4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι ίσο µε το 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. 3. Άρτιος - Περιττός Η διαίρεση ακεραίου α µε το 2 δίνει υπόλοιπο υ = 0 ή υ = 1. Όταν υ = 0, τότε α = 2κ, κ Z και ο α λέγεται άρτιος Όταν υ = 1, τότε α = 2κ + 1, κ Z και ο α λέγεται περιττός 4. Οι δυνατές τιµές του υπολοίπου υ = 0, 1, 2,..., β 1 5. Εφαρµογή σαν θεώρηµα Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθµός 6. Ορισµός Θα λέµε ότι ακέραιος β 0 διαιρεί τον ακέραιο α και θα γράφουµε β α, όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια, δηλαδή όταν α = κ β, κ Z 7. Ισοδύναµες εκφράσεις β α β διαιρεί α ο β είναι διαιρέτης ή παράγοντας του α ο α διαιρείται µε τον β ο α είναι πολλαπλάσιο του β α = πολβ

2 8. 1 η οµάδα ιδιοτήτων Αν β α, τότε και β α ± 1 α για κάθε α Z ± α α για κάθε α Z * Αν β α τότε και κβ κα για κάθε κ Z * 9. 2 η οµάδα ιδιοτήτων Αν α β και β α, τότε α = β ή α = β Αν α β και β γ, τότε α γ Αν α β τότε α λβ για κάθε λ Z Αν α β και α γ, τότε ο α (β + γ) Αν α β και α γ, τότε ο α (κβ + λγ) για κάθε κ, λ Z Αν α β και β 0, τότε α β ΣΧΟΛΙΑ 1. Αν α β και α γ, τότε ο α (β γ) 2. Αν α β και α (β + γ), τότε ο α γ 3. Αν α β και α (β γ), τότε ο α γ

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι Το άθροισµα δύο άρτιων είναι άρτιος i Το άθροισµα δύο περιττών είναι άρτιος ii Το άθροισµα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός iν) Το γινόµενο δύο άρτιων είναι άρτιος ν) Το γινόµενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι άρτιος ν Το γινόµενο δύο περιττών είναι περιττός νi Το τετράγωνο ενός άρτιου είναι άρτιος νii Tο τετράγωνο ενός περιττού είναι περιττός Έστω α = 2κ, β = 2λ, γ = 2µ + 1, δ = 2ρ + 1, κ, λ, µ, ρ Z α + β = 2κ + 2λ = 2( κ + λ ) άρτιος i γ + δ = 2µ + 1 + 2ρ + 1 = 2( µ + ρ + 1) ii α + γ = 2κ + 2µ + 1 = 2(κ + µ ) + 1 iν) α β =2κ 2λ= 2(2κλ) άρτιος ν) α γ = 2κ( 2µ + 1) = 2[κ(2µ + 1)] ν γ δ = (2µ +1 )( 2ρ + 1) = = 4µρ + 2µ + 2ρ + 1 = 2(2µρ + µ + ρ) + 1 περιττός νi α 2 = 4κ 2 = 2(2κ 2 ) άρτιος νii γ 2 = 4µ 2 + 4µ + 1= 2(2µ 2 + 2µ ) +1 άρτιος περιττός άρτιος περιττός

4 2. είξτε ότι, για κάθε ακέραιο αριθµό α, ο αριθµός Α = α 2 + α + 1 είναι περιττός. Όταν ο α είναι άρτιος, δηλαδή α = 2κ, κ Z Α = α 2 + α + 1 = (2κ) 2 + 2κ + 1 = 4κ 2 + 2κ + 1 = 2(2κ 2 + κ) + 1 (θέτουµε 2κ 2 + κ = λ) = 2λ + 1, που είναι περιττός Όταν ο α είναι περιττός, δηλαδή α = 2κ + 1, κ Z Α = α 2 + α + 1 = (2κ + 1) 2 + (2κ + 1) + 1 = 4κ 2 + 4κ + 1 + 2κ + 1 + 1 = 4κ 2 + 6κ + 2 + 1 = 2(2κ 2 + 3κ + 1) + 1 (θέτουµε 2κ 2 + 3κ + 1 = µ) =2µ + 1, που είναι περιττός 3. είξτε ότι το γινόµενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 4 Από εφαρµογή γνωρίζουµε ότι το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος. Άρα, το γινόµενο, έστω Γ, τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων είναι Γ = 2µ 2λ = 4(µλ)

