Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε µια πρώτη προσέγγιση στην µελέτη και διερεύνηση προβληµάτων του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π., Linear Programming, L.P) και τις µεταβολές τους. Ταυτόχρονα, παρουσιάζουµε µία πρώτη µέθοδο επίλυσής τους. Η διαδικασία επίλυσης που περιγράφεται γίνεται, εύκολα, κατανοητή αλλά προκειµένου να την χρησιµοποιήσουµε, στην πράξη, απαιτείται να επικεντρώσουµε την προσοχή µας σε προβλήµατα µε δύο, ή το ανώτερο τρεις µεταβλητές. Τέτοιου είδους προβλήµατα, όντως, υπάρχουν, αν και σπάνια, και είναι πιθανό να είναι τεχνητά. Παρόλα αυτά, η διαδικασία αυτή αποδεικνύει ότι τέτοια προβλήµατα µπορούν να επιλυθούν και είναι ιδιαίτερα σηµαντική διότι προσφέρει µία πολύτιµη γενική εποπτεία της φύσης των λύσεων των προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Σκοπός κεφαλαίου Βασικές έννοιες κι ερµηνεία του Γραµµικού Προγραµµατισµού. Γραφική επίλυση προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Παραδείγµατα. 2.1. Βασικές Έννοιες Το µαθηµατικό πρότυπο του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π., Linear Programming, L.P.) επιλύει το πρόβληµα βέλτιστης κατανοµής πόρων κάτω από περιορισµούς (constraints). Ασχολείται µε το πρόβληµα της κατανοµής πεπερασµένου αριθµού µέσων (εργαζόµενοι, υλικά, µηχανές, κ.λ.π.) σε διαφορετικές εναλλακτικές και ανταγωνιστικές µεταξύ τους δραστηριότητες (παραγωγή προϊόντων, παροχή υπηρεσιών, κ.λ.π.) κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (βελτιστοποίηση στόχου). Άρα, σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού θα πρέπει κανείς να µπορεί να διακρίνει: ένα σύνολο δραστηριοτήτων (n το πλήθος). Σε κάθε µία από τις δραστηριότητες αυτές αντιστοιχίζουµε µία µεταβλητή x ( j = 1,2,..., n), η τιµή της οποίας προσδιορίζεται από την επίλυση του συγκεκριµένου προβλήµατος, ένα σύνολο πόρων ή µέσων (m το πλήθος) που διατίθενται σε περιορισµένες ποσότητες για την εκτέλεση των παραπάνω δραστηριοτήτων, ένα σύνολο τεχνολογικών περιορισµών, που εκφράζουν τους κανόνες λειτουργίας των δραστηριοτήτων, j 14
ένα σύνολο θεσµικών περιορισµών, που εκφράζουν αποφάσεις οργανωτικής και διοικητικής φύσης και ένα µέτρο z της αποδοτικότητας του συστήµατος. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι σε προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού (Γ.Π.) οι συναρτήσεις και οι παράµετροι είναι γραµµικοί όροι. 2.2. Γραφική επίλυση Γραµµικού Προγραµµατισµού - Παραδείγµατα Η µέθοδος επίλυσης που παρουσιάζεται και αξιολογείται βασίζεται στη γραφική επίλυση και εφαρµόζεται σε τέσσερα διαφορετικά προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού. Παρόλο που τα πρότυπα επίλυσης που διατυπώνονται παρουσιάζουν σηµαντικές διαφορές, η βασική τους δοµή και η διαδικασία επίλυσης, που χρησιµοποιείται, συνήθως, είναι πανοµοιότυπες. 2.2.1. Πρόβληµα Ι: Παραγωγή δύο οικοδοµικών υλικών 2.2.1.1. Παρουσίαση Προβλήµατος Έστω ότι το εργοστάσιο Ε παράγει οικοδοµικά υλικά για τους σκοπούς της κατασκευαστικής βιοµηχανίας µιας συγκεκριµένης περιοχής. Το εργοστάσιο ειδικεύεται στην εξαγωγή δύο ευρέως χρησιµοποιούµενων προϊόντων (Α και Β). Τα προϊόντα αυτά έχουν µεγάλη ζήτηση από τις κατασκευαστικές εταιρείες, γι αυτό το Ε µπορεί να πουλήσει όλη την παραγωγή των Α και Β µε κέρδη 140 ευρώ ανά τόνο για το Α και 160 ευρώ ανά τόνο για το Β. υστυχώς, µερικoί από τους πόρους, που απαιτούνται για την παραγωγή των προϊόντων, διατίθενται σε περιορισµένες ποσότητες. Καταρχήν, η απαίτηση και για τα δύο προϊόντα Α και Β οφείλεται, κατά ένα µεγάλο ποσοστό, στα ιδιαίτερα κολλώδη τους χαρακτηριστικά, που είναι αποτέλεσµα της χρήσης ενός ειδικού συστατικού Γ που προστίθεται κατά την µίξη. Εποµένως, κάθε