Dualitatea problemelor de optimizare convex

Transcript

1 UNIVERSITATEA BABE - BOLYAI CLUJ - NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATIC I INFORMATIC Dualitatea roblemelor de otimizare covex Coductor tiiific: Prof. dr. Wolfgag Brecker Absolvet: Radu-Ioa Bo 998

2 Curis Itroducere.... Noiui itroductive.4. Fucii covexe 7 3. Fucii cojugate 3 4. Subdifereiabilitatea fuciilor Problema rimal i dual de otimizare covex Lagragea i ucte a Alicaii ale teoriei dualitii..53 Bibliografie 76

3 Itroducere Î aceast lucrare vom rezeta u riciiu foarte imortat î studiul roblemelor de otimizare covex, umit riciiul dualitii. El a fost itrodus de W.Fechel i R.T.Rockafellar i revede ataarea la o roblem de otimizare dat a uei oi robleme, umit duala acesteia. Determiarea soluiilor roblemei duale ermite î aumite codiii rezolvarea roblemei iiiale. Lucrarea de fa este structurat e ate seciui ale cror coiut este rezetat e scurt î cele ce urmeaz. Avâd u caracter relimiar, rima seciue coie oiuile i rezultatele de baz care itervi frecvet î lucrare. Se defiete oiuea de iferior semicotiuitate a uei fucii i se recizeaz termiologia utilizat. Cea de-a doua seciue examieaz uele rorieti imortate ale fuciilor covexe i iferior semicotiue. Se demostreaz teorema rivid cotiuitatea uei fucii covexe e iteriorul domeiului su efectiv i cea de caracterizare a îvelitorii suerioare a uei familii de fucii afi cotiue. Î fial se defiete regularizata iferior semicotiu i Γ-regularizata uei fucii i se stabilete legtura ditre acestea. Î cea de-a treia seciue se itroduce oiuea de cojugat a uei fucii i se demostreaz rorietile acesteia. Se defiesc cojugatele de ordi suerior i se rezit codiiile ecesare i suficiete î care o fucie coicide cu cojugata sa. Seciuea a atra este destiat subdifereiabilitii uei fucii îtr-u uct. Sut evideiate legturile ditre subdifereiala uei fucii îtr-u uct i cojugata acelei fucii. Î fialul acestei seciui este demostrat teorema de subdifereiabilitate a uei fucii covexe i cotiue îtr-u uct. Î cadrul seciuii a cicea se defiete roblema dual a uei robleme de otimizare recum i oiuile de dualitate slab i tare. Se rezit de asemeea criterii de existe a dualitii tari i legturile ditre caracteristicile de stabilitate i ormalitate

4 ale roblemei rimale. Î cazul existeei dualitii tari sut stabilite relaiile de extremalitate ditre soluiile celor dou robleme, rimal i dual. Pri defiirea Lagrageaului uei robleme de otimizare relativ la fucia erturbatoare se sugereaz, î seciuea a asea, existea uei legturi ditre oiuea de dualitate i roblemele de teorie a jocurilor. Seciuea a atea coie dou alicaii ale teoriei dualitii. Î cadrul rimeia, orid de la o roblem de otimizare covex i demostrâd existea dualitii tari ître aceast roblem i duala ei, sutem codui la biecuoscuta Teorem a lui Farkas. Pe baza acestui rocedeu se ot demostra i alte teoreme cuoscute de alterativ i se ot obie altele oi. Î cea de-a doua alicaie se trateaz dualitatea roblemelor de aroximare, aalizâdu-se i cazuri articulare ale acestora, roblema de cea mai bu aroximare covex, roblema de locaie i cea de rogramare liiar. Studiidu-se relaiile de extremalitate se obi codiiile Kolmogorov de existe a soluiilor î cazurile roblemei de cea mai bu aroximare covex i roblemei de locaie. Doresc s adresez sicere mulumiri domului rof. dr. Wolfgag Brecker etru materialul us la disoziie, îdrumrile i sugestiile oferite î elaborarea acestei lucrri. 3

5 . Noiui itroductive Fie V u saiu vectorial real. Vom defii î cele ce urmeaz câteva oiui care vor itervei e arcursul acestei lucrri. Defiiie. Fie u, v V. Se umete segmet de extremiti u i v mulimea urmtoare: [u,v] = { λu + (-λ)v λ [0,] } Mulimea { λu + (-λ)v λ [0, ) } o vom umi semidreata care leac di u i trece ri v. Defiiie. O submulime Α a lui V se umete covex dac etru orice u, v A segmetul [u,v] este iclus î A. Petru o mulime oarecare A V se umete îvelitoare covex îchis a lui A i se oteaz co A itersecia tuturor mulimilor covexe îchise di V care coi e A. Presuuâd, î cele ce urmeaz, c V este u saiu vectorial toologic vom defii iferior semicotiuitatea a uei fucii F : V R îtr-u uct u V. Fie U={ U α } α I filtrul vecitilor lui u î V. Se umete limita iferioar a lui F î u, umrul (.) lim F(v) = su if v u U U v U α α F(v). Defiiie. Fucia F : V R se umete iferior semicotiu î u V dac (.) lim v u F(v) F(u). Avâd î vedere echivalea defiiiei cu filtre cu defiiia cu iruri geeralizate avem i urmtoarea defiiie etru iferior semicotiuitatea uei fucii îtr-u uct. Defiiie. Fucia F : V R se umete iferior semicotiu î u V dac are loc (.3) lim F(x α ) F(u) xα u 4

6 etru orice ir geeralizat (x α ) α I, x α u. Î [] este dat urmtoarea caracterizare a iferior semicotiuitii uei fucii îtr-u uct. Prooziia.. Fucia F : V R este iferior semicotiu î u V dac i umai dac tru fiecare γ R care verific γ < F(u) exist o vecitate deschis U a lui u astfel îcât γ < F(v), oricare ar fi v U. Defiiie. Fucia F : V R se umete suerior semicotiu î u V dac -F este iferior semicotiu î u V. Defiiie. Fucia F : V R se umete iferior (resectiv suerior) semicotiu e A V dac este iferior (resectiv suerior) semicotiu î fiecare uct di A. Defiiie. Hierlaul H = { u V (u) = α }, ude α R i este o fucioal eul di V*, sear mulimile U i U di V dac (.4) u U, (u) α i v U, (u) α i sear strict mulimile U i U di V dac (.5) u U, (u) < α i v U, (u) > α. Î cotiuare vom reamiti dou bie cuoscute teoreme de searare a mulimilor covexe. Demostraiile lor se gsesc î [4]. Teorema.. Dac V este u saiu vectorial toologic real, U este o submulime deschis, covex i evid a lui V, iar U este o submulime covex a lui V astfel îcât U U =, atuci U i U ot fi searate ritr-u hierla îchis di V. Teorema.3. Dac V este u saiu local covex real, U i U sut dou submulimi disjucte i covexe ale lui V, astfel îcât ua s fie îchis i cealalt comact, atuci exist u hierla îchis di V care le sear strict. Dac V este u saiu local covex Hausdorff, Teorema.3 e asigur existea uei fucioale liiare i cotiue, eule, defiit e V cu valori î R. Vom ota cu V* dualul algebrico-toologic al saiului vectorial toologic real V, rerezetâd saiul fucioalelor liiare i cotiue defiite e V. Dac u V i u * V * valoarea fucioalei u * î u se va ota <u *, u>. 5

7 Putem defii o fucioal biliiar e V V*, de forma (u,u*) <u, u*>. Aceast fucie biliiar oate rerezeta o familie de fucioale liiare deizâd de arametrul u* V* defiite V sau o familie de fucioale liiare deizâd de arametrul u V defiite e V*. Ultima remarc e arat c V i V* joac roluri simetrice fa de fucioala biliiar <, >. Putem cosidera V* ca saiu vectorial al fucioalelor liiare defiite e V i uctul u* V* îl utem idetifica cu fucia u <u,u*>, resectiv, utem cosidera V ca saiu vectorial al fucioalelor defiite e V* iar uctul u V îl utem idetifica cu fucia u* <u, u*>. Se va umi toologie slab e V, toologia idus de V* i otat σ(v,v*) iar toologie slab e V*, toologia idus de V i otat σ(v*,v). Dac V este u saiu local covex Hausdorff, toologia slab σ(v,v*) este o toolgie de saiu local covex searat fiid cea mai fi toologie e V cu aceast rorietate. Dac e arcursul lucrrii V va fi cosiderat saiu local covex se va resuue c este i Hausdorff. 6

