Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f στο σηµείο Α (x f(x. (Μονάδες Α. Να αοδείξετε ότι αν µια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. (Μονάδες 85 Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράµµα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α Αν η f είναι αραγωγίσιµη στο x τότε η f είναι άντοτε συνεχής στο x. Αν η f δεν είναι συνεχής στο x τότε η f είναι αραγωγίσιµη στο x. γ Αν η f έχει δεύτερη αράγωγο στο x τότε η f είναι συνεχής στο x. (Μονάδες 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίλα τον αριθµό της στήλης Β ου αντιστοιχεί στην εφατοµένη της κάθε συνάρτησης στο σηµείο x. Αάντηση: Α. y f(x f (x (x x Στήλη Β Στήλη Α Συναρτήσεις Εφατόµενες α. f(x x x. y x. f(x ηµx x /. y (/x γ. f(x x x. y 9x 6 δ. f(x x x. y 9x 5 5. δεν υάρχει Α. Αφού η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο σηµείο x θα ισχύει: f(x f(x lim f (x x x x x (Μονάδες 8 Τεχνική Εεξεργασία: Keysone
Τότε για x x θα έχουµε: οότε: Άρα: δηλαδή η f είναι συνεχής στο x. f(x f(x f(x f(x (x x x x f(x f(x lim x x x x x x [ f(x f(x ] lim (x x f(x f(x lim lim (x x f (x x x x x x x [ f(x f(x ] lim f(x f(x lim x x x x Β. α Η ρόταση είναι λανθασµένη αφού η συνάρτηση: x f(x συν x x x έχει xσxσ ηµ f (x x x x x ενώ δεν είναι συνεχής στο. Γνωρίζουµε ότι αν η f είναι αραγωγίσιµη σε σηµείο x θα είναι συνεχής σε αυτό άρα αν η f δεν είναι συνεχής στο x δεν είναι αραγωγίσιµη στο x και η ρόταση είναι λάθος. γ Εειδή υάρχει η δεύτερη αράγωγος της f στο x υάρχει και η αράγωγος της f στο x άρα η f είναι συνεχής στο x και η ρόταση είναι σωστή. Εοµένως έχουµε: α Λ Λ γ Σ. Β.. α f (x 9x άρα f ( 9 και f(. Εοµένως εξίσωση της εφατοµένης είναι η: y 9(x y 9x 6. f (x συνx άρα f (/ συν και f(/. Εοµένως η εξίσωση της εφατοµένης είναι η: y (x(/ y x. γ Η συνάρτηση f(x x δεν είναι αραγωγίσιµη στο x άρα δεν υάρχει εφατοµένη. Τεχνική Εεξεργασία: Keysone
δ f '(x άρα f '( / και f( x Εοµένως εξίσωση εφατοµένης είναι η: y (x y x Συνεώς έχουµε: α γ 5 δ. Ζήτηµα ο ίνεται η συνάρτηση: z i f(z z µε z i όου z ο συζυγής του z. z C α Να ρείτε την τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών αριθµών: f(9 5i (Μονάδες 6 f(9 5i (Μονάδες 6 Θεωρούµε τον ίνακα: M όου το µέτρο του µιγαδικού αριθµού του ερωτήµατος α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση. Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Τ µε ίνακα Μ είναι: Α. στροφή µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ / Β. συµµετρία ως ρος τον άξονα xx Γ. συµµετρία ως ρος τον άξονα yy. συµµετρία ως ρος την ευθεία y x Ε. οµοιοθεσία µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο: λ (Μονάδες 5 Τεχνική Εεξεργασία: Keysone
γ Αν Μ ο ίνακας του ερωτήµατος τότε να ρεθεί ο ίνακας Χ ώστε να ισχύει: ΜΧ Κ όου Κ είναι ο ίνακας ου αντιστοιχεί στο γραµµικό µετασχηµατισµό στροφής µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ /. (Μονάδες 8 Αάντηση: α Είναι: f(9 5i (9 5i i 9 5i i 8 i i 9 i 8 9i 9 i 6 i i (6 i( i ( i( i 8 6i 9i 5 5i 9 i ρ 9 9 9 α συνφ ρ ηµφ ρ Εειδή είναι: συνφ και ηµφ ροκύτει ότι φ 7/. Άρα: συν 7 7 iηµ Τεχνική Εεξεργασία: Keysone
