ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ - ΘΜΚΕ Η μηχανική ενέργεια είναι το άθροισμα της κινητικής και της δναμικής ενέργειας το σώματος. Όπως είναι γνωστό οι σχέσεις πο δίνον τις ενέργειες ατές είναι: E = 1.m. (7) και Ε Δ =m.g.h (8) Για την σχέση (8) πρέπει να γνωρίζομε ότι το ύψος h παριστάνει την απόσταση το σώματος από ένα επίπεδο στο οποίο εμείς θεωρήσαμε αθαίρετα, ότι έχει δναμική ενέργεια μηδέν και όχι κατ' ανάγκη από το έδαος. Αν το σώμα βρίσκεται πάνω από το οριζόντιο ατό επίπεδο το h λαμβάνεται θετικό ενώ αν το σώμα βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο το h λαμβάνεται αρνητικό (βλέπε σχ.1). Εδώ θα πρέπει να διεκρινίσομε ότι μπορούμε να απούγομε την αρνητική τιμή το h αν θεωρήσομε σαν οριζόντιο επίπεδο το κατώτατο επίπεδο πο θα τάσει το σώμα. Βασικές προτάσεις για την λύση των προβλημάτων είναι α. Η αρχή διατηρήσεως της μηχανικής ενέργειας β. ο θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Η αρχή διατηρήσεως της μηχανικής ενέργειας χρησιμοποιείται στα προβλήματα εκείνα στα οποία το σώμα κινείται σε κατακόρη απόσταση, δεν μας ενδιαέρει ο χρόνος κινήσεως και δεν ενεργούν στο σώμα εξωτερικές δνάμεις εκτός από το βάρος το. ο θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας χρησιμοποιείται μόνο σε ορισμένες περιπτώσεις και πρέπει να προσέχομε τα εξής: Ι. α έργα των εξωτερικών δνάμεων προστίθενται αλγεβρικά. Έτσι κάθε δύναμη πο σχηματίζει με την ορά της μετατόπιση το σώματος γωνία μικρότερη των 90 δίνει θετικό έργο (σχ.13), ενώ κάθε δύναμη πο σχηματίζει με τη ορά της μετατοπίσεως το σώματος γωνία μεγαλύτερη των 90 δίνει έργο αρνητικό (σχ.14). έλος αν η ορά της δύναμης σχηματίζει γωνία 90 με την ορά της μετατόπισης το σώματος, η δύναμη δεν παράγει έργο (σχ.15). ΙΙ. ο βάρος θεωρείται εξωτερική δύναμη και επομένως όταν προσθέτομε τα έργα των εξωτερικών δνάμεων θα λαμβάνομε πόψη και το έργο το βάρος. ΙΙΙ. Εάν έχομε στο πρόβλημα απώλεια μηχανικής ενέργειας, ατή οείλεται σε κάποια ανθιστάμενη δύναμη η οποί α δεν αναέρεται στο πρόβλημα. Όταν επομένως θα προσθέτομε τα έργα των εξωτερικών δνάμεων θα χρησιμοποιούμε και το έργο της ανθιστάμενης δύναμης με αρνητικό πρόσημο. IV. Αν στην σχέση μεταβολής της κινητικής ενέργειας πάρχον άγνωστα μεγέθη κινηματικής ή δναμικής ατά πολογίζονται από τος γνωστούς τύπος. V. ο θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας δε μπορούμε να το χρησιμοποιήσομε στην περίπτωση πο δίνεται ή ζητείται δναμική ενέργεια σώματος. 'Η πιο σωστά μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση εκείνη στην οποία δεν σμπεριλάβομε στο άθροισμα των έργων των εξωτερικών δνάμεων το έργο το βάρος. Ατό σμβαίνει διότι το έργο των εξωτερικών δνάμεων (πλην το έργο