8 . Fucii covexe Î cele ce urmeaz vom cosidera V u saiu vectorial real, A V o submulime evid i fucii defiite e mulimea A cu valori î R, ude R = R {, + }. Defiiie. Fie A V o submulime evid, covex i F : A R. Fucia F se umete covex dac etru fiecare u, v A i fiecare λ (0,) are loc (.) F( λu + (-λ)v ) λf(u) + (-λ)f(v), atuci câd exresia di membrul dret este defiit. F se umete cocav dac -F este covex. Observaia.. Relaia (.) u are exresia di membrul dret defiit atuci câd F(u)= -F(v) = ±. Petru caracterizarea uei fucii covexe s-a dat urmtoarea teorem [8]. Teorema.. Fie A V o submulime evid, covex i F : A R. Fucia F este covex dac i umai dac oricare ar fi umr atural, oricare ar fi u,u,...,u A i oricare ar fi λ, λ,...,λ R + astfel îcât (.) F( Σ λ i u i ) Σ λ i = are loc Σ λ i F(u i ), atuci câd exresia di membrul dret este defiit. Dac F : V R este o fucie covex, atuci etru fiecare a R mulimile { u F(u) a } i { u F(u) < a} sut mulimi covexe. Observaia.. Cosiderm fucia F : R R, defiit ri F(u) = 3 u. Petru fiecare a R, mulimile { u R F(u) a } i { u R F(u) < a} sut covexe, dar fucia F u e covex. Aadar, reciroca afirmaiei aterioare u este adevrat. Defiiie. Petru orice fucie F : V R mulimea (.3) domf = { u V F(u) < + } 7

9 se umete domeiul efectiv al lui F. Domeiul efectiv al uei fucii covexe F : V R este o mulime covex. Cosiderâd o fucie F : A R, ude A V este evid, îi utem asocia fucia ~ F : V R, defiit ri (.4) ~ F (u) = Prooziia.. Fucia F( u), daca u A +, daca u A mulime covex i F : A R este fucie covex. ~ F :V R este covex dac i umai dac A V este Demostraie. Necesitatea. Fie u, v A i λ (0,). F ~ fiid covex rezult c ~ F ( λu + (-λ)v) λ F ~ (u) + (-λ) F ~ (v) = λ F(u) + (-λ) F(v). Dac λu + (-λ)v A rezult c ~ F ( λu + (-λ)v) = + ceea ce cotrazice relaia aterioar. Trebuie aadar ca etru fiecare u, v A i fiecare λ (0,) s aib loc + (-λ)v A, ceea ce îseam c A este mulime covex. Petru u, v A i λ (0,) rezult c λu + (-λ)v A i are loc relaia λu F( λu + (-λ)v) = ~ F ( λu + (-λ)v) λ ~ F (u) + (-λ) ~ F (v) = λ F(u) + (-λ) F(v), ceea ce îseam c F este fucie covex. Suficiea. Fie u, v V i λ (0,). Dac u i v aari lui A atuci ~ λu +(-λ)v A i are loc F (λu + (-λ)v) = F( λu + (-λ)v) λf(u) + (-λ)f(v) = λ ~ F (u) + (-λ) ~ F (v). Dac cel ui uul di uctele u i v u aarie lui A atuci λ F ~ (u) + (-λ) F ~ ~ (v) = + i are loc relaia F ( λu + (-λ)v) λ F ~ (u) + (-λ) F ~ (v) ceea ce e asigur c ~ F este fucie covex. saiul V. Pe baza rooziiei aterioare utem cosidera fuciile covexe defiite e tot Defiiie. Numim fucie idicatoare a mulimii A V fucia χ A : V defiit ri 0, daca u A (.5) χ A (u) = +, daca u A R 8

10 covex. Prooziia.3. Mulimea A este covex dac i umai dac χ A este o fucie Demostraie. Necesitatea. Pe baza relaiei (.) va trebui s artm c oricare ar fi u, v V i oricare ar fi λ (0,) are loc : χ A ( λu + (-λ)v) λχ A (u) + (-λ)χ A (v). Dac u A i v A atuci λu + (-λ)v A i χ A (u) = 0 i χ A (v) = 0, relaia are loc. χ A ( λu + (-λ)v) = 0. Datorit fatului c Dac cel ui uul ditre uctele u i v u aarie lui A, atuci λχ A (u) + (-λ) χ A (v) = + iar relaia are loc i î acest caz, ceea ce e asigur c χ A este fucie covex. Suficiea. Fie u, v A i λ (0,). Di fatul c χ A este fucie covex rezult c χ A ( λu + (-λ)v) λχ A (u) + (-λ)χ A (v) = 0 ceea ce imlic c χ A ( λu + (-λ)v) = 0, echivalet cu λu + (-λ)v A. Aadar mulimea A este o mulime covex. Pe baza rooziiei aterioare, studiul mulimilor covexe se reduce la studiul fuciilor covexe. Î cotiuare vom aaliza fuciile covexe care ot lua valoarea -. Prooziia.4. Fie F : V R o fucie covex. Dac exist u V astfel îcât F(u) = -, atuci e orice semidreat di V care leac di u fucia F este idetic + sau exist u uct v e acea semidreat astfel îcât ître u i v fucia F s ia valoarea - iar de la v îcolo s ia valoarea +. Demostraie. Cosiderm o semidreat oarecare di V care leac di u i resuuem c exist e aceast semidreat u uct v astfel îcât F(v) > -. Alegem u uct arbitrar w [u, v], w u i w v. Exist atuci λ (0,) astfel îcât w = (-λ)u + λv. Pe baza relaiei (.) obiem c = F( λv + (-λ)u ) λf(v) + (-λ)f(u) = - ceea ce imlic c F(w) = -. F(w) Alegem acum u uct arbitrar w e semidreata care leac di u i trece ri v astfel îcât w [u, v ]. Presuuem c F(w ) < +. Rezult î acest caz c v [u, w ] i exist, aadar, λ (0, ) astfel îct v = (- λ)u + λw. Pe baza relaiei (.) are loc F(v) = F( λw + (-λ)u ) λf(w ) + (-λ)f(u) = -. Puctul v a fost ales astfel îct F(v) > -, ceea ce e coduce la cotradicie. Petru fiecare uct w ales î modul de mai sus are loc F(w ) = +. 9

11 Defiiie. Desre o fucie covex F : V R suem c este rorie dac u ia î ici u uct valoarea - i u este idetic +. Defiiie. Numim eigraf al uei fucii F : V R mulimea (.6) eif = { ( u, a) V R F(u) a } Observaia.3. Eigraful rerezit mulimea uctelor di V R situate deasura graficului lui F. Proiecia mulimii eif e V este domf. Imortaa eigrafului î studiul fuciilor covexe este dat de urmtorul rezultat. Teorema.5. Fucia F : V R este covex dac i umai dac eif este o mulime covex. Demostraie. Necesitatea. Fie (u, a) i (v, b) dou ucte arbitrare di eif i λ arbitrar di (0, ). Se obie atuci F( λu + (-λ)v ) λf(u) + (-λ)f(v) λa + (-λ)b ceea ce imlic c ( λu + (-λ)v, λa + (-λ)b ) eif echivalet cu λ(u,a) + (-λ)(v,b) eif. Aadar, eif este mulime covex. Suficiea. Cosiderm u i v arbitrare di V i λ (0, ). Vom arta c are loc relaia (.). Dac cel ui uul ditre uctele u i v u aari lui domf, relaia (.) este adevrat. Fie acum u, v domf. Exist aadar a, b R astfel îcât F(u) a i F(v) b, echivalet cu (u, a), (v, b) eif. Di fatul c eif este mulime covex rezult c λ(u,a) + (-λ)(v,b) eif ( λu + (-λ)v, λa + (-λ)b ) eif. Se obie ri urmare c F( λu + (-λ)v) λa + (-λ)b. Dac F(u) i F(v) sut fiite utem cosidera a = F(u) i b = F(v) ceea ce e asigur c relaia (.) are loc. Dac cel ui ua di valorile F(u) i F(v) este -, î relaia aterioar utem face e a sau e b s tid la - i rezult atuci c F( λu + (-λ)v) = -. Acest lucru face ca relaia (.) s fie adevrat. Urmtoarea rooziie e ofer câteva rorieti imortate ale fuciilor covexe, rimele dou afirmaii artâd c mulimea fuciilor covexe este u co covex. Demostraia acestei rooziii se gsete î [6]. 0

