ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων για πραγματικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών Δίνουμε όμως πρώτα τον επόμενο γενικό ορισμό: «Έστω f συνάρτηση ορισμένη σ ένα τόπο Τ Θα λέμε ότι η f έχει σχετικό μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο) στο σημείο Ρ εσωτερικό του τόπου Τ, αν υπάρχει κατάλληλη περιοχή ω του Ρ, τέτοια ώστε για όλα τα σημεία Ρω να είναι f( P) f( P ) (αντίστοιχα f( P) f( P ))» Αυτά τα σχετικά ακρότατα είναι με την ευρεία έννοια Αν δεν ισχύει η ισότητα έχουμε ακρότατα με τη στενή έννοια Όπως και στη θεωρία των ακρότατων μιας πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής, έτσι κι εδώ θα μελετήσουμε τις συνθήκες ύπαρξης ακρότατων συνάρτησης f πολλών μεταβλητών και θα βρούμε τα σημεία όπου η f έχει μέγιστο ή ελάχιστο Προς τούτο θα διακρίνουμε διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων πολλών μεταβλητών που θα αναζητήσουμε τα ακρότατα Αυτές είναι: Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 3_MATHEMATIKA II_indd 6 9//4 9:56: πμ

6 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Έστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f (x, y) και σημείο Ρ (x, y ) του τόπου ορισμού Τ R Αν το f (x, y ) είναι ένα σχετικό μέγιστο, τότε με βάση τον παραπάνω ορισμό, είναι δυνατό να βρούμε έναν αριθμό θετικό, τέτοιο ώστε για κάθε h και k μικρότερα απολύτως του, δηλαδή για h, k να προκύπτει ότι f( x h, y k) f( x, y) () Θα αναζητήσουμε τις αναγκαίες συνθήκες για την εύρεση σημείων όπου η f (x, y) παίρνει άκρες τιμές Ας υποθέσουμε ότι το y παραμένει σταθερό και ίσο με y Τότε το z γίνεται συνάρτηση μόνο της μεταβλητής x, οπότε, για να διατηρεί η διαφορά f( x h, y) f( x, y) f σταθερό πρόσημο για μικρές τιμές του h, πρέπει η παράγωγος να είναι μηδέν για x x και y y Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι πρέπει να είναι x f μηδέν και η παράγωγος y Επομένως οι τιμές των x και y που δίνουν σχετικά μέγιστα ή ελάχιστα πρέπει να αναζητηθούν στη λύση του συστήματος f f, () x y (επέκταση της συνθήκης f( x) της y f( x) με μία μεταβλητή) Τα σημεία του τόπου Τ που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος λέγονται σημεία στάσης Όπως τονίστηκε πριν, οι παραπάνω συνθήκες είναι αναγκαίες, όχι όμως ικανές Δηλαδή, η λύση του συστήματος αυτού δίνει σημεία τα οποία μπορεί να είναι ή να μην είναι ακρότατα της συνάρτησης z = f (x, y) Την απάντηση στο θέμα αυτό μας τη δίνουν μερικές ακόμα συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για την z = f (x, y) Υποθέτουμε ότι οι παράγωγοι ης τάξης της f (x, y) είναι συνεχείς στην περιοχή του σημείου στάσης P( x, y ) και δεν είναι όλες, για x = x και y = y Θέτουμε: 3_MATHEMATIKA II_indd 6 4/3/4 :8:4 πμ

3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 63 f f f,, (3) x xy y P P P Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω περιπτώσεις: η : Αν, τότε η f (x, y) έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ (x, y ) και μάλιστα: f σχετικό μέγιστο αν, ή x σχετικό ελάχιστο αν P f, ή x P f y P f, y P (Τα Α, Γ αποδεικνύεται ότι έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο) η : Αν, τότε η f (x, y) δεν έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ 3 η : Αν, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε με βεβαιότητα αν η f( x, y ) παρουσιάζει στο σημείο στάσης Ρ τοπικό ακρότατο Στη περίπτωση αυτή καταφεύγουμε στον ορισμό Εξετάζουμε δηλαδή την διαφορά: f( x, y) f( x, y) ή f x h y k f x y (, ) (, ) Αν το δ διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του σημείου P( x, y) τότε, όταν δ > το P( x, y ) είναι σημείο ελαχίστου, διότι τότε θα είναι f( x, y) f( x, y) f( x, y) f( x, y), ενώ όταν δ < το P( x, y ) είναι σημείο μεγίστου Αν όχι, (δηλαδή αν η διαφορά δ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο), τότε το P( x, y ) θεωρείται ταυτόχρονα σημείο μεγίστου και ελαχίστου και λέγεται σημείο σάγματος (σαμαριού) ή σαγματικό σημείο Η ονομασία του προέρχεται απ τη γνωστή επιφάνεια με εξίσωση z x y, υπερβολικό παραβολοειδές το σαμάρι όπως την γνωρίσαμε στην 97 (σχήμα 4, ζ), όπου για 3_MATHEMATIKA II_indd 63 9//4 9:56: πμ