τόνος προϊόντος Α, που παράγεται, απαιτεί 2 3 κυβικά µέτρα (m ) του συστατικού Γ και κάθε τόνος του Β χρειάζεται 4 3 κυβικά µέτρα (m ) του Γ. Αυτό το υλικό διατίθεται σε περιορισµένες ποσότητες, δηλ. µόνο 28 κυβικά µέτρα του Γ είναι διαθέσιµα στην παραγωγή κάθε εβδοµάδα. εύτερον, ο χειριστής του µηχανήµατος, που ανακατεύει το µίγµα µπορεί να εργαστεί για µέγιστο αριθµό ωρών τις 50 ανά εβδοµάδα. Το µηχάνηµα είναι σε θέση να αναµίξει ένα τόνο ενός προϊόντος, κάθε φορά, ενώ η διαδικασία µίξης απαιτεί 5 ώρες εργασίας για να ολοκληρωθεί. Τέλος, κάθε υλικό πρέπει να αποθηκευτεί σε ξεχωριστό προστατευτικό κιβώτιο, απαίτηση που περιορίζει ακόµη περισσότερο τις διατιθέµενες ποσότητες των δύο προϊόντων Α και Β, εφόσον τα κιβώτια φύλαξης των Α και Β έχουν, αντιστοίχως, χωρητικότητες των 8 και 6 τόνων. Αυτοί οι περιορισµοί των πόρων συνοψίζονται στον Πίνακα 2.2.1. 15
Πίνακας 2.2.1. Απαιτήσεις και διαθεσιµότητα πόρων για το πρόβληµα παραγωγής δύο οικοδοµικών υλικών. ΠΟΡΟΙ ΠΡΟΪΟΝ Α ΠΡΟΪΟΝ Β ΙΑΤΙΘΕΜΕΝΑ Συστατικό Χ 2 m 3 / ton 4 m 3 / ton 28 m 3 / εβδ. Χρόνος µίξης 5 hr / ton 5 hr / ton 50 hr / εβδ. Χωρητικότητα κιβωτίου 8 tons 6 tons Κέρδος 140 / ton 160 / ton Έστω ότι σκοπός της µελέτης βελτιστοποίησης, που θα ακολουθήσει είναι η ανάπτυξη ενός στρατηγικού σχεδίου λειτουργίας της διαδικασίας παραγωγής των υλικών: «Ποιά είναι η βέλτιστη διαδικασία παραγωγής για το εργοστάσιο Ε, δεδοµένων των παραπάνω στοιχείων;» 2.2.1.2. ιατύπωση Προβλήµατος Η διατύπωση ενός προτύπου παραγωγής για το πρόβληµα του εργοστασίου Ε αρχίζει µε την µετατροπή των βασικών στοιχείων-δεδοµένων του προβλήµατος σε ένα ψευδο-πρότυπο (pseudomodel), όρος, που χρησιµοποιείται, παγκοσµίως, για την περιγραφή των εξισώσεων, οι οποίες απαιτούνται για την εισαγωγή στη διαδικασία επίλυσης όλων των σηµαντικών στοιχείων του προβλήµατος. Σε αυτήν την περίπτωση, ο σκοπός του προτύπου επίλυσης είναι ο καθορισµός της ποσότητας κάθε προϊόντος, που πρέπει να παράγεται κάθε εβδοµάδα, ούτως ώστε να επιτυγχάνεται µεγιστοποίηση των συνολικών κερδών από τις πωλήσεις: Μεγιστοποίηση συνολικού εβδοµαδιαίου κέρδους µε ταυτόχρονη ικανοποίηση τεσσάρων συνθηκών παραγωγής: Το συνολικό απόθεµα του συστατικού Χ δεν µπορεί να υπερβαίνει την µέγιστη καθοριζόµενη ποσότητα κάθε εβδοµάδας. Η µηχανή µίξης δεν µπορεί να χρησιµοποιείται για περισσότερες από 50 ώρες εβδοµαδιαίως. Η αποθηκευτική χωρητικότητα, κάθε εβδοµάδας, για το προϊόν Α δεν µπορεί να υπερβαίνεται, και Η αποθηκευτική χωρητικότητα, κάθε εβδοµάδας, για το προϊόν Β δεν µπορεί, επίσης, να υπερβαίνεται. 16
Για να χαρακτηριστεί µία δεδοµένη λύση ως δυνατή, απαιτείται να ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς του προβλήµατος, ταυτόχρονα. Για να χαρακτηριστεί µία δεδοµένη λύση ως βέλτιστη, πρέπει, επιπρόσθετα, να δίνει και την µέγιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (συνολικό κέρδος). Εποµένως, για κάθε τύπο γραµµικού προγραµµατισµού, οι σχέσεις µεταξύ των περιορισµών καθορίζει την εφικτότητα µιας δοσµένης λύσης, ενώ η αντικειµενική συνάρτηση χρησιµοποιείται για τον καθορισµό της βέλτιστης λύσης. Για την µετατροπή του ψευδο-προτύπου σε γραµµικό πρόγραµµα είναι απαραίτητος ο καθορισµός των µεταβλητών αποφάσεως, που θα εισαχθούν στο πρόγραµµα. Στην περίπτωση αυτή, ίσως πρέπει να αναρωτηθούµε, «στον καθορισµό µίας παραγωγικής τακτικής για την κατασκευή των προϊόντων Α και Β, ποιό είναι το σύνολο των µεταβλητών αποφάσεως, το οποίο µπορεί να ελέγξει ο µηχανικός παραγωγής». Είναι σαφές ότι ο µηχανικός δεν ελέγχει το κέρδος ανά όγκο του προϊόντος που πωλείται (τουλάχιστον όχι άµεσα), ούτε έχει τον έλεγχο της διαθεσιµότητας των απαιτούµενων πόρων. Σύµφωνα µε τη διατύπωση του