CURS 4. Modificarile ulterioare asupra continutului, operate de catre autor, nu fac obiectul vreunei notificari prealabile.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CURS 4. Modificarile ulterioare asupra continutului, operate de catre autor, nu fac obiectul vreunei notificari prealabile."

Transcript

1 U ezolutia cinetica dinamica (D.K.. Dynamic kinetic resolution) 1 EXEMPLUL 44 (racemizari totale sau partiale) 2 EXEMPLUL 45 (sinteza unor α-(hetaril)cianometil acetati de inalta enantiopuritate catalizata de lipaze) 3 EXEMPLUL 46 (sinteza unor precursori de β-hetaril-l-alanine de inalta enantiopuritate pe cale enzimatica) 4 EXEMPLUL 47 (D.K.. in cazul separarii diastereomerilor configurationali) Influenta parametrilor cinetici si termodinamici asupra (stereo)selectivitatii 6 EXEMPLUL 48 (scaderea temperaturii are totdeauna drept consecinta o crestere a selectivitatii?) Principiul lui urtin & ammet in cazul controlului cinetic 9 EXEMPLUL 49 (dehidroclorurarea prin mecanism de Eliminare E-2 trans-diaxiala a rac-1-cloro-1,2-difeniletanului) azuri in care principiul lui urtin & ammet nu se aplica 12 EXEMPLUL 50 (reducerea 7,-7-metil-2-metilenciclooctanonei) 12 EXEMPLUL 51 (principiul quench kinetics ) 13 Modificarile ulterioare asupra continutului, operate de catre autor, nu fac obiectul vreunei notificari prealabile.

2 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali ezolutia cinetica dinamica (D.K.. Dynamic kinetic resolution) Alternativa actuala, de exceptional interes, care elimina marele dezavantaj intrinsec al ezolutiei cinetice clasice acela ca doar maximum 50% din continutul unui racemic poate valorificat in directia enantiomerului preferat. u() k k u() k u() ireversibil k u() P() P() onditiile necesare si suficiente pentru efectuarea unei DK eficiente: fie u() "enantiomerul preferat" de catre biocatalizator (enzima): DAA: i) racemicul 50% u() 50% u() este rapid racemizabil in timpul procesului adica avem, efectiv, echilibrul u() u(). ii) procesele u() P() si u() P() sunt i r e v e r s i b i l e. iii) urmare a selectivitatii manifestate de catre biocatalizator, k u() >> k u() iv) racemizarea este cea mai rapida secventa din proces, k = k >> k u() ATUI: i) Pe masura ce u() se consuma [u() P()], echilibrul intre enantiomeri u() u() se deplaseaza inspre u(), spre a-i suplini disparitia. ii) La limita, in final, se poate ajunge la P() ca produs unic, intregul racemic transformandu-se in produsul de reactie al doar unuia dintre enantiomeri. Pellissier,., Tetrahedron, 2008, 64, Kamal, A.; Azhar, M. A.; Krishnaji, T.; Malik, M..; Azeeza,., oord. hem. ew., 2008, 252, 569. Premise si limitari actuale ale metodei: i) trebuie identificat, preliminar, racemicul ai carui componenti enantiomerici sunt stabili configurational in conditii normale dar instabili in conditiile D.K.., e.g. in prezenta unui catalizator adecvat. ii) trebuie identificat (bio)catalizatorul care sa manifestre o mare selectivitate de substrat [e.g., il prefera pe u(), nu insa, la limita de loc, pe u()]. iii) metoda se limiteaza, deocamdata, la compusi care poseda un singur centru chiral (stereogenic). Terminologie specifica domeniului: - enantiomerul biologic cel mai activ se numeste eutomer. - enantiomerul mai putin biologic activ (inactiv? toxic?) se numeste distomer. Lehmann, F.P.A.; odrigues de Miranda, J.F.; Ariëns, E.J., tereoselectivity and Affinity in Molecular armacology, Prog. Drug. es., 1976, 20,