64 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ y x = παίρνουμε z δηλαδή την κάτω παραβολή, ενώ για y = παίρνουμε x z δηλαδή την πάνω παραβολή Οι δύο αυτές παραβολές έχουν το σημείο (, ) σημείο μεγίστου η πρώτη και ελαχίστου η δεύτερη, όμως και οι δύο αυτές παραβολές ανήκουν στην ίδια επιφάνεια, όπως είχε τονιστεί και στην παράγραφο 97 Ώστε συμπερασματικά, για να βρούμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης f( x, y ) διπλά διαφορίσιμης σ ένα τόπο Τ εργαζόμαστε ως εξής: α) Εξισώνουμε τις μερικές παραγώγους ως προς x και y με μηδέν, δηλαδή f x f, y και βρίσκουμε όλες τις λύσεις του συστήματος που δίνουν τα σημεία στάσης Θεωρούμε τα σημεία στάσης που βρίσκονται μέσα στον τόπο Τ β) Βρίσκουμε την τιμή της παράστασης Β ΑΓ όπου τα Α, Β, Γ ορίζονται απ τις σχέσεις (3) για κάθε σημείο στάσης Για το εκάστοτε σημείο στάσης: Αν Β ΑΓ <, τότε υπάρχει άκρα τιμή και μάλιστα σχετικό μέγιστο αν Α < (ή Γ < ), ενώ σχετικό ελάχιστο αν Α > (ή Γ > ) Αν Β ΑΓ >, τότε δεν υπάρχει άκρα τιμή Αν Β ΑΓ =, τότε έχουμε απροσδιοριστία και πάμε στο δ γ) Υπολογίζουμε τις άκρες τιμές της συνάρτησης αντικαθιστώντας τις τιμές των σημείων στάσης στην z = f (x, y) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 3 3 ) Δίνεται η συνάρτηση z f( x, y) x y 3 xy Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής 3_MATHEMATIKA II_indd 64 4//4 :33:33 μμ

3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 65 ΛΥΣΗ Η f (x, y) είναι ορισμένη σ όλο το επίπεδο R και έχει μερικές παραγώγους ης τάξης στο R Τα τοπικά ακρότατα της f (x,y) αν υπάρχουν θα αναζητηθούν στις πραγματικές τιμές του συστήματος: f x 3x 3y, (), f y 3y 3x () Η () δίνει x = y 4 οπότε η () γίνεται ( y ) y ή y y η οποία έχει πραγματικές ρίζες y = και y = Για τις τιμές αυτές του y η () δίνει x = και x = (Η τιμή x = απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει τη η εξίσωση) Άρα τα σημεία στάσης (πιθανά ακρότατα) είναι τα P (, ) και P (, ) Επιπλέον είναι f f f 6 x, 3, 6y x xy y α) Για το σημείο στάσης P (, ) έχουμε: f f f, 3, x xy y x x x y y y Επομένως Β ΑΓ = 3 = 9 >, άρα το σημείο στάσης P (, ) δεν είναι σημείο ακρότατου β) Για το σημείο στάσης P (, ) έχουμε f f f 6, 3, 6 x xy y x x x y y y Επομένως Β ΑΓ = 3 ( 6) ( 6) = 7 < Άρα το P (, ) είναι θέση τοπικού ακρότατου της f (x, y) και επειδή Α = 6 < το Ρ (, ) θα είναι θέση τοπικού μεγίστου που είναι: z = f μεγ (, ) = ( ) 3 +( ) 3 +3( )( ) = 3_MATHEMATIKA II_indd 65 4//4 :38:5 μμ

66 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 4 ) Δίνεται η συνάρτηση z f( x, y) x y Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής (αν υπάρχουν) ΛΥΣΗ f Είναι x f x y x y y 3, 4, Άρα το μοναδικό σημείο στάσης είναι το P (, ) Είναι f f f,, y x xy y επομένως f f f,, x xy y x x x y y y οπότε Β ΑΓ = = άρα έχουμε απροσδιοριστία (3η περίπτωση) Πιθανώς λοιπόν το P (, ) να είναι θέση τοπικού ακρότατου, πιθανώς όχι Έτσι καταφεύγουμε στον ορισμό Εξετάζουμε δηλαδή αν η διαφορά f( x, y) f(,) x y ( ) x y 4 4 4 διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του P (, ) Είναι όμως 4 x y για κάθε (x, y) T {(,)}, όπου T είναι μια περιοχή του P (, ) Δηλαδή 4 f( x, y) f(,) x y, άρα f( x, y) f(,) Άρα, το P (, ) είναι θέση τοπικού ελάχιστου του 4 f (, ) 3_MATHEMATIKA II_indd 66 9//4 9:56: πμ

