Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018

Παρεμβολή και Παρεκβολή

Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης f x που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές x,,,..., o x1 x2 xv της ανεξάρτητης μεταβλητής τότε παρεμβολή είναι η διαδικασία με την οποία αποκτούμε, από τις δοθείσες συναρτησιακές τιμές, προσεγγίσεις της f x για τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής που βρίσκονται ενδιάμεσα στις δεδομένες τιμές x,,,...,. o x1 x2 x x, Ορισμός 6.2 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης f x που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές x,,,..., o x1 x2 xv της ανεξάρτητης μεταβλητής x, τότε παρεκβολή είναι η διαδικασία με την οποία αποκτούμε, από τις δοθείσες συναρτησιακές τιμές, προσεγγίσεις της f x για τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x οι οποίες βρίσκονται εκτός του διαστήματος των δεδομένων τιμών x,,,...,. o x1 x2 xv v x

Εισαγωγή Ορισμός 6.3 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης f x που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές x,,,..., o x1 x2 xv της ανεξάρτητης μεταβλητής τότε αντίστροφη παρεμβολή είναι η διαδικασία με την οποία αποκτούμε, από τις δοθείσες συναρτησιακές τιμές, προσεγγίσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής x για τις οποίες η f x παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή. x, Γενικά, ένας τρόπος για να πραγματοποιηθεί η παρεμβολή και η παρεκβολή βασίζεται στην κατασκευή ενός πολυωνύμου που διέρχεται από όλα τα δοθέντα σημεία x, f x. Τότε μπορούμε να κάνουμε παρεμβολή ή παρεκβολή υπολογίζοντας την τιμή του πολυωνύμου για οποιαδήποτε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x.

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Υποθέτουμε ότι είναι το σύνολο όλων των πραγματικών συναρτήσεων f x που είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα a, b και έστω ότι: είναι ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο υποσύνολο του συνόλου τέτοιο ώστε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του αποτελούμενο από τις να είναι γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις. g F G x x x x x G g x, g x,, g x,, 2 3 4 5 1,,,,,, o G 1, s x, cos x, s 2x, cos 2x, s 3x, cos3x, 1 1 2 cx 3 G 1, e c x, e c x, e, e c4x, όπου c, 12,, πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι είναι άνισοι μεταξύ τους. G F

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Στη συνέχεια, υποθέτουμε ότι είναι το σύνολο όλων των πραγματικών συναρτήσεων g x που είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα a, b και οι οποίες είναι γραμμικοί συνδυασμοί της μορφής: όπου είναι σταθερός θετικός ακέραιος αριθμός, c, 01 πραγματικές σταθερές και g, 01 στοιχεία του συνόλου G. Θεωρούμε τα σημεία παρεμβολής x, 01v που βρίσκονται στο κλειστό διάστημα a, b και τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους. Έστω f x μια συνάρτηση που ανήκει στο σύνολο F, δηλαδή μια πραγματική συνάρτηση που είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα ab,. F g x c0g0 x c1g 1 x... c g x,

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Στο πρόβλημα της παρεμβολής το ζητούμενο είναι η εύρεση μιας συνάρτησης g x που να ανήκει στο σύνολο έτσι ώστε για όλα τα σημεία παρεμβολής x, 01v να ισχύει ότι: Υποθέτουμε στη συνέχεια ότι μια τέτοια συνάρτηση παρεμβολής είναι η ακόλουθη: και τα σημεία παρεμβολής είναι τα Αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη y g x θα διέρχεται από τα σημεία x, f x. f x g x F g x a g x a g x a g x 0 0 1 1 x, 0 1 v.

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει το ακόλουθο σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των αγνώστων συντελεστών a, 0 1 : 1 g x a g x a g x a f x 0 0 0 1 0 1 0 0 g x a g x a g x a f x 0 1 0 1 1 1 1 1 g x a g x a g x a f x 0 v 0 1 v 1 v v. Για να έχει το παραπάνω γραμμικό σύστημα μια μοναδική λύση για κάθε συνάρτηση g x θα πρέπει ο βαθμός του μητρώου: g0 x0 g1 x0 g x0 g0 x1 g1 x1 g x1 M, g 0 xv g1 xv g xv να ισούται με v 1 και να ισχύει ότι v.,,

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Με βάση αυτά θα πρέπει η ορίζουσα του μητρώου να είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή: g x g x g x g x g x g x g x g x g x 0 0 1 0 0 Οι συντελεστές μπορούν να αποκτηθούν με την επίλυση του γραμμικού συστήματος χρησιμοποιώντας μία αριθμητική μέθοδο, όπως η απαλοιφή του Gauss. 0 1 1 1 1 det M 0. a 0 v 1 v v

Παρεμβολή και παρεκβολή Η αναλυτική έκφραση των συντελεστών αυτών δίνεται από τις σχέσεις: det M a, για όλα τα 01, det M όπου οι ορίζουσες det M, για 0 1 προσδιορίζονται από την ορίζουσα det M αν την 1 στήλη αυτής την αντικαταστήσουμε με το διάνυσμα f x0, f x1,, f x δηλαδή από τις παρακάτω ορίζουσες: g x g x g x f x g x g x 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 g x g x g x f x g x g x 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 det M. g x g x g x f x g x g x 0 1 1 1

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Ορισμός 6.4 Όταν η συνάρτηση παρεμβολής είναι ένα πολυώνυμο, τότε η αντίστοιχη διαδικασία ονομάζεται πολυωνυμική παρεμβολή. Ορισμός 6.5 Τα πολυώνυμα παρεμβολής ορίζονται με τις συνθήκες ταύτισης των συναρτησιακών τους τιμών με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης για ένα ορισμένο πεπερασμένο σύνολο σημείων του διαστήματος ορισμού αυτών. Πολυωνυμική παρεμβολή Στην περίπτωση της πολυωνυμικής παρεμβολής η συνάρτηση παρεμβολής g x είναι το ακόλουθο πολυώνυμο βαθμού : 2 όπου οι αντίστοιχες συναρτήσεις g x x, 01. P x a a x a x a x 0 1 2, g x, 01 είναι οι συναρτήσεις

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Πολυωνυμική παρεμβολή Για όλα τα σημεία παρεμβολής x, 01 πρέπει να ισχύει ότι: f x P x. Για να ικανοποιούνται οι παραπάνω σχέσεις πρέπει οι συντελεστές a, 01 να ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα των 1 γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων: Το σύστημα αυτό έχει μία μοναδική λύση, επειδή η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων a, 01 είναι η γνωστή ορίζουσα του Vadermode. a x a x a x a f x 2 0 0 1 0 2 0 0 2 0 1 1 1 2 1 1 a x a x a x a f x a x a x a x a f x 2 0 1 2.,,

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Πολυωνυμική παρεμβολή Η ορίζουσα του Vadermode δίνεται ως εξής: detv 1 1 x x x 2 0 0 0 2 1 1 1 x x x 1 x x x 2 Η τιμή της ορίζουσας Vadermode ισούται με: detv x x 0,, j0 j και είναι διάφορη του μηδενός επειδή τα διακεκριμένα, δηλαδή x x για j. j j x, 01 είναι

Παρεμβολή και παρεκβολή Οι συντελεστές a, 01 μπορούν να αποκτηθούν με την επίλυση του παραπάνω γραμμικού συστήματος. Η αναλυτική έκφραση των συντελεστών αυτών δίνεται από τις σχέσεις: detv a, για όλα τα 01, detv όπου οι ορίζουσες detv, για 0 1 προσδιορίζονται από την ορίζουσα detv αν αντικαταστήσουμε την 1 στήλη αυτής με το διάνυσμα f x0, f x1,, f x δηλαδή από τις παρακάτω ορίζουσες: 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x f x x x det V. 1 x x x f x x x x x x f x x x 2 1 1

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Θεώρημα 6.1 [Θεώρημα της μοναδικότητας του πολυωνύμου παρεμβολής]. Έστω f x μια συνάρτηση που είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα ab, και έστω ότι τα ξένα μεταξύ τους σημεία x, 01 βρίσκονται στο κλειστό διάστημα ab,, τότε υπάρχει και ορίζεται μοναδικό πολυώνυμο P x βαθμού μικρότερου ή ίσου με έτσι ώστε οι τιμές του πολυωνύμου P x να συμπίπτουν με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f x στα 1 σημεία παρεμβολής x, 0 1.,

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Απόδειξη: Υπάρχει και πάντα ορίζεται ένα πολυώνυμο παρεμβολής P x το πολύ βαθμού. Έστω ότι Q x είναι ένα άλλο πολυώνυμο το πολύ βαθμού που ικανοποιεί και αυτό τις σχέσεις:, για όλα τα Q x f x 0 1. Είναι γνωστό ότι ένα πολυώνυμο βαθμού με 1 μηδενικά σημεία είναι ταυτοτικά μηδενικό. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αν το πολυώνυμο P x Q x είναι ταυτοτικά μηδενικό.