το βάρος) αποταμιεύεται στο σώμα πό μορή κινητικής και δναμικής ενέργειας και επομένως μεταβάλει την μηχανική ενέργεια ατού. ΠΑΡΑΗΡΗΣΗ: 1. Γενικά η Αρχή Διατήρησης της ενέργειας μπορεί να γραεί με τις πιο κάτω μορές ανάλογα με την εκώνηση και τα δεδομένα το προβλήματος και τις δνάμεις πο ενεργούν. Ι. Όταν στο σώμα ή στο σύστημα σωμάτων ενεργεί δύναμη η οποία το κινεί ατή προσέρει στο σώμα ενέργεια. ότε η ΑΔΕ γράεται: Εαρχ+Wπρ=Ετελ (1) όπο Εαρχ η αρχική μηχανική ενέργεια το σώματος, Ετελ η τελική το ενέργεια και Wπρ=.S η προσερόμενη ενέργεια εόσον η δύναμη είναι σταθερή. II. Όταν κατά την κίνηση το σώματος ενεργεί. ανθιστάμενη δύναμη, όπως π.χ. η τριβή, η δύναμη ατή δαπανά ενέργεια. Έτσι το έργο της προστίθεται στην τελική ενέργεια δηλ Εαρχ=Ετελ+Wδαπ () όπο το Wδαπ δηλώνει το έργο της ανθιστάμενης δύναμης και δίνεται από την σχέση Wδαπ=αν.S εόσον η ανθιστάμενη δύναμη είναι σταθερή. Επειδή το μεγαλύτερο μέρος των μαθητών δεν προσέχει τα πρόσημα των έργων προτείνομε το ΘΜΚΕ να γράεται με τος παρακάτω τρόπος ανάλογα με το εάν ενεργούν στο πρόβλημα δνάμεις πο παράγον ή δαπανούν ενέργεια. ΙΙΙ. έλος αν στο σώμα ενεργούν και οι δύο δνάμεις πο αναέραμε πιο πάνω μπορούμε να γράψομε την ΑΔΕ με την μορή Εαρχ+Wπρ=Ετελ+Wαπ (3) ή λόγω της αρχής της επαλληλίας πο αναέραμε στην αρχή το κεαλαίο Εαρχ+W Σ =Ετελ Η πιο πάνω έκραση αποτελεί το γνωστό ΘΜΚΕ..Οι θέσεις μεταξύ των οποίων εαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας χρησιμοποιούνται αθαίρετα από τον μαθητή. Προσέχομε όμως να χρησιμοποιούμε θέσεις τέτοιες ο οποίες απλοστεύον την λύση της άσκησης 3.Προσοχή στις εκράσεις πο χρησιμοποιούμε στην ΑΔΕ και το ΘΜΚΕ. ο ΘΜΚΕ χρησιμοποιείται για διαδρομές ενώ η αρχή διατήρησης της ενέργειας για θέσεις. Πριν αναερθούμε σε παραδείγματα θα προσπαθήσομε να χωρίσομε τις ασκήσεις το 1ο κεαλαίο σε τέσσαρες μεγάλες κατηγορίες. Θα σχεδιάζομε τις σνήθως χρησιμοποιούμενες δνάμεις και θα γράομε την μορή της ΑΔΕ καθώς επίσης και τος ρθμούς μεταβολής κάθε είδος ενέργειας. 4. Πρέπει να τονίσομε ότι ο ρθμός μεταβολής ενός μεγέθος καθορίζεται από δύο σχέσεις: α) μέσος ρθμός μεταβολής ( Δ ) και γενικά για την ενέργεια ( Δ Δ Δ E )=. όπο η μέση ταχύτητα κινήσεως και
β) στιγμιαίος ρθμός μεταβολής ( Δ )στ και για την ενέργεια ( Δ E )=. όπο η στιγμιαία Δ Δ ταχύτητα στην καθορισμένη θέση πο θα δίνεται από την άσκηση. Εμείς θα χρησιμοποιήσομε πιο κάτω τον στιγμιαίο ρθμό πο εμανίζεται κατά το πλείστον στις ασκήσεις. Οι κατηγορίες πο αναέραμε είναι: Ι. Κίνηση σώματος σε οριζόντιο επίπεδο Στις ασκήσεις ατού το είδος δεν λαμβάνονται πόψη οι δνάμεις πο είναι κάθετες στο οριζόντιο επίπεδο όπως π.χ. το βάρος το σώματος. α) Στο σώμα ενεργεί οριζόντια δύναμη Η δύναμη προσέρει στο σώμα ενέργεια η οποία αποταμιεύεται σ' ατό πό μορή κινητικής ενέργειας δηλ Εκιν=W Η ΑΔΕ για την περίπτωση ατή παίρνει την μορή Εαρχ+W =Ετελ και ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι Δ ιν = Σ. β) Στο σώμα ενεργεί δύναμη πο σχηματίζει γωνία με τον ορίζοντα και έχει όρα προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Η σνιστώσα της δύναμης στον άξονα κίνησης το σώματος προσέρει σ' ατό ενέργεια πο αποταμιεύεται στο σώμα πό μορή κινητικής ενέργειας δηλ. Εκιν=W