5 4. είξτε ότι ο αριθµός λ(λ 2 + 2), λ Z, είναι πολλαπλάσιο του 3. Θα είναι λ = 3κ ή λ = 3κ + 1 ή λ = 3κ + 2, κ Z Όταν λ = 3κ λ(λ 2 + 2) = 3κ[(3κ) 2 + 2] = = 3κ(9κ 2 + 2) (θέτουµε κ(9κ 2 + 2) = λ, λ Z ) = 3λ πολλαπλάσιο του 3. Όταν λ = 3κ + 1 λ(λ 2 + 2) = (3κ + 1)[(3κ + 1) 2 + 2] = (3κ + 1)(9κ 2 + 6κ + 1 + 2) = (3κ + 1)(9κ 2 + 6κ + 3) = 3(3κ + 1)(3κ 2 + 2κ + 1) = 3µ πολλαπλάσιο του 3 Όταν λ = 3κ + 2 Οµοίως 5. Αν α είναι άρτιος, δείξτε ότι (α +1) 2 1 = 4λ, λ Z 2 2 2 ( 1) ( 3) 2 2 i α + α+ + α+ α+ = 3 µ, µ Z 4 α άρτιος α = 2ν, ν Z (α +1) 2 1 = ( 2ν + 1) 2 1 = 4ν 2 + 4ν + 1 1 = 4(ν 2 + ν) = 4λ, όπου λ = ν 2 + ν Z i 2 2 2 2 2 2 α + ( α+ 1) + ( α+ 3) 2α+ 2 (2 ν ) + (2ν+ 1) + (2ν+ 3) 2(2 ν ) + 2 = 4 4 2 2 2 4ν + 4ν + 4 ν + 1+ 4ν + 12 ν + 9 4ν+ 2 = 4 2 12ν + 12 ν + 12 = 4 = 3ν 2 + 3ν + 3 = 3(ν 2 + ν +1) = 3µ, όπου µ = ν 2 + ν +1 Z

6 6. Θεωρούµε τους ακέραιους α της µορφής α = 6κ + υ µε 0 υ < 6 και κ, υ Z. Αν οι α δεν είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 3, να δείξετε ότι α = 6κ + 1 ή α = 6κ + 5, όπου κ Z. i α 2 = 3µ + 1, όπου µ Z. ii Η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων από τους α είναι πολλαπλάσιο του 3. Θα είναι α = 6κ ή α = 6κ + 1 ή α = 6κ + 2 ή α = 6κ + 3 ή α = 6κ + 4 ή α = 6κ + 5 και επειδή δεν είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 3, θα είναι α = 6κ + 1 ή α = 6κ + 5 i Όταν α = 6κ + 1 α 2 = (6κ + 1) 2 = 36κ 2 + 12 κ + 1 Όταν α = 6κ + 5 ii 2 α1 α 2 2 = 3(12κ 2 + 4κ) + 1 = 3µ + 1 α 2 = (6κ + 5) 2 = 36κ 2 + 60 κ + 25 = 36κ 2 + 60 κ + 24 + 1 = 3(12κ 2 + 20κ + 8) + 1 = 3ν + 1 (i = 3µ + 1 3ν 1 = 3(µ ν) = 3λ = πολ3 7. Αν 7 (α + 5) και 7 (40 β), να αποδείξετε ότι 7 (α + β) 7 (α + 5) α + 5 = 7κ, κ Z 7 (40 β) 40 β = 7λ, λ Z Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε : α + 5 40 + β = 7κ 7λ α + β = 35 + 7κ 7λ α + β = 7(5 + κ λ) 7 α + β