3 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali -4 2 EXEMPLUL 44 acemizarea poate fi totala sau partiala, de exemplu prin formare de cationi: - prin mecanism 1:, - 2 de tip % i 50% e arbocation de tip benzil stabilizat prin conjugare cu fete enantiotope 2, - 3 2, - 3 acemizare totala - prin mecanism 1 2: competitia intre carbocationi deschisi stabilizati prin conjugare, si participarea grupelor vecine (asistenta anchimerica). 2, acemizare partiala, - 2 de tip 2 X 2 ationi aziridiniu 2 de tip 2 50% i 50% e 2, - de tip , , de tip 1 etentie de configuratie Inversie de configuratie

4 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali -4 3 EXEMPLUL 45 inteza unor α-(hetaril)cianometil acetati de inalta enantiopuritate catalizata de lipaze u() (Amberlite - ) - (Amberlite - ) 2 =--- 3 / lipase Vinyl acetate E-EILIU! 2 =- 3 -= (acetaldehida) = 86-99% e.e.= 80-97% 3 ()-yano(5-phenylfuran -2-yl)methyl acetate P() - (Amberlite - ) u() enylfuran-2-carbaldehyde 2 i (Amberlite - ) e ()-2-[5-enylfuran-2-yl]-2- hydroxyacetonitrile 2 =--- 3 / lipase Vinyl acetate Paizs,.; Tahtinen, P.; Lundell, K.; Poppe, L.; Irimie, F. D.; Kanerva, L. T., Tetrahedron Asymmetry, 2003, 14, U reactioneaza i) etapa de racemizare consta in aditia / eliminarea, in cataliza bazica (rasina bazica Amberlite), a ionului cian din cianhidrinele enantiomere corespunzatorare, furnizand aldehida cu fete enantiotope. ii) una dintre constantele de viteza este aproape nula, aici k u() [u() P()].

5 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali -4 4 EXEMPLUL 46 inteza unor precursori de β-hetaril-l-alanine de inalta enantiopuritate pe cale enzimatica (ac)-2-acetamido-3- (benzo[b]furan-2-yl)propanoic acid b ovozyme 435 a n-propanol 3 2 1,4-Dioxan P() 1 -n-pr E-EILIU! ciclizare enoliozare (D... DM),'-methanediylidenedicyclohexanamine (D...: Dicylohexylcarbodiimide) e i u() (enzo[b]furan-2-ylmethyl)- 2-methyloxazol-5-ol ()-4-(enzo[b]furan-2-ylmethyl)- 2-methyloxazol-5(4)-one u() ()-Propyl 2-acetamido-3- (benzo[b]furan-2-yl)propanoate = 76-85% e.e. = 81-87% ovozyme 435 n-propanol 1,4-Dioxan U reactioneaza! 3 Podea, P. V.; Tosa, M. I.; Paizs,.; irimie, F. D., Tetrahedron Asymmetry, 2008, 19, rown,. A.; Parker, M..; Turner,. J., Tetrahedron Asymmetry, 2000, 11, i) etapa de racemizare consta in tautomeria prototropica in care este implicat protonul de la -4 (suficient de acid) din oxazolona: in tautomerul enolic, atomul de carbon de la -4 are fetele enantiotope. ii) oxazolona intermediara manifesta o mare reactivitate fata de nucleofili (aici n-propanol) in ceea ce priveste deshiderea de ciclu. iii) una dintre constantele de viteza este nula, aici k u() [u() P()].