Η ΑΔΕ για την περίπτωση ατή παίρνει την μορή : Εαρχ+W =Ετελ και ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι Δ ιν = Σ. γ) Στο σώμα ενεργεί δύναμη αντιστάσεων α η οποία ελαττώνει την κινητική ενέργεια το σώματος μέσω το έργο της γράεται Η ΑΔΕ τώρα παίρνει την μορή : Εαρχ=Ετελ+W α και ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι Δ ιν = Σ. δ) Η ίδια ακριβώς περίπτωση εμανίζεται όταν το ρόλο της παίρνει η τριβή. ότε η απώλεια κινητικής ενέργειας το σώματος εμανίζεται πό μορή θερμότητας. Η ΑΔΕ α y Λείο επίπεδο Λείο επίπεδο Λείο επίπεδο
Εαρχ=Ετελ+W και ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας δηλώνει τον ρθμό παραγωγής θερμότητας ΔQ = T. Δ ε) Αν το σώμα κινείται σε μη λείο επίπεδο πό την επίδραση της οριζόντιας δύναμης. ότε ένα μέρος της προσερόμενης ενέργειας (από το W ) μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια μέσω το έργο της σνισταμένης δύναμης και ένα μέρος χάνεται πό μορή θερμότητας. Η ΑΔΕ γράεται Εαρχ+W =Eτελ+W T Οι ρθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας και απώλειας γράονται αντίστοιχα Δ ιν ΔQ = Σ. = ( T ). και = Δ T. στ) Η ίδια περίπτωση εμανίζεται και όταν η δύναμη ενεργεί πό γωνία με την μόνη διαορά ότι στη θέση της τοποθετείται η σνιστώσα δύναμη πο ενεργεί κατά την διεύθνση της κίνησης δηλαδή. Σε όλες τις πιο πάνω περιπτώσεις οι δνάμεις μπορεί να είναι σταθερές οπότε τα έργα τος πολογίζονται από την γνωστή σχέση ή μεταβλητές οπότε τα έργα πολογίζονται από γραική παράσταση =f(). II.Κίνηση σώματος σε κατακόρο επίπεδο α) Στο σώμα ενεργεί κατακόρη δύναμη με ορά προς τα πάνω. Η ενέργεια πο προσέρει μέσω το έργο της η δύναμη αποταμιεύεται στο σώμα πό μορή κινητική ενέργειας και δναμικής. Η ΑΔΕ γράεται: Εαρχ+W =Ετελ όπο Εαρχ δηλώνει το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας το σώματος και η Ετελ δηλώνει το άθροισμα πάλι της κινητικής και δναμικής ενέργειας το σώματος. Εδώ μπορεί να ζητηθούν δύο ρθμοί. Ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας και ο ρθμός μεταβολής της δναμικής ενέργειας πο δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις : Α Α Α y
Δ ιν = Σ.u = ( ). και Δ δν =. β) Στο σώμα ενεργεί κατακόρη δύναμη α με ορά πρός τα κάτω. Η ΑΔΕ γράεται : Εαρχ=Ετελ+W α όπο Εαρχ και Ετελ η ολική κινητική και δναμική ενέργεια αντίστοιχα στην αρχική και τελική θέση. Εδώ εμανίζονται ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, ο ρθμός μεταβολής της δναμικής ενέργειας και ο ρθμός απώλειας ενέργειας δηλ: Σ Δ ιν =. = ( + )., α Δ δν ΔW =. και Δ δαπ =. α III. Κίνηση σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο Είναι ίσως η πιο σημαντική περίπτωση διότι πάρχον πολλές αναλύσεις δνάμεων και αρκετές μετατροπές ενεργειών. α). Σώμα ανέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς την επίδραση δύναμης. Η ΑΔΕ γράεται με την κλασσική της μορή δηλ: Εαρχ=Ετελ όπο Εαρχ και Ετελ η αρχική και τελική ενέργεια στις αντίστοιχες θέσεις. Η δναμική ενέργεια μπορεί