7 8. Για κάθε ν 3, δείξτε ότι ο αριθµός A ν = 2 2ν + 1 9ν 2 + 3ν 2 είναι πολ54 Για ν = 3 είναι A 3 = 2 2 3 + 1 9 3 2 + 3 3 2 = 2 7 9 3 2 + 3 3 2 = 128 81 + 7 = 54 = 1 54 = πολ54 εχόµαστε ότι το αποδεικτέο ισχύει για ν = κ, δηλαδή A κ = 2 2κ + 1 9κ 2 + 3κ 2 = πολ54 = 54λ, λ Z (1) Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για ν = κ + 1, δηλαδή ότι ο A κ+ 1 = 2 2(κ+1) + 1 9(κ+1) 2 + 3(κ+1) 2 Είναι A κ+ 1 = 2 2(κ+1) + 1 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 = 2 2κ+1 + 2 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 είναι πολ54 = 2 2κ+1 2 2 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 (2) Όµως η (1) 2 2κ + 1 9κ 2 + 3κ 2 = 54λ + 9κ 2 3κ + 2 Η (2) γίνεται A κ+ 1 = 2 2(κ+1) + 1 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 = 4(54λ + 9κ 2 3κ + 2) 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 = 4 54λ + 36κ 2 12κ + 8 9κ 2 18κ 9 + 3κ + 3 2 = 4 54λ + 27κ 2 27κ = 4 54λ + 27κ(κ 1) (3) Όµως ο κ(κ 1) είναι γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων, οπότε κ(κ 1) = 2µ Η (3) γίνεται A κ+ 1 = 4 54λ + 27 2ρ = 54( 4λ + ρ) = = 54 µ = πολ54

8 9. ίνονται οι αριθµοί α = κ 1 και β = 5κ + 6, κ Z. Να δείξετε ότι Aν ο α είναι άρτιος, τότε ο β είναι περιττός i O αριθµός 3β 4α είναι πολλαπλάσιο του 11. Έστω α = 2λ, λ Z τότε 2λ = κ 1 κ = 2λ + 1. Οπότε β = 5 (2λ + 1) + 6 = 10λ + 11 i 3β 4α = 3(5κ + 6) 4(κ 1) = 15κ + 18 4κ + 4 = 11κ + 22 = 10λ + 10 + 1 = 2(5λ + 5) + 1 = 2µ + 1, όπου µ = 5λ + 5 Z = 11(κ + 2) = 11ρ, όπου ρ = κ + 2 Z 10. Αν α ακέραιος, β =3α + 4 και γ = 4α + 5, δείξτε ότι ο β γ (β + γ) είναι περιττός. β γ (β + γ) = (3α + 4)( 4α + 5) ( 3α + 4 + 4α + 5 ) = 12α 2 + 15α + 16α + 20 7α 9 = 12α 2 + 24α + 11 =12α 2 + 24α + 10 + 1 = 2(6α 2 + 12α + 5) + 1 = 2µ + 1= περιττός, όπου µ= 6α 2 + 12α + 5 Z

