]iut di (.84) [i (.85) este acela[i. sau r x Dac\ se iverseaz\ rolurile lui x[ [i se ob]ie r r r x [ ] x[ l] x l [ l] x[ ] l x l [ l] x x[ ] x[ l] x[ l] x[ ] ] l (.86) r (.87) Comparâd (.84) cu (.87) sau (.85) cu (.86), rezult\ rx l rx[ l] (.88) Cu excep]ia opera]iei de reflectare, calculul corela]iei implic\ acelea[i opera]ii ca [i covolu]ia: deplasarea uei secve]e, multiplicarea [i sumarea produselor, adic\ r x [l] se ob]ie di covolu]ia r x (.89) ~ cazul particular ` care se ob]ie autocorela]ia, defiit\ ca sau, echivalet xx xx l (.9) l (.9) Di (.9) [i (.9) rezult\ r xx [l] r xx [ l], deci fuc]ia de autocorela]ie este par\. Câd se lucreaz\ cu secve]e de durat\ fiit\, evidet, sumele sut fiite, limitele de sumare fiid determiate de lugimea secve]elor implicate ` corela]ie. Petru evide]ierea uor propriet\]i ale fuc]iei de autocorela]ie [i corela]ie se presupu dou\ secve]e x [i de eergie fiit\, [i se formeaz\ combia]ia liiar\ z a x b l (.9) [ ] 66

38 Eergia semalului z este [ a x b [ l] ] a x [ ] b [ l] ab x Fie [ l] a r b r ab r l r xx Ex x xx x (.93) [i r E (.94) eergiile semalelor [i. Evidet, a rxx b r ab rx l (.95) Presupuâd b [i `mp\r]id (.93) pri b, rezult\ a a r xx rx l r (.96) b b Aceast\ rela]ie este adev\rat\ dac\ discrimiatul s\u este mai mic sau egal cu zero, adic\ r l r r (.97) x [ ] [ ] xx Di (.97) rezult\ r l r r E E (.98) x xx x x r xx l rxx Ex ~ cazul particular, rezult\ (.99) Aceasta `seam\ c\ fuc]ia de autocorela]ie `[i atige valoarea maxim\ ` origie. ~ practic\ este ueori preferabil a se ormaliza fuc]ia de corela]ie [i autocorela]ie la domeiul [, ]. Fuc]ia de corela]ie ormalizat\, umit\ ueori [i coeficiet de corela]ie, se calculeaz\ cu rela]ia rx l ρ x l (.) r r xx Fuc]ia de autocorela]ie ormalizat\, umit\ ueori [i coeficiet de autocorela]ie, se calculeaz\ cu rela]ia rxx l ρ xx l (.) r Evidet, ρ l x [i ρ l xx. 67 xx

39 .5.. Corela]ia secve]elor de putere fiit\ Fie x [i dou\ secve]e de putere fiit\. Fuc]ia lor de corela]ie este defiit\ pri rela]ia M rx l lim x [ l] (.) M M M Dac\ x [ ] [ ], se ob]ie fuc]ia de autocorela]ie M rxx l lim x x[ l] (.3) M M M Dac\, ` particular, x [i sut periodice, de perioad\ N, mediile di (.) [i (.3) sut idetice cu cele pe o perioad\ [i atuci se poate scrie x N N N N l x [ l] r (.4) xx l x x[ l] r (.5) r x Secve]ele l [i l sut periodice, de perioad\ N. Factorul r xx poate fi cosiderat factor de ormalizare. Exemplul.4. Fie secve]a x w (.6) ude x este o secve]\ periodic\ de perioad\ ecuoscut\ N, iar w zgomotul aditiv, presupus alb. Cosiderâd M e[atioae prelevate di, adic\ M, cu M >> N [i presupuâd petru < [i > M, fuc]ia de autocorela]ie petru este M l [ l] r (.7) M ~locuid (.6) ` (.7), rezult\ M r l ( x w )( x[ l] w[ l] ) rxx l rxw l rwx l rww l M (.8) 68 N

