ΣΥΝΘΕΣΗ ΛΝΩΣΕΩΝ.5. Υλικό σηµείο εκτελεί... η χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = +, ενώ ο ρυθµός µεταβο- λής της κινητικής του ενέργειας τη στιγµή αυτή είναι θετικός. ίνεται ακό - µα ότι το χρονικό διάστηµα ου ααιτείται ώστε το υλικό σηµείο να βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x= µε υ < 0 είναι t=0, s. Όταν το υλι- κό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = 0, m, η ταχύτητά του έχει µέτρο υ = m/s. α. Να υολογίσετε την ερίοδο και το λάτος αυτής της... β. Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) της... του υλικού σηµείου. Β. Υλικό σηµείο εκτελεί και αυτό... η χρονική στιγµή t η ταχύτητα υ και η ειτάχυνση α του ταλαντωτή έχουν µέτρα,5 m/s και 00 m/s αντίστοιχα. η χρονική στιγµή t = s ο ρυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέρ- 0 γειας του ταλαντωτή γίνεται για ρώτη φορά µέγιστος, ενώ τη στιγµή t = = s ο ταλαντωτής διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας του. α. Να υολογίσετε το λάτος και την ερίοδο αυτής της... ( 0, ενώ ηµα = ηµασυνα.) β. Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) της... του υλικού σηµείου. Γ. Σώµα µάζας m = kg εκτελεί ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις x = f(t) και x = f(t) στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια Θ.Ι. α. Να ροσδιορίσετε την εξίσωση αοµάκρυνσης - χρόνου x = f(t) της συνισταµένης ταλάντωσης ου ραγµατοοιεί το σώµα. β. Να υολογίσετε τη χρονική στιγµή t κατά την οοία η δύναµη εαναφοράς ΣF της συνισταµένης ταλάντωσης γίνεται για ρώτη φορά κατά µέτρο µέγιστη. (Θεωρήστε ως χρονική στιγµή t = 0 τη στιγµή ου αρχίζει το σώµα να εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση.) γ. Ποια είναι η µέγιστη τιµή αυτής της δύναµης εαναφοράς; 9
Σύνθεση ταλαντώσεων ❷ Β. Έστω ότι η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων τη στιγµή t είναι φ ο λάτος της συνισταµένης ταλάντωσης εκείνη τη στιγµή θα είναι: = + + συν φ = > = = + συν φ = ( + συν φ ) + συν φ = συν φ = συν φ = συν. Εειδή τη χρονική στιγµή t το λάτος της συνισταµένης κίνησης αίρνει την τιµή για ρώτη φορά αό την t = 0, θα είναι: φ =. Σωστή είναι η αάντηση γ..5. α. Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: dw = ΣF = ΣF dx = ΣF υ = Dxυ. 99
Λύσεις των ροβληµάτων η χρονική στιγµή t = 0 έχουµε: x = + > 0 και > 0. Εοµένως τη χρονική στιγµή t = 0 η ταχύτητα υ < 0, οότε το εριστρεφόµενο διάνυσµα του λάτους της... θα βρίσκεται στη θέση ΟΡ. Έτσι η αρχική φάση φ 0 είναι φ 0 = xo Ρ = θ. ό το ΟΡ Ρ έχουµε: ηµθ = ΟΡ = ΟΡ ηµθ = θ = Συνεώς: φ 0 = φ 0 = Όταν το υλικό σηµείο θα βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x = µε υ < 0, το εριστρεφόµενο διάνυσµα θα έχει διαγράψει τη γωνία ΡΟ N = θ + θ = + ΡΟ N = rad ΟΝ (ηµθ = = θ = rad). ON Η γωνία ΡΟ N = φ όµως διαγράφηκε σε χρονικό διάστηµα t=0, s. Εοµένως έχουµε: όξο φ = rad σε t=0, s όξο rad σε s = 0, = 0, s. κόµα, ω = ω = 5 rad/s. T Εφαρµόζουµε την..