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή συνέχεια απόδειξης: Είναι φανερό ότι το πολυώνυμο P x Q x είναι και αυτό το πολύ βαθμού και μηδενίζεται στα διακεκριμένα 1 σημεία παρεμβολής x, 01 επειδή: 0. P x Q x f x f x Επομένως το σχηματιζόμενο πολυώνυμο P x Q x θα μηδενίζεται ταυτοτικά και κατά συνέπεια θα ισχύει ότι:. P x Q x Επομένως, το πολυώνυμο παρεμβολής P x είναι μοναδικό.

Παρεμβολή του Lagrage f x Δίνεται η συνάρτηση από τις τιμές της σε 1 διακεκριμένα σημεία x, 01 τα οποία εν γένει δεν ισαπέχουν. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση αυτή παρεμβάλλεται με ένα πολυώνυμο P x το πολύ βαθμού έτσι ώστε οι τιμές του πολυωνύμου να συμπίπτουν με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f f x στα 1 σημεία παρεμβολής x, 0 1. Ζητάμε να βρούμε αυτό το πολυώνυμο P x χωρίς την επίλυση του αντίστοιχου γραμμικού συστήματος.,

Παρεμβολή του Lagrage Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση που τα σημεία παρεμβολής είναι δύο x x x x και με 0 1 0 1. Θεωρούμε το πολυώνυμο πρώτου βαθμού: και ζητούμε τον προσδιορισμό των συντελεστών P x a a x 1 0 1 0 1 Οι συντελεστές a, 01, πρέπει να ικανοποιούν το σύστημα : Το σύστημα αυτό έχει μία μοναδική λύση, αφού η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων a, 01, είναι διάφορη του μηδενός: a x a f x 0 0 1 0 a x a f x 0. 1 1 1 1 x 0 detv x1 x0 0 1 x1, a και a.

Παρεμβολή του Lagrage Επομένως, οι συντελεστές a, 01, δίνονται από τις σχέσεις a όπου οι ορίζουσες προσδιορίζονται από την ορίζουσα αν αντικαταστήσουμε την 1 detv detv detv για 0, 1 στήλη αυτής με το διάνυσμα f x0, f x1, δηλαδή από τις παρακάτω ορίζουσες: Επομένως, έχουμε: a detv f x x 1 f x detv και det V. 0 0 0 0 1 f x1 x1 1 f x1 detv detv x f x x f x f x f x, και a 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 detv x1 x0 detv x1 x0.

Παρεμβολή του Lagrage Με βάση αυτά, το γραμμικό πολυώνυμο γίνεται διαδοχικά: x f x x f x f x f x 1 0 0 1 1 0 P1 x a0 a1x x x1 x0 x1 x0 x x f x x x f x 0 1 1 0 x x 1 0 από την οποία με διαχωρισμό των όρων του αριθμητή προκύπτει: x x x x P x f x f x 1 0. 1 1 0 1 x0 x1 x1 x0 Η παραπάνω σχέση παριστά την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία x, f x και x, f x 0 0 1 1.,

Παρεμβολή του Lagrage Πόρισμα 6.1 Αν η συνάρτηση f x είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα x0, x1 και αν είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα x0, x1, τότε το πολυώνυμο παρεμβολής P1 x αποτελεί το πολυώνυμο του Taylor πρώτου βαθμού. Απόδειξη: Το πολυώνυμο παρεμβολής P1 x μπορεί να γραφεί και με την παρακάτω μορφή: P x f x x x 1 0 0 f x f x 1 0 x x 1 0.

Παρεμβολή του Lagrage συνέχεια απόδειξης Αφού η συνάρτηση f x είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα x και είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα 0, x1 x0, x1, τότε από το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχει ένα σημείο μεταξύ των σημείων x και x για το οποίο ισχύει ότι: Με βάση αυτή τη σχέση, το παραπάνω πολυώνυμο παρεμβολής P x μπορεί να γραφεί και ως εξής: 1 f 0 1 f x f x 1 0 1 0 P x f x x x f, 1 0 0 ' το οποίο αποτελεί το πολυώνυμο του Taylor πρώτου βαθμού. x x.

Παρεμβολή του Lagrage Σημείωση Το πολυώνυμο παρεμβολής P1 x μπορεί να γραφεί ως P x L x f x L x f x όπου: Παρατήρηση Παρατηρούμε ότι αν στα παραπάνω πολυώνυμα θέσουμε x x 0 τότε θα έχουμε: οπότε Ενώ αν θέσουμε οπότε 1 0 0 1 1 x x L x L x 1 0 και 0 1 x0 x1 x1 x0 0 0 1 0 1 0 0 P x f x x x 1 P x f x 1 1 1. τότε θα έχουμε: L x 1και L x 0, L x 0και L x 1, 0 1 1 1 x x.

Παρεμβολή του Lagrage Παρατήρηση Για τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού L0 x και L1 x ισχύει ότι στο σημείο η τιμή του πολυωνύμου L xj είναι ένα όταν και μηδέν όταν j. Δηλαδή, για όπου εξής: j j j1,, 2 x j ισχύει ότι: j L x j είναι το γνωστό δέλτα του Kroecker που ορίζεται ως j 1 0 αν j, αν j.

Παρεμβολή του Lagrage Σχετικά με το γενικευμένο πρόβλημα στον προσδιορισμό του πολυωνύμου παρεμβολής βαθμού το οποίο να ικανοποιεί τις συνθήκες ταύτισης: το ερώτημα που τίθεται είναι αν μπορούν να οριστούν εκφράσεις των πολυωνύμων L 01 βαθμού τέτοιες ώστε να x, ισχύει: P x L x f L x f L x f, όπου τα πολυώνυμα 01 P x f, για όλα τα, 0 0 1 1 έχουν την ιδιότητα: j 1 j, L x j για όλα τα, j 01. 0 j, Τότε το πολυώνυμο P x ικανοποιεί όλες τις συνθήκες ταύτισης. L x, 01

Παρεμβολή του Lagrage 0 Αφού ισχύει ότι L x j j το πολυώνυμο L x μηδενίζεται για κάθε τιμή του x x j για όλα τα j 01 με j. για, Επομένως, το πολυώνυμο L x διαιρείται με κάθε παράγοντα x x j για όλα τα j 01 με j και κατά συνέπεια διαιρείται και με το γινόμενο των όρων αυτών. Έχοντας ως βάση αυτό, συμπεραίνουμε ότι η έκφραση του πολυωνύμου L x θα είναι η εξής: 0 1 1 L x c x x x x x x x x, j όπου c είναι μία σταθερά.

Παρεμβολή του Lagrage L x 1 Αφού ισχύει ότι για όλα τα 01, τότε: L x c x x x x x x x x 0 1 1 1, οπότε έχουμε ότι η σταθερά έχει την τιμή: 1 c x x x x x x x x c 0 1 1 Επομένως, η ζητούμενη έκφραση των πολυωνύμων L x είναι η εξής: x x jo j j0 j1 L x, 0 1. x x j j.

Παρεμβολή του Lagrage Ορισμός 6.6 Τα πολυώνυμα L x ονομάζονται συντελεστές παρεμβολής του Lagrage όπως επίσης καλούνται και ως θεμελιώδη πολυώνυμα σημειακής παρεμβολής. Ορισμός 6.7 Το αντίστοιχο πολυώνυμο j, 0 0 x xj ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage όπως επίσης ονομάζεται και τύπος παρεμβολής του Lagrage. jo j0 j1 x x P x L x f P x f j

Παρεμβολή του Lagrage Οι συντελεστές του Lagrage L x μπορούν να γραφούν με την παρακάτω μορφή: όπου Lx x x Lx Άρα, για το πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage προκύπτει: L x για όλα τα 01. 0 1 j L x x x x x x x x x L x L x j0 1 x x j P x L x j0 f. j0 ' x x L x και

Παρεμβολή του Lagrage Πρόταση 6.1 Για τους συντελεστές παρακάτω σχέσεις του Cauchy x k 0 11 α x x L x, για όλα τα k, 0 0 x β L 1. του Lagrage ισχύουν οι Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι x, f 0 1 είναι τα 1 σημεία παρεμβολής της συνάρτησης f x. Τότε από το πολυώνυμο παρεμβολής P x του Lagrage έχουμε ότι: L, P x L x f. 0

Παρεμβολή του Lagrage συνέχεια απόδειξης Αν η συνάρτηση f x είναι πολυώνυμο βαθμού k, τότε προφανώς το πολυώνυμο P x θα ταυτίζεται με τη συνάρτηση f x για κάθε k. Επομένως, αν εφαρμόσουμε το πολυώνυμο του Lagrage για k f x x a, k 01, έχουμε ότι για κάθε τιμής της παραμέτρου θα ισχύει ότι: a,. 0 k k 01 x a L x x a k Αφού η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε τιμή της παραμέτρου θα ισχύει και για x a. a,

Παρεμβολή του Lagrage συνέχεια απόδειξης Οπότε σε αυτήν την περίπτωση, όταν το k 11, έχουμε ότι: k L xx a, k, 0 1 1 0 ενώ για k 0 παίρνουμε: 0 x 1 L, με τις οποίες η πρόταση αποδείχτηκε.