40 r xx ude l este fuc]ia de autocorela]ie a semalului x, r xw [l] [i r wx [l] fuc]iile de corela]ie ditre semal [i zgomotul aditiv, iar r ww [ l] fuc]ia de autocorela]ie a zgomotului. Deoarece x s-a presupus periodic, de perioad\ N, [i fuc]ia sa de autocorela]ie va fi periodic\, avâd maxime locale petru l, N, N,.... Fuc]iile de corela]ie r xw l [i r wx l ditre semal [i zgomot sut mici datorit\ idepede]ei ditre cele dou\ semale. Fuc]ia de autocorela]ie a zgomotului va avea u maxim ` origie tizâd apoi asimptotic la valoarea sa medie [5]. ~ cocluzie, ` (.8) este de a[teptat ca umai r xx l s\ aib\ maxime semificative petru l, ceea ce permite detec]ia semalului periodic x "`ecat" ` zgomot [i determiarea perioadei sale Corela]ia ditre itrarea [i ie[irea uui sistem ~ paragraful de fa]\ se urm\re[te ob]ierea uor rela]ii itrare ie[ire petru sisteme discrete, liiare, ivariate ` timp ` "domeiul corela]iei", deoarece semalul ob]iut la ie[irea sistemului u este arbitrar, ecorelat [i idepedet de semalul de itrare. Fie u semal x, a c\rui fuc]ie de autocorela]ie r xx l este cuoscut\, care se aplic\ la itrarea uui SDLIT caracterizat de r\spusul la impuls h. Semalul de ie[ire este h ] x[ x[ k h k] [ ] (.9) Secve]a de itercorela]ie ditre itrare [i ie[ire este r [ l] [ l] x[ l] h[ l] [ x[ l] x[ l]] h[ l] r [ l] (.) x adic\ covolu]ia ditre r\spusul la impuls al sistemului [i fuc]ia de autocorela]ie a secve]ei de itrare. Di (.88) [i (.) rezult\ r [ l] h[ l] r [ l] (.) x xx }iâd cot de (.89), (.9) [i propriet\]ile covolu]iei, fuc]ia de autocorela]ie a secve]ei de ie[ire este r[ l] [ l] [ l] [ h[ l] x[ l]] [ h[ l] x[ l]] (.) [ h[ l] h[ l]] [ x[ l] x[ l]] r [ l] r [ l] hh xx xx 69

41 Fuc]ia de autocorela]ie r hh [l] a r\spusului la impuls h exist\, dac\ sistemul este stabil. Evaluâd (.) petru l, se ob]ie eergia semalului de ie[ire cu ajutorul fuc]iilor de autocorela]ie. rhh r [ ] [ k] r [ k] (.3) xx.6. Sisteme discrete, liiare, ivariate ` timp, caracterizate de ecua]ii cu difere]e cu coeficie]i costa]i.6.. Solu]ia ecua]iei liiare cu difere]e cu coeficie]i costa]i ~ paragraful.4.3 au fost cosiderate SDLIT [i s-a ar\tat c\ acestea pot fi complet caracterizate de r\spusul lor la impuls. De asemeea, a fost prezetat\ [i o alt\ maier\ de descriere a rela]iei itrare ie[ire petru aceast\ familie de sisteme discrete, [i aume, pri ecua]ia cu difere]e exprimat\ de rela]ia N [ ] ak [ k] bk x[ M k] (.4) Dat\ fiid ecua]ia cu difere]e cu coeficie]i costa]i care caracterizeaz\ u sistem discret, liiar, ivariat ` timp, ` acest paragraf se urm\re[te a se ob]ie o expresie explicit\ petru ie[irea, pritr-o metod\ umit\ direct\. O metod\ alterativ\, umit\ idirect\, bazat\ pe folosirea trasformatei Z va fi prezetat\ ` paragraful Ca [i ` cazul ecua]iilor difere]iale liiare cu coeficie]i costa]i, o ecua]ie liiar\ cu difere]e are solu]ia [3] [ ] [ ] [ ] (.5) ude p h reprezit\ o solu]ie particular\ a ecua]iei complete, iar h solu]ia geeral\ a ecua]iei cu difere]e omogee (x[ k] petru p k, M ). Solu]ia geeral\ a ecua]iei cu difere]e omogee Pri impuerea itr\rii egal\ cu zero se ob]ie ecua]ia cu difere]e omoge\ 7