9 11. ίνεται ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης των ακεραίων α και β µε το 5 είναι 2. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α 2 + β 2 2003 είναι πολλαπλάσιο του 5 i Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 8α + 9β µε το 5. Από την υπόθεση έχουµε α = 5π + 2 και β = 5κ + 2, π, κ Z. α 2 + β 2 2003 = 25π 2 + 20π + 4 + 25κ 2 + 20κ + 4 2003 = 25π 2 + 20π + 25κ 2 + 20κ 1995 = = 5(5π 2 + 4π + 5κ 2 + 4κ 399) = 5ν = πολ5 i 8α + 9β = 8(5π + 2) + 9(5κ + 2) Όπου ν = 5π 2 + 4π + 5κ 2 + 4κ 399 Z = 40π + 16 + 45κ + 18 = 40π + 45κ + 34 = = 40π + 45κ + 30 + 4 = = 5(8π + 9κ + 6) + 4 = 5γ + 4 Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης (8α + 9β) : 5 είναι υ = 4 12. Αν 3µ + 6 = πολα και 5µ + 7 = πολα µε α Z, να βρείτε τις πιθανές τιµές του α 3µ + 6 = πολα και 5µ + 7 = πολα α (3µ + 6) και α (5µ + 7) α 5(3µ + 6) και α 3(5µ + 7) α (15µ + 30) και α ( 15µ +21) α [(15µ +30) (15µ + 21)] α (15µ + 30 15µ 21) α 9 οπότε α = ±1 ή α = ± 3 ή α = ± 9

10 13. Αν οι ακέραιοι α + 3, 30 β διαιρούνται µε το 9, να αποδείξετε ότι και ο α + β διαιρείται µε το 9. 9 α + 3 α + 3 = 9κ α = 9κ 3 9 30 β 30 β = 9λ β = 30 9λ Οπότε α + β = 9κ 9λ + 27 = 9(κ λ + 3) = 9µ 14. είξτε ότι : 19 (8α + 11β) τότε και µόνο τότε 19 (11α + 8β) 19 (8α + 11β) 8α + 11β = 19ρ 19α 11α + 19β 8β = 19ρ 11α 8β = 19ρ 19α 19β 11α + 8β = 19α + 19β 19ρ 11α + 8β = 19 (α + β ρ) 19 11α + 8β 15. Αν α, β Z και α (α 2 + αβ + β 2 ), δείξτε ότι α β 2 α α 2 και α αβ α (α 2 + αβ) Και επειδή α (α 2 + αβ + β 2 ), θα διαιρεί και τη διαφορά τους β 2

11 16. Να βρείτε τον ν N * ώστε (ν + 2) (ν 2 + 4) Ισχύει ν 2 + 4 = ν 2 4 + 8 = (ν +2) (ν 2) + 8 Εποµένως (ν + 2) (ν 2 + 4) (ν + 2) (ν +2) (ν 2) + 8 Αλλά ν > 0 ν + 2 > 2 Η (1) γίνεται ν + 2 = 4 ή ν + 2 = 8 ν = 2 ή ν = 6 (ν + 2) 8 ν + 2 διαιρέτης του 8 ν + 2 = ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 (1) 17. Αν α, β, γ, δ, κ Z και κ (αβ 1), και κ (αδ + γ), δείξτε ότι κ (βγ + δ) κ (αβ 1) και κ (αδ + γ) κ δ(αβ 1) και κ β(αδ + γ) κ (αβδ δ) και κ (αβδ + βγ) κ [(αβδ + βγ) (αβδ δ)] κ ( βγ + δ) 18. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι διαιρούµενοι µε το 4 δίνουν πηλίκο διπλάσιο του υπόλοιπου Έστω x ζητούµενος ακέραιος. Τότε x = 4π + υ, µε υ = 0, 1, 2, 3 Αλλά π = 2υ Η τιµή x = 0 απορρίπτεται αφού x > 0 Άρα x = 4 2υ + υ x = 9υ µε υ = 0, 1, 2, 3 x = 0 ή 9 ή 18 ή 27

12 19. είξτε ότι 3 (ν 3 + 2ν), όπου ν N * Θα είναι ν = 3λ ή ν = 3λ + 1 ή ν = 3λ + 2 Όταν ν = 3λ ν 3 + 2ν = 27λ 3 + 6λ = 3 ( 9λ 3 + 2λ) Όταν ν = 3λ + 1 ν 3 + 2ν = ( 3λ + 1) 3 + 2 (3λ + 1) = (3λ +1)[(3λ +1) 2 + 2] = (3λ + 1)( 9λ 2 + 6λ + 3) Οµοίως όταν ν = 3λ + 2 = 3(3λ + 1)( 3λ 2 + 2λ + 1) = 3π