προβλήµατος, στόχος του µηχανικού είναι να πάρει τη σωστή απόφαση σχετικά µε τις ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παραχθούν. Πραγµατικά, υποθέτουµε ότι ο µηχανικός είναι ολοκληρωτικά υπεύθυνος και αρµόδιος γι αυτήν την απόφαση. Έστω ότι: x 1 = ο αριθµός των τόνων του προϊόντος Α, που παράγονται κάθε εβδοµάδα. x 2 = ο αριθµός των τόνων του προϊόντος Β, που παράγονται κάθε εβδοµάδα. Μπορεί, τώρα, να διατυπωθεί µία έκφραση για το συνολικό κέρδος µε την µορφή συνάρτησης των εβδοµαδιαίων πωλήσεων: Συνολικό εβδοµαδιαίο κέρδος = 140x + 160x Ή χρησιµοποιώντας τον ορισµό της αντικειµενικής συνάρτησης, µπορούµε να γράψουµε, Μεγιστοποίηση Z = 140x1+ 160x2 Αυτή η έκφραση θα χρησιµοποιηθεί για την αξιολόγηση ενός (σε γενικές γραµµές, πολύ µεγάλου) αριθµού λύσεων του προβλήµατος. Οι µεταβλητές αποφάσεως µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε γενικές εκφράσεις, στις οποίες θα συσχετίζεται κάθε δυνατό επίπεδο παραγωγής µε το συνακόλουθο επίπεδο χρήσης των πόρων. Για παράδειγµα, ο συνολικός όγκος του συστατικού Χ, που θα χρησιµοποιηθεί σε µία συγκεκριµένη τακτική παραγωγής, είναι µία γραµµική συνάρτηση του παραγώµενου όγκου των δύο γνωστών υλικών Α και Β, όπως δίνονται στον Πίνακα 2.2.1.: 17
Ολική ποσότητα του Χ = 2x + 4x. Λόγω του ότι το εφαρµοζόµενο πρόγραµµα παραγωγής µπορεί να περιορίζεται από την διαθεσιµότητα του συστατικού Χ, το πρότυπο επίλυσης πρέπει να περιλαµβάνει έναν σαφή περιορισµό στην κατανάλωσή του: 2x + 4x 28. Παρόµοια, µπορούµε να διατυπώσουµε εκφράσεις για την χρήση της µηχανής µίξεως σαν συνάρτηση της παραγωγής: Ολικός χρόνος µηχανής µίξης = 5x + 5x 50. Τελικά, δύο επιπλέον πρότυπα περιορισµών θα αναπτυχθούν, ώστε να διασφαλίσουν την µη υπέρβαση των αποθηκευτικών χωρητικοτήτων των προϊόντων Α και Β: Προϊόν Α, παραγώµενο εβδοµαδιαίως Προϊόν Β, παραγώµενο εβδοµαδιαίως ή x1 8, x2 6. 8 tons, 6 tons, Το ολοκληρωµένο γραµµικό πρόγραµµα επίλυσης του προβλήµατος παραγωγής για το εργοστάσιο διατυπώνεται ως εξής: Μεγιστοποίηση: Z = 140x1+ 160x2 Με περιορισµούς: 2x1+ 4x2 28 5x + 5 x 0 5 x 8 1 x2 6 x, x 0. Ο τελευταίος όρος των περιορισµών εµποδίζει τις µεταβλητές αποφάσεως να πάρουν αρνητικές τιµές, που είναι µη αποδεκτό. Η αρνητική παραγωγή ενός προϊόντος δεν είναι, πρακτικά, δυνατή. Σε θεωρητική βάση µπορεί να έχει ως αποτέλεσµα τη διάθεση περισσότερων πόρων για την παραγωγή πρόσθετης ποσότητας άλλου υλικού, όµως στην πράξη δεν έχει φυσική σηµασία. Η µη αρνητικότητα των τιµών των µεταβλητών αποφάσεων αποτελεί µία σηµαντική διαπίστωση. Έχει ιδιαίτερη σηµασία κατά την αξιολόγηση και µελέτη του αλγόριθµου, που χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού, στα οποία εξετάζεται ένας πολύ µεγάλος αριθµός µεταβλητών αποφάσεως. 18
Λόγω της εισαγωγής στο πρότυπο επίλυσης δύο, µόνο, µεταβλητών αποφάσεως, το πρόβληµα παραγωγής των δύο οικοδοµικών υλικών, µπορεί να επιλυθεί και γραφικά. 2.2.2. Πρόβληµα Ι: Γραφική Επίλυση Προβλήµατα που περιέχουν λιγότερες των τεσσάρων µεταβλητών αποφάσεως είναι δυνατό να επιλυθούν γραφικά επειδή η περιοχή της λύσης για όλους τους πιθανούς συνδυασµούς αυτών των µεταβλητών µπορεί να παρασταθεί σε δισδιάστατο επίπεδο, στην περίπτωση δύο µεταβλητών, και σε τρισδιάστατο επίπεδο όταν έχουµε τρεις µεταβλητές. Επιπρόσθετα, η περιοχή της λύσης µπορεί να περιοριστεί, επιπλέον, µε την γραφική απεικόνιση των περιοριστικών εξισώσεων του προβλήµατος. Τελικά, η αντικειµενική συνάρτηση είναι δυνατό να παρασταθεί γραφικά και να χρησιµοποιηθεί για τον εντοπισµό της βέλτιστης λύσης. Ας θεωρήσουµε µία περιοχή λύσης για το συγκεκριµένο πρόβληµα παραγωγής των δύο οικοδοµικών υλικών από το εργοστάσιο Ε, όπως απεικονίζεται γραφικά στο Σχήµα 2.2.2.1., όπου ο