Παρεμβολή του Lagrage Παρατήρηση Η παρεμβολή κατά Lagrage είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε περιπτώσεις στις οποίες λύνονται πολλά προβλήματα παρεμβολής στα ίδια σημεία παρεμβολής x, 01, αλλά με διαφορετικά σύνολα τιμών f, 01.

Παρεμβολή του Lagrage Εφαρμογή Χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής του Lagrage θα βρούμε τρία πολυώνυμα το πολύ δευτέρου βαθμού, που να ταυτίζονται στα σημεία παρεμβολής x 2, 0, 1 αντίστοιχα με τις συναρτήσεις α f x x 3, β f x x 4 και γ f x x 5. Λύση: Τα σημεία παρεμβολής είναι: x 2, x 0 και x 1. 0 1 2 Χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής του Lagrage βρίσκουμε: x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 P x f f f x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 Αντικαθιστώντας τις τιμές των x, 0, 1, 2 στον παραπάνω τύπο έχουμε: 2 2 2 x x x x 2 x 2x P2 x f0 f1 f2. 6 2 3 2 0 1 2.

Παρεμβολή του Lagrage συνέχεια λύσης Έτσι για κάθε περίπτωση θα έχουμε διαδοχικά: 3 3 (α) Στην περίπτωση αυτή έχουμε f0 2 8, f1 0 και f2 1 1, οπότε αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στο πολυώνυμο P2 x έχουμε: P 2 x 2 2 2 x x x x 2 x 2x 8 0 1 6 2 3 2 2 4x 4x x 2x 2 x 3 3 2 x. Το πολυώνυμο P2 x είναι δευτέρου βαθμού και επαληθεύει τις συνθήκες ταύτισης: P 2 f 8, P 0 f 0 και P 1 f 1. 2 0 2 1 2 2

Παρεμβολή του Lagrage συνέχεια λύσης Έτσι για κάθε περίπτωση θα έχουμε διαδοχικά: 4 4 (β) Στην περίπτωση αυτή έχουμε f0 2 16, f1 0 και f2 1 1, οπότε αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στο πολυώνυμο P2 x έχουμε: P 2 x 2 2 2 x x x x 2 x 2x 16 0 1 6 2 3 2 2 8x 8x x 2x 2 3x 2 x. 3 3 Το πολυώνυμο P2 x είναι δευτέρου βαθμού και επαληθεύει τις συνθήκες ταύτισης: P 2 f 16, P 0 f 0 και P 1 f 1. 2 0 2 1 2 2

Παρεμβολή του Lagrage συνέχεια λύσης Έτσι για κάθε περίπτωση θα έχουμε διαδοχικά: 5 5 (γ) Στην περίπτωση αυτή έχουμε f0 2 8, f1 0 και f2 1 1, οπότε αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στο πολυώνυμο P2 x έχουμε: P 2 x 2 2 2 x x x x 2 x 2x 32 0 1 6 2 3 2 2 16x 16x x 2x 2 5x 6 x. 3 3 Το πολυώνυμο P2 x είναι δευτέρου βαθμού και επαληθεύει τις συνθήκες ταύτισης: P 2 f 32, P 0 f 0 και P 1 f 1. 2 0 2 1 2 2

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε το πρόβλημα της εκτίμησης του σφάλματος προσέγγισης μιας πραγματικής συνάρτησης f x ορισμένης στο κλειστό διάστημα a, b με το πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage P x. Η τιμή της συνάρτησης f x σε ένα σημείο που δεν συμπίπτει με κανένα σημείο παρεμβολής x, 01, μπορεί να προσδιοριστεί από την τιμή του πολυωνύμου P x στο σημείο αυτό: 01 f x P x για x x,. x

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Η προσέγγιση αυτή δημιουργεί ένα σφάλμα που δίνεται από την παρακάτω σχέση: x P x f x 1, ενώ η αντίστοιχη διόρθωση συμβολίζεται ως από την παρακάτω σχέση: r x f x P x 1, x όπου ο δείκτης εκφράζεται από το πλήθος των σημείων παρεμβολής. και δίνεται Προφανώς, αφού για το πολυώνυμο παρεμβολής P x ισχύουν οι συνθήκες ταύτισης P x f x, στα σημεία παρεμβολής x τότε στα σημεία παρεμβολής το, 01, σφάλμα προσέγγισης είναι μηδέν. 1 r 1

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Αν εκτός των συνθηκών ταύτισης δεν θέσουμε καμία άλλη συνθήκη για τη συνάρτηση f x, τότε για οποιοδήποτε που δεν συμπίπτει με κανένα σημείο παρεμβολής, η διαφορά P x f x μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Αυτό ισχύει διότι με δεδομένα τα σημεία ταύτισης και του μοναδικού πολυωνύμου P x πάντα μπορούμε να θεωρήσουμε μια συνάρτηση f x που να ικανοποιεί τις συνθήκες ταύτισης αλλά να διαφέρει στο σημείο με οποιαδήποτε τιμή από το P x. Έτσι, για να έχει σημασία η εκτίμηση του σφάλματος 1 πρέπει προηγουμένως να τεθούν ορισμένοι περιορισμοί για τη συνάρτηση f x. x x

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής f x Θεώρημα 6.2 Αν η συνάρτηση έχει παραγώγους μέχρι 1 τάξης και αυτές να είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα που είναι το μικρότερο διάστημα που περιέχει τα σημεία παρεμβολής x, 01 και ένα τυχαίο σημείο x, δηλαδή: m x x x,max x x x, o,,, 0,,, Τότε για κάθε τέτοιο τυχαίο σημείο υπάρχει ένα σημείο στο διάστημα έτσι ώστε για τη διόρθωση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage P x που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x, 01 και τις συναρτησιακές τιμές f f x, 01 να ισχύει ότι: 1! 1 f f x P x Lx όπου Lx x x0 x x1 x x. x

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Παρατήρηση Έστω ένα πολυώνυμο παρεμβολής P x το πολύ βαθμού που ικανοποιεί τις συνθήκες ταύτισης με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f f x στα 1 σημεία παρεμβολής x., 01. Τότε με βάση το θεώρημα του μονοσήμαντου πολυωνύμου παρεμβολής (Θεώρημα 6.1) η διόρθωση που δόθηκε παραπάνω για το πολυώνυμο παρεμβολής P x του Lagrage ισχύει και για το πολυώνυμο P x.

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Θεώρημα 6.3 Αν οι υποθέσεις για τη συνάρτηση f x και του διαστήματος του Θεωρήματος 6.2 ισχύουν, και αν είναι ένα τυχαίο σημείο που προσδιορίζει το διάστημα και είναι διαφορετικό από τα σημεία παρεμβολής x, 01, τότε για τη διόρθωση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage P x που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x, 01 και τις συναρτησιακές τιμές f f x, για 01ισχύει ότι: x όπου... 0 1 f x P,,,,, x L x f x x x x L x x x.... 0 x x1 x x

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Στη συνέχεια δίνουμε ένα πόρισμα το οποίο συνδέει τις διαιρεμένες διαφορές με τις παραγώγους. Πόρισμα 6.2 Αν οι υποθέσεις για τη συνάρτηση f x και του διαστήματος του Θεωρήματος 6.2 ισχύουν, τότε για κάθε τυχαίο σημείο x που προσδιορίζει το διάστημα και είναι διαφορετικό από τα σημεία παρεμβολής x υπάρχει ένα, 01, σημείο στο διάστημα έτσι ώστε: 1... f f x, xo, x1,, x. 1!

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα είναι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του σφάλματος προσέγγισης. Η ελαχιστοποίηση του σφάλματος σχετίζεται με: f x P x L x 1 την παράγωγο f το γινόμενο L x όπου το x βρίσκεται στο κλειστό διάστημα. ab,. f 1 1!