42 N k [ k] a, a (.6) Se alege o solu]ie a ecua]iei omogee de forma λ (.7) ~locuid (.7) ` (.6), se ob]ie N N N N k a λ (.8) k N sau λ ( λ a λ a λ... an λ an ) (.8') Ecua]ia (.8) sau (.8 ) se ume[te ecua]ie caracteristic\, iar poliomul di paratez\ se ume[te poliom caracteristic al sistemului, care are N r\d\cii otate λ, λ,..., λ N, care pot fi reale [i/sau complexe, disticte sau u. Dac\ coeficie]ii a,..., a N sut reali, cum se `tâmpl\ de obicei ` practic\, r\d\ciile sut fie reale, fie reale [i/sau perechi complex cojugate. Uele r\d\cii pot fi idetice, caz ` care r\d\ciile se umesc multiple. Petru `ceput `s\, se presupue c\ acestea sut disticte. Solu]ia geeral\ a ecua]iei cu difere]e omogee este [3] h c λ c λ... cn λ N (.9) ude c, c,..., c N sut coeficie]i de poderare, care se determi\ di codi]iile ii]iale specificate petru sistem. Deoarece x[ ], rela]ia (.9) poate fi folosit\ petru determiarea r\spusului de itrare zero zi al sistemului, coeficie]ii de poderare determiâdu-se di codi]iile ii]iale [ ], [ ],..., [ N]. Exemplul.5. S\ se determie r\spusul sistemului cauzal descris de ecua]ia cu difere]e omoge\ 3 [ ] 4 [ ] (.) cu codi]iile ii]iale [ ] [i [ ]. Solu]ie. Ecua]ia caracteristic\ este λ 3λ 4λ, cu r\d\ciile λ [i λ 4, astfel `cât forma geeral\ a solu]iei ecua]iei cu difere]e, omogee este h c λ c λ c ( ) c 4 (.) 7

43 Costatele c [i c se ob]i di codi]iile ii]iale [ ] [i [ ]. Di ecua]ia (.) se ob]ie 3 [ ] 4 [ ] (.) [ ] 3 [ ] 4 [ ] 3 [ ] [ ] Pe de alt\ parte, di (.) se poate scrie c c (.3) c 4c ~locuid (.3) ` (.), rezult\ 4 c [ ] [ ] c [ ] [ ] 5 5 [i r\spusul de itrare zero al sistemului va fi zi [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] 4 ; (.4) Dac\ ecua]ia caracteristic\ are r\d\cia λ multipl\ de ordi m, iar celelalte r\d\cii, λ m,..., λ N, simple, solu]ia geeral\ a ecua]iei cu difere]e omogee este [3] m h c λ c λ c3 λ... cm λ cm λ m... cn λ N. (.5) ~ cazul r\d\ciilor complex cojugate [i coeficie]ii corespuz\tori sut complex cojuga]i [i cotribu]ia acestora se combi\ `tr-o compoet\ real\. Astfel, dac\ λ p [i λ q sut cele dou\ r\d\cii complex cojugate λ p r(cosα j si α) (.6) λ r(cosα j si α) cotribu]ia lor ` r\spus este c λ c r (cosα c p q λ p q q c r q p jsi α) (cosα jsi α) ude coeficie]ii c [i c sut complex cojuga]i cu c c c. p q p q jθ jθ (.7) c ce ; c ce (.8) p q 7

44 }iâd seama de (.8), termeii di rela]ia (.7) se combi\ ` compoeta c pr (cos α j si α) cqr (cos α j si α) (.9) r ( Ak cos α Bk si α) ude Ak ccosθ (.3) Bk csi θ Dac\ ecua]ia caracteristic\ are N r\d\cii reale disticte [i (N-N )/ perechi de r\d\cii complex cojugate, solu]ia este de forma N k N N [ ] c λ r ( A cosα B si α) (.3) h k Dac\ uele r\d\cii reale sau complex cojugate sut multiple, ` r\spus apar [i termei de forma (.5). Solu]ia particular\ a ecua]iei cu difere]e Solu]ia particular\ se ob]ie presupuâd o aumit\ form\ petru aceasta, ` fuc]ie de semalul de itrare [3]. ~ tabelul. sut prezetate solu]ii particulare petru cele mai uzuale semale folosite ` practica prelucr\rii umerice a semalelor. Tabelul. k Semal de itrare x[ ] Solu]ie particular\ p [ ] A (costat) A M M M M A k k... km A ( ) M M M A k k... km k k K M A A cosω si ω δ k cosω k si ω M i N k δ[ i] i Exemplul.6. S\ se determie solu]ia particular\ a ecua]iei cu difere]e 73