3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 67 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία των παρακάτω συναρτήσεων α) f( x, y) xy x y 3 3 (Απ: (,) x β) f( x, y) y (Απάντηση: f (,) σαγματικό) f σαγματικό, f max (4,4) 64 ), ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα ακρότατα των συναρτήσεων α) β) 3 3 3 3 3 f( x, y) x xy x(απ: f min,, f max, 3 9 3 ) 9 f( x, y) x 4xy y 6y (Απ: Δεν υπάρχουν ακρότατα), γ) δ) 3 3 f( x, y) x y 3x3y (Απ: fmax (, ) 5, fmin (,) 3), f( x, y) x y ( x y) 4 4 (Απ: f min f min (, ) (, ) 8) ε) 3 f( x, y) x ( x y) 6y (Απάντηση: f min (,4) 3, f (,) 5 σαγματικό), στ) f( x, y) xy( x y)( x y) (Απάντηση: fmax, ), 3 3 3 ζ) f( x, y) x y( x y) με (x, y) [, π] x [, π] 3 3 (Απάντηση: fmax (, ) ), 3 3 4 η) f( x, y) ( x y) y (Απάντηση: f (,) σαγματικό) 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Έστω η πραγματική συνάρτηση f( x, x,, x ) ορισμένη σ ένα σύνολο Τ R ν, της οποίας υπάρχουν στο Τ και είναι συνεχείς οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης Έστω ακόμα το σημείο P(,,, ) το οποίο είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων f f f,,, x x x 3_MATHEMATIKA II_indd 67 9//4 9:56: πμ

68 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ f Θέτουμε xix j P ij f f Ως γνωστό ισχύει δηλαδή xix j xjx ij ji, i (εφόσον οι μερικές παράγωγοι ης και ης τάξης είναι συνεχείς) Για p =,,, ν σχηματίζουμε την εκάστοτε ορίζουσα a a a a a a p p p a a a p p pp με a Έτσι σχηματίζονται οι ορίζουσες: a a a a a a3 a a a a a, 3 a a a3,, a a a3 a3 a33 a a a Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: Για να έχει η f ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο P, αρκεί οι ορίζουσες,,, να είναι όλες θετικές Για να έχει η f ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο P, αρκεί οι παραπάνω ορίζουσες να είναι,, 3, δηλαδή να είναι εναλλάξ αρνητικές και θετικές (ξεκινώντας με αρνητική την πρώτη) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν για το σημείο P δεν ικανοποιείται μια απ τις συνθήκες ή, δεν θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι το P δεν αποτελεί θέση ακρότατου Στην περίπτωση αυτή, η τελική διαπίστωση θα γίνεται με τη βοήθεια του ορισμού (πρόσημο του δ) Διαπιστώνεται εύκολα, ότι οι συνθήκες ύπαρξης σχετικού μεγίστου ή ελαχίστου στην περίπτωση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών συμπίπτουν με τις συνθήκες ύπαρξης άκρων τιμών της προηγούμενης παραγράφου, γιατί στην περίπτωση αυτή έχουμε προφανώς: 3_MATHEMATIKA II_indd 68 4//4 :44:4 μμ

3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 69 a, a, a a Επομένως είναι a a a, a a Άρα για,, δηλαδή για, ή έχουμε ελάχιστο, όπως φαίνεται στην η περίπτωση της παρ 3, ενώ για,, δηλαδή για έχουμε μέγιστο, ή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 3 3 f( x, y, z) x y z 3xy3yz 3zx ΛΥΣΗ Λύνουμε το σύστημα f x 3x 3y 3z f y 3y 3x 3z f z y x z 3 3 3 () () (3) Με αφαίρεση των () και (3) κατά μέλη έχουμε y z z y ή ( yz)( yz) (4) Από την (4) προκύπτει: z y (5), ή yz (6) 3_MATHEMATIKA II_indd 69 9//4 9:56: πμ