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Όσον αφορά την παράγωγο είμαστε σε θέση να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της, αλλά δεν μπορούμε να επέμβουμε στις τιμές της. Όμως, σε ότι αφορά το γινόμενο μπορούμε να επέμβουμε με το να επιλέξουμε κατάλληλα τα σημεία παρεμβολής x, 01, τα οποία να ελαχιστοποιούν την έκφραση: η ελαχιστοποίηση της οποίας ελαχιστοποιεί και το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης. max L x, axb

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής O Chebyshev απέδειξε ότι αν πάρουμε ως σημεία παρεμβολής x, για 01, τα ακόλουθα σημεία: 1 x b a b ar 2 όπου τα είναι τα λεγόμενα σημεία του Chebyshev που αποτελούν ρίζες του πολυωνύμου Chebyshev πρώτου είδους : r T 1 x cos 1 arccos x, x 1, 1, και δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις: 2 1 r cos, 01. 2 1 T 1

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Τότε για το μέγιστο του τύπου maxl x ισχύει ότι: b a max Lx 2 axb 4 το οποίο είναι και το ελάχιστο δυνατό. Με βάση αυτά, έχουμε ότι για το μέγιστο δυνατό σφάλμα της προσέγγισης του τύπου θα ισχύει: axb f x P x L x f 1 1, 1! 1 max f a b max P x f x max Lx. axb 1! axb

Εκτίμηση σφάλματος της πολυωνυμικής παρεμβολής Το ελάχιστο αυτής ικανοποιεί την παρακάτω ανισότητα: 2 1 b a m max P x f x x axb 1! 4 όπου είναι ένα άνω φράγμα της 1 f x για στο διάστημα ab,. 1 1 x

Παρεμβολή και πολυωνυμική παρεμβολή Ορισμός 6.4 Όταν η συνάρτηση παρεμβολής είναι ένα πολυώνυμο, τότε η αντίστοιχη διαδικασία ονομάζεται πολυωνυμική παρεμβολή. Ορισμός 6.5 Τα πολυώνυμα παρεμβολής ορίζονται με τις συνθήκες ταύτισης των συναρτησιακών τους τιμών με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης για ένα ορισμένο πεπερασμένο σύνολο σημείων του διαστήματος ορισμού αυτών. Πολυωνυμική παρεμβολή Στην περίπτωση της πολυωνυμικής παρεμβολής η συνάρτηση παρεμβολής g x είναι το ακόλουθο πολυώνυμο βαθμού : 2 όπου οι αντίστοιχες συναρτήσεις g x x, 01. P x a a x a x a x 0 1 2, g x, 01 είναι οι συναρτήσεις

Παρεμβολή του Hermte Έστω ότι δίνονται οι τιμές f, 01 της συνάρτησης f x καθώς και οι αντίστοιχες τιμές της πρώτης παραγώγου της στα διακεκριμένα σημεία παρεμβολής x, 0 1. 1 Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα μοναδικό πολυώνυμο το πολύ 2 1 βαθμού, το οποίο ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες ταύτισης: Το πολυώνυμο έχει την παρακάτω έκφραση: όπου τα πολυώνυμα Lagrage. f P f και P f, για όλα τα. 21 21 01 P2 1 2 2 P2 1 x 1 2L x x x L x f x x L x f, L x είναι οι συντελεστές παρεμβολής του P f 21 x x

Παρεμβολή του Hermte Ορισμός 6.8 Ο τύπος 2 2 P2 1 x 1 2L x x x L x f x x L x f, ονομάζεται τύπος παρεμβολής του Hermte. Παρατήρηση Η διαδικασία για την εύρεση της έκφρασης του σφάλματος της παρεμβολής του Hermte είναι παρόμοια με εκείνη της παρεμβολής του Lagrage και το αποτέλεσμα είναι ανάλογο του Θεωρήματος 6.2.

Παρεμβολή του Hermte Μπορούμε να αποδείξουμε, κάνοντας αντίστοιχες υποθέσεις ότι, αν η συνάρτηση f x έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι και τάξης και αν το διάστημα είναι το μικρότερο διάστημα που περιέχει τα σημεία παρεμβολής x, 01 και ένα τυχαίο σημείο τότε για κάθε τέτοιο σημείο x υπάρχει ένα σημείο στο διάστημα έτσι ώστε για τη διόρθωση του πολυωνύμου παρεμβολής Hermte P x και για τα σημεία ταύτισης να ισχύει όπου 2 21 f x P2 1 x L x 2 f 2 2! L x x x.... o x x1 x x, x,

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Υποθέτουμε ότι: η f x είναι μία συνάρτηση που είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα a, b και έστω ότι τα ξένα μεταξύ τους σημεία παρεμβολής x, 01 με αντίστοιχες συναρτησιακές τιμές f f x. Από το σύνολο των ακέραιων αριθμών 0, 1, 2,, παίρνουμε τους διάφορους μεταξύ τους αριθμούς m0, m1,, m k. Τότε το μοναδικό πολυώνυμο παρεμβολής βαθμού το πολύ k για τη συνάρτηση f x και για σημεία παρεμβολής m, 01 k το συμβολίζουμε ως εξής: P x m0, m 1 1,..., m k.

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Θεώρημα 6.4 Έστω f x μια συνάρτηση που είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα a, b και έστω ότι τα ξένα μεταξύ τους σημεία παρεμβολής x, 01 βρίσκονται στο κλειστό διάστημα a, b με αντίστοιχες συναρτησιακές τιμές f f x. Τότε για k1 ισχύει ότι: P x x xk P0, 1,..., k, k1 x x xk 1 P0, 1,..., k1, k1 x x x 0, 1,..., k, k1. k1 k 2 Το παραπάνω θεώρημα δίνει έναν αναγωγικό τύπο για την κατασκευή ενός πολυωνύμου παρεμβολής βαθμού το πολύ k 1 (με k 2 σημεία παρεμβολής), χρησιμοποιώντας δύο πολυώνυμα βαθμού το πολύ (με k 1 σημεία παρεμβολής). k

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Με βάση τα παραπάνω θα δώσουμε τους αναγωγικούς τύπους παρεμβολής των Atke και Nevlle σύμφωνα με τους οποίους η πρόσθεση (ή αφαίρεση) ενός σημείου παρεμβολής μπορεί να πραγματοποιηθεί με ελάχιστο υπολογιστικό κόστος. Ο αναγωγικός τύπος (2) μπορεί με χρήση οριζουσών να γραφεί και στην παρακάτω μορφή: P 0, 1,..., k, k1 x k1 ή ισοδύναμα με την εξής μορφή: P 0, 1,..., k, k1 x x x k1 1 0, 1,..., k1, k1 k1 x 1 x k k P x x x P x x x 0, 1,..., k1, k k P x x x 0, 1,..., k1, k k P x x x 0, 1,..., k1, k1 k1., 3

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όπου τα σημεία παρεμβολής είναι δύο x και x με x x. 0 1 0 1 Στην περίπτωση αυτή είδαμε στην Ενότητα του τύπου παρεμβολής του Lagrage ότι το πολυώνυμο παρεμβολής πρώτου βαθμού δίνεται ως εξής: x x1 x x0 P1 x f0 f1 x x x x 0 1 1 0 το οποίο μπορεί να γραφεί και ως εξής: P x 1 0, 1 x x f x x f P x x x x 1 0 0 1 1 0 1 0 x1 x f0 x0 x f1 1 x x x x 1 0 1 0 f x x 0 0 f x x 1 1.

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Στη γενική περίπτωση και για σημεία παρεμβολής τα x, 01 έχουμε στη διάθεσή μας τα παρακάτω πολυώνυμα πρώτου βαθμού: 1 f0 x0 x P0, m x, για όλα τα m 11. x x f x x m 0 m m Στη συνέχεια με δύο από τα παραπάνω πολυώνυμα, για παράδειγμα το P0, 1και κάποιο από τα P0, j, j 21 και εφαρμόζοντας το Θεώρημα 6.4 μπορούμε να βρούμε το πολυώνυμο P 0, 1, j βαθμού το πολύ δύο, το οποίο παρεμβάλει τα σημεία x0, x1, και x j και το οποίο δίνεται ως εξής: P 0, 1, j x x j 1 0, 1 1 x 1 P x x x P x x x 0, j j.

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Γενικά, μπορούμε να κατασκευάσουμε αναγωγικά το παρακάτω πολυώνυμο βαθμού το πολύ το οποίο παρεμβάλει όλα τα δοθέντα σημεία παρεμβολής x, 01 : P 0,1,..., x x 1 x 1 Ο γενικός αναγωγικός τύπος κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής, ο οποίος αποτελεί τον τύπο παρεμβολής του Atke είναι: P 0, 1,..., m, x P x x x 0,1,..., 2, 1 1 P x x x 0,1,..., 2,. 11 1 P0, 1,..., m x xm x m 0 1 1,, για x P0, 1,..., m 1, x x x m. xm 4

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Ο πίνακας δείχνει τη διαδικασία κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής εφαρμόζοντας τον τύπο του Atke για τα σημεία παρεμβολής x, 0 1 4 με αντίστοιχες συναρτησιακές τιμές. f x x x P P P P P 0 1 2 3 4 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, x x x f 0 0 0 x x x f P 1 1 1 0, 1 x x x f P P 2 2 2 0, 2 0, 1, 2 x x x f P P P 3 3 3 0, 3 0, 1, 3 0, 1, 2, 3 x x x f P P P P 4 4 4 0, 4 0, 1, 4 0, 1, 2, 4 0, 1, 2, 3, 4

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Εφαρμογή Στον πίνακα τιμών που ακολουθεί δίνονται τα σημεία παρεμβολής για 013 και οι αντίστοιχες τιμές f, 013 της συνάρτησης f x. x x f 1 3 4 5 18 30 42 66 Χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής του Atke θα βρούμε το πολυώνυμο που ορίζεται από τις δεδομένες συνθήκες ταύτισης.