ε.. για τη θέση του ταλαντωτή µε x = 0, m και υ = m/s. Έχουµε: Κ + U = E ολ mυ + Dx = DA D = mω > mυ +mω x = mω υ + ω A x = ω = 0,5 = 0,5 m. β. Η γενική µορφή της ζητούµενης σχέ - σης είναι x = ηµ(ω t+φ 0 ). ντι - καθιστώντας ροκύτει: x = 0,5ηµ(5t + ) (S.I.) Β. α. Κάθε χρονική στιγµή, για την... του υλικού σηµείου ισχύει: Κ + U = E ολ de oλ + = = = ΣF υ = ( Dxυ) = Dxυ = DA ηµ(ω t + φ 0 ) ω συν(ω t + φ 0 ) DA ω = ηµ(ω t+φ 0 ) συν(ω t + φ 0 ) DA ω = ηµ(ω t + φ 0 ). Ο ρυθµός αυτός αίρνει τη µέγι- 00
Σύνθεση ταλαντώσεων στη τιµή του όταν: ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ. Εειδή τη χρονική στιγµή t = s ο ρυθµός γίνεται 0 µέγιστος για ρώτη φορά, έχουµε: ω t + φ 0 = ω t + φ 0 = + φ 0 = T 0 + φ 0 = () 0 η χρονική στιγµή t = s ο τα- λαντωτής διέρχεται για ρώτη φορά αό τη Θ.Ι. του. ότε ισχύει: D 0 ΣF = 0 Dx = 0 > x = 0 0 ηµ(ω t + φ 0 ) = 0 > ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ0 { ω t + φ 0 = k (α) και ω t + φ 0 = k + (β) Για k = 0 η (α) ω t + φ 0 = 0 t < 0, ου αορρίτεται, ενώ αό το «ακέτο» λύσεων (β) έχουµε: ω t + φ 0 = + φ 0 = φ 0 = () Η σχέση () µε τη βοήθεια της () γίνεται: + = 0 9 = 0 90 = = 0, s. Και αό τη σχέση () έχουµε: φ 0 = 0, φ 0 0 = =, φ 0 = φ 0 = ο µέτρο της ειτάχυνσης α του ταλαντωτή δίνεται αό τη σχέση α = ω x 00 = =0 (5) x > x 00 = x = 0, m. 50 ό την..ε.., για τη στιγµή t, όου x = 0, m και υ =,5 m/s, έχουµε: Ε ολ = K + U DA = = Dx + mυ mω = mω x + mυ = 0,5 m. β. Η γενική µορφή της ζητούµενης σχέσης είναι x = A ηµ(ω t + φ 0 ). ντικαθιστώντας ροκύτει: x = 0,5ηµ(5t + ) (S.I.) Γ. α. 0
Λύσεις των ροβληµάτων Η εξίσωση x = f(t) της συνισταµένης ταλάντωσης ου εκτελεί η µάζα m θα έχει τη µορφή x = ηµ[ωt + (µικρότερη αρχική φάση) + θ] x = ηµ(ωt + + θ) () λλά ω =ω =ω ω=5 rad/s. Η διαφορά φάσης φ µεταξύ των εριστρεφόµενων διανυσµάτων και είναι: φ = φ = ο λάτος της συνισταµένης ταλάντωσης είναι: A = + + συν φ φ = rad = = > = = = 0,5 m. ό το διάγραµµα των εριστρεφό- µενων διανυσµάτων ροκύτει: εφθ = εφθ = εφθ = θ = ντικαθιστώντας λοιόν στη σχέση (), έχουµε: x = ηµ(ωt + + θ) x=0,5 ηµ(5t + + ) 5 x = 0,5 ηµ(5t + ) (S.I.) β. Η δύναµη εαναφοράς ΣF της συ - νισταµένης ταλάντωσης θα γίνει για ρώτη φορά µέγιστη κατά µέ - τρο όταν θα γίνει x = +A για ρώ - τη φορά. υτό θα γίνει τη στιγµή t ου το εριστρεφόµενο διάνυσµα της σύνθετης... θα έχει διαγράψει τη γωνία O y= φ. ( είτε ξανά το διάγραµµα µε τα ε ρι στρε - φόµενα διανύσµατα.) Όµως O y = φ = 5 φ = Εοµένως: όξο rad διαγράφεται σε s όξο rad διαγράφεται σε t t = T t = s 0, t = t = s. 0 γ. ΣF = Dx, οότε κατά µέτρο: ΣF max = DA ΣF max = mω ΣF max = (5) 0,5 Ν ΣF max = 5 N..5 A. α. η χρονική στιγµή t = 0 είναι x = 0 και dx = υ > 0. Εοµένως η αρχική φάση της... είναι φ 0 = 0 O ταλαντωτής φτάνει στη θέση x = +A για ρώτη φορά τη χρονική στιγµή, για δεύτε- ρη φορά τη στιγµή +, για τρίτη φορά τηχρονική στιγµή +... Με αυτή τη λογική, ο ταλαντωτής θα φτάνει για η φορά στη θέ ση x = +A τη χρονική στιγµή t = 0T + 0 + =, 0