οριζόντιος άξονας ( x1 ) παριστά τον συνολικό όγκο της παραγωγής του Α και ο κατακόρυφος άξονας ( x2) τον συνολικό όγκο της παραγωγής του Β. Όλοι οι πιθανοί συνδυασµοί των επιπέδων παραγωγής µπορούν να αναπαρασταθούν σε αυτό το ηµι-επίπεδο. Στη συνέχεια, ακολουθεί η γραφική απεικόνιση των περιοριστικών εξισώσεων, ως γραµµές, που αποτελούνται από όλα τα σηµεία του επιπέδου, που τις ικανοποιούν αυστηρά. Όλα τα σηµεία που κείτονται στην µία πλευρά αυτών των γραµµών - πλευρά που επισηµαίνεται από το ανοιχτό βέλος ικανοποιούν τις αρχικές ανισότητες, ενώ όλα τα σηµεία, που βρίσκονται στην άλλη πλευρά των γραµµών, παραβιάζουν αυτούς τους περιορισµούς. Στην περίπτωση ενός περιορισµού ανισότητας, µόνο τα σηµεία, που βρίσκονται, ακριβώς, πάνω στην αντίστοιχη γραµµή θα ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη. Ορισµός: Ως επιτρεπτή περιοχή (feasible region) για ένα γραµµικό πρόγραµµα ορίζεται το σύνολο των λύσεων (τιµές για τις µεταβλητές αποφάσεως), που ικανοποιεί, ταυτόχρονα, όλες τις περιοριστικές εξισώσεις (περιορισµούς). Η επιτρεπτή περιοχή για το συγκεκριµένο πρόβληµα παραγωγής είναι η σκιασµένη περιοχή του Σχήµατος 2.2.2.1. Η περιοχή λύσης για ένα γραµµικό πρόγραµµα αποτελείται, πάντα, από: (1) έναν άπειρο αριθµό δυνατών λύσεων, (2) µία µοναδική δυνατή λύση, ή (3) µηδενικές λύσεις (είναι πιθανό κανένα σηµείο να µην ικανοποιεί, ταυτόχρονα, όλους τους περιορισµούς). 19
Σχήµα 2.2.2.1. Επιτρεπτές λύσεις για πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού είναι εκείνα τα σηµεία, που ικανοποιούν, ταυτόχρονα, όλους τους περιορισµούς, δηλ. η σκιασµένη περιοχή στο γράφηµα. Σηµειώνουµε ότι τα όρια της επιτρεπτής περιοχής είναι επιτρεπτά. Μετά τον καθορισµό και την γραφική απεικόνιση της επιτρεπτής περιοχής, η αντικειµενική συνάρτηση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την αξιολόγηση όλων των δυνατών λύσεων. Το Σχήµα 2.2.2.2. δείχνει την επιτρεπτή περιοχή για το πρόβληµα παραγωγής µε την αντικειµενική συνάρτηση - Z = 140x1+ 160x 2 - να απεικονίζεται γραφικά για τέσσερις διαφορετικές θέσεις στην περιοχή αποφάσεως: Z = 0, Z = 560, Z = 1120, και Z = 1480. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι οι γραµµές αυτές είναι µεταξύ τους παράλληλες. Αυτό συµβαίνει διότι, ανεξάρτητα από την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης για µία συγκεκριµένη λύση, η κλίση της είναι σταθερή, όπως καθορίζεται από τους συντελεστές που πολλαπλασιάζονται µε τις µεταβλητές αποφάσεως στην αντικειµενική συνάρτηση. Στην αριστερή χαµηλή περιοχή του Σχ.2.2.2.2., η κλίση της αντικειµενικής συνάρτησης αναπαρίσταται διερχόµενη από τα κέντρο των αξόνων ( x1 = 0, x2 = 0), ούτως ώστε κάθε σηµείο αυτής της γραµµής να έχει ως αποτέλεσµα την τιµή µηδέν για την αντικειµενική συνάρτηση Z. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το µοναδικό σηµείο αυτού του τµήµατος της γραµµής, που είναι εφικτό (τέµνει την επιτρεπτή περιοχή εντός της περιοχής αποφάσεως) είναι η αρχή των συντεταγµένων. 20
Σχήµα 2.2.2.2. Όσο η αντικειµενική συνάρτηση αποµακρύνεται από την αρχή, εντός της επιτρεπτής περιοχής, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης αυξάνεται. Λόγω της µεγιστοποίησης της αντικειµενικής συνάρτησης, το τελευταίο σηµείο τοµής της µε την επιτρεπτή περιοχή αποτελεί και τη βέλτιστη λύση. Στη συνέχεια, απεικονίζουµε γραφικά την κλίση της αντικειµενικής συνάρτησης, όταν αυτή διέρχεται από τα σηµεία (4, 0) και (0, 3.5). Τα σηµεία αυτά, όπως και όλα τα σηµεία αυτής της γραµµής, έχουν σαν αποτέλεσµα την τιµή 560 για την αντικειµενική συνάρτηση. Λόγω της µεγιστοποίησης της συνάρτησης που επιχειρείται, η δεύτερη τιµή (560) της αντικειµενικής συνάρτησης εµφανίζεται, σαφώς, βελτιωµένη