12 Prooziia.6. Sut adevrate urmtoarele afirmaii: (i) Dac fucia F : V R este covex i α 0, atuci fucia αf este de asemeea fucie covex. (ii) Dac fuciile F : V R i G : V R sut covexe, atuci fucia F + G este de asemeea o fucie covex. Î cazul î care F(u) = G(u) = ± defiim (F + G )(u) = +. (iii) Dac (F i ) i I este o familie de fucii covexe, F i : V R (i I), atuci fucia F : V R defiit ri F(u) = su { F i (u) i I } este, de asemeea, o fucie covex. Defiiie. Fie A V o submulime evid, covex i F : A R. Fucia F se umete strict covex dac, etru fiecare u, v A, u v i fiecare λ (0,), are loc (.7) F( λu + (-λ)v ) < λf(u) + (-λ)f(v). Î cotiuare vom studia câteva rorieti ale fuciilor iferior semicotiue cosiderd V u saiu vectorial toologic. Prooziia.7. Fucia F : V R este iferior semicotiu e V dac i umai dac oricare ar fi a R mulimea { u V F(u) a } este îchis. Demostraie. Necesitatea. Fie a R. Vom arta c mulimea G = {u V F(u) > a } este deschis. Cosiderm u 0 u uct arbitrar di G. Di Prooziia. rezult c exist o vecitate deschis U a lui u 0 î V astfel îcât etru fiecare v U are loc F(v) > a. Se obie aadar o vecitate deschis a lui u 0 iclus î G, ceea ce îseam c mulimea G este deschis. Suficiea. Vom arta c F este iferior semicotiu î fiecare uct di V. Alegem u 0 arbitrar di V i a u umr real astfel îcât F(u 0 ) > a. Rezult atuci c u 0 { u V F(u) > a } care e baza iotezei este mulime deschis. Exist o vecitate deschis U a lui u 0 astfel îcât U { u V F(u) > a }. Oricare ar fi atuci u U are loc F(u) > a ceea ce coform Prooziiei. imlic c fucia F este iferior semicotiu î u 0.

13 Observaia.4. Cosiderâd fucia idicatoare a uei mulimi oarecare A V, e baza Prooziiei.7, rezult c χ A este iferior semicotiu dac i umai dac oricare ar fi a R mulimea { u V χ A (u) a } este îchis. Mulimea { u V χ A (u) a } este mulimea dac a < 0 i este mulimea A dac a 0. Rezult c χ A este iferior semicotiu dac i umai dac mulimea A este îchis. Observaia.5. Pe baza Prooziiei.7 mai rezult c χ A este suerior semicotiu dac i umai dac mulimea A este deschis. Teorema.8. Fucia F : V R este iferior semicotiu e V dac i umai dac eigraful su este o mulime îchis. Demostraie. Cosiderm fucia Φ : V R R, defiit ri Φ(u, a) = F(u) - a. Vom arta etru îceut c F este iferior semicotiu e V dac i umai dac Φ este iferior semicotiu e V R. Presuuem c F este iferior semicotiu e V i alegem arbitrar (u 0, a 0 ) V R i γ R astfel îcât Φ(u 0, a 0 ) > γ, echivalet cu F(u 0 ) > a 0 + γ. Exist atuci ε > 0 astfel îcât F(u 0 ) > a 0 + γ + ε > a 0 + γ. F fiid iferior semicotiu î u 0 rezult c exist o vecitate deschis U a lui u 0 astfel îcât oricare ar fi u U, F(u) > a 0 + γ + ε. Mulimea W= U ( a 0 - ε, a 0 + ε ) este o vecitate deschis a lui (u 0, a 0 ) î V R i etru orice (u, a) W are loc Φ(u,a) = F(u) - a > a 0 + γ + ε - a > γ, ceea ce coform Prooziiei. imlic c Φ este iferior semicotiu î (u 0, a 0 ). Cum (u 0, a 0 ) a fost ales arbitrar rezult c Φ este iferior semicotiu e V R. S resuuem, acum, c Φ este iferior semicotiu e V R i s cosiderm, arbitrar, u 0 V i γ 0 R astfel îcât F(u 0 ) > γ 0, echivalet cu Φ(u 0, γ 0 ) = F(u 0 ) - γ 0 > 0. Φ fiid iferior semicotiu î (u 0, γ 0 ) rezult c exist W o vecitate deschis a lui (u 0, γ 0 ) î V R astfel îcât oricare ar fi (u, γ) W, Φ(u, γ) > 0. Exist atuci U o vecitate deschis a lui u 0 î V i U o vecitate deschis a lui γ 0 î R astfel îcât U U V. Î coseci, etru fiecare u U i etru fiecare γ U are loc Φ(u, γ) >0. Alegâd γ = γ 0 obiem, etru fiecare u U, F(u) - γ 0 = Φ(u, γ 0 ) >0, echivalet cu fatul c, oricare ar fi u U, F(u) > γ 0. Coform Prooziiei. acest lucru imlic c F este iferior

14 semicotiu î u 0 iar di fatul c u 0 a fost ales arbitrar rezult c F este iferior semicotiu e V. Reveim acum la demostraia roriu-zis a teoremei. Necesitatea. Dac F este iferior semicotiu rezult c i Φ este iferior semicotiu iar coform Prooziiei.7 etru fiecare r R mulimea {(u,a) V R Φ(u, a) r} este îchis. Petru r = 0 se obie c mulimea eif = {(u,a) V R F(u) a} = {(u,a) V R Φ(u, a) 0 } este îchis. Suficiea. Vom arta c etru fiecare r R mulimea {(u,a) V R Φ(u,a) r} este îchis ceea ce e baza Prooziiei.7 este echivalet cu fatul c Φ este iferior semicotiu. Are loc urmtoarea relaie { (u, a) V R Φ(u, a) r } = { (u, a) V R F(u) a + r } = {(u, q) V R F(u) q} + {(0, -r)}. Mulimea eif fiid îchis rezult c i eif + {(0, -r)} este îchis [4], de ude rezult c mulimea {(u,a) V R Φ(u, a) r } este îchis. Prooziia.9. Orice fucie F : V R covex i iferior semicotiu rmâe iferior semicotiu atuci câd toologia lui V este îlocuit cu toologia slab σ(v,v*). Demostraie. Coform Teoremei.5 i Teoremei.8 rezult c eif este o mulime covex i îchis. Î [8] se arat c o mulime covex i îchis este slab îchis. Rezult aadar e baza Teoremei.8 c fucia F este iferior semicotiu î toologia slab σ(v, V*). Rezultatul urmtor este uul foarte imortat î cazul fuciilor imrorii. Prooziia.0. Dac V este u saiu local covex real iar F : V R o fucie covex i iferior semicotiu astfel îcât F s ia valoarea - atuci F u oate lua alt valoare fiit. Demostraie. S resuuem c exist u 0 V astfel îct F(u 0 ) R i s alegem e a 0 R astfel îcât a 0 < F(u 0 ). Î acest caz, (u 0, a 0 ) eif care e baza Teoremelor.5 i.8 este o mulime covex i îchis. Alicâd Teorema.3 rezult c exist o fucioal liiar i cotiu v* ( V R )* \ {0} astfel îcât v*(u 0, a 0 ) < v*(u, a), 3

15 oricare ar fi (u,a) eif. Exist, aadar, u* V* i r R, u* 0, astfel îcât v*(u,a) = u*(u) + ra. Acest lucru e coduce la fatul c, etru fiecare (u,a ) eif, are loc relaia u*(u 0 ) + ra 0 < u*(u) + ra. Di (u 0, F(u 0 )) eif se obie c r(f(u 0 )-a 0 ) > 0, ceea ce coform alegerii lui a 0 imlic c r > 0. Se obie, etru fiecare (u, a) ei F, r u*(u 0 - u) + a 0 < a. Petru fiecare u V, (u, F(u)) eif i rezult r u*(u 0 - u) + a 0 < F(u). Aceast ultim relaie u oate fi adevrat deoarece membrul stâg este este tot fiit î tim ce membrul dret ia î cel ui u uct valoarea -. Urmtoarele rooziii studiaz cotiuitatea fuciilor covexe. Prooziia.. Dac fucia covex F : V R este mrgiit suerior de o costat fiit e o vecitate deschis a uui uct u 0 V atuci F este cotiu î u 0. Demostraie. Vom trata îtîi cazul u 0 = 0 i F(0) = 0. Fie a R i U o vecitate deschis a lui 0 astfel îcât oricare ar fi u U, F(u) a < +. Fie ε > 0. Fr a restrâge geeralitatea utem cosidera ε (0, a). Notm W = U (-U) i W = Dac v W imlic c este covex are loc relaia ε W, care este tot o vecitate deschis a lui 0. a F(v) = F( ( - F fiid mrgiit suerior rezult c F(v) a ε v U i iâd cot de fatul c 0 < ε a < i c F ε a )0 + ε a ( a ε v)) ( - ε a )F(0) + ε a F( a ε v) ε a a = ε < ε. Alegâd di ou v W imlic c fatul c F este o fucie covex se obie a ε v -U - a ε v U i iâd cot de 4