Τεχνική Εεξεργασία: Keysone 5 Είσης: iηµ συν f(9 5i iηµ συν συν(5 iηµ(5 συν( 5 iηµ( 5 συν( iηµ( συν iηµ. Έχουµε ότι: και άρα: M M Αό τη θεωρία γνωρίζουµε ότι ο ίνακας Μ είναι ίνακας του γραµµικού µετασχηµατισµού: «συµµετρία ως ρος τον άξονα xx άρα σωστό είναι το Β. συν ηµ ηµ συν K γ Όµως: M οότε: X X K M X K MX
Ζήτηµα ο Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [ ] και ισχύει f(x > για κάθε x (. Αν f( και f( να δείξετε ότι: α. Η ευθεία y τέµνει τη γραφική αράσταση της f σ ένα ακριώς σηµείο µε τετµηµένη x (. (Μονάδες 7. Υάρχει x ( τέτοιο ώστε: f(x f f f f 5 5 5 5 (Μονάδες γ. Υάρχει x ( ώστε η εφατοµένη της γραφικής αράστασης της f στο σηµείο Μ(x f(x να είναι αράλληλη στην ευθεία y x. (Μονάδες 6 Αάντηση: α Εειδή η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο [ ] άρα θα είναι και συνεχής στο [ ]. Είσης εειδή είναι f (x > για κάθε x ( θα είναι η f γνησίως αύξουσα στο ( άρα το σύνολο τιµών της θα είναι το [f( f(] [ ] Όµως [ ] και αφού f τότε η f τέµνεται αό την ευθεία y σε ένα ακριώς σηµείο µε τετµηµένη x (. H f είναι γνησίως αύξουσα στο [] άρα: Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: f( < f(/5 < f( f( < f(/5 < f( f( < f(/5 < f( f( < f(/5 < f( f( < f f f f < f( 5 5 5 5 f f f f 5 5 5 5 f( < < f( Τεχνική Εεξεργασία: Keysone 6
Τεχνική Εεξεργασία: Keysone 7 Όµωςη f είναι συνεχής στο [ ] οότε υάρχει x ( τέτοιο ώστε: 5 f 5 f 5 f 5 f f(x < γ Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] και αραγωγίσιµη στο ( ροκύτει αό το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού ότι υάρχει ένα τουλάχιστον x ( τέτοιο ώστε: f (x f( f( f (x Εοµένως η εφατοµένη της C f στο Μ είναι αράλληλη στην ευθεία ε: y x αφού λ ε f (x. Ζήτηµα ο Τη χρονική στιγµή χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρµακο. Η συγκέντρωση του φαρµάκου στο αίµα του ασθενούς δίνεται αό τη συνάρτηση: α f( όου α και είναι σταθεροί θετικοί ραγµατικοί αριθµοί και ο χρόνος µετράται σε ώρες. Η µέγιστη τιµή της συγκέντρωσης είναι ίση µε 5 µονάδες και ειτυγχάνεται 6 ώρες µετά τη χορήγηση του φαρµάκου. α. Να ρείτε τις τιµές των σταθερών α και. (Μονάδες 5. Με δεδοµένο ότι η δράση του φαρµάκου είναι αοτελεσµατική όταν η τιµή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση µε µονάδες να ρείτε το χρονικό διάστηµα ου το φάρµακο δρα αοτελεσµατικά. (Μονάδες Αάντηση: Η f είναι αραγωγίσιµη στο [ ως ηλίκο αραγωγίσιµων συναρτήσεων µε: α α α ( f'
α Αφού σε 6 ώρες ειτυγχάνεται η µέγιστη τιµή f( 5 µονάδες θα έχουµε: 6α 5 5 6 6α 5 f(6 5 f (6 6 6 α 6α 5 ± 6 5 6 6α α 5 ± 6 ± 6 Αφού > η τιµή 6 αορρίτεται άρα 6. Εοµένως: 5 8 f( 6 6 Αφού το φάρµακο έχει αοτελεσµατική δράση όταν η τιµή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση µε µονάδες ψάχνουµε τις τιµές του έτσι ώστε: f( µε. Τότε: 8 8 6 8 5 6 Άρα το φάρµακο δρα αοτελεσµατικά αό ώρες έως ώρες. Τεχνική Εεξεργασία: Keysone 8