από την αρχική τιµή µηδέν. Επιπλέον, υπάρχει ένας άπειρος αριθµός δυνατών λύσεων, που δίνει αυτήν την ίδια τιµή για την αντικειµενική συνάρτηση όλα τα σηµεία στο τµήµα της γραµµής (4, 0), (0, 0.35) είναι εφικτά και δίνουν την τιµή 560 για την αντικειµενική συνάρτηση. Συνεχίζοντας την µετακίνηση της κλίσης της αντικειµενικής συνάρτησης στην κατεύθυνση βελτίωσης (πάνω και αριστερά, σε αυτήν την περίπτωση, όπως υποδεικνύεται από το βέλος κοντά στην Κατεύθυνση Βελτίωσης της Αντικειµενικής Συνάρτησης), µπορούµε να αξιολογήσουµε, γραφικά, όλα τα σηµεία της επιτρεπτής περιοχής. Το σηµείο, όπου η αντικειµενική συνάρτηση τέµνει για τελευταία φορά την επιτρεπτή περιοχή είναι και η δυνατή λύση, που προσφέρει την καλύτερη (βέλτιστη) τιµή της Z, ικανοποιώντας, ταυτόχρονα, όλους τους περιορισµούς. Γι αυτόν τον λόγο το σηµείο αυτό καλείται βέλτιστη λύση (optimal solution) του προβλήµατος. Σε αυτό το παράδειγµα, το σηµείο αυτό έχει συντεταγµένες x1 = 6, x2 = 4 κι έχει σαν αποτέλεσµα την τιµή Z = 1480 για την αντικειµενική συνάρτηση. Είναι φανερό ότι το σηµείο µε συντεταγµένες x 1 = 0, x 2 = 0 θα ήταν η 21
βέλτιστη λύση στην περίπτωση που είχαµε πρόβληµα ελαχιστοποίησης και η επιτρεπτή περιοχή και η κλίση της αντικειµενικής συνάρτησης θα ήταν ίδιες. Τα προβλήµατα, που µπορούν να επιλυθούν γραφικά είναι, γενικά, πολύ µικρά για να έχουν πρακτική σηµασία. Όµως, η διαδικασία γραφικής επίλυσης, όπως περιγράφηκε, είναι πολύ σηµαντική στην κατανόηση του τρόπου µε τον οποίο λειτουργούν οι αναλυτικές µεθοδολογίες επίλυσης. Οι έννοιες της εφικτότητας (feasibility) και της βελτιστοποίησης (optimality) είναι οι ίδιες ανεξαρτήτως µεγέθους προβλήµατος. 2.2.3. Τύποι Λύσεων Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού Κατά τη διατύπωση κι επίλυση ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού το αποτέλεσµα θα είναι ένας από τους ακόλουθους τέσσερις χαρακτηριστικούς τύπους λύσεων. Θα χρησιµοποιηθεί το παράδειγµα παραγωγής που παρατέθηκε παραπάνω. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΜΟΝΑ ΙΚΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟ Η επίλυση του προβλήµατος παραγωγής του εργοστασίου Ε πραγµατοποιήθηκε, αρχικά, µε την γραφική απεικόνιση της επιτρεπτής περιοχής στο πεδίο αποφάσεως, στη συνέχεια, µε την αναπαράσταση της κλίσης της αντικειµενικής συνάρτησης στο ίδιο γράφηµα, και τέλος µε την µετακίνησή της κατά τη διεύθυνση της βελτιστοποίησης µέχρι να εντοπιστεί το τελευταίο σηµείο τοµής της µε την επιτρεπτή περιοχή (Σχ.2.2.3.α) Στην περίπτωση αυτή η τοµή της επιτρεπτής περιοχής µε το σύνολο των σηµείων πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση 140x + 160x = 1480 και αποτελείται από ένα και µοναδικό σηµείο µε συντεταγµένες x 1 = 6 και x 2 = 4. Το σηµείο αυτό είναι το µοναδικό σηµείο αυτής της γραµµής, που ικανοποιεί, ταυτόχρονα, όλες τις εξισώσεις περιορισµών. Εποµένως, η βέλτιστη λύση στο πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού είναι µοναδική. ηλαδή λέµε ότι το πρόβληµα έχει ένα µοναδικό βέλτιστο ή µία µοναδική βέλτιστη λύση. Είναι δυνατό, παρόλ αυτά περισσότερες από µία (ίσως ένας άπειρος αριθµός) λύσεων να µπορούσαν να είναι βέλτιστες. 22
Σχήµα 2.2.3. Η επίλυση ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού έχει ένα από τα ακόλουθα τέσσερα πιθανά αποτελέσµατα: (α) προβλήµατα, που έχουν ένα µοναδικό βέλτιστο (µία µοναδική βέλτιστη λύση), (β) προβλήµατα, που έχουν βέλτιστα εναλλάξ, (γ) προβλήµατα, που δεν έχουν καµία εφικτή λύση, και (δ) προβλήµατα που είναι µη φραγµένα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΕΝΑΛΛΑΞ Όπως απεδείχθη στην προηγούµενη παράγραφο, ο προσανατολισµός της αντικειµενικής συνάρτησης στο πεδίο αποφάσεως καθορίζεται από τους συντελεστές που πολλαπλασιάζονται µε τις µεταβλητές αποφάσεως. Για παράδειγµα, εάν ο συντελεστής του, στην αρχική αντικειµενική συνάρτηση, µειωθεί συγκριτικά µε τον συντελεστή του x 1, η κλίση της συνάρτησης γίνεται πιο απότοµη, δηλαδή παίρνει µεγαλύτερες αρνητικές τιµές. Εάν η αρχική αντικειµενική συνάρτησης αντικατασταθεί µε x 2 Μεγιστοποίηση 140 x + 140x 23