13 20. Αν α Z, δείξτε ότι 2 (α 4 + α) i α 2 = 5κ ή α 2 = 5κ ± 1 Όταν α = 2κ α 4 + α = α(α 3 + 1) = 2κ(8κ 3 + 1) = 2µ Όταν α = 2κ + 1 i α 4 + α = α(α 3 + 1) = (2κ + 1)[(2κ + 1) 3 + 1] = ( 2κ + 1) (8κ 3 + 12κ 2 +6κ +1 + 1) = ( 2κ + 1) (8κ 3 + 12κ 2 +6κ + 2) = = (2κ + 1) 2 (4κ 3 + 6κ 2 +3κ + 1) = 2ν Θα είναι α = 5π ή α = 5π + 1 ή α = 5π + 2 ή α = 5π + 3 ή α = 5π + 4 Όταν α = 5π α 2 = 25 π 2 = 5(5π 2 ) = 5κ Όταν α = 5π + 1 α 2 = 25 π 2 + 10π + 1 = 5(5π 2 +2π) + 1 = 5κ + 1 Όταν α = 5π + 2 α 2 = 25π 2 +20π + 4 = 25π 2 + 20π + 5 1 Οµοίως για τις υπόλοιπες µορφές = 5(5π 2 + 4π + 1) 1= 5κ 1 21. Ο 2004, όταν διαιρεθεί µε τον θετικό ακέραιο α, δίνει πηλίκο 44 και υπόλοιπο υ. Να βρείτε τους α και υ. Είναι 2004 = 44α + υ και 0 υ < α υ = 2004 44α (1) και 0 2004 44α < α (2) (2) 0 2004 44α και 2004 44α < α 44α 2004 και 2004 < 45α α 501 11 45,5 και α > 2004 45 Η (1) δίνει υ = 2004 44 45 = 24 44,5 α = 45

14 22. Αν 3λ 2κ = 5 όπου κ, λ Z, να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων κ : 3 και λ : 2 3λ 2κ = 5 2κ = 3λ 5 κ = 3 λ 5 Z (1) 2 Θα είναι λ = 2ν ή λ = 2ν + 1 Για λ = 2ν, η (1) κ = 3 2 ν 5 6ν 4 1 1 = = 3ν 2 2 2 2 Z 3(2ν+ 1) 5 Για λ = 2ν + 1, η (1) κ = 2 = 6 ν+ 3 5 6ν 2 = = (3ν 1) Z 2 2 Άρα λ = 2ν + 1, οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης λ : 2 είναι υ = 1 Για λ = 2ν + 1, η 3λ 2κ = 5 6ν + 3 2κ = 5 2κ = 6ν 2 κ = 3ν 1 κ = 3ν 3 + 2 κ = 3(ν 1) + 2 κ = 3ν + 2 Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης κ : 3 είναι ίσο µε υ = 2 23. Να δείξετε ότι ο αριθµός 2004 δεν µπορεί να γραφεί µε µορφή αθροίσµατος 399 προσθετέων καθένας από τους οποίους είναι ίσος µε 5 ή 7 ή 11. Έστω ότι µπορεί να γραφεί και x είναι τα 5-αρια, y τα 7-αρια και z τα 11-αρια Τότε x + y + z = 399 (1) και 5x + 7y + 11z = 2004 (2) (1) x = 399 y z Τότε η (2) 5(399 y z ) + 7y + 11z = 2004 2y + 6z = 9 2(y + 3z) = 9 Πράγµα άτοπο αφού το πρώτο µέλος είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός.