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Λύση: Αρχικά θα βρούμε τα πολυώνυμα P0, j, j1 1 3, εφαρμόζοντας τους αντίστοιχους τύπους. Οπότε χρησιμοποιώντας τον τύπο (4) προκύπτει: 1 f x x 1 18 1 x 6 12, 0 0 P0, 1 x x x1x0 f1 x1 x 31 30 3 x 1 f x x 1 18 1 x 8 10, 0 0 P0, 2 x x x2 x0 f2 x2 x 41 42 4 x 1 f x x 1 18 1 x 12 6. 0 0 P0, 3 x x x3x f 0 3 x3 x 51 66 5 x

Παρεμβολή των Atke και Nevlle συνέχεια λύσης: Στη συνέχεια θα βρούμε τα πολυώνυμα P0, 1, j, j 213 εφαρμόζοντας τους αντίστοιχους τύπους. Οπότε χρησιμοποιώντας τον τύπο (4) προκύπτει: 1 P0, 1 x1 x 1 6x12 3x 2 P0, 1, 2 x 2x 2x 18, x x P x x 43 8x10 4 x 2 1 3 1 0, 2 2 1 P0, 1 x1 x 1 6x12 3x 2 P0, 1, 3 x 3x 6x 21. x x P x x 5312x6 5 x 0, 3 3

Παρεμβολή των Atke και Nevlle συνέχεια λύσης: P,,, Τελικά θα βρούμε το πολυώνυμο 0 1 2 3 εφαρμόζοντας τον αντίστοιχο τύπο. Οπότε χρησιμοποιώντας τον τύπο (4) προκύπτει: 1 P x x 2x 2x 18 4 x P x 3x 6x 17x 6. 2 0, 1, 2 2 3 2 0, 1, 2, 3 2 x3 x P 2 0, 1, 3 x3 x 3x 6x 21 5 x

Παρεμβολή των Atke και Nevlle συνέχεια λύσης: Ο πίνακας δείχνει τη διαδικασία κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής εφαρμόζοντας τον τύπο του Atke σύμφωνα με τα παραπάνω. x x x P P P P 0, 0, 1, 0, 1, 2, 3 0 1 1 x 18 1 3 3x 30 6x12 2 4 4 x 42 8x 10 2 2x 2x 18 3 5 5 x 66 12x 6 2 3x 6x 21 3 2 3x 6x 17x 6

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Στη συνέχεια θα δώσουμε τον τύπο παρεμβολής του Nevlle. Ο τύπος αυτός είναι παρεμφερής με τον προηγούμενο και δίνεται από τον παρακάτω γενικό αναγωγικό τύπο κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής : P, 1,, m x x m 1 x 11 P, 1,, m1 x x x m,, για P 1, 2,, m x x m x 0 1 m. 5

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Ο πίνακας δείχνει τη διαδικασία κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής εφαρμόζοντας τον τύπο του Nevlle για τα σημεία παρεμβολής x, 0 1 4 με αντίστοιχες συναρτησιακές τιμές 0 1 2 x x x P P P P P, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4 x x x f 0 0 0 P 0, 1 x x x f P 1 1 1 0, 1, 2 P 1, 2 0, 1, 2, 3 x x x f P P 2 2 2 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 P P P 2, 3 1, 2, 3, 4. f 3 x x x f P 3 3 3 2, 3, 4 P 3, 4 4 x x x f 4 4 4

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Εφαρμογή Στον πίνακα τιμών που ακολουθεί δίνονται τα σημεία παρεμβολής x για 013 και οι αντίστοιχες τιμές f, 013 της συνάρτησης f x: x f 1 3 4 5 18 30 42 66 Χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής του Nevlle θα προσεγγίσουμε την τιμή της συνάρτησης f x στο σημείο * x 4.5.

Παρεμβολή των Atke και Nevlle Λύση: Αρχικά θα βρούμε τις τιμές των πολυωνύμων * για x 4.5. P0,1, P1,2 και P2,3 * Οπότε εφαρμόζοντας τον τύπο (5) για x 4.5 έχουμε τα εξής: P f x x 18 3.5 39, 31 30 1.5 * * 1 0 0 1 0, 1 x * x1x0 f1 x1 x f x x 30 1.5 48, 4 3 42 0.5 * * 1 1 1 1 1, 2 x * x2 x1 f2 x2 x P P 1 f x x 1 42 0.5 54. 54 66 0.5 * * 2 2 2, 3 x * x3x2 f3 x3 x

Παρεμβολή των Atke και Nevlle συνέχεια λύσης: Στη συνέχεια θα βρούμε τις τιμές των πολυωνύμων * για x 4.5. 0, 1, 2 1, 2, 3 * Έτσι, εφαρμόζοντας τον τύπο (5) για x 4.5 έχουμε τα εξής: P * * 0, 1 0 0, 1, 2 x * x2 x0 P1, 2 x2 x * * 1, 2 1 1, 2, 3 x * x3x1 P2, 3 x3 x P P και 1 P x x 1 39 3.5 49.5, 41 48 0.5 1 P x x 1 48 1.5 52.5. 53 54 0.5 P

Παρεμβολή των Atke και Nevlle συνέχεια λύσης: Τέλος, τη ζητούμενη τιμή μπορούμε να την πάρουμε από την * αντίστοιχη τιμή του πολυωνύμου P 0,1,2,3 στο σημείο x 4.5, οπότε εφαρμόζοντας τον αντίστοιχο τύπο (5) έχουμε τα εξής: P 1 P x x 1 49.5 3.5 51 52.5 0.5 * * 0, 1, 2 0 0, 1, 2, 3 x * x3x0 P1, 2, 3 x3 x 52.125.

Παρεμβολή των Atke και Nevlle συνέχεια λύσης: Ο πίνακας δείχνει τη διαδικασία κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής εφαρμόζοντας τον τύπο του Nevlle σύμφωνα με τα παραπάνω. x x x P P P P *, 1, 1, 2, 1, 2, 3 0 1 3.5 18 0,1 0,1,2 1,2 0.1.2.3 2,3 39 1 3 1.5 30 P 49.5 2 4 0.5 42 P 52.5 3 5 0.5 66 P P P 48 P 52.125 54 1,2,3

Αντίστροφη παρεμβολή Υποθέτουμε ότι δίνονται οι τιμές f, 01 μίας συνάρτησης y f x στα αντίστοιχα σημεία x, 01 του πεδίου ορισμού της και ζητείται η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής για την οποία η συνάρτηση f x παίρνει μια δεδομένη τιμή y Ορισμός 6.9 Το παραπάνω αριθμητικό πρόβλημα ονομάζεται αντίστροφη παρεμβολή. Το πρόβλημα αυτό το αναγάγουμε σε ένα πρόβλημα εύρεσης ριζών της f x και συγκεκριμένα στην εύρεση της λύσης ή των λύσεων της εξίσωσης f x y 0. Επειδή η συνάρτηση f x δεν είναι γνωστή, αντικαθίσταται με ένα πολυώνυμο παρεμβολής P x που ορίζεται από τα σημεία * παρεμβολής x, f, 01, οπότε: P x y 0. 1 x y.

Αντίστροφη παρεμβολή 1 Παράδειγμα Αν τότε η παραπάνω εξίσωση (1) γίνεται: x x x x f f y x x x x 1 0 * 0 1 0 1 1 0 της οποίας η λύση που είναι η εξής: y f y f x x x f f f f 1 0 0 1 0 1 1 0 Παρατήρηση Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τρόπο, το πρόβλημα της αντίστροφης παρεμβολής γίνεται αρκετά δύσκολο όταν ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής είναι πολύ μεγάλος. Στη συνέχεια δίνουμε έναν άλλο πιο απλό εναλλακτικό τρόπο για τη λύση του προβλήματος της αντίστροφης παρεμβολής. 0,.