6 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali -4 5 EXEMPLUL 47 D.K.. in cazul separarii diastereomerilor configurationali pro- pro- ()-2-(α-thylbenzyl)amino propane-1,3-diol substrat enantiomeric pur cu liganzi diastereotopici la centrul prochiral -2 50% u(,) 1 eq. l---( 2 ) 2 -l (2-chloroethyl chloroformate) 1 eq. Py / DM / r.t. / 24 hrs. 62 % 50% u(,) l( 2 ) 2 16 min. 1:1 4 min eq. DU l 3 / t.a. 48 hrs. ( 2 ) 2 l DU:1,8-diazabicyclo[5.4.0]undec-7-ene 62% DU P(,) P(,) 96% 4% (4)-4-(ydroxymethyl) -3-[()-1-phenylethyl)] oxazolidin-2-one a) ugiyama,.; Watanabe,.; Ishii, K., Tetrahedron Lett., 1999, 40, ; b) ugiyama, A.; Watanabe,.; Inoue, T.; Kurihara,.; Itou, T.; Ishii, L., Tetrahedron, 2003, 59, esterii u(,) si u(,) se formeaza in proportie riguros egala si sunt stabili termodinamic ca atare. - esterii u(,) si u(,) nu izomerizeaza, intre ei, in prezenta piridinei. - in prezenta DU, u(,) 100% transforma in amestec u(,) ca 1:1 in 16 min. si reciproc: pornind din u(,), acesta se transforma intr-un amestec u(,) 1:1 in 4 min. (transfer intramolecular de grupa acil). a) Pierce, J..; Lunsford,.D. J. Am. hem. oc., 1951, 73, ; b) uur, A.; undgaard,. Arch. arm., ci. Ed., 1987, 15, 76-86; c) M. Darabantu urr. rg. ynth., 2010, 7(2), u(,) ciclizeaza ca P(,) de 96:4=24 ori mai repede decat u(,) P(,). - produsii P(,) si P(,) nu sunt epimerizabili in prezenta de DU. - este o sinteza asimetrica produs partial diastereoselectiva ca 96:4 P(,) : P(,), pornind din 1,3-diol. - este o sinteza asimetrica partial diastereospecifica deoarece cei doi esteri, aflati in proportie egala furnizeaza produsii oxazolidinonici in proportie inegala.

7 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali Influenta parametrilor cinetici si termodinamici asupra (stereo)selectivitatii G Proces sub control termodinamic G Proces sub control cinetic A A sau A ΔG ΔΔG A ΔG ΔG = G -G > 0 - raportul cantitativ intre produsi este: [] indiferent de modul in care si se interconvertesc: prin intermediul lui A sau pe o alta cale de reactie [] / = = K = e -ΔG/T < 1 ΔG: diferenta de entalpie libera intre produsii si (e.g. cu cat e mai stabil termodinamic fata de ) K: constanta de echilibru termodinamic intre si coordonata de reactie k = e -ΔG /T k = e -ΔG /T k A - raportul cantitativ intre produsi este: [] k / = = = [] k k -ΔG e /T coordonata de reactie = -(ΔG - ΔG ) /T e > 1 e -ΔG /T k > k : constantele de viteza cu care se formeaza respectiv (e.g. se formeaza mai repede decat ) ΔΔG = ΔG - ΔG > 0 : diferenta de energie intre starile de tranzitie, adica intre entalpiile libere de activare ale fiecarui proces In termenii sintezei asimetrice (diastereoselectiva sau enantioselectiva): - sintezele asimetrice diastereoselective pot avea loc fie sub control cinetic fie sub control termodinamic. - sintezele asimetrice enantioselective pot avea loc numai sub control cinetic deoarece produsii finali sunt izoenergetici.

8 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali ΔG sau -ΔΔG cal/mol 100 o 0 o o bs. 2: Diferentele ΔG sau ΔΔG necesare pentru a atinge selectivitati de 100:1 nu sunt deloc mari Kcal/mol (vezi echilibrul conformational al metilciclohexanului care nu implica nici o transformare chimica) ΔG ax -ΔG eq. = Kcal/mol bs. 3: In portiunea "oblica", dar cu panta mica graficelor, cresteri minore ale diferentelor ΔG sau ΔΔG produc cresteri spectaculoase ale selectivitatii: e.g. la 0 o, o crestere de Kcal/mol implica cresterea selectivitatii de la 20:1 la 100:1 (vezi echilibrul conformational al n-butanului care nu implica nici o transformare chimica) bs. 4: La temperturi mai scazute, curba selectivitatii devine "oblic liniara" mai repede. Aceasta insa nu inseamna, in mod necesar, ca, prin scaderea temperaturii se consemneaza selectivitati mai mari!!. 3 ΔG gauche -ΔG anti = 0.9 Kcal/mol 0 K sau k 1 /k e.e. sau d.e. (%) e.s. sau d.s.(%) bs. 1: partea cea mai abrupta a graficelor se afla in zona in care selectivitatile (cea sub control termodinamic K, sau cea sub control cinetic k 1 /k 2 ) sunt mai mici decat 10. De ex., la -100 o, o dublare a diferentei de entalpie libera corespunzatoare unei selectivitati de 10 o mareste la 90!!!