και το πρόβληµα επιλυθεί γραφικά, η τοµή της αντικειµενικής συνάρτησης µε την ανάλογη επιτρεπτή περιοχή στο βέλτιστο, διαπιστώνεται ότι είναι τελικά τµήµα γραµµής, όπως φαίνεται και στο Σχ. 2.2.3.β. Όλα τα σηµεία που κείτονται επάνω στο ευθύγραµµο τµήµα κι ενώνουν τα σηµεία (6, 4) και (8, 2) δίνουν την ίδια τιµή αντικειµενικής συνάρτησης και ικανοποιούν την εξίσωση 140x + 140x = 1400. Γι αυτόν τον λόγο το πρόβληµα έχει έναν άπειρο αριθµό βέλτιστων λύσεων, ή όπως λέγεται έχει βέλτιστα εναλλάξ (alternate optima). Βέλτιστα εναλλάξ είναι, στην πραγµατικότητα, πιο συνήθη στις περιπτώσεις αύξησης του µεγέθους ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού (αναφορικά µε τον αριθµό των µεταβλητών αποφάσεως και των περιορισµών), και είναι πολύ σηµαντικό να µπορούµε να εντοπίζουµε αµέσως την ύπαρξη και την θέση τους. Εποµένως, κρίνεται πολύτιµος ο εντοπισµός και αξιολόγηση των συνθηκών, που υποδεικνύουν την παρουσία αυτού του είδους βέλτιστων σε προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΜΗ ΕΦΙΚΤΗ ΛΥΣΗ Σε προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού είναι δυνατό να µην υπάρχουν εφικτές λύσεις. Αυτό µπορεί να συµβαίνει λόγω σφάλµατος κατά τη διατύπωση λογικών περιορισµών ή λαθών κατά τη διαµόρφωση του προβλήµατος για την χρήση τυποποιηµένων προγραµµάτων επίλυσης (προγράµµατα η/υ), οπότε και εισάγεται υπερβολικός αριθµός περιορισµών, σε διάσταση τέτοια, που να µην επιτρέπει την ταυτόχρονη ικανοποίησή τους και συνεπώς την επίλυση του προβλήµατος. Το Σχήµα 2.2.3.γ. απεικονίζει τρεις περιορισµούς ενός υποθετικού µοντέλου σε πεδίο αποφάσεως, κατά τρόπο, που να απαγορεύει την ύπαρξη επιτρεπτής λύσης. Το πρόβληµα, τότε, λέγεται µη εφικτό (infeasible). Κατά την γραφική επίλυση ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, µη εφικτές λύσεις εντοπίζονται και αποφεύγονται εύκολα. Σε διεξοδικότερα προβλήµατα είναι µερικές φορές δύσκολο να εντοπίσουµε εάν το πρότυπο επίλυσης είναι εσφαλµένα διατυπωµένο, ή εάν έχει γίνει λάθος κατά την εισαγωγή της βάσης δεδοµένων σε αυτό, δηλ. λάθη εµφανή, όπως µία λανθασµένη σχέση, ή λιγότερο εµφανή, όπως ένα τυπογραφικό λάθος στο όνοµα µιας µεταβλητής. ΜΗ ΦΡΑΓΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Όπως τα προβλήµατα που δεν έχουν εφικτές λύσεις είναι συνέπεια υπερβολικών περιορισµών, µπορούµε, ανάλογα, να θεωρήσουµε προβλήµατα µε λιγότερους των επιτρεπτών περιορισµούς. Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε την επιτρεπτή περιοχή ενός υποθετικού προβλήµατος, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.2.3δ. Η επιτρεπτή περιοχή απεικονίζεται σκιασµένη και φραγµένη από τρεις περιορισµούς. Η κλίση της αντικειµενικής συνάρτησης και η κατεύθυνση βελτίωσης φαίνονται, επίσης, στο γράφηµα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι για οποιαδήποτε εφικτή λύση στο πεδίο 24