7 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Από την (5), για z y η () γίνεται x y (ι), ενώ η () γίνεται y x y (ιι) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (ι) και (ιι) υπολογίζουμε τα x, y Έτσι, η (ιι) δίνει x y y ( ), ενώ η (ι) για την τιμή αυτή του x γίνεται ( y y) y ή ( y y) y ή 4 3 y y y y 3 yy ( y y) y y( y) ( y) yy ( )( y ) (7) Απ την (7) παίρνουμε τις πραγματικές ρίζες y ή y Για y η (5) δίνει z και η () δίνει x Άρα το σημείο P (,,) είναι ένα σημείο στάσης Για y η (5) δίνει z και η () δίνει x Άρα το σημείο P (,, ) είναι ένα δεύτερο σημείο στάσης Από την (6) για z y η () γίνεται x y y που δίνει φανταστικές ρίζες για το x τις x i Μετά την εύρεση των σημείων στάσης βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους ης τάξης της f (x, y, z) στη θέση P (,,) Είναι: f f f P 33 P P x y z P P P a 6x, a 6y, a 6z, f f f 3 3 3 3 a a 3, a a 3, a a 3 xy yz xz P P P Οπότε, a, 3_MATHEMATIKA II_indd 7 4//4 :48:5 μμ

3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 7 a a 3 9 a a 3, Δ = 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 3 33 3 3 36 3 3 Παρατηρούμε ότι Δ =, Δ <, Δ 3 >, άρα δεν εφαρμόζονται οι συνθήκες ή, επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν το σημείο P (,,) είναι σημείο ακρότατου Θα εξετάσουμε αυτό με τη βοήθεια του ορισμού Δηλαδή θα βρούμε αν υπάρχει περιοχή του P (,,) στην οποία η διαφορά f( x, y, z) f(,,) διατηρεί σταθερό πρόσημο Όμως, σε οποιαδήποτε περιοχή του P (,,) υπάρχουν σημεία ( x, y, z ) πχ x, y, z τέτοια ώστε f( x, y, z ) f(,,) x y z 3x y 3x z 3y z, καθώς και σημεία 3 3 3 ( x, y, z ) πχ x, y, z τέτοια ώστε f( x, y, z) f(,,) x y z 3xy 3xz 3yz, 3 3 3 δηλαδή η διαφορά δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο Άρα το P (,,) δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου Στην περίπτωση αυτή επομένως το P (,,) αποτελεί σημείο σάγματος (ή σαγματικό σημείο) Εργαζόμαστε τώρα εντελώς ανάλογα για το P (,, ) Είναι a a a33 a a a3 a3 a3 a3, 3, οπότε 3 3 3, 35, 3 3 3 35 3 3 3 Άρα σύμφωνα με τη συνθήκη, στο σημείο στάσης P (,, ) έχουμε τοπικό μέγιστο, το f max (,, ) 3_MATHEMATIKA II_indd 7 9//4 9:56: πμ

7 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 3 3 f( x, y, z) x y z 3xy3yz 3zx (Απάντηση: f max (,, ), f (,,) σαγματικό σημείο) ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) xyz( x y z) (Απάντηση: fmax (,, ) ) 4 4 4 56 3) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 4 4 4 f ( x, y, z) x y z 4xyz (Απ: f (,,) σαγματικό σημείο, ενώ f (,, ) f (,, ) f (,, ) f (,, ) ) min min min min 4) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης x 3 f ( x, y, z) xyz y z (Απάντηση: f (,, ) σαγματικό σημείο) 5) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) 7 x y 3z xz (Απάντηση: f (,,) 7) max 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης Διακρίνουμε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις: 33 ( η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με μια μεταβλητή Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση y που ορίζεται με μια ανεξάρτητη μεταβλητή f (x, y) = () f όπου Υποθέτουμε ότι η () έχει παραγώγους μέχρι ης τάξης συνεχείς y 3_MATHEMATIKA II_indd 7 9//4 9:56: πμ

33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 73 Όπως ξέρουμε, στην περίπτωση που η () θα ήταν λυμένη ως προς y, η συνθήκη άκρων τιμών είναι y = Αν παραγωγίσουμε την () θα πάρουμε f f y, () x y f η οποία για τα σημεία ακρότατων (y = ) παίρνει τη μορφή x Λύνοντας το σύστημα f f (x, y) = και (3) x έχουμε τα πιθανά σημεία ακροτάτων της y Για να εξακριβώσουμε, αν οι λύσεις του συστήματος (3) αποτελούν μέγιστο ή ελάχιστο, πρέπει να καθορίσουμε το σημείο της y H παραγώγιση της () δίνει f f f f y y y (βλέπε τύπο (4) της 7) x xy y y f f Λαμβάνοντας υπόψη ότι y =, έχουμε y x y Έτσι, αν y έχουμε ελάχιστο, αν y μέγιστο και αν y απροσδιοριστία οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης 3 3 f( x, y) x y 3xy ΛΥΣΗ f f f Είναι 3x 3 y, 3y 3 x, 6x x y x Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων f f (x, y) = και, ή x 3 3 x y xy 3 (), και 3x 3y () Απ τη () y = x οπότε η () γίνεται 3 6 3 x x 3x ή 6 3 x x ή 3 3 x ( x ) απ όπου προκύπτει x ή x 3 3_MATHEMATIKA II_indd 73 4//4 :5:53 μμ