15 24. Έστω οι θετικοί ακέραιοι α, β, γ για τους οποίους ισχύουν α < 4, β < 3 και α + 4β + 12γ = 82 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 82 : 4 i Να δείξετε ότι α = 2 ii Να βρείτε τις τιµές των β και γ α + 4β + 12γ = 82 82 = 4(β + 3γ) + α µε 0 < α < 4 αυτό σηµαίνει ότι η διαίρεση 82: 4 έχει πηλίκο β + 3γ και υπόλοιπο α ii ) Ισχύει 82 = 4 20 + 2 και επειδή το πηλίκο και το υπόλοιπο µιας διαίρεσης είναι µοναδικά, µε βάση το ( θα είναι β + 3γ = 20 και α = 2 ii Αφού 20 = 3γ + β και β < 3 αυτό σηµαίνει ότι η διαίρεση 20 : 3 έχει πηλίκο γ και υπόλοιπο β Όµως 20 = 3 6 + 2 Πάλι λόγω της µοναδικότητας πηλίκου και υπόλοιπου, έχουµε γ = 6 και β = 2 25. ίνεται ο ακέραιος αριθµός α = 12κ 5, όπου κ Z Να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός i Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α δια του 4 ii Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α = (α 2 + 15)(α 2 1) είναι πολλαπλάσιο του 64 α = 12κ 5 = 12κ 6 + 1= 2(6κ 3) + 1 = 2ν + 1, οπότε α περιττός i α = 12κ 8 + 3 = 4(3κ 2) + 3 = 4π + 3 υπόλοιπο 3 ii Επειδή α = περιττός θα είναι α 2 = 8λ + 1, λ Z Άρα Α = ( 8λ + 1 + 15)( 8λ+ 1 1) = = ( 8λ + 16) 8λ = 8λ 8(λ + 2) = 64λ(λ + 2) = πολ64

16 26. Αν ρ, λ ακέραιοι µε 4ρ + 1 = 3λ, να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ρ : 3 είναι 2. Θα είναι ρ = 3κ ή ρ = 3κ + 1 ή ρ = 3κ + 2 Για ρ = 3κ, η 4ρ + 1 = 3λ 4 3κ + 1 = 3λ 1 = 3λ 12κ 1 = 3(λ 4κ) 3 1 που είναι άτοπο Για ρ = 3κ + 1, η 4ρ + 1 = 3λ 4 (3κ + 1) + 1 = 3λ 12κ + 4 + 1 = 3λ 5 = 3λ 12κ 5 = 3(λ 4κ) 3 5 που είναι άτοπο Άρα ρ = 3κ + 2, οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης ρ : 3 είναι 2.

17 27. είξτε ότι ν(ν 2 + 5) = πολ3 για κάθε ν N * i Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν x, y N * ώστε x 3 y 3 = 1999 5(x y) Ο ν µπορεί να πάρει τη µορφή ν = 3κ ή ν = 3κ + 1 ή ν = 3κ + 2, κ N * Αν ν = 3κ τότε ν(ν 2 + 5) = 3κ (9κ 2 + 5) = πολ3 Αν ν = 3κ + 1 τότε ν(ν 2 + 5) = ( 3κ + 1) ( 9κ 2 + 6κ + 5 + 1) = (3κ + 1) ( 9κ 2 + 6κ + 6) = (3κ + 1) 3( 3κ 2 + 2κ + 2) = πολ3, Αν ν = 3κ + 2 τότε ν(ν 2 + 5) = ( 3κ + 2) ( 9κ 2 + 12κ + 4 + 5) i = ( 3κ + 2) ( 9κ 2 + 12κ + 9) = (3κ + 2) 3( 3κ 2 + 4κ + 3) = πολ3 Έστω ότι υπάρχουν x, y N * ώστε x 3 y 3 = 1999 5(x y) x 3 y 3 = 1999 5x + 5y x 3 y 3 + 5x 5y = 1999 x( x 2 + 5 ) y(y 2 + 5) = 1999 3κ 3λ = 1999 3(κ λ) = 1999 3 1999 που είναι άτοπο. Οπότε δεν υπάρχουν x, y N * ώστε x 3 y 3 = 1999 5(x y) (