να γραεί με δύο μορές καλλίτερα όμως να γράεται με την κλασσική της δηλ. ΕΔ=mgh=mgs ημ όπο s η απόσταση μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης, δηλ η (ΑΓ). σχέσεις Οι ρθμοί μεταβολής της κινητικής και δναμικής ενέργειας δίνονται αντίστοιχα από τις Δ δν =. = m.g. ημϕ. ημϕ Δ κιν =. = m.g.. β) Σώμα ανέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο πό την επίδραση δύναμης παράλληλης προς το κεκλιμένο επίπεδο. Ν α y
Η ενέργεια πο προσέρεται μέσω το έργο της δύναμης αποταμιεύεται πό μορή κινητικής και δναμικής ενέργειας. Η ΑΔΕ γράεται Εαρχ+W =Ετελ όπο Εαρχ και Ετελ δηλώνον το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας στην αρχική και τελική θέση. Οι ρθμοί προσοράς ενέργειας, μεταβολής της κινητικής ενέργειας και μεταβολής της δναμικής ενέργειας δίνονται αντίστοιχα από την σχέση ΔW Δ =. Δ κιν = Σ. = ( m.g. ημϕ ). ημϕ Δ δν =. = m.g.. γ) Σώμα ανέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο πό τη επίδραση οριζόντιας δύναμης. Η ενέργεια πο προσέρεται στο σώμα προέρχεται από το έργο της σνιστώσας δύναμης. ο έργο της δύναμης ατής αποταμιεύεται στο σώμα πό μορή κινητικής και δναμικής ενέργειας. Η ΑΔΕ γράεται Εαρχ+W χ =Ετελ όπο Εαρχ και Ετελ δηλώνον το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας στην αρχική και τελική θέση. Οι ρθμοί προσοράς ενέργειας, μεταβολής της κινητικής ενέργειας και μεταβολής της δναμικής ενέργειας δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις ΔW Δ =. =. σνϕ. Δ κιν = Σ. = ( σνϕ m.g. ημϕ ). ημϕ Δ δν =. = m.g.. δ) Σώμα ανέρχεται σε μη λείο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς την επίδραση δύναμης. Στο σώμα ενεργεί η ανθιστάμενη δύναμη της τριβής της οποίας το έργο μετατρέπεται σε θερμότητα. Η ΑΔΕ γράεται Εαρχ=Ετελ+W T Ν Ν y y y
θέση. όπο Εαρχ και Ετελ το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας στην αρχική και τελική Οι ρθμοί απορρόησης ενέργειας, μεταβολής της κινητικής ενέργειας και μεταβολής της δναμικής ενέργειας δίνονται από τις σχέσεις ΔW T. Δ T = Δ κιν = Σ. = (T + m.g. ημϕ ). ημϕ Δ δν =. = m.g.. ε) Σώμα ανέρχεται σε μη λείο κεκλιμένο επίπεδο πό την επίδραση δύναμης παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο. Η ενέργεια πο προσέρεται στο σώμα μετατρέπεται α' ενός μεν σε θερμότητα και α' ετέρο αποταμιεύεται στο σώμα πό μορή κινητικής και δναμικής ενέργειας. Έτσι η ΑΔΕ γράεται Εαρχ+W =Ετελ+W T όπο Εαρχ και Ετελ το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας στην αρχική και τελική θέση. Οι ρθμοί πο εμανίζονται είναι: ο ρθμός προσοράς ενέργειας στο σώμα ΔW Δ =. ο ρθμός απορρόησης ενέργειας ή παραγωγής θερμό- τητας ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ΔQ = T. Δ Δ κιν = Σ. = ( T m.g. ημϕ ). και ο ρθμός μεταβολής της δναμικής ενέργειας ημϕ Δ δν =. = m.g.. στ) Σώμα ανέρχεται σε μη λείο κεκλιμένο επίπεδο πό την επίδραση οριζόντιας δύναμης. Στην περίπτωση ατή ισχύον ότι και προηγούμενα (περίπτωση ε) μόνο πο την θέση της παίρνει η. Η ΑΔΕ γράεται και οι αντίστοιχοι ρθμοί Εαρχ+W =Ετελ+W T A A y y