74 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Για x = η () δίνει y =, ενώ για x 3 δίνει y 3 4 f f Για x = έχουμε y x (απροσδιοριστία), x y y άρα δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής Για επομένως για f f = x 3 έχουμε y 3 x x y 3 y 4 x 3 έχουμε μέγιστο, το 3 6 3 y 3 4, 4 33 ( η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με δύο μεταβλητές Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση z που ορίζεται απ την εξίσωση με δύο μεταβλητές x, y, και είναι η f (x, y, z) = () η οποία έχει μερικές παραγώγους μέχρι ης τάξης συνεχείς Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων f f f( x, y, z),, x y f και έστω μια λύση αυτού η P( x, y, z ) με Τότε, σύμφωνα με το z P θεώρημα 6 ορίζεται η συνάρτηση z = φ(x, y) σε μια περιοχή του σημείου Ρ z z z Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους,, στη θέση x y xy ( x, y) και εφαρμόζουμε τη θεωρία της παραγράφου 3 για τα ακρότατα της συνάρτησης z = φ(x, y) Η ίδια μεθοδολογία μπορεί να γενικευθεί και για πεπλεγμένες συναρτήσεις με περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές Στη πράξη όμως, για τη συνάρτηση f (x, y, z) = το P( x, y, z ) αποτελεί: i) σημείο τοπικού ελαχίστου, όταν: D f x f xy f xy f y P και D f f x z P 3_MATHEMATIKA II_indd 74 4//4 :3:34 μμ

33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 75 ii) σημείο τοπικού μεγίστου, όταν D και D Αν D, τότε για την εξακρίβωση ακρότατων χρειαζόμαστε τις μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης της f (x, y, z) (αν υπάρχουν) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστούν τα ακρότατα της πεπλεγμένης συνάρτησης 3 f( x, y, z) x y z z z ΛΥΣΗ Είναι f f f f f f x, y, 3z 4z,,, x y z x y xy f f Λύνουμε το σύστημα: f( x, y, z),,, x y δηλαδή το σύστημα: 3 x y z z z x y,, 3 Οι δύο τελευταίες αν αντικατασταθούν στην πρώτη δίνουν z z z 3 ή z z( z) ή ( z)( z z) z( z) ή ( z)( z z) Η τελευταία εξίσωση έχει τη μοναδική πραγματική ρίζα z = Άρα το σημείο στάσης της f είναι το Ρ με ( x, y, z) (,, ), για το οποίο είναι f z P Εξ άλλου έχουμε 3( ) 4( ) f f x xy f f D 4, D f f x z P xy y P Άρα το σημείο Ρ (,, ) είναι θέση τοπικού μεγίστου της z = φ(x, y) και είναι: z μεγ = φ(, ) = 3_MATHEMATIKA II_indd 75 4//4 :6:9 μμ

76 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης y y( x) που ορίζεται με 4 4 πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση f( x, y) x 4xy y (Απάντηση: y max ( 3) 7, y ( 3) 7) 8 8 8 8 min ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης z f( x, y) που ορίζεται 3 με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση F( x, y, z) z xyz x y y (Απάντηση: fmax ( 6 3, 6) 3, fmin (6 3, 6) 3 ) 3) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης z f( x, y) που ορίζεται 3 με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση F( x, y, z) z xyz xy x (Απάντηση: fmax ( 6, 6 3) 3, fmin ( 6, 6 3) 3 ) 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες Έστω μια πραγματική συνάρτηση f( x, x,, x ), 3, () που ορίζεται στον τόπο Τ R, της οποίας όμως οι μεταβλητές x, x,, x δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά επαληθεύουν τις p εξισώσεις (p < ν) ( x, x,, x ) ( x, x,, x ) ( x, x,, x ) p όπου οι πραγματικές συναρτήσεις () ορίζονται σ ένα υποσύνολο του Τ, το Τ Τ R Θα ζητήσουμε να βρούμε τις θέσεις των ακρότατων τιμών της συνάρτησης f( x, x,, x ) που υπόκειται στις συνθήκες () Μια μέθοδος για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων είναι αυτή των πολλαπλασιαστών του Lagrange Κατά την μέθοδο αυτή εργαζόμαστε ως εξής: () 3_MATHEMATIKA II_indd 76 4//4 :8:37 μμ

34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 77 Σχηματίζουμε τη συνάρτηση F( x, x,, x,,,, p) f pp με παραμέτρους τα,,, R p Μηδενίζουμε τις μερικές παραγώγους της F ως προς τις ν + p μεταβλητές, x, x,, x,,, δηλαδή τις p F f ή x x x x x p p F f ή x x x x x p p F f ή x x x x x p p F ή ( x, x,, x ) F ή ( x, x,, x ) F ή p( x, x,, x ) p Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν σύστημα ν + p εξισώσεων με ν + p αγνώστους, τους x, x,, x,,, p Αν P (,,,,,, p) είναι μια λύση του συστήματος αυτού των ν + p εξισώσεων, τότε το σημείο P(,,, ) ενδέχεται να είναι μια θέση ακρότατου της f που υπόκειται στις συνθήκες () Μένει να διαπιστωθεί αν ένα τέτοιο σημείο P είναι ή όχι θέση ακρότατου, και αν είναι, ποιο είναι το είδος του Επειδή στις εφαρμογές συνήθως παρουσιάζονται οι περιπτώσεις (ν = 3, p = ) ή (ν = 3, p = ), θα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη τις ικανές συνθήκες που δίνουν τις θέσεις ακροτάτων για κάθε μια απ τις περιπτώσεις αυτές 3_MATHEMATIKA II_indd 77 4//4 ::55 μμ

78 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 34 ( η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = συνθήκες) Έστω η συνάρτηση f (x, y, z) με συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x, y, z που περιέχει, και οι συνθήκες ( xyz,, ), ( xyz,, ) Θεωρούμε τη συνάρτηση F( x, y, z,, ) f, και έστω P ( x, y, z,, ) μια λύση του συστήματος F F F F F,,,, x y z Εξετάζουμε την ορίζουσα F F F x xy xz x x F F F yx y yz y y F F F zx zy z z z x y z x y z P Αν Δ > τότε το P( x, y, z ) είναι σημείο ελαχίστου για την f, ενώ αν Δ < τότε το P( x, y, z ) είναι σημείο μεγίστου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z, που πληρούν τους περιορισμούς ( xyz,, ) xz yz, ( xyz,, ) xy ΛΥΣΗ Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση F( x, y, z,, ) x y z ( xz yz) ( xy) Πιθανές θέσεις των ακρότατων είναι οι λύσεις του συστήματος: F xzy x () 3_MATHEMATIKA II_indd 78 9//4 9:56: πμ

34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 79 F yzx y F zyx z F xz yz F xy () (3) (4) (5) Απ τη () αφαιρούμε την () κι έχουμε ( y x) ( y x) απ όπου προκύπτει ή y x x = y ή ( )( ) Διακρίνουμε επομένως τις παρακάτω περιπτώσεις: Για x = y: η (5) γίνεται x x, οπότε και y H (4) για x, y δίνει z ή z =, ενώ για x, y δίνει z ή z = Η (3) για x =, y =, z = δίνει + + = ή =, ενώ για x =, y =, z = δίνει = ή Η () για x =, y =, z =, δίνει + = ή, ενώ για x =, y =, z =, δίνει + = ή = Ώστε για x = y έχουμε δύο πεντάδες ως λύση του συστήματος, τις: P (,,,, ) και P (,,,, ) Για : η () γίνεται y zx ή ( x y) z, (6) η (4) γίνεται x y z, (7) 3_MATHEMATIKA II_indd 79 9//4 9:56: πμ

8 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ οπότε η (6) λόγω της (7) γίνεται z z ή Η (3) γίνεται z ( x y) ή λόγω της (7) z z ή Απ τις (8) και (9) προκύπτει 4 ή άρα (λόγω του περιορισμού της (9)) =, οπότε η (9) δίνει z 4 (8) z (9) 4 z άρα z και επομένως η (7) δίνει x y Και επειδή η (5) δίνει xy =, (δηλαδή είναι γνωστά το άθροισμα x y και το γινόμενο xy), άρα αυτά (τα x και y) θα είναι ρίζες της εξίσωσης με διακρίνουσα Δ = 7/ <, επομένως οι τιμές των x και y που θα προκύψουν θα είναι μιγαδικές, οπότε απορρίπτονται Ώστε για δεν υπάρχει πραγματική πεντάδα ως λύση του συστήματος, επομένως οι μόνες πραγματικές λύσεις είναι οι P (,,,, ) και P (,,,, ) Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ Είναι F, F xy, F xz, x z, x x F yx, F, F yz, y z, y y y x F, F, F, x y, zx zy z z z οπότε η ορίζουσα Δ για τις τιμές P και P γίνεται 4, 4 P P 3_MATHEMATIKA II_indd 8 9//4 9:56: πμ

34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 8 Επομένως, τόσο το σημείο P (,, ) όσο και το P (,,) είναι θέσεις τοπικού ελαχίστου της f( x, y, z) x y z και είναι f (,, ) f (,, ) 3 34 ( η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = συνθήκη) Εδώ δηλαδή έχουμε μια συνάρτηση με τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως και πριν, την f (x, y, z) και μια συνθήκη την φ(x, y, z) = Θεωρούμε τη συνάρτηση Fxyz (,,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) και έστω P ( x, y, z, ) μια λύση του συστήματος F F F F,,, () x y z Θεωρούμε τις ορίζουσες: F F F x xy xz x F F F yx y yz y, F zx F zy F z z y z P x y z P F F y zy yz F F z y z Αν για τη λύση P ( x, y, z, ) του συστήματος () είναι i) Δ >, Δ >, τότε η λύση αυτή P είναι θέση ελαχίστου της f, ii) Δ <, Δ >, τότε είναι θέση μεγίστου της f iii) Αν δεν συμβαίνει καμία απ τις περιπτώσεις (i) και (ii), τότε εφαρμόζουμε τον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του 3_MATHEMATIKA II_indd 8 9//4 9:56: πμ

8 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στην πράξη, αν η συνθήκη φ(x, y, z) = λύνεται εύκολα ως προς μια των μεταβλητών της, πχ της z (χωρίς όμως να εκφράζεται με ριζικά) και δίνει έστω την z g( x, y), συνήθως αντικαθίσταται η τιμή αυτή του z στη συνάρτηση f (x, y, z), οπότε προκύπτει νέα συνάρτηση η f (x, y, g(x, y)) = h(x, y) της οποίας υπολογίζουμε τα ακρότατα κατά τα γνωστά Στη περίπτωση που έχουμε (ν =, p = ) και δεν μπορεί η φ(x, y) = να εκφραστεί συναρτήσει του ενός από τους x, y, τότε βρίσκουμε μια λύση P ( x, y, ) απ το σύστημα των εξισώσεων F F F,, x y όπου Fxy (,, ) f( xy, ) ( xy, ) και παίρνουμε τις () F F x xy F, x P F yx F y P Αν για τη λύση P( x, y ) του συστήματος () είναι i) Δ >, Δ >, τότε το P ( x, y, ) είναι θέση ελαχίστου της f, ii) Δ <, Δ >, τότε το P ( x, y, ) είναι θέση μεγίστου της f iii) Αν δεν ισχύει τίποτε από τα παραπάνω, τότε πάμε στον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του δ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης συνθήκη ( xyz,, ) x yz f( x, y, z) x y z με τη ΛΥΣΗ ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση 3_MATHEMATIKA II_indd 8 4//4 :4: μμ

34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 83 F x y z x y z x y z (,, ) ( ) όπου λ R και λύνουμε το σύστημα F x F z F x (), y (), y F z (3), x yz (4) Από () (): y x = x = y (5) Από (3) (): z y = z = y (6) Από (5), (6) προκύπτει x = y = z (7) Η (4) λόγω της (7) δίνει 3x + = Άρα x = y = z = - ⅓, οπότε η () δίνει λ = - ⅔ Άρα Ρ (-⅓, -⅓, -⅓, -⅔) Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ και Δ για τις τιμές της λύσης Ρ (-⅓, -⅓, -⅓, -⅔) Είναι: F, F, F, x xy xz x F, F, F, yx y yz y F, F, F, zx zy z z Άρα, 4 P P άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες i) και ii) Επομένως το σημείο Ρ (- ⅓, -⅓, -⅓, -⅔) πιθανώς να αποτελεί θέση ακρότατου πιθανώς όχι Πάμε στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά: f( x h, y k, z l) f( x, y, z ) Είναι 3 h 3 k 3 l 3 3 3 με τη συνθήκη 3h 3k 3l ή hkl Είναι 3_MATHEMATIKA II_indd 83 4/3/4 :36: πμ

84 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ h k l h k l 9 3 9 3 9 3 9 9 9 3 3 h k l ( hkl) h k l h k l Άρα το σημείο Ρ (- ⅓, - ⅓, - ⅓, - ⅔) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του f ( 3, 3, 3) 3 ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Η συνθήκη ( xyz,, ) x yz μπορεί να λυθεί πχ ως προς z οπότε γίνεται z g( x, y) x y Άρα η δοθείσα συνάρτηση γίνεται f( x, y, z) f( x, y, g( x, y)) x y ( x y ) ή hxy (, ) x y xyxy Επομένως, αρκεί να υπολογίσουμε τα ακρότατα της h(x, y) Είναι κατά τα γνωστά: h h 4xy, 4yx x y Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε x = y = - ⅓ Άρα το σημείο Α (- ⅓, - ⅓) είναι σημείο στάσης Εξ άλλου είναι h h h 4,, 4, οπότε x xy y A A A 44 Επομένως, σύμφωνα με τη θεωρία της παραγράφου 3 η h(x, y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο Α (- ⅓, - ⅓) το h, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3_MATHEMATIKA II_indd 84 9//4 9:56: πμ