16 F(0) = F( + ε a v + ε a ε + a (- a ε v)) + ε a F(v) + Alicâd di ou fatul c F este mrgiit suerior rezult F(v) ( + ε a )F(0) - ε a ε a ε + a F(- a ε v) - ε > - ε. F(- a ε v). S-a obiut, deci, o vecitate deschis W a lui 0 astfel îcât oricare ar fi v W s aib loc F(v) < ε, ceea ce asigur cotiuitatea lui F î 0. Cosiderm cazul u 0 = 0 i F(0) = c, c R. Fie a R i U o vecitate deschis a lui 0 astfel îcât oricare ar fi u U, F(u) a < +. Defiim fucia G : V R, G(u) = F(u) - c. Fucia G este covex i verific G(0) = 0. De asemeea oricare ar fi u U, G(u) = F(u) - c a - c. Coform etaei aterioare fucia G este cotiu î 0, ceea ce face ca i F s fie cotiu î 0. Cosiderm cazul cel mai geeral câd u 0 V este oarecare i fie a R i U o vecitate deschis a lui u 0 astfel îcât oricare ar fi u U, F(u) a < +. Defiim fucia G : V R, G(v) = F(v + u 0 ) i cosiderm mulimea U = U - u 0 care este o vecitate deschis a lui 0. G este o fucie covex i etru fiecare u U, u = u - u 0, ude u U are loc relaia G(u ) = F(u) < a. Fucia G este mrgiit suerior e o vecitate deschis a origiii i coform etaei aterioare G este cotiu î origie.avâd î vedere fatul c G(0) = F(u 0 ) rezult c F este cotiu î u 0. echivalete: Teorema.. Fie F : V R o fucie covex. Urmtoarele afirmaii sut (i) exist o mulime deschis, evid O V astfel îcât fucia F s u fie costat - e O i s fie mrgiit suerior e O de o costat a < +. (ii) F este o fucie rorie i cotiu e iteriorul domeiului su efectiv care este o mulime evid. 5

17 Demostraie. (i)(ii) Oricare ar fi u O, F(u) a, ceea ce imlic c O domf. Rezult atuci c O it O it domf iar di fatul c O se obie c it domf. Vom arta c fucia F este rorie. Di iotez rezult c exist u 0 O astfel îcât F(u 0 ) > -. Mulimea O este o vecitate deschis a lui u 0 i, oricare ar fi u O, F(u) a. Di Prooziia. rezult c F este cotiu î u 0. Exist atuci o vecitate deschis U a lui u 0 astfel îcât, oricare ar fi u U, F(u) > -. Presuuem c exist u uct v 0 V astfel îcât F(v 0 ) = -. Coform Prooziiei.4 se obie c, etru fiecare w [v 0, u 0 ), F(w) = -. Îs, [v 0, u 0 ) U i exist aadar u uct w [v 0, u 0 ) U. Îseam c F(w ) = -, ceea ce este cotradicie cu fatul c w U. Am obiut c etru fiecare v V, F(v) > - i datorit fatului c, oricare ar fi u O, F(u) < a rezult c F este fucie rorie. Vom arta acum c F este cotiu e it domf. Cosiderm v 0 it dom F, u uct arbitrar. Datorit fatului c u 0 O it domf rezult c exist u umr real λ > astfel îcât w 0 = (- λ)u 0 + λv 0 it domf. Defiim fucia h : O h(o), h(u) = (- λ )u + λ w 0 Are loc relaia h(u 0 ) = (- λ )u 0 + λ w 0 = v 0, ceea ce îseam c v 0 h(o). O fiid mulime deschis i - λ fiid eul rezult c (- )O este deschis i, de λ asemeea, rezult c h(o) = (- λ )O + λ w 0 este mulime deschis ([0]). h(o) este atuci vecitate deschis a lui v 0. Alegâd u uct arbitrar v h(o) rezult c exist u O astfel îcât h(u ) = v, echivalet cu (- λ )u + λ w 0 = v.avem aadar urmtoarea relaie F(v ) = F ((- λ )u + λ w 0) λ F(u ) + λ λ F(w 0) λ a + λ λ F(w 0). 6

18 Fucia F este mrgiit suerior e o vecitate deschis h(o) a lui v 0 iar e baza Prooziiei. acest lucru imlic c F este cotiu î v 0. (ii)(i) Datorit fatului c it domf rezult c exist u 0 it domf i exist a 0 umr real astfel îcât F(u 0 ) < a 0. Fucia F fiid rorie rezult c F(u 0 ) > -. Di cotiuitatea fuciei F î u 0 rezult c exist o vecitate deschis U a lui u 0 astfel îcât, etru fiecare u U, s aib loc F(u) < a 0. Aadar, U este o mulime deschis i evid e care F este mrgiit suerior iar di fatul c F este fucie rorie rezult c u oate fi costat - e U. Î cele ce urmeaz vom defii i studia dou oiui imortate, regularizata iferior semicotiu i Γ- regularizata uei fucii. Petru îceut vom face observaia c, fiid dat o familie de fucii iferior semicotiue F i : V R (i I), fucia F : V R, defiit ri F(u) = su { F i (u) i I} este de asemeea iferior semicotiu []. Acest lucru e coduce la urmtoarea defiiie. Defiiie. Fiid dat o fucie F : V R, se umete regularizata iferior semicotiu a lui F, otat F, cea mai mare fucie iferior semicotiu care o mioreaz e F. Existea regularizatei iferior semicotiue e este asigurat de observaia aterioar, rooziia de mai jos fiid o caracterizare a acestei fucii. Prooziia.3. Fie F : V R o fucie i F regularizata sa iferior semicotiu. Au loc egalitile urmtoare: (.8) ei F = eif (.9) lim v u F(v) = F (u), oricare ar fi u V. Demostraie. Oricare ar fi v V, are loc F (v) F(v), ceea ce imlic c eif = {(u,a) F (u) a} ei F = {(u,a) F (u) a}. Rezult de aici c eif eif. F fiid o fucie iferior semicotiu rezult, coform Teoremei.8, c ei F este o mulime îchis i se obie î cele di urm 7

19 eif ei F = eif. Petru a demostra icluziuea ivers vom arta c exist o fucie G : V R astfel îcât eig = eif. Fie (u,a) eif. Exist atuci u ir geeralizat (u α, a α ) α I eif care coverge la (u, a). Oricare ar fi b u umr real, b > a exist u α 0 I astfel îcât, etru fiecare α α 0, s aib loc a α b. Petru fiecare α α 0 avem îs c (u α, a α ) eif, ceea ce imlic c F(u α ) a α b. Se obie aadar c, oricare ar fi α α 0, (u α, b) eif i trecâd la limit rezult c (u, b) eif. Am artat deci c itersecia lui eif cu dreata {u} R este mulimea vid sau o mulime îchis {u} [a, + ). Costruim atuci fucia G : V R defiit astfel G(u) = +, dac eif ({u} R) = i G(u) = a, î caz cotrar. Vom arta c eig = eif. Alegâd (u, b) eig, imlic c G(u) b, ceea ce coform defiiiei lui G îseam c (u, b) eif. Se obie aadar c eig eif. Fie acum (u, b) eif. eif ({u} R) fiid evid rezult, coform defiiiei lui G, c G(u) b, echivalet cu (u,b) eig. Are loc i relaia ivers eif eig, ceea ce imlic c eif = eig. Mulimea eig este atuci îchis i coform Teoremei.8 rezult c fucia G este iferior semicotiu. Oricare ar fi u V, (u, F(u)) eif eif = eig, ceea ce imlic c G(u) F(u). Fucia G este, deci, u miorat iferior semicotiu a lui F i are loc relaia G F, care imlic c ei F eig. Am obiut, î cocluzie, i relaia ivers ei F eif ceea ce îseam c relaia (.8) este adevrat. Vom demostra î cotiuare c i relaia (.9) este adevrat. Fie u V arbitrar, i U = { U α } α I filtrul vecitilor lui u. Coform relaiei (.) avem lim v u F(v) = su if U U v U α α F(v). Oricare ar fi v V, F (v) F(v) i iâd cot de fatul c F este iferior semicotiu are loc 8

20 lim v u F(v) lim F (v) F (u) v u S resuuem ri absurd c lim v u F(v) > F (u). Rezult c exist o vecitate deschis U α U a lui u, astfel îcât if v U α F(v) > F (u). Notm m = if v U α F(v). Are loc relaia F (u) < m + F ( u) < m. Alegem e ε > 0 astfel îcât F (u) < m + F ( u) - ε < m + F ( u) < m + F ( u) + ε < m. Di fatul c (u, m + F ( u) ) ei F, coform relaiei (.8), obiem c (u, m + F ( u) ) eif, ceea ce imlic c oricare ar fi W o vecitate deschis a lui (u, m + F ( u) ), W eif. Mulimea W = U α ( m + F ( u) - ε, m + F ( u) (u, m + F ( u) ). Oricare ar fi (w, c) W avem c F(w) if F(v) = m > m + F ( u) v U α + ε) este o vecitate deschis a lui + ε > c ceea ce imlic c (w, c) eif.obiem c W eif =, ceea ce e coduce la cotradicie. Rezult c relaia lim F(v) = F (u) are loc. v u Defiiie. Fie V u saiu local covex. Se umete fucie afi cotiu e V o fucie F : V R de tiul F(v) = (v) + α, ude este o fucie liiar i cotiu di V*, iar α este u umr real. Defiiie. Se oteaz Γ( V ) mulimea fuciilor F : V R care sut îvelitoare suerioar a uei familii oarecare de fucii afi cotiue. Vom ota Γ 0 (V) mulimea fuciilor F Γ(V) diferite de costatele + i -. Teorema urmtoare a fost rezetat î [6]. 9