Αντίστροφη παρεμβολή Υποθέτουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f x. Αφού για το ζητούμενο ισχύει η σχέση f x y προκύπτει ότι 1 x f y, το οποίο σημαίνει ότι αρκεί να προσεγγίσουμε την 1 τιμή της συνάρτησης x f y στο σημείο Έτσι, με τον τρόπο αυτό έχουμε αναγάγει το πρόβλημα της αντίστροφης παρεμβολής σε ένα πρόβλημα παρεμβολής. Επομένως, το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί με την κατασκευή ενός πολυωνύμου παρεμβολής P y που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής f, x, 01. Το πολυώνυμο προσεγγίζει τη συνάρτηση x, y. P y x f 1 y.

Αντίστροφη παρεμβολή Με τον τρόπο αυτό αφού για το πολυώνυμο που κατασκευάστηκε ισχύει ότι : 1 P y f y, τότε μπορούμε να πάρουμε μια προσέγγιση για το ζητούμενο ως ακολούθως: x P y. Παρατήρηση Επειδή οι τιμές f, 01 της συνάρτησης f x είναι σχεδόν πάντοτε μη ισαπέχουσες και επειδή οι τιμές αυτές εκφράζουν τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής y της 1 συνάρτησης x f y τότε είναι απαραίτητο ο τύπος παρεμβολής που θα χρησιμοποιήσουμε για το πρόβλημα της αντίστροφης παρεμβολής να μπορεί να εφαρμοστεί για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής.

Αντίστροφη παρεμβολή Με βάση τα παραπάνω ο τύπος της παρεμβολής του Lagrage για τα σημεία παρεμβολής y, x, 0 1 δίνεται ως εξής: όπου: Ενώ ο τύπος παρεμβολής του Atke για τα σημεία παρεμβολής y, x, 01 γράφεται ως ακολούθως: όπου για όλα τα 01. P y L y x L y x L y x 0 0 1 1... y y0... y y 1 y y 1... y y y y... y y y y... y y L y, 01. P 0, 1,, m, P y x 0 1 1 11 1 P0, 1,, m y ym y m 0 1 1,, y P0, 1,, m 1, y y y m, ym

Αντίστροφη παρεμβολή Ο τύπος παρεμβολής του Nevlle για τα σημεία παρεμβολής y, x, 0 1 δίνεται ως εξής: P, 1,, m όπου P y x για όλα τα 01. 1 P m 11,, 1,, m1 y y y, y m y P 1, 2,, m y ym y 01 m,

Αντίστροφη παρεμβολή Εφαρμογή Θα δώσουμε με πίνακα τη διαδικασία κατασκευής πολυωνύμων παρεμβολής εφαρμόζοντας τον τύπο του Atke (4) για τα σημεία παρεμβολής y, x, 0 1 4. Λύση: y y y P P P P P 0 1 2 3 4 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, y y y x 0 0 0 y y y x P 1 1 1 0, 1 y y y x P P 2 2 2 0, 2 0, 1, 2 y y y x P P P 3 3 3 0, 3 0, 1, 3 0, 1, 2, 3 y y y x P P P P 4 4 4 0, 4 0, 1, 4 0, 1, 2, 4 0, 1, 2, 3, 4

Παρεμβολή του Newto Υποθέτουμε ότι: η f x είναι μία συνάρτηση που είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα ab,, τα ξένα μεταξύ τους σημεία παρεμβολής x, 0 1 βρίσκονται στο κλειστό διάστημα a, b με αντίστοιχες συναρτησιακές τιμές f f x. 01 k1. Θεωρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής Pk 1 x το πολύ βαθμού k 1 το οποίο ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x, f, Ζητάμε να βρούμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής Pk x το πολύ βαθμού το οποίο να διέρχεται από τα σημεία παρεμβολής x, f, 01k. k

Παρεμβολή του Newto Το πολυώνυμο P x μπορεί να γραφεί με την παρακάτω μορφή: όπου Qk x k P x P x Q x, k k1 k 1 είναι ένα πολυώνυμο το πολύ βαθμού Το πολυώνυμο Pk x πρέπει να διέρχεται από τα σημεία παρεμβολής x, f, 01k. Το πολυώνυμο Pk 1 x διέρχεται από τα σημεία παρεμβολής x, f, 0 1 k 1. Επομένως και τα δύο πολυώνυμα στα σημεία x, 0 1 k 1 θα έχουν τιμή, οπότε θα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: f Pk x Pk 1 x f, για όλα τα 0 1 k 1. k.

Παρεμβολή του Newto Το πολυώνυμο μηδενίζεται στα σημεία x k, 0 1 k 1 και, επομένως, μπορεί να γραφεί με την παρακάτω έκφραση: όπου είναι ένας πραγματικός αριθμός. Για ισχύει: P x P x Q x f a x x ενώ για Q x 0 1... 1, 2 ισχύει: Γενικά για k προκύπτει το παρακάτω πολυώνυμο παρεμβολής το πολύ βαθμού: 1 P x f0 a1 x xo a2 x x0 x x1... a x x j. 3 k1 Q x a x x x x x x a x x k k k k j j0 a k k 1 k 2 1 0 1 0 1 0, P x P x Q x f a x x a x x x x 2 1 2 0 1 0 2 0 1. j0

Παρεμβολή του Newto Για τον τελικό προσδιορισμό του ζητούμενου πολυωνύμου, απαιτείται ο προσδιορισμός των συντελεστών a, 01 έτσι ώστε να διέρχεται από τα σημεία παρεμβολής x, f, 01. Παρατηρούμε ότι: αν στο πολυώνυμο P x της Σχέσης (3) θέσουμε x x0 μηδενίζονται όλοι οι όροι εκτός του πρώτου a, 0 αν θέσουμε x x 1 μηδενίζονται όλοι οι όροι εκτός του πρώτου a και του δεύτερου a x x κ.ο.κ. 0 1 0 Γνωρίζουμε όμως, λόγω των συνθηκών ταύτισης, τις τιμές που παίρνει το πολυώνυμο στα σημεία x, 01. P x

Παρεμβολή του Newto Με βάση αυτά, θέτοντας στο πολυώνυμο P x της Σχέσης (3) x x, 01 σχηματίζεται το παρακάτω σύστημα 1 γραμμικών εξισώσεων ως προς τους συντελεστές a, 01. f a 0 0, f a a x x 1 0 1 1 0, f a a x x a x x x x 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 1... f a a x x a x x x x a x x 0 1 0 2 0 1 j j0,.

Παρεμβολή του Newto Το μητρώο συντελεστών του συστήματος είναι κάτω τριγωνικό και με ορίζουσα διάφορη του μηδενός, αφού τα σημεία παρεμβολής είναι ξένα μεταξύ τους. Επομένως, υπάρχει πάντα η λύση του παραπάνω συστήματος και βρίσκεται εύκολα με αντικατάσταση. Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι ο ζητούμενος συντελεστής για 01 δίνεται από τη διαιρεμένη διαφορά -στης τάξης των σημείων για x, για 01. Δηλαδή, για τους ζητούμενους συντελεστές ισχύει ότι: a f x, x,, x, για όλα τα. 0 1 01 a

Παρεμβολή του Newto Αντικαθιστώντας τους παραπάνω συντελεστές στο πολυώνυμο (3) προκύπτει το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής το πολύ βαθμού. 0 0, 1 0 0, 1, 2 0 1,,. 4 P x f x f x x x x f x x x x x x x Το παραπάνω πολυώνυμο παρεμβολής δόθηκε από τον Newto και ονομάζεται τύπος παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto. Ο τύπος (4) μπορεί να γραφεί με την ισοδύναμη έκφραση: όπου f x x x x x x x x x 0 1 0 1 1 k1 1 0 1 11 P x P x f x, x,, x x x, για όλα τα k, k k k j j0 P 0 x f. 0

Παρεμβολή του Newto Ιδιότητα του τύπου παρεμβολής του Newto: Στην περίπτωση που προστεθεί ένα νέο σημείο παρεμβολής, τότε δεν χρειάζεται να προσδιοριστούν πάλι οι συντελεστές a, 01. Έτσι, αν είναι το νέο σημείο παρεμβολής με συναρτησιακή τιμή τότε ο συντελεστής προσδιορίζεται ως εξής: x 1 a f, 1 1 f a a x x a x x x x a x x 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 1 1 j j0 Για τον τύπο παρεμβολής του Newto ισχύει ο ίδιος τύπος σφάλματος με τον τύπο παρεμβολής του Lagrage. Δηλαδή ισχύει το θεώρημα:.