απόφασης, µπορούµε, πάντα, να βρίσκουµε άλλη λύση, που θα δίνει µία καλύτερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, έτσι ώστε η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος θα µπορεί να µετακινείται προς την κατεύθυνση βελτίωσης (πάνω και δεξιά) χωρίς κανέναν περιορισµό. Ένα τέτοιο πρόβληµα καλείται µη φραγµένο (unbounded). Όπως και στην περίπτωση των µη εφικτών λύσεων, µη φραγµένες λύσεις, γενικά, υποδεικνύουν την ύπαρξη λογικών ή τυπογραφικών σφαλµάτων κατά τη διαµόρφωση του προτύπου ή την εισαγωγή δεδοµένων. 2.2.4. Πρόβληµα ΙΙ: Καταµερισµός εργασίας σε δύο ορυχεία 2.2.4.1. Παρουσίαση Προβλήµατος Μία εταιρεία, που παράγει χαλκό και νικέλιο, έχει στην κατοχή της δύο ορυχεία Α και Β, τα οποία διαθέτουν και τα δύο µεταλλεύµατα. Τα δύο ορυχεία έχουν διαφορετικά έξοδα και διαφορετικούς ρυθµούς παραγωγής. Επιπρόσθετα, τα προϊόντα τους είναι, επίσης, διαφορετικά. Τα ακόλουθα δεδοµένα περιγράφουν τα ορυχεία και την παραγωγή τους: Κλάσµα του µεταλλεύµατος του ορυχείου Α, που είναι χαλκός =0.25 Κλάσµα του µεταλλεύµατος του ορυχείου Β, που είναι χαλκός =0.15 Κλάσµα του µεταλλεύµατος του ορυχείου Α, που είναι νικέλιο =0.00875 Κλάσµα του µεταλλεύµατος του ορυχείου Β, που είναι νικέλιο =0.035 Τόνοι µεταλλεύµατος παραγώµενοι ανά µέρα από το ορυχείο Α =1600 Τόνοι µεταλλεύµατος παραγώµενοι ανά µέρα από το ορυχείο Β =1000 Λειτουργικά κόστη του ορυχείου Α, κάθε µέρα (χιλιάδες ευρώ) =3 Λειτουργικά κόστη του ορυχείου Β, κάθε µέρα (χιλιάδες ευρώ) =9 Από τα παραπάνω στοιχεία µπορούµε να υπολογίσουµε τον αριθµό των τόνων των µεταλλευµάτων, που µπορούν να παραχθούν για κάθε ηµέρα λειτουργίας καθενός από τα ορυχεία. Για παράδειγµα, ο συνολικός αριθµός τόνων χαλκού, που παράγεται κάθε µέρα από το ορυχείο Α είναι Κλάσµα χαλκού από το ορυχείο 1 ηµερήσιοι τόνοι από το ορυχείο 1 ή 0.025 1600=40 25
Οι τόνοι του χαλκού, που παράγονται κάθε ηµέρα από το ορυχείο Β καθώς και οι τόνοι νικελίου, ανά µέρα, κάθε ορυχείου υπολογίζονται κατά παρόµοιο τρόπο. Η εταιρεία έχει δεσµευτεί να παρέχει 100 τόνους χαλκού και 140 τόνους νικελίου, εβδοµαδιαίως. Τα ηµερήσια λειτουργικά έξοδα υπολογίζονται σε 7.000 ΕΥΡΩ για το ορυχείο Α και 5.000 ΕΥΡΩ για το Β. Θα υποθέσουµε ότι κανένα από τα δύο ορυχεία δεν µπορεί να λειτουργεί για περισσότερες από 5 ηµέρες την εβδοµάδα. Τα δεδοµένα του προβλήµατος παρουσιάζονται συνοπτικά στον Πίνακα 2.2.4. σκοπός µας είναι να διαµορφώσουµε το κατάλληλο πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού, το οποίο θα βοηθήσει την εταιρεία να ανταπεξέλθει στις υποχρεώσεις παραγωγής των µεταλλευµάτων µε το κατώτατο δυνατό κόστος. Πίνακας 2.2.4. Παράµετροι για την επίλυση του προβλήµατος των µεταλλευµάτων. ΠΟΡΟΙ ΟΡΥΧΕΙΟ Α ΟΡΥΧΕΙΟ Β Τόνοι χαλκού ανά µέρα Τόνοι νικελίου ανά µέρα Λειτουργικά έξοδα ανά µέρα σε ΕΥΡΩ) ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΕΒ ΟΜΑ ΙΑΙΩΣ (Τόνοι) 40 15 100 14 35 140 7.000 ΕΥΡΩ 5.000 ΕΥΡΩ 2.2.4.2. ιατύπωση Προβλήµατος Για την διατύπωση ενός προτύπου παραγωγής για το πρόβληµα λειτουργίας των ορυχείων, ξεκινάµε, πάλι, µε ένα ψευδο-πρότυπο. Αντικείµενο του προτύπου µας είναι ο καθορισµός µίας τακτικής λειτουργίας και για τα δύο ορυχεία, µε σκοπό την ελαχιστοποίηση των λειτουργικών εξόδων: Ελαχιστοποίηση συνολικών λειτουργικών εξόδων µε ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των περιορισµών παραγωγής: Τουλάχιστον 100 τόνοι χαλκού, πρέπει να εξορύσσονται κάθε εβδοµάδα. Τουλάχιστον 140 τόνοι νικελίου, πρέπει να εξορύσσονται κάθε εβδοµάδα. Το ορυχείο Α, µπορεί να µην λειτουργεί για περισσότερες από 5 ηµέρες την εβδοµάδα, και 26
Το ορυχείο Β, µπορεί να µην λειτουργεί για περισσότερες από 5 ηµέρες την εβδοµάδα. Σύµφωνα µε τον καθορισµό του προβλήµατος, το κόστος εξόρυξης είναι µία συνάρτηση του αριθµού των ηµερών λειτουργίας κάθε ενός από τα δύο ορυχεία. Πράγµατι, ο διαχειριστής της λειτουργίας είναι υπεύθυνος να αποφασίσει πόσες ηµέρες θα τεθεί σε λειτουργία κάθε ορυχείο κατά τη διάρκεια µιας δεδοµένης εβδοµάδας. Οι µεταβλητές αποφάσεως του προτύπου µας καθορίζονται ως εξής: Έστω ότι: x 1 = ο αριθµός των ηµερών ανά εβδοµάδα της λειτουργίας του ορυχείου Α. x 2 = ο αριθµός