21 Teorema.4. Urmtoarele afirmaii sut echivalete: (i) F Γ(V). (ii) F : V R este fucie covex, iferior semicotiu i dac ia îtr-u uct valoarea - este idetic -. Demostraie. (i) (ii) Dac F Γ(V) imlic c F este fucie covex i iferior semicotiu. Fie u V astfel îcât F(u) = -. Î acest caz familia de fucii a crei îvelitoare suerioar este F este, ceea ce imlic c etru fiecare u V are loc F(u) = -. (ii) (i) Cosiderm F : V R o fucie covex i iferior semicotiu astfel îcât oricare ar fi u V, F(u) > -. Dac F este costat +, ea este îvelitoarea suerioar a familiei tuturor fuciilor afi cotiue defiite e V cu valori î R, deci F Γ(V). Dac F Γ 0 (V) vom arta c, oricare ar fi u 0 V i oricare ar fi a 0 R astfel îcât a 0 < F(u 0 ), exist o fucie afi cotiu defiit e V cu valori î R a crei valoare î uctul u 0 este curis ître a 0 i F(u 0 ). Acest lucru e va asigura c F este îvelitoarea suerioar a acestei familii de fucii. Teoremele.5 i.8 e asigur c mulimea eif este covex i îchis iar (u 0, a 0 ) eif. Coform Teoremei.3 utem seara strict e (u 0, a 0 ) de eif ritr-u hierla H={ (u, a) V R u*(u) + αa = β }, ude u* V*, u* 0, α, β R. Oricare ar fi (u, a) eif, are loc u*(u) + αa > β i mai avem c u*(u 0 ) + αa 0 < β. Dac F(u 0 ) < +, rezult c (u 0, F(u 0 )) eif i de aici se obie α( F(u 0 )- a 0 ) > 0. Avâd î vedere modul î care au fost alei u 0 i a 0 imlic c α > 0. Rezult aadar a 0 < β α - α u*(u 0) < F(u 0 ). Am gsit fucia afi cotiu β α - u* cu rorietatea cutat. α 0

22 Aalizm cazul î care F(u 0 ) = +. Dac α 0 gsirea fuciei afi cotiue se realizeaz ca i î cazul recedet. Dac α = 0 obiem oricare ar fi u domf, u*(u) > β i u*(u 0 ) < β. Fucia g : V R, defiit ri g(u) = β - u*(u), are rorietile c, oricare ar fi u domf, g(u) < 0 i g(u 0 ) > 0. Fie γ - v*( ) u miorat afi cotiuu al lui F. Rezult atuci c, oricare ar fi c > 0, fucia γ - v*( ) + cg( ) este u miorat afi cotiuu al lui F. Putem alege, î cocluzie, u c 0, coveabil, astfel îcât γ - v*(u 0 ) + c 0 g(u 0 ) = γ - v*(u 0 ) + c 0 (β - u*(u 0 ) ) > a 0 Vom defii î cotiuare oiuea de Γ-regularizat a uei fucii, avâd la baz rooziia urmtoare. Prooziia.5. Cosiderm dou fucii F, G: V R. Urmtoarele afirmaii sut echivalete: (i) G este îvelitoarea suerioar a miorailor afi cotiui ai lui F (ii) G este cea mai mare fucie di Γ( V ), miorat a lui F Fucia G se umete Γ- regularizata lui F. Demostraie. Fie G îvelitoarea suerioar a miorailor afi cotiui ai lui F i G îvelitoarea suerioar a fuciilor di Γ(V), miorai ai lui F. Rezult c G Γ(V) care imlic c G G. Reciroc, toi mioraii afi cotiui ai lui G sut fucii di Γ(V) i,î lus, miorai ai lui F. Obiem, ri urmare, c mioraii afi cotiui ai lui G sut miorai afi cotiui ai lui G, ceea ce imlic c are loc i relaia ivers G G. Urmtoarea rooziie a crei demostraie se gsete î [6] rerezit o caracterizare a eigrafului Γ-regularizatei uei fucii. Prooziia.6. Fie F : V R o fucie i G Γ-regularizata sa. Dac F admite u miorat afi cotiuu, atuci are loc relaia eig = co eif. Observaia.6. Dac A V atuci e baza Prooziiei.6 se arat c Γ-regularizata fuciei idicatoare χ A este fuciaχ. coa

23 Î îcheierea acestei seciui vom rezeta relaia care exist ître o fucie, regularizata sa iferior semicotiu i Γ-regularizata sa. Prooziia.7. Fie F : V R o fucie i G afirmaii sut adevrate: (i) G F F Γ-regularizata sa. Urmtoarele (ii) Dac F este fucie covex i osed u miorat afi cotiuu, atuci F =G. Demostraie. (i) Coform defiiiei lui F avem c F F. G fiid Γ-regularizata lui F imlic c G F ceea ce îseam c eif eig. Obiem, aadar, c eif eig. Fucia G Γ(V), ceea ce îseam c G este cotiu i, e baza Teoremei.8, rezult c eig = eig. Coform Prooziiei.3 rezult c eif = ei F obiâdu-se aadar c ei F eig. Oricare ar fi u V, (u, F (u)) ei F, ceea ce imlic c (u, F (u)) eig. Obiem, î fial, c oricare ar fi u V, G(u) F (u), echivalet cu G F. (ii) Datorit fatului c F osed u miorat afi cotiuu rezult, e baza Prooziiei.6, c eig = co eif. Fucia F fiid covex imlic di, Teorema.5, c are eigraful covex i obiem c eig = eif = ei F. Oricare ar fi u V, (u, G(u)) eig = ei F ceea ce imlic c, oricare ar fi u V, F (u) G(u), echivalet cu F G. La uctul aterior am artat c are loc i relaia ivers G F. Î fial se obie c F = G.

24 3. Fucii cojugate Î cotiuare vom resuue c V este u saiu local covex, iar V* dualul su algebrico-toologic. Cele dou saii vor fi cosiderate î dualitate ri fucia biliiar <, >. Fie fucia F : V R, α u umr real i u* V*. Fucia : V R defiit ri (u) = < u*, u> + α mioreaz e F dac i umai dac, oricare ar fi u V, are loc (u) F(u), ceea ce este echivalet cu (3.) < u*, u> - F(u) α, oricare ar fi u V. Fucia este u miorat afi cotiuu al lui F i, cosiderâd mulimea tuturor miorailor afii cotiui ai lui F, aceasta e coduce la urmtoarea defiiie dat de W. Fechel [ 7]. Defiiie. Fie fucia F : V R. Numim fucie cojugat a lui F fucia F *: V* R defiit ri (3.) F*(u*) = su { < u*, u> - F(u)}. Pe baza relaiei (3.) rezult c F*(u*) α. Observaia 3.. Cu ajutorul relaiei (3.) vom da o iterretare grafic oiuii de cojugat a uei fucii î cazul V = R. Fie F : R R fucia rerezetat grafic î Fig.. Cojugata ei va fi F* : R R, ude am idetificat e R* cu R. Cosiderm e u* R, fixat. Atuci, -F*(u*) = if { F(u) - < u*, u>}. Aadar, oricare ar fi u V, avem c u V -F*(u*) F(u) - < u*, u> = F(u) - u* u. Petru fiecare u R, F(u) - u* u rerezit lugimea segmetului de e dreata {u} R curis ître graficele fuciei F i a fuciei liiare : R R, defiit ri (u) = u* u. Cosiderâd lugimea miim a acestor segmete se obie chiar valoarea lui - F*(u*). 3

25 R F l -F*(u*) 0 u R Fig. Observaia 3.. Avâd î vedere c oricare ar fi u domf, F(u) = +, î relaia (3.) suremumul u se atige e mulimea { u V F(u) = + }. Obiem o relaie echivalet etru defiirea fuciei cojugate (3.3) F*(u*) = su { <u*, u> - F(u) }. u domf Observaia 3.3. Oricare ar fi u domf, avem c F(u) < + i obiem astfel o familie de fucii afi cotiue G u : V* R defiite ri G u (u*) = <u*, u> - F(u). Fucia cojugat a lui F rerezit îvelitoarea suerioar a familiei { G u u domf }, ceea ce imlic c F* Γ( V*) iar, coform Teoremei.4, aceast fucie este covex i iferior semicotiu. Observaia 3.4. Dac fucia F : V R este idetic +, atuci domf =, iar, coform relaiei (3.3), F* este suremumul uei familii vide. Fucia F* este atuci idetic -. 4