9 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali -4 8 EXEMPLUL 48 eferitor la bs. 4: scaderea temperaturii are totdeauna drept consecinta o crestere a selectivitatii? Fata i -Li / T ( o ) = cal / mol K Fata e k P(,) 260 = u() P(,) P(,) k = e T = e 131 T P(,) ()-Lactaldehyde T ( o ) Deoarece avem: k P(,) = G = - TΔ k = e T 28 = e T P(,) ΔΔG = ΔΔ T ΔΔ devine negativa daca T < 6 K!!! k P(,) = e -ΔΔG /T -(ΔG (,) - ΔG (,))/T -(Δ (,) - Δ (,))/T (Δ (,) - Δ (,))/ k = e = e e P(,) k P(,) > k P(,) reactie sub control cinetic Termen dependent de temperatura (e n t a l p i c) Termen independent de temperatura (e n t r o p i c) Daca se lucreaza cu Li atunci: i) ΔΔ = Δ (,) - Δ (,) = cal/mol iar ΔΔ = 0 cal/mol K. ii) prima exponentiala este tot timpul pozitiva si supraunitara (Δ (,) > Δ (,) ) iar cea de-a doua este 1. iii) P (,) este favorizat entalpic; ΔΔ = 0 cal/mol K, procesul nu este influentat entropic. iv) scaderea temperaturii mareste valoarea primei exponentiale si prin aceea valoarea raportului k P(,) / k P(,) implicit produs diastereoselectivitatea. Daca se lucreaza cu Li atunci: i) ΔΔ = Δ (,) - Δ (,) = 340 cal / mol iar ΔΔ = Δ (,) - Δ (,) = 28 cal/mol K ii) prima exponentiala este tot timpul pozitiva si subunitara P (,) fiind acum favorizat entalpic (Δ (,) < Δ (,)) iii) a doua exponentiala este tot timpul pozitiva si supraunitara ΔΔ = Δ (,) > Δ (,) asadar P (,) este favorizat entropic. iv) scaderea temperaturii micsoreaza valoarea primei exponentiale; aceasta scadere este compensata de marimea celei de-a doua exponentiale: avem in continuare k P(,) > k P(,) dar in mai mica masura fata de situatia anterioara. Zioudrou,.; hrysoshou, P., Tetrahedron, 1977, 33,

10 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali -4 9 Pentru explicarea parcursului produs partial diastereoselectiv al sintezei, este suficienta aplicarea modelului ciclic al lui ram. Li Directia de privire Li Li 60 o -Li - 90 o Li Directia de privire 60 o -Li chelat de 5 atomi Li Principiul lui urtin & ammet in cazul controlului cinetic Daca: intr-o reactie in care se formeaza un produs provenit dintr-un conformer A 1 al substratului A si un alt produs provenit din alt conformer A 2 al substratului A iar cei doi conformeri A 1 si A 2 sunt interconvertibili A 1 A 2 cu o viteza mult mai mare decat viteza fiecarui proces chimic A 1 si A 2 si, in fine, cei doi produsi si nu sunt interconvertibili, Atunci: compozitia amestecului final de reactie % vs. % depinde numai de diferenta intre entalpiile libere de activare ale fiecarui proces chimic ΔG si ΔG nu si de compozitia amestecului de conformeri A 1 si A 2. k k A1 A 1 A 2 Este cazul in care: i) echilibrul conformational, proces fizic, este mult mai rapid decat procesul chimic adica: k A1 k A2 >>> k k ii) procesele sunt (sau pot fi satisfacator aproximate ca fiind) de ordinul I. iii) sunt admise aproximarile: - k A1, k A2 sunt (cam) de acelasi ordin de marime. - constanta de echilibru conformational K = [A 1 ] / [A 2 ] nu se modifica pe parcursul procesului. - fie k A1 fie k A2 sunt de cel putin 10 ori mai mari decat cea mai mare dintre k k urtin, D.Y., ec. hem. Prog., 1954, 15, k A2 k