Παρεμβολή του Newto Θεώρημα 6.5 Αν η έχει παραγώγους μέχρι 1 τάξης και αυτές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο κλειστό διάστημα όπου το διάστημα αυτό είναι το μικρότερο διάστημα που περιέχει τα σημεία παρεμβολής x, 01 και ένα τυχαίο σημείο δηλαδή: m x, x0,, x, max x, x0,, x, τότε για κάθε σημείο υπάρχει ένα σημείο στο διάστημα έτσι ώστε για τη διόρθωση του πολυωνύμου παρεμβολής του Newto. που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x, 01 και τις συναρτησιακές τιμές f f x, 01να ισχύει ότι: όπου f x x P x 1 f f x P 1!, x L x L x x x x x x x 0 1., x,

Παρεμβολή του Newto Εφαρμογή 6.5 Στον παρακάτω πίνακα τιμών δίνονται τα σημεία παρεμβολής x για 013 και οι αντίστοιχες τιμές f, 013 της συνάρτησης f x: x f 1 3 4 5 18 30 42 66 Χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto θα βρούμε το πολυώνυμο που ορίζεται από τις δεδομένες συνθήκες ταύτισης.

Παρεμβολή του Newto Λύση: Αρχικά θα υπολογίσουμε τις διαιρεμένες διαφορές μέχρι και τρίτης τάξης για τις δοθείσες τιμές f 18, 30, 42, 66, για 01 3 που υπολογίστηκαν στα σημεία x, για 013. Η διαιρεμένη διαφορά μηδενικής τάξης στο σημείο υπολογίζεται από τη σχέση: Η διαιρεμένη διαφορά πρώτης τάξης των σημείων υπολογίζεται από τη σχέση: f f. f x f x j f x f j f x, x j. x x x x j j x x, x j

Παρεμβολή του Newto συνέχεια λύσης: Η διαιρεμένη διαφορά δεύτερης τάξης των σημείων υπολογίζεται από τη σχέση: x, x, x j k f x j, x k f x, x j f x, x j, x k. x x Η διαιρεμένη διαφορά τρίτης τάξης των σημείων υπολογίζεται ως εξής: f x j, xk, x l f x, x j, x k f x, x j, xk, x l. x x k l x, x j, xk, xl,

Παρεμβολή του Newto x f 1ης τάξης διαφ. 2ης τάξης διαφ. 3ης τάξης διαφ. 0 1 18 30 18 f 0, 1 6 31 1 3 30 12 6 f 0, 1, 2 2 41 2 4 42 42 30 6 2 f 1, 2 12 f 0, 1, 2, 3 1 4 3 5 1 24 12 f 1, 2, 3 6 5 3 66 42 f 2, 3 24 5 4 3 5 66

Παρεμβολή του Newto Ο τύπος παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto (4) για 3 είναι:,,, f x, x, x, x x x x x x x. P x f x f x x x x f x x x x x x x 3 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 Αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο τις διαιρεμένες διαφορές που έχουμε βρει καθώς και τις τιμές των δοθέντων προκύπτει: 3 18 6 1 2 1 3 1 3 4 P x x x x x x x 2 3 2 x x x x x x 18 6 1 2 4 3 8 19 12 3 2 x x x 6 17 6. x

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Υποθέτουμε ότι δίνονται οι τιμές f f x για 01 της συνάρτησης f x στα ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής x x0 h, 01 όπου το h 0 είναι ένα σταθερό βήμα. Ορίζουμε την κανονικοποιημένη μεταβλητή από την παρακάτω σχέση: x x0 s. 1 h Στη συνέχεια δίνουμε διάφορους τύπους παρεμβολής για την περίπτωση όπου τα σημεία παρεμβολής είναι ισαπέχοντα. s

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Υποθέτουμε ότι έχουμε τα παρακάτω σημεία παρεμβολής: x0 f0 x1 f1 x2 f2 x1 f 1 x f,,,,,,,,,,, έτσι ώστε x x0 h, 01 όπου h 0 είναι ένα σταθερό βήμα. Ο όρος x x k του τύπου του Newto για x x0 sh γράφεται ως εξής: x x x sh x k xx 0 sh 0 x sh x kh 0 0 s k h. k

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Επομένως, το παρακάτω γινόμενο για x x0 sh μπορεί να γραφεί ως εξής: 1 2 x x x x x x x x sh s h s h s k h 0 1 2 Όμως ισχύει ότι: k xx sh Με τη βοήθεια της παραπάνω σχέσης καταλήγουμε ότι: 0 k1 h s s 1 s 2 s k. 1 k s s s s k k 1 1! s 0 1 2 k 1! 2 xx0sh k 1 k1 x x x x x x x x h k..

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση για k 0 1 1 και αντικαθιστώντας τα αντίστοιχα αποτελέσματα στον τύπο παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto, τότε ο τύπος αυτός για x x sh μπορεί να γραφεί ως εξής: 0 1 0 s s 2 P x xx 0 sh f x0 f x0, x1 h f x0, x1, x2 h 2! 1 2 s f x, x,, x h!.

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Για τα ισαπέχοντα σημεία x x0 h, 01 που απέχουν μεταξύ τους κατά ισχύει η παρακάτω σχέση μεταξύ των διαιρεμένων διαφορών και των προς τα εμπρός διαφορών για. 0 m k : k fm f xm, xm 1,, xmk. 3 k hk! h Αν τη Σχέση (3) την εφαρμόσουμε για m 0 και για k 01, τότε ο τύπος παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto για x x sh μπορεί να γραφεί ως εξής: 0 s s s P x xx0 sh p s f f f f 1 2 2. 0 0 0 0 4

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Ο παραπάνω τύπος είναι γνωστός ως τύπος παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών του Newto ή πρώτος τύπος παρεμβολής των Gregory - Newto. Με βάση τα παραπάνω ο τύπος παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto (5) μπορεί να γραφεί με την παρακάτω ισοδύναμη αναγωγική έκφραση: s k pks pk 1 s f0, για όλα τα k 11, p0 s f0. k

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Όσον αφορά στο σφάλμα του τύπου (4) ισχύει το παρακάτω θεώρημα το οποίο συμφωνεί με το Θεώρημα 6.5. f x Θεώρημα 6.6 Αν η έχει παραγώγους μέχρι 1 τάξης και αυτές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο κλειστό διάστημα x, 0 x, τότε για κάθε σημείο που ανήκει στο διάστημα υπάρχει ένα σημείο στο διάστημα έτσι ώστε για τη διόρθωση του πρώτου τύπου παρεμβολής των Gregory Newto P x που ορίζεται από τα ισαπέχοντα με σταθερό βήμα h σημεία παρεμβολής x, 01 και τις συναρτησιακές τιμές f f x, 01να ισχύει ότι: x s f x P x h f 1 1 1.

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto f x Πόρισμα: Αν η έχει παραγώγους μέχρι 1 τάξης και αυτές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο κλειστό διάστημα x, 0 x τότε για κάθε σημείο που ανήκει στο διάστημα υπάρχει ένα σημείο στο διάστημα έτσι ώστε για τη διόρθωση του πρώτου τύπου παρεμβολής των Gregory Newto P x που ορίζεται από τα ισαπέχοντα με σταθερό βήμα σημεία παρεμβολής x, 01 και τις συναρτησιακές τιμές f f x, 0 1 να ισχύει ότι: x h s f x P x f 1 1. 0 7

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Όταν το τείνει στο μηδέν ισχύει: h f0 lm f x0. 8 x0 h Επίσης, αφού τα σημεία δίνονται ως x x0 h για 01, τότε όταν το τείνει στο μηδέν ισχύει: h h0 x 0 οπότε ο πρώτος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto που δίνεται στη Σχέση (4) μπορεί να γραφεί και ως εξής: x x0 x x0 P x f x x x f x f x f x, 2!! ο οποίος είναι γνωστός από την ανάλυση τύπος του Taylor. lm x x, για όλα τα 0 1, 2 0 0 0 0 0 9

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Ο τύπος παρεμβολής των Gregory Newto μπορεί να αποδειχτεί και με την χρήση των γραμμικών τελεστών. Μία προσέγγιση της ζητούμενης τιμής f x μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας γραμμικούς τελεστές ως εξής: s s. 0 0 0 f x f x sh E f x I f Αναπτύσσοντας το παραπάνω διώνυμο προκύπτει: f x s s 2 1 f 1 2 0 s s 2 f f0 f0 1 2 0.