26 Teorema 3.. Fie fucia F : V R i F *: V* R fucia cojugat a lui F. Urmtoarele afirmaii sut adevrate: (i) F*(0) = - if F(u). (ii) Dac G: V R este o fucie astfel îcât F G, atuci G* F*. (iii) Dac (F i ) i I este o familie de fucii, F i : V R (i I), atuci au loc relaiile (3.4) ( if i I (3.5) ( su i I F i )* = su i I F i )* if i I F i F i*. (iv) Oricare ar fi λ > 0 i oricare ar fi u* V*, are loc (λf)*(u*) = λ F*( u * λ ). (v) Oricare ar fi α R, are loc (F + α )* = F* - α (vi) Dac, etru fiecare a V otm cu F a : V R fucia defiit ri F a (v) = F(v-a), atuci are loc su (F a )*(u*) = F*(u*) + <a, u*>. Demostraie. (i) Coform relaiei (3.) se obie F*( 0) = su { <0, u> - F(u)} = su (ii) Oricare ar fi u* V*, e baza lui (3.) se obie G*(u*) = su <u*, u> + su { - F(u) }= - if F(u). { < u*, u> - G(u)} = su { < u*, u> + (-G(u))} (- G(u)) Oricare ar fi u V, G*(u*) su su su i I <u*, u> + su F(u) G(u) -G(u) -F(u) ceea ce imlic c (- F(u)) = su <u*, u> - F(u) } = F*(u*) Se obie aadar, datorit fatului c u* a fost ales arbitrar, c G* F*. (iii) Fie u* V*. Avem atuci ( if i I { <u*, u> + su i I F i *(u*). (-F i (u))} = su su i I F i )* (u*) = su { <u*, u> -F i (u)}= su i I { <u*, u> - ( if i I F i )(u) }= su { <u*, u> -F i (u)}= 5

27 su if i I Mai avem e de alt arte { <u*, u> + if i I F i*(u*). (-F i(u)) }= su ( su i I if i I F i )*(u*) = su { <u*, u> -F i (u)}= if i I { <u*, u> - ( su i I F i )(u) }= su { <u*, u> - F i (u)}= Puctul u* fiid ales arbitrar di V* rezult c relaiile (3.4) i (3.5) sut adevrate. (iv) Cosiderm (λf)*(u*) = su λ su λ > 0. Obiem, ri urmare, oricare ar fi u* V*, { <u*, u> - (λf)(u)}= su { < u * u *, u> - F(u) }= λf*( λ λ ) { <u*, u> - λf(u)}= su { λ(< u * λ, u>-f(u))}= su (v) Oricare ar fi α R i oricare ar fi u* V*, obiem (F +α)*(u*) = { <u*, u> -(F+α)(u)}= su { <u*, u> - F(u)-α }= su { <u*, u> - F(u) } - α = F*(u*) - α. Rezult ri urmare c oricare ar fi α R, (F +α)* = F* - α. (vi) Cosiderm e a V, ales arbitrar. Obiem atuci, oricare ar fi u* V*, (F a )*(u*) = su variabil u - a = v { <u*, u> - (F a )(u)}= su { <u*, u> - F(u-a)}. Fcâd schimbarea de rezult (F a )*( u* ) = su { < u*, a + v > - F(v)} = v V su { <u*, v > -F(v)}+ <u*, a > = F*(u*) + <u*, a>. v V Observaia 3.5. Sre deosebire de relaia (3.4) î relaia (3.5) se observ c avem iegalitate. Vom da u exemlu etru care iegalitatea di relaia (3.5) este strict. Fie I = N* i V = R. Dualul su V* = R*, îl utem idetifica cu R. Cosiderm familia de fucii (F ) N*, F : R R, defiite ri F (u) = - u. Fucia su F : R R are forma su F (u) = 0, oricare ar fi u R. Atuci ( su F )*(0) = 0. N* N * N* 6

28 Pe de alt arte, oricare ar fi N*, F *(0) = su { <0, u> - F (u)} = su { u R u R u }= +. Aadar, ( if F *)(0) = +. N * Youg [6]. Î cocluzie, are loc urmtoarea relaie ( su N* F )*(0) = 0 < + = ( if F *)(0) N * Relaia demostrat î teorema de mai jos oart umele de iegalitatea lui Teorema 3.. Fie fucia F : V R i F *: V* R fucia cojugat a lui F. Oricare ar fi u V i oricare ar fi u* V*, are loc relaia (3.6) F(u) + F*(u*) <u*, u >. Demostraie. Oricare ar fi u* V*, avem coform defiiiei F*(u*) = su {<u*,u> -F(u)}. Se obie c, oricare ar fi u* V* i oricare ar fi u V, relaie echivalet cu (3.6). F*(u*) <u*, u> - F(u) Î cotiuare vom itroduce oiuea de bicojugat a uei fucii. Defiiie. Fie fucia F : V R. Numim bicojugata fuciei F, fucia F** : V R, defiit ri (3.7) F**(u) = su { <u. u*> - F*(u*)}, u* V* ude F*: V* R este cojugata fuciei F. Pe baza Observaiei 3.3 se obie c F** Γ( V ). Prooziia 3.3. Fie F : V R o fucie. Fucia F** : V R este atuci Γ-regularizata sa. Î articular, dac F Γ( V ), atuci F**= F. Demostraie. Oricare ar fi u* V*, cosiderm fucia G u* : V R, defiit ri G u* (u) = <u, u*> - F*(u*). Obiem aadar o familie de fucii afi cotiue. Di relaia (3.6) rezult c oricare ar fi u U, G u* (u) F(u). Familia de fucii { G u* u* V*} este o familie de miorai afi cotiui ai lui F. Pe baza Prooziiei.5 Γ-regularizata lui F este îvelitoarea suerioar a acestei familii de fucii. Coform relaiei (3.7) îvelitoarea suerioar a familiei { G u* u* V*} este chiar F**. Î articular, dac F Γ (V), e baza Prooziiei.5, rezult c Γ-regularizata lui F care este F** coicide cu F. 7

29 Teorema urmtoare demostreaz c rocesul de defiire a cojugatelor de ordi suerior ale uei fucii este fiit. Teorema 3.4. Oricare ar fi fucia F : V R, are loc relaia F* = F***, ude F*** este cojugata lui F**. Demostraie. Di Prooziia 3.3 avem c F** este Γ-regularizata lui F i e baza defiiiei Γ-regularizatei se obie c F** F. Coform uctului (ii) al Teoremei 3. rezult c F* F***. Fucia F***: V* R se defiete astfel F***(u*) = su {<u, u*> - F**(u)}. Fixâd u* V*, e baza iegalitii lui Youg, oricare ar fi u V, avem c F**(u) <u, u*> - F*(u*) <u, u* > - F**(u) F*(u*). Trecâd la suremum se obie c su {<u, u*> - F**(u) } F*(u*) i î cocluzie rezult c F***(u*) F*(u*). Are loc deci i relaia ivers F*** F*. Urmtoarea defiiie are la baz Prooziia 3.3 care afirm c F Γ(V) dac i umai dac F = F**. dac are loc Defiiie. Desre fucia F Γ(V) i fucia G Γ(V*) suem c sut î dualitate F* = G i G* = F. Observaia 3.6. Noiuea de cojugat realizeaz o bijecie ître Γ(V) i Γ(V*). Î lus, fucia costat + defiit e V este î dualitate cu fucia costat - defiit e V* iar fucia costat - defiit e V este î dualitate cu fucia costat + defiit e V*. Di acest motiv rezult c F Γ 0 (V) dac i umai dac F* Γ 0 (V*). Observaia 3.7. Fie A V i χ A : V R fucia sa idicatoare.cojugata ei este fucia χ A * : V* R, χ A *(u*) = su u domf { <u*, u> - χ A (u) } = su u A se umete fucia suort a lui A. Pe baza Prooziiei.6 rezult c χ A ** = <u*, u>. Fucia χ A * χ. coa 8