11 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali Gold, V., Pure and applied hemistry, 1983, 55, eeman, J. I., hem. ev., 1983, 83, EXEMPLUL 49 Dehidroclorurarea prin mecanism de Eliminare E-2 trans-diaxiala a rac-1-cloro-1,2-difeniletanului da nastere inclusiv unui diastereomer minoritar provenit dintr-un conformer identificabil doar in urme. hiralitatea substratului este irelevanta (ea se suprima) cei doi enantiomeri generand acelasi produs majoritar. E-2 (KI) -l =- G 1-hloro-1,2- E- Z-tylbene diphenylethane l l l l ()-A 1 ()-A 1 A 2 A 3 major urme l si nu ocupa un aranjament trans-diaxial (E) (Z) major minor (E) ΔΔG ΔG A1 A 1 A 2 ΔG A3 A 3 ΔG = G A3 -G A1 ΔΔG = ΔG A3 ΔG - ΔG A1 (Z) coordonta de reactie i) in cazul descris, conformeri diferiti A 1, A 3 ai aceluiasi substrat A furnizeaza produsi de reactie diferiti (E) major si (Z) minor, acesta din urma provenind dintr-un conformer greu detectabil, A 3! ii) contributia lui ΔG este scazuta in raport cu diferenta ΔG A3 - ΔG A1 astfel ca distributia produsilor si este, in mare masura, determinata de diferenta dinte entalpiile libere de activare aferente celor doua procese de eliminare E-2.

12 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali azuri limita: I. Daca: ΔG = G A2 G A1 ~ 0 G A2 ~ G A1 G atunci distributia intre produsi depinde doar de diferenta dintre entalpiile libere de activare: ΔΔG ΔG A2 ΔΔG ~ ΔG A2 - ΔG A1 Populatii (aproximativ) egale intre conformeri furnizeaza proportii inegale intre produsi. ΔG A1 A 1 A 2 ΔG = G A2 - G A1 0 II. Daca: ΔG A2 ~ ΔG A1 ΔΔG ΔG A2 - ΔG A1 coordonta de reactie atunci: ΔΔG ~ ΔG G ΔΔG ΔG A2 adica distributia intre produsii si este identica cu cea dintre conformerii A 1, A 2. Populatii inegale intre conformeri furnizeaza proportii inegale intre produsi azuri in care principiul lui urtin & ammet nu se aplica ΔG A1 A 1 A 2 ΔΔG ΔG = G A2 - G A1 ΔG = G A2 - G A1 coordonta de reactie

13 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali EXEMPLUL 50 Daca entalpiile libere de activare corespunzatoare transformarii conformerilor sunt foarte apropiate (la limita egale), distributia produsilor poate fi prezisa in baza distributiei conformerilor adica: till, W.. Galynker, I., Tetrahedron, 1981, 23, k k A1 A 1 A 2 k A2 k k A2 >>> k A1 >>>k k (ax.) (eq.) A 1 Fata e A 2 k A2 Fata i k A1 (7)-7-thyl-2- methylenecyclooctanone k k 2 (2,7)- Dimethylcyclooctanone P(,) : P(,) = 91: 9 K conformational = [A 1 ] / [A 2 ] = k A2 /k A1 = 97:3 este accesibila numai prin calcul teoretic G ΔG (,) (,) (eq.) (ax.) ΔG (,) ΔG (,) ΔG (,) (,) coordonata de reactie - raportul intre produsi corespunde bine cu raportul intre conformerii reactanti.

14 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali EXEMPLUL 51: Principiul quench kinetics (cinetica stinsa ) rowley, P.J.; obinson, M.J.T.; Ward, M.G., Tetrahedron, 1977, 33, Problema: protonarea si -oxidarea -metilpiperidinei dau rezultate destul de diferite in ceea ce priveste echilibrul de inversie piramidala a atomului de azot. Problema poate fi elucidata utilizand o -metilpiperidina anancomerizata. ( t-u) echilibru 3 inversie piramidala conformational (posibila indifrent de (posibil = () natura lui ) 3 imposibil = t-u) ( I t-u) II III 3 - daca =, stereoizomerii I si III sunt identici desi I provine dintr-un fenomen configurational iar III dintr-un fenomen conformational. - daca = t-u inelul de 6 atomi piperidinic este rigidizat, doar inversia piramidala fiind posibila. t-u - k t-u thyl-t-4-tertbutylpiperidine-r--oxide 5% 2 2 : mare exces t-u is-1-thyl-4-tertbutylpiperidine k A sec -1 k A sec -1 k 2 2 mare exces t-u.. sp 3 t-u sp 3 A 2 A 1 sp 2 t-u instantaneu: k = sec -1 ("quenching equilibrium") t-u A 2 1.6% A % 95% inversie piramidala rapida