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Από την παραπάνω έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος όρων. Έτσι η έκφραση αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: s s 2 s f x p s f f f f 1 2 0 0 0 0 η οποία αποτελεί τον πρώτο τύπο παρεμβολής των Gregory Newto.,

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Παρατήρηση Ο πρώτος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto όπως δόθηκε, δεν μπορεί να κάνει παρεκβολή, δηλαδή να εκτιμήσει μια τιμή εκτός του διαστήματος παρεμβολής x, 0 x. Αυτό ισχύει διότι το ζητούμενο προκύπτει από τη σχέση x x0 sh όπου h 0. Όμως για αρνητικές τιμές του s, το x μπορεί να βρεθεί εκτός του διαστήματος παρεμβολής, επειδή x x0 sh. Οπότε σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto γράφεται ως εξής s s 2 s f x p 0 0 0 0 10 1 2. s f f f f x

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα εμπρός διαφορών του Newto Παρατήρηση Ο πρώτος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto χρησιμοποιείται για μικρές απόλυτες τιμές του και κυρίως χρησιμοποιείται για μικρότερο της μονάδας. s Παρατήρηση Ο πρώτος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto εφαρμόζεται καλύτερα σε περιπτώσεις όπου το ζητούμενο βρίσκεται μεταξύ των αρχικών σημείων παρεμβολής. s x

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα πίσω διαφορών του Newto Έστω ότι έχουμε στη διάθεσή μας τα παρακάτω σημεία παρεμβολής: x f x f x f x f x f,,,,,,,,,,. 0 0 1 1 2 2 1 1 Τότε, ο τύπος παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto μπορεί να γραφεί ως εξής: s s 1 2 s 1 ps f0 f1 f 2 f. 1 2 k k Όμως, για k 01 ισχύει ότι fk f0. 11 Επομένως, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί ως ακολούθως: s s 1 2 s 1 p s f0 f0 f0 f0. 12 1 2

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα πίσω διαφορών του Newto Ο παραπάνω τύπος είναι γνωστός ως τύπος παρεμβολής των προς τα πίσω διαφορών του Newto ή δεύτερος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto. O τύπος παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto (5) μπορεί να γραφεί με την εξής ισοδύναμη αναγωγική έκφραση: sk1 k pk s pk 1 s fk, για όλα τα k 1 1, p0 s f0. 13 k Όσον αφορά στο σφάλμα του τύπου (12), ισχύει ότι: όπου το s 1 1 f x P x h f βρίσκεται στο ανοικτό διάστημα x x 1,,. 0

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα πίσω διαφορών του Newto Για τους διωνυμικούς συντελεστές ισχύει η εξής ιδιότητα: s s k 1 k k k 1, για ακέραιο k. 15 Με βάση αυτή ο τύπος (12) μπορεί να γραφεί με την παρακάτω ισοδύναμη μορφή: s s s p s f f f f 1 2 2 1, 16 0 0 0 0 η οποία μπορεί να γραφεί ως ακολούθως: 1 1 2 s s s s s p s f sf f f 2 2 0 0 0 0. 17

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα πίσω διαφορών του Newto Μια προσέγγιση της ζητούμενης τιμής f x μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας γραμμικούς τελεστές ως εξής: 0 s E f x0 s I f f x f x sh Αναπτύσσοντας το παραπάνω διώνυμο προκύπτει: f x s s 2 1 f 1 2 s s 2 f0 f0 f0 1 2 0. 0.

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Από την παραπάνω έκφραση μπορούμε να χρησιμοποιηθεί μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος όρων. Έτσι η έκφραση αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: s s 2 s f x p s f f f 1 f 1 2 0 0 0 0 η οποία αποτελεί το δεύτερο τύπο παρεμβολής των Gregory Newto.,

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Για τα παραπάνω θεωρήσαμε ότι το x 0 είναι το τελευταίο από τα 1 ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής. Αν, αντιθέτως, θεωρήσουμε ότι το x 0 είναι το πρώτο και αν είχαμε τα παρακάτω σημεία παρεμβολής: x f x f x f x f x f,,,,,,,,,,, 0 0 1 1 2 2 1 1 τότε για να βρούμε την αντίστοιχη τιμή θα έπρεπε το παίρναμε ως εξής: x x sh. να το Οπότε σε αυτή την περίπτωση ο τύπος παρεμβολής θα είχε την παρακάτω έκφραση: s s 2 s p s f f f 1 f. 18 1 2 x

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα πίσω διαφορών του Newto Παρατήρηση Για να μπορεί ο δεύτερος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto να κάνει παρεκβολή, δηλαδή να εκτιμήσει μια τιμή εκτός του διαστήματος παρεμβολής x, 0 x, θα πρέπει να δοθούν αρνητικές τιμές στο s. Οπότε σε αυτή την περίπτωση, το μπορεί να βρεθεί εκτός του διαστήματος παρεμβολής, επειδή x x sh. Για αυτή την περίπτωση ο δεύτερος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto γράφεται ως εξής: s s 2 s f x p s f f f 1 f. 19 1 2 x

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των προς τα πίσω διαφορών του Newto Παρατήρηση Ο δεύτερος τύπος παρεμβολής των Gregory Newto και για τις δύο περιπτώσεις παρεμβολής και παρεκβολής συνήθως χρησιμοποιείται για μικρότερο της μονάδας. Επίσης, αυτός ο τύπος εφαρμόζεται καλύτερα σε περιπτώσεις όπου το ζητούμενο βρίσκεται μεταξύ των τελικών σημείων παρεμβολής. x s

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Υποθέτουμε ότι έχουμε 2m 1 ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής που απέχουν κατά h : x x h, για όλα τα 01 m. 20 0 x Αν f, 01m είναι οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f και θέσουμε τα σημεία παρεμβολής με την παρακάτω σειρά: x, x, x, x, x,, x, x, x, x, 0 1 1 2 2 m1 m1 m m τότε το πολυώνυμο παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto (3) το πολύ 2mβαθμού γράφεται ως εξής: 0 0, 1 0 0, 1, 1 0 1 f x0, x1, x 1, x2 x x0 x x1 x x 1 f x, x, x,, x, x x x x x x x x x. P x f x f x x x x f x x x x x x x 0 1 1 m m 0 1 1 m 21

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Όμως, οι διαιρεμένες διαφορές είναι συμμετρικές συναρτήσεις και έτσι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: 0, 1, 1 1, 0, 1 0, 1, 1, 2 1, 0, 1, 2,,,,,,,,,,,. f x x x f x x x f x x x x f x x x x f x x x x x f x x x x x 0 1 1 m m m 1 0 1 m 22 Επίσης, για ισαπέχοντα σημεία ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις διαιρεμένων, προς τα εμπρός και προς τα πίσω, διαφορών: m f m m f k k 2 f xk, xk 1,, xk m. m m h m! h m!

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Συνδυάζοντας κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν τα εξής: 2k 1 2k 1 1 fk 1 2 k1 1 0 1 k 2k1 2k1 f x,, x, x, x,, x, h 2k 1! h 2k 1! f f h 2 k! h 2 k! 2k 2k k 0 k,, 1, 0, 1,, k. 2k 2k f x x x x x 23 f

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Με τη βοήθεια των Σχέσεων (22) και (23) το πολυώνυμο παρεμβολής των διαιρεμένων διαφορών του Newto το πολύ 2m βαθμού της έκφρασης (21) για s x x0 h μπορεί να γραφεί ως ακολούθως: s s 2 P2 m x ps f0 f 1 f0 1 2 2 s1 3 s1 4 f1 f0 3 4 2 s m 1 s m 1 f 2m1 2 2m1 2m 1 0 m 2 f. 24

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Ο παραπάνω τύπος είναι γνωστός ως πρώτος τύπος παρεμβολής του Gauss ή τύπος παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών του Gauss. Όσον αφορά το σφάλμα του τύπου (24) ισχύει το γενικό Θεώρημα 6.2 που εξασφαλίζει την εκτίμηση του σφάλματος παρεμβολής κάτω από ορισμένες υποθέσεις αναφορικά με τη συνάρτηση f x: s m 2m1 2m1 f x P 2m x h f, 25 2m 1 όπου το βρίσκεται στο διάστημα x, x. Επίσης, με βάση το πόρισμα 6.3 μπορούμε βρούμε ένα μέτρο του παραπάνω σφάλματος με τον υπολογισμό της διαφοράς της επόμενης τάξης. m m

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Αν τοποθετήσουμε τα δοθέντα σημεία παρεμβολής με την παρακάτω σειρά: x, x, x, x, x,, x, x, x, x, 0 1 1 2 2 m1 m1 m m τότε με μια ανάλογη διαδικασία βρίσκουμε το δεύτερο τύπο παρεμβολής του Gauss ή τύπο παρεμβολής των προς τα πίσω διαφορών του Gauss ο οποίος για s x x0 / h γράφεται ως εξής: s s 1 2 s 1 3 P2 m x ps f0 f 1 f0 f 1 1 2 3 2 2 s 2 4 s m 1 2m1 s m 2m f0 f 1 f. 26 4 2m 1 2m 2

Παρεμβολή για ισαπέχοντα σημεία Παρεμβολή των κεντρικών διαφορών του Gauss Παρατήρηση Οι παραπάνω δύο τύποι του Gauss εφαρμόζονται καλύτερα όταν το βρίσκεται μεταξύ των κεντρικών σημείων παρεμβολής. x Επίσης, και οι δύο τύποι του Gauss χρησιμοποιούνται για την κατασκευή διαφόρων άλλων τύπων παρεμβολής.