ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: () θαη i Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ii g δηαζηήκαηα (,0) θαη (0, ) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο iii Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο ( ) ( ) είλαη ζηαζεξή ζε θαζέλα από ηα ΘΔΜΑ :[,6] Rε νπνία είλαη ζπλερήο ζην [,6] θαη παξαγωγίζηκε ζην (,6) κε () (6) i Να δείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα 0 (,6) ηέηνην, ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο λα έρεη ζην ζεκείν A( 0, ( 0)) νξηδόληηα εθαπηνκέλε ii Να δείμεηε όηη ππάξρνπλ, (,6) κε ηέηνηα, ώζηε '( ) 4 '( ) 0 ΘΔΜΑ 4 ( ) i Να δείμεηε όηη ε είλαη θπξηή ζην R ii Να δείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό 0 0, ηέηνην, ώζηε '( 0 ) 0 iii Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηε κνλνηνλία ΘΔΜΑ 5 Δίνεται δυο φορζσ παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη : R R, για την οποία ιςχφουν: () 5, () και ( ) για κάθε R Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιςτον ζνα (,) τζτοιο, ώςτε ''( ) 0
ΘΔΜΑ 6 Έζηω :(0, ) Rπαξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύεη: γηα θάζε 0 θαη () Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ζην ζεκείν A (,) ( ) e ln ΘΔΜΑ 7 Γίλεηαη ε ζπλερήο θαη πξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( e ) e γηα θάζε, i Να δείμεηε όηη '(0) ii Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο iii ζην 0, (0) A είλαη ε y Αλ έλα ζεκείν θηλείηαη πάλω ζηελ πξνεγνύκελε επζεία θαη ε ηεηκεκέλε ηνπ απμάλεηαη κε ξπζκό cm / sec λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ΘΔΜΑ 7 Γίλεηαη κηα ζπλάξηεζε : R R ε νπνία είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 κε '(0) θαη y γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( y) ( ) e ( y) e γηα θάζε, y R i ( ) Να ππνινγίζεηε ην (0) θαη ην lim 0 ii Να δείμεηε όηη ε είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν 0 ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο 0 κε '( ) ( ) e 0 0 ΘΔΜΑ 8 Έζηω κηα παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε ζην R γηα ηελ νπνία ηζρύεη: R Να δείμεηε όηη: ε g( ) ( ) () () είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην R ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα (,) ηέηνην ώζηε '( ) '( ) γηα θάζε ΘΔΜΑ 9 i Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηε κνλνηνλία ηα αθξόηαηα θαη λα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο g( ) ln ii Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο ( ) e ln iii Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη λα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ΘΔΜΑ 0 Να δείμεηε όηη: ln γηα θάζε 0
Να δείμεηε όηη ε g( ) ln έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην δηάζηεκα, e Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε ( ) e ln ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο 4 Να κειεηήζεηε ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα θαη λα βξείηε ηα ζεκεία θακπήο ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ πξνεγνύκελνπ εξωηήκαηνο ΘΔΜΑ e ( ), θαη ι>0 i Να δείμεηε όηη ε έρεη έλα ειάρηζην ii ΘΔΜΑ Να βξείηε γηα πνηα ηηκή ηνπ ι ην πξνεγνύκελν ειάρηζην παίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ Γίλεηαη ν κηγαδηθόο z e ( e ) i, R i Να δείμεηε όηη: Re( z) Im( z) ii Να βξείηε ηα R γηα ηα νπνία ε εηθόλα ηνπ z βξίζθεηαη πάλω ζηελ επζεία y = iii Να βξείηε ην ζύλνιν ηωλ ηηκώλ πνπ κπνξεί λα πάξεη ην z z _ ΘΔΜΑ Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε 5 Γίλεηαη ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε : R R κε '( ) ( ) γηα θάζε R i Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ii Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο αλ (0) g( ) e ( ) είλαη ζηαζεξή ζην R iii Αλ hkπαξαγωγίζηκεο, ζπλαξηήζεηο ζην R, κε h'( ) h( ) k '( ) k( ) γηα θάζε R θαη h(0) k(0), ηόηε λα δείμεηε όηη h k ΘΔΜΑ 4 ( ) ( 4 ) e i Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα απνδείμεηε όηη έρεη έλα νιηθό αθξόηαην ii Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα θαη λα βξείηε ηα ζεκεία θακπήο ηεο, αλ ππάξρνπλ iii Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο iv Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο v Να απνδείμεηε ηελ αληζόηεηα: ( 4 ) e 7 ζην ζεκείν 0, (0) A γηα θάζε 4
ΘΔΜΑ 5 Γίλεηαη ζπλάξηεζε ( ) e ln( ) i Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ii Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο iii Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε ( ) 0 iv Αλ γηα ηνπο αξηζκνύο, R κε 0 θαη, ηζρύεη: λα ππνινγίζεηε ηνπο, e ln( ) e ln( ) ΘΔΜΑ 6 ( ), 0 i Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ii ΘΔΜΑ 7 Να δείμεηε όηη: 0 6 6 5 ( ) ( )ln, 0 i Να δείμεηε όηη ( ) ln 0, γηα θάζε 0 ii Να κειεηήζεηε ηελ ωο ηε κνλνηνλία θαη λα ιύζεηε ηελ εμίζωζε ( ) 0 iii Να δείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό 0, e είλαη ζεκείν θακπήο ηεο iv Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο ηέηνην, ώζηε ην ζεκείν, ( ) A λα 0 0 ΘΔΜΑ 8 ( ) ln( ) i Να δείμεηε όηη ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R ii iii ΘΔΜΑ 9 Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε: Να ιύζεηε ηελ αλίζωζε: ( ) e 4 ln7 ln( ) ln 4 6 i Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα ii Να απνδείμεηε όηη: '( ) ( ) ( ), γηα θάζε >0
ΘΔΜΑ 0 Γίλεηαη ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην, θαη παξαγωγίζηκε ζην, κε θαη i Να δείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα, ηέηνην, ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο ii ζην A, ( ) λα είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία κε εμίζωζε y = 4+ Να δείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα, ηέηνην, ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο ζην, ( ) λα δηέξρεηαη από ην 0,0 O ΘΔΜΑ Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε () = ln + e, (, + ) Α Να δείμεηε όηη ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην δηάζηεκα (, + ) Β Να ππνινγίζεηε ην όξην lim ( ) Γ Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε () = 0 έρεη κνλαδηθή ιύζε ζην δηάζηεκα (, + ) Γ Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο ΘΔΜΑ Γίλνληαη νη πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο θαη g κε () = g () + θαη () γηα θάζε R Γίλεηαη αθόκε όηη νη επζείεο y = + 5 θαη y = -5 είλαη αζύκπηωηεο ηωλ θαη g αληίζηνηρα όηαλ Α Να βξείηε ην όξην lim g( ) 5 ( ) 5 Β Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε g() = 0 έρεη ην πνιύ κία ξίδα ζην R Γ Να δείμεηε όηη () = g() + + 0