15 Mircea Darabantu inteza organica fina a compusilor chirali este un caz in care principiul urtin & ammet nu se mai aplica deoarece si viteza reactiei de -oxidare este mult superioara inversiei piramidale (echilibru configurational) adica : k k A1 A 1 A 2 k A2 k k >> k A1 k A2 - compozitia echilibrului configurational se determina prin protonare deoarece cele doua saruri rezultate, A 1 si A 2, nu sunt interconvertibile : proportia intre ele este A 1 : A 2 62 : 1 rezonabil aceeasi cu cea dintre A 1 : A 2 (viteza de protonare este cu cca. 2 ordine de marime superioara celei de inversie! Practic o "fotografiaza"!). - viteza de protonare este aceeasi pentru A 1 si A 2. - avem asadar A 1 : A 2 = A 1 : A 2. - asadar, constanta de echilibru termodinamic K este : K = [A 1 ] / [A 2 ] 62 (A 1 este mai stabil termodinamic cu kj/mol) - vitezele cu care se formeaza -oxizii respectiv sunt : k d dt = k [A 1 ] d dt = k [A 2 ] - prin raportarea celor doua relatii rezulta: d d = k [A 1 ] k [A 2 ] k k = K= [] [] deoarece, tot timpul -oxidarii, raportul intre produsi ramane constant, adica : = 95 : 5 rezulta: k 62 = 95 k 5 k k = 0.31 ezulta ca viteza de -oxidare in pozitie axiala este mai mica decat cea in pozitie ecuatoriala, aceasta din urma fiind mai degajata steric.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)

REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE) EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

CURS SELECTIVITATE vs. SPECIFICITATE IN REACTIILE COMPUSILOR ORGANICI 1

CURS SELECTIVITATE vs. SPECIFICITATE IN REACTIILE COMPUSILOR ORGANICI 1 CU. ELECTIVITATE vs. PECIFICITATE I EACTIILE CMPUIL GAICI.. eactii substrat specifice vs. produs selective.. eactii produs selective... Cazul produsilor izomeri de constitutie EXEMPLUL (deshidratarea -

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/

Διαβάστε περισσότερα

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Reactia de amfoterizare a aluminiului

Reactia de amfoterizare a aluminiului Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic

Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08. 1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte.

Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte. Problema Tranformaa Radon Reconrucia unei imaini bidimenionale cu auorul roieciilor rezulae de-a lunul unor dree. Domeniul de uilizare: Prelucrarea imainilor din domeniul medical Prelucrarea imainilor

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale

Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

[ C] [%] INT-CO2 [ C]

[ C] [%] INT-CO2 [ C] . Tabel. Min Min Min Min Min Min 5s Ti [ C] phi i [%] INT-CO [ppb] Te [ C] deltat[ C] phi e [%] EXT-CO [ppb] MIN. 7. -5..3. 37. -. MAX.9....5 75.. MED.9.7 9. 5.3 5.9 5.5 3.7 Mediana.3 9. 3... 59...9.9.

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

1. [ C] [%] INT-CO2 [ C]

1. [ C] [%] INT-CO2 [ C] . Tabel. Min Min Min Min Min Min Ti [ C] phi i [%] INT-CO [ppm] Te [ C] deltat[ C] phi e [%] MIN. 8..... MAX.. 6. 8. 9.8 77. MED.8 9. 6.8.8.6 6.9 Mediana. 9. 6..9...98.. 7. 8. 9. 77. STDEV..7 9.... Min

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 Amplificatoare elementare

Capitolul 4 Amplificatoare elementare Capitolul 4 mplificatoare elementare 4.. Etaje de amplificare cu un tranzistor 4... Etajul emitor comun V CC C B B C C L L o ( // ) V gm C i rπ // B // o L // C // L B ro i B E C E 4... Etajul colector

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Tema 5 (S N -REACŢII) REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ. ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON HIBRIDIZAT sp 3

Tema 5 (S N -REACŢII) REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ. ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON HIBRIDIZAT sp 3 Tema 5 REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ (S N -REACŢII) ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON IBRIDIZAT sp 3 1. Reacții de substituție nucleofilă (SN reacții) Reacţiile de substituţie nucleofilă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα