Interferencia por división da fronte

Tema 9 Interferencia por división da fronte No tema anterior vimos que para lograr interferencia debemos superpoñer luz procedente dunha única fonte de luz pero que recorreu camiños diferentes. Unha forma de lograr isto é desviar (dalgunha maneira unha parte da fronte de onda para que se superpoña coa outra; de aí o nome do método que lle dá título a este tema. O dispositivo máis simple para obter interferencias dividindo a fronte de onda é o interferómetro 1 de Young, o cal serve de modelo para comprender outros similares. Poden verse animacións en: http://www.falstad.com/ripple/ e a continuación seleccionando na lapela superior Setup: Double slit; http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=j_xd9huz2ay, onde se amosa unha gravación antiga pero didáctica; ou en http://en.wikipedia.org/wiki/double-slit_experiment. 9.1. Interferómetro de Young Consta dunha pantalla plana e opaca na que existen dous orificios moi pequenos e próximos, sendo a a distancia entre eles. Situaremos a orixe do sistema de coordenadas na pantalla, no punto medio entre os dous furados polos que pasa o eixo Y, e co eixo Z normal á pantalla. Unha fonte de luz monocromática, que consideraremos puntual, está situada nun punto do lado negativo do eixo Z a unha distancia grande l a da pantalla. O campo que produce a fonte antes de alcanzar a pantalla é unha onda esférica; é dicir as superficies de fase constantes son esferas concéntricas coa fonte e que se van expandindo a medida que se propagan, mentres a amplitude do campo é moi grande ó pé da fonte e vaise reducindo a medida que a onda se afasta da fonte. Expresado en ecuacións o campo ven dado por: 2 E(x, y, z, t = E0 e i[kr 0 ωt r 0 z 0 1 Un interferómetro é un dispositivo que permite observar e medir interferencias 2 Para sermos rigorosos, debemos advertir que E 0 depende da dirección onde se atope o punto de observación, xa que debe ser perpendicular á fronte de onda, pero iso non inflúe nos cálculos que proseguen nos que consideraremos dúas direccións moi próximas. 11

Figura 9.1: Representacións do experimento de dobre fenda de Young. Na imaxe da dereita, a fonte de luz atópase moi lonxe (extraidos de respectivas animacións en http:// es.wikipedia.org/wiki/experimento_de_young e http://en.wikipedia.org/wiki/ Double-slit_experiment. onde r 0 é o módulo do vector r 0, o cal vai dende a fonte de luz a un punto calquera (x, y, z do semi-espacio z 0, ó mesmo lado da pantalla que a fonte: r 0 = (x, y, z + l; polo tanto r 0 é a distancia dende a fonte a ese punto: r 0 = x 2 + y 2 + (z + l 2. En concreto, os dous orificios están á mesma distancia da fonte: r 00 (a/22 + l 2, polo que o campo neles vale: [ E(0, ± a 2, 0, t = E e i k (a/2 2 +l 2 ωt 0. (a/22 + l 2 r 0 x=z=0 y=±a/2 = Agora debemos estimar o campo do outro lado da pantalla. Para iso temos que recorrer ó principio de Huygens e admitir que o campo que xera cada furado no lado de z positivo é unha onda esférica concéntrica con el. Alternativamente podemos supoñer que un furado se comporta como un dipolo excitado pola onda incidente sobre a pantalla, o cal reemite unha onda esférica. É dicir, o campo en presencia dun único orificio situado nas coordenadas (0, a/2, 0, que denominaremos E 1, será proporcional a: E 1 ei[kr 1 ωt r 1 = ei [ k x 2 +(y a/2 2 +z 2 ωt x2 + (y a/2 2 + z 2 onde r 1 = (x, y a/2, z é o vector que vai dende o orificio ata o punto de observación que consideremos. Isto resulta moi sorprendente se pensamos en termos de raios de luz, xa que supón que os raios que inciden no orificio cambian de dirección á súa saída, pero 12

é certo para orificios de dimensións comparable coa longura de onda e se observamos lonxe abondo do furado. Ademais, o campo que xera o furado tamén será proporcional á amplitude da onda incidente e estará en fase con ela; 3 chamarémoslle E 1 e valerá: E 1 = AE e ik (a/2 2 +l 2 e i 0 (a/22 + l 2 [ k x 2 +(y a/2 2 +z 2 ωt x2 + (y a/2 2 + z 2 z > 0 onde A é é unha constante de proporcionalidade que depende do tamaño do orificio. Canto maior sexa este, máis enerxía o atravesa, e polo tanto maior é A. 4 Para o outro orificio podemos razoar do mesmo xeito, e obteremos a expresión do seu campo eléctrico sen máis que substituír a/2 por a/2: E 2 = AE e ik (a/2 2 +l 2 e i 0 (a/22 + l 2 [ k x 2 +(y+a/2 2 +z 2 ωt x2 + (y + a/2 2 + z 2. z > 0 O campo eléctrico realmente é a suma dos campos que xeran os dous orificios, tamén chamados fontes secundarias (ver Fig. 9.1: E = E 1 + E 2 [ [ = AE e i k (a/2 2 +l 2 ωt e ik x 2 +(y a/2 2 +z 2 0 (a/22 + l 2 x2 + (y a/2 2 + z + eik x 2 +(y+a/2 2 +z 2. (9.1 2 x2 + (y + a/2 2 + z 2 Como esta expresión é moi complicada, imos facer algunhas aproximacións que nos permitirán ter unha idea cualitativa do fenómeno aínda que sexa a costa de perder algo de precisión. Para iso imos estudar soamente rexións moi separadas da pantalla e próximas ó eixo Z, é dicir estudaremos que distribución de luz veríamos nunha segunda pantalla de observación situada a unha distancia D da primeira, tomando z = D x, y, a. Para facernos unha idea das dimensións típicas, a pode valer unhas décimas de milímetro ou menos, x e y algúns milímetros e D un par de metros. Entón, dentro das raíces cadradas dos dous últimos denominadores da expresión anterior, o valor de z 2 = D 2 pode ser 100000 ou un millón de veces maior que x 2, (y a/2 2 ou (y + a/2 2, o que nos permite aproximar ambos denominadores por D. Algo similar ocorre co denominador que está fora do corchete, así que: [ E = AE e i k 0 (a/2 2 +l 2 ωt [e ik x 2 +(y a/2 2 +z 2 + e ik x 2 +(y+a/2 2 +z 2. (9.2 Agora ben, nas fases temos as mesmas raíces que tiñamos nos denominadores... acaso non podemos facer a mesma aproximación nas fases? Non, non podemos porque as raíces están multiplicadas por k = 2π/λ. Como λ r 1 = x 2 + (y a/2 2 + z 2, a fase é un número enorme; e por iso un pequeno erro no cálculo de r 1 ou r 2 facilmente conduce a 3 En realidade hai un desfase adicional de π/2 que non ten consecuencias para o noso cálculo e que agora non podemos explicar. 4 Debemos insistir en que a expresión anterior non é exacta se avaliamos o campo a unha distancia do orificio comparable co seu tamaño, xa que estamos supoñendo que toda a enerxía da onda procede dun punto idealizado, sen dimensións, pero en realidade o orificio, aínda que é pequeno, ten unha certa extensión. Volveremos sobre estes aspectos no tema de difracción. 13

fórmula exacto aprox. burda Taylor 1 a orde x2 + (y a 2 2 + D 2 D D + x2 +(y a 2 r 1 (mm 2000,0002024999897... 2000 2000,0002025 erro en r 1 (mm 0,000202499... 0,00000000001033... fase ( = 2πr λ 1 8000000,809999958... π 8000000π 8000000,81π erro na fase 0,80999... π 0,00000041... π Cadro 9.1: Comparativa entre o cálculo exacto e dúas aproximacións da distancia entre o orificio situado en a/2 = 0,1 mm e o punto de observación situado en, x = 0, y = 1 mm, z = D = 2 m= 2000 mm para λ = 0,5 µm = 5 10 4 mm. un erro na fase da orde de π que fai o resultado totalmente erróneo. Dito doutro xeito, a exponencial complexa varía moi rapidamente coa distancia, polo que hai que introducir un valor de r 1 ou r 2 moi exacto na fase para obter un resultado válido. Véxanse as dúas primeiras columnas do exemplo numérico do cadro 9.1. Esta sensibilidade tan grande ás distancias é característico da interferencia, e constitúe a base de moitos sistemas de medida de distancias extremadamente precisos. Para simplificar as fases e obter ecuacións máis manexables, primeiro escribiremos r 1 como: ( r 1 = x 2 + y a 2 + D2 = D 1 + 2 x2 + ( y a 2 2, (9.3 D 2 e a continuación usaremos o desenvolvemento en serie de Taylor de primeira orde que consiste en aproximar unha función pola unha recta tanxente a ela. A función orixinal e esta recta serán moi semellantes nas proximidades do punto de tanxencia. Aplicando este método á función 1 + u para pequenos valores de u obtemos: f(u = 1 + u f(0 + f (0u = 1 + u 2 se u 1. Pero xustamente podemos aplicar esta aproximación á última raíz da ecuación 9.3 tomando: co cal queda: u = x2 + ( y a 2 r 1 = D 1 + x2 + ( y a 2 2 D 1 + 1 x 2 + ( y a 2 2 } D{{ 2 } 2 } D{{ 2 } u u D 2 2 2 = D + x2 + ( y a 2 = D + x2 + y 2 + ( a 2 2 ay. 14

Facendo o mesmo para r 2, temos: ( r 2 = x 2 + y + a 2 + D2 D + x2 + y 2 + ( a 2 2 + ay. 2 Substituíndo r 1 e r 2 na última expresión do campo eléctrico (9.2, podemos sacar parte das fases a un factor común e o resto se convirte nun coseno: [ [ E = AE e i k (a/2 2 +l 2 [ ωt 0 e ik D+ x2 +y 2 +( a [ 2 2 ay + e ik D+ x2 +y 2 +( a 2 2 +ay [ ( = AE e i k l+ (a/22 ωt 2l (D+ 0 e ik x2 +y 2 +( a 2 2 [ ( ay ik e + e ik ay = A E 0 eik ( l+d+ 1 2( 1 l + 1 D( a 2 2 + x2 +y 2 e iωt 2 cos kay (9.4 A pesar do complicado aspecto da fase da primeira exponencial, 5 todos os parámetros son constantes excepto a fracción x2 +y 2, a cal se parece moito á que xeraría unha onda esférica situada na orixe xa que: x2 + y 2 + D 2 D + x2 + y 2. Polo tanto a diferencia principal entre a onda xerada por un orificio ou por dous é o factor cos ( ka y, que nos indica que o campo se anula para determinados valores de y: cos ( ka ymín m = 0 2πa λ ymín m = π + mπ ymín m = D 2 a ( 1 2 + m λ m Z. Como as posicións dos mínimos non dependen de x, a luz vai formar un padrón de franxas, ó igual que na interferencia entre ondas planas, pero agora cun valor da interfranxa de: y mín m+1 y mín m = D a λ. Esta expresión dinos que as franxas son máis anchas canto maior sexa a longura de onda (ver Fig. 9.2 Esquerda, canto máis lonxe estea a pantalla de observación ou canto máis próximas estean os orificios. Pode verse unha simulación simple deste comportamento en http://www.ub.edu/javaoptics/applets/younges.html. Ademais a partir da ecuación (9.4 dedúcese que a irradiancia vale: I = ɛc 2 E E = ɛc 2 A 2 E 0 2 4 cos 2 kay l 2 D 2 = 4I 0 cos 2 kay = 2I 0 ( 1 + cos kay D onde I 0 é a irradiancia que xeraría un só orificio. Ó igual que con ondas planas, os puntos de irradiancia máxima atópanse a medio camiño entre os de irradiancia mínima: 2πa Dλ ymáx m = 2mπ ym máx = D mλ m Z, a e a irradiancia máxima alcanza 4 veces o valor que obteríamos cun só orificio; pero, a diferencia do que ocorre con ondas planas, agora I 0 é menor canto maior sexan l e D. 5 A que che recorda o termo: 1 l + 1 D que aparece dentro da fase da ecuación (9.4? 15

Figura 9.2: Esquerda: Aspecto cualitativo de diferentes padróns xerado por un mesmo interferómetro de Young mantendo fixas as distancias D e a, e variando a longura de onda da luz λ. Dereita arriba: Simulación do padrón de interferencia xerado con luz verde monocromática e con luz branca. Dereita abaixo: Imaxe real do padrón con luz branca. Extraido de http://www.itp.uni-hannover.de/~zawischa/itp/multibeam.html Iluminación con luz branca Cando a fonte de luz é branca (polo tanto policromática, para cada frecuencia da luz se formará un padrón de franxas de diferente anchura, xa que a interfranxa depende de λ. Os padróns das diferentes frecuencias non interfiren entre si, polo que a irradiancia total será a suma das irradiancias producidas por cada frecuencia da fonte (ver Fig. 9.2. Obsérvese que para todas a frecuencias hai un máximo de irradiancia na orixe de coordenadas que corresponde a m = 0 y0 máx = 0 (independentemente de λ. Dise que esta franxa corresponde á orde interferencial cero e verase de cor branca xa que hai luz de tódalas longuras de onda por igual. A unha certa distancia da orixe de coordenadas temos interferencia destrutiva para o violeta (λ = 400 nm, pero como a interfranxa é diferente para cada λ haberá algo de luz das restantes frecuencias. En concreto a maior irradiancia será para o vermello (λ = 700 nm, por iso as beiras da franxa central teñen unha moi leve coloración vermella. O padrón para o vermello ten o seu primeiro mínimo de irradiancia a unha distancia algo maior da orixe, onde xa comezou a seguinte franxa das longuras de onda máis curtas, especialmente a do violeta. De aí que a beira interior das ordes +1 e -1 (franxas contiguas á central teñan un suave ton azul violáceo. Este desaxuste na posición dos mínimos é maior entre a orde +1 e +2 (e entre a 1 e a 2, o 16

que conduce a unha rexión coloreada máis ampla e obvia. O mínimo para o verde entre a orde +2 e +3 (e entre 2 e 3 correspóndese con valores de irradiancia bastantes altos tanto para a orde +3 (e 3 do violeta como para a orde +2 (e 2 do vermello, o que dá lugar a unha cor púrpura. Obsérvese que estamos describindo as cores máis saturadas, as cales aparecen cando falta unha banda ampla do espectro visible, e dicir no mínimo do padrón dalgunha longura de onda. Os máximos das ordes +1 e 1 coinciden próximos para todas as longuras de onda, polo que, aínda que en diferente grado, tódalas frecuencias están presentes nesas rexións, o que conduce a unha cor case branca. Os máximos das ordes +2, 2, +3 e 3 están máis desaxustados e aparecen cores pastel: marelo, rosa, azul celeste ou turquesa. A medida que nos afastamos da orde cero, esta distinción entre rexións próxima ós máximos ou ós mínimos deixa de ter validez porque coinciden nun mesmo punto máximos para longuras de onda distintas (e distintas ordes interferenciais e mínimos para outras longuras de onda intercaladas coas anteriores. Decatémonos que o ollo humano só ten tres tipos de fotorreceptores, sensibles en tres rexións do espectro relativamente amplas e parcialmente solapadas. Polo tanto non é capaz de distinguir un espectro con 3 ou máis máximos dentro do visible dun espectro que conteña a mesma potencia para tódalas frecuencias: todo se ve branco. Por ese motivo, con luz branca deixan de verse as interferencias a unha certa distancia da orixe e dise que se perde a coherencia. 9.2. Conexión coa óptica xeométrica. Camiño óptico. O espeso cálculo da sección anterior para manexar as raíces cadradas das fases, non debe facernos perder a perspectiva do que en realidade estamos calculando. Para iso, reescribamos a ecuación (9.2: [ E = AE e i k (a/2 2 +l 2 ωt x 0 [e ik 2 +(y a/2 2 +z x 2 + e ik 2 +(y+a/2 2 +z 2 = AE e i[kr 00 ωt [ 0 e ikr 1 + e ikr 2 = A E 0 [ e i[k(r 00 +r 1 ωt + e i[k(r 00+r 2 ωt, (9.5 que non é máis que a suma de dúas ondas, coas que podemos operar do mesmo xeito que na sección 8.3 para calcular a irradiancia o que nos levaría a: I = I 0 + I 0 + 2 I 0 I0 cos [k(r 00 + r 1 k(r 00 + r 2 = 2I 0 {1 + cos [k(r 00 + r 1 k(r 00 + r 2 } (9.6 = 2I 0 {1 + cos [k(r 1 r 2 } Polo tanto o que demostramos na sección anterior é que (se y > 0 r 2 > r1: r 2 r 1 = ay D, que tamén se pode deducir de forma sinxela considerando dous raios que van ó mesmo punto da pantalla de observación, cada un procedente do seu orificio. Se supoñemos que son paralelos, a diferencia de distancias é a proxección de a sobre un deles. 17

Pero volvamos á ecuación (9.6. Obsérvese que r 00 + r 1 é a distancia dende a fonte ata a abertura máis a distancia dende a abertura ata a pantalla de observación: xusto o recorrido que fai un raio de luz dende a fonte ata a pantalla de observación pasando por unha das aberturas (e asumindo que cambia de dirección nela. Polo tanto, neste caso, a fase que determina a interferencia pode calcularse a partir da óptica xeométrica como o número de onda (k multiplicado pola diferencia de distancias que recorren os dous raios que se cruzan na pantalla de observación. Supoñamos agora que entre as aberturas e a pantalla de observación existe un medio material transparente de índice de refracción n. A longura de onda neste medio (λ quedará reducida nun factor n: λ = λ/n, e polo tanto o seu número de onda k quedará aumentado nese mesmo factor: k = 2π = 2π = n 2π = nk. Entón o campo que xera λ λ/n λ agora a abertura 1, será (supoñendo coeficientes de transmisión de Fresnel en incidencia normal t = t = t : E 1 = AE e ikr 00 0 t ei[nkr 1 ωt l D. E entón o campo total será: E = A E 0 t [ e i[k(r 00+nr 1 ωt + e i[k(r 00+nr 2 ωt. A diferencia máis importante entre esta ecuación e a súa equivalente anterior 9.5 está nas fases. Nelas as distancias r 1 e r 2 recorridas a través do segundo medio quedan agora multiplicadas polo seu índice (n. O cálculo da irradiancia conducirá a: I = 2I 0 {1 + cos [k(r 00 + nr 1 k(r 00 + nr 2 }. Isto nos leva a definir o concepto de camiño óptico como a suma das distancias que recorre un raio a través de diferentes medios multiplicadas polos índices de refracción respectivos. O camiño óptico é proporcional ó tempo que tarda a onda en recorrer esa distancia; nótese que nos medios de maior índice a onda vai máis lenta e a distancia correspondente pesa máis no camiño óptico. A irradiancia froito da interferencia de dúas ondas coa mesma polarización será: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I2 cos(k onde é a diferencia de camiños ópticos das dúas ondas. 9.3. Efecto de translación da fonte Supoñamos agora que a fonte se atopa lixeiramente desviada na dirección Y, e dicir nas coordenadas (0, b, l con b l, estando todo o sistema inmerso en aire. As distancias dende a fonte a cada unha das aberturas son diferentes; chamarémoslles r 01 e r 02. Entón a diferencia de camiño óptico será: = (r 01 + r 1 (r 02 + r 2 = r 01 r 02 + r 1 r 2 18

Anteriormente demostramos que r 2 r 1 = ay/d, así que analogamente r 02 r 01 = ab/l. Polo tanto agora teremos interferencia construtiva cando: ( ay máx m k D + ab = 2mπ ym máx = D l a mλ D l b m Z. É dicir, a interfranxa non varía; simplemente o padrón está desprazado a cantidade Db/l, ou o que é o mesmo, a fonte, o centro das aberturas e a orde cero permanecen aliñadas. 9.4. Interferómetro de Young con fendas O experimento de Young tal como o describimos ata o momento ten a dificultade experimental de que deixa pasar moi pouca luz a través dos orificios. Moitas veces realízase cunha fonte lineal e dúas fendas no canto dos furados. O padrón de interferencias é esencialmente igual pero moito máis luminoso. Sen embargo, o seu estudo só é sinxelo se a fonte é coherente e todos os seus puntos emiten en fase: é dicir se a fonte emite unha onda cilíndrica. Neste caso o problema é bidimensional, non depende da dirección x e polo tanto as ondas secundarias tamén son cilíndricas, polo que as súas amplitudes son proporcionais a 1/ no canto de 1/(. 9.5. Simulación mediante padróns de moiré Ó igual que coas ondas planas, imprime a páxina 20 dúas veces: unha en papel e outra sobre transparencia. Cada unha simula unha onda esférica ou cilíndrica. Desprazando lateralmente unha respecto da outra simulas diferentes distancias entre as dúas aberturas. Verás bandas escuras que apuntan aproximadamente ó punto medio das dúas fontes. Aparecen máis bandas e estas xúntanse canto máis separas as fontes. 19