των ηµερών ανά εβδοµάδα της λειτουργίας του ορυχείου Β. Τα συνολικά εβδοµαδιαία έξοδα παραγωγής µπορούν να εκφραστούν ως µία γραµµική συνάρτηση των µεταβλητών αποφάσεως: Συνολικά έξοδα = 3x + 9x. Οι τόνοι του χαλκού κάθε εβδοµάδας, από τα ορυχεία Α και Β, µπορούν, τότε, να υπολογιστούν ως εξής Εβδοµαδιαία παραγωγή χαλκού = 40x + 15x Το πρότυπό µας πρέπει να διασφαλίσει την παραγωγή τουλάχιστον 100 τόνων εβδοµαδιαίως. Η αντίστοιχη περιοριστική εξίσωση δίνεται ως εξής 40x + 15x 100. Ανάλογα για τη συνολική παραγωγή του νικελίου: Εβδοµαδιαία παραγωγή νικελίου = 14x + 35x που πρέπει να είναι, τουλάχιστον, 140 τόνους την εβδοµάδα: 14x + 35x 140. ύο πρόσθετοι περιορισµοί απαιτείται να συµπεριληφθούν στο πρότυπο µας, για τον περιορισµό των ηµερών λειτουργίας κάθε ορυχείου στις 5 ηµέρες ανά εβδοµάδα. Συνεπώς, η διατύπωση του γραµµικού προγραµµατισµού για το πρόβληµα λειτουργίας των ορυχείων είναι, πλέον, ολοκληρωµένο: Ελαχιστοποίηση: Z = 3x1+ 9x2 27
Με περιορισµούς: 40x1+ 15x2 100 14 x + 35x 140 x 1 5 x 2 5 x, x 0. 2.2.4.3. Επίλυση του Προβλήµατος Λόγω της εισαγωγής δύο, µόνο, µεταβλητών απόφασης, το πρόβληµα των δύο ορυχείων µπορεί να επιλυθεί και γραφικά, µε την απεικόνιση, αρχικά, των περιορισµών του προτύπου, τη διαµόρφωση της επιτρεπτής περιοχής και στη συνέχεια, την αξιολόγηση όλων των εφικτών λύσεων µε την χρήση της αντικειµενικής συνάρτησης. Η γραφική επίλυση αυτού του παραδείγµατος φαίνεται στο Σχήµα 2.2.4.3. Σχήµα 2.2.4.3. Γραφική επίλυση του προβλήµατος καταµερισµού της εργασίας µεταξύ των δύο ορυχείων. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, η επιτρεπτή περιοχή για το πρόβληµα των δύο ορυχείων είναι η σκιασµένη επιφάνεια µέσα στην περιοχή των λύσεων. Θα πρέπει να σηµειωθεί, συγκεκριµένα, ότι η επιτρεπτή περιοχή περιλαµβάνει τέσσερα γωνιακά σηµεία (corner points) 28
σηµεία στα οποία ζεύγη των περιοριστικών εξισώσεων ικανοποιούνται µε ισότητες, αυστηρώς. Τα σηµεία αυτά αναγράφονται Α, Β, Γ και στο Σχήµα 2.2.4.3. και στον Πίνακα 2.2.4.3. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, η λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς και παρέχει την µικρότερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι η βέλτιστη λύση το σηµείο. Θα µπορούσε να υποστηριχθεί ότι µία εναλλακτική µέθοδος επίλυσης θα είναι η επίλυση όλων των ζευγών περιορισµών για τα x1 και x2 µε απλή επιλογή, στη συνέχεια, της λύσης που δίνει την χαµηλότερη τιµή. Πράγµατι, όπως φαίνεται από την γραφική επίλυση και των δύο παραδειγµάτων, και λόγω των χαρακτηριστικών της επιτρεπτής περιοχής ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισνµού, η βέλτιστη λύση του θα είναι πάντα µία από τις γωνιακές σηµειακές λύσεις. Πίνακας 2.2.4.3. Παράµετροι του προβλήµατος των µεταλλευµάτων. ΓΩΝΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΟ X 1 X 2 TIMH ANTIKEIMENIKHΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α 1 3/17 3 9/17 35.29 Β 5/8 5 46.88 C 5 5 60.00 D 5 2 33.00 Λόγω του εξαιρετικά µεγάλου πλήθους ακραίων σηµειακών λύσεων είναι, πρακτικά, δύσκολο να εντοπίσουµε όλες τις λύσεις σε προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού, ακόµα και µε την βοήθεια εξελιγµένων συστηµάτων ηλεκτρονικού υπολογιστή. Για αυτόν τον λόγο, πρέπει να βασιστούµε σε επαρκείς και αναλυτικές µεθόδους επίλυσης, που δεν απαιτούν τον εντοπισµό όλων των γωνιακών σηµείων. Στην περίπτωση αυτή, οι υπολογισµοί, που είναι δυνατό να περιέχουν χιλιάδες µεταβλητές και περιορισµούς, πραγµατοποιούνται από ηλεκτρονικούς υπολογιστές µε σχετική ευκολία. Βιβλιογραφικές Αναφορές Revelle, S. C., Whitlach E. E., Wright R. J. (1997), Civil and Environmental Systems Engineering, Prentice Hall, Inc., New Jersey. 29