30 4. Subdifereiabilitatea fuciilor Î cele ce urmeaz, cu ajutorul oiuii de subdifereiabilitate a uei fucii, vom da o codiie ecesar i suficiet etru care iegalitatea lui Youg devie egalitate. Defiiie. Fie dat o fucie F : V R. Desre u miorat afi cotiuu : V R al lui F suem c este exact îtr-u uct u 0 V dac (u 0 ) = F(u 0 ). Observaia 4.. Dac este u miorat afi cotiuu al lui F exact î uctul u 0 V, atuci umrul F(u 0 ) = (u 0 ) este fiit. Fucia : V R fiid afi cotiu va avea forma (u) = u*(u) + α = <u*, u> + α, ude u* V* i α R. Obiem c F(u 0 ) = <u*, u 0 > + α, de ude rezult α = F(u 0 ) - <u*, u 0 >. Î cocluzie, fucia : V R va fi defiit astfel (u) = <u*, u> + F(u 0 ) - <u*, u 0 > = <u*, u - u 0 > + F(u 0 ). Observaia 4.. Dac este u miorat afi cotiuu al lui F exact î uctul u 0 V, se obie c, oricare ar fi u V, (u) F (u), echivalet cu u - u 0 > + F(u 0 ) F(u). Î cocluzie, oricare ar fi u V, are loc <u*, u> - F(u) <u*, u 0 > - F(u 0 ). Trecâd la suremum du u V î membrul stâg al ultimei relaii, obiem F*(u*) = su {<u*, u> - F(u) } <u*, u 0 > - F(u 0 ), <u*, ude fucia F*: V* R este fucia cojugat a lui F. Se obie, î fial, (4.) F*(u*) = <u*, u 0 > - F(u 0 ). Defiiie. Suem c fucia F : V R este subdifereiabil î uctul u 0 V dac admite u miorat afi cotiuu exact î u 0. Puctul u* V* obiut e baza Observaiei 4. se umete subgradietul lui F î u 0, iar mulimea subgradieilor lui F î u 0 se umete subdifereiala lui F î u 0 i se oteaz F(u 0 ). 9

31 Dac F u este subdifereiabil î u 0, atuci F(u 0 ) =. Pe baza Observaiei 4. utem trage urmtoarea cocluzie: u* F(u 0 ) dac i umai dac F(u 0 ) este fiit i, oricare ar fi u V, are loc <u*, u - u 0 > + F(u 0 ) F(u). Observaia 4.3. Dac este u miorat afi cotiuu al lui F exact î u 0, coform Prooziiei.5, este miorat al Γ-regularizatei lui F. Di Prooziia 3.3, Γ-regularizata lui F este F**, ceea ce imlic c, oricare ar fi u V, are loc (u) F(u). Î uctul u 0 avem (u 0 ) F**(u 0 ) F(u 0 ), de ude rezult, iâd cot c (u 0 ) =F(u 0 ), relaia urmtoare (u 0 ) = F**(u 0 ) = F(u 0 ). Obiem, î cocluzie, urmtorul rezultat: dac F(u 0 ), atuci F**(u 0 ) = F(u 0 ). Prooziia 4.. Fie fucia F : V R i F**: V R bicojugata sa. Dac etru u 0 V avem F(u 0 ) = F**(u 0 ), atuci F(u 0 ) = F**(u 0 ). Demostraie. Fie u 0 V astfel îcât F(u 0 ) = F**(u 0 ) i u* F(u 0 ). Rezult, ri urmare, c, oricare ar fi u V, <u*, u - u 0 > + F(u 0 ) F(u). Di iotez obiem, deci, c F**(u 0 ) este fiit i c, oricare ar fi u V, <u*, u - u 0 > +F**(u 0 ) F(u). Cosiderm fucia : V R, defiit ri (u) = <u*, u - u 0 > +F**(u 0 ). Fucia este u miorat afi cotiuu al lui F, î coseci i al lui F**. Oricare ar fi u V, obiem <u*, u - u 0 > + F**(u 0 ) F**(u), ceea ce imlic c u* F**(u 0 ). Am artat astfel c F(u 0 ) F**(u 0 ). Reciroc, fie u* F**(u 0 ). Î acest caz F**(u 0 ) este fiit i, oricare ar fi u V, avem <u*, u - u 0 > + F**(u 0 ) F**(u). Folosid c F(u 0 ) = F**(u 0 ) i c, etru fiecare u V, F**(u) F(u) se obie c F(u 0 ) este fiit i c, oricare ar fi u V, <u*, u - u 0 > + F(u 0 ) F(u), 30

32 ceea ce îseam c u* F(u 0 ). Am artat astfel c are loc i relaia ivers F**(u 0 ) F(u 0 ). Prooziia 4.. Fie fucia F : V R. Are loc 0 F(u 0 ) dac i umai dac F(u 0 ) = mi F(u). ar fi u V, Demostraie. 0 F(u 0 ) este echivalet cu fatul c F(u 0 ) este fiit i c, oricare <0, u - u 0 > + F(u 0 ) F(u) F(u 0 ) F(u), ceea ce este echivalet cu F(u 0 ) = mi F(u). fucii. Urmtoarele rooziii vor stabili legtura ditre cojugata i subdifereiala uei Prooziia 4.3. Fie fucia F : V R i F*: V* R cojugata ei. Dac u 0 V atuci u 0 * F(u 0 ) dac i umai dac (4.) F(u 0 ) + F*(u 0 *) = < u 0 *, u 0 >. Demostraie. Necesitatea. Am demostrat ecesitatea î cadrul Observaiei 4., iar formula cutat este echivalet cu (4.). Suficiea. Coform defiiiei cojugatei uei fucii avem F*(u 0 *) = su u V fatul c, oricare ar fi u V, echivalet cu {<u 0 *, u> - F(u), ceea ce îmreu cu relaia di iotez e coduce la <u 0 *, u> - F(u) F*(u 0 *) = <u 0 *, u 0 > - F(u 0 ), <u 0 *, u> + F(u 0 ) - <u 0 *, u 0 > F(u). Fucia : V R, defiit ri (u) = <u 0 *, u> + F(u 0 ) - <u 0 *, u 0 > este deci u miorat afi cotiuu al lui F i datorit fatului c (u 0 ) = F(u 0 ) acest miorat afi cotiuu este exact î u 0. Coform defiiiei rezult c u 0 * F(u 0 ). Prooziia 4.4. Oricare ar fi u 0 V, mulimea F(u 0 ) V* este covex i σ(v*, V) - îchis. Demostraie. Fie u 0 V. Pe baza Prooziiei 4.3 avem c F(u 0 ) ={ u* V* F(u 0 ) + F*(u*) = < u*, u 0 >}. Di (3.6) rezult c, oricare ar fi 3

33 u* V*, are loc F*(u*) < u*, u 0 > - F(u 0 )} i vom avea etru mulimea F(u 0 ) urmtoarea defiiie F(u 0 ) = { u* V* F*(u*) - < u 0, u*> -F(u 0 )} = { u* V* F*(u*) + < -u 0, u*> -F(u 0 )}. Cosiderm fucia G : V* R defiit ri G(u*) = F*(u*) + <-u 0, u*>. Obiem F(u 0 ) = { u* V* G(u*) - F(u 0 )}. Pe baza Observaiei 3.3, F* Γ(V*) ceea ce îseam, coform Teoremei.4, c F* este fucie covex i iferior semicotiu. Fucia < -u 0, > : V* R fiid liiar i cotiu este de asemeea covex i iferior semicotiu. Di Prooziia.6 rezult c fucia G este covex fiid sum de dou fucii covexe ceea ce imlic c mulimea F(u 0 ) = { u* V* G(u*) - F(u 0 )} este covex. Fucia G este i iferior semicotiu fiid sum de dou fucii iferior semicotiue ([]). Pe baza Prooziiei.9 rezult c fucia G este iferior semicotiu i î toologia σ(v*, V) iar, coform Prooziiei.7, acest lucru imlic c mulimea F(u 0 ) = { u* V* G(u*) - F(u 0 )} este σ(v*, V)-îchis. Prooziia 4.5. Fie fucia F : V R i F* : V* R cojugata ei. Petru u 0 V i u 0 * V* are loc (4.3) u 0 * F(u 0 ) u 0 F*(u 0 *) Dac, î lus, F Γ(V) atuci (4.4) u 0 * F(u 0 ) u 0 F*(u 0 *). Demostraie. Fie u 0 * F(u 0 ). Di Prooziia 4.3 rezult c F(u 0 ) + F*(u 0 *) = < u 0 *, u 0 > i iâd cot c F** F obiem F**(u 0 ) + F*(u 0 *) F(u 0 ) + F*(u 0 *) = < u 0 *, u 0 >. Pe de alt arte di (3.7) avem c F**(u 0 ) = su { <u 0, u*>- F*(u*)}, ceea ce u* V* imlic < u 0, u 0 *>- F*(u 0 *) F**(u 0 ) < u 0, u 0 *> F*(u 0 *) + F**(u 0 ). Î cocluzie, rezult c F**(u 0 ) + F*(u 0 *) = < u 0 *, u 0 > care, e baza Prooziiei 4.3, e coduce la u 0 F*(u 0 *). Dac, î lus, F Γ(V) rezult c F = F** i obiem î fial 3