ΔW Δ =. = σνϕ. ΔW T. Δ T = Σ ημϕ Δ κιν =. = ( T m.g. ). ημϕ Δ δν =. = m.g.. Σε όλες τις πιο πάνω περιπτώσεις κατηγοριών η δύναμη μπορεί να είναι σταθερή ή μεταβλητή οπότε ο πολογισμός των έργων γίνεται με τις αντίστοιχες μεθόδος. Κατά την διάρκεια βέβαια της λύσης μπορεί να προκύψει και κάποια άλλη δύναμη μεταβλητή (όπως στη περίπτωση (ΙΙΙστ) η τριβή). ταχύτητα. Επίσης όλοι οι ρθμοί πο αναέραμε είναι στιγμιαίοι και η ταχύτητα u δηλώνει την στιγμιαία ΙV. Κίνηση σώματος σε κκλικά τόξα. α έργα των δνάμεων πο μπορεί να ενεργήσον σε τέτοιο είδος κινήσεις αναέρθηκαν αναλτικά στις σελίδες 1. και 1.3 λόγω της ιδιαιτερότητας πο παροσιάζον. Έγινε μια προσπάθεια να καταλάβον οι μαθητές ότι δύναμη και μετατόπιση πρέπει να είναι στην ίδια διεύθνση για τον πολογισμό το έργο σταθερής δύναμης. Εδώ θα τονίσομε ότι σε όλες ατές τις κινήσεις χρησιμοποιούμε πολλές ορές την σχέση της κεντρομόλο δύναμης. για τον πολογισμό άγνωστων μεγεθών. ΠΡΟΣΟΧΗ : Σ= K Δεν είναι δηλαδή απαραίτητο το σώμα να διαγράψει ολόκληρη κκλική τροχιά, όπως πιστεύεται. Αρκεί και μόνη η κίνησή το σε ελάχιστο τμήμα τόξο. Στη σνέχεια θα αναέρομε ορισμένα στοιχεία της κκλικής κίνησης α)κίνηση σώματος σε κατακόρη κκλική τροχιά. Εδώ το σώμα κατά την κίνησή το μεταβάλλει την ταχύτητα το λόγω μετατροπή της κινητικής το ενέργειας σε δναμική. Έτσι μεταβάλλεται σε κάθε θέση πο περνά και η τάση το νήματος ή της ράβδο (εόσον ατό κρέμεται από νήμα ή ράβδο) ή ακόμη η αντίδραση το δαπέδο (εόσον κινείται σε κατακόρη κκλική τροχιά.) Θα θεωρήσομε ότι κρέμεται από νήμα. Στη θέση Α ισχύει: Στη θέση Γ m. Σ = T A A = (1) l τον ρόλο της κεντρομόλο δύναμης παίζει η τάση το νήματος Α (Α) (K) Β Γ Β (Γ)
Στη θέση Δ m. Σ = T Γ A = () l τον ρόλο της κεντρομόλο δύναμης παίζει η σνισταμένη των δνάμεων δηλαδή ταχύτητας m. Σ = T Δ Δ + = (3) l Από ΑΔΕ για τις θέσεις (Α) και (Δ) προκύπτει η σχέση της = 4g.l Δ 0 (5) Στη θέση Δ έχομε την σνθήκη ανακύκλωσης η οποία για το σγκεκριμένο σώμα θα είναι T Δ 0 οπότε από την (4) και (5) θέτοντας οριακά Δ =0 προκύπτει η ελάχιστη ταχύτητα uο για να έχομε ανακύκλωση Όμοια για την θέση Ε έχομε g.l = 4g.l = 0 0 m. m. Σ = T E T mg E E + y = l E + σνϕ = l και εαρμόζοντας την ΑΔΕ για τις θέσεις (Α) και (Ε) πολογίζομε τη ταχύτητα το σώματος στη θέση (Ε) οπότε έχομε = g.l.( 1 + σνϕ ) (7) E 0 β) Κίνηση σώματος σε οριζόντια κκλική τροχιά. Εδώ το σώμα κατά την κίνησή το διατηρεί σταθερή τη ταχύτητα το και την τάση το νήματος. Έτσι μπορούμε εύκολα να πολογίσομε και τα δύο μεγέθη. Θα έχομε Σ= K ή πιο εύκολα επειδή η γωνία διατηρείται σταθερή 5g.l Δ (Δ) Β (K) y (Ε) Β K Ε Β (K)
m. l εϕϕ = εϕϕ = εϕϕ = mg l.g Στην περίπτωση ατή πολλές ορές μας ζητείται η ολική ενέργεια το σώματος η οποία πολογίζεται από το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας. ο σώμα περικλείει δναμική ενέργεια διότι έχει ανψωθεί κατά h από την αρχική θέση. E = 1.m. + m.g.l.( 1 σνϕ ) ολ