34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 85 Κατά συνέπεια η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση P το f,,, 3 3 3 3 3 3 3 3, 3, 3 ) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου x yz5 που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο(,,) ΛΥΣΗ Το πρόβλημα είναι να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης w x y z με τη δέσμευση ( xyz,, ) x yz5 Μπορούμε, αντί της συνάρτησης w να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση f( x, y, z) x y z για να αποφύγουμε τα ριζικά Σχηματίζουμε λοιπόν τη βοηθητική συνάρτηση Fxyz (,,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) x y z (x yz 5) Την παραγωγίζουμε ως προς τις μεταβλητές x, y, z, λ και λύνουμε το σύστημα Fx x Fy y Fz z F x yz5 που έχει λύση 5 5 5 5 x, y, z, 3 6 6 3 Eπομένως, θα ελέγξουμε στο σημείο P (5 3, 5 6, 5 6, 5 3) το πρόσημο των οριζουσών F F F x xy xz x F F F yx y yz y, F zx F zy F z z y z P x y z P F F y zy yz F F z y z Αλλά F, F, F, x xy xz x 3_MATHEMATIKA II_indd 85 9//4 9:56: πμ

86 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ F, F, F, yx y F, F, F, zx Επομένως zy z yz y z 4, 4 και άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες (i) και (ii) της θεωρίας ( η Περίπτωση ν = 3, p = ), επομένως το σημείο P (5 3, 5 6, 5 6) πιθανώς να αποτελεί θέση ακροτάτου, πιθανώς όχι Πάμε λοιπόν στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά: f( x h, y k, z l) f( x, y, z ) Είναι 5 5 5 5 5 5 h k l 3 6 6 3 6 6 με τη συνθήκη 5 5 5 h k l5 3 6 6 ή hkl Άρα 5 h 5 5k 5 5l 5 5 5 h k l 9 3 36 3 36 3 9 36 36 5 5 h k l ( h k l) h k l h k l 3 3 Ώστε το σημείο P (5 3, 5 6, 5 6) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του f min (5 3, 5 6, 5 6) 5 6 3_MATHEMATIKA II_indd 86 9//4 9:56:3 πμ

34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 87 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) 4 9 με x y z τη δέσμευση ( xyz,, ) x yz (Απάντηση: f min (, 4, 6) 3 ) ) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου x3yz7 που να απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(,4,) Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Υπόδ: Να θεωρήσετε τη συνάρτηση f( x, y, z) ( x) ( y4) ( z ) με τη δέσμευση ( xyz,, ) x3yz7 ) 47 9 (Απάντηση: fmin,, 4) 7 4 4 4 3) Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση f( x, y, z) x y z για τα σημεία της ευθείας που ορίζουν τα επίπεδα xy3z και x3yz4 68 6 76 4 (Απάντηση: fmin,, ) 75 5 75 75 4) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z με τις δεσμεύσεις x y 4 και xz (Απάντηση: f max (,,3) 3, f max (,, ) 5, f min (, 3, ) f (, 3, ) 4 ) min 3 5) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης f( x, y, z) xy z που υπόκειται στη συνθήκη x + y + z = 6 με x, y, z > (Απάντηση: f max (,, 3) 8 ) 6) Να βρεθούν τρεις θετικοί αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι και το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο (Υπόδειξη: Θεωρήσετε τη συνάρτηση f ( x, y, z) xyz με δέσμευση ( xyz,, ) x yz ) (Απάντηση: f max (4,4,4) 64 ) 7) Κιβώτιο με σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, που είναι ανοιχτό προς τα πάνω, πρέπει να έχει όγκο 8 cm 3 Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του, ώστε η ολική του επιφάνεια S να είναι ελάχιστη; 3_MATHEMATIKA II_indd 87 9//4 9:56:3 πμ

88 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Υπόδειξη: Αν y, z, οι διαστάσεις της βάσης και x το ύψος του κιβωτίου, θεωρήσετε τη συνάρτηση S f( x, y, z) xyxz yz με τη δέσμευση V ( x, y, z) xyz 8 Αντικαθιστώντας το συνάρτηση δύο μεταβλητών F( x, y )) (Απάντηση: f min (3,6,6) 8 ) 8 z στην S προκύπτει xy 8) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) xyz που υπόκειται στις συνθήκες ( xyz,, ) x yz5, (,, ) 8 xyz xy yz zx (Απάντηση: fmin (,,) fmin (,,) fmin (,,) 4) 3_MATHEMATIKA II_indd 88 9//4 9:56:3 πμ