34 u 0 * F(u 0 ) F(u 0 ) + F*(u 0 *) = < u 0 *, u 0 > F**(u 0 ) + F*(u 0 *) = < u 0 *, u 0 > u 0 F*(u 0 *). Urmtoare teorem, dat î [6], rerezit u criteriu foarte imortat de subdifereiablitate a fuciilor covexe. Teorema 4.6. Fie F : V R o fucie covex, fiit i cotiu îtr-u uct u 0 V. Oricare ar fi u it domf, are loc F(u) i, î articular, F(u 0 ). Demostraie. Fucia F fiid fiit i cotiu î u 0, rezult c exist u umr real a i o vecitate deschis U a lui u 0 î V astfel îcât oricare ar fi u U s aib loc F(u) a. Pe baza Teoremei. se obie c fucia F este fiit i cotiu e iteriorul domeiului su efectiv. Aceast ultim afirmaie e arat c este suficiet s demostrm c F(u 0 ), acest lucru deveid adevrat etru fiecare u it domf. Fucia F fiid covex, are, e baza Teoremei.5, eigraful o mulime covex di V R. Mulimea U (a, + ) este deschis î V R i, oricare ar fi (u, b) U (a,+ ), are loc F(u) a < b, ceea ce imlic c (u, b) eif. Di fatul c U (a, + ) eif rezult c it eif. [4]. Î lus, eif fiid mulime covex rezult c i it eif este mulime covex S resuuem c (u 0, F(u 0 )) it eif. Exist atuci o vecitate deschis W a lui (u 0, F(u 0 )) astfel îcât W eif. Rezult c exist U o vecitate deschis a lui u 0 i ε > 0 u umr real astfel îcât U (F(u 0 ) - ε, F(u 0 ) + ε) W eif. Puctul (u 0, F(u 0 ) - ε ) U (F(u 0) - ε, F(u 0 ) + ε) dar F(u 0 ) > F(u 0 ) - ε, ceea îseam c (u 0, F(u 0 ) - (u 0, F(u 0 )) it eif. ε ) eif. Di cauza cotradiciei rezult c Mulimea it eif fiid covex i deschis rezult, e baza Teoremei., c exist u hierla H care sear uctul (u 0, F(u 0 )) de mulimea it eif. El va avea forma ude u* V* \ {0} i α, β R. H = { (u, a) R <u*, u> + αa = β }, 33

35 i, î lus, Oricare ar fi (u, a) eif, avem <u*, u> + αa β <u*, u 0 > + αf(u 0 ) = β. Alegem a 0 R astfel îcât F(u 0 ) < a 0. Îseam c (u 0, a 0 ) eif i, e baza relaiilor de mai sus, rezult c α(a 0 - F(u 0 ) ) 0. Aadar α 0. Dac α = 0 s-ar obie, oricare ar fi u domf, c < u*, u - u 0 > 0. Di iotez avem c domf = V i imlic c, etru fiecare u V, <u*, u -u 0 > = 0. Acest lucru este echivalet cu u* = 0, care e coduce la cotradicie. Rmâe atuci α > 0. Oricare ar fi u V, are loc echivalet cu < u * α, u > + F(u) β α = < u * α, u 0 > + F(u 0 ), F(u) < - u * α, u -u 0 > + F(u 0 ). Aceast ultim relaie îmreu cu fatul c F(u 0 ) este fiit e coduce la - u * α F(u 0), ceea ce imlic c F(u 0 ). 34

36 5. Problema rimal i dual de otimizare covex Cosiderm V u saiu vectorial toologic i V* dualul su algebrico-toologic. Cele dou saii vor fi cosiderate î dualitate ri fucia biliiar <, > V. Petru o fucie F : V R vom studia roblema de otimizare: ( P ) if F(u). Problema P se umete roblem rimal i vom ota ifimumul ei cu if P. Defiiie. Se umete soluie a roblemei P u uct u 0 V astfel îcât F(u 0 ) = if P. Defiiie. Desre roblema P vom sue c este etrivial dac exist u 0 V astfel îcât F(u 0 ) < +. Î cele ce urmeaz vom studia roblema P î cazul î care F Γ 0 (V), codiie care asigur etrivialitatea roblemei P. Fie Y i Y* alte dou saii vectorial toologice situate î dualitate ri fucia biliiar <, > Y. Cele dou fucii biliiare le vom ota <, >, idiferet la care e vom referi, iar etru a u face cofuzii vom ota u, v, w,... elemetele lui V ( resectiv u*, v*, w*,... elemetele lui V* ) i, q, r,... elemetele lui Y( resectiv *, q*, r*,... elemetele lui Y*). Cosiderm acum o fucie Φ : V Y R astfel îcât s verifice Φ(u, 0) = F(u). Petru fiecare Y obiem o ou roblem de otimizare ( P ) if Φ(u, ). Problema P 0 coicide cu roblema iiial P. Defiiie. Oricare ar fi Y, roblema P se umete roblem erturbat a lui P. Fucia Φ : V Y R se umete fucie erturbatoare. Fucia erturbatoare oate geera diferite tiuri de robleme erturbate. Pricialele tiuri de erturbaii au fost date î [7] i [5] etru rezolvarea roblemelor de 35

37 calcul variaioal, resectiv î [] etru obierea uor rezultate rivid dualitatea î otimizarea covex. Cojugata fuciei erturbatoare va fi fucia Φ* : V* Y* R defiit ri (5.) Φ*(u*, *) = su { <u*, u> + <*, > - Φ(u, ) }, Y ude am folosit c <(u*, *), (u, ) > V Y = <u*, u> V + <*, > Y. Pe baza Observaiei 3.3 rezult c Φ* Γ(V* Y*). Defiiie. Numim roblema dual a lui P relativ la fucia erturbatoare Φ : V Y R urmtoarea roblem ( P* ) su { - Φ*(0, *) }. * Y * Vom ota suremumul roblemei P* cu su P*. su Defiiie. Numim soluie a roblemei P* u uct 0 * cu rorietatea -Φ*(0, 0 *) = su P*. Vom stabili î cotiuare relaiile care exist ître roblema rimal i duala ei. Prooziia 5.. Ître roblema de otimizare P i duala ei P* are loc relaia (5.) - su P* if P +. Demostraie. Fie * Y*. Di relaia (5.) rezult Φ*(0, *) = su { < 0, u> + < *, > - Φ(u, ) } = su { < *, > - Φ(u, )} Y { < *, 0 > - Φ(u, 0) } = su { - Φ(u, 0)}. Y Obiem, etru fiecare u V, -Φ(u, 0) Φ*(0, *), echivalet cu -Φ*(0, *) Φ(u, 0). Trecâd la ifimum î membrul dret du u V iar aoi la suremum î membrul stâg du * Y* rezult c su P* if P. Obsevaia 5.. Î [] i [6] au fost date exemle astfel îcât iegalitile di relaia (5.) s fie stricte. De asemeea, î [6] au fost date exemle astfel îcât if P i su P* s fie - resectiv +. Obsevaia 5.. Datorit iegalitii su P* if P di relaia (5.), suem c roblemele P i P* se afl î relaia de dualitate slab. 36

38 Prooziia 5.. Dac roblema P este etrivial, atuci su P* if P < +. Dac roblema P* este etrivial atuci - < su P* if P. Dac ambele robleme P i P* sut etriviale atuci if P i su P* sut fiite i are loc relaia - < su P* < if P < +. Demostraie. Problema P fiid etrivial rezult c exist u 0 V astfel îcât F(u 0 ) = Φ(u 0, 0) < +. Se obie c su P* if P Φ(u 0, 0) < +. Î cazul î care roblema P* este etrivial rezult c exist 0 * Y* astfel îcât -Φ*(0, 0 *) > -. Se obie c - < -Φ*(0, 0 *) su P* if P. A treia relaie se obie e baza relaiilor aterioare. Î cele ce urmeaz vom cotiua rocesul de dualizare etru roblema de otimizare, urmâd a determia roblema dual a lui P*. Oricare ar fi u* V*, asociem roblemei P* roblema erturbat ( P u* * ) su {- Φ*(u*, *)}. * Y * Fucia cojugat a lui Φ* va fi fucia Φ** : V Y R, defiit ri (5.3) Φ**(u,) = su u* V* * Y * { < u, u* > + <, * > - Φ*(u*, *)}. Obiem ri urmare urmtoarea roblem, umit biduala roblemei P ( P** ) if { Φ**(u, 0) }. u V Pe baza Prooziiei 3.3, fucia Φ** este Γ-regularizata lui Φ, deci Φ** Γ( V Y). Reetâd rocesul de dualizare etru roblema P** obiem, oricare ar fi Y, roblema erturbat (P ** ) if { Φ**(u, )} u V i ri urmare duala lui P** va fi (P***) su * Y * { - Φ***(0, *)}, ude Φ*** este cojugata fuciei Φ**. 37